دستورالعمل
اگر بازه بخشی از یک دنباله عددی پیوسته است، برای یافتن وسط آن، از روش های ریاضی برای محاسبه میانگین حسابی استفاده کنید. حداقل مقدار (شروع آن) را به حداکثر () اضافه کنید و نتیجه را به نصف تقسیم کنید - این یکی از راه های محاسبه میانگین حسابی است. به عنوان مثال، این امر در مورد سن صدق می کند فاصلهایکس. بیایید بگوییم میانسالی فاصلهدر محدوده 21 سال تا 33 سال، علامت 27 سال وجود دارد، زیرا (21 + 33) / 2 = 27.
گاهی اوقات استفاده از روش متفاوتی برای محاسبه میانگین حسابی بین کران بالا و پایین راحت تر است. فاصله. در این نوع، ابتدا عرض محدوده را تعیین کنید - حداقل را از مقدار حداکثر کم کنید. سپس مقدار حاصل را به نصف تقسیم کرده و نتیجه را به حداقل مقدار محدوده اضافه کنید. به عنوان مثال، اگر مقدار پایین 47.15 و مقدار بالا 79.13 باشد، عرض محدوده 79.13-47.15=31.98 خواهد بود. سپس وسط فاصله 63.14 خواهد بود، زیرا 47.15+ (31.98/2) = 47.15+15.99 = 63.14.
اگر بازه بخشی از دنباله عددی معمولی نیست، آن را محاسبه کنید وسطمطابق با چرخه و بعد مقیاس اندازه گیری مورد استفاده. به عنوان مثال، اگر ما در مورد یک دوره تاریخی صحبت می کنیم، آنگاه میانه فاصلهتاریخ تقویم مشخصی خواهد بود. بنابراین برای فاصلهاز 1 ژانویه 2012 تا 31 ژانویه 2012، نقطه میانی 16 ژانویه 2012 خواهد بود.
علاوه بر فواصل معمول (بسته)، روش های تحقیق آماری می توانند با روش های "باز" نیز عمل کنند. برای چنین محدوده هایی، یکی از مرزها تعریف نشده است. به عنوان مثال، یک بازه باز ممکن است به عنوان "50 سال سن یا بیشتر" تعریف شود. وسط در این مورد با روش قیاس تعیین می شود - اگر همه دامنه های دیگر دنباله مورد بررسی دارای عرض یکسان باشند، فرض می شود که این بازه باز یکسان است. در غیر این صورت، باید دینامیک عرض فواصل قبل از باز و عرض مشروط آن را بر اساس روند تغییر حاصل تعیین کنید.
منابع:
- بازه باز چیست
هنگام مطالعه تنوع - تفاوت در مقادیر فردی یک صفت در واحدهای جمعیت مورد مطالعه - تعدادی شاخص مطلق و نسبی محاسبه می شود. در عمل، ضریب تغییرات بیشترین کاربرد را در بین شاخص های نسبی پیدا کرده است.
دستورالعمل
توجه داشته باشید که ضریب تغییرات در عمل نه تنها برای مقایسه تنوع، بلکه برای مشخص کردن همگنی جمعیت استفاده می‌شود. اگر این شاخص از 0.333 یا 33.3 درصد تجاوز نکند، تنوع صفت ضعیف و اگر بیشتر از 0.333 باشد، قوی در نظر گرفته می شود. در صورت تنوع قوی، جامعه آماری مورد مطالعه ناهمگن و مقدار متوسط غیر معمول در نظر گرفته می شود و نمی توان از آن به عنوان شاخص تعمیم دهنده این جامعه استفاده کرد. حد پایین ضریب تغییرات صفر است و حد بالایی وجود ندارد. با این حال، همراه با افزایش تنوع یک ویژگی، ارزش آن نیز افزایش می یابد.
