Тема «арифметична прогресія» вивчається в загальному курсі алгебри в школах в 9 класі. Ця тема є важливим для подальшого поглибленого вивчення математики числових рядів. У цій статті познайомимося з прогресією арифметичної, її різницею, а також типовими завданнями, з якими можуть зіткнутися школярі

Поняття про алгебраїчну прогресію

Числова прогресія є послідовністю чисел, в якій кожен наступний елемент можна отримати з попереднього, якщо застосувати певний математичний закон. Відомо два простих видупрогресії: геометрична та арифметична, яку називають також алгебраїчною. Зупинимося на ній докладніше.

Уявімо деяке раціональне число, позначимо його символом a1, де індекс вказує його порядковий номер у ряді, що розглядається. Додамо до a1 деяке інше число, позначимо його d. Тоді другий елемент ряду можна відобразити так: a2 = a1+d. Тепер додамо d ще раз, отримаємо: a3 = a2+d. Продовжуючи цю математичну операцію, можна отримати цілий ряд чисел, який називатиметься прогресією арифметичної.

Як можна зрозуміти з викладеного вище, щоб знайти n-ий елемент цієї послідовності, необхідно скористатися формулою: an = a1 + (n-1) * d. Дійсно, підставляючи n=1 вираз, ми отримаємо a1 = a1, якщо n = 2, тоді з формули випливає: a2 = a1 + 1*d, і так далі.

Наприклад, якщо різниця прогресії арифметичної дорівнює 5, а a1 = 1, це означає, що числовий ряд аналізованого типу має вигляд: 1, 6, 11, 16, 21, … Як видно, кожен його член більший за попередній на 5.

Формули різниці прогресії арифметичної

З наведеного вище визначення ряду чисел, що розглядається, слід, що для його визначення необхідно знати два числа: a1 і d. Останнє називається різницею цієї прогресії. Воно однозначно визначає поведінку всього ряду. Справді, якщо d буде позитивним, то числовий ряд постійно зростатиме, навпаки, у разі d негативного, відбуватиметься зростання чисел у ряду лише за модулем, абсолютне ж їх значення буде зменшуватися зі зростанням номера n.

Чому дорівнює різниця прогресії арифметичної? Розглянемо дві основні формули, що використовуються для обчислення цієї величини:

Ці дві основні формули використовуються для вирішення будь-яких завдань на знаходження різниці прогресії. Однак існує ще одна формула, про яку також потрібно знати.

Сума перших елементів

Формула, за допомогою якої можна визначити суму будь-якої кількості членів алгебраїчної прогресії, відповідно історичним свідченням, була вперше отримана "принцом" математики XVIII століття Карлом Гауссом. Німецький вчений, ще будучи хлопчиком у початкових класахсільської школи, зауважив, що для того, щоб скласти натуральні числа в ряду від 1 до 100, необхідно спочатку підсумувати перший елемент і останній (отримане значення дорівнюватиме сумі передостаннього і другого, передпередостаннього і третього елементів, і так далі), а потім це число слід помножити кількість цих сум, тобто на 50.

Формулу, яка відображає викладений результат на окремому прикладі, можна узагальнити на довільний випадок. Вона матиме вигляд: Sn = n/2*(an+a1). Зауважимо, що знаходження вказаної величини, знання різниці d не потрібно, якщо відомі два члени прогресії (an і a1).

Приклад №1. Визначте різницю, знаючи два члени ряду a1 і an

Покажемо, як застосовувати зазначені вище статті формули. Наведемо простий приклад: різниця прогресії арифметичної невідома, необхідно визначити, чому вона дорівнюватиме, якщо a13 = -5,6 і a1 = -12,1.

Оскільки нам відомі значення двох елементів числової послідовності, при цьому один з них є першим числом, можна скористатися формулою №2 для визначення різниці d. Маємо: d = (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 = 0,54167. У виразі ми використали значення n=13, оскільки відомий член саме з цим порядковим номером.

Отримана різниця свідчить про те, що прогресія є зростаючою, незважаючи на те, що дані за умови завдання елементи мають від'ємне значення. Видно, що a13>a1, хоча |a13|<|a1|.

Приклад №2. Позитивні члени прогресії на прикладі №1

Скористаємося отриманим у попередньому прикладі результатом, щоб вирішити нове завдання. Вона формулюється так: з якого порядкового номера елементи прогресії у прикладі №1 почнуть набувати позитивних значень?

Як було показано, прогресія, в якій a1 = -12,1 та d = 0,54167 є зростаючою, тому з деякого номера числа почнуть набувати лише позитивних значень. Щоб визначити цей номер n, необхідно вирішити просту нерівність, яка математично записується так: an>0 або, використовуючи відповідну формулу, перепишемо нерівність: a1 + (n-1)*d>0. Необхідно знайти невідоме n, виразимо його: n>-1*a1/d + 1. Тепер залишилося підставити відомі значення різниці та першого члена послідовності. Отримуємо: n>-1 * (-12,1) / 0,54167 + 1 = 23,338 або n> 23,338. Оскільки n може набувати лише цілочисельних значень, з отриманої нерівності випливає, що будь-які члени ряду, які матимуть номер більше 23, будуть позитивними.

Перевіримо отриману відповідь, скориставшись наведеною вище формулою, щоб розрахувати 23 та 24 елементи цієї арифметичної прогресії. Маємо: a23 = -12,1 + 22 * ​​0,54167 = -0,18326 (негативне число); a24 = -12,1 + 23 * 0,54167 = 0,3584 (позитивне значення). Таким чином, отриманий результат є вірним: починаючи з n=24 всі члени числового ряду будуть більшими за нуль.

Приклад №3. Скільки колод поміститься?

Наведемо одне цікаве завдання: під час заготівлі лісу було вирішено спиляні колоди укладати один на одного так, як це показано на малюнку нижче. Скільки колод можна укласти таким чином, знаючи, що всього поміститься 10 рядів?

У такому способі складання колод можна помітити одну цікаву річ: кожен наступний ряд міститиме на одну колоду менше, ніж попередній, тобто має місце алгебраїчна прогресія, різниця якої d=1. Вважаючи, що число колод кожного ряду - це член цієї прогресії, а також з огляду на те, що a1 = 1 (на самому верху поміститься тільки одна колода), знайдемо число a10. Маємо: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Тобто в 10-му ряду, що лежить на землі, буде знаходитися 10 колод.

