Переломным открытием математики ХХ века были теоремы о неполноте Курта Геделя. А в его рукописях, опубликованных после смерти, сохранилось логическое доказательство существования Бога. На последних Рождественских чтениях интересный доклад об этом малоизвестном наследии сделал доцент Тобольской духовной семинарии, кандидат богословия иерей Димитрий КИРЬЯНОВ. «НС» попросил объяснить главные идеи ученого.
Теоремы о неполноте Геделя: Дырка в математике
— Можно как-то популярно объяснить теоремы о неполноте Геделя? Брадобрей бреет только тех, кто не бреется сам. Бреет ли себя брадобрей? Этот знаменитый парадокс имеет к ним отношение?
Главный тезис логического доказательства существования Бога, выдвинутый Куртом Геделем: "Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать". На фото: автор теоремы о неполноте Курт Гедель со своим другом, автором теории относительности Альбертом Эйнштейном. Пристон. Америка. 1950
— Да, конечно, имеет. До Геделя существовала проблема аксиоматизации математики и проблема таких парадоксальных предложений, которые формально можно записать на любом языке. Например: «Это утверждение ложно». Какова истинность этого утверждения? Если оно истинно, значит, оно ложно, если оно ложно, значит, истинно; получается языковой парадокс. Гедель исследовал арифметику и показал в своих теоремах, что ее непротиворечивость не может быть доказана, исходя из ее самоочевидных принципов: аксиом сложения, вычитания, деления, умножения и проч. Нам требуются для ее обоснования некоторые дополнительные допущения. Это на самой простейшей теории, а что говорить о более сложных (уравнениях физики и т. п.)! Всегда для обоснования какой-то системы умозаключений мы вынуждены прибегать к некоему дополнительному умозаключению, которое в рамках системы не обосновывается.
Прежде всего это указывает на ограниченность претензий человеческого разума в познании реальности. То есть мы не можем говорить о том, что мы построим какую-то всеобъемлющую теорию мироздания, которая все объяснит, — такая теория не может быть научной.
— Как математики сейчас относится к теоремам Геделя? Никто не пытается их опровергнуть, как-то обойти?
— Это все равно что пытаться опровергнуть теорему Пифагора. Теоремы имеют строгое логическое доказательство. В то же время предпринимаются попытки найти ограничения применимости теорем Геделя. Но главным образом споры идут вокруг философских следствий теорем Геделя.
— Насколько проработано геделево доказательство существования Бога? Оно закончено?
— Оно проработано детально, хотя сам ученый до самой своей смерти так и не решился его опубликовать. Гедель развивает онтологический (метафизический. — «НС» ) аргумент, впервые предложенный Ансельмом Кентерберийским. В сжатой форме этот аргумент можно представить следующим образом: «Бог, по определению, является Тем, больше Кого нельзя ничего помыслить. Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать». Аргументацию Ансельма позднее развивали Рене Декарт и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Так, по мнению Декарта, мыслить Высшее Совершенное Бытие, которому недостает существования, означает впадать в логическое противоречие. В контексте этих идей Гедель разрабатывает свою версию доказательства, она умещается буквально на двух страничках. К сожалению, изложение его аргументации невозможно без введения в основы очень сложной модальной логики.
Разумеется, логическая безупречность выводов Геделя не принуждает человека становиться верующим под давлением силы доказательств. Не следует быть наивными и полагать, что мы можем убедить любого разумно мыслящего человека уверовать в Бога с помощью онтологического аргумента или других доказательств. Вера рождается тогда, когда человек становится лицом к лицу перед очевидным присутствием высшей трансцендентной Реальности Бога. Но можно назвать по крайней мере одного человека, которого онтологическое доказательство привело к религиозной вере, — это писатель Клайв Стейплз Льюис, он сам признавался в этом.
Отдаленное будущее — это отдаленное прошлое
— Как относились к Геделю современники? Он дружил с кем-то из больших ученых?
— Ассистент Эйнштейна в Принстоне свидетельствует, что единственным человеком, с которым тот дружил в последние годы жизни, был Курт Гедель. Они были различны почти во всем — Эйнштейн общительный, веселый, а Гедель предельно серьезный, совершенно одинокий и недоверчивый. Но они имели общее качество: оба шли прямо и искренне к центральным вопросам науки и философии. Несмотря на дружбу с Эйнштейном, Гедель имел свой специфический взгляд на религию. Он отвергал представление о Боге как безличном существе, каким был Бог для Эйнштейна. По этому поводу Гедель заметил: «Религия Эйнштейна является слишком абстрактной, как у Спинозы и в индийской философии. Бог Спинозы меньше, чем личность; мой Бог больше чем личность; поскольку Бог может играть роль личности». Могут существовать духи, которые не имеют тела, но могут общаться с нами и оказывать влияние на мир».
— Как Гедель оказался в Америке? Бежал от нацистов?
— Да, он приехал в Америку в 1940 году из Германии, несмотря на то что фашисты признали его арийцем и великим ученым, освободив от военной службы. Он с женой Аделе пробирался через Россию по Транссибирской магистрали. Воспоминаний об этом путешествии он не оставил. Аделе вспоминает только о постоянном страхе по ночам, что остановят и вернут обратно. После восьми лет проживания в Америке Гедель стал гражданином США. Как и все подающие на гражданство, он должен был ответить на вопросы, касающиеся американской Конституции. Будучи скрупулезным человеком, он готовился к этому экзамену очень тщательно. Наконец сообщил, что нашел непоследовательность в Конституции: «Я открыл логически законную возможность, при которой США может стать диктатурой». Его друзья признали, что, независимо от логических достоинств аргумента Геделя, эта возможность была чисто гипотетической по своему характеру, и предостерегли от пространных разговоров на эту тему на экзамене.
