Показові рівняння із різними підставами. Розв'язання показово-ступеневих рівнянь, алгоритми та приклади

білгородський державний університет

КАФЕДРА алгебри, теорії чисел та геометрії

Тема роботи: Показово-ступеневі рівняння та нерівності.

Дипломна роботастудента фізико-математичного факультету

Науковий керівник:

______________________________

Рецензент: _______________________________

________________________

Білгород. 2006 р.

Вступ.

«…радість бачити та розуміти…»

А. Ейнштейн.

У цій роботі я спробувала передати свій досвід роботи вчителем математики, передати хоч якоюсь мірою своє ставлення до її викладання - людської справи, в якій дивовижно переплітаються і математична наука, і педагогіка, і дидактика, і психологія, і навіть філософія.

Мені довелося працювати з малюками та випускниками, з дітьми, що стоять на полюсах інтелектуального розвитку: тими, хто перебував на обліку у психіатра та хто справді цікавився математикою

Мені довелося вирішувати багато методичних завдань. Я спробую розповісти про тих, які мені вдалося вирішити. Але ще більше - не вдалося, та й у тих, що начебто вирішено, постають нові питання.

Але ще важливіше самого досвіду - вчительські роздуми та сумніви: а чому він саме такий, цей досвід?

І літо нині на дворі інше, і розворот освіти став цікавішим. «Під юпітерами» нині не пошуки оптимальної міфічної системи навчання «всіх і всьому», а сама дитина. Але тоді – з необхідністю – і вчитель.

У шкільному курсіалгебри та почав аналізу, 10 – 11 клас, при здачі ЄДІ за курс середньої школиі на вступних іспитах до ВНЗ зустрічаються рівняння та нерівності, що містить невідоме на підставі та показники ступеня – це показово-статечні рівняння та нерівності.

У школі їм мало приділяється уваги, у підручниках практично немає завдань на цю тему. Однак, оволодіння методикою їх вирішення, мені здається, дуже корисним: воно підвищує розумові та творчі здібності учнів, перед нами відкриваються нові горизонти. При вирішенні завдань учні набувають перших навичок дослідницької роботи, збагачується їх математична культура, розвиваються здібності до логічного мислення. У школярів формуються такі якості особистості як цілеспрямованість, цілепокладання, самостійність, які будуть корисні їм у подальшому житті. А також відбувається повторення, розширення та глибоке засвоєння навчального матеріалу.

Працювати над цією темою дипломного дослідження я почала ще з написання курсової. У ході, якою я глибше вивчила та проаналізувала математичну літературу з цієї теми, виявила найбільш підходящий метод розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

Він полягає в тому, що крім загальноприйнятого підходу при вирішенні показово-ступеневих рівнянь (підстава береться більше 0) і при вирішенні тих же нерівностей (підстава береться більше 1 або більше 0, але менше 1), розглядаються ще й випадки, коли основи негативні, рівні 0 та 1.

Аналіз письмових екзаменаційних робіт учнів показує, що неосвітленість питання про негативне значенняаргументу показово-степеневої функції у шкільних підручниках, викликає вони ряд труднощів і веде до появи помилок. А також у них виникають проблеми на етапі систематизації отриманих результатів, де в силу переходу до рівняння – слідства або нерівності – слідства, з'явиться стороннє коріння. З метою усунення помилок ми використовуємо перевірку за вихідним рівнянням або нерівністю та алгоритм розв'язання показово-ступеневих рівнянь, або план розв'язання показово-ступеневих нерівностей.

Щоб учні змогли успішно скласти випускні та вступні іспити, я вважаю, необхідно приділяти більше уваги рішенню показово-ступеневих рівнянь та нерівностей на навчальних заняттях або додатково на факультативах та гуртках.

Таким чином тема моєю дипломної роботивизначена наступним чином: «Показово-статечні рівняння та нерівності».

Цілями справжньої роботи є:

1. Проаналізувати літературу на цю тему.

2. Дати повний аналіз розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

3. Навести достатню кількість прикладів з цієї теми різноманітних типів.

4. Перевірити на урочних, факультативних і гурткових заняттях як сприйматиметься запропоновані прийоми розв'язання показово-ступеневих рівнянь і нерівностей. Дати відповідні рекомендації щодо вивчення цієї теми.

