Колко е диагоналът на четириъгълник? Четириъгълници всички правила

И отново въпросът: успоредник ли е ромбът или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (помнете нашата особеност 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, тогава той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че в ромба противоположните ъгли са равни, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разполовяват в точката на пресичане.

Свойства на ромба

Погледни снимката:

Както в случая с правоъгълника, тези свойства са отличителни, тоест за всяко от тези свойства можем да заключим, че това не е просто успоредник, а ромб.

Признаци на диамант

И отново, обърнете внимание: трябва да има не просто четириъгълник, чиито диагонали са перпендикулярни, а успоредник. Уверете се, че:

Не, разбира се, въпреки че неговите диагонали са перпендикулярни, а диагоналът е ъглополовяща на ъглите и. Но... диагоналите не се делят наполовина от пресечната точка, следователно - НЕ са успоредник и следователно НЕ са ромб.

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще стане.

Ясно ли е защо? - ромбът е ъглополовящата на ъгъл А, който е равен на. Това означава, че се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; Диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло успоредник от диагонали е разделен наполовина от точката на пресичане.

СРЕДНО НИВО

Свойства на четириъгълниците. Успоредник

Свойства на успоредник

внимание! думи " свойства на успоредник„означава, че ако във вашата задача Имауспоредник, тогава всички от следните могат да бъдат използвани.

Теорема за свойствата на успоредник.

Във всеки успоредник:

Нека разберем защо всичко това е вярно, с други думи ЩЕ ДОКАЖЕМтеорема.

Така че защо 1) е вярно?

Ако е успоредник, тогава:

• лежат като кръстосани
• лежащи като кръстове.

Това означава (съгласно критерий II: и - общ.)

Е, това е, това е! - доказано.

Но между другото! Ние също доказахме 2)!

Защо? Но (вижте снимката), това е точно защото.

Остават само 3).

За да направите това, все още трябва да нарисувате втори диагонал.

И сега виждаме това - според II характеристика (ъгли и страната "между" тях).

Доказани свойства! Да преминем към знаците.

Признаци на успоредник

Спомнете си, че знакът за успоредник отговаря на въпроса „откъде знаете, че фигурата е успоредник“.

В иконите е така:

Защо? Би било хубаво да разберете защо - това е достатъчно. Но вижте:

Е, разбрахме защо знак 1 е верен.

Е, дори е по-лесно! Нека отново начертаем диагонал.

Което означава:

ИОсвен това е лесно. Но...различен!

Означава,. Еха! Но и - вътрешно едностранно със секанс!

Следователно фактът, който означава това.

И ако погледнете от другата страна, тогава - вътрешно едностранно със секанс! И следователно.

Виждате ли колко е страхотно?!

И пак просто:

Абсолютно същото и.

Обърни внимание:ако сте намерили понеедин знак за успоредник във вашия проблем, значи имате точноуспоредник и можете да използвате всекисвойства на успоредник.

За пълна яснота вижте диаграмата:

Свойства на четириъгълниците. Правоъгълник.

Свойства на правоъгълника:

Точка 1) е съвсем очевидна - в крайна сметка знак 3 () е просто изпълнен

И точка 2) - много важно. И така, нека докажем това

Това означава от две страни (и - общо).

Е, тъй като триъгълниците са равни, тогава техните хипотенузи също са равни.

Доказа това!

И представете си, равенството на диагоналите е отличително свойство на правоъгълника сред всички успоредници. Тоест това твърдение е вярно^

Да разберем защо?

Това означава (което означава ъглите на успоредник). Но нека си припомним още веднъж, че това е успоредник и следователно.

Означава,. Е, разбира се, следва, че всеки от тях! В края на краищата те трябва да дадат всичко!

Така те доказаха, че ако успоредникизведнъж (!) диагоналите се оказват равни, тогава това точно правоъгълник.

Но! Обърни внимание!Става въпрос за успоредници! Не кой да ечетириъгълник с равни диагонали е правоъгълник и самоуспоредник!

Свойства на четириъгълниците. Ромб

И отново въпросът: успоредник ли е ромбът или не?