— Не использовали ли Гедель и Эйнштейн идей друг друга в научной работе?
— В 1949 году Гедель выразил свои космологические идеи в математическом эссе, которое, по мнению Альберта Эйнштейна, являлось важным вкладом в общую теорию относительности. Гедель считал, что время — «эта таинственная и одновременно самопротиворечивая сущность, которая формирует основу мира и нашего собственного существования», — в конце концов станет величайшей иллюзией. Оно «когда-то» перестанет существовать, и наступит иная форма бытия, которую можно назвать вечностью. Такое представление о времени привело великого логика к неожиданному выводу. Он писал: «Я убежден в посмертном существовании, независимо от теологии. Если мир является разумно сконструированным, тогда должно быть посмертное существование».
— «Время – самопротиворечивая сущность». Странно звучит; это имеет какой-то физический смысл?
— Гедель показал, что в рамках уравнения Эйнштейна можно построить космологическую модель с замкнутым временем, где удаленное прошлое и удаленное будущее совпадают. В этой модели становится теоретически возможным путешествие во времени. Это звучит странно, но это математически выразимо — вот в чем дело. Эта модель может иметь экспериментальные следствия, а может и не иметь. Она является теоретической конструкцией, которая может оказаться полезной при построении новых космологических моделей — а может оказаться излишней. Современная теоретическая физика, в частности квантовая космология, обладает столь сложной математической структурой, что этим структурам очень сложно дать однозначное философское осмысление. Более того, некоторые ее теоретические конструкции пока являются экспериментально непроверяемыми по той простой причине, что для своей проверки требуют обнаружения очень высокоэнергетичных частиц. Помните, как народ переполошился по поводу запуска Большого андронного коллайдера: средства массовой информации постоянно пугали людей приближением конца света. На самом деле, ставился серьезный научный эксперимент по проверке моделей квантовой космологии и так называемых «теорий великого объединения». Если бы удалось обнаружить так называемые частицы Хиггса, то это стало бы очередным шагом в нашем понимании самых ранних стадий существования нашей Вселенной. Но пока нет экспериментальных данных, конкурирующие модели квантовой космологии продолжают оставаться просто математическими моделями.
Вера и интуиция
— «…Мой Бог больше чем личность; поскольку Бог может играть роль личности…» Все-таки вера Геделя далека от православного исповедания?
— Сохранилось очень мало высказываний Геделя о его вере, они по крупицам собраны. Несмотря на то что первые наброски собственной версии аргумента Гедель сделал еще в 1941 году, до 1970-го, боясь насмешек своих коллег, он не говорил об этом. В феврале 1970-го, почувствовав приближение смерти, он разрешил своей помощнице скопировать версию своего доказательства. После смерти Геделя в 1978 году в его бумагах была обнаружена несколько иная версия онтологического аргумента. Жена Курта Геделя, Аделе, через два дня после смерти мужа сказала, что Гедель, «хотя и не посещал церковь, был религиозен и читал Библию в кровати каждое воскресное утро».
Когда мы говорим о таких ученых, как Гедель, Энштейн или, скажем, Галилей или Ньютон, важно подчеркнуть то, что они не были атеистами. Они видели, что за Вселенной стоит Разум, некая Высшая Сила. Для многих ученых убежденность в существовании Высшего Разума являлась одним из следствий их научной рефлексии, и не всегда эта рефлексия приводила к возникновению глубокой религиозной связи человека с Богом. В отношении Геделя можно сказать, что он ощущал необходимость этой связи, поскольку подчеркивал, что является теистом, мыслит Бога как личность. Но, разумеется, его веру нельзя назвать ортодоксальной. Он был, так сказать, «домашним лютеранином».
— Вы можете дать исторические примеры: каким путем разные ученые приходят к вере в Бога? Вот генетика Фрэнсиса Коллинза, по его признаниям, к вере в Бога привело исследование структуры ДНК…
— Само по себе естественное богопознание недостаточно для познания Бога. Мало, изучая природу, открыть Бога — важно научиться Его познавать посредством того Откровения, которое Бог дал человеку. Приход человека к вере — независимо от того, ученый он или не ученый, — всегда опирается на что-то, что выходит за рамки просто логических или научных аргументов. Фрэнсис Коллинз пишет, что пришел к вере в 27 лет после продолжительного интеллектуального спора с самим собой и под влиянием Клайва Стейплза Льюиса. Два человека находятся в одной и той же исторической ситуации, в одних исходных условиях: один становится верующим, другой — атеистом. Одного изучение ДНК приводит к убеждению в существовании Бога. Другой изучает — и не приходит к этому. Два человека смотрят на картину: одному она кажется красивой, а другой говорит: «Так себе, обычная картинка!» У одного есть вкус, интуиция, а у другого — нет. Профессор Православного Свято-Тихоновского гуманитарного университета Владимир Николаевич Катасонов, доктор философских наук, математик по первому образованию, говорит: «Никакое доказательство в математике невозможно без интуиции: математик сначала видит картинку, а потом уже формулирует доказательство».
Вопрос о приходе человека к вере — это всегда вопрос, который выходит за рамки просто логического рассуждения. Как объяснить, что тебя привело к вере? Человек отвечает: я ходил в храм, размышлял, читал то-то, увидел гармонию мироздания; но самый главный, самый исключительный момент, в который человек вдруг познает, что он столкнулся с присутствием Бога, не может быть выражен. Это всегда тайна.
— Можно обозначить проблемы, которые не в силах разрешить современная наука?
