Визначення статечно-показової функції. Висновок формули для обчислення її похідної. Докладно розібрано приклади обчислення похідних статечно-показових функцій.
Ступінно-показова функція
- це функція, що має вигляд статечної функції
y = u v ,
у якої основа u та показник ступеня v є деякими функціями від змінної x :
u = u (x); v = v (x).
Цю функцію також називають показово-статечноюабо .
Зауважимо, що статечно-показову функцію можна представити у показовому вигляді:
.
Тому її також називають складною показовою функцією.
Обчислення за допомогою логарифмічної похідної
Знайдемо похідну статечно-показової функції
(2)
,
де і є функції від змінної.
Для цього логарифмуємо рівняння (2), використовуючи властивість логарифму:
.
Диференціюємо по змінній x:
(3)
.
Застосовуємо правила диференціювання складної функціїта твори:
;
.
Підставляємо у (3):
.
Звідси
.
Отже, ми знайшли похідну статечно-показової функції:
(1)
.
Якщо показник ступеня є незмінним, то . Тоді похідна дорівнює похідній складної статечної функції:
.
Якщо основа ступеня є постійною, то . Тоді похідна дорівнює похідній складної показової функції:
.
Коли і є функціями від x , то похідна статечно-показової функції дорівнює сумі похідних складної статечної та показової функцій .
Обчислення похідної приведенням до складної показової функції
Тепер знайдемо похідну статечно-показової функції
(2)
,
представивши її як складну показову функцію:
(4)
.
Диференціюємо твір:
.
Застосовуємо правило знаходження похідної складної функції:
.
І ми знову одержали формулу (1).
Приклад 1
Знайти похідну наступної функції:
.
Рішення
Обчислюємо за допомогою логарифмічної похідної. Логарифмуємо вихідну функцію:
(П1.1) .
З таблиці похідних знаходимо:
;
.
За формулою похідної твори маємо:
.
Диференціюємо (П1.1):
.
Оскільки
,
то
.
Відповідь
Приклад 2
Знайдіть похідну функції
.
Рішення
Логарифмуємо вихідну функцію:
(П2.1) .
Висновок формули похідної статечної функції (x у ступені a). Розглянуто похідні від коренів із x. Формула похідної статечної функції вищого порядку. Приклади обчислення похідних.
Похідна від x у ступені a дорівнює a , помноженому на x у ступені a мінус один:
(1)
.
Похідна від кореня ступеня n з x до ступеня m дорівнює:
(2)
.
Висновок формули похідної статечної функції
Випадок x > 0
Розглянемо статечну функцію від змінної x з показником ступеня a:
(3)
.
Тут a є довільним дійсним числом. Спочатку розглянемо випадок.
Щоб знайти похідну функції (3), скористаємось властивостями статечної функції та перетворюємо її до наступного виду:
.
Тепер знаходимо похідну, застосовуючи:
;
.
Тут.
Формулу (1) доведено.
Висновок формули похідної від кореня ступеня n з x до ступеня m
Тепер розглянемо функцію, що є коренем такого виду:
(4)
.
Щоб знайти похідну, перетворимо корінь до статечної функції:
.
Порівнюючи з формулою (3) бачимо, що
.
Тоді
.
За формулою (1) знаходимо похідну:
(1)
;
;
(2)
.
Насправді немає необхідності запам'ятовувати формулу (2). Набагато зручніше спочатку перетворити коріння до статечних функцій, а потім знаходити їх похідні, застосовуючи формулу (1) (див. приклади наприкінці сторінки).
Випадок x = 0
Якщо , то статечна функція визначена при значенні змінної x = 0
. Знайдемо похідну функції (3) при x = 0
. Для цього скористаємося визначенням похідної:
.
Підставимо x = 0
:
.
При цьому під похідною ми розуміємо правосторонню межу, для якої .
Отже, ми знайшли:
.
Звідси видно, що з , .
При , .
При , .
Цей результат виходить і за формулою (1):
(1)
.
Тому формула (1) справедлива і за x = 0
.
Випадок x< 0
Знову розглянемо функцію (3):
(3)
.
