Trokut je geometrijska figura koja se sastoji od tri prave linije koje se spajaju u tačkama koje ne leže na istoj pravoj liniji. Tačke veze linija su vrhovi trokuta, koji su označeni sa latiničnim slovima(npr. A, B, C). Spojne ravne linije trougla nazivaju se segmenti, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Razlikuju se sljedeće vrste trokuta:

• Pravougaona.
• Tupo.
• Acute angular.
• Svestran.
• Equilateral.
• Jednakokraki.

Opće formule za izračunavanje površine trokuta

Formula za površinu trokuta na osnovu dužine i visine

S= a*h/2,
gdje je a dužina stranice trougla čiju površinu treba pronaći, h je dužina visine povučene do osnove.

Heronova formula

S=√r*(r-a)*(r-b)*(p-c),
gdje je √ Kvadratni korijen, p je poluperimetar trougla, a,b,c je dužina svake strane trougla. Poluperimetar trougla može se izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.

Formula za površinu trokuta na osnovu ugla i dužine segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
Gdje b,c je dužina stranica trougla, sin(α) je sinus ugla između dvije stranice.

Formula za površinu trokuta s obzirom na polumjer upisane kružnice i tri strane

S=p*r,
gdje je p poluperimetar trougla čiju površinu treba pronaći, r je poluprečnik kružnice upisane u ovaj trokut.

Formula za površinu trokuta zasnovanu na tri strane i poluprečniku kružnice opisane oko njega

S= (a*b*c)/4*R,
gdje je a,b,c dužina svake strane trougla, R je polumjer kružnice opisane oko trougla.

Formula za površinu trokuta koristeći kartezijanske koordinate tačaka

Kartezijanske koordinate tačaka su koordinate u sistemu xOy, gdje je x apscisa, y ordinata. Kartezijanski sistem koordinate xOy na ravni nazivaju se međusobno okomite numeričke ose Oh i Oy sa zajedničkim ishodištem u tački O. Ako su koordinate tačaka na ovoj ravni date u obliku A(x1, y1), B(x2, y2) i C(x3, y3), tada je površina ​Trokut se može izračunati korištenjem sljedeće formule, koja se dobija iz unakrsnog proizvoda dva vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.

Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta

Pravougli trougao je trougao sa jednim uglom od 90 stepeni. Trougao može imati samo jedan takav ugao.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije strane

S= a*b/2,
gdje je a,b dužina nogu. Noge su strane koje se nalaze uz pravi ugao.

Formula za površinu pravokutnog trokuta zasnovana na hipotenuzi i oštrom kutu

S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trougla, a sin(α) je sinus ugla pod kojim se prave a, b seku.

Formula za površinu pravokutnog trokuta zasnovana na strani i suprotnom kutu

S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b katete trougla, tan(β) je tangenta ugla pod kojim su katete a, b spojene.

Kako izračunati površinu jednakokračnog trougla

Jednakokraki trougao je trougao koji ima dva jednake strane. Ove strane se zovu stranice, a druga strana je baza. Da biste izračunali površinu jednakokračnog trokuta, možete koristiti jednu od sljedećih formula.

Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta

S=h*c/2,
gdje je c osnova trougla, h visina trougla spuštenog na osnovu.

Formula jednakokračnog trougla zasnovana na stranici i osnovici

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnova trokuta, a je veličina jedne od stranica jednakokračnog trougla.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trougla

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve strane jednake. Da biste izračunali površinu jednakostraničnog trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a dužina stranice jednakostraničnog trougla.

Gore navedene formule će vam omogućiti da izračunate potrebnu površinu trokuta. Važno je zapamtiti da za izračunavanje površine trokuta morate uzeti u obzir vrstu trokuta i dostupne podatke koji se mogu koristiti za izračun.

Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najlakši i najčešće korišteni je pomnožiti visinu s dužinom baze, a zatim podijeliti rezultat s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta koristeći različite formule.

Zasebno ćemo pogledati načine izračunavanja površine određenih vrsta trokuta - pravokutnih, jednakokračnih i jednakostraničnih. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njenu suštinu.

Univerzalne metode za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrovaćemo svaki od njih:

• a, b, c – dužine tri strane figure koju razmatramo;
• r je polumjer kružnice koja se može upisati u naš trokut;
• R je poluprečnik kruga koji se može opisati oko njega;
• α je veličina ugla kojeg čine stranice b i c;
• β je veličina ugla između a i c;
• γ je veličina ugla kojeg čine stranice a i b;
• h je visina našeg trougla, spuštenog od ugla α na stranu a;
• p – polovina zbira stranica a, b i c.

Logički je jasno zašto na ovaj način možete pronaći površinu trokuta. Trokut se lako može upotpuniti u paralelogram, u kojem će jedna strana trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma se nalazi množenjem dužine jedne od njegovih stranica sa vrijednošću visine koja mu se povlači. Dijagonala dijeli ovaj uslovni paralelogram na 2 identična trougla. Stoga je sasvim očito da površina našeg originalnog trokuta mora biti jednaka polovini površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta se nalazi množenjem dužina njegovih dviju stranica, odnosno a i b, sa sinusom ugla koji oni formiraju. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Ako spustimo visinu od ugla β na stranicu b, onda, prema svojstvima pravouglog trokuta, kada pomnožimo dužinu stranice a sa sinusom ugla γ, dobijamo visinu trokuta, odnosno h .

Površina dotične figure nalazi se množenjem polovine polumjera kruga koji se u njega može upisati njegovim perimetrom. Drugim riječima, nalazimo proizvod poluperimetra i poluprečnika spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se naći dijeljenjem proizvoda stranica figure sa 4 polumjera kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne, jer omogućavaju određivanje površine bilo kojeg trokuta (skalena, jednakokračna, jednakostranična, pravokutna). To se može učiniti pomoću složenijih proračuna, na kojima se nećemo detaljno zadržavati.

Površine trouglova sa specifičnim svojstvima

Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta? Posebnost ove figure je da su njene dvije strane istovremeno njene visine. Ako su a i b noge, a c postane hipotenuza, tada nalazimo površinu ovako:

Kako pronaći površinu jednakokračnog trougla? Ima dvije strane dužine a i jednu stranu dužine b. Prema tome, njegova površina se može odrediti dijeljenjem sa 2 proizvoda kvadrata stranice a sa sinusom ugla γ.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trougla? U njemu je dužina svih stranica jednaka a, a veličina svih uglova je α. Njegova visina jednaka je polovini umnoška dužine stranice a i kvadratnog korijena od 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, trebate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom od 3 i podijeliti sa 4.

Područje trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su pogodni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili veličine. Formule su predstavljene u obliku slike, a ovdje su također data objašnjenja njihove primjene ili opravdanje njihove ispravnosti. Korespondencija je takođe naznačena na posebnoj slici slovne oznake u formulama i grafičkim simbolima na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (jednakokraki, pravougaoni, jednakostranični), možete koristiti formule date u nastavku, kao i dodatne specijalne formule koje vrijede samo za trokute sa ovim svojstvima:

• "Formula za površinu jednakostraničnog trougla"

Formule površine trougla

Objašnjenja za formule:
a, b, c- dužine stranica trougla čiju površinu želimo pronaći
r- poluprečnik kružnice upisane u trokut
R- poluprečnik kružnice opisane oko trougla
h- visina trougla spuštena na stranu
str- poluoblast trokuta, 1/2 zbroja njegovih strana (perimetar)
α - ugao nasuprot stranice a trougla
β - ugao nasuprot stranice b trougla
γ - ugao nasuprot stranice c trougla
h a, h b , h c- visina trougla spuštena na stranice a, b, c

Imajte na umu da date oznake odgovaraju gornjoj slici, tako da će vam prilikom rješavanja stvarnog geometrijskog problema biti vizualno lakše zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

• Površina trougla je polovina proizvoda visine trokuta i dužine stranice za koju se ta visina spušta(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logički. Visina spuštena na bazu podijelit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih sagradite u pravougaonik dimenzija b i h, tada će očito površina ovih trokuta biti jednaka točno polovini površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trougla je polovina proizvoda njegovih dviju stranica i sinusa ugla između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Iako se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Ako s ugla B spustimo visinu na stranicu b, ispada da je proizvod stranice a i sinusa ugla γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta koji smo nacrtali , što nam daje prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trougla kroz rad pola polumjera kružnice upisane u nju zbirom dužina svih njegovih stranica(Formula 3), jednostavno rečeno, trebate pomnožiti poluperimetar trokuta polumjerom upisane kružnice (ovo je lakše zapamtiti)
• Površina proizvoljnog trokuta može se naći dijeljenjem proizvoda svih njegovih strana sa 4 poluprečnika kružnice koja je opisana oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta kroz dužine njegovih stranica i njegovog poluperimetra (pola zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz dužine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa uglova koji su susjedni ovoj strani podijeljenog dvostrukim sinusom ugla suprotnog od ove stranice (Formula 7)
• Površina proizvoljnog trokuta može se naći kao proizvod dva kvadrata kruga opisanog oko njega sinusima svakog od njegovih uglova. (Formula 8)
• Ako su poznate dužine jedne stranice i vrijednosti dva susjedna ugla, tada se površina trokuta može naći kao kvadrat ove stranice podijeljen dvostrukim zbrojem kotangensa ovih uglova (formula 9)
• Ako je poznata samo dužina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna dužinama ovih visina, kao prema Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućava da izračunate površina trokuta na osnovu koordinata njegovih vrhova, koji su specificirani kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se rezultirajuća vrijednost mora uzeti po modulu, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja geometrijskih zadataka za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem geometrije koji ovdje nije sličan, pišite o tome na forumu. U rješenjima, umjesto simbola "kvadratnog korijena", može se koristiti funkcija sqrt(), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama.Ponekad se za jednostavne radikalne izraze može koristiti simbol √

