نمونه هایی از کسرهای مشترک با مخرج های مختلف. ضرب کسرهای ساده و مختلط با مخرج های مختلف

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا به امروز ادامه دارد جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها دست یابد ... تجزیه و تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی این موضوع نقش داشتند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند..."[ویکی‌پدیا، "Zeno's Aporia". همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای استفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد که زمان کند می شود تا زمانی که آشیل به لاک پشت می رسد، به طور کامل متوقف می شود. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به واحدهای متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. گفته انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، بازاندیشی و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است، که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا یک ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا در یک نقطه از زمان نیاز دارید، اما از روی آنها نمی توانید واقعیت حرکت را تعیین کنید (البته، هنوز برای محاسبات به داده های اضافی نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند. ). چیزی که می خواهم توجه ویژه ای را به آن جلب کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. بیایید ببینیم.

همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه وجود ندارد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. موجودات معقول هرگز چنین منطق پوچ را درک نمی کنند. این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت «به من فکر کن، من در خانه هستم» یا بهتر است بگوییم «ریاضی مفاهیم انتزاعی را مطالعه می‌کند» پنهان می‌شوند، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیری با واقعیت مرتبط می‌کند. این بند ناف پول است. اجازه دهید نظریه مجموعه های ریاضی را برای خود ریاضیدانان به کار ببریم.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر انبوه یک اسکناس می گیریم و «مجموعه ریاضی دستمزد» را به ریاضیدان می دهیم. اجازه دهید به ریاضیدان توضیح دهیم که تنها زمانی اسکناس های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. اینجاست که سرگرمی شروع می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان دادن به ما خواهند کرد که اسکناس‌های یک فرقه دارای شماره اسکناس‌های متفاوتی هستند، به این معنی که نمی‌توان آنها را عناصر یکسانی در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: سکه های مختلف مقادیر مختلفی از خاک دارند، ساختار کریستالی و آرایش اتم ها برای هر سکه منحصر به فرد است...

و حالا من بیشترین را دارم سوال جالب: خطی که بعد از آن عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام صحیح است؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه «مفهوم به عنوان یک کل واحد» یا «مصالح به عنوان یک کل واحد».

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. پس از همه، اعداد هستند نمادهای گرافیکی، که با کمک آن اعداد را می نویسیم و به زبان ریاضی کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را که هر عددی را نشان می دهند پیدا کنید." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع ارقام یک عدد معین را پیدا کنیم. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک تصویر حاصل را به چندین تصویر که حاوی اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" از شمن ها هستند که ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به عنوان زیرنویس در سمت راست عدد نشان داده می شود. با تعداد زیادی 12345 نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید به عدد 26 از مقاله درباره . بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما به هر مرحله زیر میکروسکوپ نگاه نمی کنیم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی می گیرید.

صفر در همه سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته ، ما نمی توانیم اعداد را با آنها مقایسه کنیم واحدهای مختلفاندازه گیری ها اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه یک عملیات ریاضی به اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی این عمل را انجام می دهد بستگی ندارد.

اوه! اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این آزمایشگاهی است برای مطالعه قدوسیت بی‌فلیک ارواح در هنگام عروج آنها به بهشت! هاله در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله بالا و فلش پایین نر هستند.

اگر چنین اثر هنری طراحی چندین بار در روز از جلوی چشمان شما چشمک بزند،

پس جای تعجب نیست که ناگهان نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیبی از چندین تصویر: علامت منفی، شماره چهار، تعیین درجه). و من فکر نمی کنم این دختر احمقی باشد که فیزیک نمی داند. او فقط یک کلیشه قوی از درک تصاویر گرافیکی دارد. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. در اینجا یک مثال است.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در نماد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار یک عدد و یک حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.

درک عبارات کسری برای کودک دشوار است. اکثر مردم با آن مشکل دارند. هنگام مطالعه مبحث "جمع کسری با اعداد کامل"، کودک دچار بی‌حسی می‌شود و حل مسئله برای او دشوار است. در بسیاری از مثال ها قبل از انجام یک عمل باید یک سری محاسبات انجام شود. برای مثال، کسرها را تبدیل کنید یا کسر نامناسب را به کسر مناسب تبدیل کنید.

