تابع تعریف شده تکه ای توابع تکه تکه

اهداف درس: در این درس با توابعی آشنا می شوید که نه با یک فرمول، بلکه توسط چندین فرمول مختلف در فواصل زمانی مختلف داده می شوند.

توابع تعریف شده توسط فرمول های مختلف در فواصل مختلف دامنه تعریف

بیایید به یک وضعیت مثال نگاه کنیم.

مثال 1.

عابر پیاده حرکت خود را در نقطه A با سرعت 4 کیلومتر در ساعت آغاز کرد و 2.5 ساعت پیاده روی کرد. پس از آن توقف کرد و 0.5 ساعت استراحت کرد. وی پس از استراحت با سرعت 2.5 کیلومتر بر ساعت به حرکت خود ادامه داد و 2 ساعت دیگر حرکت کرد. وابستگی تغییر فاصله از عابر پیاده به نقطه A را در طول زمان شرح دهید.

توجه داشته باشید که کل زمانزمانی که یک عابر پیاده در جاده می گذرد 5 ساعت است. با این حال، در دوره های زمانی مختلف، عابر پیاده به روش های مختلف از نقطه A دور می شود.

برای 2.5 ساعت اول او با سرعت 4 کیلومتر در ساعت حرکت کرد، بنابراین وابستگی فاصله بین عابر پیاده و نقطه A به زمان را می توان با فرمول بیان کرد:

S(t) = 4تی, .

او 0.5 ساعت بعد استراحت کرد، بنابراین فاصله بین او و نقطه A تغییر نکرد و 10 کیلومتر بود، یعنی می‌توانیم بنویسیم: S(t) = 10, .

در 2 ساعت گذشته او با سرعت 2.5 کیلومتر در ساعت حرکت می کرد و فرمول وابستگی فاصله بین عابر پیاده و نقطه A به زمان را می توان با فرمول بیان کرد:

S(t) = 10 + 2,5(تی – 3), .

بنابراین، با ترکیب عبارات به دست آمده به طور متوالی، وابستگی زیر را به دست می آوریم که با سه فرمول مختلف در فواصل مختلف دامنه تعریف بیان می شود:

دامنه تعریف این تابع فاصله است. مجموعه ارزش مجموعه ای از اعداد است.

شکل 1 نمودار این تابع را نشان می دهد:

شکل 1. نمودار یک تابع

همانطور که می بینیم، این یک خط شکسته است که از سه پیوند مربوط به سه بازه دامنه تعریف است که وابستگی به هر یک از آنها با فرمول خاصی بیان می شود.

مثال 2.

اجازه دهید تابع با فرمول داده شود: . بیایید ماژول را گسترش دهیم و این تابع را رسم کنیم:

وقتی می گیریم: .
وقتی می گیریم: .

یعنی تابع را می توان به صورت زیر نوشت:

حالا بیایید نمودار آن را بسازیم. در مقادیر منفیمتغیر، نمودار با خط مستقیم منطبق خواهد شد y = 3x+ 1، و برای مقادیر غیر منفی متغیر، نمودار با خط مستقیم منطبق خواهد شد. y = x + 1.

نمودار در شکل 2 نشان داده شده است.

برنج. 2. نمودار یک تابع

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم.

مثال 3.

تابع توسط نمودار نشان داده شده است (شکل 3 را ببینید):

تابع را با یک فرمول مشخص کنید.

دامنه تعریف این تابع از اعداد تشکیل شده است: .

همه حوزه تعریفبه سه بازه تقسیم می شود:

1.
2.
3.

در هر یک از این بازه ها تابع با فرمول های مختلف داده می شود. هر یک از توابعی که یک تابع را در بازه ها تعریف می کنند خطی هستند. بیایید این توابع را پیدا کنیم.

1. در بازه اول تابع y = kx + bاز نقطه (-6; -4) و نقطه (2; 4) عبور می کند.