Zadatak. Pronađite površinu za koju su date dvije stranice i ugao između njih

Stranice trougla su 5 i 6 cm. Ugao između njih je 60 stepeni. Pronađite površinu trokuta.

Rješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se naći kroz dužine dvije stranice i sinus ugla između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Pošto imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), možemo samo zamijeniti vrijednosti iz uslova problema u formulu:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

U tabeli vrednosti trigonometrijske funkcije Nađimo i zamijenimo vrijednost sinusa 60 stepeni u izraz. Bit će jednak korijenu tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovori: 7,5 √3 (u zavisnosti od zahtjeva nastavnika, vjerovatno možete ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Pronađite površinu jednakostraničnog trougla

Nađite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom 3 cm.

Rješenje .

Površina trokuta se može pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a = b = c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta ima oblik:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovori: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine prilikom promjene dužine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice povećaju za 4 puta?

Rješenje.

Pošto su nam dimenzije stranica trougla nepoznate, da bismo riješili problem pretpostavit ćemo da su dužine stranica respektivno jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, naći ćemo površinu datog trougla, a zatim ćemo pronaći površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trouglova će nam dati odgovor na problem.

U nastavku dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema korak po korak. Međutim, na samom kraju, ovo isto rješenje je predstavljeno u prikladnijoj grafičkoj formi. Oni koji žele mogu odmah krenuti prema rješenju.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teorijskom dijelu lekcije). izgleda ovako:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi red slike ispod)

Dužine stranica proizvoljnog trougla određene su varijablama a, b, c.
Ako se stranice povećaju za 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može izvaditi iz zagrada iz sva četiri izraza prema opšta pravila matematike.
Onda

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - na trećem redu slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Kvadratni korijen broja 256 je savršeno izvučen, pa ga izvadimo ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vidi peti red slike ispod)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u zadatku, samo trebamo podijeliti površinu rezultirajućeg trokuta s površinom originalnog.
Odredimo omjere površina tako što ćemo izraze podijeliti jedni s drugima i smanjiti rezultujući razlomak.

Iz suprotnog vrha) i rezultujući proizvod podijelite sa dva. U formi ovo izgleda ovako:

S = ½ * a * h,

gdje:
S – površina trougla,
a je dužina njegove stranice,
h je visina spuštena na ovu stranu.

Dužina i visina strane moraju biti prikazane u istim mjernim jedinicama. U ovom slučaju, površina trokuta će se dobiti u odgovarajućim jedinicama " ".

Primjer.
Na jednoj strani skalenskog trougla dužine 20 cm spuštena je okomita iz suprotnog vrha dužine 10 cm.
Površina trokuta je potrebna.
Rješenje.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ako su poznate dužine bilo koje dvije strane skalenskog trokuta i ugao između njih, upotrijebite formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdje su: a, b dužine dvije proizvoljne strane, a γ ugao između njih.

U praksi, na primjer, prilikom mjerenja zemljišne parcele, upotreba navedenih formula je ponekad teška, jer zahtijeva dodatnu konstrukciju i mjerenje uglova.

Ako znate dužine sve tri strane skalenskog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – dužine stranica trougla,
p – poluperimetar: p = (a+b+c)/2.

Ako je, pored dužina svih strana, poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, onda koristite sljedeću kompaktnu formulu:

gdje je: r – poluprečnik upisane kružnice (r – poluperimetar).

Da biste izračunali površinu skalenskog trokuta i dužinu njegovih stranica, koristite formulu:

gdje je: R – polumjer opisane kružnice.

