Якщо кожному натуральному числу n поставити у відповідність дійсне число a n , то кажуть, що поставлено числову послідовність :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Отже, числова послідовність- Функція натурального аргументу.

Число a 1 називають першим членом послідовності , число a 2 — другим членом послідовності , число a 3 — третім і так далі. Число a n називають n-м членомпослідовності , а натуральне число n — його номером .

Із двох сусідніх членів a n і a n +1 послідовності член a n +1 називають наступним (по відношенню до a n ), а a n — попереднім (по відношенню до a n +1 ).

Щоб встановити послідовність, потрібно вказати спосіб, що дозволяє знайти член послідовності з будь-яким номером.

Часто послідовність задають за допомогою формули n-го члена тобто формули, яка дозволяє визначити член послідовності за його номером.

Наприклад,

послідовність позитивних непарних чисел можна задати формулою

a n= 2n - 1,

а послідовність чергуються 1 і -1 формулою

b n = (-1)n +1 . ◄

Послідовність можна визначити рекурентною формулою, тобто формулою, яка виражає будь-який член послідовності, починаючи з деякого через попередні (один або кілька) члени.

Наприклад,

якщо a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Якщо а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то перші сім членів числової послідовності встановлюємо так:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Послідовності можуть бути кінцевими і нескінченними .

Послідовність називається кінцевою якщо вона має кінцеве число членів. Послідовність називається нескінченною якщо вона має нескінченно багато членів.

Наприклад,

послідовність двозначних натуральних чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

кінцева.

Послідовність простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

нескінченна. ◄

Послідовність називають зростаючою якщо кожен її член, починаючи з другого, більше ніж попередній.

Послідовність називають спадаючою якщо кожен її член, починаючи з другого, менше ніж попередній.

Наприклад,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - Зростаюча послідовність;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - спадна послідовність. ◄

Послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають, називається монотонною послідовністю .

Монотонними послідовностями, зокрема, є зростаючі послідовності та спадні послідовності.

Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається те саме число.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

є арифметичною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:

a n +1 = a n + d,

де d - Деяке число.

Таким чином, різниця між наступним та попереднім членами даної арифметичної прогресіїзавжди постійна:

а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Число d називають різницею арифметичної прогресії.

Щоб задати арифметичну прогресію, достатньо вказати її перший член та різницю.

Наприклад,

якщо a 1 = 3, d = 4 , то перші п'ять членів послідовності знаходимо так:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметичної прогресії з першим членом a 1 і різницею d її n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Наприклад,

знайдемо тридцятий член арифметичної прогресії

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

то, очевидно,

кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.

числа a, b і c є послідовними членами деякої арифметичної прогресії тоді і лише тоді, коли одне з них дорівнює середньому арифметичному двох інших.

Наприклад,

a n = 2n- 7 є арифметичною прогресією.

Скористаємося наведеним вище твердженням. Маємо:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Отже,

◄

Відмітимо, що n -й член арифметичної прогресії можна знайти не тільки через a 1 , але й будь-який попередній a k

a n = a k + (n- k)d.

Наприклад,

для a 5 можна записати

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

то, очевидно,

будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого дорівнює напівсумі рівновіддалених від нього членів цієї арифметичної прогресії.

Крім того, для будь-якої арифметичної прогресії справедлива рівність:

a m + a n = a k + a l,

m+n=k+l.

Наприклад,

в арифметичній прогресії

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 · 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, так як

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

перших n членів арифметичної прогресії дорівнює добутку напівсуми крайніх доданків на кількість доданків:

Звідси, зокрема, випливає, що якщо потрібно підсумувати члени

a k, a k +1 , . . . , a n,

то попередня формула зберігає свою структуру:

Наприклад,

в арифметичній прогресії 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Якщо дана арифметична прогресія, то величини a 1 , a n, d, nіS n пов'язані двома формулами:

Тому, якщо значення трьох цих величин дано, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних у систему двох рівнянь з двома невідомими.

Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. При цьому:

• якщо d > 0 , вона є зростаючою;
• якщо d < 0 , то вона є спадною;
• якщо d = 0 , то послідовність буде стаціонарною.

Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

є геометричною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:

b n +1 = b n · q,

де q ≠ 0 - Деяке число.

Таким чином, ставлення наступного члена даної геометричної прогресії до попереднього є постійним:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Число q називають знаменником геометричної прогресії.

Щоб задати геометричну прогресію, достатньо вказати її перший член та знаменник.

Наприклад,

якщо b 1 = 1, q = -3 , то перші п'ять членів послідовності знаходимо так:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 та знаменником q її n -й член може бути знайдений за формулою:

b n = b 1 · q n -1 .

Наприклад,

знайдемо сьомий член геометричної прогресії 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

то, очевидно,

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

кожен член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному (пропорційному) попереднього та наступного членів.