–4 = –6ک + ب
4 = 2k + b

اجازه دهید از معادله اول بیان کنیم بو معادله دوم را جایگزین کنید:

ب = –4 + 6ک
4 = 2ک –4 + 6ک

از اینجا می گیریم ک= 1. سپس محاسبه می کنیم ب = 2.

توجه داشته باشید که ضرایب را می توان متفاوت یافت: نمودار محور op-amp را در نقطه (0؛ 2) قطع می کند. این به این معنی است که ب = 2.

شیب تابع مثبت است. نمودار نشان می دهد که وقتی مقدار تغییر می کند Xبا 1 مقدار y نیز به 1 تغییر می کند. این بدان معنی است که ک = 1.

y = x + 2.

2. در بازه دوم تابع y = kx + bاز نقطه (2؛ 4) و نقطه (6؛ 2) عبور می کند.

بیایید مختصات این نقاط را به معادله خط مستقیم تبدیل کنیم:

4 = 2ک + ب
2 = 6ک + ب

ب = 4 – 2ک
2 = 6ک + 4 – 2ک

از اینجا می گیریم ک= -0.5. سپس محاسبه می کنیم ب = 5.

یعنی ما یک عبارت برای تابع در بازه دریافت کردیم: y = –0,5x + 5.

3. در بازه سوم تابع y = kx + bاز نقطه (6؛ 2) و نقطه (9؛ 11) عبور می کند.

بیایید مختصات این نقاط را به معادله خط مستقیم تبدیل کنیم:

2 = 6ک + ب
11 = 9ک + ب

بیایید b را از معادله اول بیان کنیم و آن را با معادله دوم جایگزین کنیم:

ب = 2 – 6ک
11 = 9ک + 2 – 6ک

از اینجا می گیریم ک= 3. سپس محاسبه می کنیم ب = –16.

یعنی ما یک عبارت برای تابع در بازه دریافت کردیم: y = 3x – 16.

فرآیندهای واقعی که در طبیعت رخ می دهند را می توان با استفاده از توابع توصیف کرد. بنابراین، ما می توانیم دو نوع اصلی از فرآیندها را متمایز کنیم که مخالف یکدیگر هستند - اینها هستند تدریجییا مستمرو اسپاسم(یک مثال می تواند سقوط و پریدن توپ باشد). اما اگر فرآیندهای ناپیوسته وجود داشته باشد، وجود دارد وسایل خاصبرای توصیف آنها برای این منظور توابعی که دارای ناپیوستگی و پرش هستند معرفی می شوند، یعنی در قسمت های مختلف خط اعداد تابع طبق قوانین مختلفی رفتار می کند و بر این اساس با فرمول های مختلفی مشخص می شود. مفاهیم نقاط ناپیوستگی و ناپیوستگی قابل جابجایی معرفی شده اند.

مطمئناً شما قبلاً با توابعی مواجه شده اید که با چندین فرمول، بسته به مقادیر آرگومان تعریف شده اند، به عنوان مثال:

y = (x – 3، برای x > -3;
(-(x – 3)، در x< -3.

چنین توابعی نامیده می شوند به صورت تکه اییا به صورت تکه ای مشخص شده است. اجازه دهید بخش هایی از خط شماره را با فرمول های مختلف برای تعیین فراخوانی کنیم اجزاءحوزه تعریف اتحاد همه مولفه ها حوزه تعریف تابع تکه ای است. نقاطی که دامنه تعریف یک تابع را به اجزاء تقسیم می کنند نامیده می شوند نقاط مرزی. فرمول هایی که یک تابع تکه تکه بر روی هر جزء از دامنه تعریف تعریف می کنند نامیده می شوند توابع ورودی. نمودارهای توابع داده شده به صورت تکه ای با ترکیب بخش هایی از نمودارهای ساخته شده در هر یک از بازه های پارتیشن به دست می آیند.

