Принципи будови конденсованих систем. Класифікація конденсованих середовищ за типами зв'язків

Фізика конденсованих середовищ

Фізика конденсованого стану- велика гілка фізики, що вивчає поведінку складних систем (тобто систем з великою кількістю ступенів свободи) з сильним зв'язком. Принципова особливість еволюції таких систем у тому, що її (еволюцію всієї системи) вдається «розділити» на еволюцію окремих частинок. «Розбиратися» доводиться з усією системою загалом. Як наслідок, часто замість руху окремих частинок доводиться розглядати колективні коливання. При квантовому описі ці колективні ступені свободи стають квазічастинками.

Фізика конденсованих середовищ - найбагатша область фізики як з погляду математичних моделей, так і з точки зору додатків до реальності. Конденсовані середовища з найрізноманітнішими властивостями зустрічаються всюди: звичайні рідини, кристали та аморфні тіла, матеріали зі складною внутрішньою структурою (до яких належать і м'які конденсовані середовища), квантові рідини (електронна рідина в металах, нейтронна - в нейтринних зірках, надплинні середовища, атомні ядра), спінові ланцюжки, магнітні моменти, складні мережі і т. д. Часто їх властивості бувають настільки складними і багатогранними, що доводиться попередньо розглядати їх спрощені математичні моделі. В результаті пошук і дослідження математичних моделей конденсованих середовищ, що точно вирішуються, став одним з найбільш активних напрямів у фізиці конденсованих середовищ.

Основні галузі дослідження:

• м'яка конденсована речовина
• сильно корельовані системи
  • спінові ланцюжки
  • високотемпературна надпровідність
• фізика невпорядкованих систем

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Фізика конденсованих середовищ" в інших словниках:

Фізика конденсованого стану велика гілка фізики, що вивчає поведінку складних систем (тобто систем з великою кількістю ступенів свободи) із сильним зв'язком. Принципова особливість еволюції таких систем полягає в тому, що її ... Вікіпедія

Приклади різноманітних фізичних явищ Фізика (від ін. грец. φύσις … Вікіпедія

Наука, що вивчає найпростіші і водночас найбільш загальні закономірності явищ природи, св ва і будову матерії та її рухи. Поняття Ф. та її закони лежать в основі всього природознавства. Ф. відноситься до точних наук і вивчає кількостей. Фізична енциклопедія

- (Греч. ta physika від physis природа), наука про природу, що вивчає найпростіші і водночас найбільш загальні властивості матеріального світу. По об'єктах, що вивчаються, фізика підрозділяється на фізику елементарних частинок, атомних ядер, атомів, молекул, ... Великий Енциклопедичний словник

I. Предмет і структура фізики Ф. - наука, що вивчає найпростіші і водночас найбільш загальні закономірності явищ природи, властивості та будову матерії та закони її руху. Тому поняття Ф. і все закони лежать в основі всього ... Велика Радянська Енциклопедія

І; ж. [від грец. physis природа] 1. Наука, що вивчає загальні закономірності явищ природи, властивості та будову матерії та закони її руху. Теоретична ф. // Навчальний предмет, що викладає цю науку. Вчитель фізики. 2. Чого. Будова, загальні. Енциклопедичний словник

Фізика- (Гр. Природа) наука про природу, що вивчає найпростіші і водночас найбільш загальні властивості матеріального світу. По об'єктах, що вивчаються, підрозділяється на фізику: елементарних частинок, атомних ядер, атомів, молекул, твердого тіла, плазми і т.д. До… … Концепція сучасного природознавства. Словник основних термінів

- (грец. ta physika, від physis природа), наука про природу, вивчає найпростіші разом із тим наиб. загальні характеристики матеріального світу. По об'єктах, що вивчаються, підрозділяється на Ф. елементарних частинок, атомних ядер, атомів, молекул, тв. тіла, плазми та … Природознавство. Енциклопедичний словник

Статистична фізика … Вікіпедія

Колайдер Теватрон і кільця Головного інжектора Квантова фізика розділ теоретичної фізики, в якому вивчаються квантово-механічні та квантово-польові системи та закони їх руху. Основні закони ... Вікіпедія

Книги

• Загальна фізика конденсованого стану, Мейліхов Євген Залманович. Навчальний посібник є частиною курсу загальної фізики для її спеціальної області (фізики конденсованого стану). Керівництво передбачає знання в межах програм з фізики та математики.
• Фізика твердого тіла для інженерів Навчальний посібник, Гуртов В., Осауленко Р.. Навчальний посібник є систематизованим і доступним викладом курсу фізики твердого тіла, що містить основні елементи фізики конденсованого стану та її застосування для…

Фізика конденсованого середовища- широка область фізики, що вивчає поведінку складних систем (тобто систем з великою кількістю ступенів свободи) із сильним зв'язком між складовими частинками. Принципова особливість еволюції таких систем у тому, що її (еволюцію всієї системи) вдається розділити на еволюцію окремих частинок. Тому доводиться аналізувати поведінку всієї системи загалом. Як наслідок, часто замість руху окремих частинок розглядаються розглядати колективні коливання. При квантовому описі ці колективні ступені свободи стають квазічастинками.

Фізика конденсованого середовища - одна з найбагатших областей сучасної фізики як з точки зору математичних моделей, так і з точки зору застосування в прикладних областях. Конденсовані середовища з найрізноманітнішими властивостями зустрічаються всюди: звичайні рідини, кристали і аморфні тіла, матеріали зі складною внутрішньою структурою (до яких належать і м'які конденсовані середовища), квантові рідини (електронна рідина в металах, нейтронна - в нейтронних зірках, надтекучі середовища, атомні ядра), спінові ланцюжки, магнітні моменти, складні мережі тощо. Часто властивості бувають настільки складні та багатогранні, що доводиться попередньо розглядати спрощені математичні моделі. У результаті пошук і дослідження точно розв'язуваних математичних моделей конденсованих середовищ став одним із найактивніших напрямків у фізиці конденсованих середовищ.