هنگام محاسبه ضریب تغییرات، باید از میانگین انحراف استفاده کنید. به عنوان ریشه مربع تعریف می شود که به نوبه خود می توانید آن را به صورت زیر بیابید: D \u003d Σ (X-Xav) ^ 2 / N. به عبارت دیگر، واریانس مجذور میانگین انحراف از میانگین حسابی است. تعیین می کند که شاخص های خاص سری به طور متوسط چقدر از مقدار میانگین خود انحراف دارند. این معیار مطلق برای نوسانات یک صفت است و بنابراین به وضوح تفسیر می شود.
بعد از کار پر زحمت، ناگهان متوجه شدم که اندازه صفحات وب بسیار بزرگ است و اگر به همین منوال پیش برود، می توانید بی سر و صدا بی رحم شوید =) بنابراین، من یک مقاله کوچک در مورد یک مشکل هندسی بسیار رایج به شما توجه می کنم. - در مورد تقسیم بندی از این نظرو به عنوان یک مورد خاص در مورد تقسیم یک بخش به نصف.
به هر دلیلی، این کار در دروس دیگر نمی گنجید، اما اکنون فرصت بسیار خوبی برای بررسی جزئیات و آهسته آن وجود دارد. خبر خوب این است که ما کمی از بردارها فاصله می گیریم و روی نقاط و پاره خط ها تمرکز می کنیم.
فرمول های تقسیم بخش در این رابطهمفهوم تقسیم بخش در این رابطه
مفهوم تقسیم بخش در این رابطه
اغلب لازم نیست که اصلا منتظر چیزی باشید که وعده داده شده است، ما فوراً چند نکته و به وضوح باورنکردنی یک بخش را در نظر خواهیم گرفت:
مسئله مورد بررسی هم برای بخش هایی از صفحه و هم برای بخش هایی از فضا معتبر است. یعنی قطعه نمایشی را می توان به هر شکلی در هواپیما یا در فضا قرار داد. برای سهولت در توضیح آن را به صورت افقی کشیدم.
با این بخش چه کنیم؟ این بار دیدم یکی در حال اره کردن بودجه است، یکی در حال اره کردن همسر، دیگری در حال اره کردن هیزم است و ما شروع به اره کردن یک بخش به دو قسمت می کنیم. بخش با استفاده از نقطه ای به دو قسمت تقسیم می شود که البته مستقیماً روی آن قرار دارد:
در این مثال، نقطه، بخش را به گونه‌ای تقسیم می‌کند که قطعه دو برابر کوتاهتر از قطعه باشد. هنوز هم می‌توانیم بگوییم که نقطه با شمارش از بالا، بخش را در رابطه ("یک به دو") تقسیم می‌کند.
در زبان خشک ریاضی این واقعیت به صورت زیر نوشته می شود: یا بیشتر به صورت نسبت آشنا: . نسبت بخش ها معمولا با حرف یونانی "لامبدا" نشان داده می شود، در این مورد: .
به راحتی می توان نسبت را به ترتیب متفاوتی تنظیم کرد: - این رکورد به این معنی است که طول بخش دو برابر بخش است، اما این هیچ اهمیت اساسی برای حل مسائل ندارد. می تواند چنین باشد و می تواند چنین باشد.
البته، تقسیم بندی این بخش از جنبه های دیگر آسان است و به عنوان تقویت کننده این مفهوم، مثال دوم:
در اینجا نسبت معتبر است: . اگر نسبت را برعکس کنیم، به دست می آید: .
پس از اینکه فهمیدیم تقسیم بخش از این نظر به چه معناست، اجازه دهید به بررسی مشکلات عملی بپردازیم.
اگر دو نقطه از صفحه مشخص باشد، مختصات نقطه ای که بخش را نسبت به آن تقسیم می کند با فرمول های زیر بیان می شود: 
این فرمول ها از کجا آمده اند؟ در دوره هندسه تحلیلی، این فرمول ها دقیقاً با استفاده از بردارها مشتق می شوند (بدون آنها کجا خواهیم بود؟ =)). علاوه بر این، آنها نه تنها برای سیستم مختصات دکارتی، بلکه برای یک سیستم مختصات وابسته دلخواه نیز معتبر هستند (به درس مراجعه کنید وابستگی خطی (غیر) بردارها. مبنای برداری). این وظیفه جهانی است.