تمرینات

نمودارهای توابع تکه ای را بسازید:

1) (-3، با -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0، برای x = 0،
(1، در 0< x ≤ 5.

نمودار تابع اول یک خط مستقیم است که از نقطه y = -3 می گذرد. از نقطه ای با مختصات (-4; -3) سرچشمه می گیرد، به موازات محور x به نقطه ای با مختصات (0; -3) می رود. نمودار تابع دوم یک نقطه با مختصات (0; 0) است. نمودار سوم مشابه نمودار اول است - این یک خط مستقیم است که از نقطه y = 1 عبور می کند، اما در حال حاضر در منطقه از 0 تا 5 در امتداد محور Ox قرار دارد.

پاسخ: شکل 1.

2) (3 اگر x ≤ -4،
f(x) = (|x 2 – 4 | x| + 3|، اگر -4 باشد< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) 2 اگر x > 4.

بیایید هر تابع را جداگانه در نظر بگیریم و نمودار آن را بسازیم.

بنابراین، f(x) = 3 یک خط مستقیم موازی با محور Ox است، اما باید فقط در ناحیه ای که x ≤ -4 است، نشان داده شود.

نمودار تابع f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| می توان از سهمی y = x 2 – 4x + 3 به دست آورد. پس از ساخت نمودار آن، بخشی از شکل که بالای محور Ox قرار دارد باید بدون تغییر باقی بماند و بخشی که در زیر محور آبسیسا قرار دارد باید به طور متقارن نمایش داده شود. به محور Ox. سپس به صورت متقارن قسمتی از نمودار را که در آن قرار دارد نمایش دهید
x ≥ 0 نسبت به محور Oy برای x منفی. نمودار به دست آمده در نتیجه همه تبدیل ها را فقط در ناحیه 4- تا 4 در امتداد محور آبسیسا باقی می گذاریم.

نمودار تابع سوم سهمی است که شاخه‌های آن به سمت پایین و راس آن در نقطه‌ای با مختصات قرار دارد (4؛ 3). ما نقاشی را فقط در ناحیه ای نشان می دهیم که x > 4 باشد.

پاسخ: شکل 2.

3) (8 - (x + 6) 2 اگر x ≤ -6،
f(x) = (|x 2 - 6|x| + 8|، اگر -6 ≤ x< 5,
(3 اگر x ≥ 5.

ساخت تابع ارائه شده به صورت تکه ای مشابه پاراگراف قبلی است. در اینجا نمودارهای دو تابع اول از تبدیل سهمی به دست می آیند و نمودار سوم یک خط مستقیم موازی با Ox است.

پاسخ: شکل 3.

4) تابع y = x – |x| را رسم کنید + (x – 1 – |x|/x) 2 .

راه حل.دامنه این تابع همه اعداد حقیقی به جز صفر است. بیایید ماژول را گسترش دهیم. برای این کار دو مورد را در نظر بگیرید:

1) برای x > 0، y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 را بدست می آوریم.

2) در x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

بنابراین، ما یک قطعه قطعه را پیش روی خود داریم عملکرد داده شده:

y = ((x – 2) 2، برای x > 0;
( x 2 + 2x، در x< 0.

نمودارهای هر دو تابع سهمی هستند که شاخه های آن به سمت بالا هدایت می شوند.

پاسخ: شکل 4.

5) نموداری از تابع y = (x + |x|/x – 1) رسم کنید 2.

راه حل.

به راحتی می توان فهمید که دامنه تابع همه اعداد واقعی به جز صفر است. پس از گسترش ماژول، یک تابع به صورت تکه ای به دست می آوریم:

1) برای x > 0 y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 را بدست می آوریم.

2) در x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

بیایید آن را بازنویسی کنیم.

y = (x 2، برای x > 0;
((x – 2) 2، در x< 0.

نمودار این توابع سهمی هستند.

پاسخ: شکل 5.