بیایید آن را به وضوح برای کودک توضیح دهیم. سه سیب که دو تای آنها کامل می شود را برداریم و سومی را به 4 قسمت تقسیم کنیم. یک برش از سیب بریده شده جدا کنید و سه عدد باقیمانده را در کنار دو میوه کامل قرار دهید. از یک طرف ¼ سیب و از طرف دیگر 2 ¾ سیب می گیریم. اگر آنها را با هم ترکیب کنیم، سه سیب به دست می آید. بیایید سعی کنیم 2 ¾ سیب را ¼ کاهش دهیم، یعنی یک برش دیگر برداریم، 2 2/4 سیب به دست می آوریم.

بیایید نگاهی دقیق تر به عملیات با کسری که شامل اعداد صحیح است بیندازیم:

ابتدا، بیایید قانون محاسبه عبارات کسری با مخرج مشترک را به خاطر بسپاریم:

در نگاه اول، همه چیز آسان و ساده است. اما این فقط در مورد عباراتی است که نیازی به تبدیل ندارند.

چگونه می توان مقدار یک عبارت را که مخرج آن متفاوت است، پیدا کرد

در برخی از کارها باید معنای عبارتی را پیدا کنید که مخرج آن متفاوت است. بیایید به یک مورد خاص نگاه کنیم:
3 2/7+6 1/3

بیایید ارزش را پیدا کنیم بیان داده شدهبرای انجام این کار، یک مخرج مشترک برای دو کسر پیدا کنید.

برای اعداد 7 و 3 این 21 است. قسمت های صحیح را به همان ترتیب رها می کنیم و قسمت های کسری را به 21 می رسانیم، برای این کسر اول را در 3 ضرب می کنیم، دومی را در 7 ضرب می کنیم، به دست می آید:
6/21+7/21، فراموش نکنید که قطعات کامل قابل تبدیل نیستند. در نتیجه دو کسر با مخرج یکسان بدست می آوریم و مجموع آنها را محاسبه می کنیم:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
اگر نتیجه جمع یک کسری نامناسب باشد که قبلاً یک قسمت صحیح دارد، چه می‌شود:
2 1/3+3 2/3
در در این موردکل اجزا و قطعات کسری را با هم جمع می کنیم، به دست می آید:
5 3/3 همانطور که می دانید 3/3 یک است، یعنی 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

یافتن مجموع کاملاً واضح است، بیایید به تفریق نگاه کنیم:

از تمام آنچه گفته شد، قانون عملیات با اعداد مختلط به شرح زیر است که به نظر می رسد:

• اگر نیاز به تفریق یک عدد صحیح از یک عبارت کسری دارید، نیازی نیست که عدد دوم را به صورت کسری نشان دهید، کافی است این عمل را فقط روی قسمت های عدد صحیح انجام دهید.

بیایید خودمان معنای عبارات را محاسبه کنیم:

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر حرف "m" بیندازیم:

4 5/11-2 8/11، صورت کسر اول کوچکتر از دوم است. برای انجام این کار، یک عدد صحیح از کسر اول قرض می گیریم،
3 5/11+11/11=3 کل 16/11، دومی را از کسر اول کم کنید:
3 16/11-2 8/11=1 کل 8/11

• هنگام تکمیل کار مراقب باشید، فراموش نکنید که کسرهای نامناسب را به کسرهای مخلوط تبدیل کنید و کل قسمت را برجسته کنید. برای انجام این کار، باید مقدار صورت را بر مقدار مخرج تقسیم کنید، آنچه به دست می آورید جای کل قسمت را می گیرد، باقیمانده صورتگر خواهد بود، به عنوان مثال:

19/4=4 ¾، بیایید بررسی کنیم: 4*4+3=19، مخرج 4 بدون تغییر باقی می ماند.

بیایید خلاصه کنیم:

قبل از شروع کار مربوط به کسرها، لازم است تجزیه و تحلیل کنیم که چه نوع بیانی است، چه تبدیلی باید روی کسری انجام شود تا راه حل صحیح باشد. به دنبال راه حل منطقی تر باشید. راه سخت را نرو تمام اقدامات را برنامه ریزی کنید، ابتدا آنها را به صورت پیش نویس حل کنید، سپس آنها را به دفترچه یادداشت مدرسه خود منتقل کنید.