مثال 1
در صورت مشخص بودن نقاط، مختصات نقطه ای را که بخش را نسبت به تقسیم می کند، پیدا کنید 
راه حل: در این مشکل . با توجه به فرمول های تقسیم بخش از این نظر، به این نکته پی می بریم: 
پاسخ:
به تکنیک محاسبه توجه کنید: ابتدا باید صورت را جداگانه و مخرج را جداگانه محاسبه کنید. نتیجه اغلب (اما به هیچ وجه همیشه) یک کسری سه یا چهار طبقه است. پس از آن، از کسری چند طبقه خلاص می شویم و ساده سازی های نهایی را انجام می دهیم.
این کار نیازی به نقاشی ندارد، اما تکمیل آن در یک پیش نویس همیشه مفید است:
در واقع، رابطه ارضا می شود، یعنی قطعه سه برابر کوتاهتر از بخش است. اگر نسبت واضح نباشد، آنگاه می توان بخش ها را همیشه به طرز احمقانه ای با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.
معادل راه دوم برای حل: در آن، شمارش معکوس از یک نقطه شروع می شود و رابطه منصفانه است: 
(به زبان انسان، قطعه سه برابر بیشتر از قطعه است). طبق فرمول های تقسیم یک بخش از این نظر: 
پاسخ:
توجه داشته باشید که در فرمول ها لازم است مختصات نقطه را به مکان اول منتقل کنید، زیرا تریلر کوچک با آن شروع شد.
همچنین می توان دریافت که روش دوم به دلیل محاسبات ساده تر، منطقی تر است. اما هنوز، این مشکل اغلب به ترتیب "سنتی" حل می شود. به عنوان مثال، اگر یک بخش با شرط داده شود، فرض می شود که شما یک نسبت را تشکیل می دهید، اگر یک بخش داده شود، " ضمنا" به معنای نسبت است.
و من روش دوم را به این دلیل ذکر کردم که اغلب آنها سعی می کنند عمداً شرایط مشکل را اشتباه بگیرند. به همین دلیل است که انجام یک نقشه پیش نویس به منظور اولاً تجزیه و تحلیل صحیح شرایط و ثانیاً برای اهداف تأیید بسیار مهم است. حیف است در چنین کار ساده ای اشتباه کنید.
مثال 2
امتیاز داده شده 
. پیدا کردن:
الف) نقطه ای که بخش را با توجه به ;
ب) نقطه ای که بخش را نسبت به .
این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.
گاهی اوقات مشکلاتی وجود دارد که یکی از انتهای بخش ناشناخته است:
مثال 3
نقطه متعلق به بخش است. مشخص است که طول قطعه دو برابر قطعه است. اگر نقطه ای پیدا کنید 
.
راه حل: از شرطی که نقطه با شمارش از بالا قسمت را نسبت به تقسیم می کند نتیجه می گیرد، یعنی نسبت معتبر است: . طبق فرمول های تقسیم یک بخش از این نظر: 
اکنون مختصات نقطه : را نمی دانیم، اما این مشکل خاصی نیست، زیرا می توان آنها را به راحتی از فرمول های بالا بیان کرد. به طور کلی، ارزش بیان چیزی را ندارد، جایگزین کردن اعداد خاص و رسیدگی دقیق به محاسبات بسیار ساده تر است: 
پاسخ:
برای بررسی، می توانید انتهای بخش را بگیرید و با استفاده از فرمول ها به ترتیب مستقیم، مطمئن شوید که نسبت واقعاً یک نقطه است. و، البته، البته، یک نقاشی اضافی نخواهد بود. و برای اینکه در نهایت شما را از مزایای یک نوت بوک شطرنجی، یک مداد ساده و یک خط کش متقاعد کنم، یک کار دشوار را برای یک راه حل مستقل پیشنهاد می کنم:
مثال 4
نقطه . بخش یک و نیم برابر کوتاهتر از بخش است. اگر مختصات نقاط مشخص باشد نقطه ای را پیدا کنید 
.
راه حل در پایان درس. به هر حال، این تنها یکی نیست، اگر راه متفاوتی با نمونه بروید، این اشتباه نخواهد بود، نکته اصلی این است که پاسخ ها مطابقت دارند.
برای بخش های فضایی، همه چیز دقیقاً یکسان خواهد بود، فقط یک مختصات دیگر اضافه می شود.
اگر دو نقطه در فضا مشخص باشد، مختصات نقطه ای که بخش را نسبت به آن تقسیم می کند با فرمول های زیر بیان می شود:
.
مثال 5
امتیاز داده می شود. مختصات یک نقطه متعلق به پاره را در صورت معلوم بودن آن بیابید 
.
راه حل: رابطه از شرط به دست می آید: 
. این مثال از یک آزمایش واقعی گرفته شده است و نویسنده آن به خود اجازه داد کمی شوخی کند (ناگهان کسی دچار لغزش می شود) - منطقی تر است که نسبت را در شرایط به این صورت بنویسیم: 
.
طبق فرمول مختصات وسط قطعه:
پاسخ: 
اجرای نقشه های سه بعدی برای اهداف تأیید بسیار دشوارتر است. با این حال، همیشه می‌توانید یک نقشه شماتیک ایجاد کنید تا حداقل شرایط را درک کنید - کدام بخش‌ها باید با هم مرتبط شوند.
در مورد کسرهای پاسخ تعجب نکنید، رایج است. بارها گفتم، اما تکرار می‌کنم: در ریاضیات بالاتر مرسوم است که از کسرهای معمولی و نامناسب استفاده می‌شود. در فرم پاسخ دهید 
انجام خواهد شد، اما نوع با کسرهای نامناسب استانداردتر است.
کار گرم کردن برای راه حل مستقل:
مثال 6
امتیاز داده می شود. مختصات نقطه را بیابید اگر معلوم باشد که آن نقطه را با توجه به تقسیم می کند.
راه حل و پاسخ در پایان درس. اگر جهت گیری در نسبت ها دشوار است، یک نقشه شماتیک ایجاد کنید.
در کارهای مستقل و کنترلی، نمونه های در نظر گرفته شده هم به تنهایی و هم به عنوان بخشی جدایی ناپذیر از وظایف بزرگتر یافت می شوند. از این نظر، مشکل یافتن مرکز ثقل مثلث معمولی است.
من در تجزیه و تحلیل نوعی از کار که در آن یکی از انتهای بخش ناشناخته است، اهمیت چندانی نمی بینم، زیرا همه چیز مانند یک مورد صاف به نظر می رسد، به جز اینکه کمی محاسبات بیشتر وجود دارد. بهتر است سال های مدرسه را به خاطر بسپارید:
فرمول مختصات وسط قطعه
حتی خوانندگان ناآماده نیز می توانند به یاد بیاورند که چگونه یک بخش را نصف کنند. وظیفه تقسیم یک قطعه به دو قسمت مساوی یک مورد خاص از تقسیم یک قطعه از این نظر است. اره دو دستی به دموکراتیک ترین روش کار می کند و هر همسایه پشت میز همان چوب را دریافت می کند:
در این ساعت بزرگ، طبل ها می کوبیدند و نسبت قابل توجهی را درود می فرستند. و فرمول های کلی 
به طور معجزه آسایی به چیزی آشنا و ساده تبدیل شده است: 
یک لحظه راحت این واقعیت است که مختصات انتهای بخش را می توان بدون دردسر مرتب کرد: 
در فرمول های کلی، چنین عدد لوکس، همانطور که می دانید، کار نمی کند. بله، و در اینجا نیاز خاصی به آن وجود ندارد، بنابراین، یک چیز کوچک دلپذیر.
در مورد فضایی، یک قیاس آشکار معتبر است. اگر انتهای بخش داده شود، مختصات وسط آن با فرمول بیان می شود:
مثال 7
متوازی الاضلاع با مختصات رئوس آن به دست می آید. نقطه تقاطع قطرهای آن را پیدا کنید.
راه حل: کسانی که تمایل دارند می توانند نقاشی را تکمیل کنند. من مخصوصاً گرافیتی را به کسانی که درس هندسه مدرسه را به کلی فراموش کرده اند توصیه می کنم.
طبق یک ویژگی معروف، مورب های متوازی الاضلاع با نقطه تقاطع آنها به نصف تقسیم می شوند، بنابراین مشکل را می توان به دو روش حل کرد.
روش یک: رئوس مخالف را در نظر بگیرید 
. با استفاده از فرمول های تقسیم یک قطعه به نصف، نقطه وسط قطر را پیدا می کنیم:
اغلب در مسئله C2 باید با نقاطی کار کرد که بخش را به نصف تقسیم می کنند. مختصات چنین نقاطی به راحتی محاسبه می شود اگر مختصات انتهای قطعه مشخص باشد.
بنابراین، اجازه دهید بخش با انتهای آن داده شود - نقاط A \u003d (x a; y a; z a) و B \u003d (x b; y b; z b). سپس مختصات وسط قطعه - ما آن را با نقطه H نشان می دهیم - می توان با فرمول پیدا کرد:
به عبارت دیگر، مختصات وسط یک پاره، میانگین حسابی مختصات انتهای آن است.
· یک وظیفه . مکعب واحد ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 در سیستم مختصات قرار می گیرد به طوری که محورهای x، y و z به ترتیب در امتداد لبه های AB، AD و AA 1 هدایت می شوند و مبدأ با نقطه A منطبق است. نقطه K نقطه وسط یال A 1 B یک است. مختصات این نقطه را بیابید.
راه حل. از آنجایی که نقطه K وسط پاره A 1 B 1 است، مختصات آن برابر است با میانگین حسابی مختصات انتهایی. بیایید مختصات انتهایی را بنویسیم: A 1 = (0; 0; 1) و B 1 = (1; 0; 1). حالا مختصات نقطه K را پیدا می کنیم:
پاسخ: K = (0.5; 0; 1)
· یک وظیفه . مکعب واحد ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 در سیستم مختصات قرار می گیرد به طوری که محورهای x، y و z به ترتیب در امتداد لبه های AB، AD و AA 1 هدایت می شوند و مبدأ با نقطه A منطبق است. مختصات را پیدا کنید. از نقطه L که در آن قطرهای مربع A 1 B 1 C 1 D 1 را قطع می کنند.
راه حل. از درس پلان سنجی مشخص می شود که نقطه تلاقی قطرهای یک مربع از تمام رئوس آن فاصله دارد. به طور خاص، A 1 L = C 1 L، i.e. نقطه L نقطه وسط قطعه A 1 C 1 است. اما A 1 = (0; 0; 1)، C 1 = (1; 1; 1)، بنابراین داریم:
پاسخ: L = (0.5; 0.5; 1)
ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی
اعمال با بردارها در مختصات
وظایفی که در نظر گرفته خواهند شد، بسیار مطلوب است که یاد بگیرید چگونه آنها را کاملاً خودکار حل کنید و فرمول ها حفظ کردن، حتی از عمد یادش نره، خودشون یادشون میاد =) این خیلی مهمه چون سایر مسائل هندسه تحلیلی بر اساس ساده ترین مثال های ابتدایی هستن و صرف وقت اضافی برای خوردن پیاده ها آزار دهنده خواهد بود. نیازی نیست دکمه های بالایی پیراهن خود را ببندید، چیزهای زیادی از دوران مدرسه برای شما آشنا هستند.
ارائه مطالب یک دوره موازی را دنبال می کند - هم برای هواپیما و هم برای فضا. به این دلیل که تمام فرمول های ... را خودتان خواهید دید.
چگونه می توان نقطه وسط یک قطعه را با استفاده از قطب نما پیدا کرد؟ اغلب به حکیمان یونان باستان نسبت داده می شود، با این حال، به احتمال زیاد، در فرهنگ های دیگری که در آنها ریاضیات و هندسه توسعه یافته است نیز وجود داشته است (به عنوان مثال، در مصر باستان). در زمان های قدیم، این کار کاربرد کاملاً عملی نیز داشت، زیرا دانش چگونگی یافتن وسط یک قطعه با استفاده از ساده ترین ابزار اندازه گیری، به عنوان مثال، در نقشه برداری، مدیریت زمین و ساخت و ساز مفید بود. امروزه، با وجود تجهیزات اندازه گیری پیچیده، چنین کاری بیشتر تمرینی برای رشد توانایی های فکری و تخیل فضایی دانش آموزان است.
این مشکل واقعا چگونه حل می شود؟ یک قطب نما می گیریم و آن را به گونه ای باز می کنیم که شعاع دایره پیشنهادی آشکارا بیش از نیمی از بخش داده شده باشد. اکنون پایه (سوزن) قطب نما را در یکی از نقاطی که قطعه را محدود می کند قرار دهید و یک دایره به شعاع انتخاب شده بکشید. در اصل، هنگام حل مشکل نحوه ساخت وسط یک قطعه، کافی است یک نیم دایره واقع در "داخل" قطعه رسم کنید. سپس سوزن قطب نما را در انتهای دیگر قطعه قرار می دهیم و روش ترسیم نیم دایره را تکرار می کنیم و با انجام روش توصیف شده، می بینیم که دایره های ما در دو نقطه قطع می شوند. یک خط کش بردارید و این دو نقطه را با یک خط مستقیم به هم وصل کنید. یک خط عمود بر قطعه اصلی می گیریم. نقطه تلاقی این خط و قطعه ای است که وسط دومی است.
البته در اینجا مهم است که اصل این مشکل را درک کنیم. چرا مرکز بخش دقیقاً در محل تلاقی خطوط قرار می گیرد؟ برای مثال، دانستن معنای این مسئله می‌تواند هنگام جستجوی پاسخ به این سوال که چگونه می‌توان وسط مثلث را پیدا کرد و همچنین در حل مسائل هندسی پیچیده‌تر دیگر مفید باشد. نقاط پاره اصلی با نقاط تقاطع دایره های ما، یک چهار ضلعی می گیریم. اما چه چهارضلعی؟ تمام اضلاع آن شعاع دایره های ما هستند، به این معنی که طول آنها برابر است (در نهایت ما از همان شعاع استفاده کردیم). هر چهار ضلعی با اضلاع مساوی لوزی است که مورب های آن همیشه در زوایای قائم با هم قطع می شوند و مهمتر از آن برای وظیفه ما، همدیگر را نصف می کنند. این دقیقاً منطق چنین راه حلی برای مشکل ساخت وسط یک بخش با استفاده از قطب نما است.
اگر سؤال به گونه ای متفاوت فرموله شده باشد، یعنی چگونه مختصات وسط بخش را پیدا کنید، سپس برای حل آن، باید مختصات نقاط انتهایی آن را بدانید. مختصات وسط برابر با نصف مجموع مختصات نقاط انتهای پاره خواهد بود. البته، سیستم مختصات دکارتی قبلاً در اینجا استفاده شده است، و بنابراین این وظایف ماهیت متفاوتی دارند، اگرچه مشکل مشابهی را حل می کنند.
در هر صورت حل فرمول بندی های مختلف مسائل هندسی برای رشد هوش و تفکر تخیلی کودک بسیار مفید است. بنابراین، از این ابزارهای رشد شخصی غافل نشوید.