Основні галузі досліджень:

Література

ТИПИ ЗВ'ЯЗКІВ У КРИСТАЛАХ

Існування стабільних зв'язків між атомами в твердому тілі передбачає, що повна енергія кристала менша за повну енергію відповідної кількості вільних атомів (віддалених один від одного на великі відстані). Різниця цих двох енергій називається енергією хімічного зв'язкучи просто енергією зв'язку.

Сили, які пов'язують між собою атоми, за своєю природою майже повністю електричні, роль магнітних взаємодій незначна (еВ/атом), а гравітаційних – майже нульова. Навіть для найважчих атомів вона становитиме еВ/атом.

Однак необхідно відзначити, що облік тільки електростатичної взаємодії не дозволяє пояснити стійкість кристала. Справді, за теоремою Ірншоу, стійка статична конфігурація електричних зарядів неможлива. Тому необхідно враховувати й сили, що мають квантово-механічну природу.

Класифікація конденсованих середовищ за типами зв'язків

З агрегатних станів речовини два – тверде та рідке – називаються конденсованими.

Усі види зв'язку між атомами обумовлені тяжінням чи відштовхуванням електричних зарядів. Тип і сила зв'язку визначаються електронною будовою атомів, що взаємодіють. Незалежно від природи сил, що виникають при зближенні атомів, їх характер залишається однаковим: на великих відстанях переважають сили тяжіння, на малих – сили відштовхування. На певній (рівноважній) відстані результуюча сила перетворюється на нуль, а енергія взаємодії досягає мінімального значення (рис.2.1).

Твердим тілом називають агрегатний стан речовини, що характеризується стабільністю форми та коливальним характером теплового руху атомів.. Отже, останні мають кінетичну енергію.

Завдання про взаємодію, навіть найпростіших атомів, дуже складне, тому що доводиться розглядати поведінку багатьох частинок - ядер і електронів. Необхідно враховувати хвильові властивості мікрочастинок, насамперед електронів, і вирішувати наближеними методами відповідне рівняння Шредінгера.

Межатомна зв'язок супроводжується істотною перебудовою валентних електронів атомів, і характер перебудови визначається природою самих атомів та станом електронів, що беруть участь у освіті хімічного зв'язку. Основний внесок у енергію утворення твердого тіла з атомів вносять валентні електрони, внесок електронів внутрішніх оболонок є незначним.

Внаслідок взаємодії валентних електронів утворюються загальні електронні пари. Ковалентназв'язок виникає тоді, коли електронна пара не повністю зміщена до одного з атомів, а локалізована на загальній для обох електронів орбіті.

Коли пара електронів практично повністю зміщена до одного з атомів, маємо приклад іонноїзв'язку. Тобто іонний зв'язок можна розглядати як крайній випадок ковалентного зв'язку. У цьому випадку енергію взаємодії в кристалах з таким зв'язком можна обчислювати на основі кулонівської взаємодії позитивних та негативних іонів, які утворилися в кристалі внаслідок перерозподілу електронів між атомами.

Металевий зв'язоктакож можна розглядати як крайній випадок ковалентного зв'язку, коли валентні електрони стають колективізованими, тобто одночасно належать багатьом атомам .

В атомах із заповненими валентними оболонками розподіл електричного заряду сферичний, тому вони не мають постійного електричного моменту. Але за рахунок руху електронів атом може перетворитися на миттєвий електричний диполь, що призводить до виникнення так званих ван-дер-ваальсових сил. Наприклад, в атомі водню середній електричний момент дорівнює нулю, тоді як миттєвий момент може досягати 25 D (дебай). При зближенні атомів виникає взаємодія миттєвих атомних диполів.

Головними характеристиками хімічного зв'язку є енергія, довжина, полярність, кратність, спрямованість, насиченість. Для іонного зв'язку необхідно враховувати ефективний заряд іонів.

За характером сил зв'язку тверді тіла можна розділити такі класи: атомні, іонні, металеві, молекулярні кристали і кристали з водневим зв'язком.

Атомні кристали

Атомні(за типом полярності – гомеополярні) кристали утворюються за рахунок ковалентного зв'язку. Вона зумовлена ​​електростатичною та обмінною взаємодією. Розуміння природи ковалентного зв'язку можна досягти лише з допомогою квантово-механических уявлень, які враховують хвильові властивості електрона. При ковалентному зв'язку сусідні атоми утворюють загальні електронні оболонки обмінюючись електронами. Як випливає із квантово-механічних розрахунків, при утворенні загальних електронних оболонок потенційна енергія системи зменшується за рахунок так званих обмінних ефектів. Зменшення енергії еквівалентне виникненню сил тяжіння.

Механізм виникнення обмінної взаємодії розглянемо з прикладу утворення молекули водню, у якій два електрони рухаються у полі двох ядер (рис. 2.2).