Загальну суму цієї «пірамідальної» конструкції можна одержати, якщо скористатися формулою Гауса. Отримуємо: S10 = 10/2 * (10 +1) = 55 колод.

Поняття числової послідовності має на увазі відповідність кожному натуральному числу деякого дійсного значення. Такий ряд чисел може бути як довільним, так і мати певні властивості - прогресія. У разі кожен наступний елемент (член) послідовності можна обчислити з допомогою попереднього.

Арифметична прогресія- Послідовність числових значень, В якій її сусідні члени відрізняються між собою на однакове число (подібною властивістю мають всі елементи ряду, починаючи з 2-го). Це число- Різниця між попереднім і наступним членом - постійно і називається різницею прогресії.

Різниця прогресії: визначення

Розглянемо послідовність, що складається із j значень A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j належить множині натуральних чисел N. Арифметична прогресія, згідно свого визначення, – послідовність, в якій a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) - a(j-1) = d. Розмір d – потрібна різниця даної прогресії.

d = a(j) – a(j-1).

Виділяють:

• Зростаючу прогресію, у разі d > 0. Приклад: 4, 8, 12, 16, 20, …
• Зменшуючу прогресію, тоді d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Різниця прогресії та її довільні елементи

Якщо відомі 2 довільних члена прогресії (i-ий, k-ий), то встановити різницю для даної послідовності можна на основі співвідношення:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, отже d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Різниця прогресії та її перший член

Цей вираз допоможе визначити невідому величину лише у випадках, коли відомий номер елемента послідовності.

Різниця прогресії та її сума

Сума прогресії – це сума її членів. Для обчислення сумарного значення її перших j елементів скористайтеся відповідною формулою:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, але т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Що ж, друзі, якщо ви читаєте цей текст, то внутрішній кеп-очевидність підказує мені, що ви поки що не знаєте, що таке арифметична прогресія, але дуже (ні, ось так: ТОВООЧЕНЬ!) хочете дізнатися. Тому не мучитиму вас довгими вступами і відразу перейду до справи.

Для початку кілька прикладів. Розглянемо кілька наборів чисел:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Що спільного в усіх цих наборів? На перший погляд – нічого. Але насправді дещо є. А саме: кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на те саме число.

Судіть самі. Перший набір — це числа, що просто йдуть поспіль, кожне наступне на одиницю більше попереднього. У другому випадку різниця між рядом стоять числа вже дорівнює п'яти, але ця різниця все одно постійна. У третьому випадку взагалі коріння. Проте $2sqrt(2)=sqrt(2)+sqrt(2)$, а $3sqrt(2)=2sqrt(2)+sqrt(2)$, тобто. і в цьому випадку кожен наступний елемент просто зростає на $ sqrt (2) $ (і нехай вас не лякає, що це число - ірраціональне).

Так от: усі такі послідовності якраз і називаються арифметичними прогресіями. Дамо суворе визначення:

Визначення. Послідовність чисел, в якій кожне наступне відрізняється від попереднього рівно на одну й ту саму величину, називається арифметичною прогресією. Сама величина, яку відрізняються числа, називається різницею прогресії і найчастіше позначається буквою $d$.

Позначення: $\left(((a)_(n)) \right)$ - сама прогресія, $ d$ - її різницю.

І одразу парочка важливих зауважень. По-перше, прогресією вважається лише упорядкованапослідовність чисел: їх можна читати строго в тому порядку, в якому вони записані — і ніяк інакше. Переставляти та міняти місцями числа не можна.

По-друге, сама послідовність може бути як кінцевою, і нескінченної. Наприклад, набір (1; 2; 3) - це, очевидно, кінцева арифметична прогресія. Але якщо записати щось на кшталт (1; 2; 3; 4; ...) — це вже нескінченна прогресія. Три крапки після четвірки ніби натякає, що далі йде ще багато чисел. Безкінечно багато, наприклад.:)

Ще хотів би відзначити, що прогресії бувають зростаючими та спадаючими. Зростаючі ми вже бачили - той самий набір (1; 2; 3; 4; ...). А ось приклади спадних прогресій:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Гаразд, добре: останній приклад може здатися надто складним. Але решта, думаю, вам зрозуміла. Тому введемо нові визначення:

Визначення. Арифметична прогресія називається:

1. зростаючою, якщо кожен наступний елемент більший за попередній;
2. спадної, якщо, навпаки, кожен наступний елемент менший за попередній.

Крім того, існують так звані «стаціонарні» послідовності — вони складаються з одного і того ж числа, що повторюється. Наприклад, (3; 3; 3; ...).

Залишається лише одне питання: як відрізнити зростаючу прогресію від спадної? На щастя, тут все залежить лише від того, яким є знак числа $d$, тобто. різниці прогресії:

1. Якщо $d \gt 0$, то прогресія зростає;
2. Якщо $d \lt 0$, то прогресія, очевидно, зменшується;
3. Нарешті, є випадок $d=0$ — у разі вся прогресія зводиться до стаціонарної послідовності однакових чисел: (1; 1; 1; 1; ...) тощо.

Спробуємо розрахувати різницю $d$ для трьох спадних прогресій, наведених вище. Для цього достатньо взяти будь-які два сусідні елементи (наприклад, перший і другий) і відняти з числа, що стоїть праворуч, число, що стоїть зліва. Виглядати це буде ось так:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Як бачимо, у всіх трьох випадкахрізниця справді вийшла негативною. І тепер, коли ми більш-менш розібралися з визначеннями, настав час розібратися з тим, як описуються прогресії і які у них властивості.

Члени прогресії та рекурентна формула

Оскільки елементи наших послідовностей не можна міняти місцями, їх можна пронумерувати:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \right\)\]

Окремі елементи цього набору називають членами прогресії. Там так і вказують за допомогою номера: перший член, другий член і т.д.

Крім того, як ми вже знаємо, сусідні члени прогресії пов'язані формулою:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Коротше кажучи, щоб знайти $n$-й член прогресії, потрібно знати $n-1$-й член і різницю $d$. Така формула називається рекурентною, оскільки з її допомогою можна знайти будь-яке число, лише знаючи попереднє (а за фактом – усі попередні). Це дуже незручно, тому існує хитріша формула, яка зводить будь-які обчислення до першого члена та різниці:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Напевно, ви вже зустрічалися з цією формулою. Її люблять давати у всяких довідниках та решібниках. Та й у будь-якому тлумачному підручнику з математики вона йде однією з перших.

