Segment koji povezuje centar kruga i tačke na njegovom obimu naziva se radijus. Štaviše, u svakoj kružnici svi radijusi su međusobno jednaki. Prečnik kružnice je prava linija koja spaja dve tačke na krugu i prolazi kroz njegovo središte. Sve ovo će nam trebati za ispravan proračun površina kruga. osim toga, datu vrijednost izračunato pomoću broja Pi.

Kako izračunati površinu kruga

Na primjer, imamo krug s radijusom od četiri centimetra. Izračunajmo njegovu površinu: S=(3,14)*4^2=(3,14)*16=50,24. Dakle, površina kruga je 50,24 kvadratnih centimetara.

Također, postoji posebna formula za izračunavanje površine kruga kroz njegov prečnik: S=(pi/4) d^2.

Pogledajmo primjer takvog izračuna kruga kroz njegov promjer, znajući polumjer figure. Na primjer, imamo krug sa radijusom od četiri centimetra. Prvo morate pronaći prečnik koji je dvostruko veći od samog poluprečnika: d=2R, d=2*4=8.

Sada biste trebali koristiti dobivene podatke da izračunate površinu kruga koristeći gore opisanu formulu: S=((3.14)/4 )*8^2=0.785*64=50.24.

Kao što vidite, na kraju dobijamo isti odgovor kao u prvom slučaju.

Poznavanje gore opisanih standardnih formula za ispravno izračunavanje površine kruga pomoći će vam da lako pronađete vrijednosti koje nedostaju i odredite površinu sektora.

Dakle, znamo da se formula za izračunavanje površine kruga izračunava množenjem konstantne vrijednosti Pi s kvadratom polumjera samog kruga. Sam radijus se može izraziti kroz stvarni obim zamjenom izraza kroz obim u formulu. To je: R=l/2pi.

Sada trebamo zamijeniti ovu jednakost u formulu za izračunavanje površine kruga i kao rezultat dobijamo formulu za pronalaženje površine ove geometrijske figure kroz opseg: S=pi((l/2pi) )^2=l^2/(4pi).

Na primjer, dat nam je krug čiji je obim osam centimetara. Vrijednost zamjenjujemo u razmatranu formulu: S=(8^2)/(4*3.14)=64/(12.56)=5. I dobijamo površinu kruga jednaku pet kvadratnih centimetara.

U geometriji Svuda okolo je skup svih tačaka na ravni koje su udaljene od jedne tačke, koja se zove njeno središte, za udaljenost ne veću od date, koja se zove njegov poluprečnik. U ovom slučaju, vanjska granica kruga je krug, a u slučaju da je dužina polumjera nula, krug degeneriše do tačke.

Određivanje površine kruga

Ako je potrebno površina kruga može se izračunati pomoću formule:

r- radijus kruga

D- prečnik kruga

S- površina kruga

π - 3.14

Ovo geometrijska figura vrlo često nalaze iu tehnologiji iu arhitekturi. Dizajneri mašina i mehanizama razvijaju različite delove, od kojih su delovi mnogih upravo tačni krug. Na primjer, to su osovine, šipke, šipke, cilindri, osovine, klipovi i tako dalje. U proizvodnji ovih dijelova, praznine od razni materijali(metali, drvo, plastika), njihove sekcije takođe predstavljaju tačno krug. Podrazumeva se da programeri često moraju da kalkulišu površina kruga kroz prečnik ili radijus, koristeći jednostavne matematičke formule, otkriven u antičko doba.

Tačno tada okrugli elementi počeo se aktivno i široko koristiti u arhitekturi. Jedan od najupečatljivijih primjera za to je cirkus, koji je vrsta zgrade dizajnirane za održavanje raznih zabavnih događaja. Njihove arene su oblikovane krug, a prvi put su se počeli graditi u antičko doba. sama riječ" cirkus"prevedeno sa latinskog znači" krug" Ako su u antičko doba cirkusi bili domaćini pozorišnih predstava i borbi gladijatora, sada služe kao mjesto gdje se gotovo isključivo održavaju cirkuske predstave uz učešće trenera, akrobata, mađioničara, klovnova itd. Standardni prečnik cirkuske arene je 13 metara , i to sasvim nije slučajno: činjenica je da upravo on osigurava minimalne potrebne geometrijske parametre arene u kojoj cirkuski konji mogu galopirati u krug. Ako izračunamo površina kruga kroz prečnik, ispada da je za cirkusku arenu ova vrednost 113,04 kvadratnih metara.