Оскільки правильне і зворотне твердження, має місце таке твердження:

числа a, b і c є послідовними членами деякої геометричної прогресії тоді й лише тоді, коли квадрат одного з них дорівнює добутку двох інших, тобто одне з чисел є середнім геометричним двом іншим.

Наприклад,

доведемо, що послідовність, яка задається формулою b n= -3 · 2 n є геометричною прогресією. Скористаємося наведеним вище твердженням. Маємо:

b n= -3 · 2 n,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Отже,

b n 2 = (-3 · 2 n) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

як і доводить необхідне твердження. ◄

Відмітимо, що n -й член геометричної прогресії можна знайти не тільки через b 1 , але й будь-який попередній член b k , для чого достатньо скористатися формулою

b n = b k · q n - k.

Наприклад,

для b 5 можна записати

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

то, очевидно,

b n 2 = b n - k· b n + k

квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого дорівнює добутку рівновіддалених від нього членів цієї прогресії.

Крім того, для будь-якої геометричної прогресії справедлива рівність:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Наприклад,

у геометричній прогресії

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так як

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

перших n членів геометричної прогресії зі знаменником q ≠ 0 обчислюється за такою формулою:

А при q = 1 - за формулою

S n= nb 1

Зауважимо, що якщо потрібно підсумувати члени

b k, b k +1 , . . . , b n,

то використовується формула:

Наприклад,

у геометричній прогресії 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Якщо дана геометрична прогресія, то величини b 1 , b n, q, nі S n пов'язані двома формулами:

Тому, якщо значення якихось трьох із цих величин дано, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних у систему двох рівнянь із двома невідомими.

Для геометричної прогресії з першим членом b 1 та знаменником q мають місце такі властивості монотонності :

• прогресія є зростаючою, якщо виконано одну з таких умов:

b 1 > 0 і q> 1;

b 1 < 0 і 0 < q< 1;

• прогресія є спадною, якщо виконано одну з наступних умов:

b 1 > 0 і 0 < q< 1;

b 1 < 0 і q> 1.

Якщо q< 0 , то геометрична прогресія є знакозмінною: її члени з непарними номерами мають той самий знак, що її перший член, а члени з парними номерами — протилежний йому знак. Зрозуміло, що знакозмінна геометрична прогресія не є монотонною.

Твір перших n членів геометричної прогресії можна розрахувати за такою формулою:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Наприклад,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Нескінченна спадна геометрична прогресія

Нескінченно спадаючою геометричною прогресією називають нескінченну геометричну прогресію, модуль знаменника якої менший 1 , тобто

|q| < 1 .

Зауважимо, що нескінченно спадна геометрична прогресія може не бути спадною послідовністю. Це відповідає нагоді

1 < q< 0 .

При такому знаменнику послідовність знакозмінна. Наприклад,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії називають число, до якого необмежено наближається сума перших n членів прогресії при необмеженому зростанні числа n . Це число завжди звичайно і виражається формулою

Наприклад,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Зв'язок арифметичної та геометричної прогресій

Арифметична та геометрична прогресіятісно пов'язані між собою. Розглянемо лише два приклади.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , то

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Наприклад,

1, 3, 5, . . . - Арифметична прогресія з різницею 2 і

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресія із знаменником 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресія із знаменником q , то

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - Арифметична прогресія з різницею log aq .

Наприклад,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресія із знаменником 6 і

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - Арифметична прогресія з різницею lg 6 . ◄

Сума арифметичної прогресії.

Сума арифметичної прогресії – штука проста. І за змістом, і за формулою. Але завдання з цієї теми бувають усілякі. Від елементарних до цілком солідних.

Спочатку розберемося із змістом та формулою суми. А потім і вирішуємо. На своє задоволення.) Сенс суми простий, як мукання. Щоб знайти суму арифметичної прогресії, треба просто акуратно скласти всі її члени. Якщо цих членів мало, можна складати без жодних формул. Але якщо багато, або дуже багато... додавання напружує.) У цьому випадку рятує формула.

Формула суми виглядає просто:

Розберемося, що за літери входять у формулу. Це багато чого прояснить.

S n - Сума арифметичної прогресії. Результат додавання всіхчленів, з першогопо останній.Це важливо. Складаються саме Усечлени поспіль, без перепусток та перескоків. І, саме, починаючи з першого.У завданнях типу знайти суму третього і восьмого членів, або суму членів з п'ятого по двадцятий - пряме застосування формули розчарує.)

a 1 - першийчлен прогресії. Тут все зрозуміло, це просто першеЧисло ряду.

a n- Останнійчлен прогресії. Остання кількість ряду. Не дуже звична назва, але, у застосуванні до суми, дуже годиться. Далі самі побачите.

n - Номер останнього члена. Важливо розуміти, що у формулі цей номер збігається з кількістю членів, що складаються.

Визначимося з поняттям останньогочлена a n. Питання на засипку: який член буде останнім,якщо дана нескінченнаарифметична прогресія?)