Проте пропоную трохи потренуватись.

Завдання №1. Випишіть перші три члени арифметичної прогресії $\left(((a)_(n)) \right)$, якщо $((a)_(1))=8,d=-5$.

Рішення. Отже, нам відомий перший член $((a)_(1))=8$ і різницю прогресії $d=-5$. Скористаємося щойно наведеною формулою і підставимо $n=1$, $n=2$ і $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \& ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Відповідь: (8; 3; −2)

От і все! Зверніть увагу: наша прогресія – спадна.

Звичайно, $ n = 1 $ можна було і не підставляти перший член нам і так відомий. Проте, підставивши одиницю, ми переконалися, що навіть для першого члена наша формула працює. У решті випадків все звелося до банальної арифметики.

Завдання №2. Випишіть перші три члени арифметичної прогресії, якщо її сьомий член дорівнює –40, а сімнадцятий член дорівнює –50.

Рішення. Запишемо умову завдання у звичних термінах:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\\end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\\end(align) \right.\]

Знак системи я поставив тому, що ці вимоги мають виконуватися одночасно. А тепер зауважимо, якщо відняти з другого рівняння перше (ми маємо право це зробити, тому що у нас система), то отримаємо ось що:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \& ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \ & 10d=-10; \&d=-1. \\ \end(align)\]

Ось так просто ми знайшли різницю прогресії! Залишилося підставити знайдене число у будь-яке з рівнянь системи. Наприклад, у перше:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Тепер, знаючи перший член і різницю, залишилося знайти другий і третій член:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \& ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Готово! Завдання вирішено.

Відповідь: (−34; −35; −36)

Зверніть увагу на цікаву властивість прогресії, яку ми виявили: якщо взяти $n$-й і $m$-й члени і відняти їх один від одного, то ми отримаємо різницю прогресії, помножену на число $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Просте, але дуже корисна властивість, яке обов'язково треба знати - з його допомогою можна значно прискорити вирішення багатьох завдань щодо прогресу. Ось яскравий тому приклад:

Завдання №3. П'ятий член арифметичної прогресії дорівнює 8,4, та її десятий член дорівнює 14,4. Знайдіть п'ятнадцятий член цієї прогресії.

Рішення. Оскільки $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, а потрібно знайти $((a)_(15))$, то зауважимо наступне:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \&((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Але за умовою $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, тому $5d=6$, звідки маємо:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4 = 6; \ & ((a)_(15)) = 6 +14,4 = 20,4. \\ \end(align)\]

Відповідь: 20,4

От і все! Нам не потрібно складати якісь системи рівнянь і вважати перший член і різницю - все зважилося буквально в пару рядків.

Тепер розглянемо інший вид завдань — пошук негативних і позитивних членів прогресії. Не секрет, що й прогресія зростає, у своїй перший член в неї негативний, то рано чи пізно у ній з'являться позитивні члени. І навпаки: члени спадної прогресії рано чи пізно стануть негативними.

При цьому далеко не завжди можна намацати цей момент "в лоб", послідовно перебираючи елементи. Найчастіше завдання складено так, що без знання формул обчислення зайняли б кілька аркушів — ми б просто заснули, поки знайшли відповідь. Тому спробуємо вирішити ці завдання швидшим способом.

Завдання №4. Скільки негативних членів в арифметичній прогресії -38,5; −35,8; …?

Рішення. Отже, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, звідки відразу знаходимо різницю:

Зауважимо, що різницю позитивна, тому прогресія зростає. Перший член негативний, тому справді в якийсь момент ми натрапимо на позитивні числа. Питання лише у тому, коли це станеться.

Спробуємо з'ясувати: доки (тобто до якого натурального числа $n$) зберігається негативність членів:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \- & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; &-385+27n-27 \lt 0; \ & 27n \lt 412; \n n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Останній рядок вимагає пояснення. Отже, відомо, що $n \lt 15\frac(7)(27)$. З іншого боку, нас влаштують лише цілі значення номера (більше того: $n\in \mathbb(N)$), тому найбільший допустимий номер - саме $n=15$, а в жодному разі не 16.

Завдання №5. В арифметичній прогресії $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Знайдіть номер першого позитивного члена цієї прогресії.

Це була б точнісінько така ж задача, як і попередня, проте нам невідомо $((a)_(1))$. Зате відомі сусідні члени: $((a)_(5))$ і $((a)_(6))$, тому ми легко знайдемо різницю прогресії:

Крім того, спробуємо висловити п'ятий член через перший і різницю за стандартною формулою:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \&((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Тепер чинимо за аналогією з попереднім завданням. З'ясовуємо, коли в нашій послідовності виникнуть позитивні числа:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; &-162+3n-3 \gt 0; \ & 3n \gt 165; \n n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Мінімальне цілісне вирішення цієї нерівності - число 56.

Зверніть увагу: в останньому завданні все звелося до суворої нерівності, тому варіант $n=55$ нас не влаштує.

Тепер, коли ми навчилися вирішувати прості завдання, перейдемо до складніших. Але для початку давайте вивчимо ще одну дуже корисну властивість арифметичних прогресій, яка в майбутньому заощадить нам купу часу та нерівних клітин.:)

Середнє арифметичне та рівні відступи

Розглянемо кілька послідовних членів зростання арифметичної прогресії $\left(((a)_(n)) \right)$. Спробуємо відзначити їх на числовій прямій:

Я спеціально відзначив довільні члени $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не якісь $((a)_(1)) ,\((a)_(2)),\((a)_(3))$ і т.д. Тому що правило, про яке я зараз розповім, однаково працює для будь-яких відрізків.

А правило дуже просте. Згадаймо рекурентну формулу і запишемо її для всіх зазначених членів:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \& ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \& ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \& ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Однак ці рівності можна переписати інакше:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \&((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \&((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \& ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \& ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \& ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Ну, і що з того? А те, що члени $((a)_(n-1))$ і $((a)_(n+1))$ лежать на тій самій відстані від $((a)_(n)) $. І ця відстань дорівнює $d$. Те саме можна сказати про члени $((a)_(n-2))$ і $((a)_(n+2))$ — вони теж віддалені від $((a)_(n))$ на однакову відстань, що дорівнює $2d$. Продовжувати можна до нескінченності, але сенс добре ілюструє картинка

Що це означає для нас? Це означає, що можна знайти $((a)_(n))$, якщо відомі числа-сусіди:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Ми вивели чудове твердження: кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному сусідніх членів! Більше того: ми можемо відступити від нашого $((a)_(n))$ ліворуч і праворуч не на один крок, а на $k$ кроків — і все одно формула буде вірною:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тобто. ми спокійно можемо знайти якесь $((a)_(150))$, якщо знаємо $((a)_(100))$ і $((a)_(200))$, тому що $(( a)_(150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На перший погляд може здатися, що цей факт не дає нам нічого корисного. Однак на практиці багато завдань спеціально «заточено» під використання середнього арифметичного. Погляньте:

Завдання №6. Знайдіть усі значення $x$, при яких числа $-6((x)^(2))$, $x+1$ і $14+4((x)^(2))$ є послідовними членами арифметичної прогресії (у вказаному порядку).

Рішення. Оскільки ці числа є членами прогресії, для них виконується умова середнього арифметичного: центральний елемент $x+1$ можна виразити через сусідні елементи:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \& x+1=7-((x)^(2)); \& ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Вийшло класичне квадратне рівняння. Його коріння: $ x = 2 $ і $ x = -3 $ - це і є відповіді.

Відповідь: −3; 2.

Завдання №7. Знайдіть значення $$, у яких числа $-1;4-3;(()^(2))+1$ становлять арифметичну прогресію (у зазначеному порядку).

Рішення. Знову висловимо середній член через середнє арифметичне сусідніх членів:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \& 8x-6=((x)^(2))+x; \((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Знову квадратне рівняння. І знову два корені: $ x = 6 $ і $ x = 1 $.

Відповідь: 1; 6.

Якщо в процесі розв'язання задачі у вас вилазять якісь звірячі числа, або ви не до кінця впевнені в правильності знайдених відповідей, то є чудовий прийом, що дозволяє перевірити: чи ми вирішили завдання?

Припустимо, у задачі №6 ми отримали відповіді −3 та 2. Як перевірити, що ці відповіді вірні? Давайте просто підставимо їх у вихідну умову та подивимося, що вийде. Нагадаю, що у нас є три числа ($-6(()^(2))$, $+1$ і $14+4(()^(2))$), які мають становити арифметичну прогресію. Підставимо $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \ & x + 1 = -2; \ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \end(align)\]

Отримали числа -54; −2; 50, які відрізняються на 52 — безперечно, це арифметична прогресія. Те саме відбувається і при $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \ & x + 1 = 3; \ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \end(align)\]

Знову прогресія, але з різницею 27. Отже, завдання вирішено правильно. Бажаючі можуть перевірити друге завдання самостійно, але одразу скажу: там теж все правильно.

Загалом, вирішуючи останні завдання, ми натрапили на ще один цікавий факт, який також необхідно запам'ятати:

Якщо три числа такі, що друге є середнім арифметичним першого та останнього, то ці числа утворюють арифметичну прогресію.

У майбутньому розуміння цього твердження дозволить нам буквально «конструювати» потрібні прогресії, спираючись умову завдання. Але перш ніж ми займемося подібним конструюванням, слід звернути увагу на ще один факт, який прямо випливає з вже розглянутого.

Угруповання та сума елементів

Давайте ще раз повернемося до числової осі. Зазначимо там кілька членів прогресії, між якими можливо. коштує дуже багато інших членів:

Спробуємо виразити "лівий хвіст" через $((a)_(n))$ і $d$, а "правий хвіст" через $((a)_(k))$ і $d$. Це дуже просто:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \& ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \&((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \&((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

А тепер зауважимо, що рівні такі суми:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \& ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Простіше кажучи, якщо ми розглянемо як старт два елементи прогресії, які в сумі дорівнюють якомусь числу $S$, а потім почнемо крокувати від цих елементів у протилежні сторони (назустріч один одному або навпаки на видалення), то суми елементів, на які ми натикатимемося, теж будуть рівні$S$. Найбільш наочно це можна уявити графічно:

Розуміння цього факту дозволить вирішувати завдання принципово більше високого рівняскладності, ніж ті, що ми розглядали вище. Наприклад, такі:

Завдання №8. Визначте різницю арифметичної прогресії, у якій перший член дорівнює 66, а твір другого та дванадцятого членів є найменшим із можливих.

Рішення. Запишемо все, що нам відомо:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \&d=? \\ ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Отже, нам невідома різниця прогресії $d$. Власне, навколо різниці і будуватиметься все рішення, оскільки добуток $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ можна переписати так:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \& ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Для тих, хто в танку: я виніс спільний множник 11 з другої дужки. Таким чином, шуканий твір є квадратичною функцією щодо змінної $d$. Тому розглянемо функцію $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - її графіком буде парабола гілками вгору, т.к. якщо розкрити дужки, ми отримаємо:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11cdot 72d+11cdot 66cdot 6 \end(align)\]

Як бачимо, коефіцієнт при старшому доданку дорівнює 11 - це позитивне число, тому дійсно маємо справу з параболою гілками вгору:

графік квадратичної функції - парабола

Зверніть увагу: мінімальне значення ця парабола набуває у своїй вершині з абсцисою $((d)_(0))$. Звичайно, ми можемо порахувати цю абсцису за стандартною схемою (є ж формула $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), але куди розумніше буде помітити, що вершина, що шукається, лежить на осі симетрії параболи, тому точка $((d)_(0))$ рівновіддалена від коренів рівняння $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \ \ 11 \ cdot \ left (d +66 \ right) \ cdot \ left (d +6 \ right) = 0; \&((d)_(1))=-66;\quad((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Саме тому я не особливо поспішав розкривати дужки: у вихідному вигляді коріння було знайти дуже просто. Отже, абсцис дорівнює середньому арифметичному чисел −66 і −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Що нам дає виявлене число? При ньому необхідний твір набуває найменшого значення (ми, до речі, так і не порахували $((y)_(\min ))$ — від нас це не потрібно). Водночас це число є різницею вихідної прогресії, тобто. ми знайшли відповідь.:)

Відповідь: −36

Завдання №9. Між числами $-\frac(1)(2)$ і $-\frac(1)(6)$ вставте три числа так, щоб вони разом з цими числами склали арифметичну прогресію.

Рішення. По суті нам потрібно скласти послідовність з п'яти чисел, причому перше і останнє число вже відомо. Позначимо недостатні числа змінними $x$, $y$ і $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Зазначимо, що число $y$ є "серединою" нашої послідовності - воно рівновіддалено і від чисел $x$ і $z$, і від чисел $-\frac(1)(2)$ і $-\frac(1)( 6) $. І якщо з чисел $x$ і $z$ ми в Наразіне можемо отримати $y$, то ось з кінцями прогресії справа інакша. Згадуємо про середнє арифметичне:

Тепер, знаючи $y$, ми знайдемо числа, що залишилися. Зауважимо, що $x$ лежить між числами $-\frac(1)(2)$ і щойно знайденим $y=-\frac(1)(3)$. Тому

Аналогічно розмірковуючи, знаходимо число, що залишилося:

Готово! Ми знайшли усі три числа. Запишемо їх у відповіді у тому порядку, в якому вони мають бути вставлені між вихідними числами.

Відповідь: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Завдання №10. Між числами 2 і 42 вставте кілька чисел, які разом із даними числами утворюють арифметичну прогресію, якщо відомо, що сума першого, другого та останнього із вставлених чисел дорівнює 56.

Рішення. Ще більш складна задача, Яка, однак, вирішується за тією ж схемою, що й попередні - через середнє арифметичне. Проблема в тому, що нам невідомо скільки конкретно чисел треба вставити. Тому припустимо для певності, що після вставки всього буде рівно $n$ чисел, причому перше з них - це 2, а останнє - 42. У цьому випадку шукана арифметична прогресія представима у вигляді:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Зауважимо, проте, що числа $((a)_(2))$ і $((a)_(n-1))$ виходять із чисел 2 і 42, що стоять по краях, шляхом одного кроку назустріч один одному, тобто . до центру послідовності. А це означає, що

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Але тоді записане вище вираз можна переписати так:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \ & 44+((a)_(3))=56; \ & ((a)_(3)) = 56-44 = 12. \\ \end(align)\]

Знаючи $((a)_(3))$ і $((a)_(1))$, ми легко знайдемо різницю прогресії:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \& ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \end(align)\]

Залишилося лише знайти інші члени:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \ & ((a)_(2))=2+5=7; \ & ((a)_(3)) = 12; \ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \ & ((a)_(7)) = 2 +6 \ cdot 5 = 32; \ & ((a)_(8)) = 2 +7 \ cdot 5 = 37; \ & ((a)_(9)) = 2 +8 \ cdot 5 = 42; \\ \end(align)\]

Таким чином, вже на 9-му кроці ми прийдемо в лівий кінець послідовності — число 42. Усього потрібно було вставити лише 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Відповідь: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстові завдання з прогресіями

На закінчення хотілося б розглянути парочку щодо простих завдань. Ну, як простих: для більшості учнів, які вивчають математику в школі і не читали того, що написано вище, ці завдання можуть здатися жерстю. Проте саме такі завдання трапляються в ОДЕ та ЄДІ з математики, тому рекомендую ознайомитися з ними.

Завдання №11. Бригада виготовила у січні 62 деталі, а кожного наступного місяця виготовляла на 14 деталей більше, ніж у попередній. Скільки деталей виготовила бригада у листопаді?

Рішення. Очевидно, кількість деталей, розписана по місяцях, являтиме собою зростаючу арифметичну прогресію. Причому:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Листопад - це 11-й місяць на рік, тому нам потрібно знайти $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Отже, у листопаді буде виготовлено 202 деталі.

Завдання №12. Палітурна майстерня переплела в січні 216 книг, а кожного наступного місяця вона переплітала на 4 книги більше, ніж у попередній. Скільки книг переплела майстерня у грудні?

Рішення. Все теж саме:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Грудень - це останній, 12-й місяць на рік, тому шукаємо $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Це і є відповідь – 260 книг буде переплетено у грудні.

Що ж, якщо ви дочитали до сюди, поспішаю вас привітати: «курс молодого бійця» арифметичними прогресіями ви успішно пройшли. Можна сміливо переходити до наступного уроку, де вивчимо формулу суми прогресії, а також важливі і дуже корисні наслідки з неї.

При вивченні алгебри в загальноосвітній школі (9 клас) однією з важливих тем є вивчення числових послідовностей, до яких належать прогресії – геометрична та арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію та приклади з рішеннями.

Що являє собою арифметична прогресія?

Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення прогресії, що розглядається, а також навести основні формули, які далі будуть використані при вирішенні завдань.

Арифметична або - це такий набір упорядкованих раціональних чисел, кожен член якого відрізняється від попереднього на певну постійну величину. Ця величина називається різницею. Тобто, знаючи будь-який член упорядкованого ряду чисел та різницю, можна відновити всю арифметичну прогресію.

Наведемо приклад. Наступна послідовність чисел буде арифметичною прогресією: 4, 8, 12, 16, ..., оскільки різниця в цьому випадку дорівнює 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). А от набір чисел 3, 5, 8, 12, 17 вже не можна віднести до виду прогресії, оскільки різниця для нього не є постійною величиною (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важливі формули

Наведемо тепер основні формули, які знадобляться вирішення завдань з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом a n n-й членпослідовності, де n – ціле число. Різницю позначимо латинською літерою d. Тоді справедливі такі вирази:

1. Для визначення значення n-го члена підійде формула: n = (n-1) * d + a 1 .
2. Для визначення суми перших n доданків: S n = (a n +a 1) * n/2.

Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням у 9 класі, достатньо запам'ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які завдання типу, що розглядається. Також слід пам'ятати, що різниця прогресії визначається за формулою: d = a n - a n-1 .

Приклад №1: знаходження невідомого члена

Наведемо простий приклад арифметичної прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.

Нехай дана послідовність 10, 8, 6, 4, ..., необхідно знайти п'ять членів.

З умови завдання вже випливає, що перші 4 доданки відомі. П'яте можна визначити двома способами:

1. Обчислимо для початку різницю. Маємо: d = 8 – 10 = -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члени, що стоять поряд один з одним. Наприклад, d = 4 – 6 = -2. Оскільки відомо, що d = a n - a n-1 тоді d = a 5 - a 4 , звідки отримуємо: a 5 = a 4 + d. Підставляємо відомі значення: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Другий спосіб вимагає знання різниці аналізованої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d = -2). Знаючи, що перший член a 1 = 10, скористаємося формулою для числа n послідовності. Маємо: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Підставляючи останній вираз n = 5, отримуємо: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Як видно, обидва способи рішення привели до того самого результату. Зазначимо, що у цьому прикладі різниця d прогресії є негативною величиною. Такі послідовності називаються спадними, оскільки кожен наступний член менший за попередній.

Приклад №2: різниця прогресії

Тепер ускладнимо трохи завдання, наведемо приклад, як знайти різницю прогресії арифметичної.

Відомо, що в деякій алгебраїчній прогресії 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.

Скористаємося формулою визначення невідомого члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Підставимо до неї відомі дані з умови, тобто числа a 1 і a 7 маємо: 18 = 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d = (18 - 6) / 6 = 2. Отже, відповіли першу частину завдання.

Щоб відновити послідовність до 7 членів, слід скористатися визначенням алгебраїчної прогресіїтобто a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d і так далі. У результаті відновлюємо всю послідовність: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, а 7 = 18.

Приклад №3: складання прогресії

Ускладнимо ще сильніша умова завдання. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна навести наступний приклад: дані два числа, наприклад, - 4 і 5. Необхідно скласти алгебраїчну прогресію так, щоб між цими містилося ще три члени.

Перш ніж розпочинати вирішувати це завдання, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа у майбутній прогресії. Оскільки між ними будуть ще три члени, тоді a 1 = -4 і a 5 = 5. Встановивши це, переходимо до завдання, яке аналогічне попередньому. Знову для n-го члена скористаємося формулою, отримаємо: a 5 = a 1 + 4*d. Звідки: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Тут набули не ціле значення різниці, проте воно є раціональним числом, Тому формули для алгебраїчної прогресії залишаються тими самими.

Тепер додамо знайдену різницю до a 1 і відновимо члени прогресії, що бракують. Отримуємо: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, що збіглося з умовою задачі.

Приклад №4: перший член прогресії

Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії із рішенням. У всіх попередніх завданнях було відоме перше число прогресу алгебри. Тепер розглянемо завдання іншого типу: нехай дані два числа, де a 15 = 50 і a 43 = 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.

Формули, якими користувалися досі, припускають знання a 1 і d. За умови завдання про ці числа нічого невідомо. Проте випишемо вирази для кожного члена, про який є інформація: a 15 = a 1 + 14 * d і a 43 = a 1 + 42 * d. Отримали два рівняння, у яких 2 невідомі величини (a 1 та d). Це означає, що завдання зводиться до розв'язання системи лінійних рівнянь.

Вказану систему найпростіше вирішити, якщо виразити у кожному рівнянні a 1 , а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; друге рівняння: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, звідки різниця d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (наведено лише 3 знаки точності після коми).

Знаючи d, можна скористатися будь-яким із 2 наведених вище виразів для a 1 . Наприклад, першим: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити член прогресії, який заданий в умові. Отримаємо: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Невелика похибка пов'язані з тим, що з обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.

Приклад №5: сума

Тепер розглянемо кілька прикладів із рішеннями на суму арифметичної прогресії.

Нехай дана цифрова прогресіянаступного виду: 1, 2, 3, 4, ...,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?

Завдяки розвитку комп'ютерних технологій можна це завдання вирішити, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машина зробить відразу ж, як людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в умі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є алгебраїчною прогресією, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100)/2 = 5050.

Цікаво відзначити, що це завдання носить назву "гаусової", оскільки на початку XVIII століття знаменитий німецький ще у віці всього 10 років, зміг вирішити її в умі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебраїчної прогресії, але він помітив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то виходить завжди один результат, тобто 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а оскільки цих сум буде рівно 50 (100/2), то для отримання правильної відповіді достатньо помножити 50 на 101.

Приклад №6: сума членів від n до m

Ще одним типовим прикладом суми арифметичної прогресії є наступний: дано такий чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., потрібно знайти, чому дорівнюватиме сума його членів з 8 по 14.

Завдання вирішується двома способами. Перший передбачає перебування невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків небагато, такий спосіб не є досить трудомістким. Проте пропонується вирішити це завдання другим методом, який є більш універсальним.

Ідея полягає в отриманні формули для суми прогресу алгебри між членами m і n, де n > m - цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:

1. S m = m*(a m + a 1)/2.
2. S n = n*(a n + a 1)/2.

Оскільки n > m, то очевидно, що 2 сума включає першу. Останній висновок означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член a m (у разі взяття різниці він віднімається із суми S n), то отримаємо необхідну відповідь на завдання. Маємо: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1-m/2). У цей вираз необхідно підставити формули a n і a m . Тоді отримаємо: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Отримана формула є дещо громіздкою, проте сума S mn залежить від n, m, a 1 і d. У нашому випадку a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Підставляючи ці числа отримаємо: S mn = 301.

Як видно з наведених рішень, всі завдання ґрунтуються на знанні виразу для n-го члена та формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якого з цих завдань, рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і потім приступати до вирішення.

Ще одна порада полягає у прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на питання, не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно чинити саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність припуститися помилки менше. Наприклад, у прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулі S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m і розбити загальне завдання на окремі завдання (у даному випадкуспочатку знайти члени a n та a m).

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, то рекомендується перевіряти, як це було зроблено в деяких наведених прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з'ясували. Якщо розібратися, це не так складно.

Початковий рівень

Арифметична прогресія. Детальна теоріяз прикладами (2019)

Числова послідовність

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:
Писати можна будь-які числа, і може бути скільки завгодно (у разі їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке друге і так далі до останнього, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

Числова послідовність
Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний лише однієї числа послідовності. Іншими словами, у послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і число) завжди одне.
Число з номером називається членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

У нашому випадку:

Припустимо, у нас є числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
Наприклад:

і т.д.
Така числова послідовність називається арифметичною прогресією.
Термін «прогресія» було запроваджено римським автором Боецієм ще шостому столітті і розумівся у ширшому значенні, як нескінченна числова послідовність. Назва «арифметична» було перенесено з теорії безперервних пропорцій, якими займалися давні греки.

Це числова послідовність, кожен член якої дорівнює попередньому, складеному з тим самим числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається.

Спробуй визначити, які числові послідовності є арифметичною прогресією, а які:

a)
b)
c)
d)

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:
Єарифметичною прогресією – b, c.
Не єарифметичною прогресією – a, d.

Повернемося до заданої прогресії () і спробуємо знайти значення її члена. Існує дваспособу його знаходження.

1. Спосіб

Ми можемо додавати до попереднього значення числа прогресії, поки не дійдемо до члена прогресії. Добре, що підсумувати нам залишилося небагато – лише три значення:

Отже, -ой член описаної арифметичної прогресії дорівнює.

2. Спосіб

А якщо нам потрібно було б знайти значення -го члена прогресії? Підсумовування зайняло б у нас не одну годину, і не факт, що ми не помилилися б при складанні чисел.
Зрозуміло, математики вигадали спосіб, у якому не потрібно додавати різницю арифметичної прогресії до попереднього значення. Придивись уважно до намальованого малюнка… Напевно, ти вже помітив якусь закономірність, а саме:

Наприклад, подивимося, з чого складається значення члена даної арифметичної прогресії:


Іншими словами:

Спробуй самостійно знайти у такий спосіб значення члена даної арифметичної прогресії.

Розрахував? Порівняй свої записи з відповіддю:

Зверніть увагу, що в тебе вийшло таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно додавали до попереднього значення членів арифметичної прогресії.
Спробуємо «знеособити» цю формулу- Наведемо її в загальний виглядта отримаємо:

Арифметичні прогресії бувають зростаючі, а бувають спадні.

Зростаючі- прогресії, у яких кожне наступне значення членів більше попереднього.
Наприклад:

Знижені- прогресії, у яких кожне наступне значення членів менше попереднього.
Наприклад:

Виведена формула застосовується для членів як у зростаючих, і у спадних членах арифметичної прогресії.
Перевіримо це практично.
Нам дана арифметична прогресія, що складається з наступних чисел: Перевіримо, яке вийде число даної арифметичної прогресії, якщо при його розрахунку використовувати нашу формулу:

Тому що:

Таким чином, ми переконалися, що формула діє як у спадній, так і в зростаючій арифметичній прогресії.
Спробуй самостійно знайти члени цієї арифметичної прогресії.

Порівняємо отримані результати:

Властивість арифметичної прогресії

Ускладнимо завдання - виведемо властивість арифметичної прогресії.
Припустимо, нам дано таку умову:
- арифметична прогресія, знайти значення.
Легко, скажеш ти і почнеш вважати за вже відомою тобі формулою:

Нехай, а тоді:

Абсолютно вірно. Виходить ми спочатку знаходимо, потім додаємо його до першого числа і отримуємо шукане. Якщо прогресія представлена ​​невеликими значеннями, то нічого складного в цьому немає, а якщо нам за умови дано числа? Погодься, є ймовірність помилитися у обчисленнях.
А тепер подумай, чи можна вирішити це завдання в одну дію з використанням будь-якої формули? Звичайно, так, і саме її ми спробуємо зараз вивести.

Позначимо шуканий член арифметичної прогресії як формула його знаходження нам відома - це та сама формула, виведена нами на початку:
тоді:

• попередній член прогресії це:
• наступний член прогресії це:

Підсумуємо попередній та наступний члени прогресії:

Виходить, що сума попереднього та наступного членів прогресії – це подвоєне значення члена прогресії, що перебуває між ними. Іншими словами, щоб знайти значення члена прогресії при відомих попередніх та послідовних значеннях, необхідно скласти їх та розділити на.

Все вірно, ми отримали це число. Закріпимо матеріал. Вважай значення для прогресії самостійно, адже це зовсім нескладно.

Молодець! Ти знаєш про прогрес майже всі! Залишилося дізнатися лише одну формулу, яку за легендами легко вивів для себе один з найбільших математиків усіх часів, «король математиків» - Карл Гаус...

Коли Карлу Гауссу було 9 років, учитель, зайнятий перевіркою робіт учнів інших класів, поставив на уроці таке завдання: «Порахувати суму всіх натуральних чисел від до (за іншими джерелами до) включно». Яке ж було здивування вчителя, коли один із його учнів (це і був Карл Гаусс) через хвилину дав правильну відповідь на поставлене завдання, при цьому більшість однокласників сміливця після довгих підрахунків отримали неправильний результат.

Юний Карл Гаусс помітив деяку закономірність, яку легко помітиш і ти.
Припустимо, у нас є арифметична прогресія, що складається з членів: Нам необхідно знайти суму даних членів арифметичної прогресії. Звичайно, ми можемо вручну підсумувати всі значення, але що робити, якщо в завданні потрібно буде знайти суму її членів, як це шукав Гаус?

Зобразимо задану прогресію. Придивись уважно до виділених чисел та спробуй зробити з ними різні математичні дії.


Спробував? Що ти помітив? Правильно! Їхні суми рівні

А тепер дай відповідь, скільки всього набереться таких пар у заданій нам прогресії? Звісно, ​​рівно половина всіх чисел, тобто.
Виходячи з того, що сума двох членів арифметичної прогресії дорівнює, а подібних рівних пар ми отримуємо, що загальна сума дорівнює:
.
Таким чином, формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

У деяких завданнях нам невідомий член, але відома різниця прогресії. Спробуй підставити формулу суми, формулу -го члена.
Що в тебе вийшло?

Молодець! Тепер повернемося до завдання, яке задали Карлу Гаусс: порахуй самостійно, чому дорівнює сума чисел, починаючи від -го, і сума чисел починаючи від -го.

Скільки у тебе вийшло?
Гаус вийшов, що сума членів дорівнює, а сума членів. Чи ти так вирішував?

Насправді формула суми членів арифметичної прогресії була доведена давньогрецьким вченим Діофантом ще в 3 столітті, та й протягом усього цього часу дотепні люди користувалися властивостями арифметичної прогресії.
Наприклад, уяви Стародавній Єгипеті наймасштабніше будівництво на той час - будівництво піраміди… На малюнку представлена ​​одна її сторона.

Де тут прогресія скажеш ти? Подивися уважно та знайди закономірність у кількості піщаних блоків у кожному ряді стіни піраміди.


Чим не арифметична прогресія? Порахуй, скільки всього блоків необхідно для будівництва однієї стіни, якщо в основу кладеться цегла. Сподіваюся, ти не вважатимеш, водячи пальцем по монітору, ти ж пам'ятаєш останню формулу і все, що ми говорили про арифметичну прогресію?

У разі прогресія виглядає так: .
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість членів арифметичної прогресії.
Підставимо останні формули наші дані (порахуємо кількість блоків 2 способами).

Спосіб 1.

Спосіб 2.

А тепер можна і на моніторі порахувати: порівняй отримані значення з тією кількістю блоків, яка є в нашій піраміді. Зійшлося? Молодець, ти освоїв суму членів арифметичної прогресії.
Звичайно, з блоків у підставі піраміду не збудуєш, а от із? Спробуй розрахувати, скільки необхідно піщаної цегли, щоб побудувати стіну з такою умовою.
Впорався?
Вірна відповідь - блоків:

Тренування

Завдання:

1. Маша приходить у форму до літа. Щодня вона збільшує кількість присідань. Скільки разів присідатиме Маша через тижні, якщо на першому тренуванні вона зробила присідань.
2. Якою є сума всіх непарних чисел, що містяться в.
3. Лісоруби при зберіганні колод укладають їх таким чином, що кожен верхній шар містить одну колоду менше, ніж попередній. Скільки колод знаходиться в одній кладці, якщо основою кладки є колод.

Відповіді:

1. Визначимо параметри арифметичної прогресії. В даному випадку
   (Тижня = днів).

   Відповідь:Через два тижні Маша повинна присідати щодня.

2. Перше непарне число, останнє число.
   Різниця арифметичної прогресії.
   Кількість непарних чисел в - половина, проте, перевіримо цей факт, використовуючи формулу знаходження члена арифметичної прогресії:

   У числах справді міститься непарних чисел.
   Наявні дані підставимо у формулу:

   Відповідь:Сума всіх непарних чисел, що містяться, дорівнює.

3. Згадаймо завдання для піраміди. Для нашого випадку a , так як кожен верхній шар зменшується на одну колоду, то всього в купі шарів, тобто.
   Підставимо дані у формулу:

   Відповідь:У кладці знаходиться колод.

Підведемо підсумки

1. - Чисельна послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює. Вона буває зростаючою та спадною.
2. Формула знаходження-го члена арифметичної прогресії записується формулою - , де - Число чисел в прогресії.
3. Властивість членів арифметичної прогресії- де - кількість чисел у прогресії.
4. Суму членів арифметичної прогресіїможна знайти двома способами:
   
   де - кількість значень.

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Числова послідовність

Давай сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:

Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно. Але завжди можна сказати, яке з них перше, яке - друге і таке інше, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності.

Числова послідовність- це безліч чисел, кожному з яких можна надати унікальний номер.

Іншими словами, кожному числу можна поставити у відповідність якесь натуральне число, причому єдине. І цей номер ми не надамо більше жодному іншому числу з даної множини.

Число з номером називається членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

Дуже зручно, якщо член послідовності можна задати який-небудь формулою. Наприклад, формула

задає послідовність:

А формула – таку послідовність:

Наприклад, арифметичною прогресією є послідовність (перший член тут дорівнює, а різниця). Або (, різниця).

Формула n-го члена

Рекурентною ми називаємо таку формулу, в якій щоб дізнатися член, потрібно знати попередній або кілька попередніх:

Щоб знайти за такою формулою, наприклад, член прогресії, нам доведеться обчислити попередні дев'ять. Наприклад, хай. Тоді:

Ну що, зрозуміло тепер якась формула?

У кожному рядку ми додаємо, помножене на якесь число. На яке? Дуже просто: це номер поточного члена мінус:

Тепер набагато зручніше, правда? Перевіряємо:

Виріши сам:

В арифметичній прогресії знайти формулу n-го члена та знайти сотий член.

Рішення:

Перший член дорівнює. А чому дорівнює різниця? А ось чому:

(Вона тому і називається різницею, що дорівнює різниці послідовних членів прогресії).

Отже, формула:

Тоді сотий член дорівнює:

Чому дорівнює сума всіх натуральних чисел від до?

За легендою великий математик Карл Гаусс, будучи 9-річним хлопчиком, порахував цю суму за кілька хвилин. Він зауважив, що сума першого та останнього числа дорівнює, сума другого та передостаннього – теж, сума третього та 3-го з кінця – теж, і так далі. Скільки всього набереться таких пар? Правильно, рівно половина кількості всіх чисел, тобто. Отже,

Загальна формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:

Приклад:
Знайдіть суму всіх двоцифрових чисел, кратних.

Рішення:

Перше таке число – це. Кожне наступне виходить додаванням до попереднього числа. Таким чином, цікаві для нас числа утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею.

Формула члена для цієї прогресії:

Скільки членів у прогресії, якщо всі вони мають бути двозначними?

Дуже легко: .

Останній член прогресії дорівнюватиме. Тоді сума:

Відповідь: .

Тепер виріши сам:

1. Щодня спортсмен пробігає на м більше, ніж у попередній день. Скільки всього кілометрів він пробіжить за тижні, якщо першого дня він пробіг км?
2. Велосипедист проїжджає щодня на км більше, ніж попереднього. Першого дня він проїхав км. Скільки днів йому треба їхати, щоб подолати кілометри? Скільки кілометрів він проїде за останній день шляху?
3. Ціна холодильника в магазині щорічно зменшується на ту саму суму. Визначте, на скільки щороку зменшувалася ціна холодильника, якщо виставлений на продаж за рублів через шість років був проданий за рублів.

Відповіді:

1. Тут найголовніше - розпізнати арифметичну прогресію та визначити її параметри. У цьому випадку (тижня = днів). Визначити потрібно суму перших членів цієї прогресії:
   .
   Відповідь:
2. Тут дано: треба знайти.
   Очевидно, потрібно використовувати ту саму формулу суми, що й у попередньому завданні:
   .
   Підставляємо значення:

   Корінь, очевидно, не підходить, отже, відповідь.
   Порахуємо шлях, пройдений за останній день за допомогою формули члена:
   (Км).
   Відповідь:

3. Дано: . Знайти: .
   Простіше не буває:
   (Руб).
   Відповідь:

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Це числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.

Арифметична прогресія буває зростаючою () та спадною ().

Наприклад:

Формула знаходження n-ого члена арифметичної прогресії

записується формулою, де - кількість чисел у прогресії.

Властивість членів арифметичної прогресії

Воно дозволяє легко знайти член прогресії, якщо відомі його сусідні члени – де – кількість чисел у прогресії.

Сума членів арифметичної прогресії

Існує два способи знаходження суми:

Де – кількість значень.

Де – кількість значень.