Arhitektonski elementi koji mogu imati oblik kruga su prozori. Naravno, u većini slučajeva su pravokutni ili kvadratni (u velikoj mjeri zbog činjenice da je to lakše i arhitektima i graditeljima), ali u nekim zgradama možete pronaći i okrugli prozori. Štaviše, u takvim vozila, poput zračnih, morskih i riječnih plovila, najčešće su upravo ovakvi.

Nipošto nije neuobičajeno korištenje okruglih elemenata za izradu namještaja, poput stolova i stolica. Postoji čak i koncept" okrugli stol “, što podrazumijeva konstruktivnu diskusiju, tokom koje se odvija sveobuhvatna rasprava o različitim važnim problemima i razvijaju se načini za njihovo rješavanje. Što se tiče same izrade radnih ploča, koje imaju okrugli oblik, za njihovu proizvodnju koriste se specijalizirani alati i oprema, uz sudjelovanje radnika s prilično visokim kvalifikacijama.

Kako pronaći površinu kruga? Prvo pronađite radijus. Naučite rješavati jednostavne i složene probleme.

Krug je zatvorena kriva. Bilo koja tačka na liniji kružnice bit će na istoj udaljenosti od središnje točke. Krug je ravna figura, pa je rješavanje problema koji uključuju pronalaženje područja lako. U ovom članku ćemo pogledati kako pronaći površinu kružnice upisane u trokut, trapez, kvadrat i opisanu oko ovih figura.

Da biste pronašli površinu date figure, morate znati koliki su polumjer, promjer i broj π.

Radijus R je udaljenost ograničena središtem kruga. Dužine svih R-radijusa jednog kruga će biti jednake.

Prečnik D je linija između bilo koje dvije tačke na kružnici koja prolazi kroz središnju tačku. Dužina ovog segmenta jednaka je dužini R-radijusa pomnoženog sa 2.

Broj π je konstantna vrijednost koja je jednaka 3,1415926. U matematici se ovaj broj obično zaokružuje na 3,14.

Formula za pronalaženje površine kruga pomoću radijusa:

Primjeri rješavanja problema za pronalaženje S-površine kruga pomoću R-radijusa:

zadatak: Nađite površinu kruga ako je njegov polumjer 7 cm.

Rješenje: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

odgovor: Površina kruga je 153,86 cm².

Formula za pronalaženje S-površine kruga kroz D-prečnik:

Primjeri rješavanja zadataka za pronalaženje S ako je D poznato:

————————————————————————————————————————-

zadatak: Pronađite S kruga ako je njegov D 10 cm.

Rješenje: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

odgovor: Površina ravne kružne figure je 78,5 cm².

Nalaženje S kruga ako je poznat obim:

Prvo nađemo čemu je jednak polumjer. Obim kruga se izračunava po formuli: L=2πR, odnosno radijus R će biti jednak L/2π. Sada nalazimo površinu kruga koristeći formulu kroz R.

Pogledajmo rješenje koristeći primjer problema:

———————————————————————————————————————-

zadatak: Nađite površinu kruga ako je poznat obim L - 12 cm.

Rješenje: Prvo nalazimo poluprečnik: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Sada nalazimo površinu kroz poluprečnik: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

odgovor: Površina kruga je 11,46 cm².

Lako je pronaći površinu kruga upisanog u kvadrat. Strana kvadrata je prečnik kruga. Da biste pronašli radijus, trebate podijeliti stranu sa 2.

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u kvadrat:

Primjeri rješavanja problema pronalaženja površine kruga upisanog u kvadrat:

———————————————————————————————————————

Zadatak #1: Poznata je stranica kvadratne figure, koja je 6 centimetara. Pronađite S-površinu upisane kružnice.

Rješenje: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

odgovor: Površina ravne kružne figure je 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Zadatak br. 2: Pronađite S kružnice upisane u kvadratnu figuru i njen polumjer ako je jedna strana a=4 cm.

