Opcija logaritamskih nejednakosti 2. Kompleksne logaritamske nejednakosti

Uvod

Logaritmi su izmišljeni da ubrzaju i pojednostave proračune. Ideja logaritma, odnosno ideja izražavanja brojeva kao potencija iste baze, pripada Mikhailu Stiefelu. Ali u Stiefelovo vrijeme matematika nije bila toliko razvijena i ideja logaritma nije bila razvijena. Logaritme su kasnije istovremeno i nezavisno jedan od drugog izmislili škotski naučnik Džon Napier (1550-1617), a Švajcarac Jobst Burgi (1552-1632) je prvi objavio ovo delo 1614. godine. pod naslovom "Opis nevjerovatne tablice logaritama", Napierova teorija logaritama je data u prilično cjelovitom obimu, metoda izračunavanja logaritama je data kao najjednostavnija, stoga su Napierove zasluge u pronalasku logaritama bile veće od Bürgijevih . Burgi je radio na tablicama u isto vrijeme kada i Napier, ali ih je dugo čuvao u tajnosti i objavio ih tek 1620. godine. Napier je savladao ideju logaritma oko 1594. iako su tabele objavljene 20 godina kasnije. Najprije je svoje logaritme nazvao "vještački brojevi", a tek onda je predložio da se ovi "vještački brojevi" nazovu jednom riječju "logaritam", što u prijevodu s grčkog znači "korelirani brojevi", uzeti jedan iz aritmetičke progresije, a drugi iz aritmetičke progresije. geometrijska progresija posebno odabrana za to. Prve tabele na ruskom jeziku objavljene su 1703. uz učešće divnog učitelja 18. veka. L. F. Magnitsky. U razvoju teorije logaritama velika vrijednost imao radove peterburškog akademika Leonharda Ojlera. On je bio prvi koji je logaritme smatrao obrnutim dizanjem na stepen, uveo je pojmove “logaritamska baza” i “mantisa” je sastavio tabele logaritama sa osnovom 10. jednostavniji od Napierovih logaritama. Zato decimalni logaritmi ponekad se nazivaju brigovi. Termin "karakterizacija" uveo je Briggs.

U tim dalekim vremenima, kada su mudraci prvi put počeli razmišljati o jednakostima koje sadrže nepoznate količine, vjerovatno nije bilo kovanica ili novčanika. Ali postojale su hrpe, kao i lonci i korpe, koje su bile savršene za ulogu spremišta u koje je mogao stati nepoznat broj predmeta. U drevnim matematičkim problemima Mesopotamije, Indije, Kine, Grčke, nepoznate količine su izražavale broj paunova u vrtu, broj bikova u stadu i ukupnost stvari koje se uzimaju u obzir prilikom podjele imovine. Pisari, službenici i svećenici upućeni u tajno znanje, dobro obučeni u nauci računa, prilično su se uspješno nosili s takvim zadacima.

Izvori koji su došli do nas ukazuju da su drevni naučnici imali neke opšte tehnike za rešavanje problema sa nepoznatim količinama. Međutim, niti jedna papirusna ili glinena ploča ne sadrži opis ovih tehnika. Autori su svoje numeričke proračune samo povremeno davali štedljivim komentarima kao što su: „Pogledaj!“, „Uradi ovo!“, „Pronašli ste pravog“. U tom smislu izuzetak je "Aritmetika" grčkog matematičara Diofanta iz Aleksandrije (III vek) - zbirka zadataka za sastavljanje jednačina sa sistematskim prikazom njihovih rešenja.

Međutim, prvi priručnik za rješavanje problema koji je postao široko poznat bio je rad bagdadskog naučnika iz 9. stoljeća. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Riječ "al-jabr" iz arapskog naziva ove rasprave - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Knjiga obnove i opozicije") - vremenom se pretvorila u dobro poznatu riječ "algebra", a djelo od samog al-Khwarizmija služio polazna tačka u razvoju nauke o rešavanju jednačina.

