Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo morate odrediti značenje pojma „višestruko“.
Višekratnik A je prirodan broj koji je djeljiv sa A bez ostatka. Dakle, brojevi koji su višekratnici od 5 mogu se smatrati 15, 20, 25 itd.
Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.
Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je djeljiv s njima bez ostatka.
Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva
Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svim ovim brojevima.
Da biste pronašli LOC, možete koristiti nekoliko metoda.
Za male brojeve, zgodno je zapisati sve višekratnike ovih brojeva na liniji dok ne nađete nešto zajedničko među njima. Višekratnici se označavaju velikim slovom K.
Na primjer, višekratnici od 4 mogu se napisati ovako:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ova notacija se radi na sljedeći način:
LCM(4, 6) = 24
Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugu metodu izračunavanja LCM-a.
Da biste izvršili zadatak, potrebno je razložiti predložene brojeve na primarni faktori.
Prvo trebate zapisati dekompoziciju najvećeg broja na liniji, a ispod njega - ostatak.
Dekompozicija svakog broja može sadržavati različit broj faktora.
Na primjer, razložimo brojeve 50 i 20 u proste faktore.
U proširenju manjeg broja treba istaknuti faktore koji nedostaju u proširenju prvog najvećeg broja, a zatim mu ih dodati. U prikazanom primjeru nedostaje dvojka.
Sada možete izračunati najmanji zajednički višekratnik 20 i 50.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Tako će proizvod prostih faktora većeg broja i faktora drugog broja koji nisu uključeni u proširenje većeg broja biti najmanji zajednički višekratnik.
Da biste pronašli LCM od tri ili više brojeva, trebali biste ih sve rastaviti u proste faktore, kao u prethodnom slučaju.
Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Dakle, samo dvije dvojke iz proširenja šesnaest nisu uključene u faktorizaciju većeg broja (jedan je u proširenju dvadeset četiri).
Stoga ih je potrebno dodati proširenju većeg broja.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od ovih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.
Na primjer, LCM od dvanaest i dvadeset četiri je dvadeset četiri.
Ako trebate pronaći najmanji zajednički višekratnik primarni brojevi, koji nemaju identične djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom proizvodu.
Na primjer, LCM (10, 11) = 110.
Matematički izrazi i zadaci zahtijevaju mnogo dodatnog znanja. NOK je jedan od glavnih, posebno se često koristi u. Tema se izučava u srednjoj školi i nije posebno teško razumjeti gradivo; osoba koja je upoznata sa potencijama i tablicom množenja neće imati poteškoća da identifikuje potrebne brojeve i otkrije rezultat.
Definicija
Zajednički višekratnik je broj koji se može u potpunosti podijeliti na dva broja u isto vrijeme (a i b). Najčešće se ovaj broj dobije množenjem originalnih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv sa oba broja odjednom, bez odstupanja.
NOC je prihvaćena oznaka kratko ime, prikupljeno od prvih slova.
Načini da dobijete broj
Metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna za pronalaženje LCM-a, mnogo je prikladnija za jednostavne jednocifrene ili dvocifrene brojeve. Uobičajeno je da se dijeli na faktore; što je veći broj, to će biti više faktora.
Primjer #1
Za najjednostavniji primjer, škole obično koriste proste, jednocifrene ili dvocifrene brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći zadatak, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je prilično jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat toga, postoji broj 21, jednostavno nema manjeg broja.
Primjer br. 2
Druga verzija zadatka je mnogo teža. Dati su brojevi 300 i 1260, a pronalaženje LOC-a je obavezno. Da biste riješili problem, pretpostavljaju se sljedeće radnje:
Dekompozicija prvog i drugog broja na jednostavne faktore. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prva faza je završena.
