Derivat funkcije stepena (potencije i korijeni). Derivat kompleksne funkcije

Definicija stepena eksponencijalne funkcije. Izvođenje formule za izračunavanje njenog derivata. Detaljno su analizirani primjeri izračunavanja izvoda stepeno-eksponencijalnih funkcija.

Eksponencijalna funkcija snage je funkcija koja izgleda kao funkcija snage
y = u v ,
u kojoj su baza u i eksponent v neke funkcije varijable x:
u = u (x); v = v (x).
Ova funkcija se također zove eksponencijalna ili .

Imajte na umu da se stepen eksponencijalna funkcija može predstaviti u eksponencijalnom obliku:
.
Stoga se i zove kompleksna eksponencijalna funkcija.

Izračunavanje pomoću logaritamskog izvoda

Nađimo izvod eksponencijalne funkcije stepena
(2) ,
gdje su i funkcije varijable.
Da bismo to učinili, logaritiramo jednačinu (2), koristeći svojstvo logaritma:
.
Diferencirati s obzirom na varijablu x:
(3) .
Prijavljujemo se pravila za razlikovanje složenih funkcija i radi:
;
.

Zamjenjujemo u (3):
.
Odavde
.

Dakle, pronašli smo derivat eksponencijalne funkcije stepena:
(1) .
Ako je eksponent konstantan, onda . Tada je derivacija jednaka izvodu kompleksne funkcije snage:
.
Ako je baza stepena konstantna, onda . Tada je izvod jednak izvodu kompleksne eksponencijalne funkcije:
.
Kada su i funkcije x, tada je derivacija stepena-eksponencijalne funkcije jednaka zbroju izvoda kompleksne potencijske i eksponencijalne funkcije.

Izračunavanje derivacije redukcijom na kompleksnu eksponencijalnu funkciju

Sada pronađimo izvod eksponencijalne funkcije stepena
(2) ,
predstavljajući ga kao složenu eksponencijalnu funkciju:
(4) .

Hajde da razlikujemo proizvod:
.
Primjenjujemo pravilo za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

.
I opet smo dobili formulu (1).

Primjer 1

Pronađite derivaciju sljedeće funkcije:
.

Rješenje

Računamo koristeći logaritamski izvod. Logaritujmo originalnu funkciju:
(A1.1) .

Iz tabele derivata nalazimo:
;
.
Koristeći formulu derivata proizvoda, imamo:
.
Razlikujemo (A1.1):
.
Zbog
,
To
.

Odgovori

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije
.

Rješenje

Logaritamo originalnu funkciju:
(A2.1) .

Derivacija formule za izvod funkcije stepena (x na stepen a). Razmatraju se derivati ​​iz korijena x. Formula za izvod funkcije snage višeg reda. Primjeri izračunavanja derivata.

Derivat x na stepen a jednak je a puta x na stepen minus jedan:
(1) .

Derivat n-tog korijena od x na m-tu potenciju je:
(2) .

Derivacija formule za izvod funkcije stepena

Slučaj x > 0

Razmotrimo funkciju stepena varijable x s eksponentom a:
(3) .
Ovdje je a proizvoljno pravi broj. Hajde da prvo razmotrimo slučaj.

Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo svojstva funkcije stepena i transformiramo je u sljedeći oblik:
.

Sada pronalazimo derivat koristeći:
;
.
Evo.

Formula (1) je dokazana.

Derivacija formule za izvod korena stepena n od x na stepen od m

Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedećeg oblika:
(4) .

Da bismo pronašli derivaciju, transformiramo korijen u funkciju stepena:
.
Upoređujući sa formulom (3) vidimo da
.
Onda
.

Koristeći formulu (1) nalazimo izvod:
(1) ;
;
(2) .

U praksi nema potrebe za pamćenjem formule (2). Mnogo je zgodnije prvo transformisati korijene u funkcije stepena, a zatim pronaći njihove derivate pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).