Потенційна енергія взаємодії між двома атомами складається з двох частин: енергії взаємодії ядер і енергії електронів, яка залежить від відстані між двома ядрами R:

. (2.1)

Для знаходження власних функцій та власних значень енергії такої системи необхідно вирішити стаціонарне рівняння Шредінгера:

. (2.2)

Гамільтоніан молекули водню можна надати наступним чином:

де відповідає руху першого електрона (1) навколо ядра ( а)

, (2.4)

відповідає руху другого електрона (2) навколо ядра ( b)

, (2.5)

а представляє енергію електростатичної взаємодії електронів з «чужими» ядрами та між собою

. (2.6)

Точне рішення рівняння Шредінгера з гамільтоніаном (2.3) провести неможливо. Скористаємося методом збурень. Спочатку розглянемо великі відстані. Нехай перший електрон знаходиться біля ядра, а другий – біля ядра. Тоді завбільшки в (2.3) можна знехтувати і ми отримаємо рівняння

Як початкове наближення для хвильової функції використовуємо хвильові функції невзаємодіючих атомів водню:

де і перебувають з вирішення рівнянь

, (2.9)

. (2.10)

Відповідне рішенню (2.8) значення енергії буде .

Якби було виродження, то рішення (2.8) і було б нульовим наближенням. Насправді, у цьому випадку ми маємо так зване обмінне виродження. Очевидно, що крім рішення (2.8) можливе і таке рішення, коли в першому атомі а) знаходиться другий електрон (2), а в другому атомі ( b) - Перший електрон (1). Гамільтоніан матиме такий самий вигляд, як і (2.3), тільки електрони поміняються місцями (1«2). Рішення матиме вигляд

Таким чином, для великих рівнянь (2.2) має два рішення (2.8) та (2.11), які належать енергії. При врахуванні взаємодії між атомами нульове наближення буде лінійною комбінацією і :

де - коефіцієнти, які потрібно визначити, а - малий добавок до нульового наближення.

Енергію представимо у вигляді

, (2.13)

де - Добавок, який визначає зміну енергії електронів при зближенні атомів.

Підставляючи (2.12) і (2.13) (2.2) і нехтуючи малими величинами , , , отримаємо

Скористаємося (2.3) та останнім виразом, але з урахуванням перестановки електронів. Тоді (2.14) набуває вигляду

(2.15)

Підставимо в (2.15) і з (2.8) і (2.11) і знехтуємо малими доданками . Отримаємо

(2.16)

Це неоднорідне рівняння визначення поправок до хвильової функції і до свого значення енергії .

Неоднорідне рівняння має рішення у тому випадку, коли його права частина ортогональна до вирішення однорідного рівняння (таке рівняння виникає, якщо права частина (2.16) дорівнює нулю). Тобто має виконуватися умова

де , .

Аналогічним шляхом отримаємо і друге рівняння (ортогональність до розв'язання)

Введемо наступні скорочені позначення

Функції і не ортогональні між собою, тому введемо ще наступний інтеграл

. (2.21)

За допомогою цих позначень рівняння (2.17) та (2.18) запишуться наступним чином

З цих рівнянь спочатку отримаємо рівняння для:

Воно має два корені

, (2.25)

. (2.26)

Підставляючи ці значення (2.22), знайдемо для

(2.27)

і для

. (2.28)

Отже, рішення запишуться у такому вигляді:

(2.29)

(антисиметричне рішення) та

(2.30)

(Симетричне рішення).

Розглянемо фізичний зміст інтегралів та . Скориставшись (2.19), (2.6) та (2.11), отримаємо

. (2.31)

Скористаємося умовами нормування і , позначимо середню щільність електронного заряду, що створюється електроном (1) в атомі ( а), через , електроном (2) в атомі ( b) через . У цьому випадку отримаємо для:

Перший інтеграл є середньою потенційною енергією електрона (2) атома ( b) у полі ядра ( а), другий інтеграл – та сама величина для електрона (1) атома ( а) у полі ядра ( b) і третій інтеграл – середня потенційна енергія електронів, що у різних атомах. Таким чином, є середня енергія електростатичної взаємодії атомів крім енергії взаємодії ядер, яка обчислюється окремо (2.1).

Інтеграл (2.20) називають обмінним інтегралом. Позначивши обмінну щільність

(2.33)

запишемо у вигляді

Останній доданок представляє обмінну енергію, якої немає жодних аналогів у класичній механіці. Вона обумовлена ​​тим, що кожен з електронів може бути частково біля атома ( a), частково – близько ( b).

Перші два доданки у правій частині (2.34) представляють поправки до обмінної енергії через не ортогональність хвильових функцій, власне,

При хвильові функції та через експоненційне зменшення зі зростанням відстані від ядер ( a) та ( b) слабо перекриваються, отже, . Коли ж ядра ( a) та ( b) збігаються. Тоді і є хвильовими функціями одного і того ж атома водню. З огляду на нормування і при дорівнює 1. Отже,

. (2.36)

Інтеграл також змінюється у межах.

Скориставшись (2.1), (2.12) (2.29) та (2.30) та виконавши деякі перетворення, отримаємо

, (2.37)

. (2.38)

Члени представляють середню кулонівську енергію двох атомів водню, що знаходяться на відстані один від одного – обмінна енергія. Останній член включає поправки на неортогональність хвильових функцій, які були використані як нульове наближення.

За допомогою формул (2.32) і (2.34) може бути обчислена і кулонівська, і обмінна енергія, якщо використовувати і хвильову функцію нормального стану водню:

, (2.39)

де – відстань електрона від ядра, – радіус першої борівської орбіти.

Інтеграли і містять хвильові функції, які належать до різних атомів і кожна з цих функцій зменшується експоненційно з відстанню. Тому обидва інтеграли і від нуля лише оскільки хвильові функції, отже, і електронні оболонки атомів перекриваються. В результаті обидва інтеграли зменшуються при збільшенні відстані між атомами, як . На рис.2.3 наведено взаємну енергію атомів і як функція відстані між ними. Розмір прийнято при відліку енергії за 0.