Для впевненої відповіді потрібно розуміти елементарний зміст арифметичної прогресії та... уважно читати завдання!)

У завданні на пошук суми арифметичної прогресії завжди фігурує (прямо чи опосередковано) останній член, яким слід обмежитися.Інакше кінцевої, конкретної суми просто не існує.Для вирішення не має значення, яка задана прогресія: кінцева, або нескінченна. Не має значення, як вона задана: поруч чисел, або формулою n-го члена.

Найголовніше - розуміти, що формула працює з першого члена прогресії до члена з номером n.Власне, повна назва формули виглядає так: сума n перших членів арифметичної прогресії.Кількість цих перших членів, тобто. n, Визначається виключно завданням. У завданні вся ця цінна інформація часто зашифровується, так ... Але нічого, в прикладах нижче ми ці секрети розкриваємо.)

Приклади завдань у сумі арифметичної прогресії.

Насамперед, корисна інформація:

Основна складність у завданнях на суму арифметичної прогресії полягає у правильному визначенні елементів формули.

Ці елементи укладачі завдань шифрують з безмежною фантазією.) Тут головне - не боятися. Розуміючи суть елементів, просто їх розшифрувати. Докладно розберемо кілька прикладів. Почнемо із завдання на основі реального ДІА.

1. Арифметична прогресія задана умовою: an = 2n-3,5. Знайдіть суму перших 10 її членів.

Гарне завдання. Легке.) Нам визначення суми за формулою чого треба знати? Перший член a 1, останній член a n, та номер останнього члена n.

Де взяти номер останнього члена n? Та там же, за умови! Там сказано: знайти суму перших 10 членів.Ну і з яким номером буде останній,десятий член?) Ви не повірите, його номер - десятий!) Отже, замість a nу формулу будемо підставляти a 10, а замість n- десятку. Повторюю, номер останнього члена збігається з кількістю членів.

Залишилось визначити a 1і a 10. Це легко вважається за формулою n-го члена, яка дана за умови завдання. Чи не знаєте, як це зробити? Завітайте до попереднього уроку, без цього - ніяк.

a 1= 2 · 1 - 3,5 = -1,5

a 10= 2 · 10 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Ми з'ясували значення всіх елементів формули суми арифметичної прогресії. Залишається підставити їх, та порахувати:

Ось і всі справи. Відповідь: 75.

Ще завдання з урахуванням ГИА. Трохи складніше:

2. Дана арифметична прогресія (a n), різниця якої дорівнює 3,7; a 1 = 2,3. Знайти суму перших 15 її членів.

Відразу пишемо формулу суми:

Ця формулка дозволяє нам знайти значення будь-якого члена за його номером. Шукаємо простою підстановкою:

a 15 = 2,3 + (15-1) · 3,7 = 54,1

Залишилося підставити всі елементи у формулу суми арифметичної прогресії та порахувати відповідь:

Відповідь: 423.

До речі, якщо у формулу суми замість a nпросто підставимо формулу n-го члена, отримаємо:

Наведемо подібні, отримаємо нову формулу суми членів арифметичної прогресії:

Як бачимо, тут не потрібно n-й член a n. У деяких завданнях ця формула чудово рятує, так... Можна цю формулу запам'ятати. А можна в потрібний моментїї просто вивести як тут. Адже формулу суми і формулу n-го члена треба пам'ятати.)

Тепер завдання у вигляді короткого шифрування):

3. Знайти суму всіх позитивних двоцифрових чисел, кратних трьом.

ВО як! Ні тобі першого члена, ні останнього, ні прогресії взагалі... Як жити?

Прийде думати головою і витягати з умови всі елементи суми арифметичної прогресії. Що таке двоцифрові числа - знаємо. З двох циферок складаються.) Яке двозначне число буде першим? 10, треба думати.) А останнєдвоцифрове число? 99, зрозуміло! За ним уже тризначні підуть...

Кратні трьом... Гм... Це такі числа, які діляться на три націло, ось! Десятка не ділиться на три, 11 не ділиться... 12... ділиться! Так, дещо вимальовується. Вже можна записати ряд за умовою завдання:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Чи буде цей ряд арифметичною прогресією? Звичайно! Кожен член відрізняється від попереднього на трійку. Якщо члену додати 2, чи 4, скажімо, результат, тобто. нове число, що вже не поділиться націло на 3. До купи можна відразу і різницю арифметичної прогресії визначити: d=3.Стане в нагоді!)

Отже, можна сміливо записати деякі параметри прогресії:

А який буде номер nостаннього члена? Той, хто думає, що 99 – фатально помиляється... Номери – вони завжди поспіль йдуть, а члени у нас – через трійку перескакують. Чи не збігаються вони.

Тут два шляхи вирішення. Один шлях – для надпрацьовитих. Можна розписати прогресію, весь ряд чисел, і порахувати пальчиком кількість членів. Другий шлях - для вдумливих. Потрібно згадати формулу n-го члена. Якщо формулу застосувати до нашого завдання, то отримаємо, що 99 - це тридцятий член прогресії. Тобто. n = 30.