Slučaj x = 0

Ako je , tada je funkcija snage definirana za vrijednost varijable x = 0 . Nađimo derivaciju funkcije (3) na x = 0 . Da bismo to učinili, koristimo definiciju derivata:
.

Zamenimo x = 0 :
.
U ovom slučaju, pod izvodom podrazumijevamo desnu granicu za koju .

Tako smo pronašli:
.
Iz ovoga je jasno da za , .
U , .
U , .
Ovaj rezultat se također dobija iz formule (1):
(1) .
Prema tome, formula (1) vrijedi i za x = 0 .

Slučaj x< 0

Razmotrimo ponovo funkciju (3):
(3) .
Za određene vrijednosti konstante a definira se i za negativne vrijednosti varijabla x. Naime, neka bude racionalni broj. Tada se može predstaviti kao nesvodljivi razlomak:
,
gdje su m i n cijeli brojevi koji nemaju zajednički djelitelj.

Ako je n neparno, tada je funkcija stepena također definirana za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, kada je n = 3 i m = 1 imamo kubni korijen od x:
.
Također je definiran za negativne vrijednosti varijable x.

Nađimo derivaciju funkcije stepena (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da bismo to učinili, predstavimo x u sljedećem obliku:
.
onda ,
.
Izvod pronalazimo postavljanjem konstante izvan predznaka izvoda i primjenom pravila za diferenciranje kompleksne funkcije:

.
Evo.
.
Ali
.
Onda
.
Od tada
(1) .

To jest, formula (1) vrijedi i za:

Derivati ​​višeg reda
(3) .
Sada hajde da pronađemo izvode višeg reda funkcije stepena
.

Već smo pronašli derivat prvog reda:
.
Slično, nalazimo derivate trećeg i četvrtog reda:
;

.

Iz ovoga je jasno da derivat proizvoljnog n-tog reda ima sljedeći oblik:
.

primeti, to ako je a prirodan broj, tada je n-ti izvod konstantan:
.
Tada su svi naredni derivati ​​jednaki nuli:
,
u .

Primjeri izračunavanja derivata

Primjer

Pronađite izvod funkcije:
.

Rješenje

Pretvorimo korijene u stepene:
;
.
Tada originalna funkcija poprima oblik:
.

Pronalaženje derivata moći:
;
.
Derivat konstante je nula:
.

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tabela derivacija i tačno određena pravila diferencijaciju. Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati ​​i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalji derivati elementarne funkcije nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, zbira i količnika su u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo izvod koji zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako se i dalje postavljaju pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon upoznavanja s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednako jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratni korijen
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosinusa
8. Derivat tangente
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arkosinusa
12. Derivat arktangensa
13. Derivat arc kotangensa
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati ​​jednaki, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački

i

one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.

Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Zaključak 2. Izvod proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat od bivši brojilac.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa je u članku više primjera o tim izvodnicama"Derivat proizvoda i količnik funkcija".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo tipična greška, koji se javlja na početna faza proučavaju izvedenice, ali kako rješavaju nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).

Ostalo uobičajena greška- mehaničko rješenje izvoda složene funkcije kao izvoda proste funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."

Ako imate zadatak kao , onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiji smo izvod upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i vrijednost tabele izvod kvadratnog korijena dobijamo:

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Dokaz i izvođenje formula za izvod eksponencijala (e na x stepen) i eksponencijalne funkcije (a na x stepen). Primjeri izračunavanja derivata e^2x, e^3x i e^nx. Formule za derivate višeg reda.

Izvod eksponenta jednak je samom eksponentu (izvod e na x stepen je jednak e na x stepen):
(1) (e x )′ = e x.

Izvod eksponencijalne funkcije s bazom a jednak je samoj funkciji pomnoženoj prirodnim logaritmom a:
(2) .

Derivacija formule za izvod eksponencijala, e na x stepen

Eksponencijalna je eksponencijalna funkcija čija je baza jednaka broju e, što je sljedeća granica:
.
Ovdje to može biti prirodan ili realan broj. Zatim ćemo izvesti formulu (1) za izvod eksponencijala.

Izvođenje formule eksponencijalnog izvoda

Razmotrimo eksponencijal, e na x potenciju:
y = e x .
Ova funkcija je definirana za svakoga. Nađimo njen izvod u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Hajde da transformišemo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Za ovo su nam potrebne sljedeće činjenice:
A) Svojstvo eksponenta:
(4) ;
B) Svojstvo logaritma:
(5) ;
IN) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(6) .
Ovdje je funkcija koja ima ograničenje i ovo ograničenje je pozitivno.
G) Značenje druge izuzetne granice:
(7) .

Primijenimo ove činjenice do naše granice (3). Koristimo imovinu (4):
;
.

Hajde da napravimo zamenu. Onda ;
.
.
Zbog kontinuiteta eksponencijala,
.

Stoga, kada , . Kao rezultat dobijamo:
.

Hajde da napravimo zamenu. Onda .
U , .
.

i imamo:
.
Primijenimo svojstvo logaritma (5):
.

. Onda

Primijenimo svojstvo (6). Pošto postoji pozitivna granica i logaritam je kontinuiran, onda:

Ovdje smo također koristili drugu izuzetnu granicu (7). Onda
(8)
Tako smo dobili formulu (1) za izvod eksponencijala.

Derivacija formule za izvod eksponencijalne funkcije Sada izvodimo formulu (2) za izvod eksponencijalne funkcije sa bazom stepena a. Vjerujemo da i . Zatim eksponencijalna funkcija Definisano za sve.
;
.
Transformirajmo formulu (8). Za ovo ćemo koristiti
.

svojstva eksponencijalne funkcije

i logaritam.
(14) .
(1) .

Dakle, transformisali smo formulu (8) u sledeći oblik:
;
.

Derivati ​​višeg reda od e na x stepen
.

Sada pronađimo derivate viših redova. Pogledajmo prvo eksponent:

Vidimo da je derivacija funkcije (14) jednaka samoj funkciji (14). Diferencirajući (1) dobijamo derivate drugog i trećeg reda:
.
Ovo pokazuje da je izvod n-tog reda također jednak originalnoj funkciji:
(15) .

Izvodi višeg reda eksponencijalne funkcije
;
.

Sada razmotrite eksponencijalnu funkciju sa osnovom stepena a:
.

Pronašli smo njen derivat prvog reda:

Diferenciranjem (15) dobijamo derivate drugog i trećeg reda:

Pogledat ćemo složenije kombinirane primjere, iz kojih ćete posebno naučiti da se slični problemi koji uključuju korijene, pa čak i razlomke, mogu riješiti korištenjem formule za izvod funkcije stepena. Osim toga, naravno, bit će mnogo problema i primjera rješenja različitih nivoa složenosti.

Generalno, u početku sam htela da snimim kratak 5-minutni video, ali možete videti kako je ispalo. Dakle, dosta tekstova - hajdemo na posao.

Šta je derivat?

Dakle, počnimo izdaleka. Prije mnogo godina, kada je drveće bilo zelenije i život zabavniji, matematičari su razmišljali o ovome: razmislite jednostavna funkcija, dat svojim grafom, nazovimo ga $y=f\left(x \right)$. Naravno, graf ne postoji sam po sebi, tako da morate nacrtati $x$ ose kao i $y$ os. Sada izaberimo bilo koju tačku na ovom grafikonu, apsolutno bilo koju. Nazovimo apscisu $((x)_(1))$, ordinata će, kao što možete pretpostaviti, biti $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Pogledajmo drugu tačku na istom grafikonu. Nije bitno koja, glavna stvar je da se razlikuje od originalne. Ona, opet, ima apscisu, nazovimo je $((x)_(2))$, a takođe i ordinatu - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Dakle, dobili smo dvije tačke: imaju različite apscise i, prema tome, različita značenja funkcije, iako je ovo drugo opciono. Ali ono što je zaista važno je da znamo iz kursa planimetrije: kroz dvije tačke možete povući pravu liniju i, osim toga, samo jednu. Pa hajde da to izvedemo.