Druga faza uključuje rad sa već dobijenim podacima. Svaki od primljenih brojeva mora učestvovati u izračunavanju konačnog rezultata. Za svaki množitelj, najviše veliki broj pojave. LCM je opšti broj, tako da se u njemu moraju ponavljati faktori brojeva, svaki pojedinačni, čak i oni koji su prisutni u jednoj kopiji. Oba početna broja sadrže brojeve 2, 3 i 5, različitih stepena, 7 je prisutan samo u jednom slučaju.
Da biste izračunali konačni rezultat, trebate uzeti svaki broj u najvećoj od predstavljenih potencija u jednadžbi. Ostaje samo pomnožiti i dobiti odgovor; ako je ispravno popunjen, zadatak se uklapa u dva koraka bez objašnjenja:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
To je cijeli problem, ako pokušate izračunati traženi broj množenjem, onda odgovor definitivno neće biti tačan, jer je 300 * 1260 = 378.000.
pregled:
6300 / 300 = 21 - tačno;
6300 / 1260 = 5 - tačno.
Ispravnost dobivenog rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM-a sa oba početna broja; ako je broj u oba slučaja cijeli broj, onda je odgovor tačan.
Šta NOC znači u matematici?
Kao što znate, ne postoji nijedna beskorisna funkcija u matematici, ova nije izuzetak. Najčešća svrha ovog broja je svođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Ono što se obično uči u 5-6 razredima srednja škola. Takođe je i zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti prisutni u zadatku. Takav izraz može pronaći višekratnik ne samo dva broja, već i mnogo većeg broja - tri, pet i tako dalje. Kako više brojeva- što više radnji ima u zadatku, ali se složenost ne povećava.
Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, morate pronaći njihov zajednički LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ovaj primjer detaljno opisuje faktorizaciju, bez redukcije.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Da bi se sastavio izraz potrebno je navesti sve faktore, u ovom slučaju su dati 2, 5, 3 - za sve ove brojeve potrebno je odrediti maksimalni stepen.
Pažnja: svi faktori moraju biti dovedeni do tačke potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, dekomponovani na nivo jednocifrenih brojeva.
pregled:
1) 3000 / 250 = 12 - tačno;
2) 3000 / 600 = 5 - tačno;
3) 3000 / 1500 = 2 - tačno.
Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti genijalnog nivoa, sve je jednostavno i jasno.
Drugi način
U matematici je mnogo stvari povezano, mnoge stvari se mogu riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda se može koristiti u slučaju jednostavnih dvocifrenih i jednocifrenih brojeva. Sastavlja se tabela u koju se unosi množitelj okomito, množitelj horizontalno, a proizvod je naznačen u ćelijama kolone koja se sijeku. Možete prikazati tablicu pomoću linije, uzeti broj i zapisati rezultate množenja ovog broja cijelim brojevima, od 1 do beskonačnosti, ponekad je dovoljno 3-5 bodova, drugi i sljedeći brojevi prolaze kroz isti proces izračunavanja. Sve se dešava dok se ne pronađe zajednički višekratnik.
S obzirom na brojeve 30, 35, 42, morate pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:
1) Višestruki od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, itd.
2) Višestruki od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, itd.
3) Višekratnici 42: 84, 126, 168, 210, 252, itd.
Primjetno je da se svi brojevi dosta razlikuju, jedini zajednički broj među njima je 210, tako da će to biti NOC. Među procesima koji su uključeni u ovaj proračun postoji i najveći zajednički djelitelj, koji se računa po sličnim principima i često se susreće u susjednim problemima. Razlika je mala, ali prilično značajna, LCM uključuje izračunavanje broja koji je podijeljen sa svim datim početnim vrijednostima, a GCD uključuje izračunavanje najveća vrijednost kojim se dijele originalni brojevi.
Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik su ključni aritmetički koncepti koji vam omogućavaju da radite bez napora obične frakcije. LCM i najčešće se koriste za pronalaženje zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka.
Osnovni koncepti
Delitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y kojim je X podijeljen bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Višekratnik cijelog broja X je broj Y koji je djeljiv sa X bez ostatka. Na primjer, 3 je višekratnik od 15, a 6 je višekratnik od 12.