— Все-таки наука — достаточно уверенное, самостоятельное и хорошо идущее предприятие, чтобы так резко высказываться. Она является хорошим и весьма полезным инструментом в руках человека. Со времени Фрэнсиса Бэкона знание действительно стало силой, изменившей мир. Наука развивается в соответствии со своими внутренними закономерностями: ученый стремится постичь законы мироздания, и можно не сомневаться в том, что этот поиск приведет к успеху. Но в то же время необходимо осознавать и границы науки. Не следует смешивать науку и те мировоззренческие вопросы, которые могут быть поставлены в связи с наукой. Ключевые проблемы сегодня связаны не столько с научным методом, сколько с ценностными ориентациями. Наука в течение долгого ХХ века воспринималась людьми как абсолютное благо, которое способствует прогрессу человечества; а мы видим, что ХХ век стал самым жестоким по человеческим жертвам. И тут возникает вопрос о ценностях научного прогресса, вообще познания. Этические ценности не следуют из самой науки. Гениальный ученый может изобрести оружие для уничтожения всего человечества, и здесь возникает вопрос о нравственной ответственности ученого, на который наука не может ответить. Наука не может указать человеку смысл и предназначение его существования. Наука никогда не сможет ответить на вопрос, почему мы здесь? Почему существует Вселенная? Эти вопросы решаются на другом уровне познания, таком, как философия и религия.
— Кроме теорем Геделя, есть ли еще доказательства того, что научный метод имеет свои пределы? Сами ученые это признают?
— Уже в начале XX века философы Бергсон и Гуссерль указали на относительное значение научного знания природы. Сейчас уже стало почти всеобщим убеждением среди философов науки, что научные теории представляют гипотетические модели объяснения явлений. Один из создателей квантовой механики — Эрвин Шредингер говорил о том, что элементарные частицы являются только образами, но мы вполне можем обойтись и без них. По мысли философа и логика Карла Поппера, научные теории подобны сети, посредством которой мы пытаемся поймать мир, они не похожи на фотографии. Научные теории находятся в постоянном развитии и изменении. О границах научного метода говорили создатели квантовой механики, такие как Паули, Бор, Гейзенберг. Паули писал: «…Физика и психика могут рассматриваться как дополнительные аспекты одной и той же реальности» — и акцентировал внимание на несводимости высших уровней бытия к низшим. Различные объяснения охватывают каждый раз лишь один аспект материи, но всеохватная теория никогда не будет достигнута.
Красота и гармония мироздания предполагает возможность его познания научными методами. Вместе с тем христиане всегда понимали и непостижимость тайны, стоящей за этой материальной вселенной. Вселенная не имеет основания в самой себе и указывает на совершенный источник бытия — Бога.
Признаюсь, что саму идею рассмотрения вопроса о существовании бога
с этой стороны я вычитал у Анатолия Александровича Вассермана:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87_%D0%92%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD#.D0.A0.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D0.B3.D0.B8.D0.BE.D0.B7.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B7.D0.B3.D0.BB.D1.8F.D0.B4.D1.8B
Но мне бы хотелось развить эту идею и описать ее немного
подробнее.
В религии (как и не в религии) присутствует некоторая аксиоматика
построения. По крайней мере в идеальном случае, если это не просто
слепое верование, а сознательный и обоснованный выбор. Например,
аксиомой физики можно считать "природа познаваема с помощью разума
и логических умозаключений, все законы физики одинаковы во всех
точках пространства и в любое время". Например, аксиомой религии
можно считать высказывание "бог существует и является первопричиной
всего сущего". Иначе говоря, нет сомнения, что все многочисленые
частности и ответвления можно свести к нескольким важнейшим никак
не доказуемым утверждениям, которые и являются теми самыми
аксиомами.
Рассмотрим с этих позиций религиозные верования. Важнейшая
аксиома религии: "бог существует и является первопричиной всего
сущего".
Теперь вспомним одну из важнейших математических теорем, теорему
Гёделя.
http://elementy.ru/trefil/21142
Слабая теорема Гёделя: "Любая формальная система аксиом содержит
неразрешенные предположения" или "если система аксиом полна, то она
противоречива."
Сильная теорема Гёделя: "Логическая полнота (или неполнота) любой
системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее
доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы
(усиление системы)."
Вспомним некоторые определения. Система аксиом полна, если любое утверждение сформулированное для данной системы аксиом доказуемо (то есть является либо истиным, либо ложным). Неразрешенное предположение - такое утверждение, относительно которого не может быть доказана ни его истиность, ни ложность, то есть утверждение логически не доказуемо. Система аксиом противоречива, если относительно одного и того же утверждения можно доказать как его истиность, так и его ложность.
Из теоремы Гёделя следует, что если понятие бога входит в
аксиоматическую систему, то эта система не полна, то есть
существуют следствия (явления), которые не доказуемы, то есть они
могут существовать, а могут не существовать, это не доказуемо.
Но это противоречит следующим двум положениям (выбирайте любое
наиболее убедительное): природа не содержит явлений, которые можно
считать и существующими и не существующими, любое явление природы
либо существует, либо не существует. Второе же положение говорит,
что по определению бог является первопричиной всего, следовательно
бог либо приводит к существованию некоторых вещей (утверждений),
либо к их несуществованию, ссылаясь на бога можно либо доказать,
либо опровергнуть любое утверждение. Это противоречит неполноте
системы.
Или иначе. Если включить понятие бога в аксиоматическую систему и предположить ее полной (любое утверждение в полной сестеме аксиом доказуемо), то по теореме Гёделя такая система аксиом будет противоречивой, то есть будут существовать явления про которые можно доказать, что они и существуют, и не существуют.
Включать бога в противоречивую систему аксиом нет смысла, так как она противоречива, то есть в ней есть явления, про которые можно доказать, что они и существуют, и не существуют, что, как говорилось, противоречит природе и понятию бога.
Наконец, если понятие бога не входит в аксиоматическую систему, то оно не может считаться фундаментальной основой мироздания, из которой следует все существующее, что по сути противоречит определению бога.