Ako znate dužinu jedne od stranica trokuta i tri ugla (u principu, dva su dovoljna - vrijednost treće se izračunava iz jednakosti zbira tri ugla trokuta - 180º), tada koristite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdje je α vrijednost ugla nasuprot strani a;
β, γ – vrijednosti preostala dva ugla trokuta.

Potreba za pronalaženjem različitih elemenata, uključujući područje trougao, pojavio se mnogo vekova pre nove ere među učenim astronomima Ancient Greece. Square trougao može se izračunati Različiti putevi koristeći različite formule. Metoda proračuna zavisi od toga koji elementi trougao poznato.

Instrukcije

Ako iz uslova znamo vrijednosti dviju stranica b, c i ugla koji oni formiraju?, tada je površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Ako iz uslova znamo vrijednosti dviju stranica a, b i ugla koji oni ne formiraju?, tada je površina trougao ABC se nalazi na sljedeći način:
Pronalaženje ugla?, grijeh? = bsin?/a, a zatim pomoću tabele odredite sam ugao.
Pronalaženje ugla?, ? = 180°-?-?.
Nalazimo samu površinu S = (apsin?)/2.

Ako iz uslova znamo vrijednosti samo tri strane trougao a, b i c, zatim površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , gdje je p poluperimetar p = (a+b+c)/2

Ako iz uslova problema znamo visinu trougao h i stranu na koju se ta visina spušta, zatim površinu trougao ABC prema formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ako znamo značenja strana trougao a, b, c i radijus opisan u vezi s tim trougao R, zatim područje ovoga trougao ABC se određuje formulom:
S = abc/4R.
Ako su poznate tri strane a, b, c i poluprečnik upisanog, tada je površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = pr, gdje je p poluperimetar, p = (a+b+c)/2.

Ako je ABC jednakostranična, tada se površina nalazi po formuli:
S = (a^2v3)/4.
Ako je trokut ABC jednakokračan, tada se površina određuje formulom:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdje je c – trougao.
Ako je trokut ABC pravokutni, tada se površina određuje po formuli:
S = ab/2, gdje su a i b noge trougao.
Ako je trokut ABC pravokutni jednakokraki trokut, tada je površina određena formulom:
S = c^2/4 = a^2/2, gdje je c hipotenuza trougao, a=b – noga.

Video na temu

Izvori:

• kako izmjeriti površinu trougla

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta ako je ugao poznat

Poznavanje samo jednog parametra (ugla) nije dovoljno da se pronađe područje tre kvadrat . Ako ih ima dodatne veličine, zatim za određivanje područja možete odabrati jednu od formula u kojoj se vrijednost ugla također koristi kao jedna od poznatih varijabli. U nastavku je dato nekoliko najčešće korištenih formula.

Instrukcije

Ako, pored veličine ugla (γ) koji formiraju dvije strane tre kvadrat , tada su poznate i dužine ovih stranica (A i B). kvadrat(S) figure se može definisati kao polovina proizvoda dužina stranica i sinusa ovog poznatog ugla: S=½×A×B×sin(γ).

Trougao je jedan od najčešćih geometrijski oblici, u kojoj se već susrećemo osnovna škola. Svaki učenik se suočava sa pitanjem kako pronaći površinu trokuta u nastavi geometrije. Dakle, koje se karakteristike pronalaženja površine date figure mogu identificirati? U ovom članku ćemo pogledati osnovne formule potrebne za obavljanje takvog zadatka, a također ćemo analizirati vrste trokuta.

Vrste trouglova

Apsolutno možete pronaći površinu trokuta Različiti putevi, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figura koje sadrže tri ugla. Ove vrste uključuju:

• Tupo.
• Jednakostrani (tačno).
• Pravokutni trokut.
• Jednakokraki.

Pogledajmo pobliže svaki od njih postojeće vrste trouglovi.

Ova geometrijska figura se smatra najčešćom prilikom rješavanja geometrijskih problema. Kada se pojavi potreba za crtanjem proizvoljnog trokuta, ova opcija dolazi u pomoć.

U oštrom trouglu, kao što ime govori, svi uglovi su oštri i zbrajaju do 180°.

Ova vrsta trougla je također vrlo česta, ali je nešto rjeđa od oštrougla. Na primjer, prilikom rješavanja trokuta (odnosno, poznato je nekoliko njegovih stranica i uglova i morate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li ugao tup ili ne. Kosinus je negativan broj.

B, vrijednost jednog od uglova prelazi 90°, tako da preostala dva ugla mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15° ili čak 3°).

Da biste pronašli površinu trokuta ovog tipa, morate znati neke nijanse o kojima ćemo dalje govoriti.