6) آیا تابعی وجود دارد که نمودار آن در صفحه مختصات نقطه مشترکی با هر خط مستقیم داشته باشد؟

راه حل.

بله وجود دارد.

یک مثال می تواند تابع f(x) = x 3 باشد. در واقع، نمودار سهمی مکعبی با خط عمودی x = a در نقطه (a؛ a 3) قطع می شود. اکنون خط مستقیم را با معادله y = kx + b به دست می دهیم. سپس معادله
x 3 – kx – b = 0 دارد ریشه واقعی x 0 (زیرا یک چند جمله ای با درجه فرد همیشه حداقل یک ریشه واقعی دارد). در نتیجه، نمودار تابع با خط مستقیم y = kx + b، به عنوان مثال، در نقطه (x 0; x 0 3) قطع می شود.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

انتساب تابع تحلیلی

تابع %%y = f(x)، x \در X%% داده شده است به روش تحلیلی صریح، اگر فرمولی داده شود که دنباله ای از عملیات ریاضی را نشان می دهد که باید با آرگومان %%x%% انجام شود تا مقدار %%f(x)%% این تابع به دست آید.

مثال

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5، x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5)، x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x)، x \geq 0%%.

بنابراین، به عنوان مثال، در فیزیک، با حرکت شتاب یکنواخت مستطیل، سرعت یک جسم با فرمول %%v = v_0 + a t%%، و فرمول حرکت %%s%% یک جسم با شتاب یکنواخت تعیین می‌شود. حرکت در بازه زمانی از %%0%% تا %% t%% به صورت: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %% نوشته می‌شود.

توابع تعریف شده تکه ای

گاهی اوقات تابع مورد نظر را می توان با چندین فرمول مشخص کرد که در بخش های مختلف دامنه تعریف آن عمل می کنند، که در آن آرگومان تابع تغییر می کند. به عنوان مثال: $$ y = \begin(موارد) x ^ 2،~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

توابع از این نوع گاهی اوقات نامیده می شود کامپوزیتیا به صورت تکه ای مشخص شده است. نمونه ای از چنین تابعی %%y = |x|%% است.

دامنه تابع

اگر تابعی به روش تحلیلی صریح و با استفاده از یک فرمول مشخص شده باشد، اما دامنه تعریف تابع در قالب مجموعه %%D%% مشخص نشده باشد، در این صورت همیشه منظور از %%D%% مجموعه خواهد بود. از مقادیر آرگومان %%x%% که برای آن این فرمولمعنا پیدا می کند. بنابراین برای تابع %%y = x^2%% دامنه تعریف مجموعه %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%% است، زیرا آرگومان %%x%% می تواند هر مقداری را در نظر بگیرد خط شماره. و برای تابع %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% دامنه تعریف مجموعه مقادیر %%x%% خواهد بود که نابرابری %1 را برآورده می‌کند. x^2 > 0%%, t .e. %%D = (-1، 1)%%.

مزایای مشخص کردن صریح یک تابع به صورت تحلیلی

توجه داشته باشید که روش تحلیلی صریح برای تعیین یک تابع کاملا فشرده است (فرمول معمولا فضای کمی را اشغال می کند)، به راحتی قابل بازتولید است (نوشتن فرمول دشوار نیست) و برای انجام عملیات و تبدیل های ریاضی مناسب ترین است. روی توابع

برخی از این عملیات - جبری (جمع، ضرب، و غیره) - به خوبی شناخته شده است دوره مدرسهریاضیات، سایرین (تمایز، ادغام) در آینده مورد مطالعه قرار خواهند گرفت. با این حال، این روش همیشه واضح نیست، زیرا ماهیت وابستگی تابع به آرگومان همیشه واضح نیست و گاهی اوقات برای یافتن مقادیر تابع (در صورت لزوم) محاسبات دست و پا گیر مورد نیاز است.