Як видно з малюнку, для антисиметричного стану енергія відповідає взаємному відштовхуванню двох атомів водню, тому молекула утворитися неспроможна. Навпаки, для симетричного стану енергія має мінімум, у разі атоми водню перебувають у відстані і утворюють молекулу. Хвильова функція залежить лише від координат. Повна хвильова функція повинна залежати ще від спинів електронів і . Оскільки взаємодією спинів з орбітальним рухом та взаємодією спинів між собою ми знехтували, то повна хвильова функція має бути добутком координатної функції та спинової . Електрони підпорядковуються принципу Паулі, тому хвильова функція має бути асиметричною щодо перестановки електронів. Ми маємо координатну функцію або симетричну, або антисиметричну.

Повна хвильова функція буде антисиметричною при симетричній координатній та антисиметричній спиновій, а також при антисиметричній координатній та симетричній спиновій.

Отже, два атоми водню, які мають електрони із протилежними спинами (синглетний стан), притягуються один до одного. Атоми водню, які мають електрони із паралельними спинами (триплетний стан), відштовхуються.

Якщо атом речовини має кілька неспарених електронів, може виникнути відповідне число обмінних зв'язків. Наприклад, у кристалах з ґратами алмазу (рис.1.9, а) кожен атом пов'язаний із чотирма найближчими сусідами.

Ковалентний зв'язок утворюється при перекриванні електронних оболонок, отже, він спостерігається за малих відстаней між атомами. Причому щільність «електронної хмари» збільшується за напрямами, які з'єднують атоми, тобто електрони як би втягнуті у простір між ядрами та своїм полем забезпечують їхнє тяжіння. Звідси випливає спрямованість і насичуваність ковалентних зв'язків: вони діють лише за певними напрямами та між певним числом сусідів.

Ковалентний зв'язок переважає в атомних кристалах і по порядку величини наближається до іонного зв'язку. Такі кристали мають низьку стисливість та високу твердість. В електричному відношенні є діелектриками або напівпровідниками.

До речовин із ковалентними зв'язками належить:

- Більшість органічних сполук;

– галогени у твердому та рідкому стані;

- Водень, азот, кисень (зв'язки в молекулі);

– елементи VI групи, V та IV групи (кристали алмазу, кремнію, германію, );

– хімічні сполуки, що підкоряються правилу ( ), якщо елементи, що входять до їх складу, не знаходяться в різних кінцях ряду періодичної системи (наприклад, ).

Тверді тіла з ковалентними зв'язками можуть кристалізуватись у кількох структурних модифікаціях. Це властивість, зване поліморфізм, розглядалося в гл.1.

Іонні кристали

Такі речовини утворюються за допомогою хімічного зв'язку, в основі якого лежить електростатична взаємодія між іонами. Іонний зв'язок (за типом полярності – гетерополярна) в основному обмежується бінарними системами типу NaCl(Рис.1.10, а), тобто встановлюється між атомами елементів, які мають найбільшу спорідненість до електрона, з одного боку, і атомами елементів, які мають найменший потенціал іонізації, з іншого. При утворенні іонного кристала найближчими сусідами даного іона є іони протилежного знака. При найбільш сприятливому співвідношенні розмірів позитивних та негативних іонів вони стосуються один одного, і досягається гранично висока щільність упаковки. Невелика зміна міжіонної відстані у бік зменшення від рівноважного викликає виникнення сил відштовхування електронних оболонок.

Ступінь іонізації атомів, які утворюють іонний кристал, часто такий, що електронні оболонки іонів відповідають електронним оболонкам, характерним для атомів інертних газів. Грубу оцінку енергії зв'язку можна зробити, припускаючи, що основна її частина зумовлена ​​кулонівською (тобто електростатичною) взаємодією. Наприклад, у кристалі NaClвідстань між найближчими позитивними та негативними іонами становить приблизно 0,28 нм, що дає величину потенційної енергії, пов'язаної із взаємним тяжінням пари іонів, близько 5,1 еВ. Експериментально певне значення енергії для NaClстановить 7,9 еВ одну молекулу. Таким чином, обидві величини одного порядку і це дозволяє використовувати такий підхід для більш точних розрахунків.

Іонні зв'язки є неспрямованими та ненасиченими. Останнє дається взнаки в тому, що кожен іон прагне наблизити до себе найбільшу кількість іонів протилежного знака, тобто утворити структуру з високим координаційним числом. Іонний зв'язок поширений серед неорганічних сполук: метали з галоїдами, сульфіди, оксиди металів та ін. Енергія зв'язку в таких кристалах становить кілька електрон-вольт на атом, тому такі кристали мають більшу міцність та високі температури плавлення.

Обчислимо енергію іонного зв'язку. Для цього нагадаємо складові потенційної енергії іонного кристала:

кулонівське тяжіння іонів різного знака;

кулонівське відштовхування іонів одного знака;

квантово-механічна взаємодія при перекриванні електронних оболонок;

ван-дер-ваальсівське тяжіння між іонами.