Logaritamske jednačine i nejednačine

1. Logaritamske jednadžbe

Jednačina koja sadrži nepoznatu pod predznakom logaritma ili u svojoj osnovi naziva se logaritamska jednačina.

Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika

log a x = b . (1)

Izjava 1. Ako a > 0, a≠ 1, jednačina (1) za bilo koju realnu b ima jedinstveno rešenje x = a b .

Primjer 1. Riješite jednadžbe:

a) dnevnik 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Rješenje. Koristeći iskaz 1, dobijamo a) x= 2 3 ili x= 8; b) x= 3 -1 ili x= 1 / 3 ; c)

Predstavimo osnovna svojstva logaritma.

P1. Osnovni logaritamski identitet:

Gdje a > 0, a≠ 1 i b > 0.

P2. Logaritam proizvoda pozitivnih faktora jednak je zbiru logaritama ovih faktora:

log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Ako N 1 · N 2 > 0, tada svojstvo P2 poprima oblik

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Logaritam količnika dva pozitivna broja jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja

Komentar. Ako

P4. Logaritam stepena pozitivnog broja jednak je umnošku eksponenta i logaritma ovog broja:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Komentar. Ako k - paran broj (k = 2s), To

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Formula za prelazak u drugu bazu:

posebno ako N = b, dobijamo

Koristeći svojstva P4 i P5, lako je dobiti sljedeća svojstva

i, ako je u (5) c- paran broj ( c = 2n), drži

Nabrojimo glavna svojstva logaritamske funkcije f (x) = log a x :

1. Područje definicije logaritamske funkcije je skup pozitivnih brojeva.

2. Raspon vrijednosti logaritamske funkcije je skup realni brojevi.

3. Kada a> 1 logaritamska funkcija se striktno povećava (0< x 1 < x 2log a x 1 < loga x 2), i na 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2log a x 1 > log a x 2).

4.log a 1 = 0 i log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija negativna kada x(0;1) i pozitivno na x(1;+∞), a ako je 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) i negativan pri x (1;+∞).

6. Ako a> 1, tada je logaritamska funkcija konveksna prema gore, i ako a(0;1) - konveksno prema dolje.

Sljedeći iskazi (vidi, na primjer,) se koriste prilikom rješavanja logaritamskih jednačina.

Mislite li da ima još vremena do Jedinstvenog državnog ispita i da ćete imati vremena da se pripremite? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što ranije student počne sa pripremama, to će uspješnije polagati ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednačinama. Ovo je jedan od zadataka, što znači mogućnost da dobijete dodatni kredit.

Da li već znate šta je logaritam? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Razumijevanje šta je logaritam je vrlo jednostavno.

Zašto 4? Morate podići broj 3 na ovaj stepen da dobijete 81. Kada shvatite princip, možete nastaviti sa složenijim proračunima.

Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada se stalno susrećete sa njima u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada kada smo se upoznali s konceptima pojedinačno, pređimo na njihovo razmatranje općenito.

Najjednostavnija logaritamska nejednakost.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti nisu ograničene na ovaj primjer, postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je ovo potrebno? Da bolje razumijemo kako riješiti nejednačine logaritmima. Hajde sada da damo jedan primenljiviji primer, još uvek prilično jednostavan, ostavićemo složene logaritamske nejednakosti za kasnije.

Kako to riješiti? Sve počinje od ODZ-a. Vrijedi znati više o tome ako želite uvijek lako riješiti bilo koju nejednakost.

Šta je ODZ? ODZ za logaritamske nejednakosti

Skraćenica označava raspon prihvatljivih vrijednosti. Ova formulacija se često pojavljuje u zadacima za Jedinstveni državni ispit. ODZ će vam biti od koristi ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.

Pogledajte ponovo gornji primjer. Na osnovu njega ćemo razmotriti ODZ, kako biste razumjeli princip, a rješavanje logaritamskih nejednakosti ne postavlja pitanja. Iz definicije logaritma slijedi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.