Sada povucimo ravnu liniju kroz prvu od njih, paralelnu sa osom apscise. Dobijamo pravougaonog trougla. Nazovimo ga $ABC$, pravi ugao $C$. Ovaj trougao ima jedan vrlo zanimljiva nekretnina: činjenica je da je ugao $\alpha $ zapravo jednak uglu pod kojim se prava linija $AB$ seče sa nastavkom ose apscise. Procijenite sami:

1. prava linija $AC$ je po konstrukciji paralelna sa $Ox$ osom,
2. prava $AB$ seče $AC$ ispod $\alpha $,
3. stoga $AB$ seče $Ox$ pod istim $\alpha $.

Šta možemo reći o $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ništa konkretno, osim da je u trouglu $ABC$ odnos kraka $BC$ i kraka $AC$ jednak tangenti samog ovog ugla. Pa hajde da to zapišemo:

Naravno, $AC$ in u ovom slučaju lako izračunati:

Isto tako za $BC$:

Drugim riječima, možemo napisati sljedeće:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \desno))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Sada kada smo sve to riješili, vratimo se na naš grafikon i pogledamo novu tačku $B$. Izbrišemo stare vrijednosti i odnesemo $B$ negdje bliže $((x)_(1))$. Označimo ponovo njenu apscisu sa $((x)_(2))$, a njenu ordinatu sa $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Pogledajmo ponovo naš mali trougao $ABC$ i $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ unutar njega. Sasvim je očigledno da će ovo biti potpuno drugačiji ugao, tangenta će takođe biti drugačija jer su se dužine segmenata $AC$ i $BC$ značajno promenile, ali se formula za tangentu ugla uopšte nije promenila - ovo je još uvijek odnos između promjene funkcije i promjene argumenta.

Konačno, nastavljamo da pomeramo $B$ bliže originalnoj tački $A$, kao rezultat toga trougao će postati još manji, a prava linija koja sadrži segment $AB$ sve više liči na tangentu na graf funkcija.

Kao rezultat toga, ako nastavimo da približavamo tačke, tj. smanjimo udaljenost na nulu, tada će se prava linija $AB$ zaista pretvoriti u tangentu na graf u datoj tački, a $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ će se okrenuti od običan element trokut u ugao između tangente na graf i pozitivnog smjera $Ox$ ose.

I ovdje glatko prelazimo na definiciju $f$, naime, derivacija funkcije u tački $((x)_(1))$ je tangenta ugla $\alpha $ između tangente na graf u tački $((x)_( 1))$ i pozitivnom smjeru ose $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\ime operatera(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Vraćajući se na naš graf, treba napomenuti da se bilo koja tačka na grafu može odabrati kao $((x)_(1))$. Na primjer, sa istim uspjehom mogli bismo ukloniti potez u tački prikazanoj na slici.

Nazovimo ugao između tangente i pozitivnog smjera ose $\beta$. Prema tome, $f$ u $((x)_(2))$ će biti jednako tangentu ovog ugla $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Svaka tačka na grafu će imati svoju tangentu, a samim tim i sopstvenu vrednost funkcije. U svakom od ovih slučajeva, pored tačke u kojoj tražimo derivaciju razlike ili sume, ili izvod funkcije stepena, potrebno je uzeti još jednu tačku koja se nalazi na nekoj udaljenosti od nje, a zatim usmeriti ovo upućuju na originalni i, naravno, saznajte kako će u procesu takvo kretanje promijeniti tangentu ugla nagiba.

Derivat funkcije stepena

Nažalost, takva definicija nam nikako ne odgovara. Sve ove formule, slike, uglovi ne daju nam ni najmanju predstavu o tome kako izračunati pravi izvod u stvarnim problemima. Stoga, hajde da odstupimo malo od formalne definicije i razmotrimo efikasnije formule i tehnike pomoću kojih već možete riješiti stvarne probleme.

Počnimo od najviše jednostavni dizajni, naime, funkcije oblika $y=((x)^(n))$, tj. funkcije snage. U ovom slučaju možemo napisati sljedeće: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Drugim riječima, stepen koji je bio u eksponentu prikazan je u prednjem množitelju, a sam eksponent se smanjuje po jedinici, na primjer:

\[\begin(poravnati)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(poravnati) \]

Evo još jedne opcije:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Koristeći ove jednostavna pravila, pokušajmo ukloniti potez sljedećih primjera:

Tako dobijamo:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Sada da riješimo drugi izraz:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Naravno, ovo je bilo veoma jednostavni zadaci. Međutim, stvarni problemi su složeniji i nisu ograničeni samo na stepene funkcije.

Dakle, pravilo br. 1 - ako je funkcija predstavljena u obliku druge dvije, onda je derivacija ove sume jednaka zbroju izvoda:

\[((\left(f+g \desno))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Slično, derivacija razlike dvije funkcije jednaka je razlici izvoda:

\[((\left(f-g \desno))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \desno))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prosti ))+((\lijevo(x \desno))^(\prime ))=2x+1\]

Osim toga, postoji još jedan važno pravilo: ako nekom $f$ prethodi konstanta $c$, kojom se ova funkcija množi, onda se $f$ cijele ove konstrukcije izračunava na sljedeći način:

\[((\left(c\cdot f \desno))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prosti ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Konačno, još jedno vrlo važno pravilo: u problemima često postoji poseban pojam koji uopće ne sadrži $x$. Na primjer, to možemo primijetiti u našim današnjim izrazima. Derivat konstante, tj. broja koji ni na koji način ne zavisi od $x$, uvek je jednak nuli i uopšte nije bitno čemu je jednaka konstanta $c$:

\[((\lijevo(c \desno))^(\prime ))=0\]

Primjer rješenja:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Opet ključne tačke:

1. Derivat zbira dvije funkcije uvijek je jednak zbiru izvoda: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Iz sličnih razloga, derivacija razlike dvije funkcije jednaka je razlici dvije derivacije: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Ako funkcija ima faktor konstante, onda se ova konstanta može uzeti kao znak derivacije: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Ako je cijela funkcija konstanta, onda je njen izvod uvijek nula: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Da vidimo kako to sve funkcionira stvarni primjeri. dakle:

Zapisujemo:

\[\begin(poravnati)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \desno))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \desno))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(poravnati)\]

U ovom primjeru vidimo i derivaciju zbira i derivaciju razlike. Ukupno, izvod je jednak $5((x)^(4))-6x$.

Pređimo na drugu funkciju:

Zapišimo rješenje:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \desno))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \desno))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Ovdje smo pronašli odgovor.

Pređimo na treću funkciju - ona je ozbiljnija:

\[\begin(poravnati)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \desno)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \desno))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor.

Pređimo na posljednji izraz - najsloženiji i najduži:

Dakle, smatramo:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Ali rješenje se tu ne završava, jer se od nas traži ne samo da uklonimo potez, već da izračunamo njegovu vrijednost u određenoj tački, tako da u izraz zamjenjujemo −1 umjesto $x$:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Idemo dalje i prijeđimo na još složenije i zanimljivi primjeri. Činjenica je da je formula za rješavanje derivacije stepena $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ima čak i širi opseg nego što se obično vjeruje. Uz njegovu pomoć možete rješavati primjere sa razlomcima, korijenima itd. To ćemo sada učiniti.

Za početak, zapišimo još jednom formulu koja će nam pomoći da pronađemo izvod funkcije stepena:

A sada pažnja: do sada smo smatrali samo $n$ cijeli brojevi, međutim, ništa nas ne sprječava da razmatramo razlomke, pa čak i negativne brojeve. Na primjer, možemo napisati sljedeće:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(poravnati)\]

Ništa komplikovano, pa da vidimo kako će nam ova formula pomoći pri rješavanju više složeni zadaci. Dakle, primjer:

Zapišimo rješenje:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(poravnati)\]

Vratimo se na naš primjer i napišimo:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Ovo je tako teška odluka.

Pređimo na drugi primjer - postoje samo dva pojma, ali svaki od njih sadrži i klasičan stepen i korijene.

Sada ćemo naučiti kako pronaći derivaciju funkcije stepena, koja osim toga sadrži korijen:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3) )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Oba pojma su izračunata, ostaje samo da zapišemo konačan odgovor:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Našli smo odgovor.

Derivat razlomka kroz funkciju stepena

Ali mogućnosti formule za rješavanje izvoda funkcije stepena tu ne završavaju. Činjenica je da uz njegovu pomoć možete izračunati ne samo primjere s korijenima, već i s razlomcima. Upravo je to rijetka prilika koja uvelike pojednostavljuje rješavanje ovakvih primjera, ali je često zanemaruju ne samo učenici, već i nastavnici.

Dakle, sada ćemo pokušati kombinirati dvije formule odjednom. S jedne strane, klasični izvod funkcije stepena

\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

S druge strane, znamo da izraz oblika $\frac(1)(((x)^(n)))$ može biti predstavljen kao $((x)^(-n))$. dakle,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Dakle, derivati prosti razlomci, gdje je brojilac konstanta, a nazivnik stepen, također se izračunavaju pomoću klasične formule. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi.

Dakle, prva funkcija:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ desno))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Prvi primjer je riješen, idemo na drugi:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \desno))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^) (3))) \desno))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \desno) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ lijevo(3((x)^(4)) \desno))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ kraj(poravnaj)\]...

Sada skupljamo sve ove pojmove u jednu formulu:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Dobili smo odgovor.

Međutim, prije nego što krenemo dalje, skrećem vam pažnju na oblik pisanja samih originalnih izraza: u prvom izrazu smo napisali $f\left(x \right)=...$, u drugom: $y =...$ Mnogi učenici se izgube kada vide različitih oblika evidencije. Koja je razlika između $f\left(x \right)$ i $y$? Ništa stvarno. To su samo različiti unosi sa istim značenjem. Samo kada kažemo $f\left(x \right)$, onda mi pričamo o tome, prije svega, o funkciji, a kada govorimo o $y$, najčešće mislimo na graf funkcije. Inače se radi o istoj stvari, tj. izvod se u oba slučaja smatra istim.

Složeni problemi s izvedenicama

U zaključku, želio bih razmotriti nekoliko složenih kombiniranih zadataka koji koriste sve što smo danas razmatrali. Sadrže korijene, razlomke i zbrojeve. Međutim, ovi primjeri će biti složeni samo u današnjem video tutorijalu, jer će vas zaista složene derivativne funkcije čekati naprijed.

Dakle, završni dio današnje video lekcije, koji se sastoji od dva kombinovana zadatka. Počnimo s prvim od njih:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \desno))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ lijevo(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Derivat funkcije je jednak:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Prvi primjer je riješen. Hajde da razmotrimo drugi problem:

U drugom primjeru postupamo slično:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \desno))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Izbrojimo svaki pojam posebno:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \desno))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ lijevo(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3)) )(4)))) \desno))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Svi termini su izračunati. Sada se vraćamo na originalnu formulu i zbrajamo sva tri pojma. Dobijamo da će konačni odgovor biti ovakav:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

I to je sve. Ovo je bila naša prva lekcija. U narednim lekcijama ćemo obraditi više složenih dizajna, a također saznati zašto su derivati ​​uopće potrebni.