Za bilo koji par brojeva možemo pronaći njihove zajedničke djelitelje i višekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajednički djelitelj je 18, a zajednički djelitelj je 3. Očigledno, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i višekratnika, tako da se u proračunima koriste najveći djelitelj GCD i najmanji višestruki LCM.
Najmanji djelitelj je besmislen, jer je za bilo koji broj uvijek jedan. Najveći umnožak je također besmislen, jer niz višekratnika ide u beskonačnost.
Pronalaženje gcd
Postoji mnogo metoda za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, od kojih su najpoznatije:
- sekvencijalno traženje djelitelja, odabir zajedničkih za par i traženje najvećeg od njih;
- dekompozicija brojeva na nedjeljive faktore;
- Euklidski algoritam;
- binarni algoritam.
Danas u obrazovne institucije Najpopularnije su metode faktorizacije osnovnih faktora i Euklidov algoritam. Potonji se, pak, koristi pri rješavanju Diofantovih jednadžbi: traženje GCD-a je potrebno da bi se provjerila mogućnost rezolucije u cijelim brojevima.
Pronalaženje NOC-a
Najmanji zajednički višekratnik se također određuje sekvencijalnim pretraživanjem ili dekompozicijom na nedjeljive faktore. Osim toga, lako je pronaći LCM ako je najveći djelitelj već određen. Za brojeve X i Y, LCM i GCD povezani su sljedećim odnosom:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Na primjer, ako je GCM(15,18) = 3, tada je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najočigledniji primjer korištenja LCM je pronalaženje zajedničkog nazivnika, koji je najmanji zajednički višekratnik dati razlomci.
Koprosti brojevi
Ako par brojeva nema zajedničkih djelitelja, onda se takav par naziva koprostor. Gcd za takve parove je uvijek jednak jedan, a na osnovu veze između djelitelja i višekratnika, gcd za koprime parove jednak je njihovom proizvodu. Na primjer, brojevi 25 i 28 su relativno prosti, jer nemaju zajedničkih djelitelja, a LCM(25, 28) = 700, što odgovara njihovom proizvodu. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek će biti relativno prosti.
Zajednički djelitelj i višestruki kalkulator
Koristeći naš kalkulator možete izračunati GCD i LCM za proizvoljan broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci za izračunavanje zajedničkih djelitelja i višekratnika nalaze se u aritmetici 5. i 6. razreda, ali GCD i LCM su ključni pojmovi u matematici i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikativnoj algebri.
Primjeri iz stvarnog života
Zajednički nazivnik razlomaka
Najmanji zajednički višekratnik se koristi kada se nalazi zajednički nazivnik višestrukih razlomaka. Recimo da u aritmetičkom zadatku trebate zbrojiti 5 razlomaka:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Za dodavanje razlomaka, izraz se mora svesti na zajednički nazivnik, što se svodi na problem pronalaženja LCM. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovarajuće ćelije. Program će izračunati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada morate izračunati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definisani kao omjer LCM-a i nazivnika. Dakle, dodatni množitelji bi izgledali ovako:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Nakon toga, pomnožimo sve razlomke odgovarajućim dodatnim faktorom i dobijemo:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Lako možemo sabrati takve razlomke i dobiti rezultat kao 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo konačan odgovor - 53/120.
Rješavanje linearnih Diofantovih jednadžbi
Linearne Diofantove jednadžbe su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d/gcd(a, b) cijeli broj, onda je jednadžba rješiva u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jednačina da vidimo da li imaju cjelobrojno rješenje. Prvo, provjerimo jednačinu 150x + 8y = 37. Koristeći kalkulator, nalazimo GCD (150,8) = 2. Podijelimo 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, stoga jednadžba nema cjelobrojne korijene.