Предметом нашого дослідження є розробка методики розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

Мета та предмет дослідження зажадали вирішення наступних завдань:

1. Вивчити літературу на тему: «Показово-ступеневі рівняння та нерівності».

2. Опанувати методики розв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

3. Підібрати навчальний матеріал і розробити систему вправ різних рівнів на тему: «Рішення показово-ступеневих рівнянь і нерівностей».

У ході дипломного дослідження було проаналізовано понад 20 робіт, присвячених застосуванню різних методіврозв'язання показово-ступеневих рівнянь та нерівностей. Звідси отримуємо.

План дипломної роботи:

Вступ.

Глава I. Аналіз літератури на тему дослідження.

Розділ II. Функції та їх властивості, що використовуються при вирішенні показово-ступеневих рівнянь та нерівностей.

ІІ.1. Ступінна функція та її властивості.

ІІ.2. Показова функція та її властивості.

Розділ III. Розв'язання показово-ступеневих рівнянь, алгоритм та приклади.

Розділ IV. Вирішення показово-ступеневих нерівностей, план розв'язання та приклади.

Глава V. Досвід проведення занять зі школярами на цю тему.

1.Навчальний матеріал.

2.Завдання для самостійного рішення.

Висновок. Висновки та пропозиції.

Список використаної литературы.

У І главі проаналізовано літературу

На даному уроці ми розглянемо розв'язання складніших показових рівнянь, згадаємо основні теоретичні положення щодо показової функції.

1. Визначення та властивості показової функції, методика вирішення найпростіших показових рівнянь

Нагадаємо визначення та основні властивості показової функції. Саме на властивостях базується розв'язання всіх показових рівнянь та нерівностей.

Показова функція- це функція виду , де основа ступеня і тут х - незалежна змінна, аргумент; у – залежна змінна, функція.

Мал. 1. Графік показової функції

На графіці показані зростаюча та спадна експоненти, що ілюструють показову функцію при підставі більшої одиниці та меншої одиниці, але більшим за нуль відповідно.

Обидві криві проходять через точку (0; 1)

Властивості показової функції:

Область визначення: ;

Область значень: ;

Функція монотонна, при зростає, при зменшується.

Монотонна функція набуває кожного свого значення при єдиному значенні аргументу.

Коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зростає від нуля не включно до плюс нескінченності. При навпаки, коли аргумент зростає від мінус до плюс нескінченності, функція зменшується від нескінченності до нуля не включно.

2. Вирішення типових показових рівнянь

Нагадаємо, як вирішувати найпростіші показові рівняння. Їхнє рішення ґрунтується на монотонності показової функції. До таких рівнянь зводяться практично всі складні показові рівняння.

Рівність показників ступеня при рівних підставахобумовлено властивістю показової функції, саме її монотонністю.

Методика розв'язання:

Зрівняти основи ступенів;

Зрівняти показники ступенів.

Перейдемо до розгляду складніших показових рівнянь, наша мета – звести кожне з них до найпростішого.

Звільнимось від кореня в лівій частині і наведемо ступеня до однакової основи:

Для того, щоб звести складне показове рівняння до найпростіших, часто використовується заміна змінних.

Скористаємося властивістю ступеня:

Вводимо заміну. Нехай тоді

Помножимо отримане рівняння на два і перенесемо всі складові в ліву частину:

Перший корінь не задовольняє проміжку значень, відкидаємо його. Отримуємо:

Наведемо ступеня до однакового показника:

Вводимо заміну:

Нехай тоді . При такій заміні очевидно, що вона набуває строго позитивних значень. Отримуємо:

Вирішувати подібні квадратні рівняння ми вміємо, випишемо відповідь:

Щоб переконатися у правильності знаходження коренів, можна виконати перевірку за теоремою Вієта, тобто знайти суму коренів та їх добуток та звірити з відповідними коефіцієнтами рівняння.

Отримуємо:

3. Методика вирішення однорідних показових рівнянь другого ступеня

Вивчимо наступний важливий типпоказових рівнянь:

Рівняння такого типу називають однорідними другого ступеня щодо функцій f та g. У лівій його частині стоїть квадратний тричлен щодо f з параметром g або квадратний тричлен щодо g з параметром f.

Методика розв'язання:

Це рівняння можна вирішувати як квадратне, але легше вчинити по-іншому. Слід розглянути два випадки:

У першому випадку отримуємо

У другому випадку маємо право розділити на старший ступінь та отримуємо:

Слід запровадити заміну змінних , отримаємо квадратне рівняння щодо:

Зауважимо, що функції f і g можуть бути будь-якими, але нас цікавить той випадок, коли це показові функції.

4. Приклади розв'язання однорідних рівнянь

Перенесемо всі складові в ліву частину рівняння:

Оскільки показові функції набувають строго позитивних значень, маємо право відразу ділити рівняння на , не розглядаючи випадок, коли :

Отримуємо:

Вводимо заміну: (згідно з властивостями показової функції)

Отримали квадратне рівняння:

Визначаємо коріння за теоремою Вієта:

Перший корінь не задовольняє проміжку значень у, відкидаємо його, отримуємо:

Скористаємося властивостями ступеня та приведемо всі ступеня до простих підстав:

Неважко помітити функції f і g:

Оскільки показові функції набувають суворо позитивних значень, маємо право відразу ділити рівняння на , не розглядаючи випадок, коли .

Розв'язання показових рівнянь. приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке показове рівняння? Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними перебувають у показникахякихось ступенів. І лише там! Це важливо.

Ось вам приклади показових рівнянь:

3 х · 2 х = 8 х +3

Зверніть увагу! В основах ступенів (внизу) - тільки числа. У показникахступенів (вгорі) - найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо, раптом, у рівнянні вилізе ікс десь, крім показника, наприклад:

це вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. Тут ми розбиратимемося з розв'язанням показових рівняньВ чистому вигляді.

Загалом навіть чисті показові рівняння чітко вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які можна вирішувати і потрібно. Ось ці типи ми розглянемо.

Вирішення найпростіших показових рівнянь.

Спочатку вирішимо щось зовсім елементарне. Наприклад:

Навіть без будь-яких теорій, по простому підбору ясно, що х=2. Більше ніяк, вірно!? Жодне інше значення ікса не котить. А тепер глянемо на запис розв'язання цього хитрого показового рівняння:

Що ми зробили? Ми фактично просто викинули однакові підстави(Трійки). Зовсім викинули. І що радує, потрапили в крапку!

Справді, якщо у показовому рівнянні ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях, ці числа можна забрати і прирівняти показники ступенів. Математика дозволяє. Залишається дорішати більш просте рівняння. Здорово, правда?)

Однак запам'ятаємо залізно: прибирати підстави можна тільки тоді, коли ліворуч і праворуч числа-основи перебувають у гордій самоті!Без будь-яких сусідів та коефіцієнтів. Скажімо, в рівняннях:

2 х +2 х+1 = 2 3 або

двійки прибирати не можна!

Ну ось, найголовніше ми й освоїли. Як переходити від злих показових виразів до простіших рівнянь.

"Ось ті рази!" – скажете ви. "Хто ж дасть такий примітив на контрольних та іспитах!?"

Вимушений погодитись. Ніхто не дасть. Але тепер ви знаєте, куди треба прагнути при вирішенні заморочених прикладів. Треба приводити його до вигляду, коли ліворуч - праворуч стоїть те саме число-основа. Далі все буде легше. Власне, це є класика математики. Беремо вихідний приклад та перетворюємо його до потрібного намвиду. За правилами математики, зрозуміло.

Розглянемо приклади, які потребують додаткових зусиль для приведення їх до найпростіших. Назвемо їх простими показовими рівняннями.

Вирішення простих показових рівнянь. приклади.

При вирішенні показових рівнянь головні правила - дії зі ступенями.Без знання цих дій нічого не вийде.

До дій зі ступенями треба додати особисту спостережливість та кмітливість. Нам потрібні однакові числа-підстави? Ось і шукаємо їх у прикладі у явному чи зашифрованому вигляді.

Подивимося, як це робиться на практиці?

Нехай нам дано приклад:

2 2х - 8 х +1 = 0

Перший пильний погляд - на основи.Вони... Вони різні! Два та вісім. Але засмучуватися - рано. Саме час згадати, що

Двійка і вісімка - родички за ступенем.) Цілком можна записати:

8 х+1 = (2 3) х+1

Якщо згадати формулку з дій зі ступенями:

(а n) m = a nm ,

то взагалі добре виходить:

8 х+1 = (2 3) х+1 = 2 3(х+1)

Вихідний приклад став виглядати так:

2 2х - 2 3(х +1) = 0

Переносимо 2 3 (х+1)вправо (елементарних дій математики ніхто не скасовував!), отримуємо:

2 2х = 2 3(х+1)

Ось практично і все. Прибираємо підстави:

Вирішуємо цього монстра та отримуємо

Це правильна відповідь.

У цьому прикладі нас врятувало знання ступенів двійки. Ми упізналиу вісімці зашифровану двійку. Цей прийом (шифрування загальних підстав під різними числами) - дуже популярний прийом у показових рівняннях! Та й у логарифмах теж. Потрібно вміти дізнаватися в числі інших чисел. Це дуже важливо для вирішення показових рівнянь.

Справа в тому, що звести будь-яке число в будь-який ступінь – не проблема. Перемножити, хоч на папірці, та й годі. Наприклад, звести 3 у п'яту ступінь зможе кожен. 243 вийде, якщо таблицю множення знаєте.) Але в показових рівняннях набагато частіше треба не зводити в ступінь, а навпаки... яке число якою міроюховається за числом 243, або, скажімо, 343... Тут вам ніякий калькулятор не допоможе.

Ступені деяких чисел треба знати в обличчя, так... Потренуємось?

Визначити, якими ступенями та яких чисел є числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Відповіді (безладно, природно!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Якщо придивитися, можна побачити дивний факт. Відповідей значно більше, ніж завдань! Що ж, так буває... Наприклад, 2 6 , 4 3 , 8 2 це все 64.

Припустимо, що ви взяли до відома інформацію про знайомство з числами.) Нагадаю ще, що для вирішення показових рівнянь застосуємо весьзапас математичних знань. У тому числі й із молодших-середніх класів. Ви ж не відразу до старших класів пішли, вірно?)

Наприклад, при вирішенні показових рівнянь часто допомагає винесення загального множника за дужки (привіт 7 класу!). Дивимося приклад:

3 2х +4 -11 · 9 х = 210

І знову, перший погляд – на підстави! Підстави у ступенів різні... Трійка та дев'ятка. А нам хочеться, щоби були – однакові. Що ж, у разі бажання цілком здійсненне!) Тому, що:

9 х = (3 2) х = 3 2х

За тими ж правилами дій зі ступенями:

3 2х +4 = 3 2х · 3 4

Ось і добре, можна записати:

3 2х · 3 4 - 11 · 3 2х = 210

Ми навели приклад до однакових підстав. І що далі!? Трійки не можна викидати... Тупик?

Зовсім ні. Запам'ятовуємо найуніверсальніше і найпотужніше правило рішення всіхматематичних завдань:

Не знаєш, що потрібно – роби, що можна!

Дивишся, все й утворюється).

Що в цьому показовому рівнянні можна, можливозробити? Та в лівій частині прямо проситься винесення за дужки! Загальний множник 3-х явно натякає на це. Спробуємо, а далі буде видно:

3 2х (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Приклад стає все краще та краще!

Згадуємо, що для ліквідації підстав нам необхідний чистий ступінь, без жодних коефіцієнтів. Нам число 70 заважає. Ось і ділимо обидві частини рівняння на 70, отримуємо:

Оп-па! Все налагодилося!

Це остаточна відповідь.

Трапляється, однак, що вирулювання на однакові підстави виходить, а ось їх ліквідація – ніяк. Таке буває у показових рівняннях іншого типу. Освоїмо цей тип.

Заміна змінної у вирішенні показових рівнянь. приклади.

Розв'яжемо рівняння:

4 х - 3 · 2 х +2 = 0

Спочатку – як завжди. Переходимо до однієї основи. До двійки.

4 х = (2 2) х = 2 2х

Отримуємо рівняння:

2 2х - 3 · 2 х +2 = 0

А ось тут і зависнемо. Попередні прийоми не спрацюють, як не крутись. Прийде діставати з арсеналу ще один могутній і універсальний спосіб. Називається він заміна змінної.

Суть способу проста напрочуд. Замість одного складного значка (у нашому випадку – 2 х) пишемо інший, простіше (наприклад – t). Така, здавалося б, безглузда заміна призводить до потрясних результатів!) Просто все стає зрозумілим!

Отже, нехай

Тоді 2 2х = 2 х2 = (2 х) 2 = t 2

Замінюємо у нашому рівнянні всі ступені з іксами на t:

Ну що, осяює?) Квадратні рівнянняне забули ще? Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:

Тут, головне, не зупинятися, як буває... Це ще не відповідь, нам потрібен ікс, а не t. Повертаємося до іксів, тобто. робимо зворотну заміну. Спочатку для t 1:

Стало бути,

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:

Гм... Зліва 2 х, праворуч 1... Проблема? Та зовсім ні! Досить (з дій зі ступенями, так ...), що одиниця - це будь-якечисло в нульовому ступені. Будь-яке. Яке треба, таке й поставимо. Нам потрібна двійка. Значить:

Ось тепер все. Отримали 2 корені:

Це відповідь.

При розв'язанні показових рівняньнаприкінці іноді виходить якийсь незручний вираз. Типу:

З сімки двійка через простий ступіньне виходить. Чи не родичі вони... Як тут бути? Хтось, може, й розгубиться... А ось людина, яка прочитала на цьому сайті тему "Що таке логарифм?" , тільки скупо посміхнеться та запише твердою рукоюабсолютно вірна відповідь:

Такої відповіді у завданнях "В" на ЄДІ бути не може. Там конкретне число потрібне. А ось у завданнях "С" – запросто.

У цьому уроці наведено приклади розв'язання найпоширеніших показових рівнянь. Виділимо головне.

Практичні поради:

1. Насамперед дивимося на основиступенів. Розуміємо, чи не можна їх зробити однаковими.Пробуємо це зробити, активно використовуючи дії зі ступенями.Не забуваємо, що числа без іксів теж можна перетворювати на міру!

2. Пробуємо привести показове рівняння до виду, коли ліворуч і праворуч стоять однаковічисла в яких завгодно ступенях. Використовуємо дії зі ступенямиі розкладання на множники.Те, що можна порахувати в числах - вважаємо.

3. Якщо друга рада не спрацювала, пробуємо застосувати заміну змінної. У результаті може вийти рівняння, яке легко розв'язується. Найчастіше – квадратне. Або дробове, яке теж зводиться до квадратного.

4. Для успішного розв'язання показових рівнянь треба ступеня деяких чисел знати "на обличчя".

Як завжди, наприкінці уроку вам пропонується трохи вирішити.) Самостійно. Від простого – до складного.

Розв'язати показові рівняння:

Складніше:

2 х+3 - 2 х+2 - 2 х = 48

9 х - 8 · 3 х = 9

2 х - 2 0,5 х +1 - 8 = 0

Знайти твір коріння:

2 3-х + 2 х = 9

Вийшло?

Ну тоді найскладніший приклад(вирішується, правда, в умі...):

7 0.13х + 13 0,7 х +1 + 2 0,5 х +1 = -3

Що вже цікавіше? Тоді ось вам злий приклад. Цілком тягне на підвищену трудність. Нам'якну, що в цьому прикладі рятує кмітливість і найуніверсальніше правило вирішення всіх математичних завдань.)

2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х

Приклад простіше, для відпочинку):

9 · 2 х - 4 · 3 х = 0

І на десерт. Знайти суму коренів рівняння:

х·3 х - 9х + 7·3 х - 63 = 0

Так Так! Це рівняння змішаного типу! Які ми у цьому уроці не розглядали. А що їх розглядати, їх вирішувати треба!) Цього уроку цілком достатньо для вирішення рівняння. Ну і, кмітливість потрібна... І хай допоможе вам сьомий клас (це підказка!).

Відповіді (безладно, через точку з комою):

1; 2; 3; 4; рішень немає; 2; -2; -5; 4; 0.

Все вдало? Чудово.

Є проблеми? Не питання! У Особливому розділі 555 усі ці показові рівняння вирішуються із докладними поясненнями. Що навіщо і чому. Ну і, звичайно, там є додаткова цінна інформація щодо роботи з усілякими показовими рівняннями. Не лише з цими.)

Останнє цікаве питання на міркування. На цьому уроці ми працювали з показовими рівняннями. Чому я тут жодного слова не сказав про ОДЗ?В рівняннях - це дуже важлива штука, між іншим.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Показовими називаються рівняння, у яких невідоме міститься у показнику ступеня. Найпростіше показове рівняння має вигляд: а х = а b де а> 0, а 1, х - невідоме.

Основні властивості ступенів, з яких перетворюються показові рівняння: а>0, b>0.

При розв'язанні показових рівнянь користуються також такими властивостями показової функції: y = a x , a > 0, a1:

Для представлення числа у вигляді ступеня використовують основне логарифмічне тотожність: b = , a > 0, a1, b > 0

Завдання та тести на тему "Показові рівняння"

• Показові рівняння

  Уроків: 4 Задань: 21 Тестів: 1

• Показові рівняння - Важливі теми для повторення ЄДІ з математики

  Завдань: 14

• Системи показових та логарифмічних рівнянь - Показова та логарифмічна функції 11 клас

  Уроків: 1 Задань: 15 Тестів: 1

• §2.1. Розв'язання показових рівнянь

  Уроків: 1 Задань: 27

• §7 Показові та логарифмічні рівняння та нерівності - Розділ 5. Показова та логарифмічна функції 10 клас

  Уроків: 1 Задань: 17

Для успішного розв'язання показових рівнянь Ви повинні знати основні властивості ступенів, властивості показової функції, основну логарифмічну тотожність.

При вирішенні показових рівнянь використовують два основні методи:

1. перехід від рівняння a f(x) = a g(x) до рівняння f(x) = g(x);
2. запровадження нових прямих.

приклади.

1. Рівняння, що зводяться до найпростіших. Вирішуються приведенням обох частин рівняння до ступеня з однаковою основою.

3 x = 9 x - 2.

Рішення:

3 x = (3 2) x - 2;
3 x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x = 4.

Відповідь: 4.

2. Рівняння, які вирішуються за допомогою винесення за дужки загального множника.

Рішення:

3 x - 3 x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 × 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x = 3.

Відповідь: 3.

3. Рівняння, які вирішуються за допомогою заміни змінної.

Рішення:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Позначаємо 2 х = у.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4.Рівняння немає рішень, т.к. 2 х > 0.
б) 2 х = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.

Відповідь: log 2 3.

4. Рівняння, що містять ступеня з двома різними (що не зводяться один до одного) підставами.

3 × 2 х + 1 - 2 × 5 х - 2 = 5 х + 2 х - 2.

3× 2 х + 1 – 2 х – 2 = 5 х – 2 × 5 х – 2
2 х - 2 × 23 = 5 х - 2
×23
2 х - 2 = 5 х - 2
(5/2) х-2 = 1
х - 2 = 0
х = 2.

Відповідь: 2.

5. Рівняння, однорідні щодо a x та b x .

Загальний вигляд: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Рішення:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Позначимо (3/2) x = y.
y 2 - 2,5 y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 =?

Відповідь: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Застосування рівнянь поширене у нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Ступінні чи показові рівняння називають рівняння, у яких змінні перебувають у ступенях, а основою є число. Наприклад:

Рішення показового рівняння зводиться до 2 досить простих дій:

1. Потрібно перевірити чи однакові підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави неоднакові, шукаємо варіанти на вирішення цього прикладу.

2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємо ступені та вирішуємо отримане нове рівняння.

Допустимо, дано показове рівняння наступного виду:

Починати розв'язання цього рівняння слід з аналізу підстави. Підстави різні - 2 і 4, а для вирішення нам потрібно, щоб були однакові, тому перетворимо 4 за такою формулою -\[(a^n)^m = a^(nm):\]

Додаємо до вихідного рівняння:

Винесемо за дужки \

Виразимо \

Оскільки ступені однакові, відкидаємо їх:

Відповідь: \

Де можна вирішити показове рівняння онлайн вирішувачем?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.