Він швидко просунувся далі. Він знайшов достатні умови існування максимумів, навчився визначати точки перегину, провів дотичні до всіх відомих кривих другого та третього порядку. Ще кілька років, і він знаходить новий суто алгебраїчний метод знаходження квадратур для парабол та гіпербол довільного порядку (тобто інтегралів від функцій виду y p = Cx qі y p x q = С), обчислює площі, обсяги, моменти інерції тіл обертання. То справжній прорив. Відчуваючи це, Ферма починає шукати спілкування з математичними авторитетами на той час. Він упевнений у собі та прагне визнання.
У 1636 р. він пише перший лист Його преподобності Марену Мерсенну: ”Святий отче! Я надзвичайно вдячний за честь, яку ви мені надали, подавши надію на те, що ми зможемо розмовляти письмово; ...Я буду дуже радий дізнатися від Вас про всі нові трактати та книги з Математики, які з'явилася за останні п'ять-шість років. ...Я знайшов також багато аналітичних методів для різних проблем як числових, так і геометричних, для вирішення яких аналіз Вієта недостатній. Всім цим я поділюся з Вами, коли Ви захочете, і притому без всякої зарозумілості, від якої я вільніший і більш далекий, ніж будь-яка інша людина на світі.
Хто такий батько Мерсен? Це францисканський монах, вчений скромних обдарувань і чудовий організатор, який протягом 30 років очолював паризький математичний гурток, який став справжнім центром французької науки. Згодом гурток Мерсенна указом Людовіка XIV буде перетворено на Паризьку академію наук. Мерсенн невпинно вів величезне листування, і його келія в монастирі ордену мінімів на Королівській площі була свого роду "поштамтом для всіх вчених Європи, починаючи від Галілея та кінчаючи Гоббсом". Листування замінювало тоді наукові журнали, які з'явилися значно пізніше. Зборища у Мерсенна відбувалися щотижня. Ядро гуртка складали найблискучіші дослідники на той час: Робервіль, Паскаль-батько, Дезарг, Мідорж, Арді і звичайно ж, знаменитий і повсюдно визнаний Декарт. Рене дю Перрон Декарт (Картезій), дворянська мантія, два родові маєтки, основоположник картезіанства, "батько" аналітичної геометрії, один із засновників нової математики, а також друг і товариш Мерсенна з єзуїтського коледжу. Ця чудова людина стане кошмаром для Ферма.
Мерсенн вважав результати Ферма досить цікавими, щоб запровадити провінціала до свого елітного клубу. Ферма відразу зав'язує листування з багатьма членами гуртка і буквально засинає листами самого Мерсенна. Крім того, він відсилає на суд учених чоловіків закінчені рукописи: "Введення до плоских і тілесних місць", а через рік - "Спосіб відшукання максимумів і мінімумів" і "Відповіді на питання Б. Кавальєрі". Те, що викладав Ферма, була абсолютною новиною, проте сенсація не відбулася. Сучасники не здригнулися. Вони мало, що зрозуміли, але знайшли однозначну вказівку на те, що ідею алгоритму максимізації Ферма запозичив з трактату Йоханнеса Кеплера із забавною назвою “Нова стереометрія винних бочок”. Дійсно, у міркування Кеплера зустрічаються фрази типу "Обсяг фігури найбільший, якщо по обидва боки від місця найбільшого значення спадання спочатку нечутливе". Але ідея дещо збільшення функції поблизу екстремуму зовсім не носилася в повітрі. Кращі аналітичні уми на той час були готові до маніпуляцій з малими величинами. Річ у тім, що тоді алгебра вважалася різновидом арифметики, тобто математикою другого сорту, примітивним підручним засобом, розробленим потреб низинної практики (“добре вважають лише торговці”). Традиція наказувала дотримуватися суто геометричних методів доказів, що сягають античної математики. Ферма перший зрозумів, що нескінченно малі величини можна складати і скорочувати, але досить важко зображати як відрізків.
Потрібно було майже сторіччя, щоб Жан д'Аламбер у знаменитій “Енциклопедії” визнав: “Ферма був винахідником нових обчислень. Саме в нього ми зустрічаємо першу програму диференціалів для знаходження дотичних”. Наприкінці XVIII століття ще виразніше висловиться Жозеф Луї граф де Лагранж: “Але геометри - сучасники Ферма - не зрозуміли цього нового роду числення. Вони побачили лише окремі випадки. І цей винахід, який з'явився незадовго перед “Геометрією” Декарта, залишався безплідним протягом сорока років”. Лагранж має у вигляді 1674 р., коли побачили світ “Лекції” Ісаака Барроу, детально висвітлювали метод Ферма.
До того ж швидко виявилося, що Ферма більш схильний формулювати нові проблеми, ніж смиренно вирішувати завдання, запропоновані метрами. В епоху дуелей обмін завданнями між вченими чоловіками був загальноприйнятий як форма з'ясування проблем, пов'язаних із субординацією. Проте Ферма вочевидь не знає заходів. Кожен його лист - це виклик, що містить десятки складних невирішених завдань, причому на найнесподіваніші теми. Ось приклад його стилю (адресовано Френіклю де Бессі): “Item, який найменший квадрат, який при зменшенні на 109 і додаванні одиниці дасть квадрат? Якщо Ви не надішлете мені загального рішення, то надішліть приватне для цих двох чисел, які я вибрав невеликими, щоб Вам не дуже утруднити. Після того, як Я отримаю від Вас відповідь, я запропоную Вам деякі інші речі. Ясно без особливих застережень, що в моїй пропозиції потрібно знайти цілі числа, оскільки у разі дробових чисел найменший арифметик зміг би дійти мети.” Ферма часто повторювався, формулюючи одні й самі питання по кілька разів, і відверто блефував, стверджуючи, що має надзвичайно витонченим рішенням запропонованої завдання. Не обходилося без прямих помилок. Деякі з них були помічені сучасниками, а деякі підступні твердження вводили в оману читачів протягом століть.
Гурток Мерсенна прореагував адекватно. Лише Робервіль, єдиний член гуртка, який мав проблеми з походженням, зберігає дружній тон листів. Добрий пастир отець Мерсен намагався навчити “тулузького нахабника”. Але Ферма не має наміру виправдовуватись: ”Преподобний батько! Ви мені пишете, що постановка моїх неможливих проблем розсердила і охолодила панів Сен-Мартена і Френікля і що це спричинило припинення їхніх листів. Однак я хочу заперечити їм, що те, що здається спочатку неможливим, насправді не є таким і є багато проблем, про які, як сказав Архімед... ” тощо.
Проте Ферма лукавить. Саме Френіклю він послав завдання про знаходження прямокутного трикутника з цілими сторонами, площа якого дорівнює квадрату цілого числа. Послав, хоч знав, що завдання свідомо не має вирішення.
Найворожішу позицію щодо Ферма зайняв Декарт. У його листі Мерсенну від 1938 р. читаємо: “бо я дізнався, що це та сама людина, яка перед тим намагалася спростувати мою “Діоптрику”, і оскільки Ви повідомили мені, що він послав це після того, як прочитав мою “Геометрію” ” і в подиві, що я не знайшов ту ж річ, тобто (як маю підставу його витлумачити) послав це з метою вступити в суперництво і показати, що в цьому він знає більше, ніж я, і тому що ще з ваших листів я дізнався, що за ним значиться репутація дуже обізнаного геометра, то я вважаю себе зобов'язаним йому відповісти. Свою відповідь Декарт згодом урочисто позначить як "малий процес Математики проти м. Ферма".
Легко зрозуміти, що розлютило іменитого вченого. По-перше, у міркуваннях Ферма постійно фігурують координатні осі та уявлення чисел відрізками - прийом, який Декарт всебічно розвиває у своїй щойно виданій "Геометрії". Ферма приходить до ідеї заміни креслення обчисленнями абсолютно самостійно, в чомусь він навіть послідовніший, ніж Декарт. По-друге, Ферма блискуче демонструє ефективність свого методу знаходження мінімумів на прикладі завдання про найкоротший шлях світлового променя, уточнюючи та доповнюючи Декарта з його Діоптрикою.
Заслуги Декарта як мислителя і новатора величезні, але відкриємо сучасну "Математичну енциклопедію" і переглянемо перелік термінів пов'язаних з його ім'ям: "Декартові координати" (Лейбніц, 1692), "Декартів лист", "Декарта овали". Жодне з його міркувань не увійшло в історію як “Теорема Декарта”. Декарт насамперед ідеолог: він засновник філософської школи, він формує поняття, удосконалює систему літерних позначень, але у його творчому доробку мало нових конкретних прийомів. На противагу йому П'єр Ферма мало пише, але з приводу може придумати масу дотепних математичних трюків (див. там-таки “Теорема Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод нескінченного спуску Ферма”). Ймовірно, вони цілком справедливо заздрили одне одному. Зіткнення було неминучим. За єзуїтського посередництва Мерсенна розгоряється війна, що тривала два роки. Втім, Мерсенн і тут мав рацію перед історією: запекла сутичка двох титанів, їх напружена, м'яко кажучи, полеміка сприяла осмисленню ключових понять математичного аналізу.
Першим втрачає інтерес до дискусії Ферма. Очевидно, він прямо порозумівся з Декартом і більше ніколи не зачіпав суперника. В одній зі своїх останніх робіт “Синтез для рефракції”, рукопис якої він надіслав де ла Шамбру, Ферма через слово згадує “вченого Декарта” і всіляко підкреслює його пріоритет у питаннях оптики. Тим часом саме цей рукопис містив опис знаменитого "принципу Ферма", який забезпечує вичерпне пояснення законів відображення та заломлення світла. Реверанси у бік Декарта у роботі такого рівня були зайві.
Що сталося? Чому Ферма, відклавши убік самолюбство, пішов на примирення? Читаючи листи Ферма тих літ (1638 - 1640 рр.), можна припустити найпростіше: у період його наукові інтереси різко змінилися. Він закидає модну циклоїду, перестає цікавитися дотичними та майданами, і на довгі 20 років забуває про свій метод знаходження максимуму. Маючи величезні заслуги в математиці безперервного, Ферма повністю занурюється в математику дискретного, залишивши остогидлі геометричні креслення своїм опонентам. Його новою пристрастю стають числа. Власне, вся “Теорія чисел”, як самостійна математична дисципліна, своєю появою світ цілком зобов'язана життю і творчості Ферма.
<…>Після смерті Ферма його син Самюель видав у 1670 р. екземпляр “Арифметики”, що належить батькові, під назвою “Шість книг арифметики олександрійця Діофанта з коментарями Л. Г. Баше та зауваженнями П. де Ферма, тулузького сенатора”. До книги були включені також деякі листи Декарта та повний текст твору Жака де Більї "Нове відкриття в мистецтві аналізу", написане на основі листів Ферма. Видання мало неймовірний успіх. Перед здивованими фахівцями відкрився яскравий світ. Несподіванка, а головне доступність, демократичність теоретико-числових результатів Ферма породили безліч наслідувань. Тоді мало хто розумів як обчислюється площа параболи, але кожен школяр міг усвідомити формулювання Великої теореми Ферма. Почалося справжнє полювання за невідомими та втраченими листами вченого. Наприкінці XVII в. було видано та перевидано кожне знайдене його слово. Але бурхлива історія розвитку ідей Ферма лише розпочиналася.
Нерозв'язні завдання - це 7 найцікавіших математичних проблем. Кожна з них була запропонована свого часу відомими вченими, як правило, як гіпотези. Ось уже багато десятиліть над їх вирішенням ламають голови математики у всьому світі. На тих, хто досягне успіху, чекає винагорода в мільйон американських доларів, запропонована інститутом Клейя.
Інститут Клейя
Під такою назвою відома приватна некомерційна організація, штаб-квартира якої знаходиться у Кембриджі, штат Массачусетс. Вона була заснована в 1998 році гарвардським математиком А. Джеффі та бізнесменом Л. Клейєм. Метою діяльності інституту є популяризація та розвиток математичних знань. Для її досягнення організація видає премії вченим та спонсорує багатообіцяючі дослідження.
На початку 21 століття Математичний інститут Клейя запропонував премію тим, хто вирішить проблеми, які відомі, як найскладніші завдання, що вирішуються, назвавши свій список Millennium Prize Problems. Зі «Списку Гільберта» до нього увійшла лише гіпотеза Рімана.
Завдання тисячоліття
До списку інституту Клейя спочатку входили:
- гіпотеза про цикли Ходжу;
- рівняння квантової теорії Янга - Міллса;
- гіпотеза Пуанкаре;
- проблема рівності класів Р та NP;
- гіпотеза Рімана;
- про існування та гладкість його рішень;
- проблема Берча - Свіннертон-Дайєра.
Ці відкриті математичні проблеми становлять величезний інтерес, оскільки можуть мати безліч практичних реалізацій.
Що довів Григорій Перельман
У 1900 році відомий вчений-філософ Анрі Пуанкаре припустив, що всяке однозв'язне компактне 3-мірне різноманіття без краю гомеоморфної 3-мірної сфери. Її доказ у випадку не знаходилося протягом століття. Лише у 2002-2003 роках петербурзький математик Г. Перельман опублікував низку статей із вирішенням проблеми Пуанкаре. Вони справили ефект бомби, що розірвалася. У 2010 році гіпотеза Пуанкаре була виключена зі списку «Нерозв'язані завдання» інституту Клейя, а самому Перельману було запропоновано отримати чималу винагороду, від якої останній відмовився, не пояснивши причин свого рішення.
Найзрозуміліше пояснення того, що вдалося довести російському математику, можна дати, уявивши, що на бублик (тор) натягують гумовий диск, а потім намагаються стягнути краї його кола в одну точку. Очевидно, що це неможливо. Інша річ, якщо зробити цей експеримент із кулею. У такому разі начебто тривимірна сфера, що вийшла з диска, коло якого стягнули в крапку гіпотетичним шнуром, буде тривимірною у розумінні звичайної людини, але двовимірною з погляду математики.
Пуанкаре припустив, що тривимірна сфера є єдиним тривимірним «предметом», поверхню якої можна стягнути в одну точку, а Перельман вдалося це довести. Таким чином, список «Нерозв'язних задач» сьогодні складається з 6 проблем.
Теорія Янга-Міллса
Ця математична проблема була запропонована її авторами у 1954-му році. Наукове формулювання теорії має такий вигляд: для будь-якої простої компактної калібрувальної групи квантова просторова теорія, створена Янгом і Мілльсом, існує, і при цьому має нульовий дефект маси.
Якщо говорити мовою, зрозумілою для звичайної людини, взаємодії між природними об'єктами (частинами, тілами, хвилями тощо) діляться на 4 типи: електромагнітне, гравітаційне, слабке та сильне. Вже багато років фізики намагаються створити загальну теорію поля. Вона має стати інструментом для пояснення всіх цих взаємодій. Теорія Янга-Міллса - це математична мова, за допомогою якої стало можливо описати три з чотирьох основних сил природи. Вона не застосовується до гравітації. Тому не можна вважати, що Янгу та Міллсу вдалося створити теорію поля.