С пълно право - успоредник, защото има (Запомнете нашата особеност 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че в ромба противоположните ъгли са равни, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разполовяват в точката на пресичане.

Но има и специални свойства. Нека го формулираме.

Свойства на ромба

Защо? Е, тъй като ромбът е успоредник, тогава неговите диагонали са разделени наполовина.

Защо? Да, точно затова!

С други думи, диагоналите се оказаха ъглополовящи на ъглите на ромба.

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителен, всеки от тях също е знак на ромб.

Признаци на диамант.

Защо е това? И виж,

Това означава и дветеТези триъгълници са равнобедрени.

За да бъде ромб, четириъгълникът трябва първо да се „превърне“ в успоредник и след това да прояви характеристика 1 или характеристика 2.

Свойства на четириъгълниците. Квадрат

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще стане.

Ясно ли е защо? Квадрат - ромб - е ъглополовяща на ъгъл, който е равен на. Това означава, че се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; Диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло успоредник от диагонали е разделен наполовина от точката на пресичане.

Защо? Е, нека просто приложим Питагоровата теорема към...

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Свойства на успоредник:

1. Противоположните страни са равни: , .
2. Срещуположните ъгли са равни: , .
3. Ъглите от едната страна се събират до: , .
4. Диагоналите са разделени наполовина от точката на пресичане: .

Свойства на правоъгълника:

1. Диагоналите на правоъгълника са равни: .
2. Правоъгълникът е успоредник (за правоъгълника са изпълнени всички свойства на успоредника).

Свойства на ромба:

1. Диагоналите на ромба са перпендикулярни: .
2. Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите ъгли: ; ; ; .
3. Ромбът е успоредник (за ромба са изпълнени всички свойства на успоредник).

Свойства на квадрат:

Квадратът е едновременно ромб и правоъгълник, следователно за квадрат са изпълнени всички свойства на правоъгълник и ромб. И.

Днес ще разгледаме геометрична фигура- четириъгълник. От името на тази фигура вече става ясно, че тази фигура има четири ъгъла. Но ние ще разгледаме останалите характеристики и свойства на тази фигура по-долу.

Какво е четириъгълник

Четириъгълникът е многоъгълник, състоящ се от четири точки (върхове) и четири сегмента (страни), свързващи тези точки по двойки. Площта на четириъгълника е равна на половината от произведението на неговите диагонали и ъгъла между тях.

Четириъгълникът е многоъгълник с четири върха, три от които не лежат на права линия.

Видове четириъгълници

• Четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две, се нарича успоредник.
• Четириъгълник, в който две срещуположни страни са успоредни, а другите две не са, се нарича трапец.
• Четириъгълник с всички прави ъгли е правоъгълник.
• Четириъгълник с равни страни е ромб.
• Четириъгълник, в който всички страни са равни и всички ъгли са прави, се нарича квадрат.

Четириъгълникът може да бъде:

Самопресичащи се

Неконвексен

Изпъкнал

Самопресичащ се четириъгълнике четириъгълник, в който всяка от страните му има пресечна точка (в синьо на фигурата).

Неизпъкнал четириъгълнике четириъгълник, в който един от вътрешни ъглиповече от 180 градуса (обозначено в оранжево на фигурата).

Сума от ъгливсеки четириъгълник, който не се пресича сам, винаги е равен на 360 градуса.

Специални видове четириъгълници

Четириъгълниците могат да имат допълнителни свойства, образувайки специални видовегеометрични фигури:

• Успоредник
• Правоъгълник
• Квадрат
• Трапец
• Делтоид
• Контрауспоредник

Четириъгълник и кръг

Четириъгълник, описан около окръжност (окръжност, вписана в четириъгълник).

Основното свойство на описания четириъгълник:

Четириъгълник може да бъде описан около окръжност тогава и само ако сумите от дължините на противоположните страни са равни.