Odlučite se na ovaj način: Prvo nalazimo R=a/2=4/2=2 cm.

Sada pronađimo površinu kruga S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

odgovor: Površina ravne kružne figure je 12,56 cm².

Malo je teže pronaći područje kružne figure opisane oko kvadrata. Ali, znajući formulu, možete brzo izračunati ovu vrijednost.

Formula za pronalaženje S kružnice opisane oko kvadratne figure:

Primjeri rješavanja zadataka na pronalaženje površine kruga opisanog oko kvadratne figure:

Zadatak

Krug koji je upisan u trouglastu figuru je krug koji dodiruje sve tri strane trougla. U bilo koju trouglastu figuru možete uklopiti krug, ali samo jedan. Središte kružnice će biti presjek simetrala uglova trougla.

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u jednakokraki trokut:

Kada je poluprečnik poznat, površina se može izračunati pomoću formule: S=πR².

Formula za pronalaženje površine kruga upisanog u pravokutni trokut:

Primjeri rješavanja problema:

Zadatak br. 1

Ako u ovom problemu također trebate pronaći površinu kruga polumjera 4 cm, to se može učiniti pomoću formule: S=πR²

Zadatak br. 2

Rješenje:

Sada kada je polumjer poznat, možemo pronaći površinu kruga pomoću radijusa. Pogledajte formulu iznad u tekstu.

Zadatak br. 3

Površina kružnice opisane oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta: formula, primjeri rješavanja problema

Sve formule za pronalaženje površine kruga svode se na činjenicu da prvo morate pronaći njegov polumjer. Kada je poluprečnik poznat, pronalaženje površine je jednostavno, kao što je gore opisano.

Površina kružnice opisane oko pravokutnog i jednakokračnog trokuta nalazi se po sljedećoj formuli:

Primjeri rješavanja problema:

Evo još jednog primjera rješavanja problema pomoću Heronove formule.

Rješavanje takvih problema je teško, ali ih je moguće savladati ako znate sve formule. Takve zadatke učenici rješavaju u 9. razredu.

Područje kruga upisanog u pravokutni i jednakokraki trapez: formula, primjeri rješavanja problema

Jednakokraki trapez ima dvije jednake stranice. Pravougaoni trapez ima jedan ugao jednak 90º. Pogledajmo kako pronaći površinu kružnice upisane u pravokutni i jednakokraki trapez na primjeru rješavanja problema.

Na primjer, kružnica je upisana u jednakokraki trapez, koji u tački dodira dijeli jednu stranu na segmente m i n.

Da biste riješili ovaj problem, trebate koristiti sljedeće formule:

Pronalaženje površine kruga upisanog u pravokutni trapez vrši se pomoću sljedeće formule:

Ako je bočna strana poznata, tada se radijus može pronaći pomoću ove vrijednosti. Visina stranice trapeza jednaka je prečniku kruga, a poluprečnik je pola prečnika. Prema tome, radijus je R=d/2.

Primjeri rješavanja problema:

Trapez se može upisati u krug kada je zbir njegovih suprotnih uglova 180º. Stoga možete upisati samo jednakokraki trapez. Polumjer za izračunavanje površine kružnice opisane oko pravokutnog ili jednakokračnog trapeza izračunava se pomoću sljedećih formula:

Primjeri rješavanja problema:

Rješenje: Velika baza u u ovom slučaju prolazi kroz centar, jer je jednakokraki trapez upisan u krug. Centar dijeli ovu bazu tačno na pola. Ako je baza AB 12, onda se radijus R može naći na sljedeći način: R=12/2=6.

odgovor: Radijus je 6.

U geometriji je važno znati formule. Ali nemoguće ih je zapamtiti sve, pa je čak i na mnogim ispitima dozvoljeno koristiti poseban obrazac. Međutim, važno je pronaći pravu formulu za rješavanje određenog problema. Vježbajte rješavanje raznih zadataka kako biste pronašli polumjer i površinu kruga tako da možete ispravno zamijeniti formule i dobiti točne odgovore.

Video: Matematika | Izračunavanje površina kruga i njegovih dijelova

Krugovi zahtijevaju pažljiviji pristup i mnogo su rjeđi u zadacima B5. U isto vrijeme, opća shema rješenja je još jednostavnija nego u slučaju poligona (vidi lekciju „Površine poligona na koordinatnoj mreži“).