Для справедливости данного доказательства необходимо признание справедливости законов математической логики (логика высказываний + исчисление предикатов), позволяющих устанавливать законы следствия, истиность, ложность, противоречивость, непротиворечивость утверждений и другие свойства и отношения между утверждениями.
Если же считать, что математическая логика не применима к исследованию вопроса существования бога, то следствием будет не возможность исследования этого вопроса с помощью рассуждений, с помощью разума. Иначе говоря, последовательный разум всегда приходит к отрицательному ответу на вопрос существования бога.
Что же получается в итоге... любой хоть сколько-нибудь рациональный человек, конечно, признает справедливость законов логики, а значит неизменно приходит к выводу, что бог в определении "причина всего сущего" не существует. Человек не рациональный, который утверждает, что бога можно познать только с помощью чувств (а не разума), конечно, может так утверждать, однако нету никакого способа убедить в этом другого, чувства не возможно передать. Более того понятие бога является понятием сформулированным разумом. Каким образом предлагается транслировать понятие разума в ощущение, да еще так, чтобы это можно было передать другому человеку - не ясно. Опять же хоть сколько-нибудь рациональный человек скажет, что это не возможно: абстрактное понятие разума перевести в чувство и ощутить его.
Наконец, есть еще один вариант: "бог - не первопричина всего". Тогда подобных противоречий не возникает, однако это является значительнейшим ослаблением позиций религии, так как именно то, что бог создал все, что бог - начало всех начал, является фундаментом для многочисленных утверждений религии и обоснований в спорах.
P.S. Стоит отметить еще одну любопытнейшую вещь, любопытную уже для
физиков. В данном определении бога ничего не говорится о его
разумности. То есть можно было бы добавить "бог - разумная причина
всего сущего", однако это сужение определения, которое
изначально и не требуется для доказательства. Без разумности
понятие "бога" можно легко заменить на "сингулярность и
большой взрыв - причина всего сущего". И ответ будет тот же самый:
сингулярность и большой взрыв - не первопричина всего сущего.
Проведя еще большее абстрагирование можно сказать, что ни одно
явление или причина не могут являться первопричиной всего сущего,
то есть первопричины не существует в принципе. Рассуждая в рамках
любой аксиоматики можно прийти к выводу, что первопричины
всего не существует. Говоря совсем просто, до каких бы основ
мы ни познали вселенную, всегда останутся вопросы в духе:
"откуда появился большой взрыв, откуда появилась
сингулярность, откуда появилась пульсирующая
вселенная, откуда появилась мультивселенная, почему вселенная
существует всегда?" и т.п. Первопричину всего не возможно найти в
принципе, она не содержится ни в одном объекте, явлении или
понятии. Следовательно для человека это эквивалентно ее отсутствию.
Теоретически можно предположить существование стороннего
наблюдателя за пределами нашей вселенной, который даст ответ
на вопрос, откуда все взялось (та самая дополнительная
аксиома, расширение в теореме Гёделя), однако тогда возникнет
вопрос, откуда взялся сторонний наблюдатель, его вселенная и
первопричина всего этого.
Давно интересовался, что собой представляет нашумевшая теорема Гёделя. И чем она полезна для жизни. И наконец смог разобраться.
Самая популярная формулировка теоремы звучит так:
"Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна
."
На человеческий нематематический язык я перевёл бы это так (аксиома - исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое в основе доказательства других ее положений). В жизни аксиома - это принципы, которым следуют человек, общество, научное направление, государства. У представителей религии аксиомы называются догмами. Следовательно, любые наши принципы, любая система взглядов, начиная с некоторого уровня, становится внутренне противоречива, или неполна. Для того, чтобы убедиться в истинности некоего утверждения, придётся выйти за рамки данной системы взглядов и построить новую. Но она также будет несовершенной. Т.е., ПРОЦЕСС ПОЗНАНИЯ БЕСКОНЕЧЕН. Мир нельзя познать до конца, пока мы не достигнем первоисточника.
"...если считать умение логически рассуждать основной характеристикой человеческого разума или, по крайней мере, главным его инструментом, то теорема Гёделя прямо указывает на ограниченность возможностей нашего мозга. Согласитесь, что человеку, воспитанному на вере в бесконечное могущество мысли, очень трудно принять тезис о пределах ее власти... Многие специалисты полагают, что формально-вычислительные, «аристотелевские» процессы, лежащие в основе логического мышления, составляют лишь часть человеческого сознания. Другая же его область, принципиально «невычислительная», отвечает за такие проявления, как интуиция, творческие озарения и понимание. И если первая половина разума подпадает под гёделевские ограничения, то вторая от подобных рамок свободна... Физик Роджер Пенроуз — пошел еще дальше. Он предположил существование некоторых квантовых эффектов невычислительного характера, обеспечивающих реализацию творческих актов сознания... Одним их многочисленных следствий гипотезы Пенроуза может стать, в частности, вывод о принципиальной невозможности создания искусственного интеллекта на основе современных вычислительных устройств, даже в том случае, если появление квантовых компьютеров приведет к грандиозному прорыву в области вычислительной техники. Дело в том, что любой компьютер может лишь всё более детально моделировать работу формально-логической, «вычислительной» деятельности человеческого сознания, но «невычислительные» способности интеллекта ему недоступны."
Одним из важных следствий теоремы Гёделя является вывод, что нельзя мыслить крайностями. Всегда в рамках существующей теории найдётся утверждение, которое нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть. Или, другими словами, всегда к некоторому утверждению найдётся парное, опровергающее его.
Следующий вывод. Добро и зло - это всего лишь 2 стороны одной медали, без которых она не может существовать. А исходит оно из принципа, что во Вселенной есть только один источник всего: добра и зла, любви и ненависти, жизни и смерти.