برای جلوگیری از سردرگمی هنگام حل عبارات کسری، باید از قانون سازگاری پیروی کنید. همه چیز را با دقت و بدون عجله تصمیم بگیرید.

توجه کن!قبل از نوشتن پاسخ نهایی، ببینید آیا می توانید کسری را که دریافت کرده اید کوتاه کنید.

تفریق کسری با مخرج مشابه، مثال ها:

,

,

کم کردن کسر مناسب از یک

اگر لازم باشد کسری از واحدی که مناسب است کم شود، آن واحد به کسری نامناسب تبدیل می شود، مخرج آن برابر است با مخرج کسر تفریق شده.

مثالی از تفریق کسر مناسب از یک:

مخرج کسری که باید تفریق شود = 7 ، یعنی یک را به عنوان کسری نامناسب 7/7 نشان می دهیم و طبق قاعده تفریق کسری با مخرج مشابه از آن کم می کنیم.

کم کردن کسر مناسب از یک عدد کامل

قوانین تفریق کسرها -درست از یک عدد کامل (شماره طبیعی):

• کسرهای داده شده را که دارای یک عدد صحیح هستند به کسرهای نامناسب تبدیل می کنیم. ما شرایط عادی را دریافت می کنیم (مهم نیست که آنها با آنها باشند مخرج های مختلف) که ما طبق قوانین ذکر شده در بالا محاسبه می کنیم.
• بعد، ما تفاوت بین کسری که دریافت کرده ایم را محاسبه می کنیم. در نتیجه، تقریباً پاسخ را خواهیم یافت.
• ما تبدیل معکوس را انجام می دهیم، یعنی از کسر نامناسب خلاص می شویم - کل قسمت را در کسری انتخاب می کنیم.

کسر مناسب را از یک عدد کامل کم کنید: تصور کنید عدد طبیعیبه عنوان یک عدد مختلط آن ها یک عدد طبیعی را می گیریم و آن را به کسری نامناسب تبدیل می کنیم که مخرج آن با کسر تفریق شده یکی است.

مثالی از تفریق کسرها:

در مثال، یک را با کسر نامناسب 7/7 جایگزین کردیم و به جای 3، یک عدد مختلط را یادداشت کردیم و یک کسری را از قسمت کسری کم کردیم.

تفریق کسری با مخرج های مختلف.

یا به بیان دیگر، تفریق کسرهای مختلف.

قانون تفریق کسری با مخرج های مختلف.برای تفریق کسری با مخرج های مختلف، ابتدا باید این کسرها را به کمترین مخرج مشترک (LCD) تقلیل داد و تنها پس از آن، تفریق را مانند کسرهایی با مخرج مشابه انجام داد.

مخرج مشترک چند کسر است LCM (کمترین مضرب مشترک)اعداد طبیعی که مخرج این کسرها هستند.

توجه!اگر در کسر نهاییصورت و مخرج فاکتورهای مشترکی دارند، پس کسر باید کاهش یابد. کسر نامناسب به بهترین شکل به صورت کسر مختلط نمایش داده می شود. ترک نتیجه تفریق بدون کاهش کسر در صورت امکان یک راه حل ناقص برای مثال است!

روش تفریق کسری با مخرج های مختلف.

• LCM را برای همه مخرج ها پیدا کنید.
• عوامل اضافی را برای همه کسری ها قرار دهید.
• همه اعداد را در یک عامل اضافی ضرب کنید.
• ما محصولات حاصل را در صورتگر می نویسیم و مخرج مشترک را در زیر همه کسرها امضا می کنیم.
• اعداد کسرها را کم کنید و مخرج مشترک را زیر اختلاف امضا کنید.

به همین ترتیب، جمع و تفریق کسرها در صورت وجود حروف در عدد انجام می شود.

تفریق کسرها، مثال:

تفریق کسرهای مختلط

در تفریق کسرهای مختلط (اعداد)به طور جداگانه، قسمت صحیح از قسمت صحیح و قسمت کسری از قسمت کسری کم می شود.