Sve što je potrebno u takvim zadacima je pronaći polumjer kružnice R. Tada možete izračunati površinu kruga pomoću formule S = πR 2. Iz ove formule također slijedi da je za njeno rješavanje dovoljno pronaći R 2.

Da biste pronašli naznačene vrijednosti, dovoljno je naznačiti tačku na kružnici koja leži na sjecištu linija mreže. Zatim upotrijebite Pitagorinu teoremu. Hajde da razmotrimo konkretnim primjerima proračun radijusa:

Zadatak. Pronađite poluprečnike tri kružnice prikazane na slici:

Izradimo dodatne konstrukcije u svakom krugu:

U svakom slučaju, tačka B je izabrana na kružnici da leži na preseku linija mreže. Tačka C u krugovima 1 i 3 dopuni sliku pravougaonog trougla. Ostaje pronaći poluprečnike:

Razmotrimo trougao ABC u prvom krugu. Prema Pitagorinoj teoremi: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Za drugi krug sve je očigledno: R = AB = 2.

Treći slučaj je sličan prvom. Iz trougla ABC koristeći Pitagorinu teoremu: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Sada znamo kako pronaći polumjer kružnice (ili barem njenog kvadrata). Stoga možemo pronaći područje. Postoje problemi u kojima morate pronaći područje sektora, a ne cijeli krug. U takvim slučajevima lako je saznati koji je dio kruga ovaj sektor, a samim tim i područje.

Zadatak. Pronađite područje S zasjenjenog sektora. Molimo navedite S/π u svom odgovoru.

Očigledno, sektor je jedna četvrtina kruga. Dakle, S = 0,25 S krug.

Ostaje pronaći S kruga - područje kruga. Da bismo to učinili, izvodimo dodatnu konstrukciju:

Trougao ABC je pravougli trougao. Prema Pitagorinoj teoremi imamo: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Sada nalazimo površinu kruga i sektora: S krug = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S krug = 2π.

Konačno, željena vrijednost je S /π = 2.

Sektorska oblast sa nepoznatim radijusom

Ovo je potpuno nova vrsta zadatka, ništa slično nije bilo u 2010-2011. Prema uslovu, dat nam je krug određene površine (naime površina, a ne poluprečnik!). Zatim se unutar ovog kruga odabire sektor, čije područje treba pronaći.

Dobra vijest je da su takvi problemi najlakši od svih problema iz oblasti koji se pojavljuju na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike. Osim toga, krug i sektor se uvijek postavljaju na koordinatnu mrežu. Stoga, da biste naučili kako riješiti takve probleme, samo pogledajte sliku:

Neka prvobitni krug ima površinu S = 80. Tada se može podijeliti na dva sektora sa površinom S = 40 svaki (vidi korak 2). Slično, svaki od ovih „polovina“ sektora može se ponovo podijeliti na pola - dobijamo četiri sektora površine S = 20 svaki (vidi korak 3). Konačno, svaki od ovih sektora možemo podijeliti na još dva - dobićemo 8 „otpada“ sektora. Površina svakog od ovih "otpada" bit će S = 10.

Imajte na umu: nema finije podjele ni u jednom USE matematičkom problemu! Dakle, algoritam za rješavanje problema B-3 je sljedeći:

1. Izrežite originalni krug na 8 "otrezaka" sektora. Površina svakog od njih je tačno 1/8 površine cijelog kruga. Na primjer, ako u skladu sa uslovom krug ima površinu S kruga = 240, tada "otpadci" imaju površinu S = 240: 8 = 30;
2. Saznajte koliko "otpada" stane u originalni sektor, čiju površinu treba pronaći. Na primjer, ako naš sektor sadrži 3 „otcjepa“ s površinom od 30, tada je površina željenog sektora S = 3 · 30 = 90. Ovo će biti odgovor.

To je sve! Problem se rješava praktično usmeno. Ako nešto i dalje nije jasno, kupite pizzu i isecite je na 8 delova. Svaki takav komad će biti isti sektor-„otrezci“ koji se mogu kombinirati u veće komade.