Любое объявление законченности системы - ложно. Нельзя опираться на догмы, потому что рано или поздно они будут опровергнуты.
В этом смысле, современные религии находятся в критическом положении: догматы церкви противятся развитию наших представлений о мире. Пытаются всё втиснуть в рамки жёстких концепций. Но это приводит к тому, что от Единобожия, от единого источника всех природных процессов они переходят к язычеству, где есть силы добра и силы зла, есть бог добра где-то далеко в небесах, а есть дьявол (бог зла), который давно уже наложил лапу на всё, что есть на Земле. Такой подход приводит к делению всех людей на своих и чужих, на праведников и грешников, на верующих и еретиков, на друзей и врагов.
Вот ещё один небольшой текст , популярно раскрывающий суть, вытекающую из теоремы Гёделя:
"Мне представляется, что это теорема несет важный философский смысл. Возможны лишь два варианта:
а) Теория неполна, т.е. в терминах теории можно сформулировать такой вопрос, на который невозможно вывести из аксиом/постулатов теории ни положительный, ни отрицательный ответ. При этом ответы на все такие вопросы можно дать в рамках более всеобъемлющей теории, в которой старая будет частным случаем. Но эта новая теория будет иметь свои собственные "вопросы без ответов" и так до бесконечности.
б) Полна, но противоречива. Можно ответить на любой вопрос, но на некоторые вопросы можно вывести и положительный и отрицательный ответ одновременно.
Научные теории относятся к первому типу. Они непротиворечивы, но из этого означает, что не описывают все. Не может быть никакой "окончательной" научной теории. Любая теория неполна и что-то не описывает, даже если мы пока не знаем, что именно. Можно только создавать все более и более всеобъемлющие теории. Для меня лично это повод для оптимизма, ведь это означает, что движение науки вперед никогда не остановится.
"Всемогущий бог" относится ко второму типу. Всемогущий бог -- это ответ на любой вопрос. И это автоматически означает, что он приводит к логическому абсурду. Парадоксы подобные "неподъемному камню" можно выдумывать пачками.
В общем, научное знание верно (непротиворечиво), но в любой момент времени описывает не все. При этом ничто не мешает раздвигать границы познанного до бесконечности, все далее и далее и рано или поздно любое непознанное становится познанным. Религия же претендует на полное описание мира "прямо сейчас", но при этом автоматически неверна (абсурдна)."
В своё время, когда я только начинал свою взрослую жизнь, я занимался программированием. И там был такой принцип: если в программу вносится много исправлений, её надо переписать заново. Этот принцип, на мой взгляд, соответствует теореме Гёделя. Если программа усложняется, она становится противоречивой. И работать правильно не будет.
Ещё один пример из жизни. Мы живём в эпоху, когда чиновники заявляют, что главным принципом существования должен быть закон. Т.е., правовая система. Но как только начинается усложнение законодательства и процветание нормотворчества, законы начинают противоречить друг другу. Что мы сейчас и наблюдаем. Никогда нельзя создать такую правовую систему, которая прописала бы все стороны жизни. И с другой стороны, была бы справедливой для всех. Потому что всегда будет вылезать ограниченность нашего представления о мире. И человеческие законы начнут в какой-то момент входить в противоречие с законами Вселенной. Многие вещи мы понимаем интуитивно. Также интуитивно мы должны судить и о поступках других людей. Государству достаточно иметь конституцию. И опираясь на статьи этой конституции, регулировать взаимоотношения в обществе. Но рано или поздно, придётся менять и конституцию.
ЕГЭ - это ещё один пример ошибочности наших представлений о возможностях человека. Мы пытаемся проверять на экзамене вычислительные возможности мозга. Но интуитивные возможности в школе перестали развивать. Но человек - не биоробот. Нельзя создать систему баллов, которая бы смогла выявить все возможности, заложенные в человеке, в его сознании, в его подсознании и в его психике.
Почти 100 лет назад Гёдель сделал невероятной шаг в понимании законов Вселенной. А мы до сих пор не смогли этим воспользоваться, рассматривая эту теорему как узкоспециализированную математическую задачку для узкого же круга людей, занимающихся какими-то отвлечёнными темами в своём кругу. Вместе с квантовой теорией и учением Христа теорема Гёделя даёт возможность нам вырваться из плена ложных догм, преодолеть тот кризис, который пока ещё сохраняется в нашем мировоззрении. А времени остаётся всё меньше.
Теорема Геделя о неполноте
Успенский В.А.
Пожалуй, теорема Геделя о неполноте является воистину уникальной. Уникальной в том, что на нее ссылаются, когда хотят доказать "все на свете" - от наличия богов до отсутствия разума. Меня всегда интересовал более "первичный вопрос" - а кто из ссылающихся на теорему о неполноте смог-бы не только сформулировать ее, но и доказать? Я публикую данную статью по той причине, что в ней изложена вполне доступная формулировка теоремы Геделя. Рекомендую предварительно ознакомиться со статьей Туллио Редже Курт Гедель и его знаменитая теорема
Вывод о невозможности универсального критерия истины является непосредственным следствием результата, полученного Тарским путем соединения теоремы Геделя о неразрешимости с его собственной теорией истины, согласно которому универсального критерия истины не может быть даже для относительно узкой области теории чисел, а значит, и для любой науки, использующей арифметику. Естественно, что этот результат применим a fortiori к понятию истины в любой нематематической области знания, в которой широко используется арифметика.
Карл Поппер
Успенский Влaдимиp Aндpеевич pодился 27 ноябpя 1930 г. в г. Москве. Окончил мехaнико-мaтемaтический фaкультет МГУ (1952). Доктоp физико-мaтемaтических нaук (1964). Пpофессоp, заведующий кaфедpой мaтемaтической логики и теоpии aлгоpитмов мехaнико-мaтемaтического фaкультетa (1966). Читает курсы лекций "Введение в математическую логику", "Вычислимые функции", "Теорема Геделя о полноте". Подготовил 25 кандидатов и 2 докторов наук
1. Постановка задачи
Теорема о неполноте, точную формулировку которой мы дадим в конце этой главки, а быть может позже (в случае возникновения к этому интереса у читателя) и доказательство, утверждает примерно следующее: при определенных условиях в любом языке существуют истинные, но недоказуемые утверждения.
Когда мы таким образом формулируем теорему, почти каждое слово требует некоторых пояснений. Поэтому мы начнем с того, что объясним значение слов, используемых нами в этой формулировке.
1.1. Язык
Мы не будем давать наиболее общее из возможных определений языка, предпочтя ограничиться теми языковыми концепциями, которые нам понадобятся впоследствии. Есть два таких понятия: "алфавит языка" и "множество истинных утверждений языка".
1.1.1. Алфавит
Под алфавитом мы понимаем конечный набор элементарных знаков (то есть - вещей, которые невозможно разбить на составные части). Эти знаки называются буквами алфавита. Под словом алфавита мы понимаем конечную последовательность букв. Например, обыкновенные слова в английском языке (включая имена собственные) являются словами 54-хбуквенного алфавита (26 маленьких букв, 26 прописных, тире и апостроф). Другой пример - натуральные числа в десятичной записи являются словами 10-тибуквенного алфавита, чьи буквы - знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения алфавитов мы будем использовать обыкновенные заглавные буквы. Если L - алфавит, то L? будет обозначать множество всех слов алфавита L, - слов, образованных из его букв. Мы предположим, что любой язык имеет свой алфавит, так что все выражения этого языка (т. е. - имена различных объектов, утверждения относительно этих объектов и т.д.) являются словами этого алфавита. Например, любое предложение английского языка, равно как и любой текст, написанный по-английски, может рассматриваться как слово расширенного алфавита из 54-х букв, включающего также знаки пунктуации, междусловный пробел, знак красной строки и, возможно, некоторые другие полезные знаки. Предполагая, что выражения языка являются словами некоторого алфавита, мы, таким образом, исключаем из рассмотрения "многослойные" выражения типа???f(x)dx. Однако, это ограничение не слишком существенно, так как любое подобное выражение, при использовании подходящих конвенций, может быть "растянуто" в линейную форму. Любое множество М, содержащееся в L? называется словным множеством алфавита L. Если мы просто говорим, что М - словное множество, то мы подразумеваем, что оно является словом некоторого алфавита. Теперь сформулированное выше предположение о языке может быть перефразировано следующим образом: в любом языке любое множество выражений является словным множеством.
1.1.2. Множество истинных утверждений
Мы предположим, что нам задано подмножество Т множества L? (где L алфавит некоторого рассматриваемого нами языка), которое называется множеством "истинных утверждений" (или просто "истин"). Переходя непосредственно к подмножеству Т, мы опускаем следующие промежуточные шаги рассуждения: во-первых, какие именно слова алфавита L являются корректно образованными выражениями языка, то есть - имеющими определенное значение в нашей интерпретации этого языка (например, 2+3, х+3, х=у, х=3, 2=3, 2=2 являются корректно образованными выражениями, в то время как выражения типа +=х таковыми не являются); во-вторых, какие именно выражения являются формулами, т.е. могут зависеть от параметра (например, х=3, х=у, 2=3, 2=2); в третьих, какие именно из формул являются закрытыми формулами, т.е. утверждениями, не зависящими параметров (например, 2=3, 2=2); и наконец, какие именно закрытые формулы являются истинными утверждениями (например, 2=2).
1.1.3. Фундаментальная пара языка
1.2. "Недоказуемые"
"Недоказуемые" значит не имеющие доказательства.
1.3. Доказательство
Несмотря на то что термин "доказательство" является, возможно, одним из важнейших в математике (Бурбаки начинают свою книгу "Основания математики" словами: "Со времени древних греков сказать "математика" значило то же, что сказать "доказательство""), он не имеет своей точной дефиниции. В целом, понятие доказательства со всеми его смысловыми ответвлениями относится, скорей, к области психологии, нежели к математике. Но как бы то ни было, доказательство - это просто аргумент, который мы сами находим вполне убедительным для того, чтобы убедить всех остальных.
Будучи записано, доказательство становится словом в некотором алфавите Р, так же как любой английский текст является словом алфавита L, пример которого был приведен выше. Множество всех доказательств образуют подмножество (и довольно-таки обширное подмножество) множества Р?. Мы не будем пытаться дать точное определение этой одновременно "наивной" и "абсолютной" концепции доказательства, или - что равносильно - дать определение соответствующему подмножеству Р?. Вместо этого мы рассмотрим формальный аналог этого смутного понятия, для обозначения которого в дальнейшем мы все же будем пользоваться термином "доказательство". Этот аналог имеет две весьма важные особенности, кои отличают его от интуитивного понятия (хотя интуитивная идея доказательства все же отражает в некоторой степени эти особенности). Прежде всего мы допустим, что существуют разные концепции доказательства, то есть - допустимы разные подмножества доказательств в Р?, и даже больше того: мы, на деле, будем допускать, что сам алфавит доказательств Р может изменяться. Далее мы потребуем, чтобы для каждой такой концепции доказательства существовал эффективный метод, другими словами, алгоритм, который бы с необходимостью определял, является ли данное слово алфавита Р доказательством или нет. Мы также предположим, что существует алгоритм, с помощью которого всегда можно определить, какое именно утверждение доказывает данное доказательство. (Во многих ситуациях доказываемым утверждением просто является последнее утверждение в последовательности шагов, образующих доказательство.)