Ovaj broj, po definiciji, mora biti pozitivan. Riješite gore prikazanu nejednakost. Ovo se čak može učiniti i usmeno, ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednakosti će biti definicija raspona prihvatljivih vrijednosti.
Pređimo sada na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednakosti.

Odbacujemo same logaritme sa obe strane nejednakosti. Šta nam ovo ostavlja? Jednostavna nejednakost.

To nije teško riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada kombinujemo dve dobijene vrednosti u sistem. dakle,

Ovo će biti raspon prihvatljivih vrijednosti za logaritamsku nejednakost koja se razmatra.

Zašto nam je uopšte potreban ODZ? Ovo je prilika da se iskorijene netačni i nemogući odgovori. Ako odgovor nije u rasponu prihvatljivih vrijednosti, onda odgovor jednostavno nema smisla. Ovo je vrijedno pamćenja dugo vremena, jer u Jedinstvenom državnom ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ-a, a ne tiče se samo logaritamskih nejednakosti.

Algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti

Rješenje se sastoji od nekoliko faza. Prvo, morate pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će postojati dvije vrijednosti, o tome smo razgovarali gore. Zatim morate riješiti samu nejednakost. Metode rješenja su sljedeće:

• metoda zamjene množitelja;
• raspadanje;
• metoda racionalizacije.

Ovisno o situaciji, vrijedi koristiti jednu od gore navedenih metoda. Pređimo direktno na rješenje. Otkrijmo najpopularniju metodu koja je pogodna za rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo pogledati metodu dekompozicije. Može pomoći ako naiđete na posebno nezgodnu nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednakosti.

Primjeri rješenja :

Nije uzalud uzeli upravo ovu nejednakost! Obratite pažnju na bazu. Zapamtite: ako je veći od jedan, predznak ostaje isti kada se pronađe raspon prihvatljivih vrijednosti; u suprotnom, morate promijeniti predznak nejednakosti.

Kao rezultat, dobijamo nejednakost:

Sada lijevu stranu svedemo na oblik jednačine jednak nuli. Umjesto znaka “manje od” stavljamo “jednako” i rješavamo jednačinu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da ćemo sa rješenjem za ovo jednostavna jednačina nećete imati nikakvih problema. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Ove tačke morate prikazati na grafikonu, stavljajući “+” i “-”. Šta je potrebno učiniti za ovo? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Tamo gdje su vrijednosti pozitivne, stavljamo "+".

Odgovori: x ne može biti veći od -4 i manji od -2.

Pronašli smo raspon prihvatljivih vrijednosti samo za lijevu stranu, sada moramo pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za desnu stranu. Ovo je mnogo lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba rezultirajuća područja.

I tek sada počinjemo da se bavimo samom nejednakošću.

Pojednostavimo ga što je više moguće kako bismo ga lakše riješili.

Ponovo koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo kalkulacije s tim je već sve jasno iz prethodnog primjera. Odgovori.

Ali ova metoda je prikladna ako logaritamska nejednakost ima iste baze.

Rješavanje logaritamskih jednadžbi i nejednačina sa iz različitih razloga pretpostavlja početno svođenje na jednu bazu. Zatim koristite metodu opisanu gore. Ali postoji i komplikovaniji slučaj. Razmotrimo jednu od najbrojnijih složene vrste logaritamske nejednakosti.

Logaritamske nejednakosti sa promenljivom bazom

Kako riješiti nejednakosti sa takvim karakteristikama? Da, i takvi se ljudi mogu naći na Jedinstvenom državnom ispitu. Rješavanje nejednakosti na sljedeći način također će imati blagotvoran učinak na vaš obrazovni proces. Pogledajmo pitanje detaljno. Odbacimo teoriju i pređimo odmah na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.

Za rješavanje logaritamske nejednakosti prikazanog oblika potrebno je desnu stranu svesti na logaritam s istom osnovom. Princip liči na ekvivalentne prelaze. Kao rezultat, nejednakost će izgledati ovako.