Дивимося на формулу суми арифметичної прогресії:

Дивимося, і радіємо.) Ми витягли з умови завдання все необхідне розрахунку суми:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Залишається елементарна арифметика. Підставляємо числа у формулу та вважаємо:

Відповідь: 1665

Ще один тип популярних завдань:

4. Дана арифметична прогресія:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Знайти суму членів із двадцятого по тридцять четвертий.

Дивимося на формулу суми і... засмучуємось.) Формула, нагадаю, вважає суму з першогочлена. А в завданні треба рахувати суму з двадцятого...Чи не спрацює формула.

Можна, звичайно, розписати всю прогресію до ряду, та поскладувати члени з 20 по 34. Але... якось тупо і довго виходить, правда?)

Є більше елегантне рішення. Розіб'ємо наш ряд на дві частини. Перша частина буде з першого члена до дев'ятнадцятого.Друга частина - з двадцятого до тридцять четвертого.Зрозуміло, що якщо ми порахуємо суму членів першої частини S 1-19, так складемо із сумою членів другої частини S 20-34, отримаємо суму прогресії з першого члена по тридцять четвертий S 1-34. Ось так:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Звідси видно, що знайти суму S 20-34можна простим відніманням

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Обидві суми у правій частині вважаються з першогочлена, тобто. до них цілком застосовна стандартна формула суми. Приступаємо?

Витягуємо з умови завдання парметри прогресії:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Для розрахунку сум перших 19 та перших 34 членів нам потрібні будуть 19-й та 34-й члени. Вважаємо їх за формулою n-го члена, як у задачі 2:

a 19= -21,5 + (19-1) · 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 + (34-1) · 1,5 = 28

Залишається нічого. Від суми 34 членів відібрати суму 19 членів:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Відповідь: 262,5

Одне важливе зауваження! У вирішенні цього завдання є дуже корисна фішка. Замість прямого розрахунку того, що потрібно (S 20-34),ми порахували те, що, здавалося б, не потрібне - S 1-19 .А вже потім визначили і S 20-34відкинувши від повного результату непотрібне. Такий "фінт вухами" часто рятує в злих завданнях.)

У цьому уроці ми розглянули завдання, на вирішення яких достатньо розуміти сенс суми арифметичної прогресії. Ну і пару формул знати треба.)

Практична порада:

При вирішенні будь-якого завдання на суму арифметичної прогресії рекомендую відразу виписувати дві основні формули цієї теми.

Формулу n-го члена:

Ці формули одразу підкажуть, що потрібно шукати, у якому напрямку думати, щоб вирішити завдання. Допомагає.

А тепер – завдання для самостійного вирішення.

5. Знайти суму всіх двоцифрових чисел, які не діляться націло на три.

Круто?) Підказка прихована у зауваженні до завдання 4. Та й завдання 3 допоможе.

6. Арифметична прогресія задана умовою: a 1 = -5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть суму перших 24 її членів.

Незвично?) Це рекурентна формула. Про неї можна прочитати у попередньому уроці. Не ігноруйте посилання, такі завдання в ДПА часто зустрічаються.

7. Вася накопичив до Свята грошей. Цілих 4550 рублів! І вирішив подарувати найулюбленішій людині (собі) кілька днів щастя). Пожити гарно, ні в чому не відмовляючи. Витратити в перший день 500 рублів, а кожного наступного дня витрачати на 50 рублів більше, ніж у попередній! Поки не скінчиться запас грошей. Скільки днів щастя вийшло у Васі?

Складно?) Допоможе додаткова формула із завдання 2.

Відповіді (безладно): 7, 3240, 6.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Завдання з арифметичної прогресії існували вже у давнину. Вони з'являлися та вимагали рішення, оскільки мали практичну необхідність.

Так, в одному з папірусів Стародавнього Єгипту, що має математичний зміст, - папірусі Райнда (XIX століття до нашої ери) - міститься таке завдання: розділи десять мір хліба на десять осіб, за умови якщо різниця між кожним з них становить одну восьму міру».

І на математичних працях древніх греків зустрічаються витончені теореми, які стосуються арифметичної прогресії. Так, Гіпсікл Олександрійський (ІІ століття склало чимало цікавих завданьі додав чотирнадцяту книгу до «Початків» Евкліда, сформулював думку: «В арифметичній прогресії, що має парне числочленів, сума членів 2-ої половини більша за суму членів 1-ої на квадрату 1/2 числа членів».

Позначається послідовність an. Числа послідовності називаються її членами і позначаються зазвичай літерами з індексами, які вказують порядковий номер цього члена (a1, a2, a3 … читається: «a 1», «a 2», «a 3» і так далі ).

Послідовність може бути нескінченною чи кінцевою.