Четириъгълник, вписан в окръжност (окръжност, описана около четириъгълник)

Основното свойство на вписан четириъгълник:

Четириъгълник може да бъде вписан в окръжност тогава и само ако сборът от противоположните му ъгли е равен на 180 градуса.

Свойства на дължините на страните на четириъгълник

Модул на разликата между произволни две страни на четириъгълникне надвишава сбора от другите му две страни.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

важно. Неравенството е вярно за всяка комбинация от страни на четириъгълник. Чертежът е предоставен единствено за по-лесно възприемане.

Във всеки четириъгълник сборът от дължините на трите му страни е не по-малък от дължината на четвъртата страна.

важно. Когато решавате проблеми в рамките на училищната програма, можете да използвате строго неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Тема на урока

• Дефиниция на четириъгълник.

Цели на урока

• Образователни – повторение, обобщение и проверка на знанията по темата: „Четириъгълник”; развитие на основни умения.
• Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството, логическото мислене, математическата реч на учениците.
• Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.

Цели на урока

• Развийте умения за конструиране на четириъгълник с помощта на мащабна линийка и чертожен триъгълник.
• Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.

План на урока

1. Историческа справка. Неевклидова геометрия.
2. Четириъгълник.
3. Видове четириъгълници.

Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия, геометрия, подобна на геометрията Евклидв това, че определя движението на фигурите, но се различава от евклидовата геометрия по това, че един от петте й постулата (вторият или петият) е заменен с нейното отрицание. Отрицанието на един от постулатите на Евклид (1825 г.) е значимо събитие в историята на мисълта, защото служи като първата стъпка към теория на относителността.

Вторият постулат на Евклид гласи това всеки сегмент от права линия може да бъде удължен за неопределено време. Евклид очевидно е вярвал, че този постулат също съдържа твърдението, че правата линия има безкрайна дължина. въпреки това в „елиптичната“ геометрия всяка права линия е крайна и подобно на кръга е затворена.

Петият постулат гласи, че ако една права пресича две дадени прави по такъв начин, че двата вътрешни ъгъла от едната й страна дават сбор по-малко от два прави ъгъла, тогава тези две прави, ако се удължат за неопределено време, ще се пресичат от страната, където сборът от тези ъгли е по-малък от сбора на две прави линии. Но в „хиперболичната“ геометрия може да има права CB (виж фигурата), перпендикулярна в точка C на дадена права r и пресичаща друга права s под остър ъгъл в точка B, но въпреки това безкрайните прави r и s ще никога не се пресичат.

От тези ревизирани постулати следва, че сумата от ъглите на триъгълник, равна на 180° в евклидовата геометрия, е по-голяма от 180° в елиптичната геометрия и по-малка от 180° в хиперболичната геометрия.

Четириъгълник

С четири ъгъла и четири страни. Четириъгълникът се образува от затворена начупена линия, състояща се от четири връзки и тази част от равнината, която е вътре в начупената линия.

Обозначението на четириъгълник се състои от буквите, разположени на върховете му, като ги наименувате по ред. Например казват или пишат: четириъгълник ABCD :

В четириъгълник ABCDточки А, б, ° СИ д- Това върхове на четириъгълник, сегменти AB, пр.н.е., CDИ Д.А. - страни.

Върховете, принадлежащи на едната страна, се наричат съседни, се наричат ​​върхове, които не са съседни противоположност:

В четириъгълник ABCDвърхове АИ б, бИ ° С, ° СИ д, дИ А- съседни, и върховете АИ ° С, бИ д- обратното. Ъглите, лежащи в съседни върхове, се наричат ​​още съседни, а в противоположни върхове – срещуположни.

Страните на четириъгълника също могат да бъдат разделени по двойки на съседни и срещуположни: страните, които имат общ връх, се наричат съседни(или съседен), страни, които нямат общи върхове - противоположност:

Партита ABИ пр.н.е., пр.н.е.И CD, CDИ Д.А., Д.А.И AB- съседни и странични ABИ DC, ADИ пр.н.е.- обратното.