Pravilni i jednakokraki trouglovi

Pravilan poligon je figura koja uključuje n uglova i čije su stranice i uglovi jednaki. Ovo je pravilan trougao. Pošto je zbir svih uglova trougla 180°, onda je svaki od tri ugla 60°.

Pravilan trougao, zbog svog svojstva, naziva se i jednakostranični lik.

Također je vrijedno napomenuti da se u pravilan trokut može upisati samo jedan krug, a oko njega se može opisati samo jedan krug, a njihovi centri se nalaze u istoj tački.

Osim jednakostraničnog tipa, može se razlikovati i jednakokraki trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom trouglu dvije stranice i dva ugla su međusobno jednaki, a treća stranica (kojoj su jednaki uglovi susjedni) je osnova.

Na slici je prikazan jednakokraki trougao DEF čiji su uglovi D i F jednaki, a DF osnova.

Pravokutni trokut

Pravougli trokut je tako nazvan jer mu je jedan od uglova pravi, odnosno jednak 90°. Zbir ostala dva ugla iznosi 90°.

Najviše velika strana takvog trougla, onaj koji leži nasuprot ugla od 90° je hipotenuza, dok su preostale dvije stranice katete. Za ovu vrstu trougla primjenjuje se Pitagorina teorema:

Zbir kvadrata dužina kateta jednak je kvadratu dužine hipotenuze.

Na slici je prikazan pravougli trokut BAC sa hipotenuzom AC i kracima AB i BC.

Da biste pronašli površinu trokuta sa pravim uglom, morate znati numeričke vrijednosti njegove noge.

Prijeđimo na formule za pronalaženje površine date figure.

Osnovne formule za pronalaženje područja

U geometriji se mogu razlikovati dvije formule koje su prikladne za pronalaženje površine većine tipova trokuta, i to za akutne, tupe, pravilne i jednakokraki trouglovi. Pogledajmo svaki od njih.

Po strani i visini

Ova formula je univerzalan za pronalaženje površine figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati dužinu stranice i dužinu povučene visine. Sama formula (pola proizvoda baze i visine) je sljedeća:

gdje je A stranica datog trougla, a H visina trougla.

Na primjer, da biste pronašli površinu oštrog trokuta ACB, trebate pomnožiti njegovu stranu AB visinom CD i rezultujuću vrijednost podijeliti s dva.

Međutim, nije uvijek lako pronaći površinu trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste koristili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate produžiti jednu od njegovih stranica i tek onda na nju nacrtati visinu.

U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.

Sa obe strane i ugao

Ova formula, kao i prethodna, pogodna je za većinu trokuta i po svom značenju je posledica formule za pronalaženje površine uz stranu i visine trokuta. Odnosno, formula o kojoj je riječ može se lako izvesti iz prethodne. Njegova formulacija izgleda ovako:

S = ½*sinO*A*B,

gdje su A i B stranice trokuta, a O je ugao između stranica A i B.

Podsjetimo da se sinus ugla može vidjeti u posebnoj tabeli nazvanoj po istaknutom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.

Pređimo sada na druge formule koje su prikladne samo za izuzetne vrste trokuta.

Površina pravouglog trougla

Pored univerzalne formule, koja uključuje potrebu za pronalaženjem nadmorske visine u trokutu, površina trokuta koji sadrži pravi ugao može se naći iz njegovih krakova.

Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi ugao je polovina proizvoda njegovih nogu, ili:

gdje su a i b katete pravouglog trougla.

Pravilan trougao

Ovaj tip geometrijske figure razlikuje se po tome što se njegova površina može naći sa naznačenom vrijednošću samo jedne od njegovih stranica (pošto su sve stranice pravilnog trougla jednake). Dakle, kada se suočite sa zadatkom "pronalaženja površine trokuta kada su stranice jednake", morate koristiti sljedeću formulu:

S = A 2 *√3 / 4,

gdje je A stranica jednakostraničnog trougla.

Heronova formula

Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati dužine tri strane figure. Heronova formula izgleda ovako:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

gdje su a, b i c stranice ovog trougla.

Ponekad se postavlja problem: "površina pravilnog trougla je pronaći dužinu njegove stranice." IN u ovom slučaju moramo koristiti formulu koju već znamo za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njenog kvadrata):

A 2 = 4S / √3.

Ispitni zadaci

Postoje mnoge formule u GIA problemima u matematici. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.

U ovom slučaju, najpogodnije je povući visinu na jednu od strana figure, odrediti njegovu dužinu iz ćelija i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje područja:

Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem površine trokuta bilo koje vrste.