А що таке арифметична прогресія? Під нею розуміють одержувану додаванням попереднього члена (n) з одним і тим самим числом d, що є різницею прогресії.

Якщо d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то така прогресія вважається зростаючою.

Арифметична прогресія називається кінцевою, якщо враховуються лише кілька її перших членів. При дуже велику кількістьЧленів це вже нескінченна прогресія.

Задається будь-яка арифметична прогресія наступною формулою:

an =kn+b, причому b і k - деякі числа.

Абсолютно вірне твердження, яке є зворотним: якщо послідовність задається подібною формулою, то це точно арифметична прогресія, яка має властивості:

1. Кожен член прогресії - середнє арифметичне попереднього члена та наступного.
2. Назад: якщо, починаючи з другого, кожен член - середнє арифметичне попереднього члена і наступного, тобто. якщо виконується умова, то ця послідовність - арифметична прогресія. Ця рівність одночасно є ознакою прогресії, тому його, як правило, називають характеристичною властивістю прогресії.
   Так само правильна теорема, яка відбиває це властивість: послідовність - арифметична прогресія лише тому випадку, якщо це рівність правильне кожного з членів послідовності, починаючи з другого.

Характеристичне властивість чотирьох будь-яких чисел арифметичної прогресії може бути виражено формулою an + am = ak + al, якщо n + m = k + l (m, n, k - числа прогресії).

В арифметичній прогресії будь-який необхідний (N-й) член можна знайти, застосовуючи таку формулу:

Наприклад: перший член (a1) в арифметичній прогресії заданий і дорівнює трьом, а різниця (d) дорівнює чотирьом. Знайти треба сорок п'ятий член цієї прогресії. a45 = 1 +4 (45-1) = 177

Формула an = ak + d(n - k) дозволяє визначити n-й член арифметичної прогресії через будь-який її k-ий член за умови, якщо він відомий.

Сума членів арифметичної прогресії (мається на увазі перші n членів кінцевої прогресії) обчислюється так:

Sn = (a1+an) n/2.

Якщо відомий і перший член, то обчислення зручна інша формула:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Сума арифметичної прогресії, що містить n членів, підраховується таким чином:

Вибір формул для розрахунків залежить від умов завдань та вихідних даних.

Натуральний ряд будь-яких чисел, таких як 1,2,3,...,n,...- найпростіший прикладарифметичній прогресії.

Крім арифметичної прогресії існує ще й геометрична, яка має свої властивості та характеристики.

Арифметичною прогресієюназивають послідовність чисел (членів прогресії)

У якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на постійне доданок, яке ще називають кроком чи різницею прогресії.

Таким чином, задаючи крок прогресії та її перший член можна знайти будь-який її елемент за формулою

Властивості арифметичної прогресії

1) Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого номера, є середнім арифметичним від попереднього та наступного члена прогресії

Зворотне твердження також є вірним. Якщо середнє арифметичне сусідніх непарних (парних) членів прогресії дорівнює члену, який стоїть між ними, то дана послідовність чисел є арифметичною прогресією. За цим твердженням дуже просто перевірити будь-яку послідовність.

Також за якістю арифметичної прогресії, наведену вище формулу можна узагальнити до наступної

У цьому легко переконатися, якщо розписати доданки праворуч від знака рівності

Її часто застосовують на практиці для спрощення обчислень у завданнях.

2) Сума n перших членів арифметичної прогресії обчислюється за такою формулою

Запам'ятайте добре формулу суми арифметичної прогресії, вона незамінна при обчисленнях і часто зустрічається в простих життєвих ситуаціях.

3) Якщо потрібно знайти не всю суму, а частину послідовності починаючи з k-го її члена, то Вам знадобиться наступна формула суми

4) Практичний інтерес представляє відшукання суми n членів арифметичної прогресії починаючи з k-го номера. Для цього використовуйте формулу

На цьому теоретичний матеріал закінчується і переходимо до вирішення поширених на практиці завдань.

Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4; 7;

Рішення:

Згідно з умовою маємо

Визначимо крок прогресії

За відомою формулою знаходимо сороковий член прогресії

Приклад2. Арифметична прогресія задана третім та сьомим її членом. Знайти перший член прогресії та суму десяти.

Рішення:

Розпишемо задані елементи прогресії за формулами

Від другого рівняння віднімемо перше, в результаті знайдемо крок прогресії

Знайдене значення підставляємо у будь-яке з рівнянь для відшукання першого члена арифметичної прогресії

Обчислюємо суму перших десяти членів прогресії

Не застосовуючи складних обчислень ми знайшли всі шукані величини.

Приклад 3. Арифметичну прогресію задано знаменником та одним із її членів. Знайти перший член прогресії, суму 50 її членів, починаючи з 50 і суму 100 перших.

Рішення:

Запишемо формулу сотого елемента прогресії

і знайдемо перший

На основі першого знаходимо 50 член прогресії

Знаходимо суму частини прогресії

та суму перших 100

Сума прогресії дорівнює 250.

