Bilješka! Prije nego što napišete svoj konačni odgovor, pogledajte možete li skratiti razlomak koji ste dobili.
Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima, primjeri:
,
,
Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.
Ako je potrebno oduzeti razlomak od jedinice koja je pravilna, jedinica se pretvara u oblik nepravilnog razlomka, njen nazivnik je jednak nazivniku oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:
Imenilac razlomka koji treba oduzeti = 7 , tj. predstavljamo jedan kao nepravilan razlomak 7/7 i oduzimamo ga prema pravilu za oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.
Pravila za oduzimanje razlomaka - tačno od celog broja (prirodni broj):
- Zadane razlomke koji sadrže cijeli broj pretvaramo u nepravilne. Dobijamo normalne članove (nije bitno da li imaju različite nazivnike), koje izračunavamo prema gore navedenim pravilima;
- Zatim izračunavamo razliku između frakcija koje smo dobili. Kao rezultat, gotovo ćemo pronaći odgovor;
- Izvodimo inverznu transformaciju, odnosno oslobađamo se nepravilnog razlomka - odabiremo cijeli dio u razlomku.
Oduzmite pravi razlomak od cijelog broja: zamislite prirodni broj kao mešoviti broj. One. Uzimamo jedinicu prirodnog broja i pretvaramo je u oblik nepravilnog razlomka, pri čemu je imenilac isti kao i kod oduzetog razlomka.
Primjer oduzimanja razlomaka:
U primjeru smo jedan zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 zapisali mješoviti broj i oduzeli razlomak od razlomka.
Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Ili, drugačije rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.
Pravilo za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke sa različitim nazivnicima, potrebno je te razlomke prvo svesti na najmanji zajednički imenilac (LCD), a tek nakon toga izvršiti oduzimanje kao kod razlomaka sa istim nazivnicima.
Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodni brojevi koji su imenioci ovih razlomaka.
Pažnja! Ako u konačni razlomak brojilac i imenilac imaju zajedničke faktore, onda se razlomak mora smanjiti. Nepravilan razlomak se može bolje predstaviti kao mješovita frakcija. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjenja razlomka gdje je to moguće je nepotpuno rješenje primjera!
Postupak za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
- pronaći LCM za sve nazivnike;
- dodati dodatne faktore za sve razlomke;
- pomnožiti sve brojioce dodatnim faktorom;
- Dobivene proizvode upisujemo u brojnik, potpisujući zajednički imenilac pod svim razlomcima;
- oduzmi brojioce razlomaka, potpisujući zajednički imenilac ispod razlike.
Na isti način se vrši sabiranje i oduzimanje razlomaka ako u brojiocu postoje slova.
Oduzimanje razlomaka, primjeri:
Oduzimanje mješovitih razlomaka.
At oduzimanje mješovitih razlomaka (brojeva) odvojeno, cijeli dio se oduzima od cijelog broja, a razlomak se oduzima od razlomka.
Prva opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Ako su razlomci isto imenioci i brojilac razlomačnog dela minusa (oduzimamo ga od njega) ≥ brojnik razlomnog dela oduzetog (oduzimamo ga).
Na primjer:
Druga opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Kada su razlomci drugačije imenioci. Za početak, razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika, a nakon toga cijeli dio oduzimamo od cijelog dijela, a razlomak od razlomka.
Na primjer:
Treća opcija za oduzimanje mješovitih razlomaka.
Razlomački dio minuenda je manji od razlomnog dijela oduzetog.
primjer:
Jer Razlomci imaju različite nazivnike, što znači, kao i u drugoj opciji, prvo obične razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika.
Brojilac razlomnog dijela minusa manji je od brojnika razlomnog dijela oduzetog.3 < 14. To znači da od cijelog dijela uzimamo jedinicu i ovu jedinicu svedemo na oblik nepravilnog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.
U brojiocu na desnoj strani upisujemo zbir brojilaca, zatim otvaramo zagrade u brojniku na desnoj strani, odnosno sve množimo i dajemo slične. Ne otvaramo zagrade u nazivniku. Uobičajeno je da se proizvod ostavi u nazivnicima. Dobijamo:
Možete izvoditi razne operacije s razlomcima, na primjer, zbrajanje razlomaka. Sabiranje razlomaka može se podijeliti na nekoliko tipova. Svaka vrsta sabiranja razlomaka ima svoja pravila i algoritam radnji. Pogledajmo svaku vrstu dodatka detaljno.
Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Pogledajmo primjer kako sabirati razlomke sa zajedničkim nazivnikom.
Turisti su išli na pješačenje od tačke A do tačke E. Prvog dana hodali su od tačke A do B ili \(\frac(1)(5)\) cijele staze. Drugog dana hodali su od tačke B do D ili \(\frac(2)(5)\) cijelim putem. Koliko su putovali od početka putovanja do tačke D?
Da biste pronašli udaljenost od tačke A do tačke D, potrebno je da saberete razlomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Zbrajanje razlomaka sa sličnim nazivnicima znači da morate sabrati brojioce ovih razlomaka, ali nazivnik će ostati isti.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
U doslovnom obliku, zbir razlomaka sa istim nazivnicima će izgledati ovako:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Odgovor: turisti su cijelim putem hodali \(\frac(3)(5)\).
Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima.
Pogledajmo primjer:
Trebate dodati dva razlomka \(\frac(3)(4)\) i \(\frac(2)(7)\).
Da biste sabrali razlomke s različitim nazivnicima, prvo morate pronaći, a zatim koristite pravilo za sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima.
Za nazivnike 4 i 7, zajednički imenilac će biti broj 28. Prvi razlomak \(\frac(3)(4)\) se mora pomnožiti sa 7. Drugi razlomak \(\frac(2)(7)\ ) mora se pomnožiti sa 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \puta \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ puta \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
U doslovnom obliku dobijamo sljedeću formulu:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \puta d + c \puta b)(b \puta d)\)
Zbrajanje mješovitih brojeva ili mješovitih razlomaka.
Do sabiranja dolazi po zakonu sabiranja.
Za miješane frakcije dodajemo cijele dijelove s cijelim dijelovima i razlomke s razlomcima.
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju iste nazivnike, tada zbrajamo brojioce, ali imenilac ostaje isti.
Dodajmo mješovite brojeve \(3\frac(6)(11)\) i \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(crvena) (1) + \color(plava) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( plava) (\frac(6)(11)) + \color(plava) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)
Ako razlomci mješovitih brojeva imaju različite nazivnike, tada nalazimo zajednički imenilac.
Izvršimo sabiranje mješovitih brojeva \(7\frac(1)(8)\) i \(2\frac(1)(6)\).
Imenilac je drugačiji, pa moramo pronaći zajednički imenilac, jednak je 24. Pomnožite prvi razlomak \(7\frac(1)(8)\) sa dodatnim faktorom 3, a drugi razlomak \( 2\frac(1)(6)\) sa 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \puta \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\puta \color(red) (4))(6\times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Pitanja na temu:
Kako sabirati razlomke?
Odgovor: prvo morate odlučiti o kojoj vrsti izraza se radi: razlomci imaju iste nazivnike, različite nazivnike ili mješovite razlomke. Ovisno o vrsti izraza, prelazimo na algoritam rješenja.
Kako riješiti razlomke sa različitim nazivnicima?
Odgovor: potrebno je pronaći zajednički imenilac, a zatim slijediti pravilo za sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima.
Kako riješiti miješane razlomke?
Odgovor: zbrajamo cijele dijelove sa cijelim brojevima i razlomke s razlomcima.
Primjer #1:
Može li zbir dva rezultirati pravim razlomkom? Nepravilan razlomak? Navedite primjere.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Razlomak \(\frac(5)(7)\) je pravi razlomak, on je rezultat zbira dvaju pravih razlomaka \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Razlomak \(\frac(58)(45)\) je nepravilan razlomak, on je rezultat zbira pravih razlomaka \(\frac(2)(5)\) i \(\frac(8) (9)\).
Odgovor: Odgovor na oba pitanja je da.
Primjer #2:
Dodajte razlomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \puta \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Primjer #3:
Zapišite mješoviti razlomak kao zbir prirodnog broja i pravilnog razlomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Primjer #4:
Izračunajte zbir: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\puts 3)(5\puts 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Zadatak #1:
Za ručkom smo jeli \(\frac(8)(11)\) od torte, a navečer za večerom \(\frac(3)(11)\). Mislite li da je torta u potpunosti pojedena ili nije?
Rješenje:
Imenitelj razlomka je 11, označava na koliko je dijelova podijeljen kolač. Za ručkom smo pojeli 8 komada torte od 11. Na večeri smo pojeli 3 komada torte od 11. Dodajmo 8 + 3 = 11, pojeli smo komade torte od 11, odnosno cijelu tortu.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Odgovor: cijela torta je pojedena.
Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima
Koncept NOC-a
Svođenje razlomaka na isti nazivnik
Kako sabrati cijeli broj i razlomak
1 Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima
Da biste sabrali razlomke s istim nazivnicima, morate dodati njihove brojnike, ali ostavite nazivnik isti, na primjer:
Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti, na primjer:
Da biste dodali mješovite razlomke, potrebno je posebno sabrati njihove cijele dijelove, a zatim dodati njihove razlomke i rezultat napisati kao mješoviti razlomak,
Ako pri sabiranju razlomaka dobijete nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio iz njega i dodajte ga cijelom dijelu, na primjer:
2 Sabiranje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Da biste dodali ili oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na isti nazivnik, a zatim nastaviti kako je navedeno na početku ovog članka. Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik). Za brojnik svakog razlomka, dodatni faktori se nalaze dijeljenjem LCM-a sa nazivnikom ovog razlomka. Kasnije ćemo pogledati primjer, nakon što shvatimo šta je NOC.
3 Najmanji zajednički višekratnik (LCM)
Najmanji zajednički višekratnik dva broja (LCM) je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa oba broja bez ostatka. Ponekad se NOC može birati usmeno, ali češće, posebno kada se radi sa njim veliki brojevi, morate pronaći LOC u pisanoj formi koristeći sljedeći algoritam:
Da biste pronašli LCM nekoliko brojeva, trebate:
- Podijelite ove brojeve na primarni faktori
- Uzmite najveće proširenje i zapišite ove brojeve kao proizvod
- Odaberite u drugim dekompozicijama brojeve koji se ne pojavljuju u najvećoj dekompoziciji (ili se pojavljuju manje puta u njoj) i dodajte ih u proizvod.
- Pomnožite sve brojeve u proizvodu, to će biti LCM.
Na primjer, pronađimo LCM brojeva 28 i 21:
4Svođenje razlomaka na isti nazivnik
Vratimo se sabiranju razlomaka sa različitim nazivnicima.
Kada razlomke svedemo na isti nazivnik, koji je jednak LCM-u oba nazivnika, moramo pomnožiti brojioce tih razlomaka sa dodatni množitelji. Možete ih pronaći dijeljenjem LCM sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka, na primjer:
Dakle, da biste sveli razlomke na isti eksponent, prvo morate pronaći LCM (tj. najmanji broj, koji je djeljiv sa oba nazivnika) nazivnika ovih razlomaka, a zatim dodajte dodatne faktore brojiocima razlomaka. Možete ih pronaći tako što zajednički imenilac (CLD) podijelite sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka. Zatim morate pomnožiti brojilac svakog razlomka dodatnim faktorom i staviti LCM kao imenilac.
5Kako sabrati cijeli broj i razlomak
Da biste sabrali cijeli broj i razlomak, samo trebate dodati ovaj broj prije razlomka, što će rezultirati mješovitim razlomkom, na primjer.
Pravila za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima su vrlo jednostavna.
Pogledajmo pravila za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima korak po korak:
1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika. Rezultirajući LCM će biti zajednički nazivnik razlomaka;
2. Svesti razlomke na zajednički imenilac;
3. Dodajte razlomke svedene na zajednički nazivnik.
On jednostavan primjer Naučimo kako primijeniti pravila za sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima.
Primjer
Primjer sabiranja razlomaka s različitim nazivnicima.
Dodajte razlomke s različitim nazivnicima:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Mi ćemo odlučiti korak po korak.
1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika.
Broj 12 je djeljiv sa 6.
Iz ovoga zaključujemo da je 12 najmanji zajednički višekratnik brojeva 6 i 12.
Odgovor: broj brojeva 6 i 12 je 12:
LCM(6, 12) = 12
Rezultirajući LCM će biti zajednički nazivnik dva razlomka 1/6 i 5/12.
2. Svesti razlomke na zajednički imenilac.
U našem primjeru samo prvi razlomak treba svesti na zajednički imenilac 12, jer drugi razlomak već ima imenilac 12.
Podijelite zajednički imenilac broja 12 sa imeniocem prvog razlomka:
2 ima dodatni množitelj.
Pomnožite brojilac i imenilac prvog razlomka (1/6) dodatnim faktorom 2.
Obični razlomčki brojevi prvi put se susreću sa školarcima u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno posmatrati ili koristiti predmet ne kao cjelinu, već u zasebnim dijelovima. Počnite proučavati ovu temu - dijeli. Udjeli su jednaki dijelovi, na koje je podijeljen ovaj ili onaj objekt. Na kraju krajeva, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, dužinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj dijelova ili razlomaka neke mjere; Nastala od glagola "razdvojiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, sama riječ "frakcija" nastala je u ruskom jeziku u 8. stoljeću.
Fractional Expressions dugo vrijeme smatra se najtežom granom matematike. U 17. veku, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se „razbijeni brojevi“, što je ljudima bilo veoma teško razumeti.
Moderan izgled jednostavne razlomke, čiji su dijelovi odvojeni vodoravnom linijom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pize. Njegova djela datiraju se u 1202. godinu. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako se miješani razlomci s različitim nazivnicima množe.
Množenje razlomaka sa različitim nazivnicima
U početku je vrijedno odrediti vrste frakcija:
- ispravan;
- netačno;
- mješovito.
Zatim morate zapamtiti kako se množe razlomci s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa nije teško samostalno formulirati: rezultat množenja jednostavnih razlomaka s identičnim nazivnicima je razlomački izraz čiji je brojilac umnožak brojilaca, a nazivnik proizvod nazivnika ovih razlomaka. . Naime, novi nazivnik je kvadrat jednog od prvobitno postojećih.
Prilikom množenja prosti razlomci sa različitim nazivnicima za dva ili više faktora pravilo se ne mijenja:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Jedina razlika je u tome što će rezultirajući broj ispod razlomaka biti proizvod različitih brojeva i, naravno, kvadrata od jedan numerički izraz nemoguće ga je imenovati.
Vrijedi razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Primjeri koriste metode za smanjenje frakcijskih izraza. Brojeve brojioca možete smanjiti samo brojevima imenioca koji se nalaze iznad ili ispod linije razlomaka.
Uz jednostavne razlomke postoji koncept miješanih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog broja i razlomka, to jest, to je zbir ovih brojeva:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Kako funkcionira množenje?
Nekoliko primjera je dato za razmatranje.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Primjer koristi množenje broja sa obični razlomak, pravilo za ovu akciju se može napisati kao:
a* b/c = a*b /c.
U stvari, takav proizvod je zbir identičnih razlomaka, a broj članova označava ovaj prirodni broj. poseban slučaj:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Postoji još jedno rješenje za množenje broja s razlomkom ostatka. Vi samo trebate podijeliti imenilac ovim brojem:
d* e/f = e/f: d.
Ovu tehniku je korisno koristiti kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, cijelim brojem.
Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke i dobijete proizvod na prethodno opisan način:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ovaj primjer uključuje način predstavljanja mješovitog razlomka kao nepravilan razlomak, a može se predstaviti i kao opća formula:
a bc = a*b+ c / c, pri čemu se imenilac novog razlomka formira množenjem cijelog dijela sa nazivnikom i dodavanjem brojnika originalnog razlomka, a imenilac ostaje isti.
Ovaj proces također funkcionira u suprotnom smjeru. Da biste razdvojili cijeli dio i razlomak ostatak, morate podijeliti brojnik nepravilnog razlomka sa nazivnikom pomoću "ugla".
Množenje nepravilni razlomci proizveden na opšteprihvaćen način. Kada pišete pod jednom linijom razlomaka, morate po potrebi smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i olakšali izračunavanje rezultata.
Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih matematičkih problema u raznim varijacijama programa. Dovoljan broj ovakvih servisa nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka sa različiti brojevi u nazivnicima - takozvani online kalkulatori za računanje razlomaka. Oni su u stanju ne samo da množe, već i da izvode sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Lako je raditi s njim, popunite odgovarajuća polja na web stranici, odaberete znak matematičke operacije i kliknete na „izračunaj“. Program izračunava automatski.
Tema aritmetičkih operacija sa razlomcima je aktuelna u obrazovanju učenika srednjih i srednjih škola. U srednjoj školi više ne smatraju najjednostavnije vrste, već cijeli frakcioni izrazi , ali se znanje o pravilima transformacije i proračuna koje je ranije stečeno primjenjuje u izvornom obliku. Dobro savladano osnovno znanje daje potpuno povjerenje u uspješna odluka većina složeni zadaci.
U zaključku, ima smisla citirati riječi Lava Nikolajeviča Tolstoja, koji je napisao: „Čovjek je razlomak. Nije u moći osobe da poveća svoj brojilac - svoje zasluge - ali svako može smanjiti svoj imenilac - svoje mišljenje o sebi, i sa tim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.