Ако срещуположните върхове са свързани с сегмент, тогава такъв сегмент ще бъде наречен диагонал на четириъгълника. Като се има предвид, че четириъгълникът има само две двойки противоположни върхове, тогава може да има само два диагонала:

Сегменти A.C.И BD- диагонали.

Нека разгледаме основните видове изпъкнали четириъгълници:

• Трапец- четириъгълник, в който една двойка противоположни страни са успоредни една на друга, а другата двойка не е успоредна.
  • Равнобедрен трапец- трапец, чиито страни са равни.
  • Правоъгълен трапец- трапец, в който един от ъглите е прав.
• Успоредник- четириъгълник, в който двете двойки противоположни страни са успоредни една на друга.
  • Правоъгълник- успоредник, в който всички ъгли са равни.
  • Ромб- успоредник, в който всички страни са равни.
  • Квадрат- успоредник с равни страни и ъгли. И правоъгълникът, и ромбът могат да бъдат квадрат.

Свойства на ъглите на изпъкнали четириъгълници

Всички изпъкнали четириъгълници имат следните две свойства на своите ъгли:

1. Всеки вътрешен ъгъл, по-малък от 180°.
2. Сумата от вътрешните ъгли е 360°.

IN училищна програмав уроците по геометрия трябва да се справяте с различни видове четириъгълници: ромби, успоредници, правоъгълници, трапеци, квадрати. Първите форми за изучаване са правоъгълникът и квадратът.

И така, какво е правоъгълник? Дефиницията за 2-ри клас на средното училище ще изглежда така: това е четириъгълник с всички четири ъгъла прави. Лесно е да си представите как изглежда правоъгълникът: това е фигура с 4 прави ъгъла и страни, успоредни една на друга по двойки.

Във връзка с

Как можем да разберем, когато решаваме друга геометрична задача, с кой четириъгълник имаме работа? Има три основни признака, по което безпогрешно може да се определи, че говорим за правоъгълник. Да ги наречем:

• фигурата е четириъгълник, чиито три ъгъла са равни на 90°;
• представеният четириъгълник е успоредник с равни диагонали;
• успоредник, който има поне един прав ъгъл.

Интересно е да знаете: какво е изпъкнал, неговите характеристики и симптоми.

Тъй като правоъгълникът е успоредник (т.е. четириъгълник с двойки успоредни противоположни страни), тогава всички негови свойства и характеристики ще бъдат изпълнени за него.

Формули за изчисляване на дължините на страните

В правоъгълникпротивоположните страни са равни и взаимно успоредни. По-дългата страна обикновено се нарича дължина (означена с a), по-късата страна се нарича ширина (обозначена с b). В правоъгълника на изображението дължините са страните AB и CD, а широчините са AC и B. D. Те също са перпендикулярни на основите (т.е. те са височините).

За да намерите страните, можете да използвате формулите по-долу. Те приеха символи: a - дължината на правоъгълника, b - неговата ширина, d - диагоналът (сегмент, свързващ върховете на два ъгъла, разположени един срещу друг), S - площта на фигурата, P - периметърът, α - ъгълът между диагонала и дължината, β - остър ъгъл, която се образува от двата диагонала. Методи за намиране на дължините на страните:

• С помощта на диагонал и известна партия: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Въз основа на площта на фигурата и една от нейните страни: a = S / b, b = S / a.
• Използване на периметъра и известната страна: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• През диагонала и ъгъла между него и дължината: a = d sinα, b = d cosα.
• През диагонала и ъгъл β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Периметър и площ

Периметърът на четириъгълник се наричасумата от дължините на всичките му страни. За изчисляване на периметъра могат да се използват следните формули:

• През двете страни: P = 2 (a + b).
• През областта и една от страните: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Площта е пространството, оградено от периметър. Три основни начина за изчисляване на площта:

• През дължините на двете страни: S = a*b.
• Използвайки периметъра и която и да е известна страна: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Диагонал и ъгъл β: S = 0,5 d² sinβ.

Проблемите в училищен курс по математика често изискват добро владеене на свойства на диагоналите на правоъгълник. Изброяваме основните:

1. Диагоналите са равни един на друг и се разделят на две равни отсечки в точката на тяхното пресичане.
2. Диагоналът се определя като корен от сумата на двете страни на квадрат (следва от Питагоровата теорема).
3. Диагоналът разделя правоъгълник на два правоъгълни триъгълника.
4. Пресечната точка съвпада с центъра на описаната окръжност, а самите диагонали съвпадат с нейния диаметър.

За изчисляване на дължината на диагонала се използват следните формули:

• Използвайки дължината и ширината на фигурата: d = √(a² + b²).
• Използвайки радиуса на окръжност, описана около четириъгълник: d = 2 R.

Определение и свойства на квадрат

Квадратът е специален случай на ромб, паралелограм или правоъгълник. Разликата му от тези фигури е, че всичките му ъгли са прави и четирите страни са равни. Квадратът е правилен четириъгълник.

Четириъгълник се нарича квадрат в следните случаи:

1. Ако това е правоъгълник, чиято дължина a и ширина b са равни.
2. Ако е ромб с равни дължинидиагонали и с четири прави ъгъла.

Свойствата на квадрат включват всички обсъдени по-рано свойства, свързани с правоъгълник, както и следното:

1. Диагоналите са перпендикулярни един на друг (свойство на ромба).
2. Пресечната точка съвпада с центъра на вписаната окръжност.
3. Двата диагонала разделят четириъгълника на четири равни правоъгълни и равнобедрени триъгълника.

Ето кои са често използваните формули за изчисления на периметър, площ и квадратни елементи:

• Диагонал d = a √2.
• Периметър P = 4 a.
• Площ S = a².
• Радиусът на описаната окръжност е половината от диагонала: R = 0,5 a √2.
• Радиусът на вписаната окръжност се определя като половината от дължината на страната: r = a / 2.

Примерни въпроси и задачи

Нека да разгледаме някои въпроси, които може да срещнете, когато изучавате курс по математика в училище, и да решим няколко прости задачи.

Проблем 1. Как ще се промени площта на правоъгълник, ако дължината на страните му се утрои?

Решение : Нека означим площта на оригиналната фигура като S0, а площта на четириъгълник с тройна дължина на страните като S1. Използвайки формулата, обсъдена по-рано, получаваме: S0 = ab. Сега нека увеличим дължината и ширината с 3 пъти и напишем: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Сравнявайки S0 и S1, става очевидно, че втората област е 9 пъти по-голяма от първата.

Въпрос 1. Квадрат ли е четириъгълник с прави ъгли?

Решение : От определението следва, че фигура с прави ъгли е квадрат само ако дължините на всичките й страни са равни. В други случаи фигурата е правоъгълник.

Проблем 2. Диагоналите на правоъгълник образуват ъгъл от 60 градуса. Ширината на правоъгълника е 8. Пресметнете колко е диагоналът.

Решение:Спомнете си, че диагоналите са разделени наполовина от точката на пресичане. Така се занимаваме с равнобедрен триъгълникс ъгъл на върха 60°. Тъй като триъгълникът е равнобедрен, ъглите в основата също ще бъдат еднакви. Чрез прости изчисления намираме, че всеки от тях е равен на 60°. От това следва, че триъгълникът е равностранен. Знаемата ни ширина е основата на триъгълника, следователно половината от диагонала също е равна на 8, а дължината на целия диагонал е два пъти по-голяма и равна на 16.

Въпрос 2. Правоъгълникът има ли всички страни равни или не?

Решение : Достатъчно е да запомните, че всички страни трябва да са равни в квадрат, който е специален случай на правоъгълник. Във всички останали случаи достатъчно условие е наличието на поне 3 прави ъгъла. Равенството на страните не е задължителен признак.

Проблем 3. Площта на квадрата е известна и равна на 289. Намерете радиусите на вписаната и описаната окръжност.

Решение : Използвайки формулите за квадрат, ще извършим следните изчисления:

• Да определим на какво са равни основните елементи на квадрата: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Нека изчислим радиуса на окръжността, описана около четириъгълника: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Нека намерим радиуса на вписаната окръжност: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.