приклад 4.

Знайти число членів арифметичної прогресії, якщо:

а3-а1 = 8, а2 + а4 = 14, Sn = 111.

Рішення:

Запишемо рівняння через перший член та крок прогресії та визначимо їх

Отримані значення підставляємо у формулу суми для визначення кількості членів у сумі

Виконуємо спрощення

і розв'язуємо квадратне рівняння

Зі знайдених двох значень умові задачі підходить лише число 8 . Таким чином, сума перших восьми членів прогресії становить 111.

Приклад 5.

Вирішити рівняння

1+3+5+...+х=307.

Рішення: Це рівняння є сумою арифметичної прогресії. Випишемо перший її член та знайдемо різницю прогресії

Початковий рівень

Арифметична прогресія. Детальна теоріяз прикладами (2019)

Числова послідовність

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:
Писати можна будь-які числа, і може бути скільки завгодно (у разі їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке друге і так далі до останнього, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

Числова послідовність
Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний лише однієї числа послідовності. Іншими словами, у послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і число) завжди одне.
Число з номером називається членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

У нашому випадку:

Припустимо, у нас є числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
Наприклад:

і т.д.
Така числова послідовність називається арифметичною прогресією.
Термін «прогресія» було запроваджено римським автором Боецієм ще шостому столітті і розумівся у ширшому значенні, як нескінченна числова послідовність. Назва «арифметична» було перенесено з теорії безперервних пропорцій, якими займалися давні греки.

Це числова послідовність, кожен член якої дорівнює попередньому, складеному з тим самим числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається.

Спробуй визначити, які числові послідовності є арифметичною прогресією, а які:

a)
b)
c)
d)

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:
Єарифметичною прогресією – b, c.
Не єарифметичною прогресією – a, d.

Повернемося до заданої прогресії () і спробуємо знайти значення її члена. Існує дваспособу його знаходження.

1. Спосіб

Ми можемо додавати до попереднього значення числа прогресії, поки не дійдемо до члена прогресії. Добре, що підсумувати нам залишилося небагато – лише три значення:

Отже, -ой член описаної арифметичної прогресії дорівнює.

2. Спосіб

А якщо нам потрібно було б знайти значення -го члена прогресії? Підсумовування зайняло б у нас не одну годину, і не факт, що ми не помилилися б при складанні чисел.
Зрозуміло, математики вигадали спосіб, у якому не потрібно додавати різницю арифметичної прогресії до попереднього значення. Придивись уважно до намальованого малюнка… Напевно, ти вже помітив якусь закономірність, а саме:

Наприклад, подивимося, з чого складається значення члена даної арифметичної прогресії:


Іншими словами:

Спробуй самостійно знайти у такий спосіб значення члена даної арифметичної прогресії.

Розрахував? Порівняй свої записи з відповіддю:

Зверніть увагу, що в тебе вийшло таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно додавали до попереднього значення членів арифметичної прогресії.
Спробуємо «знеособити» цю формулу- Наведемо її в загальний виглядта отримаємо:

Арифметичні прогресії бувають зростаючі, а бувають спадні.

Зростаючі- прогресії, у яких кожне наступне значення членів більше попереднього.
Наприклад:

Знижені- прогресії, у яких кожне наступне значення членів менше попереднього.
Наприклад:

Виведена формула застосовується для членів як у зростаючих, і у спадних членах арифметичної прогресії.
Перевіримо це практично.
Нам дана арифметична прогресія, що складається з наступних чисел: Перевіримо, яке вийде число даної арифметичної прогресії, якщо при його розрахунку використовувати нашу формулу:

Тому що:

Таким чином, ми переконалися, що формула діє як у спадній, так і в зростаючій арифметичній прогресії.
Спробуй самостійно знайти члени цієї арифметичної прогресії.

Порівняємо отримані результати:

Властивість арифметичної прогресії

Ускладнимо завдання - виведемо властивість арифметичної прогресії.
Припустимо, нам дано таку умову:
- арифметична прогресія, знайти значення.
Легко, скажеш ти і почнеш вважати за вже відомою тобі формулою:

Нехай, а тоді:

Абсолютно вірно. Виходить ми спочатку знаходимо, потім додаємо його до першого числа і отримуємо шукане. Якщо прогресія представлена ​​невеликими значеннями, то нічого складного в цьому немає, а якщо нам за умови дано числа? Погодься, є ймовірність помилитися у обчисленнях.
А тепер подумай, чи можна вирішити це завдання в одну дію з використанням будь-якої формули? Звичайно, так, і саме її ми спробуємо зараз вивести.