Таким образом, наша окончательная формулировка определения выглядит следующим образом:
(1) У нас имеются алфавит L (алфавит языка) и алфавит Р (алфавит доказательства).
(2) Нам дано множество Р, являющееся подмножеством Р?, и чьи элементы называются "доказательствами". В дальнейшем мы будем предполагать, что также у нас имеется алгоритм, который позволяет нам определить является ли произвольное слово алфавита Р элементом множества Р, то есть доказательством, или нет.
(3) Также у нас есть функция? (для нахождения того, что именно было доказано), чья область определения? удовлетворяет условию Р???Р?, и чья область значений находится в Р?. Мы предполагаем, что у нас есть алгоритм, который вычисляет эту функцию (точное значение слов "алгоритм вычисляет функцию" следующее: значения функции получаются при помощи этого алгоритма - набора специальных правил преобразования). Мы будем говорить, что элемент р? Р есть доказательство слова?(р) алфавита L.
Тройка <Р, Р, ?>, удовлетворяющая условиям (1)-(3) называется дедуктивной системой над алфавитом L.
Для читателя, знакомого с обычным способом определения "доказательства" в терминах "аксиома" и "правило вывода", мы сейчас поясним, как этот метод может рассматриваться в качестве специального случая определения, данного в параграфе 1.3.2. То есть - доказательство обычно определяется как последовательность таких выражений языка, каждое из которых является либо аксиомой, либо ранее полученным из уже существующих утверждений при помощи одного из правил вывода. Если мы добавим новое слово * к алфавиту нашего языка, то мы сможем записать такое доказательство в виде слова составленного при помощи полученного в результате такой модификации алфавита: последовательность выражений становится словом C1*C2*...*Cn. В таком случае, функция, определяющая, что именно было доказано, своим значением имеет часть этого слова, стоящую сразу за последней в последовательности буквой *. Алгоритм, существование которого требуется в части 1.3.2. определения, может легко быть сконструирован, как только мы точно определим какое-либо из принятых значений слов "аксиома" и "правила вывода".
1.4.Попытки точной формулировки теоремы о неполноте
1.4.1. Первая попытка
"При определенных условиях для фундаментальной пары языка алфавита L и дедуктивной системы <Р, Р, ?> над L - всегда существует слово в Т, не имеющее доказательства". Этот вариант все еще выглядит смутным. В частности, мы могли бы запросто придумать сколько угодно дедуктивных систем, имеющих очень немного доказуемых слов. Например, в пустой дедуктивной системе (где Р = ?) совсем нет слов, у которых были бы доказательства.
1.4.2. Вторая попытка
Есть другой, более естественный подход. Предположим, нам задан язык - в том смысле, что нам задана фундаментальная пара этого языка. Теперь мы будем искать такую дедуктивную систему над L (интуитивно, мы ищем технику доказательства), при помощи которой мы могли бы доказать как можно больше слов из Т, в пределе все слова из Т. Теорема Геделя описывает ситуацию, в которой такая дедуктивная система (посредством коей, каждое слово в Т было бы доказуемо) не существует. Таким образом, нам бы хотелось сформулировать следующее утверждение:
"При определенных условиях относительно фундаментальной пары не существует такой дедуктивной системы, в которой бы каждое слово из Т имело бы доказательство".
Однако такое утверждение, очевидно, ложно, так как необходимо лишь взять такую дедуктивную систему, в которой Р = L, Р = Р? и?(р) = р для всех р из Р?; тогда каждое слово из L? является тривиально доказуемым. Следовательно, нам нужно принять некоторое ограничение на то, какими дедуктивными системами мы пользуемся.
1.5. Непротиворечивость
Было бы вполне естественно потребовать, что только "истинные утверждения", то есть только слова из Т, могут быть доказаны. Мы будем говорить, что дедуктивная система <Р, Р, ?> является непротиворечивой относительно фундаментальной пары, если?(Р)?Т. Во всех последующих рассуждениях нас будут интересовать только такие непротиворечивые дедуктивные системы. Если же нам задан язык, то было бы чрезвычайно соблазнительно найти такую непротиворечивую дедуктивную систему, в которой каждое истинное утверждение имело бы доказательство. Интересующий нас вариант теоремы Геделя в точности утверждает, что при определенных условиях относительно фундаментальной пары, невозможно найти такую дедуктивную систему.
1.6. Полнота
Говорится, что дедуктивная система <Р,Р,?> полна относительно фундаментальной пары, при условии если?(Р)?Т. Тогда наша формулировка теоремы о неполноте приобретает следующий вид:
При определенных условиях относительно фундаментальной пары, не существует такой дедуктивной системы <Р,Р,?> над L, которая была бы одновременно полна и непротиворечива относительно.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://filosof.historic.ru
Идея доказательства заключается в том, чтобы построить такое выражение, которое свидетельствовало бы о своей
собственной недоказуемости. Такое построение может быть выполнено в три этапа:
Первый этап - установление соответствия между формальной арифметикой и множеством целых чисел (гедели-зации);
Второй этап - построение некоторого специального свойства о котором неизвестно, является ли оно теоремой формальной арифметики или нет;
Третий этап - подстановка в вместо х определенного целого числа, связанного с самим т. е. замещение этими числами всех
Первый этап. Геделизация формальной арифметики
Формальная арифметика может быть арифметизирована (т. е. геделизирована) следующим образом: каждой ее теореме ставится в соответствие некоторое число. Однако так как всякое число также является теоремой, то всякая теорема может рассматриваться, с одной стороны, в качестве теоремы формальной арифметики, а с другой - как теорема над множеством теорем формальной арифметики, т. е. в качестве метатеоремы, соответствующей доказательству некой теоремы.
Таким образом, можно сделать вывод, что система формальной арифметики содержит также и свою собственную метасистему.