При деяких значеннях постійної a вона визначена і при негативних значенняхзмінної x. А саме, нехай a буде раціональним числом. Тоді його можна подати у вигляді нескоротного дробу:
,
де m і n – цілі числа, які не мають спільного дільника.
Якщо n непарне, то статечна функція визначена при негативних значеннях змінної x . Наприклад, при n = 3
та m = 1
ми маємо кубічний корінь з x :
.
Він і при негативних значеннях змінної x .
Знайдемо похідну статечної функції (3) при і при раціональних значеннях постійної a для яких вона визначена. Для цього представимо x у наступному вигляді:
.
Тоді ,
.
Знаходимо похідну, виносячи постійну за знак похідної та застосовуючи правило диференціювання складної функції:
.
Тут. Але
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Тобто формула (1) справедлива і при:
(1)
.
Похідні вищих порядків
Тепер знайдемо похідні вищих порядків від статечної функції
(3)
.
Похідну першого порядку ми вже знайшли:
.
Виносячи постійну a за знак похідної, знаходимо похідну другого порядку:
.
Аналогічним чином знаходимо похідні третього та четвертого порядків:
;
.
Звідси видно, що похідна довільного n-го порядкумає такий вигляд:
.
Зауважимо, що якщо a є натуральним числом, то n -я похідна є постійною:
.
Тоді всі наступні похідні дорівнюють нулю:
,
при .
Приклади обчислення похідних
приклад
Знайдіть похідну функції:
.
Рішення
Перетворюємо коріння до ступенів:
;
.
Тоді вихідна функція набуває вигляду:
.
Знаходимо похідні ступенів:
;
.
Похідна постійної дорівнює нулю:
.
Операція відшукання похідної називається диференціюванням.
В результаті вирішення завдань про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій визначення похідної як межі відношення прирощення до прирощення аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правиладиференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).
Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згадану вище межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних та правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.
Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїта визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функційзнаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твори, суми та частки - у правилах диференціювання. Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.
приклад 1.Знайти похідну функції
Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.
З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікса" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косінус. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:
приклад 2.Знайти похідну функції
Рішення. Диференціюємо як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:
Якщо поки що виникають питання, звідки береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних та найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо зараз.
Таблиця похідних простих функцій
| 1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є у виразі функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, тому що потрібно дуже часто | |
| 2. Похідна незалежною змінною. Найчастіше "ікса". Завжди дорівнює одиниці. Це також важливо запам'ятати надовго | |
| 3. Похідна ступеня. У ступінь під час вирішення завдань необхідно перетворювати неквадратні коріння. | |
| 4. Похідна змінної у ступені -1 | |
| 5. Похідна квадратного кореня | |
| 6. Похідна синуса | |
| 7. Похідна косинуса |  |
| 8. Похідна тангенса |  |
| 9. Похідна котангенсу |  |
| 10. Похідна арксинуса |  |
| 11. Похідна арккосинусу |  |
| 12. Похідна арктангенса |  |
| 13. Похідна арккотангенса |  |
| 14. Похідна натурального логарифму | |
| 15. Похідна логарифмічна функція |  |
| 16. Похідна експоненти | |
| 17. Похідна показової функції |
Правила диференціювання
| 1. Похідна суми чи різниці |  |
| 2. Похідна твори |  |
| 2a. Похідна вирази, помноженого на постійний множник | |
| 3. Похідна приватного |  |
| 4. Похідна складної функції |  |
Правило 1.Якщо функції
диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції
причому
тобто. похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій.
Слідство. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, тобто.
Правило 2Якщо функції
диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх добуток
причому
тобто. похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій похідну інший.
Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Наслідок 2. Похідна твори декількох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів похідної кожного з співмножників на всі інші.
Наприклад, для трьох множників:
Правило 3Якщо функції
диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватнеu/v , причому
тобто. похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.
Де що шукати на інших сторінках
При знаходженні похідної твори і частки у реальних завданнях завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - у статті"Виробничі твори та приватні функції".
Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У разі доданку її похідна дорівнює нулю, а разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапівивчення похідних, але з розв'язання кількох одно- двухсоставных прикладів середній студент цієї помилки не робить.
А якщо при диференціюванні твору чи приватного у вас з'явився доданок u"v, в котрому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок буде дорівнює нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).
Інша часта помилка- механічне рішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.
По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .
Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто 
, то слідуйте на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями та корінням".
Якщо ж перед Вами завдання начебто 
, то Вам на заняття "Виробні простих тригонометричних функцій".
Покрокові приклади - як знайти похідну
приклад 3.Знайти похідну функції
Рішення. Визначаємо частини виразу функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники - суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:
Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 - на нуль. У другому виразі "ікс" помножено на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікса". Отримуємо такі значення похідних:
Підставляємо знайдені похідні у суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:
приклад 4.Знайти похідну функції
Рішення. Від нас потрібно знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання частки: похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. Отримуємо:
Похідну співмножників у чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником у чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:
Якщо Ви шукаєте вирішення таких завдань, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів та ступенів, як, наприклад, 
, то ласкаво просимо на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями і корінням" .
Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд начебто , то Вам на урок "Виробні простих тригонометричних функцій" .
Приклад 5.Знайти похідну функції
Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомились у таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значенняпохідної квадратного кореня отримуємо:
Приклад 6.Знайти похідну функції
Рішення. У цій функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь із незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:
Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на .
Доказ та виведення формул похідної експоненти (e у ступені x) та показової функції (a у ступені x). Приклади обчислення похідних від e^2x, e^3x та e^nx. Формули похідних вищих систем.
Похідна експоненти дорівнює самій експоненті (похідна e у ступені x дорівнює e у ступені x):
(1)
(e x )′ = e x.
Похідна показової функції з основою ступеня a дорівнює самій функції, помноженій на натуральний логарифм від a:
(2)
.
Висновок формули похідної експоненти, e ступенем x
Експонента - це показова функція, у якої основа ступеня дорівнює числу e, яке є такою межею:
.
Тут може бути як натуральним, так і дійсним числом. Далі ми виводимо формулу (1) похідної експоненти.
Висновок формули похідної експоненти
Розглянемо експоненту, e у ступені x :
y = e x.
Ця функція визначена всім . Знайдемо її похідну за змінною x. За визначенням, похідна є такою межею:
(3)
.
Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичних властивостей та правил. Для цього нам знадобляться такі факти:
а)Властивість експоненти:
(4)
;
Б)Властивість логарифму:
(5)
;
в)Безперервність логарифму та властивість меж для безперервної функції:
(6)
.
Тут - деяка функція, у якої існує межа і ця межа позитивна.
г)Значення другої чудової межі:
(7)
.
Застосовуємо ці факти до нашої межі (3). Використовуємо властивість (4):
;
.
Зробимо підстановку. Тоді; .
В силу безперервності експоненти,
.
Тому за , . В результаті отримуємо:
.
Зробимо підстановку. Тоді. При , . І ми маємо:
.
Застосуємо властивість логарифму (5):
. Тоді
.
Застосуємо властивість (6). Оскільки існує позитивна межа та логарифм безперервний, то:
.
Тут ми також скористалися другою чудовою межею (7). Тоді
.
Таким чином, ми отримали формулу (1) похідної експоненти.
Висновок формули похідної показової функції
Тепер виведемо формулу (2) похідної показової функції з основою ступеня a. Ми вважаємо, що і . Тоді показова функція
(8)
Визначено для всіх.
Перетворимо формулу (8). Для цього скористаємося властивостями показової функціїта логарифма.
;
.
Отже, ми перетворили формулу (8) на такий вид:
.
Похідні вищих порядків від e до ступеня x
Тепер знайдемо похідні найвищих порядків. Спочатку розглянемо експоненту:
(14)
.
(1)
.
Ми, що похідна від функції (14) дорівнює самій функції (14). Диференціюючи (1), отримуємо похідні другого та третього порядку:
;
.
Звідси видно, що похідна n-го порядку також дорівнює вихідній функції:
.
Похідні вищих порядків показової функції
Тепер розглянемо показову функцію з основою ступеня a:
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(15)
.
Диференціюючи (15), отримуємо похідні другого та третього порядку:
;
.