اولین گزینه برای تفریق کسرهای مختلط.

اگر قطعات کسری یکسانمخرج و صورت بخش کسری مینیوند (آن را از آن کم می کنیم) ≥ صورت بخش کسری جزء فرعی (آن را کم می کنیم).

به عنوان مثال:

گزینه دوم برای تفریق کسرهای مختلط.

وقتی قطعات کسری متفاوت استمخرج ها برای شروع، اجزای کسری را به یک مخرج مشترک می آوریم و پس از آن کل جزء را از کل جزء و جزء کسری را از قسمت کسری کم می کنیم.

به عنوان مثال:

گزینه سوم برای تفریق کسرهای مختلط.

قسمت کسری مینوئند کمتر از قسمت کسری سابترهند است.

مثال:

چون قطعات کسری مخرج های مختلفی دارند، یعنی مانند گزینه دوم، ابتدا کسرهای معمولی را به مخرج مشترک می آوریم.

شمارنده قسمت کسری مینیوند کوچکتر از شمارنده قسمت کسری زیرترهند است.3 < 14. یعنی از کل جزء یک واحد می گیریم و این واحد را به کسری نامناسب با مخرج و صورت یکسان تقلیل می دهیم. = 18.

در صورت‌دهنده سمت راست مجموع اعداد را می‌نویسیم، سپس پرانتزها را در صورت‌گر سمت راست باز می‌کنیم، یعنی همه چیز را ضرب می‌کنیم و موارد مشابه را می‌دهیم. پرانتز را در مخرج باز نمی کنیم. مرسوم است که محصول را در مخرج ها بگذارید. دریافت می کنیم:

اعمال با کسر.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

بنابراین، کسرها، انواع کسرها، تبدیلات چیست - ما به یاد آوردیم. بریم سر موضوع اصلی.

با کسرها چه کاری می توانید انجام دهید؟بله، هر چیزی که با اعداد معمولی. جمع، تفریق، ضرب، تقسیم.

همه این اقدامات با اعشاریکار با کسرها با اعداد کامل تفاوتی ندارد. در واقع، این چیزی است که در مورد آنها خوب است، اعشاری. تنها نکته این است که باید کاما را به درستی قرار دهید.

اعداد مختلطهمانطور که قبلاً گفتم، برای اکثر اقدامات مفید نیستند. آنها هنوز باید به کسرهای معمولی تبدیل شوند.

اما اقدامات با کسرهای معمولیآنها حیله گر تر خواهند بود. و خیلی مهمتر! بگذارید یادآوری کنم: تمام اعمال با عبارات کسری با حروف، سینوس، مجهولات، و غیره و غیره هیچ تفاوتی با اعمال با کسرهای معمولی ندارند.! عملیات با کسرهای معمولی اساس همه جبر است. به همین دلیل است که ما در اینجا تمام این محاسبات را با جزئیات زیاد تحلیل خواهیم کرد.

جمع و تفریق کسرها.

همه می توانند کسرهایی را با مخرج یکسان جمع کنند (کسر کنند (من واقعا امیدوارم!). خوب، بگذارید به کسانی که کاملاً فراموشکار هستند یادآوری کنم: هنگام جمع (تفریق) مخرج تغییر نمی کند. شمارنده ها جمع می شوند (کاهش می شوند) تا به نتیجه برسد. نوع:

به طور خلاصه، در نمای کلی:

اگر مخرج ها متفاوت باشد چه؟ سپس با استفاده از ویژگی اصلی یک کسری (اینجا دوباره به کار می آید!)، مخرج ها را یکسان می کنیم! به عنوان مثال:

در اینجا باید از کسر 2/5 کسر را 4/10 کنیم. تنها به این منظور که مخرج ها یکسان شوند. اجازه دهید توجه داشته باشم، فقط در مورد، 2/5 و 4/10 هستند همان کسری! فقط 2/5 برای ما ناراحت کننده است و 4/10 واقعاً خوب است.

به هر حال، این جوهر حل هر مسئله ریاضی است. زمانی که ما از ناراحت کنندهما عبارات را انجام می دهیم همان چیزی است، اما برای حل راحت تر است.