Теперь более конкретно и подробно изложим полученные результаты.
Во-первых, мы можем связать с каждым символом и формальной арифметики специальное кодовое обозначение, называемое в данном случае геделевым номером
Во-вторых, каждой последовательности символов мы ставим в соответствие тот же геделев номер с помощью некоторой функции композиции Пусть где представляют собой последовательности символов, которые образуют
В-третьих (и это существенно), каждому доказательству последовательности аксиом и правил подстановки (или правил замещения) ставится в соответствие число где обозначает последовательность теорем, используемых при доказательстве
Таким образом, всякому доказательству в формальной арифметике соответствует некоторое число - его геделев номер Всякое рассуждение формальной ариметики преобразуется в вычисления на множестве натуральных чисел.
Итак, вместо того чтобы производить манипуляции с символами, теоремами, доказательствами, можно воспользоваться
вычислениями на множестве целых чисел. Всякое выражение, подобное, например, следующему: доказуемо в формальной арифметике", теперь соответствует определенному числу, которое будем обозначать как
Сформулируем следующее положение.
Формальная метаарифметика содержится в множестве натуральных чисел, а оно само содержится в интерпретации формальной арифметики.
Эта ситуация с формальной арифметикой напоминает ситуацию с естественным языком: ведь нам ничто не мешает использовать его и для того, чтобы формулировать на нем основные его понятия и правила.
Надлежащий выбор функции позволяет осуществить однозначный переход от А к т. е. присвоить два разных числа-номера двум различным доказательствам. Например, можно так выбрать геделевы номера, чтобы каждому символу алфавита формальной арифметики соответствовало свое простое число, как показано, например, в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Каждая формула (состоящая из символов изменяющимся от 1 до в свою очередь кодируется последовательностью, состоящей из первых простых чисел, т. е. числом
где простое число.
В свою очередь доказательство, т. е. последовательность из формул будет закодирована аналогичным образом числом
И наоборот, благодаря такому способу построения номеров становится возможным, исходя из некоторого числа, с помощью разложения его на простые множители (в силу единственности разложения натуральных чисел в произведения степеней простых чисел) возвратиться за два шага к показателям степени т. е. к примитивным символам формальной арифметики. Конечно, это имеет в основном лишь теоретическое значение, так как номера быстро становятся слишком большими
для того, чтобы ими можно было манипулировать. Однако следует отметить, что существенным является принципиальная возможность этой операции.
Пример. Пусть задано число Т, соответствующее некоторому доказательству и представляющее собой произведение простых чисел:
Это разложение означает, что доказательство теоремы содержит два этапа: один соответствует числу 1981027125 253, а другой - числу 1981027125 211. Разлагая снова на простые множители каждое из этих чисел, получим
Из таблицы кодирования алфавита формальной арифметики (табл. 3.2) находим, что нашим геделевым номерам для Этих двух чисел
будет соответствовать следующее доказательство:
Из формулы следует формула
Таким образом, в метаарифметике получено значение исходного числа из формальной арифметики.
Второй этап. Лемма Геделя
Всякому числу Т, связанному с доказательством, соответствует теорема доказуемая в формальной арифметике. “Геделизированную” формальную арифметику называют арифметизированной формальной арифметикой. Поскольку каждая аксиома и каждое правило арифметизированной формальной арифметики соответствуют какой-нибудь арифметической операции, то с помощью систенатизированной проверки можно определить, соответствует ли данное число Т доказательству какой-то теоремы Числа Т и образуют в этом случае пару сопряженных чисел. Выражение и являются сопряженными” Представимо внутри самой арифметизированной формальной арифметики. Это означает, что существует геделев номер который выражает в цифровой форме это утверждение.
Мы подошли к критическому пункту доказательства Геделя. Пусть А является выражением арифметизированной формальной арифметики, которое содержит какую-то свободную переменную. Вместо нее можно сделать подстановку какого-нибудь терма. В частности, можно заменить выражение А самим выражением А. В этом случае номер-выражение А выполняет одновременно две различные роли (см. выше построения
Кантора и Ришара): оно одновременно является истинным выражением для подстановки и результирующим термом. Эту специальную подстановку будем обозначать как Так формула означает, что число есть геделев номер, получаемый при выполнении подстановки - к выражению А:
Затем Гедель строит выражение (о котором неизвестно, представляет ли оно собой теорему или не-теорему), в которое вводит эту подстановку. Выражение имеет следующий вид:
Третий этап. Завершающая подстановка
В арифметизированной формальной арифметике это выражение представлено в цифровой форме. Пусть Е - его геделев номер. Так как выражение содержит свободную переменную то мы имеем право выполнить подстановку - над замещая числом Е и обозначая -замещение Е:
Это второе выражение обозначим через а его геделев номер через Е. Дадим интерпретации выражения е.
Первая интерпретация. Не существует такой пары для которой одновременно выполнялось бы следующее: с одной стороны, Т - номер арифметизированного доказательства теоремы арифметизированной ею самой, а с другой - было бы есть замещение Но так как есть такое же преобразование, как и другие, то оно представимо в термах и в их кодовых обозначениях - геделевых номерах и, следовательно, такой номер существует. Тогда, возможно, номер Т не существует.
Вторая интерпретация. Не существует арифметизированного доказательства Т теоремы которое было бы -замещением Е. Итак, если не существует доказательства, то потому, что само по себе не является теоремой. Отсюда вытекает третья интерпретация.
Третья интерпретация. Выражение, для которого геделев номер есть -замещение Е, не является теоремой арифметизированной формальной арифметики. Но в этом и заключается противоречие, так как по построению именно само является -замещением Е и номер есть не что иное по построению, как сам номер Е. Отсюда вытекает последняя интерпретация е.