Ми, що кожне диференціювання призводить до множення вихідної функції на . Тому похідна n-го порядку має такий вигляд:
.
Цим відео я починаю довгу серію уроків, присвячену похідним. Цей урок складається з кількох частин.
Насамперед, я розповім вам, що взагалі таке похідні і як їх вважати, але не хитромудрою академічною мовою, а так, як я сам це розумію і як пояснюю своїм учням. По-друге, ми розглянемо найпростіше правило для вирішення завдань, в яких шукатимемо похідні суми, похідні різниці та похідні статечної функції.
Ми розглянемо складніші комбіновані приклади, з яких ви, зокрема, дізнаєтеся, що подібні завдання, що містять коріння і навіть дроби, можуть бути вирішені при використанні формули похідної статечної функції. Крім того, звичайно, буде безліч завдань і прикладів рішень різного рівня складності.
Взагалі, спочатку я збирався записати коротенький 5-хвилинний ролик, але бачите, що з цього вийшло. Тому вистачить лірики – приступаємо до справи.
Що таке похідна?
Отже, почнемо здалеку. Багато років тому, коли дерева були зеленішими, а життя було веселішим, математики замислилися ось над чим: розглянемо просту функцію, задану своїм графіком, назвемо її $ y = f \ left (x \ right) $. Зрозуміло, графік існує не сам собою, тому потрібно провести осі $x$, а також вісь $y$. А тепер давайте виберемо будь-яку точку на цьому графіку, абсолютно будь-яку. Абсцис назвемо $((x)_(1))$, ордината, як не важко здогадатися, буде $f\left(((x)_(1)) \right)$.
Розглянемо на тому ж графіку ще одну точку. Не важливо, яку, головне, щоб вона відрізнялася від первісної. У неї, знову ж таки, є абсциса, назвемо її $((x)_(2))$, а також ордината - $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Отже, ми отримали дві точки: у них різні абсциси і, отже, різні значенняфункції, хоча останнє необов'язково. А ось що справді важливо, то це що, що з курсу планіметрії нам відомо: через дві точки можна провести пряму і, до того ж, лише одну. Ось давайте її і проведемо.
А тепер проведемо через найпершу з них пряму, паралельну до осі абсцис. Отримаємо прямокутний трикутник. Давайте позначимо його $ABC$, прямий кут $C$. У цього трикутника виникає одне дуже цікава властивість: Справа в тому, що кут $ \ alpha $, насправді, дорівнює куту, під яким перетинається пряма $ AB $ з продовженням осі абсцис. Судіть самі:
- пряма $AC$паралельна осі $Ox$ за побудовою,
- пряма $AB$ перетинає $AC$ під $\alpha $,
- отже, $AB$ перетинає $Ox$під тим самим $\alpha $.
Що ми можемо сказати про $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Нічого конкретного, хіба що в трикутнику $ABC$ставлення катета $BC$ до катета $AC$ дорівнює тангенсу цього самого кута. Так і запишемо:
Зрозуміло, $AC$ в даному випадкулегко вважається:
Так само і $BC$:
Іншими словами, ми можемо записати таке:
\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]
Тепер, коли ми все це з'ясували, повернімося до нашого графіку і розглянемо нову точку $B$. Зітріть старі значення і візьмемо і візьмемо $B$ десь ближче до $((x)_(1))$. Знову позначимо її абсцису за $((x)_(2))$, а ординату - $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Знову розглянемо наш маленький трикутник $ABC$і $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ всередині нього. Цілком очевидно, що це буде вже зовсім інший кут, тангенс буде також іншим тому, що довжини відрізків $AC$ і $BC$ суттєво змінилися, а формула для тангенсу кута анітрохи не змінилася — це, як і раніше, співвідношення між зміною функції та зміною аргументу .
Нарешті, продовжуємо рухати $B$ все ближче до початкової точки $A$, в результаті трикутник ще зменшиться, а пряма, що містить відрізок $AB$, все більше буде схожою на графіку до функції.