تخصیص تابع ضمنی

تابع %%y = f(x)%% تعریف شده است به روش تحلیلی ضمنی، اگر رابطه $$F(x,y) = 0 داده شود، ~~~~~~~~~~(1)$$ مقادیر تابع %%y%% و آرگومان %% را به هم متصل می کند. x%%. اگر مقادیر آرگومان را مشخص کنید، برای یافتن مقدار %%y%% مربوط به مقدار خاص %%x%%, باید معادله %%(1)%% را برای %% حل کنید. y%% در این مقدار خاص %%x%%.

برای ارزش داده شده%%x%% معادله %%(1)%% ممکن است راه حل نداشته باشد یا بیش از یک راه حل داشته باشد. در حالت اول، مقدار مشخص شده %%x%% به دامنه تعریف تابع مشخص شده به طور ضمنی تعلق ندارد و در حالت دوم مشخص می کند. تابع چند ارزشی، که برای یک مقدار آرگومان معین بیش از یک معنی دارد.

توجه داشته باشید که اگر معادله %%(1)%% را بتوان به طور صریح با توجه به %%y = f(x)%% حل کرد، در این صورت همان تابع را بدست می آوریم، اما قبلاً به روش تحلیلی صریح مشخص شده است. بنابراین، معادله %%x + y^5 - 1 = 0%%

و برابری %%y = \sqrt(1 - x)%% همان تابع را تعریف می کند.

مشخصات تابع پارامتری

وقتی وابستگی %%y%% به %%x%% مستقیماً داده نمی‌شود، اما در عوض وابستگی‌های هر دو متغیر %%x%% و %%y%% به متغیر کمکی سوم %%t%% داده می‌شود. در فرم

$$ \begin(cases) x = \varphi(t)، \\ y = \psi(t)، \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R)، ~~~~~ ~~~~~ (2) $$در مورد آنچه صحبت می کنند پارامتریکروش تعیین تابع؛

سپس متغیر کمکی %%t%% پارامتر نامیده می شود.

اگر بتوان پارامتر %%t%% را از معادلات %%(2)%% حذف کرد، به تابعی می‌رسیم که با وابستگی تحلیلی صریح یا ضمنی %%y%% در %%x%% تعریف شده است. . به عنوان مثال، از روابط $$ \begin(موارد) x = 2 t + 5، \\ y = 4 t + 12، \end(موارد)، ~~~t \in \mathbb(R)، $$ به جز برای پارامتر % %t%% وابستگی %%y = 2 x + 2%% را بدست می آوریم که یک خط مستقیم را در صفحه %%xOy%% تعریف می کند.

روش گرافیکی

مثالی از تعریف تابع گرافیکی

مثال های بالا نشان می دهد که روش تحلیلی تعیین یک تابع با آن مطابقت دارد تصویر گرافیکی، که می توان آن را شکلی مناسب و بصری برای توصیف یک تابع دانست. گاهی اوقات استفاده می شود روش گرافیکیتعیین یک تابع زمانی که وابستگی %%y%% به %%x%% توسط یک خط در صفحه %%xOy%% مشخص شود. با این حال، با وجود تمام وضوح، دقت را از دست می دهد، زیرا مقادیر آرگومان و مقادیر تابع مربوطه را می توان فقط به طور تقریبی از نمودار به دست آورد. خطای حاصل به مقیاس و دقت اندازه گیری ابسیسا و ترتیب نقاط منفرد روی نمودار بستگی دارد. در آینده، ما به نمودار یک تابع فقط نقش نشان دادن رفتار تابع را اختصاص خواهیم داد و بنابراین خود را به ساختن «طرح‌هایی» از نمودارها محدود می‌کنیم که ویژگی‌های اصلی توابع را منعکس می‌کنند.

روش جدولی

توجه داشته باشید روش جدولیتخصیص تابع، زمانی که برخی از مقادیر آرگومان و مقادیر تابع مربوطه در یک جدول به ترتیب خاصی قرار می گیرند. میزهای معروف اینگونه ساخته می شوند توابع مثلثاتی، جداول لگاریتم و غیره رابطه بین کمیت های اندازه گیری شده در مطالعات تجربی، مشاهدات و آزمون ها معمولاً در قالب یک جدول ارائه می شود.