Основний внесок в енергію зв'язку іонних кристалів робить електростатична енергія тяжіння і відштовхування, роль останніх двох вкладів незначна. Отже, якщо позначити енергію взаємодії між іонами iі jчерез , то повна енергія іона з урахуванням усіх його взаємодій становитиме

. (2.40)

Надамо у вигляді суми потенціалів відштовхування та тяжіння:

, (2.41)

де знак "плюс" береться у разі однакових, а "мінус" - у разі різноїменних зарядів. Повна енергія решітки іонного кристала, що складається з Nмолекул (2 Nіонів), становитиме

. (2.42)

При розрахунку повної енергії кожну пару іонів, що взаємодіє, слід враховувати лише один раз. Для зручності введемо наступний параметр , де - Відстань між двома сусідніми (різноіменними) іонами в кристалі. Таким чином

, (2.43)

де постійна Маделунга αта постійна Dвизначаються так:

, (2.44)

. (2.45)

Суми (2.44) та (2.45) повинні враховувати внесок усіх ґрат. Знак "плюс" відповідає тяжінню різноіменних іонів, знак "мінус" - відштовхуванню однойменних іонів.

Постійну визначимо в такий спосіб. У рівноважному стані повна енергія мінімальна. Отже, , і тому маємо

, (2.46)

де – рівноважна відстань між сусідніми іонами.

З (2.46) отримаємо

, (2.47)

і вираз для повної енергії кристала в рівноважному стані набуває вигляду

. (2.48)

Величина представляє так звану енергію Маделунгу. Оскільки показник то повну енергію можна практично повністю ототожнювати з кулонівською енергією. Мінімальна величина показує, що сили відштовхування є короткодіючими і різко змінюються з відстанню.

Як приклад розрахуємо постійну Маделунга для одномірного кристала – нескінченного ланцюжка іонів протилежного знака, що чергуються (рис.2.4).

Вибравши будь-який іон, наприклад, знака «–» за початковий, матимемо два іони знака «+» на відстані r 0 від нього, два іони знака «–» на відстані 2 r 0 і таке інше.

Отже, маємо

,

.

Скориставшись розкладанням у ряд
, отримаємо у разі одновимірного кристала постійну Маделунга

. (2.49)

Таким чином, вираз для енергії, що припадає на одну молекулу, набуває наступного вигляду

. (2.50)

У разі тривимірного кристала ряд сходиться умовно, тобто результат залежить від способу підсумовування. Можна покращити збіжність ряду, якщо виділити в решітці групи іонів таким чином, щоб група була електрично нейтральною, причому при необхідності ділити іон між різними групами і вводити дробові заряди (метод Ев'єна ( Evjen H.M.,1932)).

Розглянемо заряди на гранях кубічних ґрат кристала (рис.2.5) наступним чином: заряди на гранях належать двом сусіднім осередкам (у кожному осередку заряд становить 1/2), заряди на ребрах належать чотирьом осередкам (по 1/4 у кожному осередку), заряди у вершинах належать восьми осередкам (по 1/8 у кожному осередку). Вклад у α т першого куба можна записати у вигляді суми:

Якщо взяти наступний за величиною куб, який включає розглянутий нами, то отримаємо що добре збігається з точним значенням для решітки типу . Для структури типу отримано , Для структури типу - .

Зробимо оцінку енергії зв'язку для кристалу , допускаючи, що параметр решітки та модуль пружності Увідомі. Модуль пружності можна визначити так:

, (2.51)

де - Об'єм кристала. Об'ємний модуль пружності Ує мірою стиску при всебічному стисканні. Для гранецентрованої кубічної (ГЦК) структури типу обсяг, який займають молекули, дорівнює

. (2.52)

Тоді можна записати

З (2.53) легко отримати другу похідну

. (2.54)

У стані рівноваги перша похідна перетворюється на нуль, отже, з (2.52–2.54) визначимо

. (2.55)

Скористаємося (2.43) та отримаємо

. (2.56)

З (2.47), (2.56) та (2.55) знайдемо об'ємний модуль пружності У:

. (2.57)

Вираз (2.57) дозволяє обчислити показник ступеня потенціалі відштовхування, користуючись експериментальними значеннями і . Для кристалу
, , . Тоді з (2.57) маємо

. (2.58)

Зауважимо, що для більшості іонних кристалів показник ступеня nу потенціалі сил відштовхування змінюється не більше 6–10.

Отже, велика величина ступеня зумовлює короткодіючий характер сил відштовхування. Скориставшись (2.48), обчислимо енергію зв'язку (енергія однією молекулу)

еВ/молекула. (2.59)

Це добре збігається з експериментальним значенням -7,948 еВ/молекула. Слід пам'ятати, що у розрахунках ми враховували лише кулонівські сили.

Кристали з ковалентними та іонними типами зв'язку можна розглядати як граничні випадки; між ними розташовується ряд кристалів, які мають проміжні типи зв'язку. Такий частково іонний () та частково ковалентний () зв'язок можна описати за допомогою хвильової функції

, (2.60)

у цьому випадку ступінь іонності можна визначити так:

. (2.61)

У табл.2.1 наведено деякі приклади кристалів бінарних сполук.

Таблиця 2.1. Ступінь іонності у кристалах

Металеві кристали

Метали характеризуються високою електропровідністю, що обумовлюється колективізацією валентних електронів. З погляду електронної теорії метал складається з позитивних іонів, занурених у середовище, утворене колективізованими електронами. Останні можуть вільно переміщатися обсягом кристала, оскільки вони пов'язані з певними атомами. Причому кінетична енергія колективізованих електронів зменшується порівняно з кінетичною енергією валентних електронів у вільному атомі.

Зв'язок у металевих кристалах виникає внаслідок взаємодії позитивних іонів з колективізованими електронами. Вільні електрони, що знаходяться між іонами, ніби стягують їх, врівноважуючи сили відштовхування між іонами одного знака. Зі зменшенням відстані між іонами зростає щільність електронного газу, а отже, збільшуються сили тяжіння. Однак при цьому починають зростати й сили відштовхування. При досягненні деякої відстані між іонами сили врівноважуються, і грати стають стійкими.