مثال دیگر:

وضعیت مشابه است. در اینجا ما از 16 عدد 48 را بدست می آوریم. با ضرب ساده در 3. این همه واضح است. اما به چیزی شبیه این برخورد کردیم:

چگونه بودن؟! سخته از هفت تا نُه درست کنی! اما ما باهوشیم، قوانین را می دانیم! بیایید متحول شویم هرکسری به طوری که مخرج ها یکسان باشند. به این «کاهش به مخرج مشترک» می گویند:

عجب! من از کجا با 63 آشنا شدم؟ خیلی ساده! 63 عددی است که همزمان بر 7 و 9 بخش پذیر است. چنین عددی را همیشه می توان با ضرب مخرج بدست آورد. اگر مثلاً عددی را در 7 ضرب کنیم، قطعاً حاصل بر 7 بخش پذیر خواهد بود!

در صورت نیاز به جمع (تفریق) چند کسر، نیازی به انجام آن به صورت جفت، مرحله به مرحله نیست. فقط باید مخرج مشترک همه کسرها را پیدا کنید و هر کسر را به همان مخرج کاهش دهید. به عنوان مثال:

و وجه اشتراک چه خواهد بود؟ البته می توانید 2، 4، 8 و 16 را ضرب کنید. تخمین زدن اینکه عدد 16 کاملا بر 2، 4 و 8 بخش پذیر است آسان تر است. بنابراین، از این اعداد به راحتی می توان 16 را بدست آورد. این عدد مخرج مشترک خواهد بود. بیایید 1/2 را به 8/16، 3/4 را به 12/16 و غیره تبدیل کنیم.

به هر حال، اگر 1024 را به عنوان مخرج مشترک بگیرید، همه چیز درست می شود، در نهایت همه چیز کاهش می یابد. اما همه به این هدف نمی رسند، زیرا محاسبات ...

خودتان مثال را کامل کنید. نه نوعی لگاریتم... باید 29/16 باشد.

بنابراین، جمع (تفریق) کسرها مشخص است، امیدوارم؟ البته، کار در یک نسخه کوتاه شده، با چند برابر اضافی آسان تر است. اما این لذت در اختیار کسانی است که صادقانه در آن کار کرده اند کلاس های خردسال... و من چیزی را فراموش نکردم.

و اکنون همان اعمال را انجام خواهیم داد، اما نه با کسری، بلکه با عبارات کسری. راک جدید در اینجا آشکار خواهد شد، بله...

بنابراین، باید دو عبارت کسری اضافه کنیم:

ما باید مخرج ها را یکسان کنیم. و فقط با کمک ضرب! این همان چیزی است که خاصیت اصلی یک کسری حکم می کند. بنابراین، من نمی توانم یک به X در کسر اول در مخرج اضافه کنم. (خوب خواهد بود!). اما اگر مخرج ها را ضرب کنید، می بینید که همه چیز با هم رشد می کند! بنابراین خط کسری را یادداشت می کنیم، یک فضای خالی در بالا می گذاریم، سپس آن را اضافه می کنیم و حاصلضرب مخرج ها را در زیر می نویسیم تا فراموش نکنیم:

و البته، ما چیزی را در سمت راست ضرب نمی کنیم، پرانتز را باز نمی کنیم! و اکنون، با نگاه به مخرج مشترک سمت راست، متوجه می شویم: برای بدست آوردن مخرج x(x+1) در کسر اول، باید صورت و مخرج این کسر را در (x+1) ضرب کنید. . و در کسر دوم - به x. این چیزی است که شما دریافت می کنید:

توجه کن! اینجا پرانتز است! این همان چنگک است که بسیاری از افراد روی آن پا می گذارند. البته نه پرانتز، بلکه نبود آنها. پرانتز ظاهر می شود زیرا ما در حال ضرب هستیم همهشمارنده و همهمخرج! و نه تک تک آنها...

در صورت‌حساب سمت راست مجموع اعداد را می‌نویسیم، همه چیز مانند است کسرهای عددی، سپس پرانتزها را در صورت حساب سمت راست باز کنید، i.e. همه چیز را ضرب می کنیم و موارد مشابه را می دهیم. نیازی به باز کردن پرانتز در مخرج یا ضرب کردن چیزی نیست! به طور کلی، در مخرج (هر) محصول همیشه خوشایندتر است! دریافت می کنیم:

پس جواب گرفتیم. این روند طولانی و دشوار به نظر می رسد، اما به تمرین بستگی دارد. وقتی مثال ها را حل کنید، به آن عادت کنید، همه چیز ساده می شود. کسانی که به موقع بر کسرها مسلط شده اند، تمام این عملیات را با یک دست چپ، به طور خودکار انجام می دهند!

و یک نکته دیگر خیلی ها هوشمندانه با کسرها برخورد می کنند، اما در مثال هایی با آن گیر می کنند کلاعداد دوست دارم: 2 + 1/2 + 3/4 = ? دو تکه را کجا ببندیم؟ لازم نیست آن را در جایی ببندید، باید از دو کسری درست کنید. این آسان نیست، اما بسیار ساده است! 2=2/1. مثل این. هر عدد کامل را می توان به صورت کسری نوشت. صورت خود عدد است، مخرج یک است. 7 برابر 7/1، 3 برابر 3/1 و غیره است. در مورد حروف هم همینطور است. (a+b) = (a+b)/1، x=x/1 و غیره. و سپس طبق تمام قوانین با این کسرها کار می کنیم.

خوب دانش جمع و تفریق کسرها تازه شد. تبدیل کسرها از یک نوع به نوع دیگر تکرار شد. شما همچنین می توانید بررسی شوید. کمی حلش کنیم؟)

محاسبه کنید:

پاسخ ها (به هم ریخته):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

ضرب / تقسیم کسر - در درس بعدی. همچنین وظایفی برای همه عملیات با کسری وجود دارد.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

اعداد کسری معمولی ابتدا با دانش آموزان کلاس پنجم ملاقات می کنند و در طول زندگی آنها را همراهی می کنند، زیرا در زندگی روزمره اغلب لازم است یک شی را نه به عنوان یک کل، بلکه در قطعات جداگانه در نظر بگیریم یا از آن استفاده کنیم. مطالعه این موضوع را شروع کنید - به اشتراک بگذارید. سهام قسمت های مساوی هستند، که این یا آن شی به آن تقسیم می شود. به هر حال، همیشه نمی توان برای مثال، طول یا قیمت یک محصول را به عنوان یک عدد کامل در نظر گرفت. خود کلمه "کسری" که از فعل "تقسیم کردن" - تقسیم به قطعات و ریشه عربی تشکیل شده است در قرن هشتم در زبان روسی بوجود آمد.

عبارات کسری برای مدت طولانیسخت ترین شاخه ریاضیات محسوب می شود. در قرن هفدهم، زمانی که اولین کتاب‌های درسی ریاضیات پدیدار شد، آنها را «اعداد شکسته» می‌نامیدند که درک آن برای مردم بسیار دشوار بود.

ظاهر مدرنباقیمانده های کسری ساده، که قسمت های آن با یک خط افقی از هم جدا شده اند، برای اولین بار توسط فیبوناچی - لئوناردو از پیزا ترویج شد. تاریخ آثار او به سال 1202 می رسد. اما هدف این مقاله این است که به سادگی و به وضوح برای خواننده توضیح دهد که چگونه کسرهای مختلط با مخرج های مختلف ضرب می شوند.

ضرب کسری با مخرج های مختلف

در ابتدا ارزش تعیین کردن را دارد انواع کسری:

• صحیح؛
• نادرست؛
• مختلط

در مرحله بعد، باید به یاد داشته باشید که چگونه اعداد کسری با مخرج یکسان ضرب می شوند. قاعده این فرآیند به راحتی قابل تنظیم است: نتیجه ضرب کسرهای سادهبا مخرج های یکسان یک عبارت کسری است که صورت آن حاصل ضرب مصدرها و مخرج حاصلضرب مخرج این کسرها است. یعنی در واقع مخرج جدید مربع یکی از مخرج های اولیه است.

هنگام ضرب کسرهای ساده با مخرج های مختلفبرای دو یا چند عامل این قانون تغییر نمی کند:

الف/ب * ج/د = a*c / ب*د.