نقطه ضعف این روش این است که تعیین مستقیم مقادیر تابع برای مقادیر آرگومان موجود در جدول غیرممکن است. اگر اطمینان وجود داشته باشد که مقادیر آرگومان ارائه نشده در جدول متعلق به دامنه تعریف تابع مورد نظر است، می توان مقادیر تابع مربوطه را تقریباً با استفاده از درون یابی و برون یابی محاسبه کرد.

مثال

روش های الگوریتمی و کلامی تعیین توابع

عملکرد را می توان تنظیم کرد الگوریتمی(یا نرم افزار) به نحوی که در محاسبات کامپیوتری کاربرد فراوانی دارد.

در نهایت می توان به آن اشاره کرد توصیفی(یا کلامی) راهی برای تعیین یک تابع، زمانی که قانون تطبیق مقادیر تابع با مقادیر آرگومان در کلمات بیان می شود.

برای مثال، تابع %%[x] = m~\forall (x \in , ثابت (-∞; -5];4. محدود بودن - محدود از پایین5. بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع - y max = 0، y max - وجود ندارد.6. تداوم - پیوسته در سراسر دامنه تعریف.7. دامنه مقادیر هم به سمت پایین و هم بالا محدب است (-∞؛ -5] و [-2؛ +∞).VI. بازتولید دانش در سطحی جدید. می دانید که ساخت و مطالعه نمودارهای توابع داده شده به صورت تکه ای در قسمت دوم امتحان جبر در قسمت توابع پوشش داده شده و با 4 و 6 امتیاز ارزیابی می شود. بیایید به مجموعه کارها بپردازیم. صفحه 119 - شماره 4.19-1). x -2 -1 0 1 2 y -4 -1 0 1 4 2) y = 3x – 10، - تابع خطی، نمودار - مستقیمبیایید جدولی از چند مقدار تهیه کنیمx 3 3 y 0 -1 3) y= -3x -10، - تابع خطی، نمودار - مستقیمبیایید جدولی از چند مقدار تهیه کنیم x -3 -3 y 0 -1 4) بیایید نمودارهای توابع را در یک سیستم مختصات بسازیم و بخش هایی از نمودارها را در فواصل زمانی مشخص انتخاب کنیم.
اجازه دهید از نمودار دریابیم که در چه مقادیری از x مقادیر تابع غیر منفی هستند.پاسخ: f(x)  0 در x = 0 و در  3 VII. روی کارهای غیر استاندارد کار کنید. شماره 4.29-1)، صفحه 121.راه حل: 1) خط مستقیم (سمت چپ) y = kx + b از نقاط (-4;0) و (-2;2) عبور می کند. این به معنای -4 k + b = 0، -2 k + b = 2 است.
k = 1، b = 4، y = x+4. پاسخ: x +4، اگر x -2 باشد y = اگر -2  x 3 پوند 3 اگر x  3
VIII.کنترل دانش. بنابراین، اجازه دهید به طور خلاصه خلاصه کنیم. در درس برنامه ریزی برای مطالعه توابع، مراحل ساخت نمودار یک تابع، مشخص کردن یک تابع به صورت تحلیلی، چه چیزی را تکرار کردیم؟ بیایید بررسی کنیم که چگونه به این مطالب تسلط دارید. آزمایش برای "4" - "5"، "3" گزینه I شماره U
2 1 -1 -1 1 X

D(f) = ، محدب بالا و پایین در ، محدب بالا و پایین در ، کاهش می یابد در ________ محدود به ____________ اصلاً وجود ندارد، حداکثر =_____ پیوسته در کل دامنه تعریف E(f) = ____________ Conve و در کل منطقه تعریف