Таким чином, енергію металевого кристала можна представити у вигляді наступних доданків:

– електростатична енергія вільних електронів у полі позитивних іонів (решітки кристала);

- Кінетична енергія електронів;

- Взаємна електростатична потенційна енергія позитивних іонів;

- Взаємна електростатична потенційна енергія електронів.

Можна показати, що істотні лише перші два доданки. Як приклад розглянемо металевий натрій, який має ОЦК ґрати. Виділимо в решітці об'єм, що припадає на один атом, провівши для цього площини, перпендикулярні лініям, що з'єднують даний атом із сусідами, і розділяють розділені навпіл. Отримаємо так звану комірку Вигнера-Зейтца, яка для цієї решітки має форму кубооктаедра (див. гл.1).

Хоча електрони переміщаються по всьому кристалу, біля кожного атома, тобто в осередку Вігнер-Зейтца, електронна щільність у середньому постійна. Це означає, що й у металі припадає один електрон на атом, то середньому поблизу кожного атома перебуває один електрон. Кубооктаедри виявляються електрично нейтральними та електростатично взаємодіють між собою слабо. Основна частина взаємодії зосереджена всередині кубоектадрів, тобто відповідає енергії вільних електронів у полі позитивних іонів.

Імовірність знаходження електрона на відстані між і від даного іона визначається наступним виразом

,

де - Щільність ймовірності (квадрат модуля радіальної частини хвильової функції). Тоді енергія електрона у полі даного іона дорівнює

,

тобто величині , усередненої за всіма можливими положеннями електрона. Оскільки область інтегрування дорівнює всьому обсягу металу, результат інтегрування визначить енергію всіх вільних електронів у полі даного іона, якщо представляє середню щільність заряду у ґратах.

З вище сказаного випливає, що доданок енергії, що відповідає взаємній потенційній енергії електронів та іонів, матиме вигляд

, (2.62)

де - обсяг металу, а- Деяка постійна ( а<0).

Визначимо кінетичну енергію електронів. Розгляд цього питання буде проведено в гл.4, а зараз скористаємося отриманими результатами. Середня кінетична енергія електронів визначається через енергію Фермі та становить

,

де ; - Концентрація електронів. Остання визначається кількістю атомів та обсягом металу. Остаточно енергія може бути представлена ​​у вигляді

. (2.63)

Повна енергія металевого кристала, згідно з попереднім, визначається двома доданками

Якщо побудувати залежність як функцію відстані між атомами, тобто величини пропорційної, вийде крива з мінімумом у точці (Рис.2.6). Значення цього мінімуму визначає енергію зв'язку, а друга похідна у цій точці – модуль стисливості. Роль сил відштовхування у разі металевих кристалів грає кінетична енергія електронів, що збільшується при зменшенні міжатомних відстаней.

Розрахунок енергії зв'язку (теплоти випаровування) металевого натрію за наведеною вище схемою дає величину близько 1 ев/атом, що добре збігається з експериментальними даними - 1,13 ев/атом.

В силу того, що чисто металевий зв'язок неспрямований, метали кристалізуються відносно щільно упаковані структури з великими координаційними числами: гранецентровану кубічну (ГЦК), гексагональну щільно упаковану (ГПУ), об'ємно-центровану кубічну. Для ГЦК та ГПУ кристалів щільність упаковки та координаційне число однакові: 0,74 та 12 відповідно. Отже, близькість параметрів свідчить про близькість значень енергії зв'язку таких кристалах. Справді, ряд металів може за відносно слабкого зовнішнього впливу змінювати структуру з ГЦК на ГПУ і навпаки.

У деяких металах діють як металеві зв'язку, зумовлені колективізованими електронами, а й ковалентні зв'язку, котрим характерна локалізація атомних орбіталей у просторі. У кристалах перехідних металів переважає ковалентний зв'язок, виникнення якого пов'язане з наявністю незабудованих внутрішніх оболонок, а металевий зв'язок має підлегле значення. Тому енергія зв'язку в таких кристалах значно більша порівняно зі лужними металами. Наприклад, у нікелю вона вчетверо вища, ніж у натрію.

Такі метали можуть мати і більш симетричні решітки, ніж у лужних і благородних металів.

Слід зазначити, що багато речовин, які за нормальних умов є діелектриками або напівпровідниками, при збільшенні тиску зазнають фазових переходів і набувають металевих властивостей. Вимушене зближення атомів посилює перекриття електронних оболонок, що сприяє усуспільненню електронів. Наприклад, напівпровідник стає металом при тиску ~4 ГПа, - при 16 ГПа, - При 2 гПа. Є гіпотези, що при тиску ~2000ГПа в металевому стані може перейти молекулярний водень, причому фаза може виявитися стабільною після зняття тиску і може бути надпровідною.

Молекулярні кристали

У таких кристалах діють ван-дер-ваальсові сили зв'язку, які мають електричну природу та є найбільш універсальними. Молекулярні силискладаються із взаємодії різного типу: орієнтаційного(між полярними молекулами), індукційного(при високій поляризованості молекул) і дисперсійного.

Дисперсійна взаємодія властива всім молекулам і є практично єдиною у разі неполярних молекул. Цей зв'язок вперше було пояснено на основі квантово-механічного вирішення задачі про взаємодію двох осциляторів (Ф. Лондон, 1930). Наявність в осциляторі мінімальної, відмінної від нуля енергії, яка зменшується при зближенні осциляторів, і призводить до появи дисперсійних сил взаємодії, що відносяться до короткодіючих.

Неполярна молекула завдяки руху електронів, що входять до неї, може набувати миттєвого дипольного моменту – молекула поляризується. Під дією цієї поляризації виникає момент, що індукується в сусідній молекулі, і між ними встановлюється взаємодія.

Крім дисперсійних у молекулярних кристалах можуть діяти ще два типи сил – орієнтаційні у разі полярних молекул та індукційні за наявності молекул із високою здатністю поляризуватися. Зазвичай у кристалах спостерігаються всі три типи взаємодії, хоча внесок кожного може бути різним. Енергія зв'язку молекулярних кристалів невелика і не перевищує 0,1 эВ/атом. Тому відповідні речовини мають низьку точку плавлення та низьку точку кипіння. Для структури кристалів таких речовин часто характерна щільна упаковка. Інертні гази, будучи перетвореними на твердий стан, утворюють кристали щільно упакованої кубічної структури.

Кожна молекула є свого роду квантовим осцилятором, тому кількісні характеристики дисперсійної взаємодії можна отримати, вирішивши квантово-механічну задачу про взаємодію двох лінійних гармонійних осциляторів з дипольними моментами і , що знаходяться на відстані. Потенційна енергія такої системи

, (2.65)

де - Коефіцієнт пружності диполя, - потенційна енергія взаємодії двох диполів.

Визначимо (у од. абсолютної системи)

. (2.66)

Розкладаючи в ряд і зберігаючи треті члени розкладання (за умови ), отримаємо

. (2.67)

Введемо нормальні координати

(2.68)

і перетворимо :

. (2.69)

Рішення стаціонарного рівняння Шредінгера для системи з двох осциляторів

(2.70)

проводиться шляхом поділу змінних. Умови розв'язності кожного рівняння визначають дискретний енергетичний спектр системи

де ; ; .

Визначимо «нульову» енергію ( ) двох взаємодіючих осциляторів, розкладаючи радикали в ряд до третіх членів:

. (2.72)

Враховуючи, що «нульова» енергія двох невзаємодіючих осциляторів , отримаємо енергію дисперсійної взаємодії

(СМР), (2.73)

(СІ). (2.74)

З останнього виразу отримуємо силу дисперсійної взаємодії

. (2.75)

Отже, існування дисперсійних сил зобов'язане наявності «нульової» енергії атомів і молекул, що зменшується при їх зближенні. Дисперсійні сили, як видно з (2.75), відносяться до короткодіючих.

Якщо молекули мають постійні дипольні моменти або за рахунок великої поляризуемості молекул у них виникають індуковані диполі, то з'являється додаткова дипольна взаємодія. Під дією електричних сил молекули прагнуть орієнтуватися одна щодо одної в такий спосіб, щоб енергія взаємодії диполів зменшилася. Цю орієнтацію порушує хаотичний тепловий рух.

При досить високих температурах, коли енергія взаємодії двох диполів , енергія орієнтаційної взаємодії дорівнює

, (2.76)

де - Дипольний момент.

При низьких температурах коли досягається повна орієнтація диполів, енергія дипольної взаємодії дорівнює

. (2.77)

У молекулах з високою поляризацією під дією електричного поля виникають індуковані дипольні моменти . Енергія взаємодії індукованих диполів не залежить від температури та становить

. (2.78)

У загальному випадку енергія взаємодії молекул може складатися з різних частин, що відповідають орієнтаційному, індукційному та дисперсійному взаємодії. Вклад кожного їх різний залежно від типу молекул (табл.2.2).

Найбільш універсальними є дисперсійні сили, які діють як між атомами із заповненими оболонками, а й між будь-якими атомами, іонами і молекулами.

Таблиця 2.2. Характеристика міжмолекулярної взаємодії (%)

За наявності сильних зв'язків дисперсійна взаємодія грає роль невеликої добавки. В інших випадках дисперсійна взаємодія становить значну частку загальної міжмолекулярної взаємодії, а в деяких випадках, наприклад, для кристалів інертних елементів є єдиним типом сил тяжіння.

Подібна інформація.

Фізика конденсованих середовищ – одна з найбагатших областей у сучасній фізиці з погляду математичних моделей та формул.

Малюнок 1. Конденсовані середовища. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Зауваження 1

Конденсовані середовища з найрізноманітнішими характеристиками зустрічаються абсолютно скрізь: кристали, звичайні рідини та аморфні тіла, матеріали з внутрішньою складною структурою (до яких можна віднести і м'які конденсовані елементи), квантові рідини, постійні спінові ланцюжки, магнітні моменти, складні простори і так далі.

Часто властивості зазначених речовин бувають настільки складні та багатогранні, що вченим доводиться на початковому етапі розглядати спрощені математичні варіанти. В результаті дослідження точно розв'язуваних рівнянь конденсованих середовищ став активним напрямом у науці.

Рух кожної елементарної частки в конденсованому середовищі перебуває у тісному взаємозв'язку з рухом сусідів; отже, формули, що описують цей процес, сильно "переплетені" між собою.

Серед класичних розділів фізики конденсованого стану можна виділити такі:

• механіка твердого тіла;
• теорію пластичності та тріщин;
• гідродинаміку;
• фізику плазми;
• електродинаміка суцільних середовищ.

Загальним відправним пунктом у перерахованих розділах вважається поняття суцільного середовища. Перехід від конкретного набору окремих частинок (іонів чи атомів) до стабільного стану полягає у комплексному усередненні властивостей концепції.