У результаті, якщо продовжувати зближення точок, тобто зменшувати відстань до нуля, то пряма $AB$ дійсно перетвориться на дотичну до графіка в цій точці, а $\text( )\!\!\alpha\!\ !\text( )$перетвориться з звичайного елементатрикутника в кут між дотичною до графіка та позитивним напрямом осі $Ox$.
І ось тут ми плавно переходимо до визначення $f$, а саме похідної функції в точці $((x)_(1))$ називається тангенс кута $\alpha $ між дотичною до графіка в точці $((x)_( 1))$ і позитивним напрямком осі $Ox$:
\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]
Повертаючись до нашого графіку, слід зазначити, що $((x)_(1))$ можна вибрати будь-яку точку на графіку. Наприклад, з тим самим успіхом ми могли зняти штрих у точці, показаній на малюнку.
Кут між дотичним та позитивним напрямком осі назвемо $\beta$. Відповідно, $f$ $((x)_(2))$ дорівнюватиме тангенсу цього кута $\beta $.
\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]
У кожній точці графіка буде своя дотична, отже, своє значення функції. У кожному з цих випадків крім точки, в якій ми шукаємо похідну різниці або суми, або похідну статечної функції, необхідно взяти іншу точку, що знаходиться на деякій відстані від неї, а потім спрямувати цю точку до вихідної і, зрозуміло, з'ясувати, як у процесі такого руху змінюватиметься тангенс кута нахилу.
Похідна статечної функції
На жаль, подібне визначення нас зовсім не влаштовує. Всі ці формули, картинки, кути не дають нам найменшого уявлення про те, як вважати реальну похідну в реальних завданнях. Тому давайте трохи відвернемося від формального визначення та розглянемо більш дієві формули та прийоми, за допомогою яких вже можна вирішувати справжні завдання.
Почнемо з самих простих конструкцій, Зокрема, функцій виду $y=((x)^(n))$, тобто. статечних функцій. У цьому випадку ми можемо записати наступне: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Іншими словами, ступінь, що стояла в показнику, показується в множнику спереду, а сам показник зменшується на одиницю Наприклад:
\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]
А ось інший варіант:
\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\end(align)\]
Користуючись цими простими правилами, спробуємо зняти штрих наступних прикладів:
Отже, ми отримуємо:
\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
Тепер вирішимо другий вираз:
\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]
Зрозуміло, це були дуже прості завдання. Однак реальні завдання складніші і вони не обмежуються одними лише ступенями функції.
Отже, правило № 1 – якщо функція представлена у вигляді двох інших, то похідна цієї суми дорівнює сумі похідних:
\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]
Аналогічно, похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних:
\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]
\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]
Крім того, є ще одне важливе правило: якщо перед деякою $f$ стоїть константа $c$, на яку ця функція множиться, то $f$ всієї цієї конструкції вважається так:
\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]
\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prime ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
Нарешті, ще одне дуже важливе правило: у завданнях часто зустрічається окремий доданок, який взагалі не містить $x$. Наприклад, ми можемо спостерігати це у наших сьогоднішніх виразах. Похідна константи, тобто, числа, що не залежить від $x$, завжди дорівнює нулю, причому зовсім неважливо, чому дорівнює константа $c$:
\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]
Приклад рішення:
\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]
Ще раз ключові моменти:
- Похідна суми двох функцій завжди дорівнює сумі похідних: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
- По аналогічних причин похідна різниці двох функцій дорівнює різниці двох похідних: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
- Якщо у функції є множник константа, то цю константу можна виносити за знак похідної: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
- Якщо вся функція є константою, то її похідна завжди нуль: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.
Давайте подивимося, як все це працює на реальні приклади. Отже:
Записуємо:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]
У цьому вся прикладі бачимо і похідну суми, і похідну різниці. Отже, похідна дорівнює $5((x)^(4))-6x$.
Переходимо до другої функції:
Записуємо рішення:
\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\end(align)\]
Ось ми й знайшли відповідь.
Переходимо до третьої функції - вона вже серйозніша:
\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2))) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Відповідь ми виявили.
Переходимо до останнього виразу — найскладнішого і найдовшого:
Отже, вважаємо:
\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\end(align)\]
Але на цьому рішення не закінчується, тому що нас просять не просто зняти штрих, а порахувати її значення в конкретній точці, тому підставляємо у вираз −1 замість $x$:
\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
Йдемо далі і переходимо до ще складніших і цікавим прикладам. Справа в тому, що формула рішення статечної похідної $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))$ має ще більш широку сферу застосування, ніж зазвичай прийнято вважати. З її допомогою можна вирішувати приклади з дробами, корінням тощо. д. Саме цим ми зараз і займемося.
Для початку ще раз запишемо формулу, яка допоможе нам знайти похідну статечної функції:
А тепер увага: досі ми розглядали як $n$ лише натуральні числаОднак нічого не заважаємо розглянути дроби і навіть негативні числа. Наприклад, ми можемо записати таке:
\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\end(align)\]
Нічого складного, тому подивимося, як ця формула допоможе нам при вирішенні більш складних завдань. Отже, приклад:
Записуємо рішення:
\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(align)\]
Повертаємось до нашого прикладу та записуємо:
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]
Ось таке складне рішення.
Переходимо до другого прикладу — тут лише два доданки, але кожне містить як класичну ступінь, і коріння.
Зараз ми дізнаємося, як знайти похідну статечної функції, яка, крім того, містить і корінь:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11))(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]
Обидва доданки пораховані, залишилося записати остаточну відповідь:
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
Ми знайшли відповідь.
Похідна дроби через статечну функцію
Але і на цьому можливості формули для вирішення похідної статечної функції не закінчуються. Справа в тому, що з її допомогою можна вважати не тільки приклади з корінням, але й з дробами. Це якраз та рідкісна можливість, яка значно спрощує вирішення таких прикладів, але при цьому найчастіше ігнорується не лише учнями, а й учителями.
Отже, зараз ми спробуємо поєднати одразу дві формули. З одного боку, класична похідна статечної функції
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
З іншого боку ми знаємо, що вираз виду $\frac(1)(((x)^(n)))$ представимо у вигляді $((x)^(-n))$. Отже,
\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]
\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]
Таким чином, похідні простих дробів, де в чисельнику стоїть константа, а в знаменнику - ступінь, також вважаються за допомогою класичної формули. Подивимося, як це працює практично.
Отже, перша функція:
\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2))) right))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]
Перший приклад вирішено, переходимо до другого:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^) (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ left(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ end(align)\]...
Тепер збираємо всі ці доданки в єдину формулу:
\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]
Ми отримали відповідь.
Однак перш ніж рухатися далі, хотів би звернути вашу увагу на форму запису самих вихідних виразів: у першому виразі ми записали $f\left(x \right)=...$, у другому: $y=...$ Багато учнів губляться, коли бачать різні формизапис. Чим відрізняються $f\left(x \right)$ і $y$? Насправді нічим. Це просто різні записи з тим самим змістом. Просто коли ми говоримо $f\left(x \right)$, то мова йде, Насамперед, про функції, а коли йдеться про $y$, то найчастіше мається на увазі графік функції. В іншому ж це одне й те саме, тобто похідна в обох випадках вважається однаково.
Складні завдання з похідними
Насамкінець хотілося б розглянути пару складних комбінованих завдань, в яких використовується відразу все те, що ми сьогодні розглянули. У них на нас чекають і коріння, і дроби, і суми. Однак складними ці приклади будуть лише в рамках сьогоднішнього відеоуроку, тому що по-справжньому складні функції похідних чекатимуть на вас попереду.
Отже, остання частина сьогоднішнього відеоуроку, що складається з двох комбінованих завдань. Почнемо з першої з них:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]
Похідна функції дорівнює:
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]
Перший приклад вирішено. Розглянемо друге завдання:
У другому прикладі діємо аналогічно:
\[((\left(-\frac(2))(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3))))) \right))^ (\prime ))\]
Порахуємо кожне доданок окремо:
\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac()) 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4))(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]
Усі доданки пораховані. Тепер повертаємося до вихідної формули і складаємо разом усі три доданки. Отримуємо, що остаточна відповідь буде такою:
\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]
І на цьому все. То був перший наш урок. У наступних уроках ми розглянемо більше складні конструкції, а також з'ясуємо, навіщо взагалі потрібні похідні.