Provjerimo jednačinu 1320x + 1760y = 10120. Koristite kalkulator da nađete GCD(1320, 1760) = 440. Podijelite 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobijamo cijeli broj, pa je Diofantov koeficijent tako u jednadžbi .
Zaključak
GCD i LCM igraju veliku ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti se široko koriste u raznim oblastima matematike. Koristite naš kalkulator za izračunavanje najvećih djelitelja i najmanjih višekratnika bilo kojeg broja brojeva.
Tema „Više brojeva“ se izučava u 5. razredu srednje škole. Njegov cilj je poboljšati pismene i usmene matematičke računske vještine. U ovoj lekciji se uvode novi pojmovi - „višebrojni brojevi“ i „djelitelji“, tehnika pronalaženja djelitelja i višekratnika prirodnog broja, te sposobnost pronalaženja LCM na različite načine.
Ova tema je veoma važna. Znanje o tome može se primijeniti pri rješavanju primjera s razlomcima. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik izračunavanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).
Višekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv sa A bez ostatka.
Svaki prirodan broj ima beskonačan broj višekratnika. Sama se smatra najmanjom. Višekratnik ne može biti manji od samog broja.
Morate dokazati da je broj 125 višestruki od 5. Da biste to učinili, trebate podijeliti prvi broj sa drugim. Ako je 125 djeljivo sa 5 bez ostatka, onda je odgovor da.
Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.
Postoje posebni slučajevi kada se izračunava LOC.
1. Ako trebate pronaći zajednički višekratnik 2 broja (na primjer, 80 i 20), gdje je jedan od njih (80) djeljiv s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji višekratnik ovih dva broja.
LCM(80, 20) = 80.
2. Ako dva nemaju zajednički djelitelj, onda možemo reći da je njihov LCM proizvod ova dva broja.
LCM(6, 7) = 42.
Pogledajmo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Oni dijele višekratnik broja bez ostatka.
U ovom primjeru, 6 i 7 su upareni faktori. Njihov proizvod je jednak najvišem broju (42).
Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili sa 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostalo se naziva kompozitnim.
Drugi primjer uključuje određivanje da li je 9 djelitelj broja 42.
42:9=4 (ostatak 6)
Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42 jer odgovor ima ostatak.
Delitelj se razlikuje od višekratnika po tome što je djelitelj broj s kojim se dijeli cijeli brojevi, a višekratnik je sam djeljiv ovim brojem.
Najveći zajednički djelitelj brojeva a I b, pomnoženo njihovim najmanjim višekratnikom, dat će proizvod samih brojeva a I b.
Naime: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Uobičajeni višekratnici za složenije brojeve nalaze se na sljedeći način.
Na primjer, pronađite LCM za 168, 180, 3024.
Ove brojeve činimo u proste faktore i zapisujemo ih kao proizvod potencija:
168=2³x3¹x7¹
2⁴h3³h5¹h7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
Materijal predstavljen u nastavku je logičan nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, veza između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pažnju ćemo posvetiti rješavanju primjera. Prvo ćemo pokazati kako se LCM dva broja izračunava pomoću GCD ovih brojeva. Zatim ćemo pogledati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva u proste faktore. Nakon ovoga ćemo se fokusirati na pronalaženje LCM-a od tri i više brojeva, a obratite pažnju i na izračunavanje LCM negativnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD
Jedan od načina da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je zasnovan na odnosu između LCM i GCD. Postojeća veza između LCM i GCD nam omogućava da izračunamo najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Pogledajmo primjere pronalaženja LCM-a pomoću date formule.
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik dva broja 126 i 70.
Rješenje.
U ovom primjeru a=126, b=70. Koristimo vezu između LCM i GCD, izraženu formulom LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva koristeći napisanu formulu.
Nađimo GCD(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dakle, GCD(126, 70)=14.
Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
odgovor:
LCM(126, 70)=630 .
Primjer.
Čemu je LCM(68, 34) jednako?
Rješenje.
Jer 68 je djeljivo sa 34, tada je GCD(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
odgovor:
LCM(68, 34)=68 .
Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv sa b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.
Pronalaženje LCM-a rastavljanjem brojeva u proste faktore
Drugi način za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika je baziran na faktoringu brojeva u proste faktore. Ako sastavite proizvod od svih prostih faktora datih brojeva, a zatim iz ovog proizvoda isključite sve uobičajene proste faktore prisutne u dekompozicijama datih brojeva, tada će rezultirajući proizvod biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku datih brojeva .
Navedeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Zaista, proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora uključenih u proširenje brojeva a i b. Zauzvrat, GCD(a, b) je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (kao što je opisano u odjeljku o pronalaženju GCD pomoću proširenja brojeva u proste faktore).
Dajemo primjer. Javite nam da je 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Sastavimo proizvod od svih faktora ovih proširenja: 2·3·3·5·5·5·7 . Sada iz ovog proizvoda isključujemo sve faktore prisutne u proširenju broja 75 i proširenju broja 210 (ovi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2·3·5·5·7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku 75 i 210, tj. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Primjer.
Faktorite brojeve 441 i 700 u proste faktore i pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.
Rješenje.
Razložimo brojeve 441 i 700 u proste faktore:
Dobijamo 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.
Sada napravimo proizvod od svih faktora koji su uključeni u proširenje ovih brojeva: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Izuzmimo iz ovog proizvoda sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. dakle, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
odgovor:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za pronalaženje LCM koristeći faktorizaciju brojeva u proste faktore može se formulisati malo drugačije. Ako se faktori koji nedostaju iz proširenja broja b dodaju faktorima iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.
Na primjer, uzmimo iste brojeve 75 i 210, njihove dekompozicije na proste faktore su sljedeće: 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo proizvod 2·3·5·5·7, čija je vrijednost jednako LCM(75, 210).
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.
Rješenje.
Prvo dobijamo dekompozicije brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz proširenja broja 648, dobijemo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7, što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik od 84 i 648 je 4,536.
odgovor:
LCM(84, 648)=4,536 .
Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva
Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se naći uzastopnim pronalaženjem LCM dva broja. Podsjetimo se odgovarajuće teoreme, koja daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.
Teorema.
Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Razmotrimo primjenu ove teoreme na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.
Primjer.
Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.
Rješenje.
U ovom primjeru, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Prvo nađemo m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Da bismo to uradili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dakle, GCD(140, 9)=1 , odakle GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. To jest, m 2 =1 260.
Sada pronalazimo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz GCD(1 260, 54), koji takođe određujemo pomoću Euklidovog algoritma: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada je gcd(1,260, 54)=18, od čega je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Odnosno, m 3 =3 780.
Ostaje samo pronaći m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Da bismo to uradili, nalazimo GCD(3,780, 250) koristeći Euklidov algoritam: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Dakle, GCM(3,780, 250)=10, odakle je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. To jest, m 4 =94,500.
Dakle, najmanji zajednički višekratnik od originalna četiri broja je 94.500.
odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.
U mnogim slučajevima, zgodno je pronaći najmanji zajednički umnožak tri ili više brojeva korištenjem prostih faktorizacija datih brojeva. U ovom slučaju, trebali biste se pridržavati sledeće pravilo. Najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva jednak je umnošku koji je sastavljen na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje rezultujućim faktorima, i tako dalje.
Pogledajmo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću faktorizacije.
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik od pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.
Rješenje.
Prvo, dobijamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prost broj, poklapa se sa njegovom dekompozicijom na proste faktore) i 143=11·13.
Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7), morate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Dekompozicija broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u dekompoziciji prvog broja 84. Zatim, faktorima 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobijamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Neće biti potrebe za dodavanjem množitelja ovom skupu u sljedećem koraku, pošto je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobijamo proizvod 2·2·2·2·3·7·11·13, što je jednako 48,048.