Основні галузі дослідження

Малюнок 2. Фізичні форми конденсованих середовищ. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

В основному різні фізичні форми поділяються на три категорії: газоподібні, рідкі та тверді. У цих трьох станах речовини предмет згущених досліджень визначає прогрес на кожному етапі дисципліни поряд з усіма сферами людського життя. З традиційних ідеальних металів, кераміки та композиційних елементів відбувається активна участь у всіх структурах, які передбачають випромінювання світла та електрики.

Тепло та інші характеристики фізичних тіл засновані на дослідженнях фізики конденсованих середовищ, що безпосередньо забезпечує базу для багатьох галузей високої науки та нанотехнології як такої. На сьогоднішній день реалізація принципів цього наукового спрямування знаходиться на підйомі з розробками мікроелектроніки, лазерної техніки та оптичних комунікаційних технологій.

Головні галузі фізики конденсованих середовищ:

• теорія невпорядкованих систем;
• нанотехнології;
• механіка суцільних середовищ;
• електродинаміка суцільних середовищ;
• будова твердого тіла;
• рух рідин;
• конденсована м'яка речовина;
• квантовий ефект Холла;
• надпровідність тепла.

У фізиці конденсованих середовищ усі елементи поділяються на атоми з метою детального вивчення різних структур. Ця область фізики почала набирати популярності лише в останні десятиліття. Необхідно відзначити значущість явища, що походить від вивчення кристалічної твердотільного речовини під час його трансформації в рідкий стан. У цих двох довгострокових експериментах дослідникам вдалося побудувати деяку впевненість, і поступово запровадити деякі діючі способи для сприяння подальшим науковим дослідженням.

Квантова теорія конденсованих середовищ

Квантова гіпотеза дозволила винахідникам як пояснити атомні нюанси і спектри, а й розгадати багато складні загадки у поведінці твердих фізичних тіл, передусім ідеальних кристалів. Здавалося б, що містить мільйони атомів кристал вивчати в мільйони разів важче, ніж окрему елементарну частинку. Однак завдання не таке вже й складне, якщо поглянути на неї з абсолютно іншої точки зору.

Визначення 1

Структура будь-якого кристала дуже впорядкована - це звичайні кристалічні грати.

Всередині його по кожній прямій лінії через рівні проміжки розташовані ті самі атоми (або молекули та іони). Кристал оснащений унікальною властивістю періодичності за будь-яким напрямом, що розглядається.

Тому при дослідженні кристалів саме впорядкованість допомагає насамперед, а чи не властивості окремих елементів. Як і гіпотезі молекулярних спектрів, тут використовують методи теоретичних груп та його загальних уявлень. Якщо молекулу в кристалі зрушити, миттєво виникне сила, яка у результаті відштовхне його від сусідніх частинок і поверне у вихідне становище.

Завдяки цьому кристал за будь-яких умов стійкий: його іони та атоми можуть відчувати лише незначні коливання щодо положення стабільності та рівноваги. Інша справа – електрони самих атомів. Певна частина з них, розташована на нижчих енергетичних щаблях, залишається завжди у своєму атомі. Але елементи з верхніх рівнів вільно рухаються від одного атома до іншого, належать при цьому всьому кристалу.

Примітка 2

Рух таких електронів характеризується не стільки особливостями окремих частинок, скільки характеристиками кристалічної решітки.

Отже, кристал можна як сукупність двох фізичних підсистем. Перша з них - сама кристалічна решітка у вигляді періодичної структури з молекул, позбавлених валентних елементів, а тому в будь-якому положенні позитивно заряджена. Друга - спільність електронів в електричному періодичному полі позитивно заряджених ґрат.

Будь-який зовнішній вплив на кристал (електричний, механічний, магнітний, тепловий) призводить до того, що в одній з концепцій хаотично поширюються хвилі - як від кинутого каменю у воду. Властивість періодичності позбавляє дослідників необхідності досліджувати в кристалі подібні коливання окремих іонів. Достатньо вивчати хвилю в цілому: згідно з квантовою гіпотезою, будь-якому такому процесу відповідає частка - хвильовий квант; теоретично фізичного тіла вона зветься квазичастицею. Існує багато видів квазічастинок. Один з найпоширеніших - кванти або фотони пружних коливань кристалічних ґрат, які несуть відповідальність за поширення тепла та звуку в кристалі.

Примітка 3

Таким чином, можна констатувати, що квантова теорія – це унікальний науковий інструмент, що дозволяє швидко проводити кількісне та якісне дослідження фізичної речовини на будь-якому рівні – від атомів до суцільних середовищ.

Перспективи розвитку фізики конденсованих середовищ

Фізика конденсованих середовищ зараз перебуває у найяскравішому періоді свого розквіту. І, оскільки фундаментальні дослідження у зазначеній галузі науки та практичного використання технології найчастіше тісно взаємопов'язані між собою, результати експериментів є серією нових універсальних технологій, матеріалів та пристроїв, що у сучасному світі високих технологій відіграє незамінну ключову роль.

В останні роки досліди у сфері фізики конденсованих середовищ, способи та технології вивчення дедалі більше проникають у сусідні дисципліни, пов'язані з розвитком хімічних, біофізичних та геофізичних наук.

На сьогоднішній день фізика конденсованих тіл активно розвивається та впроваджується у всі галузі людського життя. Однак, оскільки цей напрямок є джерелом квантової теорії та рухів кристалічних твердих тіл, то сьогодні, як і раніше, є основним об'єктом дослідження структур суцільних просторів. Зрештою, вчені стикаються з тією ж природою, в якій багато законів і явищ універсальні. Саме через поглиблене вивчення можна зрозуміти й усвідомити такі закономірності.