Zapravo, ostaje samo da se napravi sistem nejednakosti bez logaritama. Koristeći metodu racionalizacije, prelazimo na ekvivalentan sistem nejednakosti. Shvatit ćete samo pravilo kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sistem će imati sljedeće nejednakosti.

Kada koristite metodu racionalizacije pri rješavanju nejednačina, morate zapamtiti sljedeće: jedan se mora oduzeti od baze, x, po definiciji logaritma, oduzima se od obje strane nejednakosti (desno slijeva), dva izraza se množe i postavljen pod originalnim predznakom u odnosu na nulu.

Dalje rješenje se provodi metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da shvatite razlike u metodama rješenja, tada će sve početi lako funkcionirati.

IN logaritamske nejednakosti mnoge nijanse. Najjednostavnije od njih je prilično lako riješiti. Kako možete riješiti svaki od njih bez problema? Već ste dobili sve odgovore u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka na ispitu i moći ćete dobiti najviši rezultat. Sretno u Vašem teškom zadatku!

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lične podatke nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Logaritamske nejednakosti

U prethodnim lekcijama smo se upoznali sa logaritamskim jednadžbama i sada znamo šta su i kako ih riješiti. Današnja lekcija će biti posvećena proučavanju logaritamskih nejednakosti. Koje su to nejednakosti i koja je razlika između rješavanja logaritamske jednadžbe i nejednakosti?

Logaritamske nejednakosti su nejednakosti koje imaju varijablu koja se pojavljuje ispod znaka logaritma ili u njegovoj osnovi.

Ili, također možemo reći da je logaritamska nejednačina nejednakost u kojoj će se njena nepoznata vrijednost, kao u logaritamskoj jednadžbi, pojaviti pod znakom logaritma.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti imaju sljedeći oblik:

gdje su f(x) i g(x) neki izrazi koji zavise od x.

Pogledajmo ovo koristeći ovaj primjer: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rješavanje logaritamskih nejednačina

Prije rješavanja logaritamskih nejednačina, vrijedi napomenuti da su kada su riješene slične eksponencijalnim nejednačinama, naime:

Prvo, kada prelazimo sa logaritma na izraze pod znakom logaritma, takođe treba da uporedimo bazu logaritma sa jedinicom;

Drugo, kada rješavamo logaritamsku nejednakost korištenjem promjene varijabli, moramo rješavati nejednakosti s obzirom na promjenu dok ne dobijemo najjednostavniju nejednakost.

Ali vi i ja smo razmatrali slične aspekte rješavanja logaritamskih nejednačina. Sada obratimo pažnju na prilično značajnu razliku. Vi i ja znamo da logaritamska funkcija ima ograničeno područje definicije, stoga, kada prelazimo s logaritama na izraze pod znakom logaritma, moramo uzeti u obzir raspon dopuštenih vrijednosti (ADV).

Odnosno, treba uzeti u obzir da prilikom rješavanja logaritamske jednadžbe vi i ja prvo možemo pronaći korijene jednadžbe, a zatim provjeriti ovo rješenje. Ali rješavanje logaritamske nejednakosti neće funkcionirati na ovaj način, jer će pri prelasku s logaritama na izraze pod predznakom logaritma biti potrebno zapisati ODZ nejednakosti.

Osim toga, vrijedi zapamtiti da se teorija nejednakosti sastoji od realnih brojeva, koji su pozitivni i negativni brojevi, kao i broja 0.

Na primjer, kada je broj “a” pozitivan, tada trebate koristiti sljedeću notaciju: a >0. U ovom slučaju, i zbir i proizvod ovih brojeva također će biti pozitivni.

Glavni princip za rješavanje nejednakosti je zamijeniti je jednostavnijom nejednakošću, ali glavno je da je ona ekvivalentna datoj. Nadalje, također smo dobili nejednakost i ponovo je zamijenili onom koja ima jednostavniji oblik, itd.

Prilikom rješavanja nejednakosti s promjenljivom, potrebno je pronaći sva njena rješenja. Ako dvije nejednačine imaju istu varijablu x, onda su takve nejednakosti ekvivalentne, pod uslovom da se njihova rješenja poklapaju.

Prilikom izvođenja zadataka na rješavanju logaritamskih nejednačina, morate imati na umu da kada je a > 1, tada se logaritamska funkcija povećava, a kada je 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode rješavanja logaritamskih nejednačina

Pogledajmo sada neke od metoda koje se koriste prilikom rješavanja logaritamskih nejednačina. Radi boljeg razumijevanja i asimilacije, pokušat ćemo ih razumjeti na konkretnim primjerima.

Svi znamo da najjednostavnija logaritamska nejednakost ima sljedeći oblik:

U ovoj nejednakosti, V – je jedan od sljedećih znakova nejednakosti:<,>, ≤ ili ≥.

Kada je osnova datog logaritma veća od jedan (a>1), čineći prijelaz sa logaritama na izraze pod predznakom logaritma, tada je u ovoj verziji znak nejednakosti sačuvan, a nejednakost će imati sljedeći oblik:

što je ekvivalentno ovom sistemu:

U slučaju kada je osnova logaritma veća od nule i manja od jedan (0

Ovo je ekvivalentno ovom sistemu:

Pogledajmo još primjera rješavanja najjednostavnijih logaritamskih nejednačina prikazanih na slici ispod:

Primjeri rješavanja

Vježbajte. Pokušajmo riješiti ovu nejednakost:

Rješavanje raspona prihvatljivih vrijednosti.

Pokušajmo sada pomnožiti njegovu desnu stranu sa:

Hajde da vidimo šta možemo da smislimo:

Pređimo sada na pretvaranje podlogaritamskih izraza. Zbog činjenice da je osnova logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

A iz ovoga proizilazi da interval koji smo dobili u potpunosti pripada ODZ-u i da je rješenje takve nejednakosti.

Evo odgovora koji smo dobili:

Šta je potrebno za rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Pokušajmo sada analizirati šta nam je potrebno za uspješno rješavanje logaritamskih nejednakosti?

Prvo, koncentrišite svu svoju pažnju i pokušajte da ne pogrešite kada izvodite transformacije koje su date u ovoj nejednakosti. Također, treba imati na umu da je prilikom rješavanja ovakvih nejednakosti potrebno izbjegavati proširenja i kontrakcije ODZ nejednakosti, što može dovesti do gubitka ili sticanja stranih rješenja.

Drugo, kada rješavate logaritamske nejednakosti, morate naučiti logično razmišljati i razumjeti razliku između pojmova kao što su sistem nejednakosti i skup nejednakosti, tako da možete lako odabrati rješenja nejednakosti, a pritom se voditi njenim DL.

Treće, da biste uspješno riješili takve nejednakosti, svako od vas mora savršeno poznavati sva svojstva elementarne funkcije i jasno razumeju njihovo značenje. Takve funkcije uključuju ne samo logaritamske, već i racionalne, stepene, trigonometrijske, itd., jednom riječju, sve one koje ste proučavali tijekom školovanje algebra.

Kao što vidite, nakon što ste proučili temu logaritamskih nejednakosti, nema ništa teško u rješavanju ovih nejednakosti, pod uvjetom da ste pažljivi i uporni u postizanju svojih ciljeva. Da biste izbjegli bilo kakve probleme u rješavanju nejednakosti, potrebno je što više vježbati, rješavajući različite zadatke i pritom zapamtiti osnovne metode rješavanja takvih nejednačina i njihovih sistema. Ako ne uspete da rešite logaritamske nejednakosti, trebalo bi da pažljivo analizirate svoje greške kako se ne biste vraćali na njih u budućnosti.

Domaći

Da biste bolje razumjeli temu i konsolidirali obrađeni materijal, riješite sljedeće nejednakosti: