Інтегрування елементарних функций. Первісна

На цій сторінці ви знайдете:

1. Власне, таблицю первісних - її можна завантажити у форматі PDF та роздрукувати;

2. Відео, присвячене тому, як цією таблицею користуватися;

3. Купу прикладів обчислення первісної з різних підручників та контрольних робіт.

У самому відео ми розберемо безліч завдань, де потрібно порахувати першорядні функцій, часто досить складних, але головне - статечними. Усі функції, зведені в таблицю, запропоновану вище, необхідно знати напам'ять, подібно до похідних. Без них неможливе подальше вивчення інтегралів та їх застосування для вирішення практичних завдань.

Сьогодні ми продовжуємо займатися першорядними і переходимо у більш складній темі. Якщо минулого разу ми розглядали первісні лише від статечних функцій і трохи складніших конструкцій, то сьогодні ми розберемо тригонометрію та багато іншого.

Як я говорив на минулому занятті, первісні, на відміну від похідних, ніколи не вирішуються «напролом» за допомогою будь-яких стандартних правил. Понад те, погана новина у тому, що на відміну похідної, первообразная взагалі може вважатися. Якщо ми напишемо абсолютно випадкову функцію і спробуємо знайти її похідну, то це з дуже великою ймовірністю у нас вийде, а ось первісна практично ніколи в цьому випадку не вважатиметься. Але є й хороша новина: існує досить великий клас функцій, які називають елементарними, первісні від яких дуже легко вважаються. А всі інші більше складні конструкції, які дають на всіляких контрольних, самостійних та іспитах, насправді складаються з цих елементарних функцій шляхом складання, віднімання та інших нескладних дій. Першорядні такі функції давно пораховані і зведені в спеціальні таблиці. Саме з такими функціями та таблицями ми сьогодні працюватимемо.

Але почнемо ми, як завжди, з повторення: пригадаємо, що таке первообразна, чому їх нескінченно багато і як визначити їх загальний вигляд. Для цього я підібрав два прості завдання.

Рішення легких прикладів

Приклад №1

Відразу зауважимо, що $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ і взагалі наявність $\text( )\!\!\pi\!\!\ text( )$ відразу натякає нам, що шукана первісна функції пов'язані з тригонометрією. І, дійсно, якщо ми подивимося в таблицю, то виявимо, що $ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ - не що інше як $ text (arctg) x $. Так і запишемо:

Для того, щоб знайти, необхідно записати наступне:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C]

Приклад №2

Тут також мова йдео тригонометричних функціях. Якщо ми подивимося в таблицю, то дійсно так і вийде:

Нам потрібно серед усієї множини первісних знайти ту, яка проходить через вказану точку:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Давайте остаточно запишемо:

Отак усе просто. Єдина проблема полягає в тому, щоб вважати первісні простих функцій, Треба вивчити таблицю первісних. Однак після вивчення похідних таблиці для вас, я думаю, це не буде проблемою.

Вирішення задач, що містять показову функцію

Для початку запишемо такі формули:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Погляньмо, як це все працює на практиці.

Приклад №1

Якщо ми подивимося на вміст дужок, то зауважимо, що в таблиці первісних немає такого виразу, щоб $((e)^(x))$ стояло у квадраті, тому цей квадрат необхідно розкрити. Для цього скористаємося формулами скороченого множення:

Давайте знайдемо першорядну для кожного з доданків:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

А тепер зберемо всі складові в єдиний вираз і отримаємо загальну первісну:

Приклад №2

Цього разу ступінь вже більший, тому формула скороченого множення буде досить складною. Отже розкриємо дужки:

Тепер від цієї конструкції спробуємо взяти первісну від нашої формули:

Як бачите, у первинних показових функціях немає нічого складного і надприродного. Всі один вважаються через таблиці, проте уважні учні напевно помітять, що первісна $((e)^(2x))$ набагато ближче просто до $((e)^(x))$ ніж до $((a)^(x )) $. Так, можливо, існує якесь більш спеціальне правило, що дозволяє, знаючи первісну $((e)^(x))$, знайти $((e)^(2x))$? Так, таке правило існує. І, більше, воно є невід'ємною частиною роботи з таблицею первісних. Його ми зараз розберемо на прикладі тих самих виразів, з якими ми щойно працювали.

Правила роботи з таблицею первісних

Ще раз випишемо нашу функцію:

У попередньому випадку ми використовували для вирішення таку формулу:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Але зараз зробимо трохи інакше: пригадаємо, на якому знов $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Як уже й казав, тому що похідна $((e)^(x))$ — це не що інше як $((e)^(x))$, тому її першорядна дорівнюватиме тому ж самому $((e) ^(x))$. Але проблема в тому, що у нас $((e)^(2x))$ і $((e)^(-2x))$. Зараз спробуємо знайти похідну $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Давайте ще раз перепишемо нашу конструкцію:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2) \right))^(\prime ))\]

А це означає, що при знаходженні первісної $((e)^(2x))$ ми отримаємо наступне:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Як бачите, ми отримали той же результат, що й раніше, проте не скористалися формулою для знаходження $((a)^(x))$. Зараз це може здатися дурістю: навіщо ускладнювати обчислення, коли є стандартна формула? Однак у трохи складніших висловлюваннях ви переконаєтеся, що це прийом дуже ефективний, тобто. використання похідних для знаходження первісних.

Давайте як розминку аналогічним способом знайдемо первісну від $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x))))(-2) \right))^(\prime ))\]

При обчисленні наша конструкція запишеться так:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Ми отримали той самий результат, але пішли при цьому іншим шляхом. Саме цей шлях, який зараз здається нам трохи складнішим, надалі виявиться більш ефективним для обчислення складніших первісних та використання таблиць.

Зверніть увагу! Це дуже важливий момент: первісні як і похідні можна вважати безліччю різних способів. Однак якщо всі обчислення та викладки будуть рівні, то відповідь вийде одним і тим же. Ми переконалися в цьому щойно на прикладі $((e)^(-2x))$ — з одного боку ми порахували цю первісну «напролом», скориставшись визначенням і порахувавши її за допомогою перетворень, з іншого боку, ми згадали, що $ ((e)^(-2x))$ може бути представлено як $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ і вже потім скористалися первісною для функції $( (a)^(x))$. Тим не менш, після всіх перетворень результат вийшов одним і тим самим, як і передбачалося.

А тепер, коли ми все це зрозуміли, настав час перейти до чогось більшого. Зараз ми розберемо дві простенькі конструкцій, проте прийом, який буде закладений при їх вирішенні, є більш потужним і корисним інструментом, ніж просте «бігання» між сусідніми первісними таблиці.

Розв'язання задач: знаходимо первісну функцію

Приклад №1

Давайте суму, яка коштує в чисельники, розклади на три окремі дроби:

Це досить природний та зрозумілий перехід — у більшості учнів проблем із ним не виникає. Перепишемо наш вираз так:

А тепер згадаємо таку формулу:

У нашому випадку ми отримаємо таке:

Щоб позбавитися всіх цих триповерхових дробів, пропоную вчинити таким чином:

Приклад №2

На відміну від попереднього дробу у знаменнику стоїть не твір, а сума. У цьому випадку ми вже не можемо розділити наш дріб на суму кількох простих дробів, А потрібно якимось чином постаратися зробити так, щоб у чисельнику стояло приблизно такий самий вираз як у знаменнику. У даному випадкузробити це досить просто:

Такий запис, який мовою математики називається «додавання нуля», дозволить нам знову розділити дріб на два шматочки:

Тепер знайдемо те, що шукали:

Ось і всі обчислення. Незважаючи на велику складність, ніж у попередній задачі, обсяг обчислень вийшов навіть меншим.

Нюанси рішення

І ось у цьому криється основна складність роботи з табличними первісними, особливо це помітно на другому завданні. Справа в тому, що для того, щоб виділити якісь елементи, які легко вважаються через таблицю, нам потрібно знати, що конкретно ми шукаємо, і саме в пошуку цих елементів і полягає все обчислення первісних.

Інакше кажучи, недостатньо просто зазубрити таблицю первісних — треба вміти бачити щось, чого ще немає, але що мав на увазі автор і укладач цього завдання. Саме тому багато математиків, вчителів і професорів постійно сперечаються: «А що таке взяття першорядних чи інтегрування — це просто інструмент чи це справжнє мистецтво?». Насправді, особисто на мій погляд, інтегрування — це не мистецтво — в ньому немає нічого піднесеного, це просто практика і ще раз практика. І щоб попрактикуватися, давайте вирішимо ще три серйозніші приклади.

Тренуємося в інтегруванні на практиці

Завдання №1

Запишемо такі формули:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Давайте запишемо таке:

Завдання № 2

Перепишемо так:

Разом перша буде дорівнювати:

Завдання №3

Складність цього завдання у тому, що на відміну попередніх функцій зверху взагалі відсутня якась змінна $x$, тобто. нам незрозуміло, що додавати, віднімати, щоб отримати хоч щось схоже на те, що стоїть знизу. Однак, насправді, цей вираз вважається навіть простіше, ніж будь-який вираз із попередніх конструкцій, тому що цю функціюможна переписати так:

Можливо, ви зараз запитаєте: чому ці функції рівні? Давайте перевіримо:

Ще перепишемо:

Трохи перетворимо наш вираз:

І коли я все це пояснюю своїм учням, практично завжди виникає та сама проблема: з першою функцією все більш-менш зрозуміло, з другою теж при везенні чи практиці можна розібратися, але яку альтернативну свідомість треба мати, щоб вирішити третій приклад? Насправді не лякайтеся. Той прийом, який ми використовували при обчисленні останньої первісної, називається «розкладання функції на найпростіші», і це дуже серйозний прийом, і йому буде присвячено окремий відеоурок.

А поки що пропоную повернутися до того, що ми щойно вивчили, а саме, до показових функцій і дещо ускладнити завдання з їх змістом.

Більш складні завдання на вирішення первинних показових функцій

Завдання №1

Зауважимо таке:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Щоб знайти первісної цього виразу, досить просто скористатися стандартною формулою - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

У нашому випадку первісна буде така:

Зрозуміло, на тлі тієї конструкції, яку ми вирішували щойно, ця виглядає більш простою.

Завдання № 2

Знову ж таки, неважко помітити, що цю функцію нескладно розділити на два окремих доданків — два окремі дроби. Перепишемо:

Залишилося знайти первісну від кожного від цих доданків за формулою:

Незважаючи на уявну велику складність показових функційпорівняно зі статечними, загальний обсяг обчислень та викладок вийшов набагато простіше.

Звичайно, для знаючих учнів те, що ми тільки-но розібрали (особливо на тлі того, що ми розібрали до цього), може здатися елементарними виразами. Однак вибираючи саме ці дві задачі для сьогоднішнього відеоуроку, я не ставив собі за мету розповісти вам ще один складний і наворочений прийом — все, що я хотів вам показати, так це те, що не варто боятися використовувати стандартні прийоми алгебри для перетворення вихідних функцій.

Використання «секретного» прийому

На закінчення хотілося б розібрати ще один цікавий прийом, який, з одного боку виходить за межі того, що ми сьогодні переважно розбирали, але, з іншого боку, він, по-перше, зовсім не складний, тобто. його можуть освоїти навіть учні-початківці, а, по-друге, він досить часто зустрічається на всіляких контрольних і самостійних роботах, тобто. знання його буде дуже корисно на додаток до знання таблиці первісних.

Завдання №1

Очевидно, що перед нами щось дуже схоже на статечну функцію. Як нам вчинити у цьому випадку? Давайте замислимося: $x-5$ відрізняється від $x$ не так вже й сильно - просто додали $-5$. Запишемо так:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5) = ((x) ^ (4)) \]

Давайте спробуємо знайти похідну від $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Звідси випливає:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5))))(5) \ right))^(\prime ))\]

У таблиці немає такого значення, тому ми зараз самі вивели цю формулу, використовуючи стандартну формулу первісної статечної функції. Давайте так і запишемо відповідь:

Завдання № 2

Багатьом учням, які подивляться на перше рішення, може здатися, що все дуже просто: достатньо замінити в статечній функції $x$ лінійним виразом, і все стане на свої місця. На жаль, все не так просто, і зараз ми переконаємося в цьому.

За аналогією з першим виразом запишемо наступне:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Повертаючись до нашої похідної, ми можемо записати:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10))))--30) \right))^(\prime ))\]

Звідси відразу випливає:

Нюанси рішення

Зверніть увагу: якщо минулого разу насправді нічого не змінилося, то в другому випадку замість $-10$ з'явилося $-30$. На що відрізняється $-10$ та $-30$? Вочевидь, що у множник $-3$. Запитання: звідки він узявся? Придивившись, можна побачити, що вона взялася в результаті обчислень похідної складної функції - той коефіцієнт, який стояв при $x$, з'являється в першорядній внизу. Це дуже важливе правило, яке я спочатку взагалі не планував розбирати у сьогоднішньому відеоуроці, але без нього виклад табличних першоподібних був би неповним.

Тож давайте ще раз. Нехай є наша основна статечна функція:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

А тепер замість $x$ давайте підставимо вираз $kx+b$. Що тоді станеться? Нам потрібно знайти таке:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+) 1 \right)\cdot k)\]

На якій підставі це ми стверджуємо? Дуже просто. Давайте знайдемо похідну написаної вище конструкції:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1))))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Це той самий вираз, який спочатку був. Таким чином, ця формула теж вірна, і нею можна доповнити таблицю первісних, а краще просто запам'ятати всю таблицю.

Висновки із «секретного: прийому:

• Обидві функції, які ми щойно розглянули, насправді, можуть бути зведені до первісних, вказаних у таблиці, шляхом розкриття ступенів, але якщо з четвертим ступенем ми ще більш-менш впораємося, то ось дев'ятий ступінь я взагалі не ризикнув розкривати.
• Якби ми розкрили ступеня, то ми отримали б такий обсяг обчислень, що просте завданнязайняла б у нас неадекватно велика кількістьчасу.
• Саме тому такі завдання, усередині яких стоять лінійні вирази, не потрібно вирішувати «напролом». Як тільки ви зустрічаєте первісну, яка відрізняється від тієї, що в таблиці, лише наявністю виразу $kx+b$ всередині, відразу згадуйте написану вище формулу, підставляйте її у вашу табличну первісну, і все у вас вийде набагато швидше та простіше.

Звичайно, через складність і серйозність цього прийому ми ще неодноразово повернемося до його розгляду в майбутніх відеоуроках, але на сьогодні у мене все. Сподіваюся, цей урок справді допоможе тим учням, які хочуть розібратися у першорядних та в інтегруванні.

У школі у багатьох не виходить вирішити інтеграли або виникають труднощі з ними. Ця стаття допоможе вам у цьому розібратися, тому що в ній ви знайдете все таблиці інтегралів.

Інтегралє одним із головних обчислень та поняттям у математичному аналізі. Його поява вийшла від двох цілей:
Перша мета- Відновити функцію за допомогою її похідної.
Друга мета- обчислення площі, що знаходиться на відстані від графіка до функції f(x) на прямій де, а більше або дорівнює х більше або дорівнює b і вісь абсцис.

Ці цілі підводять нас до певних і невизначених інтегралів. Зв'язок між даними інтегралами лежить у пошуку властивостей та обчисленні. Але все тече і змінюється з часом, знаходилися нові шляхи рішення, виявлялися доповнення цим приводячи певні і невизначені інтеграли до інших форм інтегрування.

Що таке невизначений інтеграл спитайте Ви. Це первісна функція F(x) однієї змінної x в інтервалі а більше x більше b. називається будь-якою функцією F(x), в даному інтервалі для будь-якого позначення х, похідна дорівнює F(x). Зрозуміло що F(x) первісна для f(x) у проміжку а більше x більше b. Значить F1(x) = F(x) + C. З є будь-яким постійним і першорядним для f(x) в даному інтервалі. Дане твердження оборотне, для функції f(x) - 2 первісні відрізняються лише постійною. Спираючись на теорему інтегрального обчислення, виходить, що кожна безперервна в інтервалі a

Визначений інтеграл розуміється як межа в інтегральних сумах, чи ситуації заданої функції f(x) визначеної на деякій прямий (а,b) маючи на ньому первісну F, що означає різницю її виразів у кінцях даної прямої F(b) - F(a).

Для наочності вивчення цієї теми пропоную подивитися відео. У ньому докладно розповідається і показується, як знаходити інтеграли.

Кожна таблиця інтегралів як така дуже корисна, оскільки допомагає у вирішенні конкретного виду інтегралів.

Усі можливі види канцтоварів і не лише. Ви можете придбати через інтернет магазин v-kant.ru. Або просто перейдіть на посилання Канцтовари Самара (http://v-kant.ru) якість і ціни Вас приємно здивують.

У більш ранньому матеріалі було розглянуто питання знаходження похідної та були показані її різні застосування: обчислення кутового коефіцієнтащо стосується графіку, вирішення завдань на оптимізацію, дослідження функцій на монотонність та екстремуми. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Малюнок 1.

Також було розглянуто завдання знаходження миттєвої швидкості $v(t)$ за допомогою похідної по заздалегідь відомому пройденому шляху, що виражається функцією $s(t)$.

Малюнок 2.

Дуже часто зустрічається і зворотне завдання, коли потрібно знайти шлях $s(t)$, пройдений точкою за час $t$, знаючи швидкість руху точки $v(t)$. Якщо згадати, миттєва швидкість $v(t)$ перебуває, як похідна від функції шляху $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Отже, щоб вирішити обернену задачу, тобто обчислити шлях, потрібно знайти функцію, похідна якої дорівнюватиме функції швидкості. Але ми знаємо, що похідна шляху і є швидкість, тобто: $ s '(t) = v (t) $. Швидкість дорівнює добутку прискорення тимчасово: $v=at$. Неважко визначити, що потрібна функція шляху матиме вигляд: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Але це зовсім повне рішення. Повне рішення матиме вигляд: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) + C $, де $ C $ - деяка константа. Чому саме так буде розказано далі. А поки перевіримо правильність знайденого рішення: $ s "(t) = \ left (\ frac (at ^ 2) (2) + C \ right)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = at = v ( t) $.

Варто зауважити, що знаходження шляху за швидкістю є фізичним змістом первісної.

Отримана функція $s(t)$ називається первинної функції $v(t)$. Досить цікава і незвичайна назва, чи не так. У ньому криється великий сенс, який пояснює суть даного поняття та веде до його розуміння. Можна зауважити, що в ньому укладено два слова «перший» та «образ». Вони самі за себе говорять. Тобто це та функція, яка є вихідною для похідної. А ми по цій похідній шукаємо ту функцію, яка була на початку, була «першою», «перше», тобто первісною. Її іноді також називають примітивною функцією чи антипохідною.

Як нам відомо, процес перебування похідної називається диференціюванням. А процес знаходження первинної називається інтегруванням. Операція інтегрування є зворотною для операції диференціювання. Правильне і зворотне твердження.

Визначення.Першорядною для функції $f(x)$ на певному інтервалі називається така функція $F(x)$, похідна якої дорівнює цій функції $f(x)$ для всіх $x$ із зазначеного інтервалу: $F'(x)=f (x) $.

У когось може виникнути питання: звідки у визначенні взялися $F(x)$ і $f(x)$, якщо спочатку йшлося про $s(t)$ і $v(t)$. Річ у тім, що $s(t)$ і $v(t)$ – окремі випадки позначення функцій, мають у разі конкретний сенс, тобто це функція часу і швидкість швидкості відповідно. Те саме і зі змінною $t$ - вона позначає час. А $f$ і $x$ – традиційний варіант загального позначенняфункції та змінної відповідно. Варто звернути особливу увагу на позначення первісної $F(x)$. По-перше, $F$ - велика. Первинні позначаються великими літерами. По-друге, літери збігаються: $F$ та $f$. Тобто, для функції $g(x)$ первісна буде позначатись $G(x)$, для $z(x)$ – $Z(x)$. Незалежно від позначень правила знаходження первинної функції завжди однакові.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.Довести, що функція $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ є першорядною функцією $f(x)=\cos5x$.

Для доказу скористаємося визначенням, а точніше тим, що $F'(x)=f(x)$, і знайдемо похідну функції $F(x)$: $F'(x)=(\frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Отже $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ є первісною $f(x)=\cos5x$. Що і потрібно було довести.

приклад 2.Знайти, яким функціям відповідають такі первісні: $F(z)=\tg z$; б) $G(l) = \sin l$.

Щоб знайти потрібні функції, обчислимо їх похідні:
а) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
б) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

приклад 3.Якою буде первісна для $ f (x) = 0 $?
Скористаємося визначенням. Подумаємо, яка функція може мати похідну, що дорівнює $0$. Згадуючи таблицю похідних, отримуємо, що будь-яка постійна матиме таку похідну. Отримуємо, що шукана нами первісна: $ F (x) = C $.

Отримане рішення можна пояснити геометрично та фізично. Геометрично воно означає, що до графіка $y=F(x)$ горизонтальна у кожному точці цього графіка і, отже, збігається з віссю $Ox$. Фізично пояснюється тим, що точка, що має швидкість, що дорівнює нулю, залишається на місці, тобто пройдений нею шлях незмінний. Тому можна сформулювати наступну теорему.

Теорема. (Ознака сталості функцій). Якщо деякому проміжку $F’(x) = 0$, то функція $F(x)$ у цьому проміжку постійна.

приклад 4.Визначити, першорядними яких функцій є функції а) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $; б) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $; в) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; г) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, де $a$ - деяке число.
Використовуючи визначення первісної, робимо висновок, що для вирішення цього завдання нам потрібно обчислити похідні даних першорядних функцій. При обчисленні пам'ятаємо, що похідна постійної, тобто будь-якого числа, дорівнює нулю.
а) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
б) $ F_2 = \ left (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 right) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
в) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
г) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Що ми бачимо? Декілька різних функцій є первісними однієї й тієї функції. Це говорить про те, що в будь-якій функції існує безліч первісних, і вони мають вигляд $F(x) + C$, де $C$ - довільна константа. Тобто операція інтегрування є багатозначною на відміну операції диференціювання. Сформулюємо виходячи з цього теорему, описує основне властивість первообразных.

Теорема. (Основна властивість первісних). Нехай функції $F_1$ і $F_2$ є первинними функціями $f(x)$ на деякому проміжку. Тоді для всіх значень цього проміжку справедлива наступна рівність: $F_2=F_1+C$, де $C$ – деяка константа.

Факт наявності нескінченної множини первісних можна інтерпретувати геометрично. За допомогою паралельного перенесення вздовж осі $Oy$ можна отримати один з одного графіки двох будь-яких первісних $f(x)$. У цьому полягає геометричний змістпервісної.

Дуже важливо звернути увагу на те, що вибором константи $C$ можна домогтися проходження графіка первісної через певну точку.

Малюнок 3.

Приклад 5.Знайти первісну для функції $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, графік якої проходить через точку $(3; 1)$.
Знайдемо спочатку все первісні для $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Далі знайдемо таке число C, у якому графік $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ проходить через точку $(3; 1)$. Для цього підставимо координати точки рівняння графіка і вирішимо його щодо $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Отримали графік $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, який відповідає первісній $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Таблиця первісних

Таблицю формул для знаходження первісних можна скласти, використовуючи формули знаходження похідних.

Перевірити правильність складання таблиці можна в такий спосіб: кожному за безлічі первісних, що у правому стовпці знайти похідну, у результаті вийдуть відповідні функції, які у лівому стовпці.

Деякі правила знаходження первісних

Як відомо, багато функцій мають більше складний вигляд, ніж зазначені в таблиці первісних, і можуть бути будь-яким довільним поєднанням сум і творів функцій з цієї таблиці. І тут постає питання, як обчислювати первісні подібні функції. Наприклад, з таблиці знаємо, як обчислити первісні $x^3$, $\sin x$ і $10$. А як, наприклад, обчислити первісну $x^3-10\sin x$? Забігаючи вперед, варто відзначити, що вона дорівнюватиме $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Якщо $F(x)$ первісна для $f(x)$, $G(x)$ – для $g(x)$, то для $f(x)+g(x)$ первісна дорівнюватиме $ F(x)+G(x)$.
2. Якщо $F(x)$ є первісною для $f(x)$ і $a$ – константа, то для $af(x)$ первісною буде $aF(x)$.
3. Якщо для $f(x)$ первісною є $F(x)$, $a$ і $b$ – константи, то $\frac(1)(a) F(ax+b)$ первісна для $f (ax + b) $.
Використовуючи отримані правила, ми можемо розширити таблицю первісних.

Приклад 5.Знайти первісні для:

а) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

б) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

в) $ \ displaystyle 5 \ cos x + \ sin (3x +15) $;

г) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

а) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x ^ 8 + C $;

б) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

в) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

г) $ frac (2) (3) x sqrt (x) - \ frac (3) (2) x sqrt (x) + C $.

Перелічимо інтеграли від елементарних функцій, які іноді називають табличними:

Будь-яку з наведених вище формул можна довести, взявши похідну від правої частини (в результаті буде отримано підінтегральну функцію).