Pogledajmo sada primjere s probnog Jedinstvenog državnog ispita:

Zadatak. Na kariranom papiru je nacrtan krug s površinom od 40 Nađite površinu zasjenjene figure.

Dakle, površina kruga je 40. Podijelite ga na 8 sektora - svaki s površinom S = 40: 5 = 8. Dobijamo:

Očigledno, zasjenjeni sektor se sastoji od tačno dva sektora "otpada". Dakle, njegova površina je 2 · 5 = 10. To je cijelo rješenje!

Zadatak. Na kariranom papiru je nacrtan krug s površinom od 64 Nađite površinu zasjenjene figure.

Ponovo podijelite cijeli krug na 8 jednakih sektora. Očigledno, područje jednog od njih je upravo ono što treba pronaći. Dakle, njegova površina je S = 64: 8 = 8.

Zadatak. Na kariranom papiru je nacrtan krug s površinom od 48 Nađite površinu zasjenjene figure.

Ponovo podijelite krug na 8 jednakih sektora. Površina svakog od njih jednaka je S = 48: 8 = 6. Traženi sektor sadrži tačno tri sektora - „otpadke“ (vidi sliku). Dakle, površina traženog sektora je 3 6 = 18.

je ravna figura koja predstavlja skup tačaka jednako udaljenih od centra. Svi su na istoj udaljenosti i formiraju krug.

Segment koji povezuje centar kruga sa tačkama na njegovom obimu naziva se radijus. U svakom krugu svi poluprečniki su međusobno jednaki. Zove se prava linija koja spaja dvije tačke na kružnici i koja prolazi kroz centar prečnika. Formula za površinu kruga izračunava se pomoću matematičke konstante - broja π..

Ovo je zanimljivo : Broj π. predstavlja omjer obima kruga i dužine njegovog prečnika i konstantna je vrijednost. Vrijednost π = 3,1415926 korištena je nakon rada L. Eulera 1737. godine.

Površina kruga se može izračunati pomoću konstante π. i radijus kruga. Formula za površinu kruga u smislu radijusa izgleda ovako:

Pogledajmo primjer izračunavanja površine kruga pomoću radijusa. Neka nam je dat krug poluprečnika R = 4 cm. Nađimo površinu figure.

Površina našeg kruga će biti 50,24 kvadratnih metara. cm.

Postoji formula površina kruga kroz prečnik. Također se široko koristi za izračunavanje potrebnih parametara. Ove formule se mogu koristiti za pronalaženje.

Razmotrimo primjer izračunavanja površine kruga kroz njegov promjer, znajući njegov polumjer. Neka nam je dat krug poluprečnika R = 4 cm. Prvo, nađimo prečnik, koji je, kao što je poznato, dvostruko veći.


Sada koristimo podatke za primjer izračunavanja površine kruga koristeći gornju formulu:

Kao što vidite, rezultat je isti odgovor kao u prvim proračunima.

Poznavanje standardnih formula za izračunavanje površine kruga pomoći će vam da lakše odredite u budućnosti sektorsko područje i lako pronaći nedostajuće količine.

Već znamo da se formula za površinu kruga izračunava množenjem konstantne vrijednosti π s kvadratom polumjera kruga. Polumjer se može izraziti u terminima obima i zamijeniti izraz u formuli za površinu kruga u terminima obima:
Sada zamijenimo ovu jednakost u formulu za izračunavanje površine kruga i dobijemo formulu za pronalaženje površine kruga koristeći obim

Razmotrimo primjer izračunavanja površine kruga pomoću obima. Neka je zadan krug dužine l = 8 cm. Zamijenite vrijednost u izvedenu formulu:

Ukupna površina kruga će biti 5 kvadratnih metara. cm.

Područje kruga opisanog oko kvadrata

Vrlo je lako pronaći površinu kruga opisanog oko kvadrata.

Da biste to učinili, potrebna vam je samo stranica kvadrata i znanje jednostavne formule. Dijagonala kvadrata bit će jednaka dijagonali opisane kružnice. Poznavajući stranu a, može se naći pomoću Pitagorine teoreme: odavde.
Nakon što pronađemo dijagonalu, možemo izračunati polumjer: .
A onda ćemo sve zamijeniti u osnovnu formulu za površinu kruga opisanog oko kvadrata: