پیر دو فرما و قضیه "غیر قابل اثبات" او. من می خواهم یاد بگیرم - مسائل حل نشده پیر دو فرما و قضیه "غیر قابل اثبات" او

گاهی اوقات مطالعه دقیق علوم دقیق می تواند به ثمر برسد - شما نه تنها برای کل جهان شناخته می شوید، بلکه ثروتمند خواهید شد. با این حال، جوایز بیهوده داده می‌شوند، و در علم مدرن بسیاری از نظریه‌ها، قضایا و مسائل اثبات‌نشده وجود دارد که با پیشرفت علم، چند برابر می‌شوند، حداقل یادداشت‌های کوروفکا یا دنیستر، مجموعه‌هایی با فیزیکی و ریاضی غیرقابل حل، و نه تنها. ، وظایف با این حال، قضایای واقعاً پیچیده ای نیز وجود دارد که بیش از ده سال است که حل نشده اند، و مؤسسه American Clay جایزه ای به مبلغ 1 میلیون دلار برای هر کدام در نظر گرفته است. تا سال 2002، کل جکپات 7 میلیون بود، زیرا هفت "مسئله هزاره" وجود داشت، اما ریاضیدان روسی گریگوری پرلمن با کنار گذاشتن حماسی یک میلیون نفر، حدس پوانکر را حل کرد، بدون اینکه حتی در را به روی ریاضیدانان آمریکایی که می خواستند صادقانه به او بدهند باز کند. پاداش های کسب کرده بنابراین، نظریه انفجار بزرگ را برای پس‌زمینه و حال و هوا روشن می‌کنیم، و ببینیم برای چه چیز دیگری می‌توانید یک مجموع گرد را کاهش دهید.

برابری کلاس های P و NP

به زبان ساده، مسئله برابری P = NP به شرح زیر است: اگر یک پاسخ مثبت به یک سؤال را بتوان به سرعت (در زمان چند جمله ای) بررسی کرد، آیا این درست است که پاسخ این سؤال را می توان نسبتاً سریع یافت (همچنین در زمان چند جمله ای و استفاده از حافظه چند جمله ای)؟ به عبارت دیگر، آیا واقعاً بررسی راه حل مشکل آسان تر از یافتن آن نیست؟ نکته اصلی در اینجا این است که برخی از محاسبات و محاسبات به جای brute-force به صورت الگوریتمی ساده تر حل می شوند و در نتیجه در زمان و منابع زیادی صرفه جویی می شود.

فرضیه هاج

حدس هاج، که در سال 1941 فرموله شد، این است که برای انواع خاص فضاها به نام انواع جبری تصویری، به اصطلاح چرخه های هاج ترکیبی از اجسام هستند که تفسیر هندسی دارند - چرخه های جبری.

در اینجا با توضیح ساده می توان این موارد را بیان کرد: در قرن بیستم اشکال هندسی بسیار پیچیده ای مانند بطری های منحنی کشف شد. بنابراین، پیشنهاد شد که برای ساخت این اشیاء برای توصیف، لازم است از فرم‌های کاملاً گیج‌کننده استفاده شود که جوهره هندسی «چنین خط‌نوشته‌های چند بعدی وحشتناک» را ندارند یا هنوز می‌توانید با جبر + هندسه استاندارد مشروط کنار بیایید. .

فرضیه ریمان

توضیح در اینجا به زبان انسان بسیار دشوار است، کافی است بدانیم که حل این مشکل پیامدهای گسترده ای در زمینه توزیع اعداد اول خواهد داشت. مسئله به قدری مهم و فوری است که حتی استخراج یک مثال متضاد از فرضیه نیز به تشخیص شورای علمی دانشگاه است، می‌توان آن را ثابت‌شده دانست، بنابراین در اینجا می‌توانید روش «از مخالف» را نیز امتحان کنید. حتی اگر بتوان فرضیه را به معنای محدودتر فرموله کرد، حتی در اینجا موسسه Clay مقدار مشخصی پول را پرداخت خواهد کرد.

نظریه یانگ میلز

فیزیک ذرات یکی از موضوعات مورد علاقه دکتر شلدون کوپر است. در اینجا نظریه کوانتومی دو عموی باهوش به ما می گوید که برای هر گروه سنج ساده در فضا یک نقص جرمی غیر از صفر وجود دارد. این بیانیه توسط داده های تجربی و شبیه سازی های عددی ایجاد شده است، اما تا کنون هیچ کس نمی تواند آن را ثابت کند.

معادلات ناویر استوکس

در اینجا، هوارد وولوویتز قطعاً به ما کمک می کرد اگر او در واقعیت وجود داشت - بالاخره این معمایی از هیدرودینامیک و پایه و اساس پایه ها است. معادلات حرکات سیال نیوتنی چسبناک را توصیف می کنند، اهمیت عملی زیادی دارند و مهمتر از همه تلاطم را توصیف می کنند که به هیچ وجه نمی توان آن را در چارچوب علم سوق داد و خواص و اعمال آن را نمی توان پیش بینی کرد. توجیه ساخت این معادلات باعث می شود که انگشت به سمت آسمان نشانه نرود، بلکه تلاطم را از درون درک کرده و هواپیما و مکانیسم ها را پایدارتر کند.

فرضیه توس-سوینرتون-دایر

درست است، در اینجا سعی کردم کلمات ساده را انتخاب کنم، اما جبری چنان متراکم وجود دارد که نمی توان بدون غوطه وری عمیق انجام داد. کسانی که نمی خواهند در ماتان غواصی کنند باید بدانند که این فرضیه به شما امکان می دهد تا به سرعت و بدون دردسر رتبه منحنی های بیضوی را پیدا کنید و اگر این فرضیه وجود نداشت، برای محاسبه این رتبه به یک برگه محاسبات نیاز بود. . خوب، البته، شما همچنین باید بدانید که اثبات این فرضیه شما را یک میلیون دلار ثروتمند می کند.

لازم به ذکر است که تقریباً در هر زمینه ای پیشرفت هایی وجود دارد و حتی موارد اثبات شده برای نمونه های فردی وجود دارد. بنابراین، تردید نکنید، در غیر این صورت مانند قضیه فرما خواهد بود که پس از بیش از 3 قرن در سال 1994 به اندرو وایلز تسلیم شد و جایزه آبل و حدود 6 میلیون کرون نروژ (50 میلیون روبل به نرخ ارز امروزی) را برای او به ارمغان آورد. .

اغلب، هنگام صحبت با دانش آموزان دبیرستانی در مورد کار تحقیقاتی در ریاضیات، این جمله را می شنوم: "چه چیزهای جدیدی را می توان در ریاضیات کشف کرد؟" اما واقعاً: شاید همه اکتشافات بزرگ انجام شده باشد و قضایا ثابت شده باشند؟

در 8 آگوست 1900، در کنگره بین المللی ریاضیدانان در پاریس، ریاضیدان دیوید هیلبرت فهرستی از مسائلی را که معتقد بود در قرن بیستم حل خواهند شد، ارائه کرد. 23 مورد در لیست وجود داشت. بیست و یک مورد از آنها تاکنون حل شده است. آخرین مسئله حل شده در فهرست گیلبرت قضیه معروف فرما بود که دانشمندان به مدت 358 سال نتوانستند آن را حل کنند. در سال 1994، اندرو وایلز بریتانیایی راه حل خود را پیشنهاد کرد. معلوم شد که درست است.

به دنبال مثال گیلبرت در پایان قرن گذشته، بسیاری از ریاضیدانان تلاش کردند تا وظایف استراتژیک مشابهی را برای قرن بیست و یکم تدوین کنند. یکی از این فهرست ها توسط میلیاردر بوستون لاندون تی کلی معروف شد. در سال 1998، با هزینه او، مؤسسه ریاضیات Clay در کمبریج (ماساچوست، ایالات متحده آمریکا) تأسیس شد و جوایزی برای حل تعدادی از مسائل مهم در ریاضیات مدرن تعیین شد. در 24 می 2000، کارشناسان مؤسسه هفت مشکل را انتخاب کردند - با توجه به تعداد میلیون ها دلاری که برای جوایز اختصاص داده شده بود. این لیست مشکلات جایزه هزاره نام دارد:

1. مسئله کوک (در سال 1971 فرمول بندی شد)

فرض کنید که شما که در یک شرکت بزرگ هستید، می خواهید مطمئن شوید که دوست شما نیز آنجاست. اگر به شما گفته شود که او در گوشه ای نشسته است، کسری از ثانیه کافی است تا با یک نگاه از صحت اطلاعات مطمئن شوید. در غیاب این اطلاعات، مجبور خواهید شد کل اتاق را دور بزنید و به مهمانان نگاه کنید. این نشان می دهد که حل یک مشکل اغلب زمان بیشتری نسبت به بررسی درستی راه حل می برد.

استفان کوک این مسئله را فرموله کرد: آیا بررسی درستی راه حل یک مشکل، بدون توجه به الگوریتم تأیید، طولانی تر از دریافت خود راه حل است. این مشکل نیز یکی از مشکلات حل نشده در حوزه منطق و علوم کامپیوتر است. راه حل آن می تواند مبانی رمزنگاری مورد استفاده در انتقال و ذخیره داده ها را متحول کند.

2. فرضیه ریمان (تدوین شده در 1859)

برخی از اعداد صحیح را نمی توان به صورت حاصل ضرب دو عدد صحیح کوچکتر مانند 2، 3، 5، 7 و غیره بیان کرد. چنین اعدادی را اعداد اول می نامند و نقش مهمی در ریاضیات محض و کاربردهای آن دارند. توزیع اعداد اول در میان سری همه اعداد طبیعی از هیچ نظمی پیروی نمی کند. با این حال، ریمان، ریاضیدان آلمانی، در مورد خواص دنباله ای از اعداد اول، فرضی را مطرح کرد. اگر فرضیه ریمان ثابت شود، دانش ما در مورد رمزگذاری را متحول خواهد کرد و منجر به پیشرفت های بی سابقه ای در امنیت اینترنت خواهد شد.

3. فرضیه برچ و سوینرتون-دایر (تدوین شده در سال 1960)

همراه با شرح مجموعه راه حل های برخی معادلات جبری در چندین متغیر با ضرایب صحیح. مثالی از چنین معادله ای عبارت x2 + y2 = z2 است. اقلیدس توضیح کاملی از راه حل های این معادله ارائه کرد، اما برای معادلات پیچیده تر، یافتن راه حل بسیار دشوار می شود.

4. فرضیه هاج (تدوین شده در 1941)

در قرن بیستم، ریاضیدانان روشی قدرتمند برای مطالعه شکل اجسام پیچیده کشف کردند. ایده اصلی استفاده از "آجر" ساده به جای خود شی است که به هم چسبیده و شبیه آن را تشکیل می دهند. فرضیه هاج با برخی مفروضات در مورد خواص این گونه "آجرها" و اشیاء مرتبط است.

5. معادلات ناویر - استوکس (تدوین شده در سال 1822)

اگر با قایق روی دریاچه حرکت کنید، امواج به وجود می‌آیند و اگر با هواپیما پرواز کنید، جریان‌های متلاطمی در هوا به وجود می‌آیند. فرض بر این است که این پدیده‌ها و سایر پدیده‌ها با معادلات معروف به معادلات ناویر-استوکس توصیف می‌شوند. جواب این معادلات ناشناخته است و حتی نحوه حل آنها نیز معلوم نیست. لازم است نشان داده شود که راه حل وجود دارد و یک تابع به اندازه کافی صاف است. حل این مشکل امکان تغییر قابل توجهی در روش های انجام محاسبات هیدرودینامیکی و آیرودینامیکی را فراهم می کند.

6. مسئله پوانکر (تدوین شده در سال 1904)

اگر یک نوار لاستیکی را روی یک سیب بکشید، می توانید به آرامی نوار را بدون ترک سطح حرکت دهید، آن را تا یک نقطه فشرده کنید. از طرف دیگر، اگر همان نوار لاستیکی به درستی در اطراف دونات کشیده شود، هیچ راهی وجود ندارد که باند را تا یک نقطه بدون پاره شدن باند یا شکستن دونات فشرده کنید. گفته می شود سطح سیب به سادگی به هم متصل است، اما سطح یک دونات اینطور نیست. معلوم شد که اثبات اینکه فقط کره به سادگی به هم متصل است آنقدر دشوار است که ریاضیدانان هنوز به دنبال پاسخ صحیح هستند.

7. معادلات یانگ میلز (در سال 1954 فرموله شد)

معادلات فیزیک کوانتومی جهان ذرات بنیادی را توصیف می کند. فیزیکدانان یانگ و میلز، با کشف ارتباط بین هندسه و فیزیک ذرات بنیادی، معادلات خود را نوشتند. بنابراین، آنها راهی برای یکسان سازی تئوری های برهمکنش های الکترومغناطیسی، ضعیف و قوی پیدا کردند. از معادلات یانگ میلز، وجود ذراتی را به دنبال داشت که در واقع در آزمایشگاه های سراسر جهان مشاهده می شدند، بنابراین نظریه یانگ میلز مورد قبول اکثر فیزیکدانان است، علیرغم اینکه در این نظریه هنوز امکان پیش بینی وجود ندارد. جرم ذرات بنیادی

مسائل حل نشدنی 7 مسئله جالب ریاضی هستند. هر یک از آنها در یک زمان توسط دانشمندان مشهور، به عنوان یک قاعده، در قالب فرضیه ها پیشنهاد شد. برای چندین دهه، ریاضیدانان در سرتاسر جهان مغز خود را بر سر راه حل خود درگیر کرده اند. به کسانی که موفق شوند یک میلیون دلار آمریکا توسط موسسه Clay پاداش داده می شود.

موسسه خاک رس

این نام یک سازمان خصوصی غیرانتفاعی است که دفتر مرکزی آن در کمبریج، ماساچوست است. این در سال 1998 توسط ریاضیدان هاروارد A. Jeffey و تاجر L. Clay تاسیس شد. هدف موسسه گسترش و توسعه دانش ریاضی است. برای دستیابی به این هدف، این سازمان به دانشمندان و حامیان مالی تحقیقات امیدوار کننده جوایزی می دهد.

در آغاز قرن بیست و یکم، مؤسسه ریاضی Clay به کسانی که مسائلی را که به عنوان دشوارترین مسائل غیرقابل حل شناخته می شوند، حل می کنند، جایزه ای ارائه کرد و فهرست آنها را مسائل جایزه هزاره نامید. از "فهرست هیلبرت" فقط فرضیه ریمان را شامل می شود.

چالش های هزاره

لیست موسسه Clay در ابتدا شامل موارد زیر بود:

• فرضیه چرخه هاج؛
• معادلات نظریه کوانتومی یانگ میلز;
• فرضیه پوانکاره؛
• مشکل برابری کلاس های P و NP.
• فرضیه ریمان؛
• وجود و روان بودن راه حل های آن؛
• مشکل توس-سوینرتون-دایر.

این مسائل ریاضی باز بسیار جالب هستند زیرا می توانند پیاده سازی های عملی زیادی داشته باشند.

گریگوری پرلمن چه چیزی را ثابت کرد

در سال 1900، فیلسوف معروف هنری پوانکاره پیشنهاد کرد که هر 3 منیفولد فشرده و بدون مرزی که به سادگی متصل شده باشد، به 3 کره همومورف است. برهان آن در حالت کلی تا یک قرن یافت نشد. تنها در سالهای 2002-2003، ریاضیدان سن پترزبورگ، G. Perelman، تعدادی مقاله با راه حلی برای مسئله پوانکاره منتشر کرد. آنها اثر انفجار بمب را داشتند. در سال 2010، فرضیه پوانکاره از لیست "مشکلات حل نشده" موسسه Clay حذف شد و به خود پرلمن پیشنهاد شد که دستمزد قابل توجهی به خاطر او دریافت کند، که دومی بدون توضیح دلایل تصمیم خود از این امر امتناع کرد.

قابل درک ترین توضیح در مورد آنچه که ریاضیدان روسی موفق به اثبات آن شد را می توان با تصور اینکه یک دیسک لاستیکی روی یک دونات (توروس) کشیده می شود و سپس سعی می کنند لبه های محیط آن را به یک نقطه بکشند. بدیهی است که این امکان پذیر نیست. نکته دیگر، اگر این آزمایش را با یک توپ انجام دهید. در این صورت یک کره به ظاهر سه بعدی حاصل از دیسکی که محیط آن توسط یک بند ناف فرضی به نقطه ای کشیده شده است، در درک یک فرد عادی سه بعدی، اما از نقطه نظر دو بعدی خواهد بود. از دیدگاه ریاضیات

پوانکاره پیشنهاد کرد که یک کره سه بعدی تنها "شیء" سه بعدی است که سطح آن می تواند به یک نقطه منقبض شود و پرلمن توانست این را ثابت کند. بنابراین، فهرست «مشکلات غیرقابل حل» امروز از 6 مشکل تشکیل شده است.

نظریه یانگ میلز

این مسئله ریاضی توسط نویسندگان آن در سال 1954 مطرح شد. فرمول علمی نظریه به شرح زیر است: برای هر گروه گیج فشرده ساده، نظریه فضایی کوانتومی ایجاد شده توسط یانگ و میلز وجود دارد و در عین حال دارای نقص جرم صفر است.

صحبت کردن به زبانی قابل درک برای یک فرد عادی، برهمکنش بین اشیاء طبیعی (ذرات، اجسام، امواج و غیره) به 4 نوع تقسیم می شود: الکترومغناطیسی، گرانشی، ضعیف و قوی. سال‌هاست که فیزیکدانان در تلاش برای ایجاد یک نظریه میدانی کلی بوده‌اند. باید به ابزاری برای توضیح همه این تعاملات تبدیل شود. نظریه یانگ میلز یک زبان ریاضی است که با آن می توان 3 مورد از 4 نیروی اصلی طبیعت را توصیف کرد. در مورد جاذبه صدق نمی کند. بنابراین نمی توان تصور کرد که یانگ و میلز در ایجاد نظریه میدانی موفق بوده اند.

علاوه بر این، غیر خطی بودن معادلات پیشنهادی حل آنها را بسیار دشوار می کند. برای ثابت های جفت کوچک، می توان آنها را تقریباً در قالب یک سری از تئوری اغتشاش حل کرد. با این حال، هنوز مشخص نیست که چگونه می توان این معادلات را با جفت قوی حل کرد.

معادلات ناویر استوکس

این عبارات فرآیندهایی مانند جریان هوا، جریان سیال و آشفتگی را توصیف می کنند. برای برخی موارد خاص، راه‌حل‌های تحلیلی معادله ناویر-استوکس قبلاً پیدا شده است، اما تاکنون هیچ‌کس موفق نشده است این کار را برای حالت کلی انجام دهد. در عین حال، شبیه‌سازی عددی برای مقادیر خاص سرعت، چگالی، فشار، زمان و غیره می‌تواند به نتایج عالی دست یابد. باید امیدوار بود که کسی بتواند معادلات ناویر-استوکس را در جهت مخالف اعمال کند، یعنی با کمک آنها پارامترها را محاسبه کند یا ثابت کند که روش حل وجود ندارد.

مشکل توس-سوینرتون-دایر

طبقه بندی «مسائل حل نشده» نیز شامل فرضیه ای است که توسط دانشمندان انگلیسی دانشگاه کمبریج ارائه شده است. حتی 2300 سال پیش، دانشمند یونانی باستان اقلیدس توضیحات کاملی از راه حل های معادله x2 + y2 = z2 ارائه کرد.

اگر برای هر یک از اعداد اول تعداد نقاط روی منحنی را مدول بشمارند، مجموعه بی نهایتی از اعداد صحیح بدست می آید. اگر به طور خاص آن را به 1 تابع از یک متغیر مختلط بچسبانید، تابع زتا Hasse-Weyl را برای یک منحنی مرتبه سوم دریافت می کنید که با حرف L نشان داده می شود. این تابع حاوی اطلاعاتی در مورد مدول رفتار همه اعداد اول به طور همزمان است.

برایان برچ و پیتر سوینرتون-دایر در مورد منحنی های بیضوی حدس زدند. بر اساس آن، ساختار و تعداد مجموعه راه حل های منطقی آن با رفتار تابع L در هویت مرتبط است. حدس اثبات نشده توس-سوینرتون-دایر در حال حاضر به توصیف معادلات جبری درجه 3 بستگی دارد و تنها راه عمومی نسبتا ساده برای محاسبه رتبه منحنی های بیضوی است.

برای درک اهمیت عملی این کار، کافی است بگوییم که در رمزنگاری مدرن، یک کلاس کامل از سیستم های نامتقارن بر اساس منحنی های بیضوی است و استانداردهای امضای دیجیتال داخلی بر اساس کاربرد آنها است.

برابری کلاس های p و np

اگر بقیه چالش های هزاره صرفاً ریاضی هستند، پس این یکی به نظریه واقعی الگوریتم ها مربوط می شود. مشکل مربوط به برابری کلاس‌های p و np، که به عنوان مسئله کوک-لوین نیز شناخته می‌شود، می‌تواند به زبان قابل فهم به صورت زیر فرموله شود. فرض کنید که پاسخ مثبت به یک سوال خاص را می توان به سرعت به اندازه کافی بررسی کرد، یعنی در زمان چند جمله ای (PT). آیا این جمله درست است که پاسخ آن را می توان نسبتاً سریع پیدا کرد؟ حتی ساده تر از این به نظر می رسد: آیا واقعاً بررسی راه حل مشکل از یافتن آن دشوارتر نیست؟ اگر برابری کلاس‌های p و np ثابت شود، تمام مسائل انتخاب برای PV قابل حل هستند. در حال حاضر بسیاری از کارشناسان در صحت این گفته تردید دارند، اگرچه نمی توانند خلاف آن را ثابت کنند.

فرضیه ریمان

تا سال 1859، هیچ الگویی که نحوه توزیع اعداد اول بین اعداد طبیعی را توصیف کند، شناسایی نشد. شاید این به این دلیل بود که علم به مسائل دیگری می پرداخت. با این حال، در اواسط قرن نوزدهم، وضعیت تغییر کرد و آنها به یکی از مرتبط ترین موضوعاتی تبدیل شدند که ریاضیات شروع به پرداختن به آن کرد.

فرضیه ریمان که در این دوره ظاهر شد، این فرض است که الگوی خاصی در توزیع اعداد اول وجود دارد.

امروزه بسیاری از دانشمندان مدرن بر این باورند که در صورت اثبات آن، بسیاری از اصول اساسی رمزنگاری مدرن، که اساس بخش قابل توجهی از مکانیسم‌های تجارت الکترونیک را تشکیل می‌دهند، باید مورد بازنگری قرار گیرند.

طبق فرضیه ریمان، ماهیت توزیع اعداد اول ممکن است به طور قابل توجهی با آنچه در حال حاضر فرض می شود متفاوت باشد. واقعیت این است که تاکنون هیچ سیستمی در توزیع اعداد اول کشف نشده است. به عنوان مثال، مشکل "دوقلوها" وجود دارد که تفاوت آنها 2 است. این اعداد 11 و 13، 29 هستند. سایر اعداد اول خوشه ها را تشکیل می دهند. اینها 101، 103، 107 و غیره هستند. دانشمندان مدتهاست که گمان می کردند که چنین خوشه هایی در میان اعداد اول بسیار بزرگ وجود دارند. اگر آنها پیدا شوند، ثبات کلیدهای رمزنگاری مدرن زیر سوال خواهد رفت.

فرضیه چرخه هاج

این مشکل تا به حال حل نشده در سال 1941 فرموله شد. فرضیه هاج امکان تقریبی شکل هر جسمی را با "چسباندن" اجسام ساده با ابعاد بالاتر به هم پیشنهاد می کند. این روش برای مدت طولانی شناخته شده و با موفقیت مورد استفاده قرار گرفته است. با این حال، مشخص نیست که تا چه حد می توان ساده سازی را انجام داد.

اکنون می دانید که در حال حاضر چه مشکلات غیرقابل حلی وجود دارد. آنها موضوع تحقیقات هزاران دانشمند در سراسر جهان هستند. باید امیدوار بود که در آینده نزدیک حل و فصل شوند و کاربرد عملی آنها به بشریت کمک کند تا وارد دور جدیدی از توسعه فناوری شود.

افراد زیادی در جهان وجود ندارند که هرگز در مورد آخرین قضیه فرما نشنیده باشند - شاید این تنها مسئله ریاضی است که به طور گسترده شناخته شده است و به یک افسانه واقعی تبدیل شده است. در بسیاری از کتاب ها و فیلم ها به آن اشاره شده است، در حالی که زمینه اصلی تقریباً همه ذکرها، عدم امکان اثبات قضیه است.

بله، این قضیه بسیار معروف است و به یک معنا تبدیل به "بتی" شده است که توسط ریاضیدانان آماتور و حرفه ای پرستش می شود، اما کمتر کسی می داند که اثبات آن پیدا شده است و این در سال 1995 اتفاق افتاد. اما اول از همه.

بنابراین، آخرین قضیه فرما (که اغلب آن را آخرین قضیه فرما می نامند)، که در سال 1637 توسط ریاضیدان برجسته فرانسوی پیر فرما فرموله شد، ماهیت بسیار ساده ای دارد و برای هر فردی با تحصیلات متوسطه قابل درک است. می گوید که فرمول a به توان n + b به توان n \u003d c به توان n هیچ راه حل طبیعی (یعنی غیر کسری) برای n> 2 ندارد. همه چیز ساده و واضح به نظر می رسد. ، اما بهترین ریاضیدانان و آماتورهای معمولی بیش از سه قرن و نیم بر سر جستجوی راه حل جنگیدند.

چرا او اینقدر معروف است؟ حالا بیایید بفهمیم ...

آیا چند قضیه اثبات شده، اثبات نشده و در عین حال اثبات نشده وجود دارد؟ مسئله این است که آخرین قضیه فرما بزرگترین تضاد بین سادگی فرمول بندی و پیچیدگی اثبات است. آخرین قضیه فرما یک کار فوق‌العاده دشوار است، و با این حال، فرمول‌بندی آن برای همه با 5 کلاس دبیرستان قابل درک است، اما اثبات آن حتی از هر ریاضیدان حرفه‌ای دور است. نه در فیزیک، نه در شیمی، نه در زیست شناسی، و نه در همان ریاضیات، مسئله ای وجود ندارد که به این سادگی فرموله شود، اما برای مدت طولانی حل نشده باقی بماند. 2. از چه چیزی تشکیل شده است؟

بیایید با شلوار فیثاغورث شروع کنیم جمله بندی واقعاً ساده است - در نگاه اول. همانطور که از کودکی می دانیم، "شلوار فیثاغورثی از همه طرف برابر است." مسئله بسیار ساده به نظر می رسد زیرا بر اساس یک گزاره ریاضی است که همه می دانند - قضیه فیثاغورث: در هر مثلث قائم الزاویه، مربع ساخته شده بر روی فرضیه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده بر روی پاها.

در قرن پنجم قبل از میلاد. فیثاغورث برادری فیثاغورثی را تأسیس کرد. فیثاغورثی ها، در میان چیزهای دیگر، سه اعداد صحیح را که معادله x2+y²=z2 را برآورده می کردند، مطالعه کردند. آنها ثابت کردند که بی نهایت سه گانه فیثاغورثی وجود دارد و فرمول های کلی برای یافتن آنها به دست آوردند. احتمالاً سعی کردند به دنبال مدارج سه گانه و بالاتر باشند. فیثاغورثی ها که متقاعد شده بودند که این کار مؤثر نبود، تلاش های بیهوده خود را رها کردند. اعضای این انجمن بیشتر فیلسوف و زیباشناس بودند تا ریاضیدان.

به این معنی که به راحتی می توان مجموعه ای از اعداد را انتخاب کرد که برابری x² + y² = z² را کاملاً برآورده کنند.

شروع از 3، 4، 5 - در واقع، دانش آموز دبستانی می فهمد که 9 + 16 = 25.

یا 5، 12، 13: 25 + 144 = 169. عالی است.

خب معلوم است که ندارند. اینجاست که ترفند شروع می شود. سادگی ظاهری است، زیرا اثبات وجود چیزی دشوار نیست، بلکه برعکس، عدم وجود آن است. وقتی نیاز به اثبات وجود راه حل باشد، می توان و باید به سادگی این راه حل را ارائه کرد.

اثبات غیبت دشوارتر است: مثلاً یکی می گوید: فلان معادله راه حل ندارد. او را در یک گودال بریزیم؟ آسان: بام - و اینجاست، راه حل! (راه حل بدهید). و بس، حریف شکست خورده است. چگونه غیبت را ثابت کنیم؟

گفتن: "من چنین راه حل هایی پیدا نکردم"؟ یا شاید خوب جستجو نکردید؟ و اگر آنها فقط بسیار بزرگ باشند، خوب، به گونه ای باشند که حتی یک کامپیوتر فوق قدرتمند هنوز قدرت کافی را نداشته باشد؟ این چیزی است که سخت است.

در شکل بصری، این را می توان به صورت زیر نشان داد: اگر دو مربع با اندازه های مناسب را برداریم و آنها را به مربع های واحد جدا کنیم، مربع سوم از این دسته از مربع های واحد به دست می آید (شکل 2):


و بیایید همین کار را با بعد سوم انجام دهیم (شکل 3) - کار نمی کند. مکعب های کافی وجود ندارد یا مکعب های اضافی باقی می مانند:

اما ریاضیدان قرن هفدهم ، فرانسوی پیر دو فرما ، با شور و شوق معادله کلی x n + y n \u003d z n را مطالعه کرد. و در نهایت نتیجه گرفت: برای n>2 راه حل عدد صحیح وجود ندارد. اثبات فرما به طور جبران ناپذیری گم شده است. دست نوشته ها در آتش هستند! تنها چیزی که باقی می ماند، اظهارات او در حساب دیوفانتوس است: "من یک مدرک واقعا شگفت انگیز برای این گزاره پیدا کرده ام، اما حاشیه ها در اینجا برای گنجاندن آن بسیار محدود است."

در واقع به یک قضیه بدون اثبات، فرضیه می گویند. اما فرما به این شهرت دارد که هرگز اشتباه نمی کند. حتی اگر او مدرکی دال بر هیچ اظهاراتی باقی نگذاشته بود، متعاقباً تأیید شد. علاوه بر این، فرما تز خود را برای n=4 ثابت کرد. بنابراین فرضیه ریاضیدان فرانسوی به عنوان آخرین قضیه فرما در تاریخ ثبت شد.

پس از فرما، ذهن های بزرگی مانند لئونارد اویلر روی جستجوی اثبات کار کردند (در سال 1770 او راه حلی برای n = 3 پیشنهاد کرد).

آدرین لژاندر و یوهان دیریکله (این دانشمندان به طور مشترک برای n=5 در سال 1825 برهانی پیدا کردند)، گابریل لام (که برای n=7 برهانی پیدا کرد) و بسیاری دیگر. در اواسط دهه 80 قرن گذشته، مشخص شد که دنیای علمی در راه حل نهایی آخرین قضیه فرما است، اما تنها در سال 1993 ریاضیدانان دیدند و باور کردند که حماسه سه قرنی یافتن دلیلی برای اثبات آخرین قضیه فرما تقریباً تمام شده بود.

به راحتی می توان نشان داد که اثبات قضیه فرما فقط برای n اول کافی است: 3، 5، 7، 11، 13، 17، ... برای n مرکب، اثبات معتبر باقی می ماند. اما اعداد اول بی نهایت زیاد هستند...

در سال 1825، با استفاده از روش سوفی ژرمن، ریاضیدانان زن، دیریکله و لژاندر به طور مستقل قضیه n=5 را اثبات کردند. در سال 1839، گابریل لام فرانسوی، صدق قضیه را برای n=7 با استفاده از همین روش نشان داد. به تدریج، این قضیه تقریباً برای همه n کمتر از صد ثابت شد.

سرانجام ارنست کومر، ریاضیدان آلمانی، در مطالعه ای درخشان نشان داد که روش های ریاضیات قرن نوزدهم نمی توانند قضیه را به صورت کلی اثبات کنند. جایزه آکادمی علوم فرانسه که در سال 1847 برای اثبات قضیه فرما تأسیس شد، تعیین نشده باقی ماند.

در سال 1907، پل ولفسکل، صنعتگر ثروتمند آلمانی، به دلیل عشق نافرجام تصمیم گرفت جان خود را بگیرد. او مانند یک آلمانی واقعی، تاریخ و زمان خودکشی را تعیین کرد: دقیقاً نیمه شب. روز آخر وصیت کرد و به دوستان و نزدیکان نامه نوشت. کار قبل از نیمه شب تمام شد. باید بگویم که پل به ریاضیات علاقه مند بود. او که کاری برای انجام دادن نداشت، به کتابخانه رفت و شروع به خواندن مقاله معروف کومر کرد. ناگهان به نظرش رسید که کومر در استدلال خود اشتباه کرده است. ولفسکهل با مدادی در دست شروع به تحلیل این قسمت از مقاله کرد. نیمه شب گذشت، صبح آمد. شکاف در اثبات پر شد. و دلیل خودکشی اکنون کاملاً مضحک به نظر می رسید. پولس نامه های خداحافظی را پاره کرد و وصیت نامه را بازنویسی کرد.

او خیلی زود به مرگ طبیعی درگذشت. وارثان بسیار شگفت زده شدند: 100000 مارک (بیش از 1000000 پوند استرلینگ فعلی) به حساب انجمن علمی سلطنتی گوتینگن واریز شد که در همان سال مسابقه ای را برای جایزه ولفسکل اعلام کرد. 100000 مارک به اثبات قضیه فرما تکیه کرد. قرار نبود برای رد این قضیه یک پنیگ پرداخت شود ...

اکثر ریاضیدانان حرفه ای جستجو برای اثبات آخرین قضیه فرما را یک علت گمشده می دانستند و قاطعانه از هدر دادن زمان برای چنین تمرین بیهوده ای خودداری می کردند. اما آماتورها به شکوه می افتند. چند هفته پس از اعلام این خبر، بهمنی از "شواهد" به دانشگاه گوتینگن رسید. پروفسور E. M. Landau که وظیفه اش تجزیه و تحلیل شواهد ارسال شده بود، کارت هایی را بین دانشجویانش توزیع کرد:

عزیزان. . . . . . . .

از دست نوشته ای که همراه با اثبات آخرین قضیه فرما ارسال کردید متشکرم. اولین خطا در صفحه ... در خط ... است. به دلیل آن، کل اثبات اعتبار خود را از دست می دهد.
پروفسور E. M. Landau

در سال 1963، پل کوهن، با تکیه بر یافته های گودل، حل نشدنی یکی از بیست و سه مسئله هیلبرت، یعنی فرضیه پیوستگی را اثبات کرد. اگر آخرین قضیه فرما هم حل نشدنی باشد چه؟! اما متعصبان واقعی قضیه بزرگ اصلاً ناامید نشدند. ظهور رایانه ها به طور غیرمنتظره ای به ریاضیدانان روش جدیدی برای اثبات داد. پس از جنگ جهانی دوم، گروهی از برنامه نویسان و ریاضیدانان آخرین قضیه فرما را برای تمام مقادیر n تا 500، سپس تا 1000 و بعداً تا 10000 اثبات کردند.

در دهه 80، ساموئل واگستاف حد را به 25000 رساند و در دهه 90، ریاضیدانان ادعا کردند که آخرین قضیه فرما برای همه مقادیر n تا 4 میلیون صادق است. اما اگر حتی یک تریلیون تریلیون از بی نهایت کم شود، کوچکتر نمی شود. ریاضیدانان با آمار قانع نمی شوند. اثبات قضیه بزرگ به معنای اثبات آن برای همه n رفتن به بی نهایت بود.

در سال 1954، دو دوست جوان ریاضیدان ژاپنی به مطالعه فرم های مدولار پرداختند. این فرم‌ها مجموعه‌ای از اعداد را تولید می‌کنند که هر کدام سری خاص خود را دارند. به طور تصادفی، تانیاما این سریال ها را با سریال های تولید شده توسط معادلات بیضی مقایسه کرد. مطابقت داشتند! اما اشکال مدولار اجسام هندسی هستند، در حالی که معادلات بیضوی جبری هستند. بین چنین اشیاء مختلف هرگز ارتباطی پیدا نشد.

با این وجود، پس از آزمایش دقیق، دوستان یک فرضیه را مطرح کردند: هر معادله بیضوی یک دوقلو دارد - یک شکل مدولار، و بالعکس. این فرضیه بود که پایه و اساس یک گرایش کامل در ریاضیات شد، اما تا زمانی که فرضیه تانیاما-شیمورا ثابت نشد، کل ساختمان هر لحظه ممکن بود فرو بریزد.

در سال 1984، گرهارد فری نشان داد که راه حل معادله فرما، در صورت وجود، می تواند در برخی از معادله های بیضوی گنجانده شود. دو سال بعد، پروفسور کن ریبت ثابت کرد که این معادله فرضی نمی تواند مشابهی در دنیای مدولار داشته باشد. از این پس، آخرین قضیه فرما با فرضیه تانیاما-شیمورا پیوند ناگسستنی داشت. پس از اثبات مدولار بودن هر منحنی بیضوی، نتیجه می گیریم که معادله بیضوی با جواب معادله فرما وجود ندارد و آخرین قضیه فرما بلافاصله ثابت می شود. اما به مدت سی سال امکان اثبات فرضیه تانیاما-شیمورا وجود نداشت و امید به موفقیت کمتر و کمتر می شد.

اندرو وایلز در سال 1963، زمانی که تنها ده سال داشت، شیفته ریاضیات بود. هنگامی که او در مورد قضیه بزرگ مطلع شد، متوجه شد که نمی تواند از آن منحرف شود. به عنوان یک دانش آموز، دانش آموز، دانشجوی کارشناسی ارشد، خود را برای این کار آماده کرد.

وایلز پس از اطلاع از یافته های کن ریبت، خود را به اثبات حدس تانیاما-شیمورا انداخت. او تصمیم گرفت در انزوا و مخفی کاری کامل کار کند. "من فهمیدم که هر چیزی که با آخرین قضیه فرما ربط دارد بسیار جالب است ... تعداد زیادی از بینندگان عمداً در دستیابی به هدف دخالت می کنند." هفت سال کار سخت نتیجه داد، وایلز سرانجام اثبات حدس تانیاما-شیمورا را تکمیل کرد.

در سال 1993، اندرو وایلز، ریاضیدان انگلیسی، اثبات آخرین قضیه فرما را به جهانیان ارائه کرد (وایلز گزارش هیجان انگیز خود را در کنفرانسی در مؤسسه سر آیزاک نیوتن در کمبریج خواند.) که کار بر روی آن بیش از هفت سال به طول انجامید.

در حالی که تبلیغات در مطبوعات ادامه داشت، کار جدی برای تأیید شواهد آغاز شد. قبل از اینکه اثبات دقیق و دقیق تلقی شود، هر مدرک باید به دقت بررسی شود. وایلز تابستان پرمشغله‌ای را در انتظار بازخورد داوران گذراند، به این امید که بتواند تایید آنها را جلب کند. در پایان ماه اوت، کارشناسان به قضاوت ناکافی دست یافتند.

معلوم شد که این تصمیم حاوی یک خطای فاحش است، اگرچه به طور کلی درست است. وایلز تسلیم نشد، از یک متخصص مشهور در نظریه اعداد ریچارد تیلور کمک گرفت و قبلاً در سال 1994 اثبات تصحیح شده و تکمیل شده این قضیه را منتشر کردند. شگفت انگیزترین چیز این است که این کار 130 (!) صفحه در مجله ریاضی Annals of Mathematics را اشغال کرده است. اما داستان به همین جا ختم نشد - آخرین نکته تنها در سال بعد، 1995، زمانی که نسخه نهایی و "ایده آل"، از نظر ریاضی، نسخه اثبات منتشر شد، بیان شد.

«...نیم دقیقه بعد از شروع شام جشن به مناسبت تولدش، من نسخه خطی اثبات کامل را به نادیا دادم» (اندرو ولز). آیا گفتم که ریاضیدانان افراد عجیبی هستند؟

این بار هیچ شکی در اثبات وجود نداشت. دو مقاله مورد تجزیه و تحلیل دقیق قرار گرفتند و در ماه مه 1995 در Annals of Mathematics منتشر شدند.

از آن لحظه زمان زیادی می گذرد، اما هنوز در جامعه نظری در مورد حل نشدنی آخرین قضیه فرما وجود دارد. اما حتی کسانی که در مورد اثبات یافت شده می دانند به کار خود در این جهت ادامه می دهند - تعداد کمی از مردم راضی هستند که قضیه بزرگ به یک راه حل 130 صفحه ای نیاز دارد!

بنابراین، اکنون نیروهای بسیاری از ریاضیدانان (عمدتا آماتورها، نه دانشمندان حرفه ای) در جستجوی یک اثبات ساده و مختصر پرتاب می شوند، اما این مسیر، به احتمال زیاد، به جایی نمی رسد ...

منبع

1. 1 مراد:

   برابری Zn = Xn + Yn را معادله دیوفانتوس یا قضیه بزرگ فرما در نظر گرفتیم و این حل معادله (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn است. سپس Zn =-(Xn + Yn) راه حلی برای معادله (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn است. این معادلات و جواب ها به خواص اعداد صحیح و عملیات روی آنها مربوط می شود. پس خواص اعداد صحیح را نمی دانیم؟! با چنین دانش محدودی، حقیقت را آشکار نخواهیم کرد.
   راه حل های Zn = +(Xn + Yn) و Zn =-(Xn + Yn) را وقتی n = 1 در نظر بگیرید. اعداد صحیح + Z با استفاده از 10 رقم تشکیل می شوند: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. آنها بر 2 عدد صحیح تقسیم می شوند + X - زوج، آخرین رقم سمت راست: 0، 2، 4، 6، 8 و +Y - فرد، آخرین رقم راست: 1، 3، 5، 7، 9، t . ه. + X = + Y. تعداد Y = 5 - فرد و X = 5 - اعداد زوج است: Z = 10. معادله: (Z - X) X = (Z - Y) Y و جواب + Z را برآورده می کند. = + X + Y = + (X + Y).
   اعداد صحیح -Z از اتحاد -X برای زوج و -Y برای فرد تشکیل شده است و معادله را برآورده می کند:
   (Z + X) X = (Z + Y) Y، و محلول -Z = - X - Y = - (X + Y).
   اگر Z/X = Y یا Z / Y = X، Z = XY. Z / -X = -Y یا Z / -Y = -X، سپس Z = (-X)(-Y). تقسیم با ضرب بررسی می شود.
   اعداد مثبت و منفی تک رقمی از 5 عدد فرد و 5 عدد فرد تشکیل شده است.
   حالت n = 2 را در نظر بگیرید. سپس Z2 = X2 + Y2 راه حلی برای معادله (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 و Z2 = -(X2 + Y2) راه حلی برای معادله (Z2 + است. X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. ما Z2 = X2 + Y2 را قضیه فیثاغورث در نظر گرفتیم و سپس حل Z2 = -(X2 + Y2) همان قضیه است. می دانیم که مورب یک مربع آن را به 2 قسمت تقسیم می کند که قطر آن هیپوتانوس است. سپس تساوی ها معتبر هستند: Z2 = X2 + Y2، و Z2 = -(X2 + Y2) که در آن X و Y پاها هستند. و راه حل های بیشتر R2 = X2 + Y2 و R2 =- (X2 + Y2) دایره ها هستند، مراکز مبدأ سیستم مختصات مربع و با شعاع R هستند. آنها را می توان به صورت (5n)2 = (3n)2 + ( نوشت. 4n)2 که n اعداد صحیح مثبت و منفی هستند و 3 عدد متوالی هستند. همچنین راه حل ها اعداد XY 2 بیتی هستند که از 00 شروع و به 99 ختم می شود و 102 = 10x10 است و 1 قرن = 100 سال را می شمارند.
   جواب ها را زمانی در نظر بگیرید که n = 3. سپس Z3 = X3 + Y3 راه حل های معادله (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3 هستند.
   اعداد 3 بیتی XYZ از 000 شروع می شود و به 999 ختم می شود و 103 = 10x10x10 = 1000 سال = 10 قرن است.
   از 1000 مکعب هم اندازه و هم رنگ می توانید یک روبیک حدود 10 بسازید. روبیکی به ترتیب +103=+1000 - قرمز و -103=-1000 - آبی در نظر بگیرید. آنها از 103 = 1000 مکعب تشکیل شده اند. اگر مکعب ها را بدون فاصله در یک ردیف یا روی هم قرار دهیم، یک قطعه افقی یا عمودی به طول 2000 به دست می آید. روبیک یک مکعب بزرگ است که با مکعب های کوچک پوشیده شده و از اندازه 1butto = 10 شروع می شود. -21، و نمی توانید به آن اضافه یا یک مکعب کم کنید.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   هر عدد صحیح 1 است. 1(یک ها) 9 + 9 =18، 10 + 9 =19، 10 +10 =20، 11 +10 =21 را اضافه کنید، و محصولات:
   111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
   0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
   این عملیات را می توان بر روی ماشین حساب های 20 بیتی انجام داد.
   مشخص است که +(n3 - n) همیشه بر 6 + بخش پذیر است و - (n3 - n) بر -6 بخش پذیر است. می دانیم که n3 - n = (n-1)n(n+1). این 3 عدد متوالی است (n-1)n(n+1)، که در آن n زوج است، سپس بر 2 بخش پذیر است، (n-1) و (n+1) فرد، بخش پذیر بر 3. سپس (n-1) n(n+1) همیشه بر 6 بخش پذیر است. اگر n=0، (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1)، n=20، سپس (n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
   ما می دانیم که 19 x 19 = 361. این بدان معنی است که یک مربع با 360 مربع احاطه شده است، و سپس یک مکعب با 360 مکعب احاطه شده است. برابری برآورده می شود: 6 n - 1 + 6n. اگر n=60، 360 - 1 + 360، و n=61، 366 - 1 + 366.
   تعمیم های زیر از عبارات فوق حاصل می شود:
   n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
   0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
   (n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
   n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =ن! (n+1).
   0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
   n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1) 2.
   اگر 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)… 3210 x 11=
   = 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
   هر عدد صحیح n توان 10 است، دارای: – n و +n، +1/n و -1/n، فرد و زوج:
   - (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
   + (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
   واضح است که اگر هر عدد صحیحی به خودش اضافه شود 2 برابر افزایش می یابد و حاصل ضرب مربع می شود: X = a، Y = a، X + Y = a + a = 2a. XY = a x a = a2. این قضیه ویتا در نظر گرفته شد - یک اشتباه!
   اگر عدد b را به عدد داده شده اضافه و کم کنیم، حاصل جمع تغییر نمی کند، اما حاصلضرب تغییر می کند، به عنوان مثال:
   X \u003d a + b، Y \u003d a - b، X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a؛ XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
   X = a +√b، Y = a -√b، X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
   X = a + bi، Y = a - bi، X + Y = a + bi + a - bi = 2a. XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
   X = a + √b i، Y ​​= a - √bi، X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a، XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
   اگر اعداد صحیح را به جای حروف a و b قرار دهیم، پارادوکس ها، پوچ ها و بی اعتمادی به ریاضیات به دست می آید.