تنها تفاوت این است که عدد حاصل در زیر خط کسری حاصل ضرب اعداد مختلف و طبیعتاً مربع یک خواهد بود. بیان عددیناممکن نیست

شایان ذکر است که ضرب کسری با مخرج های مختلف را با استفاده از مثال ها در نظر بگیرید:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

مثال‌ها از روش‌هایی برای کاهش عبارات کسری استفاده می‌کنند. شما فقط می توانید اعداد کسر را با اعداد مخرج کاهش دهید.

در کنار کسرهای ساده، مفهوم کسرهای مختلط نیز وجود دارد. یک عدد مختلط از یک عدد صحیح و یک جزء کسری تشکیل شده است، یعنی مجموع این اعداد است:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

ضرب چگونه کار می کند؟

چندین مثال برای بررسی ارائه شده است.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

مثال از ضرب یک عدد در استفاده می کند بخش کسری معمولی، قانون این عمل را می توان به صورت زیر نوشت:

الف* ب/ج = a*b /ج

در واقع چنین حاصل ضربی مجموع باقی مانده های کسری یکسان است و تعداد عبارت ها نشان دهنده این عدد طبیعی است. مورد خاص:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

راه حل دیگری برای ضرب یک عدد در باقیمانده کسری وجود دارد. فقط باید مخرج را بر این عدد تقسیم کنید:

د* e/f = e/f: د.

این تکنیک برای استفاده زمانی مفید است که مخرج بر یک عدد طبیعی بدون باقیمانده یا به قول آنها بر یک عدد کامل تقسیم شود.

اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و حاصل ضرب را به روشی که قبلا توضیح داده شد به دست آورید:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

این مثال شامل راهی برای نمایش یک کسر مختلط به عنوان یک کسر نامناسب است، و همچنین می تواند به عنوان یک فرمول کلی نشان داده شود:

الف بج = a*b+ج / ج، که در آن مخرج کسر جدید با ضرب کل جزء با مخرج و جمع آن با صورت باقی مانده کسری اصلی تشکیل می شود و مخرج ثابت می ماند.

این فرآیند نیز در جهت مخالف عمل می کند. برای جدا کردن کل قسمت و باقیمانده کسری، باید صورت کسر نامناسب را با استفاده از یک "گوشه" بر مخرج آن تقسیم کنید.

ضرب کسرهای نامناسب به روشی پذیرفته شده تولید می شود. هنگام نوشتن زیر یک خط کسری، باید کسرها را در صورت لزوم کاهش دهید تا با استفاده از این روش، اعداد را کاهش دهید و محاسبه نتیجه را آسان‌تر کنید.

راهنماهای زیادی در اینترنت برای حل مسائل پیچیده ریاضی در انواع مختلف برنامه ها وجود دارد. تعداد کافی از این خدمات کمک خود را در محاسبه ضرب کسری با اعداد مختلف در مخرج ارائه می دهند - به اصطلاح ماشین حساب آنلاین برای محاسبه کسر. آنها نه تنها می توانند ضرب کنند، بلکه می توانند سایر عملیات های ساده حسابی را با کسرهای معمولی و اعداد مختلط انجام دهند. کار با آن دشوار نیست، فیلدهای مناسب را در صفحه وب سایت پر می کنید، علامت عملیات ریاضی را انتخاب می کنید و روی «محاسبه» کلیک می کنید. برنامه به طور خودکار محاسبه می کند.

مبحث عملیات حسابی با کسرها در سراسر تحصیل دانش آموزان راهنمایی و دبیرستان مرتبط است. در دبیرستان دیگر ساده ترین گونه ها را در نظر نمی گیرند، اما کل عبارات کسری ، اما دانش قوانین تبدیل و محاسبات که قبلاً به دست آمده است به شکل اصلی خود اعمال می شود. تسلط بر دانش پایه اعتماد کامل به آن می دهد تصمیم موفقبیشتر وظایف پیچیده.

در پایان، منطقی است که سخنان لو نیکولایویچ تولستوی را نقل کنیم که نوشت: "انسان یک کسری است. در اختيار انسان نيست كه بر صورت خود - محاسن - بيفزايد، بلكه هر كس مي تواند مخرج خود را - نظرش را در مورد خودش كم كند و با اين كاهش به كمال او نزديك شود.