Методи інтегрування

Розглянемо деякі основні методи інтегрування. До них відносяться:

1. Метод розкладання(безпосереднього інтегрування).

Цей метод заснований на безпосередньому застосуванні табличних інтегралів, а також на застосуванні властивостей 4 і 5 невизначеного інтеграла (тобто на виносі за дужку постійного співмножника та/або подання підінтегральної функції у вигляді суми функцій – розкладання підінтегральної функції на доданки).

приклад 1.Наприклад, для знаходження(dx/x 4) можна безпосередньо скористатися табличним інтегралом дляx n dx. Справді,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Розглянемо ще кілька прикладів.

приклад 2.Для знаходження скористаємося тим самим інтегралом:

приклад 3.Для знаходження треба взяти

приклад 4.Щоб знайти, представимо підінтегральну функцію у вигляді та використовуємо табличний інтеграл для показової функції:

Розглянемо використання виносу за дужку постійного співмножника.

Приклад 5.Знайдемо, наприклад . Враховуючи, що отримаємо

Приклад 6.Знайдемо. Оскільки скористаємося табличним інтегралом Отримаємо

У наступних двох прикладах також можна використовувати винос за дужки та табличні інтеграли:

Приклад 7.

(використовуємо та );

Приклад 8.

(використовуємо і ).

Розглянемо складніші приклади, у яких використовується інтеграл суми.

Приклад 9.Наприклад, знайдемо
. Для застосування методу розкладання у чисельнику використовуємо формулу куба суми  , а потім отриманий багаточлен почленно розділимо на знаменник.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Слід зазначити, що наприкінці рішення записана одна загальна стала С (а не окремі при інтегруванні кожного доданку). Надалі також пропонується опускати в процесі рішення постійні від інтегрування окремих доданків доти, поки вираз містить хоча б один невизначений інтеграл (записуватимемо одну постійну в кінці рішення).

приклад 10.Знайдемо . Для вирішення цього завдання розкладемо на множники чисельник (після цього вдасться скоротити знаменник).

Приклад 11.Знайдемо. Тут можна використовувати тригонометричні тотожності.

Іноді, щоб розкласти вираз на доданки, доводиться застосовувати складніші прийоми.

приклад 12.Знайдемо . У підінтегральній функції виділимо цілу частину дробу . Тоді

приклад 13.Знайдемо

2. Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод заснований на наступній формулі: f(x)dx=f((t))`(t)dt, де x =(t) - функція, що диференціюється на розглянутому проміжку.

Доведення. Знайдемо похідні за змінною t від лівої та правої частин формули.

Зазначимо, що у лівій частині знаходиться складна функція, проміжним аргументом якої є x = (t). Тому, щоб диференціювати її поt, спочатку диференціюємо інтеграл по x, а потім поберемо похідну від проміжного аргументу поt.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Похідна від правої частини:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Так як ці похідні рівні, за наслідком з теореми Лагранжа ліва і права частини формули, що доводиться, відрізняються на деяку постійну. Оскільки самі невизначені інтеграли визначені з точністю до невизначеного постійного доданку, то постійну в остаточному записі можна опустити. Доведено.

Вдала заміна змінної дозволяє спростити вихідний інтеграл, а найпростіших випадках звести його до табличного. У застосуванні цього методу розрізняють методи лінійної та нелінійної підстановки.

а) Метод лінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = 1 - 2x, тоді

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Слід зазначити, що нову змінну можна виписувати явно. У разі говорять про перетворення функції під знаком диференціала чи запровадження постійних і змінних під знак диференціала, - тобто. о неявної заміни змінної.

приклад 2.Наприклад, знайдемо cos(3x + 2)dx. За властивостями диференціала dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), тоді cos (3x + 2) dx = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

В обох розглянутих прикладах для знаходження інтегралів було використано лінійну підстановку t=kx+b(k0).

У випадку справедлива наступна теорема.

Теорема про лінійну підстановку. Нехай F(х) - деяка первісна для функції f(х). Тодіf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, де k та b - деякі постійні,k0.

Доведення.

За визначенням інтегралу f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Винесемо постійний множникkза знак інтеграла:kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Тепер можна розділити ліву і праву частини рівності наkі отримати твердження, що доводиться, з точністю до позначення постійного доданку.