Позначимо шуканий член арифметичної прогресії як формула його знаходження нам відома - це та сама формула, виведена нами на початку:
тоді:

• попередній член прогресії це:
• наступний член прогресії це:

Підсумуємо попередній та наступний члени прогресії:

Виходить, що сума попереднього та наступного членів прогресії – це подвоєне значення члена прогресії, що перебуває між ними. Іншими словами, щоб знайти значення члена прогресії при відомих попередніх та послідовних значеннях, необхідно скласти їх та розділити на.

Все вірно, ми отримали це число. Закріпимо матеріал. Вважай значення для прогресії самостійно, адже це зовсім нескладно.

Молодець! Ти знаєш про прогрес майже всі! Залишилося дізнатися тільки одну формулу, яку за легендами легко вивів для себе один з найбільших математиків усіх часів, «король математиків» - Карл Гаус...

Коли Карлу Гауссу було 9 років, учитель, зайнятий перевіркою робіт учнів інших класів, поставив на уроці таке завдання: «Порахувати суму всіх натуральних чисел від до (за іншими джерелами до) включно». Яке ж було здивування вчителя, коли один із його учнів (це і був Карл Гаусс) через хвилину дав правильну відповідь на поставлене завдання, при цьому більшість однокласників сміливця після довгих підрахунків отримали неправильний результат.

Юний Карл Гаусс помітив деяку закономірність, яку легко помітиш і ти.
Припустимо, у нас є арифметична прогресія, що складається з членів: Нам необхідно знайти суму даних членів арифметичної прогресії. Звичайно, ми можемо вручну підсумувати всі значення, але що робити, якщо в завданні потрібно буде знайти суму її членів, як це шукав Гаус?

Зобразимо задану нам прогресію. Придивись уважно до виділених чисел та спробуй зробити з ними різні математичні дії.


Спробував? Що ти помітив? Правильно! Їхні суми рівні

А тепер дай відповідь, скільки всього набереться таких пар у заданій нам прогресії? Звичайно, рівно половина всіх чисел, тобто.
Виходячи з того, що сума двох членів арифметичної прогресії дорівнює, а подібних рівних пар ми отримуємо, що загальна сума дорівнює:
.
Таким чином, формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

У деяких завданнях нам невідомий член, але відома різниця прогресії. Спробуй підставити формулу суми, формулу -го члена.
Що в тебе вийшло?

Молодець! Тепер повернемося до завдання, яке задали Карлу Гаусс: порахуй самостійно, чому дорівнює сума чисел, починаючи від -го, і сума чисел починаючи від -го.

Скільки у тебе вийшло?
Гаус вийшов, що сума членів дорівнює, а сума членів. Чи ти так вирішував?

Насправді формула суми членів арифметичної прогресії була доведена давньогрецьким вченим Діофантом ще в 3 столітті, та й протягом усього цього часу дотепні люди користувалися властивостями арифметичної прогресії.
Наприклад, уяви Стародавній Єгипеті наймасштабніше будівництво на той час - будівництво піраміди… На малюнку представлена ​​одна її сторона.

Де тут прогресія скажеш ти? Подивися уважно та знайди закономірність у кількості піщаних блоків у кожному ряді стіни піраміди.


Чим не арифметична прогресія? Порахуй, скільки всього блоків необхідно для будівництва однієї стіни, якщо в основу кладеться цегла. Сподіваюся, ти не вважатимеш, водячи пальцем по монітору, ти ж пам'ятаєш останню формулу і все, що ми говорили про арифметичну прогресію?

У даному випадкупрогресія виглядає так: .
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість членів арифметичної прогресії.
Підставимо останні формули наші дані (порахуємо кількість блоків 2 способами).

Спосіб 1.

Спосіб 2.

А тепер можна і на моніторі порахувати: порівняй отримані значення з тією кількістю блоків, яка є в нашій піраміді. Зійшлося? Молодець, ти освоїв суму членів арифметичної прогресії.
Звичайно, з блоків у підставі піраміду не побудуєш, а от із? Спробуй розрахувати, скільки необхідно піщаної цегли, щоб побудувати стіну з такою умовою.
Впорався?
Вірна відповідь - блоків:

Тренування

Завдання:

1. Маша приходить у форму до літа. Щодня вона збільшує кількість присідань. Скільки разів присідатиме Маша через тижні, якщо на першому тренуванні вона зробила присідань.
2. Якою є сума всіх непарних чисел, що містяться в.
3. Лісоруби при зберіганні колод укладають їх таким чином, що кожен верхній шар містить одну колоду менше, ніж попередній. Скільки колод знаходиться в одній кладці, якщо основою кладки є колод.

Відповіді:

1. Визначимо параметри арифметичної прогресії. В даному випадку
   (Тижня = днів).

   Відповідь:Через два тижні Маша повинна присідати щодня.

2. Перше непарне число, останнє число.
   Різниця арифметичної прогресії.
   Кількість непарних чисел в - половина, проте, перевіримо цей факт, використовуючи формулу знаходження члена арифметичної прогресії:

   У числах справді міститься непарних чисел.
   Наявні дані підставимо у формулу:

   Відповідь:Сума всіх непарних чисел, що містяться, дорівнює.

3. Згадаймо завдання для піраміди. Для нашого випадку a , так як кожен верхній шар зменшується на одну колоду, то всього в купі шарів, тобто.
   Підставимо дані у формулу:

   Відповідь:У кладці знаходиться колод.

Підведемо підсумки

1. - Чисельна послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює. Вона буває зростаючою та спадною.
2. Формула знаходження-го члена арифметичної прогресії записується формулою - , де - Число чисел в прогресії.
3. Властивість членів арифметичної прогресії- де - кількість чисел у прогресії.
4. Суму членів арифметичної прогресіїможна знайти двома способами:
   
   де - кількість значень.

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Числова послідовність

Давай сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:

Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно. Але завжди можна сказати, яке з них перше, яке друге і так далі, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності.

Числова послідовність- це безліч чисел, кожному з яких можна надати унікальний номер.

Іншими словами, кожному числу можна поставити у відповідність якесь натуральне число, причому єдине. І цей номер ми не надамо більше жодному іншому числу з даної множини.

Число з номером називається членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

Дуже зручно, якщо член послідовності можна задати який-небудь формулою. Наприклад, формула

задає послідовність:

А формула – таку послідовність:

Наприклад, арифметичною прогресією є послідовність (перший член тут дорівнює, а різниця). Або (, різниця).

Формула n-го члена

Рекурентною ми називаємо таку формулу, в якій щоб дізнатися член, потрібно знати попередній або кілька попередніх:

Щоб знайти за такою формулою, наприклад, член прогресії, нам доведеться обчислити попередні дев'ять. Наприклад, хай. Тоді:

Ну що, зрозуміло тепер якась формула?

У кожному рядку ми додаємо, помножене на якесь число. На яке? Дуже просто: це номер поточного члена мінус:

Тепер набагато зручніше, правда? Перевіряємо:

Виріши сам:

В арифметичній прогресії знайти формулу n-го члена та знайти сотий член.

Рішення:

Перший член дорівнює. А чому дорівнює різниця? А ось чому:

(Вона тому і називається різницею, що дорівнює різниці послідовних членів прогресії).

Отже, формула:

Тоді сотий член дорівнює:

Чому дорівнює сума всіх натуральних чисел від до?

За легендою великий математик Карл Гаусс, будучи 9-річним хлопчиком, порахував цю суму за кілька хвилин. Він зауважив, що сума першого та останнього числа дорівнює, сума другого та передостаннього – теж, сума третього та 3-го з кінця – теж, і так далі. Скільки всього набереться таких пар? Правильно, рівно половина кількості всіх чисел, тобто. Отже,

Загальна формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

Приклад:
Знайдіть суму всіх двоцифрових чисел, кратних.

Рішення:

Перше таке число – це. Кожне наступне виходить додаванням до попереднього числа. Таким чином, цікаві для нас числа утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею.

Формула члена для цієї прогресії:

Скільки членів у прогресії, якщо всі вони мають бути двозначними?

Дуже легко: .

Останній член прогресії дорівнюватиме. Тоді сума:

Відповідь: .

Тепер виріши сам:

1. Щодня спортсмен пробігає на м більше, ніж у попередній день. Скільки всього кілометрів він пробіжить за тижні, якщо першого дня він пробіг км?
2. Велосипедист проїжджає щодня на км більше, ніж попереднього. Першого дня він проїхав км. Скільки днів йому треба їхати, щоб подолати кілометри? Скільки кілометрів він проїде за останній день шляху?
3. Ціна холодильника в магазині щорічно зменшується на ту саму суму. Визначте, на скільки щороку зменшувалася ціна холодильника, якщо виставлений на продаж за рублів через шість років був проданий за рублів.

Відповіді:

1. Тут найголовніше - розпізнати арифметичну прогресію та визначити її параметри. У цьому випадку (тижня = днів). Визначити потрібно суму перших членів цієї прогресії:
   .
   Відповідь:
2. Тут дано: треба знайти.
   Очевидно, потрібно використовувати ту саму формулу суми, що й у попередньому завданні:
   .
   Підставляємо значення:

   Корінь, очевидно, не підходить, отже, відповідь.
   Порахуємо шлях, пройдений за останній день за допомогою формули члена:
   (Км).
   Відповідь:

3. Дано: . Знайти: .
   Простіше не буває:
   (Руб).
   Відповідь:

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Це числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.

Арифметична прогресія буває зростаючою () та спадною ().

Наприклад:

Формула знаходження n-ого члена арифметичної прогресії

записується формулою, де - кількість чисел у прогресії.

Властивість членів арифметичної прогресії

Воно дозволяє легко знайти член прогресії, якщо відомі його сусідні члени – де – кількість чисел у прогресії.

Сума членів арифметичної прогресії

Існує два способи знаходження суми:

Де – кількість значень.

Де – кількість значень.