Vektori za lutke. Akcije sa vektorima

Konačno sam se dočepao ove ogromne i dugo očekivane teme. analitička geometrija. Prvo, malo o ovom dijelu više matematike... Sigurno se sada sećate kursa školske geometrije sa brojnim teoremama, njihovim dokazima, crtežima itd. Šta sakriti, nevoljena i često opskurna tema za značajan dio učenika. Analitička geometrija, začudo, može se činiti zanimljivijom i pristupačnijom. Šta znači pridjev „analitički“? Odmah mi padaju na pamet dvije klišeirane matematičke fraze: “metoda grafičkog rješenja” i “metoda analitičkog rješenja”. Grafička metoda, naravno, povezan je sa konstrukcijom grafova i crteža. Analitički ili metoda uključuje rješavanje problema uglavnom kroz algebarske operacije. U tom smislu, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan; često je dovoljno pažljivo primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, to nikako nećemo moći bez crteža, a osim toga, radi boljeg razumijevanja gradiva, pokušat ću ih citirati bez potrebe.

Novootvoreni kurs nastave iz geometrije ne pretenduje da je teorijski završen, već je usmeren na rešavanje praktičnih problema. U svoja predavanja ću uključiti samo ono što je, sa moje tačke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako vam je potrebna potpunija pomoć u bilo kojem pododjeljku, preporučujem sljedeću prilično pristupačnu literaturu:

1) Stvar koju, bez šale, poznaje nekoliko generacija: Školski udžbenik iz geometrije, autori - L.S. Atanasyan i kompanija. Ova školska svlačionica već je doživjela 20 (!) reprinta, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 toma. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za srednju školu, trebat će vam prvi tom. Zadaci koji se rijetko susreću mogu mi pasti iz vida, i tutorial pružiće neprocenjivu pomoć.

Obje knjige mogu se besplatno preuzeti na internetu. Osim toga, možete koristiti moju arhivu sa gotova rješenja, koji se nalazi na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Među alatima, ponovo predlažem svoj razvoj - softverski paket u analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitalac upoznat sa osnovnim geometrijskim pojmovima i figurama: tačka, prava, ravan, trougao, paralelogram, paralelepiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorinu teoremu, pozdrav ponavljačima)

A sada ćemo razmotriti sekvencijalno: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Preporučujem čitanje dalje najvažniji članak Tačkasti proizvod vektora, i također Vektorski i mješoviti proizvod vektora. Lokalni zadatak - Podjela segmenta u tom pogledu - također neće biti suvišan. Na osnovu gore navedenih informacija, možete savladati jednačina prave u ravni With najjednostavniji primjeri rješenja, što će omogućiti naučiti rješavati zadatke iz geometrije. Sljedeći članci su također korisni: Jednačina ravni u prostoru, Jednačine prave u prostoru, Osnovni zadaci o pravoj liniji i ravni, ostali dijelovi analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.

Vektorski koncept. Besplatno vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vector pozvao usmjereno segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

IN u ovom slučaju početak segmenta je tačka, kraj segmenta je tačka. Sam vektor je označen sa . Smjer je bitno, ako pomaknete strelicu na drugi kraj segmenta, dobićete vektor, a to je već potpuno drugačiji vektor. Koncept vektora se zgodno poistovjećuje sa kretanjem fizičko tijelo: Slažem se, ulazak na vrata instituta ili izlazak iz instituta su potpuno različite stvari.

Pojedine tačke ravni ili prostora pogodno je smatrati tzv nulti vektor. Za takav vektor kraj i početak se poklapaju.

!!! Bilješka: Ovdje i dalje možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravni ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština predstavljenog materijala vrijedi i za ravan i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah primijetili štap bez strelice u oznaci i rekli, ima i strelica na vrhu! Istina, možete to napisati strelicom: , ali je također moguće unos koji ću koristiti u budućnosti. Zašto? Očigledno se ova navika razvila iz praktičnih razloga; moji strijelci u školi i na fakultetu su se pokazali previše velikim i čupavim. U obrazovnoj literaturi se ponekad uopće ne zamaraju klinastim pismom, već podebljaju slova: , čime se implicira da se radi o vektoru.

To je bila stilistika, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati sa dva velika latinična slova:
i tako dalje. U ovom slučaju, prvo slovo Nužno označava početnu tačku vektora, a drugo slovo označava krajnju tačku vektora.

2) Vektori se takođe pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, radi kratkoće, naš vektor se može preimenovati kao mali latinično pismo.

Dužina ili modul vektor različit od nule naziva se dužina segmenta. Dužina nultog vektora je nula. Logično.

Dužina vektora je označena znakom modula: ,

Naučit ćemo kako pronaći dužinu vektora (ili ćemo to ponoviti, ovisno o tome ko) malo kasnije.

Ovo su bile osnovne informacije o vektorima, poznate svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Jednostavno rečeno - vektor se može nacrtati iz bilo koje tačke:

Navikli smo da takve vektore nazivamo jednakima (definicija jednakih vektora će biti data u nastavku), ali sa čisto matematičke tačke gledišta, oni su ISTI VEKTORI ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Jer u toku rješavanja problema možete „prikačiti“ ovaj ili onaj „školski“ vektor za BILO KOJU tačku ravni ili prostora koja vam je potrebna. Ovo je veoma cool karakteristika! Zamislite usmjereni segment proizvoljne dužine i smjera - može se "klonirati" beskonačan broj puta i u bilo kojoj tački prostora, zapravo, postoji SVUDA. Postoji takva studentska izreka: Svakog predavača je briga za vektor. Uostalom, nije samo duhovita rima, sve je gotovo tačno - tu se može dodati i režirani segment. Ali nemojte žuriti da se radujete, sami studenti često pate =)

dakle, slobodni vektor- Ovo gomila identični usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, data na početku pasusa: „usmjereni segment se zove vektor...“ podrazumijeva specifično usmjereni segment preuzet iz dati set, koji je vezan za određenu tačku na ravni ili prostoru.

Treba napomenuti da je sa stanovišta fizike, koncept slobodnog vektora generalno netačan, a tačka primjene je bitna. Zaista, direktan udarac iste snage u nos ili čelo, dovoljan da razvije moj glupi primjer, povlači različite posljedice. Kako god, neslobodan vektori se takođe nalaze u toku vyshmata (ne idite tamo :)).

Akcije sa vektorima. Kolinearnost vektora

Školski kurs geometrije pokriva niz radnji i pravila s vektorima: sabiranje po pravilu trokuta, sabiranje po pravilu paralelograma, pravilo vektorske razlike, množenje vektora brojem, skalarni proizvod vektori itd. Za početak, ponovimo dva pravila koja su posebno relevantna za rješavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo za dodavanje vektora pomoću pravila trougla

Razmotrimo dva proizvoljna vektora različita od nule i :

Morate pronaći zbir ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, ostavićemo po strani vektor iz kraj vektor:

Zbir vektora je vektor. Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je u njega staviti fizičko značenje: neka tijelo putuje duž vektora , a zatim duž vektora . Tada je zbroj vektora vektor rezultujuće putanje sa početkom u tački polaska i krajem u tački dolaska. Slično pravilo je formulirano za zbir bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem vrlo nagnuto duž cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbira.

Usput, ako se vektor odgodi od počeo vektor, onda dobijamo ekvivalent pravilo paralelograma dodavanje vektora.

Prvo, o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearno, ako leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama. Grubo govoreći, govorimo o paralelnim vektorima. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev „kolinearno“.

Zamislite dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, onda se takvi vektori nazivaju co-directed. Ako strelice pokazuju u različitim smjerovima, tada će vektori biti suprotnim pravcima.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenim simbolom paralelizma: , dok je detaljizacija moguća: (vektori su kousmjereni) ili (vektori su suprotno usmjereni).

Posao vektor različit od nule na broju je vektor čija je dužina jednaka , a vektori i su usmjereni na i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti uz pomoć slike:

Pogledajmo to detaljnije:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, onda je vektor mijenja smjer na suprotno.

2) Dužina. Ako je množitelj sadržan unutar ili , tada dužina vektora smanjuje se. Dakle, dužina vektora je polovina dužine vektora. Ako je modul množitelja veći od jedan, tada je dužina vektora povećava na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . I obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti kroz drugi, onda su takvi vektori nužno kolinearni. ovako: ako pomnožimo vektor brojem, dobićemo kolinearno(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su kousmjereni. Vektori i takođe su korežirani. Svaki vektor prve grupe je suprotno usmjeren u odnosu na bilo koji vektor druge grupe.

Koji su vektori jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su u istom smjeru i imaju istu dužinu. Imajte na umu da kosmjernost implicira kolinearnost vektora. Definicija bi bila netačna (suvišna) ako bismo rekli: “Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, kosmjerni i imaju istu dužinu.”

Sa stanovišta koncepta slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, kao što je objašnjeno u prethodnom paragrafu.

Vektorske koordinate na ravni i u prostoru

Prva stvar je razmatranje vektora na ravni. Oslikajmo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem i nacrtajmo ga od početka koordinata single vektori i :

Vektori i ortogonalno. Ortogonalno = okomito. Preporučujem da se polako navikavate na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi redom kolinearnost I ortogonalnost.

Oznaka: Ortogonalnost vektora piše se uobičajenim simbolom okomitosti, na primjer: .

Vektori koji se razmatraju nazivaju se koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori se formiraju osnovu na površini. Šta je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno; detaljnije informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora Jednostavnim riječima, osnova i porijeklo koordinata definiraju cijeli sistem - to je svojevrsni temelj na kojem vrije pun i bogat geometrijski život.

Ponekad se naziva izgrađena osnova ortonormalno osnova ravni: “orto” - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev “normaliziran” označava jedinicu, tj. dužine baznih vektora jednake su jedan.

Oznaka: osnova se obično piše u zagradama, unutar kojih u strogom redosledu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori zabranjeno je preurediti.

Bilo koji ravan vektor jedini način izraženo kao:
, Gdje - brojevi koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. I sam izraz pozvao vektorska dekompozicijapo osnovu .

Poslužena večera:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri dekomponovanju vektora u bazu koriste oni o kojima smo upravo govorili:
1) pravilo za množenje vektora brojem: i ;
2) sabiranje vektora prema pravilu trougla: .

Sada mentalno nacrtajte vektor iz bilo koje druge tačke na ravni. Sasvim je očigledno da će ga njegovo propadanje „nemilosrdno pratiti“. Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom". Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da sami osnovni (slobodni) vektori ne moraju biti iscrtani od početka, jedan se može nacrtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i ništa se neće promijeniti! Istina, ne morate to da radite, jer će i nastavnik pokazati originalnost i izvući vam "kredit" na neočekivanom mjestu.

Vektori ilustruju tačno pravilo za množenje vektora brojem, vektor je kosmeran sa baznim vektorom, vektor je usmeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli; možete je pažljivo napisati ovako:

A osnovni vektori su, inače, ovakvi: (u stvari, oni se izražavaju kroz sebe).

I na kraju: , . Usput, šta je vektorsko oduzimanje i zašto nisam govorio o pravilu oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj sabiranja. Dakle, proširenja vektora “de” i “e” lako se zapisuju kao zbir: , . Pratite crtež da vidite koliko jasno dobro staro zbrajanje vektora prema pravilu trokuta radi u ovim situacijama.

Razmatrana dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u ort sistemu(tj. u sistemu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora; uobičajena je sljedeća opcija:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori su zapisani na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim problemima koriste se sve tri opcije notacije.

Dvoumio sam se da li da govorim, ali ipak ću reći: vektorske koordinate se ne mogu preurediti. Strogo na prvom mjestu zapisujemo koordinate koje odgovaraju jediničnom vektoru, strogo na drugom mestu zapisujemo koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru. Zaista, i dva su različita vektora.

Shvatili smo koordinate u avionu. Pogledajmo sada vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je gotovo sve isto! Samo će dodati još jednu koordinatu. Teško je napraviti trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti ostaviti po strani od porijekla:

Bilo koji 3D vektor prostora jedini način proširiti preko ortonormalne osnove:
, gdje su koordinate vektora (broja) u ovoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako funkcionišu vektorska pravila. Prvo, množenje vektora brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (strelica maline). Drugo, evo primjera dodavanja nekoliko u ovo slučaj tri, vektori: . Vektor zbroja počinje na početnoj tački polaska (početak vektora) i završava na konačnoj tački dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su slobodni; pokušajte mentalno odvojiti vektor iz bilo koje druge točke i shvatit ćete da će njegova dekompozicija „ostati s njim“.

Slično kao i ravno kućište, osim pisanja verzije sa zagradama se široko koriste: bilo .

Ako jedan (ili dva) koordinatni vektor nedostaje u ekspanziji, tada se na njihovo mjesto stavljaju nule. primjeri:
vektor (pažljivo ) – pišimo ;
vektor (pedantno) – zapisati;
vektor (pažljivo ) – pišemo.

Osnovni vektori se pišu na sljedeći način:

Ovo je, možda, svo minimalno teorijsko znanje potrebno za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda postoji mnogo pojmova i definicija, pa preporučujem da čajnici ponovo pročitaju i shvate ove informacije. I svakom čitaocu će biti korisno da se s vremena na vrijeme osvrne na osnovnu lekciju kako bi bolje usvojio materijal. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna osnova, vektorska dekompozicija - ovi i drugi koncepti će se često koristiti u budućnosti. Napominjem da materijali sa stranice nisu dovoljni za polaganje teorijskog testa ili kolokvijuma iz geometrije, budući da pažljivo šifriram sve teoreme (i bez dokaza) - na štetu naučni stil prezentaciju, ali plus za vaše razumijevanje teme. Da biste dobili detaljne teorijske informacije, naklonite se profesoru Atanasyanu.

I prelazimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije sa vektorima u koordinatama

Veoma je preporučljivo naučiti kako rješavati zadatke koji će se razmatrati potpuno automatski, te formule zapamtiti, ne morate ga čak ni namjerno pamtiti, oni će ga sami zapamtiti =) Ovo je vrlo važno, jer se ostali problemi analitičke geometrije baziraju na najjednostavnijim elementarnim primjerima, pa će biti neugodno trošiti dodatno vrijeme na jedući pijune . Nema potrebe da zakopčavate gornje dugmad na košulji, mnoge stvari su vam poznate iz škole.

Prezentacija materijala će se odvijati paralelno - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule... videćete sami.

Kako pronaći vektor iz dvije tačke?

Ako su date dvije tačke ravni i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

To je, iz koordinata kraja vektora morate oduzeti odgovarajuće koordinate početak vektora.

vježba: Za iste tačke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke ravnine i . Pronađite vektorske koordinate

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeći unos:

Ovo će odlučiti esteti:

Lično sam navikao na prvu verziju snimka.

odgovor:

Prema uslovu, nije bilo potrebno konstruisati crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih razjasnio neke tačke za lutke, neću biti lijen:

Definitivno treba da razumete razlika između koordinata tačke i vektorskih koordinata:

Koordinate tačaka– to su obične koordinate u pravougaonom koordinatnom sistemu. Mislim da svi znaju crtati tačke na koordinatnoj ravni od 5.-6. razreda. Svaka tačka ima striktno mjesto u ravni i ne može se nigdje pomjeriti.

Koordinate vektora– to je njegovo proširenje po osnovu, u ovom slučaju. Svaki vektor je slobodan, pa ga po želji ili potrebi možemo lako udaljiti od neke druge tačke na ravni. Zanimljivo je da za vektore uopće ne morate graditi ose ili pravougaoni koordinatni sistem, potrebna vam je samo baza, u ovom slučaju ortonormalna osnova ravni.

Čini se da su zapisi o koordinatama tačaka i koordinatama vektora slični: , i značenje koordinata apsolutno drugačije, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ova razlika se, naravno, odnosi i na prostor.

Dame i gospodo, napunimo ruke:

Primjer 2

a) Dani su bodovi i. Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Poeni i su dati. Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Pronađite vektore .

Možda je to dovoljno. Ovo su primjeri za nezavisna odluka, potrudite se da ih ne zanemarite, isplatiće vam se ;-). Nema potrebe za pravljenjem crteža. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Šta je važno pri rješavanju zadataka analitičke geometrije? Važno je da budete IZUZETNO PAŽLJIVI da ne napravite majstorsku grešku „dva plus dva je nula“. Izvinjavam se odmah ako sam negde pogresio =)

Kako pronaći dužinu segmenta?

Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.

Ako su date dvije točke ravnine i , tada se dužina segmenta može izračunati pomoću formule

Ako su date dvije točke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati pomoću formule

Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se zamijene odgovarajuće koordinate: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Radi jasnoće, napraviću crtež

Segment linije - ovo nije vektor, i, naravno, ne možete ga nigdje pomjeriti. Osim toga, ako crtate u mjerilu: 1 jedinica. = 1 cm (dve ćelije sveske), onda se dobijeni odgovor može proveriti običnim lenjirom direktnim merenjem dužine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali ima još par u njemu važne tačke da razjasnim:

Prvo, u odgovoru stavljamo dimenziju: „jedinice“. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga bi matematički ispravno rješenje bila opća formulacija: “jedinice” – skraćeno kao “jedinice”.

Drugo, ponovimo školsko gradivo koje je korisno ne samo za razmatrani zadatak:

obratite pažnju na važna tehnika – uklanjanje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, imamo rezultat i dobar matematički stil uključuje uklanjanje faktora ispod korijena (ako je moguće). Detaljnije proces izgleda ovako: . Naravno, ostaviti odgovor kakav jeste ne bi bila greška – ali bi to svakako bio nedostatak i težak argument za prepirku od strane nastavnika.

Evo i drugih uobičajenih slučajeva:

Često je dovoljno u korenu veliki broj, Na primjer . Šta učiniti u takvim slučajevima? Pomoću kalkulatora provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4: . Da, bilo je potpuno podijeljeno, dakle: . Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . ovako: . Posljednja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno neće raditi. Pokušajmo podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.

zaključak: ako ispod korijena dobijemo broj koji se ne može izdvojiti kao cjelina, onda pokušavamo ukloniti faktor ispod korijena - pomoću kalkulatora provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Prilikom rješavanja raznih problema često se susreću s korijenima; uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli nižu ocjenu i nepotrebne probleme sa finaliziranjem rješenja na osnovu komentara nastavnika.

Ponovimo i kvadratne korijene i druge potencije:

Pravila za radnje sa stepenom in opšti pogled može se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je iz navedenih primjera već sve ili skoro sve jasno.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Poeni i su dati. Pronađite dužinu segmenta.

Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.