Ця теорема стверджує, що якщо визначення інтеграла f(x)dx= F(x) + C замість аргументу х підставити вираз (kx+b), це призведе до появи додаткового множника 1/kперед первообразной.

З використанням доведеної теореми вирішимо такі приклади.

приклад 3.

Знайдемо . Тут kx + b = 3 -x, тобто. k = -1, b = 3. Тоді

приклад 4.

Знайдемо. Тут kx + b = 4x + 3, тобто k = 4, b = 3. Тоді

Приклад 5.

Знайдемо . Тут kx + b = -2x + 7, тобто. k = -2, b = 7. Тоді

.

Приклад 6.Знайдемо
. Тут kx + b = 2x + 0, тобто k = 2, b = 0.

.

Порівняємо отриманий результат прикладом 8, який був вирішений методом розкладання. Вирішуючи це завдання іншим методом, ми отримали відповідь
. Порівняємо отримані результати. Таким чином, ці вирази відрізняються один від одного на постійне доданок , тобто. отримані відповіді не суперечать одна одній.

Приклад 7.Знайдемо
. Виділимо у знаменнику повний квадрат.

У деяких випадках заміна змінної не зводить інтеграл безпосередньо до табличного, але може спростити рішення, уможлививши застосування на наступному кроці методу розкладання.

Приклад 8.Наприклад, знайдемо . Замінимо t = x + 2, тоді dt = d (x + 2) = dx. Тоді

,

де С = С 1 – 6 (при підстановці замість tвиразу (x+ 2) замість перших двох доданків отримаємо ½x 2 -2x– 6).

Приклад 9.Знайдемо
. Нехай t = 2x + 1, тоді dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t-1) / 2.

Підставимо замість tвираз (2x+ 1), розкриємо дужки і наведемо подібні.

Зазначимо, що у перетворень ми перейшли до іншого постійного доданку, т.к. групу постійних доданків у процесі перетворень можна було опустити.

б) Метод нелінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = -x2. Далі можна було б виразити х через t, потім знайти вираз для dxі реалізувати заміну змінної в шуканому інтегралі. Але в цьому випадку простіше вчинити по-іншому. Знайдемо dt=d(-x 2) = -2xdx. Зазначимо, що вираз xdx є співмножником підінтегрального виразу шуканого інтегралу. Виразимо його з отриманої рівності xdx = - ½ dt. Тоді

Основні формули та методи інтегрування. Правило інтегрування суми чи різниці. Винесення постійної за знак інтегралу. Метод заміни змінної. Формула інтегрування частинами. Приклад розв'язання задачі.

Нижче наведено чотири основні методи інтегрування.

1) Правило інтегрування суми чи різниці.
.
Тут і далі u, v, w - функції змінної інтегрування x .

2) Винесення постійної за знак інтегралу.
Нехай c - постійна, що не залежить від x. Тоді її можна винести за знак інтегралу.

3) Метод заміни змінної.
Розглянемо невизначений інтеграл.
Якщо вдасться підібрати таку функцію? (x)від x , так що
,
то, виконавши заміну змінної t = φ(x) , маємо
.

4) Формула інтегрування частинами.
,
де u та v - це функції від змінної інтегрування.

Кінцева мета обчислення невизначених інтегралів - це шляхом перетворень привести заданий інтеграл до найпростіших інтегралів, які називаються табличними. Табличні інтеграли виражаються через елементарні функції за відомими формулами.
Див. Таблиця інтегралів >>>

приклад

Обчислити невизначений інтеграл

Рішення

Зауважуємо, що підінтегральна функція є сумою та різницею трьох членів:
, та .
Застосовуємо метод 1 .

Далі зауважуємо, що підінтегральні функції нових інтегралів помножені на постійні 5, 4, і 2 відповідно. Застосовуємо метод 2 .

У таблиці інтегралів знаходимо формулу
.
Вважаючи n = 2 знаходимо перший інтеграл.

Перепишемо другий інтеграл у вигляді
.
Помічаємо, що . Тоді

Застосовуємо третій метод. Робимо заміну змінної t = φ (x) = ln x.
.
У таблиці інтегралів знаходимо формулу

Оскільки змінна інтегрування може позначатися будь-якою літерою, то

Перепишемо третій інтеграл у вигляді
.
Застосовуємо формулу інтегрування частинами.
Покладемо.
Тоді
;
;

;
;
.