Prilikom proučavanja geometrije postavljaju se mnoga pitanja na temu vektora. Učenik ima posebne poteškoće kada je potrebno pronaći uglove između vektora.

Osnovni pojmovi

Prije razmatranja uglova između vektora, potrebno je upoznati se sa definicijom vektora i pojmom ugla između vektora.

Vektor je segment koji ima pravac, odnosno segment za koji su definisani njegov početak i kraj.

Ugao između dva vektora na ravni koji imaju zajedničko ishodište je manji od uglova za iznos za koji jedan od vektora treba da se pomeri oko zajedničke tačke dok im se pravci ne poklope.

Formula za rješenje

Kada shvatite šta je vektor i kako se određuje njegov ugao, možete izračunati ugao između vektora. Formula rješenja za to je prilično jednostavna, a rezultat njene primjene bit će vrijednost kosinusa kuta. Prema definiciji, jednak je količniku skalarnog proizvoda vektora i proizvoda njihovih dužina.

Skalarni proizvod vektora se izračunava kao zbir odgovarajućih koordinata faktorskih vektora pomnoženih jedni s drugima. Dužina vektora, ili njegov modul, izračunava se kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.

Nakon što ste primili vrijednost kosinusa kuta, možete izračunati vrijednost samog ugla pomoću kalkulatora ili pomoću trigonometrijska tabela y.

Primjer

Kada shvatite kako izračunati ugao između vektora, rješavanje odgovarajućeg problema postat će jednostavno i jasno. Kao primjer, vrijedi razmotriti jednostavan problem pronalaženja vrijednosti ugla.

Prije svega, bit će prikladnije izračunati vrijednosti dužina vektora i njihovog skalarnog proizvoda potrebnog za rješenje. Koristeći gore predstavljeni opis, dobijamo:

Zamjenom dobijenih vrijednosti u formulu, izračunavamo vrijednost kosinusa željenog ugla:

Ovaj broj nije jedna od pet uobičajenih kosinusnih vrijednosti, pa da biste dobili vrijednost ugla, morat ćete koristiti kalkulator ili Bradisovu trigonometrijsku tablicu. Ali prije nego što dobijete ugao između vektora, formula se može pojednostaviti da se riješi dodatnog negativnog predznaka:

Da bi se održala tačnost, konačni odgovor možete ostaviti kakav jeste ili možete izračunati vrijednost ugla u stepenima. Prema Bradisovoj tabeli, njegova vrijednost će biti približno 116 stepeni i 70 minuta, a kalkulator će pokazati vrijednost od 116,57 stepeni.

Izračunavanje ugla u n-dimenzionalnom prostoru

Kada se razmatraju dva vektora u trodimenzionalnom prostoru, mnogo je teže razumjeti o kojem kutu je riječ ako ne leže u istoj ravni. Da biste pojednostavili percepciju, možete nacrtati dva segmenta koji se ukrštaju koji čine najmanji ugao između njih; Unatoč prisutnosti treće koordinate u vektoru, proces izračunavanja uglova između vektora neće se promijeniti. Izračunajte skalarni proizvod i module vektora, arc kosinus njihovog kvocijenta će biti odgovor na ovaj problem.

U geometriji često postoje problemi sa prostorima koji imaju više od tri mjerenja. Ali za njih algoritam za pronalaženje odgovora izgleda slično.

Razlika između 0 i 180 stepeni

Jedna od čestih grešaka pri pisanju odgovora na problem dizajniran za izračunavanje ugla između vektora je odluka da se zapiše da su vektori paralelni, odnosno da je željeni ugao jednak 0 ili 180 stepeni. Ovaj odgovor je netačan.

Nakon što smo dobili vrijednost ugla od 0 stepeni kao rezultat rješenja, tačan odgovor bi bio označiti vektori kao kosmjerne, odnosno vektori će imati isti smjer. Ako se dobije 180 stepeni, vektori će biti suprotno usmereni.

Specifični vektori

Nakon što ste pronašli uglove između vektora, možete pronaći jedan od posebnih tipova, pored gore opisanih kosmjernih i suprotnosmjernih.

• Nekoliko vektora paralelnih jednoj ravni naziva se komplanarnim.
• Vektori koji su iste dužine i smjera nazivaju se jednaki.
• Vektori koji leže na istoj pravoj liniji, bez obzira na smjer, nazivaju se kolinearni.
• Ako je dužina vektora nula, odnosno njegov početak i kraj se poklapaju, onda se naziva nula, a ako je jedan, onda jedinica.

Ugao između dva vektora, :

Ako je ugao između dva vektora oštar, onda je njihov skalarni proizvod pozitivan; ako je ugao između vektora tup, tada je skalarni proizvod ovih vektora negativan. Skalarni proizvod dva vektora različita od nule jednak je nuli ako i samo ako su ovi vektori ortogonalni.

Vježbajte. Pronađite ugao između vektora i

Rješenje. Kosinus željenog ugla

16. Proračun ugla između pravih linija, prave i ravni

Ugao između prave i ravni, koji siječe ovu pravu, a ne okomit na nju, je ugao između prave i njene projekcije na ovu ravan.

Određivanje ugla između prave i ravni nam omogućava da zaključimo da je ugao između prave i ravni ugao između dve linije koje se seku: same prave i njene projekcije na ravan. Dakle, ugao između prave i ravni je oštar ugao.

Ugao između okomite prave i ravnine smatra se jednakim , a ugao između paralelne prave i ravnine ili nije određen uopće ili se smatra jednakim .

§ 69. Računanje ugla između pravih.

Problem izračunavanja ugla između dve prave u prostoru rešava se na isti način kao i na ravni (§ 32). Označimo sa φ veličinu ugla između pravih l 1 i l 2, a kroz ψ - veličina ugla između vektora pravca A I b ove prave linije.

Onda ako

ψ 90° (Sl. 206.6), tada φ = 180° - ψ. Očigledno je da je u oba slučaja tačna jednakost cos φ = |cos ψ|. Po formuli (1) § 20 imamo

dakle,

Neka su linije zadane njihovim kanonskim jednadžbama

Tada se ugao φ između linija određuje pomoću formule

Ako je jedna od linija (ili obje) data nekanonskim jednadžbama, tada za izračunavanje kuta morate pronaći koordinate vektora smjera ovih linija, a zatim koristiti formulu (1).

17. Paralelne prave, Teoreme o paralelnim pravima

Definicija. Zovu se dvije prave u ravni paralelno, ako nemaju zajedničke tačke.

Zovu se dvije linije u trodimenzionalnom prostoru paralelno, ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničke tačke.

Ugao između dva vektora.

Iz definicije tačkastog proizvoda:

.

Uslov za ortogonalnost dva vektora:

Uslov kolinearnosti dva vektora:

.

Slijedi iz definicije 5 - . Zaista, iz definicije proizvoda vektora i broja, to slijedi. Stoga, na osnovu pravila jednakosti vektora, pišemo , , , što implicira . Ali vektor koji nastaje množenjem vektora brojem je kolinearan vektoru.

Projekcija vektora na vektor:

.

Primjer 4. Dati bodovi , , , .

Pronađite tačkasti proizvod.

Rješenje. nalazimo koristeći formulu za skalarni proizvod vektora specificiranih njihovim koordinatama. Zbog

, ,

Primjer 5. Dati bodovi , , , .

Pronađite projekciju.

Rješenje. Zbog

, ,

Na osnovu formule za projekciju imamo

.

Primjer 6. Dati bodovi , , , .

Pronađite ugao između vektora i .

Rješenje. Imajte na umu da vektori

, ,

nisu kolinearni jer njihove koordinate nisu proporcionalne:

.

Ovi vektori također nisu okomiti, budući da je njihov skalarni proizvod .

Hajde da nađemo

Ugao nalazimo iz formule:

.

Primjer 7. Odrediti na kojim vektorima i kolinearno.

Rješenje. U slučaju kolinearnosti, odgovarajuće koordinate vektora i mora biti proporcionalan, tj.

.

Stoga i.

Primjer 8. Odredi pri kojoj vrijednosti vektora I okomito.

Rješenje. Vector i okomite su ako je njihov skalarni proizvod nula. Iz ovog uslova dobijamo: . To je, .

Primjer 9. Nađi , Ako , , .

Rješenje. Zbog svojstava skalarnog proizvoda imamo:

Primjer 10. Pronađite ugao između vektora i , gdje i - jedinične vektore i ugao između vektora i jednak je 120°.

Rješenje. Imamo: , ,

Konačno imamo: .

5 B. Vector artwork.

Definicija 21.Vector artwork vektor po vektor naziva se vektor, ili, definisan sa sledeća tri uslova:

1) Modul vektora je jednak , gdje je ugao između vektora i , tj. .

Iz toga slijedi da je modul vektorskog proizvoda numerički jednaka površini paralelogram konstruiran na vektorima i na obje strane.

2) Vektor je okomit na svaki od vektora i ( ; ), tj. okomito na ravan paralelograma konstruiranog na vektorima i .

3) Vektor je usmjeren tako da ako se gleda s njegovog kraja, najkraći okret od vektora do vektora bi bio u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (vektori , , čine desnu trojku).

Kako izračunati uglove između vektora?

Prilikom proučavanja geometrije postavljaju se mnoga pitanja na temu vektora. Učenik ima posebne poteškoće kada je potrebno pronaći uglove između vektora.

Osnovni pojmovi

Prije razmatranja uglova između vektora, potrebno je upoznati se sa definicijom vektora i pojmom ugla između vektora.

Vektor je segment koji ima pravac, odnosno segment za koji su definisani njegov početak i kraj.

Ugao između dva vektora na ravni koji imaju zajedničko ishodište je manji od uglova za iznos za koji jedan od vektora treba da se pomeri oko zajedničke tačke dok im se pravci ne poklope.

Formula za rješenje

Kada shvatite šta je vektor i kako se određuje njegov ugao, možete izračunati ugao između vektora. Formula rješenja za to je prilično jednostavna, a rezultat njene primjene bit će vrijednost kosinusa kuta. Prema definiciji, jednak je količniku skalarnog proizvoda vektora i proizvoda njihovih dužina.

Skalarni proizvod vektora se izračunava kao zbir odgovarajućih koordinata faktorskih vektora pomnoženih jedni s drugima. Dužina vektora, odnosno njegov modul, izračunava se kao Kvadratni korijen iz zbira kvadrata njegovih koordinata.

Nakon što ste primili vrijednost kosinusa kuta, možete izračunati vrijednost samog ugla pomoću kalkulatora ili pomoću trigonometrijske tablice.

Primjer

Kada shvatite kako izračunati ugao između vektora, rješavanje odgovarajućeg problema postat će jednostavno i jasno. Kao primjer, vrijedi razmotriti jednostavan problem pronalaženja vrijednosti ugla.

Prije svega, bit će prikladnije izračunati vrijednosti dužina vektora i njihovog skalarnog proizvoda potrebnog za rješenje. Koristeći gore predstavljeni opis, dobijamo:

Zamjenom dobijenih vrijednosti u formulu, izračunavamo vrijednost kosinusa željenog ugla:

Ovaj broj nije jedna od pet uobičajenih kosinusnih vrijednosti, pa da biste dobili vrijednost ugla, morat ćete koristiti kalkulator ili Bradisovu trigonometrijsku tablicu. Ali prije nego što dobijete ugao između vektora, formula se može pojednostaviti da se riješi dodatnog negativnog predznaka:

Da bi se održala tačnost, konačni odgovor možete ostaviti kakav jeste ili možete izračunati vrijednost ugla u stepenima. Prema Bradisovoj tabeli, njegova vrijednost će biti približno 116 stepeni i 70 minuta, a kalkulator će pokazati vrijednost od 116,57 stepeni.

Izračunavanje ugla u n-dimenzionalnom prostoru

Kada se razmatraju dva vektora u trodimenzionalnom prostoru, mnogo je teže razumjeti o kojem kutu je riječ ako ne leže u istoj ravni. Da biste pojednostavili percepciju, možete nacrtati dva segmenta koji se ukrštaju koji čine najmanji ugao između njih; Unatoč prisutnosti treće koordinate u vektoru, proces izračunavanja uglova između vektora neće se promijeniti. Izračunajte skalarni proizvod i module vektora, arc kosinus njihovog kvocijenta će biti odgovor na ovaj problem.

U geometriji se često javljaju problemi sa prostorima koji imaju više od tri dimenzije. Ali za njih algoritam za pronalaženje odgovora izgleda slično.

Razlika između 0 i 180 stepeni

Jedna od čestih grešaka pri pisanju odgovora na problem dizajniran za izračunavanje ugla između vektora je odluka da se zapiše da su vektori paralelni, odnosno da je željeni ugao jednak 0 ili 180 stepeni. Ovaj odgovor je netačan.

Nakon što smo dobili vrijednost ugla od 0 stepeni kao rezultat rješenja, tačan odgovor bi bio označiti vektori kao kosmjerne, odnosno vektori će imati isti smjer. Ako se dobije 180 stepeni, vektori će biti suprotno usmereni.

Specifični vektori

Nakon što ste pronašli uglove između vektora, možete pronaći jedan od posebnih tipova, pored gore opisanih kosmjernih i suprotnosmjernih.

• Nekoliko vektora paralelnih jednoj ravni naziva se komplanarnim.
• Vektori koji su iste dužine i smjera nazivaju se jednaki.
• Vektori koji leže na istoj pravoj liniji, bez obzira na smjer, nazivaju se kolinearni.
• Ako je dužina vektora nula, odnosno njegov početak i kraj se poklapaju, onda se naziva nula, a ako je jedan, onda jedinica.

Kako pronaći ugao između vektora?

pomozi mi molim te! Znam formulu, ali ne mogu da je izračunam ((
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Aleksandar Titov

Ugao između vektora određenih njihovim koordinatama nalazi se pomoću standardnog algoritma. Prvo morate pronaći skalarni proizvod vektora a i b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Ovdje zamjenjujemo koordinate ovih vektora i izračunavamo:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Zatim određujemo dužine svakog vektora. Dužina ili modul vektora je kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata:
|a| = korijen od (x1^2 + y1^2 + z1^2) = korijen od (8^2 + 10^2 + 4^2) = korijen od (64 + 100 + 16) = korijen od 180 = 6 korijena od 5
|b| = korijen od (x2^2 + y2^2 + z2^2) = korijen od (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = korijen od (25 + 400 + 100) = korijen od 525 = 5 korijena od 21.
Ove dužine množimo. Dobijamo 30 korijena od 105.
I konačno, dijelimo skalarni proizvod vektora sa proizvodom dužina ovih vektora. Dobijamo -200/(30 korijena od 105) ili
- (4 korijena od 105) / 63. Ovo je kosinus ugla između vektora. A sam ugao je jednak ark kosinusu ovog broja
f = arccos(-4 korijena od 105) / 63.
Ako sam sve dobro izbrojao.

Kako izračunati sinus ugla između vektora koristeći koordinate vektora

Mikhail Tkachev

Pomnožimo ove vektore. Njihov skalarni proizvod jednak je proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih.
Ugao nam je nepoznat, ali su koordinate poznate.
Zapišimo to matematički ovako.
Neka su dati vektori a(x1;y1) i b(x2;y2).
Onda

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Hajde da razgovaramo.
a*b-skalarni proizvod vektora jednak je zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata koordinata ovih vektora, tj. jednak x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-proizvod dužina vektora jednak je √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

To znači da je kosinus ugla između vektora jednak:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Poznavajući kosinus ugla, možemo izračunati njegov sinus. Hajde da razgovaramo o tome kako to učiniti:

Ako je kosinus ugla pozitivan, onda ovaj ugao leži u 1 ili 4 kvadranta, što znači da je njegov sinus pozitivan ili negativan. Ali pošto je ugao između vektora manji ili jednak 180 stepeni, onda je njegov sinus pozitivan. Slično razmišljamo ako je kosinus negativan.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To je to)))) sretno u shvaćanju)))

Dmitry Levishchev

Činjenica da je nemoguće direktno sinusirati nije tačna.
Pored formule:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Postoji i ovaj:
||=|a|*|b|*sin A
To jest, umjesto skalarnog proizvoda, možete uzeti modul vektorskog proizvoda.

Instrukcije

Neka su na ravni data dva vektora različita od nule, nacrtana iz jedne tačke: vektor A sa koordinatama (x1, y1) B sa koordinatama (x2, y2). Ugao između njih je označeno kao θ. Naći stepen mera ugao θ potrebno je koristiti definiciju skalarnog proizvoda.

Skalarni proizvod dva vektora različita od nule je broj jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih, odnosno (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Sada treba da izrazite kosinus ugla iz ovoga: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalarni proizvod se takođe može naći pomoću formule (A,B)=x1*x2+y1*y2, pošto je proizvod dva vektora različita od nule jednak zbiru proizvoda njihovih odgovarajućih vektora. Ako je skalarni proizvod vektora koji nisu nula jednak nuli, tada su vektori okomiti (ugao između njih je 90 stepeni) i dalja izračunavanja se mogu izostaviti. Ako je skalarni proizvod dva vektora pozitivan, onda je ugao između njih vektori oštar, a ako je negativan, onda je ugao tup.

Sada izračunajte dužine vektora A i B koristeći formule: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Dužina vektora se izračunava kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.

Zamijenite pronađene vrijednosti skalarnog proizvoda i vektorskih dužina u formulu za ugao dobijen u koraku 2, odnosno, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Sada, znajući vrijednost, pronaći mjeru stepena ugla između vektori trebate koristiti Bradisovu tabelu ili uzeti iz ove: θ=arccos(cos(θ)).

Ako su vektori A i B dati u trodimenzionalnom prostoru i imaju koordinate (x1, y1, z1) i (x2, y2, z2), respektivno, tada se pri pronalaženju kosinusa ugla dodaje još jedna koordinata. U ovom slučaju, kosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Koristan savjet

Ako dva vektora nisu nacrtana iz iste tačke, onda da biste pronašli ugao između njih paralelnim prevođenjem, morate kombinovati poreklo ovih vektora.
Ugao između dva vektora ne može biti veći od 180 stepeni.

Izvori:

• kako izračunati ugao između vektora
• Ugao između prave i ravni

Za rješavanje mnogih problema, kako primijenjenih tako i teorijskih, u fizici i linearnoj algebri potrebno je izračunati ugao između vektora. Ovaj naizgled jednostavan zadatak može uzrokovati mnoge poteškoće ako ne razumijete jasno suštinu skalarnog proizvoda i koja vrijednost se pojavljuje kao rezultat ovog proizvoda.

Instrukcije

Ugao između vektora u vektorskom linearnom prostoru je minimalni ugao pod kojim se postiže kousmeravanje vektora. Crta jedan od vektora oko njegove početne tačke. Iz definicije postaje očigledno da vrijednost ugla ne može preći 180 stepeni (vidi korak).

U ovom slučaju, sasvim je ispravno pretpostavljeno da se u linearnom prostoru, kada se vrši paralelni prijenos vektora, ugao između njih ne mijenja. Stoga, za analitički proračun ugla, prostorna orijentacija vektora nije bitna.

Rezultat tačkastog proizvoda je broj, inače skalar. Zapamtite (ovo je važno znati) kako biste izbjegli greške u daljim proračunima. Formula za skalarni proizvod koji se nalazi na ravni ili u prostoru vektora ima oblik (pogledajte sliku za korak).

Ako se vektori nalaze u prostoru, izvršite proračun na sličan način. Jedino pojavljivanje termina u dividendi biće termin za prijavu, tj. treća komponenta vektora. Shodno tome, prilikom izračunavanja modula vektora, mora se uzeti u obzir i z komponenta, a zatim se za vektore koji se nalaze u prostoru posljednji izraz transformiše na sljedeći način (pogledajte sliku 6 za korak).

Vektor je segment sa datim smjerom. Ugao između vektora ima fizičko značenje, na primjer, kada se pronađe dužina projekcije vektora na osu.

Instrukcije

Ugao između dva vektora različita od nule izračunavanjem dot proizvoda. Po definiciji, proizvod je jednak proizvodu dužina i ugla između njih. S druge strane, izračunava se skalarni proizvod za dva vektora a sa koordinatama (x1; y1) i b sa koordinatama (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Od ove dvije metode, tačkasti proizvod je lako ugao između vektora.

Pronađite dužine ili veličine vektora. Za naše vektore a i b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Pronađite skalarni proizvod vektora množenjem njihovih koordinata u parovima: ab = x1x2 + y1y2. Iz definicije skalarnog proizvoda ab = |a|*|b|*cos α, gdje je α ugao između vektora. Tada dobijamo da je x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Tada je cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Pronađite ugao α koristeći Bradisove tablice.

Video na temu

Bilješka

Skalarni proizvod je skalarna karakteristika dužina vektora i ugla između njih.

Ravan je jedan od osnovnih pojmova u geometriji. Ravan je površina za koju je tačna sljedeća tvrdnja: svaka prava linija koja spaja dvije njene tačke u potpunosti pripada ovoj površini. Ravnine se obično označavaju grčkim slovima α, β, γ, itd. Dvije ravni se uvijek seku duž prave linije koja pripada objema ravnima.

Instrukcije

Razmotrimo poluravnine α i β formirane presjekom . Ugao formiran od prave a i dvije poluravnine α i β diedralnog ugla. U ovom slučaju, poluravnine koje formiraju diedarski ugao sa svojim licima, prava linija a duž koje se ravnine seku naziva se ivica diedarskog ugla.

Diedarski ugao, kao i planarni ugao, je u stepenima. Da biste napravili diedarski ugao, potrebno je da izaberete proizvoljnu tačku O na njenoj površini. Nastali ugao AOB naziva se linearni diedarski ugao a.

Dakle, neka su vektor V = (a, b, c) i ravan A x + B y + C z = 0, gdje su A, B i C koordinate normale N. Tada je kosinus ugla α između vektora V i N je jednako: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Da biste izračunali ugao u stepenima ili radijanima, morate izračunati inverznu kosinusnu funkciju iz rezultirajućeg izraza, tj. arccosine:α = arscos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Primjer: nađi ugao između vektor(5, -3, 8) i avion, dato opšta jednačina 2 x – 5 y + 3 z = 0. Rješenje: zapisati koordinate vektora normale ravni N = (2, -5, 3). Zamijenite sve poznate vrijednosti u datu formulu: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video na temu

Napravite jednakost i iz nje izolirajte kosinus. Prema jednoj formuli, skalarni proizvod vektora jednak je njihovim dužinama pomnoženim jedna s drugom i kosinusom ugao, a s druge - zbir proizvoda koordinata duž svake od osi. Izjednačavajući obje formule, možemo zaključiti da je kosinus ugao mora biti jednak omjeru zbira proizvoda koordinata i proizvoda dužina vektora.

Zapišite rezultirajuću jednakost. Da biste to učinili, morate označiti oba vektora. Pretpostavimo da su date u tri dimenzije Kartezijanski sistem i njih polazne tačke u koordinatnoj mreži. Smjer i veličina prvog vektora će biti dati tačkom (X₁,Y₁,Z₁), drugog - (X₂,Y₂,Z₂), a ugao će biti označen slovom γ. Tada se dužine svakog od vektora mogu, na primjer, pomoću Pitagorine teoreme za , formirati njihovim projekcijama na svaku od koordinatnih osa: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) i √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Zamenite ove izraze u formulu formulisanu u prethodnom koraku i dobićete jednakost: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂²) + Y₂² + Z₂² )).

Koristite činjenicu da je zbir na kvadrat sine and co sine od ugao iste količine uvijek daje jedan. To znači da podizanjem onoga što je dobijeno u prethodnom koraku za sine kvadrirati i oduzeti od jedan, a zatim

Tačkasti proizvod vektora

Nastavljamo da se bavimo vektorima. Na prvoj lekciji Vektori za lutke Razmotrili smo koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate i najjednostavnije probleme s vektorima. Ako ste prvi put došli na ovu stranicu iz tražilice, toplo preporučujem da pročitate gornji uvodni članak, jer da biste savladali gradivo morate biti upoznati s pojmovima i notama koje koristim, imati osnovna znanja o vektorima i biti u stanju da reši osnovne probleme. Ova lekcija je logičan nastavak teme iu njoj ću detaljno analizirati tipične zadatke koji koriste skalarni proizvod vektora. Ovo je VEOMA VAŽNA aktivnost.. Pokušajte da ne preskočite primjere s korisnim bonusom - praksa će vam pomoći da konsolidirate materijal koji ste pokrili i postanete bolji u rješavanju uobičajenih problema u analitičkoj geometriji.

Sabiranje vektora, množenje vektora brojem.... Bilo bi naivno misliti da matematičari nisu smislili nešto drugo. Pored radnji o kojima smo već govorili, postoji niz drugih operacija s vektorima, i to: tačkasti proizvod vektora, vektorski proizvod vektora I mješoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora poznat nam je iz škole. Druga dva proizvoda tradicionalno pripadaju predmetu više matematike. Teme su jednostavne, algoritam za rješavanje mnogih problema je jednostavan i razumljiv. Jedina stvar. Postoji pristojna količina informacija, pa je nepoželjno pokušavati savladati i riješiti SVE ODJEDNOM. Ovo posebno važi za lutke, vjerujte mi, autor se apsolutno ne želi osjećati kao Čikatilo iz matematike. Pa ne iz matematike, naravno, ni iz matematike =) Spremniji učenici mogu selektivno koristiti materijale, u određenom smislu, "dobiti" nedostajuće znanje, za tebe ću biti bezopasni grof Drakula =)

Hajde da konačno otvorimo vrata i sa entuzijazmom gledamo šta se dešava kada se dva vektora sretnu...

Definicija skalarnog proizvoda vektora.
Svojstva skalarnog proizvoda. Tipični zadaci

Koncept tačkastog proizvoda

Prvo o ugao između vektora. Mislim da svi intuitivno razumiju koji je ugao između vektora, ali za svaki slučaj, malo više detalja. Razmotrimo slobodne vektore koji nisu nula i . Ako nacrtate ove vektore iz proizvoljne tačke, dobit ćete sliku koju su mnogi mentalno već zamislili:

Priznajem, ovdje sam opisao situaciju samo na nivou razumijevanja. Ako vam je potrebna striktna definicija ugla između vektora, pogledajte udžbenik za praktične probleme, u principu nam nije od koristi. Takođe OVDE I OVDE ću zanemariti nulte vektore na mestima zbog njihovog malog praktičnog značaja. Rezervisao sam posebno za napredne posetioce sajta koji bi mi mogli zameriti teoretsku nepotpunost nekih kasnijih izjava.

U literaturi se simbol ugla često preskače i jednostavno piše.

definicija: Skalarni proizvod dva vektora je BROJ jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih:

Ovo je prilično stroga definicija.

Fokusiramo se na bitne informacije:

Oznaka: skalarni proizvod se označava sa ili jednostavno.

Rezultat operacije je BROJ: Vektor se množi sa vektorom, a rezultat je broj. Zaista, ako su dužine vektora brojevi, kosinus ugla je broj, tada je njihov proizvod takođe će biti broj.

Samo par primjera za zagrijavanje:

Primjer 1

Rješenje: Koristimo formulu . IN u ovom slučaju:

odgovor:

Vrijednosti kosinusa se mogu naći u trigonometrijska tabela. Preporučujem da ga odštampate - biće potreban u skoro svim delovima tornja i biće potreban mnogo puta.

Sa čisto matematičke tačke gledišta, skalarni proizvod je bezdimenzionalan, odnosno rezultat je u ovom slučaju samo broj i to je to. Sa stajališta problema fizike, skalarni proizvod uvijek ima određeno fizičko značenje, odnosno nakon rezultata morate navesti jedno ili drugo fizička jedinica. Kanonski primjer izračunavanja rada sile može se naći u bilo kojem udžbeniku (formula je upravo skalarni proizvod). Rad sile se mjeri u džulima, stoga će odgovor biti napisan sasvim konkretno, na primjer, .

Primjer 2

Pronađite ako , a ugao između vektora je jednak .

Ovo je primjer za nezavisna odluka, odgovor je na kraju lekcije.

Ugao između vektora i vrijednosti dot proizvoda

U primjeru 1 skalarni proizvod je bio pozitivan, au primjeru 2 negativan. Otkrijmo o čemu ovisi predznak skalarnog proizvoda. Pogledajmo našu formulu: . Dužine vektora koji nisu nula su uvijek pozitivne: , tako da predznak može ovisiti samo o vrijednosti kosinusa.

Bilješka: Da biste bolje razumjeli donje informacije, bolje je proučiti kosinusni graf u priručniku Grafovi funkcija i svojstva. Pogledajte kako se kosinus ponaša na segmentu.

Kao što je već napomenuto, ugao između vektora može varirati unutar , a mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako ugao između vektora ljuto: (od 0 do 90 stepeni), zatim , And tačkasti proizvod će biti pozitivan co-directed, tada se kut između njih smatra nula, a skalarni proizvod će također biti pozitivan. Budući da , formula pojednostavljuje: .

2) Ako ugao između vektora tup: (od 90 do 180 stepeni), zatim , i shodno tome, tačkasti proizvod je negativan: . Poseban slučaj: ako su vektori suprotnim pravcima, tada se razmatra ugao između njih prošireno: (180 stepeni). Skalarni proizvod je također negativan, jer

Tačne su i suprotne tvrdnje:

1) Ako je , tada je ugao između ovih vektora oštar. Alternativno, vektori su kosmjerni.

2) Ako je , tada je ugao između ovih vektora tup. Alternativno, vektori su u suprotnim smjerovima.

Ali treći slučaj je od posebnog interesa:

3) Ako ugao između vektora ravno: (90 stepeni), onda skalarni proizvod je nula: . Obratno je također istinito: ako , onda . Izjava se može sažeto formulirati na sljedeći način: Skalarni proizvod dva vektora je nula ako i samo ako su vektori ortogonalni. Kratka matematička notacija:

! Bilješka : Da ponovimo osnove matematičke logike: Ikona dvostrane logičke posljedice obično se čita "ako i samo ako", "ako i samo ako". Kao što vidite, strelice su usmjerene u oba smjera - "iz ovoga slijedi ovo, i obrnuto - iz ovoga slijedi ovo." Koja je, inače, razlika od ikone za jednosmjerno praćenje? Ikona navodi samo to, da „iz ovoga slijedi ovo“, a nije činjenica da je suprotno. Na primjer: , ali nije svaka životinja panter, tako da u ovom slučaju ne možete koristiti ikonu. Istovremeno, umjesto ikone Može koristite jednostranu ikonu. Na primjer, rješavajući problem, saznali smo da smo zaključili da su vektori ortogonalni: - takav unos će biti ispravan, pa čak i prikladniji od .

Treći slučaj ima veliki praktični značaj, jer vam omogućava da provjerite da li su vektori ortogonalni ili ne. Ovaj problem ćemo riješiti u drugom dijelu lekcije.

Svojstva tačkastog proizvoda

Vratimo se na situaciju kada su dva vektora co-directed. U ovom slučaju, kut između njih je nula, , i formula skalarnog proizvoda ima oblik: .

Šta se dešava ako se vektor pomnoži sam sa sobom? Jasno je da je vektor poravnat sam sa sobom, pa koristimo gornju pojednostavljenu formulu:

Broj je pozvan skalarni kvadrat vektor, i označeni su kao .

dakle, skalarni kvadrat vektora jednak je kvadratu dužine datog vektora:

Iz ove jednakosti možemo dobiti formulu za izračunavanje dužine vektora:

Za sada se čini nejasnim, ali ciljevi lekcije će sve staviti na svoje mjesto. Za rješavanje problema i nama su potrebni svojstva tačkastog proizvoda.

Za proizvoljne vektore i bilo koji broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) – komutativno ili komutativno skalarni zakon proizvoda.

2) – distribucija ili distributivni skalarni zakon proizvoda. Jednostavno, možete otvoriti zagrade.

3) – asocijativni ili asocijativni skalarni zakon proizvoda. Konstanta se može izvesti iz skalarnog proizvoda.

Često, svakakva svojstva (koja takođe treba dokazati!) studenti doživljavaju kao nepotrebno smeće, koje samo treba zapamtiti i sigurno zaboraviti odmah nakon ispita. Čini se da ono što je ovdje bitno, svi već od prvog razreda znaju da preraspoređivanje faktora ne mijenja proizvod: . Moram vas upozoriti da je u višoj matematici lako zabrljati stvari takvim pristupom. Tako, na primjer, komutativno svojstvo nije tačno za algebarske matrice. To takođe nije tačno za vektorski proizvod vektora. Stoga je, u najmanju ruku, bolje proći kroz sva svojstva na koja naiđete na višem kursu matematike kako biste razumjeli šta možete, a šta ne.

Primjer 3

.

Rješenje: Prvo, razjasnimo situaciju s vektorom. Šta je ovo uopšte? Zbir vektora je dobro definiran vektor, koji se označava sa . Geometrijska interpretacija radnji s vektorima može se naći u članku Vektori za lutke. Isti peršun s vektorom je zbir vektora i .

Dakle, prema uslovu, potrebno je pronaći skalarni proizvod. U teoriji, morate se prijaviti radna formula , ali problem je što ne znamo dužine vektora i ugao između njih. Ali uvjet daje slične parametre za vektore, pa ćemo krenuti drugim putem:

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Otvaramo zagrade prema pravilu za množenje polinoma u članku; Kompleksni brojevi ili Integracija razlomno-racionalne funkcije. Neću se ponavljati =) Inače, distributivno svojstvo skalarnog proizvoda nam omogućava da otvorimo zagrade. Imamo pravo.

(3) U prvom i posljednjem pojmu kompaktno zapisujemo skalarne kvadrate vektora: . U drugom terminu koristimo komutabilnost skalarnog proizvoda: .

(4) Predstavljamo slične pojmove: .

(5) U prvom terminu koristimo formulu skalarnog kvadrata, koja je nedavno spomenuta. U zadnjem mandatu, shodno tome, radi ista stvar: . Proširujemo drugi član prema standardnoj formuli .

(6) Zamijenite ove uslove , i PAŽLJIVO izvršite završne proračune.

odgovor:

Negativno značenje Skalarni proizvod navodi činjenicu da je ugao između vektora tup.

Problem je tipičan, evo primjera da ga sami riješite:

Primjer 4

Naći skalarni proizvod vektora i ako je to poznato .

Sada još jedan uobičajeni zadatak, samo za novu formulu za dužinu vektora. Ovdje će se notacija malo preklapati, pa ću je radi jasnoće prepisati drugim slovom:

Primjer 5

Pronađite dužinu vektora if .

Rješenje bit će kako slijedi:

(1) Dajemo izraz za vektor .

(2) Koristimo formulu dužine: , a cijeli izraz ve djeluje kao vektor “ve”.

(3) Za kvadrat zbira koristimo školsku formulu. Zapazite kako to ovdje funkcionira na čudan način: – u stvari, to je kvadrat razlike, i, zapravo, to je tako. Oni koji žele mogu da preurede vektore: - dešava se isto, do prestrojavanja pojmova.

(4) Ono što slijedi već je poznato iz dva prethodna problema.

odgovor:

Budući da govorimo o dužini, ne zaboravite navesti dimenziju - "jedinice".

Primjer 6

Pronađite dužinu vektora if .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Nastavljamo da cijedimo korisne stvari iz tačkastog proizvoda. Pogledajmo ponovo našu formulu . Koristeći pravilo proporcije, vraćamo dužine vektora na nazivnik lijeve strane:

Zamenimo delove:

Šta je značenje ove formule? Ako su poznate dužine dva vektora i njihov skalarni proizvod, onda možemo izračunati kosinus ugla između ovih vektora, a samim tim i sam ugao.

Da li je tačkasti proizvod broj? Broj. Da li su vektorske dužine brojevi? Brojevi. To znači da je i razlomak broj. A ako je poznat kosinus ugla: , a zatim koristeći inverzna funkcija Lako je pronaći sam ugao: .

Primjer 7

Pronađite ugao između vektora i ako je poznato da je .

Rješenje: Koristimo formulu:

U završnoj fazi proračuna korišćena je tehnička tehnika - eliminisanje iracionalnosti u nazivniku. Da bih eliminisao iracionalnost, pomnožio sam brojilac i imenilac sa .

Sta ako , To:

Inverzne vrijednosti trigonometrijske funkcije može se naći po trigonometrijska tabela. Iako se to retko dešava. U problemima analitičke geometrije mnogo češće neki nespretni medvjed poput , a vrijednost ugla se mora pronaći približno pomoću kalkulatora. Zapravo, takvu sliku ćemo vidjeti više puta.

odgovor:

Opet, ne zaboravite navesti dimenzije - radijane i stupnjeve. Lično, da bih očigledno „riješio sva pitanja“, radije naznačim oba (osim ako uslov, naravno, ne zahtijeva da se odgovor prikaže samo u radijanima ili samo u stepenima).

Sada se možete samostalno nositi sa složenijim zadatkom:

Primjer 7*

Date su dužine vektora i ugao između njih. Pronađite ugao između vektora , .

Zadatak nije toliko težak koliko je u više koraka.
Pogledajmo algoritam rješenja:

1) Prema uvjetu, trebate pronaći kut između vektora i , tako da trebate koristiti formulu .

2) Pronađite skalarni proizvod (vidi primjere br. 3, 4).

3) Odrediti dužinu vektora i dužinu vektora (vidi primjere br. 5, 6).

4) Završetak rješenja poklapa se s primjerom br. 7 - znamo broj, što znači da je lako pronaći sam ugao:

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Drugi dio lekcije posvećen je istom skalarnom proizvodu. Koordinate. Biće još lakše nego u prvom delu.

Tačkasti proizvod vektora,
dat koordinatama u ortonormalnoj bazi

odgovor:

Nepotrebno je reći da je rad s koordinatama mnogo ugodniji.

Primjer 14

Pronađite skalarni proizvod vektora i if

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Ovdje možete koristiti asocijativnost operacije, odnosno ne računajte, već odmah izvadite trojku izvan skalarnog proizvoda i pomnožite je s njom zadnji. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

Na kraju pasusa, provokativan primjer za izračunavanje dužine vektora:

Primjer 15

Pronađite dužine vektora , Ako

Rješenje: Metoda iz prethodnog odjeljka se ponovo sugerira: ali postoji još jedan način:

Nađimo vektor:

I njegova dužina prema trivijalnoj formuli:

Tačkasti proizvod ovdje uopće nije relevantan!

Također nije korisno kada se izračunava dužina vektora:
Stani. Zar ne bi trebalo da iskoristimo očiglednu osobinu dužine vektora? Šta možete reći o dužini vektora? Ovaj vektor 5 puta duži od vektora. Smjer je suprotan, ali to nije bitno, jer govorimo o dužini. Očigledno, dužina vektora je jednaka proizvodu modul brojevi po dužini vektora:
– znak modula “jede” mogući minus broja.

ovako:

odgovor:

Formula za kosinus ugla između vektora koji su specificirani koordinatama

sada imamo pune informacije, tako da je prethodno izvedena formula za kosinus ugla između vektora izraziti kroz vektorske koordinate:

Kosinus ugla između ravnih vektora i , specificirano u ortonormalnoj bazi, izraženo formulom:
.

Kosinus ugla između vektora prostora, specificirano na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Primjer 16

Zadana tri vrha trougla. Pronađite (ugao vrha).

Rješenje: Prema uslovima, crtež nije obavezan, ali ipak:

Potreban ugao je označen zelenim lukom. Sjetimo se odmah školske oznake ugla: – posebna pažnja na prosjek slovo - ovo je vrh ugla koji nam je potreban. Radi kratkoće, možete i jednostavno napisati .

Iz crteža je sasvim očigledno da se ugao trokuta poklapa sa uglom između vektora i, drugim rečima: .

Preporučljivo je naučiti mentalno izvoditi analizu.

Nađimo vektore:

Izračunajmo skalarni proizvod:

I dužine vektora:

Kosinus ugla:

Upravo to je redoslijed izvršavanja zadatka koji preporučujem lutkama. Napredniji čitaoci mogu da napišu proračune "u jednom redu":

Evo primjera "loše" kosinusne vrijednosti. Rezultirajuća vrijednost nije konačna, tako da ne posebno značenje osloboditi se iracionalnosti u nazivniku.

Nađimo sam ugao:

Ako pogledate crtež, rezultat je prilično uvjerljiv. Za provjeru, ugao se također može izmjeriti kutomjerom. Nemojte oštetiti poklopac monitora =)

odgovor:

U odgovoru to ne zaboravljamo pitao o uglu trougla(a ne o kutu između vektora), ne zaboravite navesti tačan odgovor: i približnu vrijednost ugla: , pronađen pomoću kalkulatora.

Oni koji su uživali u procesu mogu izračunati uglove i provjeriti valjanost kanonske jednakosti

Primjer 17

Trokut je definiran u prostoru koordinatama njegovih vrhova. Pronađite ugao između stranica i

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Kratak završni dio bit će posvećen projekcijama, koje također uključuju skalarni proizvod:

Projekcija vektora na vektor. Projekcija vektora na koordinatne ose.
Kosinus smjera vektora

Razmotrimo vektore i :

Projicirajmo vektor na vektor da bismo to uradili, od početka i kraja vektora koje izostavljamo okomite u vektor (zelene isprekidane linije). Zamislite da zraci svjetlosti padaju okomito na vektor. Tada će segment (crvena linija) biti “sjena” vektora. U ovom slučaju, projekcija vektora na vektor je DUŽINA segmenta. To jest, PROJEKCIJA JE BROJ.

Ovaj BROJ se označava na sljedeći način: , “veliki vektor” označava vektor KOJI projekta, “mali indeksni vektor” označava vektor ON koji je projektovan.

Sam unos glasi ovako: "projekcija vektora "a" na vektor "be"."

Šta se dešava ako je vektor "be" "prekratak"? Crtamo pravu liniju koja sadrži vektor "be". I vektor “a” će već biti projektovan u smjeru vektora "biti", jednostavno - na pravu liniju koja sadrži vektor “be”. Ista stvar će se dogoditi ako se vektor “a” odloži u tridesetom kraljevstvu – i dalje će se lako projektovati na pravu liniju koja sadrži vektor “be”.

Ako je ugao između vektora ljuto(kao na slici), onda

Ako vektori ortogonalno, zatim (projekcija je tačka čije se dimenzije smatraju nultim).

Ako je ugao između vektora tup(na slici mentalno preuredite vektorsku strelicu), zatim (iste dužine, ali uzeto sa znakom minus).

Hajde da nacrtamo ove vektore iz jedne tačke:

Očigledno, kada se vektor kreće, njegova projekcija se ne mijenja

Na Vaš zahtjev!

1. Uklonite iracionalnost u nazivniku:

3. Riješite eksponencijalnu jednačinu:

4. Riješite nejednakost:

Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja i uvijek se izražava kao nenegativan broj, dakle, ova nejednakost će važiti za sve X, koji zadovoljava uslov: 2-h≥0. Odavde dobijamo: x≤2. Odgovor zapisujemo u obliku brojčanog intervala: (-∞; 2).

5. Riješite nejednačinu: 7 x > -1.

A-prioritet: Funkcija oblika y = a x naziva se eksponencijalna, gdje je a >0, a≠1, x bilo koji broj. Raspon vrijednosti eksponencijalna funkcija je skup svih pozitivnih brojeva, budući da će pozitivan broj na bilo koji stepen biti pozitivan. Zato je 7 x >0 za bilo koji x, a još više 7 x > -1, tj. nejednakost je tačna za sve x ∈ (-∞; +∞).

6. Pretvori u proizvod:

Primijenimo formulu za zbir sinusa: zbir sinusa dvaju uglova jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbira ovih uglova i kosinusa njihove polurazlike.

8. Poznato je da je f(x) = -15x+3. Za koje vrijednosti x ima f(x)=0?

Zamijenite broj 0 umjesto f(x) i riješite jednačinu:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . U prvoj i drugoj legurama bakar i cink su u omjeru 5:2 i 3:4. Koliko od svake legure treba uzeti da bi se dobilo 28 kg nove legure sa jednakim sadržajem bakra i cinka.

Razumijemo da će nova legura sadržavati 14 kg bakra i 14 kg cinka. Svi takvi problemi se rješavaju na isti način: stvaraju jednačinu u kojoj lijeva i desna strana sadrže istu količinu tvari (uzmimo bakar), napisanu različito (na osnovu specifičnih uvjeta problema). Naših 14 kg bakra u novoj leguri biće sastavljeno od bakra iz obe ove legure. Neka masa prve legure X kg, tada je masa druge legure ( 28's)kg. Prva legura sadrži 5 dijelova bakra i 2 dijela cinka, stoga će bakar biti (5/7) od x kg. Da biste pronašli razlomak broja morate taj razlomak pomnožiti sa dati broj. Druga legura sadrži 3 dijela bakra i 4 dijela cinka, tj. bakar sadrži (3/7) od (28) kg. dakle:

12. Riješite jednačinu: log 2 8 x = -1.

Po definiciji logaritma:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. Naći derivaciju funkcije f(x) = -ln cosx 2 .

20. Pronađite značenje izraza:

Modul broja može se izraziti samo kao nenegativan broj. Ako se ispod predznaka modula nalazi negativan izraz, tada se pri otvaranju modularnih zagrada svi pojmovi pišu sa suprotnim predznacima.

22. Riješite sistem nejednačina:

Prvo rješavamo svaku nejednačinu posebno.

Imajte na umu da bi najmanji zajednički period za ove funkcije bio 2π, dakle, i lijevo i desno su atribuirani 2πn. Odgovor C).

23. Pronađite površinu figure ograničenu grafikom funkcije y=3-|x-3| i prava y=0.

Graf ove funkcije će se sastojati od dvije poluprave koje izlaze iz jedne tačke. Zapišimo jednačine pravih. Za x≥3 otvaramo modularne zagrade i dobijamo: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. Na x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Trokut omeđen grafikom funkcije i segmentom Ox ose je figura čiju površinu treba pronaći. Naravno, ovdje možemo bez integrala. Nađimo površinu trokuta kao polovinu proizvoda njegove osnove i visine povučene ovoj osnovici. Naša osnova je jednaka 6 jediničnih segmenata, a visina povučena do ove osnove jednaka je 3 jedinična segmenta. Površina će biti 9 kvadratnih metara. jedinice

24. Naći kosinus ugla A trougla sa vrhovima u tačkama A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2).

Da biste pronašli koordinate vektora date koordinatama njegovih krajeva, morate oduzeti koordinate početka od koordinata kraja.

Ugao A formiraju vektori:

25. U kutiji se nalaze 23 lopte: crvena, bijela i crna. Bijelih loptica ima 11 puta više nego crvenih. Koliko crnih kuglica?

Neka leži u kutiji X crvene lopte. Zatim bijelo 11x lopte.

Crveno-bijelo x+11x= 12x lopte. Dakle, crne lopte 23-12x. Pošto je ovo ceo broj loptica, jedina moguća vrednost je x=1. Ispada: 1 crvena lopta, 11 bijelih loptica i 11 crne lopte.