Крім того, нелінійність запропонованих рівнянь робить їх дуже складними для вирішення. При малих константах зв'язку вдається наближено вирішити вигляді низки теорії збурень. Однак поки що незрозуміло, як можна вирішити ці рівняння за сильного зв'язку.
Рівняння Навье-Стокса
За допомогою цих виразів описуються такі процеси, як повітряні потоки, перебіг рідин та турбулентність. Для деяких окремих випадків аналітичні рішення рівняння Нав'є-Стокса вже були знайдені, однак зробити це для загального поки що нікому не вдалося. У той же час, чисельне моделювання для конкретних значень швидкості, щільності, тиску, часу і так далі дозволяє досягти чудових результатів. Залишається сподіватися, що комусь вдасться застосувати рівняння Навье-Стокса у напрямі, т. е. обчислити з допомогою параметри, чи довести, що методу рішення немає.
Завдання Берча - Свіннертон-Дайєра
До категорії «Нерозв'язані завдання» належить і гіпотеза, запропонована англійськими вченими з Кембриджського університету. Ще 2300 років тому давньогрецький вчений Евклід дав повний опис рішень рівняння x2+y2=z2.
Якщо для кожного з простих чисел порахувати кількість точок на кривій за його модулем, вийде нескінченний набір цілих чисел. Якщо конкретним чином "склеїти" його в 1 функцію комплексної змінної, тоді вийде дзета-функція Хассе-Вейля для кривої третього порядку, що позначається буквою L. Вона містить інформацію про поведінку по модулю всіх простих чисел відразу.
Браян Берч та Пітер Свіннертон-Дайєр висунули гіпотезу щодо еліптичних кривих. Відповідно до неї, структура та кількість безлічі її раціональних рішень пов'язані з поведінкою L-функції в одиниці. Недоведена на даний момент гіпотеза Берча - Свіннертон-Дайєра залежить від опису рівнянь алгебри 3 ступеня і є єдиним порівняно простим загальним способом розрахунку рангу еліптичних кривих.
Щоб зрозуміти практичну важливість цього завдання, досить сказати, що в сучасній криптографії на еліптичних кривих засновано цілий клас асиметричних систем, і на їх застосуванні засновано вітчизняні стандарти цифрового підпису.
Рівність класів p і np
Якщо інші «Завдання тисячоліття» ставляться до суто математичних, то це стосується актуальної теорії алгоритмів. Проблема, що стосується рівності класів р і np, відома також як проблема Кука-Левіна, зрозумілою мовою може бути сформульована наступним чином. Припустимо, що позитивну відповідь на питання можна перевірити досить швидко, тобто за поліноміальний час (ПВ). Тоді чи правильно твердження, що на нього можна досить швидко знайти? Ще простіше звучить так: чи справді вирішення завдання перевірити не важче, ніж його знайти? Якщо рівність класів р і np буде будь-коли доведено, всі проблеми підбору можна буде вирішувати за ПВ. На даний момент багато фахівців сумніваються в істинності цього твердження, хоча не можуть довести протилежне.
Гіпотеза Рімана
Аж до 1859 року було виявлено будь-якої закономірності, яка описувала б, як розподіляються прості числа серед натуральних. Можливо, це було з тим, що наука займалася іншими питаннями. Однак до середини 19 століття ситуація змінилася, і вони стали одними з найактуальніших, якими почала займатися математика.
Гіпотеза Рімана, що виникла у період — це припущення у тому, що у розподілі простих чисел існує певна закономірність.
Сьогодні багато сучасних вчених вважають, що якщо вона буде доведена, то доведеться переглянути багато фундаментальних принципів сучасної криптографії, які становлять основу значної частини механізмів електронної комерції.
Згідно з гіпотезою Рімана, характер розподілу простих чисел, можливо, істотно відрізняється від передбачуваного на даний момент. Справа в тому, що до цих пір поки не було виявлено будь-якої системи у розподілі простих чисел. Наприклад, існує проблема «близнюків», різниця між якими дорівнює 2. Цими числами є 11 і 13, 29. Інші прості числа утворюють скупчення. Це 101, 103, 107 та ін. Вчені давно підозрювали, що такі скупчення існують і серед дуже великих простих чисел. Якщо їх знайдуть, то стійкість сучасних криптоключів під питанням.
Гіпотеза про цикли Ходжа
Ця невирішена досі завдання сформульована 1941 року. Гіпотеза Ходжа передбачає можливість апроксимації форми будь-якого об'єкта шляхом «склеювання» разом простих тіл більшої розмірності. Цей спосіб був відомий і успішно застосовується досить давно. Однак не відомо, наскільки можна спрощення.
Тепер ви знаєте, які задачі, що не вирішуються, існують на даний момент. Вони є предметом дослідження тисяч вчених у всьому світі. Залишається сподіватися, що найближчим часом вони будуть вирішені, а їхнє практичне застосування допоможе людству вийти на новий виток технологічного розвитку.
Іноді ретельне вивчення точних наук може принести свої плоди - ви станете не тільки відомими на весь світ, але й багатими. Нагороди даються, втім, нема за що потрапило, і в сучасній науці дуже багато недоведених теорій, теорем і завдань, які розмножуються в міру розвитку наук, взяти хоча б Коурівські або Дністровські зошити, такі собі збірки з нерозв'язними фізико-математичними, і не тільки, завданнями. Однак є і справді складні теореми, які не можуть розгадати вже не один десяток років, і ось за них і виставлена нагорода американським інститутом Клея в розмірі 1 млн. доларів США за кожну. До 2002 року загальний джекпот дорівнював 7 мільйонам, оскільки «завдань тисячоліття» було сім, проте російський математик Григорій Перельман вирішив гіпотезу Пуанкаре, епічно відмовившись від мільйона, навіть не відчинивши двері математикам США, які хотіли вручити йому його чесно зароблені преміальні. Отже, включаємо Теорію Великого Вибуху для фону та настрою, і дивимося, за що ще можна зрубати круглу суму.
Рівність класів P та NP
Простими словами, проблема рівності P = NP полягає в наступному: якщо позитивну відповідь на якесь питання можна досить швидко перевірити (за поліноміальний час), то правда, що відповідь на це питання можна досить швидко знайти (також за поліноміальний час і використовуючи поліноміальну пам'ять)? Інакше кажучи, чи справді вирішення завдання перевірити не легше, ніж знайти? Суть тут у тому, що деякі розрахунки та обчислення легше вирішувати за алгоритмом, а не обчислювати перебором, і таким чином заощаджувати купу часу та ресурсів.
Гіпотеза Ходжа
Гіпотеза Ходжа сформульована в 1941 році і полягає в тому, що для особливо хороших типів просторів, які називають проективними алгебраїчними різноманіттями, так звані цикли Ходжа є комбінаціями об'єктів, що мають геометричну інтерпретацію, - алгебраїчних циклів.
Тут пояснюючи простими словами можна сказати таке: у 20 столітті було відкрито дуже складні геометричні форми, типу викривлених пляшок. Так ось, було висловлено припущення, що щоб сконструювати ці об'єкти для опису, треба застосовувати зовсім головоломні форми, які не мають геометричної суті «такі страшні багатовимірні коляки-маляки» або все ж таки можна обійтися умовно-стандартною алгеброю+геометрією.
Гіпотеза Рімана
Тут людською мовою пояснити досить складно, достатньо знати, що вирішення цієї проблеми матиме далекосяжні наслідки в галузі розподілу простих чисел. Проблема настільки важлива і нагальна, що навіть виведення контрприкладу гіпотези – на розсуд вченої ради університету, проблему можна буде вважати доведеною, тож тут можна спробувати й метод «від зворотного». Навіть якщо вдасться переформулювати гіпотезу у вужчому значенні - і тут інститут Клея виплатить деяку суму грошей.
Теорія Янга - Міллса
Фізика елементарних частинок - один із улюблених розділів доктора Шелдона Купера. Тут квантова теорія двох розумних дядечок говорить нам про те, що для будь-якої простої калібрувальної групи в просторі існує дефект маси відмінний від нульового. Це твердження встановлено експериментальними даними та чисельним моделюванням, проте довести його поки що ніхто не може.
Рівняння Навье-Стокса
Тут нам напевно допоміг би Говард Воловіц, якби існував у реальності - адже це загадка з гідродинаміки, причому основа основ. Рівняння описують рухи в'язкої ньютонівської рідини, мають величезне практичне значення, а головне описують турбулентність, яку ніяк не вдається загнати в рамки науки і передбачити її властивості та події. Обгрунтування побудови цих рівнянь дозволило б не тикати пальцем у небо, а зрозуміти турбулентність зсередини та зробити літаки та механізми стійкішими.
Гіпотеза Берча - Свіннертон-Дайєра
Тут я, правда, намагався підібрати прості слова, проте тут така дрімуча алгебра, що без глибокого занурення не обійтися. Тим же, хто не хоче пірнати з аквалангом в матан, треба знати, що дана гіпотеза дозволяє швидко і безболісно знаходити ранг еліптичних кривих, а якби цієї гіпотези не було, то для обчислення цього рангу потрібне було б простирадло обчислень. Та й природно також треба знати, що доказ цієї гіпотези збагатить вас на мільйон доларів.
Не можна не відзначити, що майже в кожній області вже є просування, і навіть доведено випадки для окремих прикладів. Тому не варто зволікати, а то вийде як з теоремою Ферма, яка піддалася Ендрю Уайлсу через три з лишком століття в 1994 році, і принесла йому Абелевську премію і близько 6 млн. норвезьких крон (50 мільйонів рублів за сьогоднішнім курсом).
Часто, розмовляючи зі старшокласниками про дослідження з математики, чую наступне: "Що можна нового відкрити в математиці?" А справді: можливо всі великі відкриття зроблені, а теореми доведені?
8 серпня 1900 року на міжнародному математичному конгресі в Парижі математик Девід Гілберт (David Hilbert) виклав список проблем, які, як він вважав, треба було вирішити у ХХ столітті. У списку було 23 пункти. Двадцять один із них на даний момент вирішено. Останньою вирішеною проблемою зі списку Гілберта була знаменита теорема Ферма, з якою вчені було неможливо впоратися протягом 358 років. 1994 року своє рішення запропонував британець Ендрю Уайлз. Воно й виявилося вірним.За прикладом Гілберта наприкінці минулого століття багато математиків намагалися сформулювати подібні стратегічні завдання на ХХI століття. Один із таких списків набув широкої популярності завдяки бостонському мільярдеру Лендону Клею (Landon T. Clay). У 1998 році на його кошти в Кембриджі (Массачусетс, США) було засновано Математичний інститут Клея (Clay Mathematics Institute) та встановлено премії за вирішення низки найважливіших проблем сучасної математики. 24 травня 2000 року експерти інституту обрали сім проблем – за кількістю мільйонів доларів, виділених на премії. Список отримав назву Millennium Prize Problems:
1. Проблема Кука (сформульована 1971 року)
Припустимо, що ви, перебуваючи у великій компанії, хочете переконатися, що там знаходиться ваш знайомий. Якщо вам скажуть, що він сидить у кутку, достатньо буде частки секунди, щоб, кинувши погляд, переконатися в істинності інформації. Без цієї інформації ви будете змушені обійти всю кімнату, розглядаючи гостей. Це говорить про те, що вирішення будь-якої задачі часто займає більше часу, ніж перевірка правильності розв'язання.
Стівен Кук сформулював проблему: чи може перевірка правильності розв'язання задачі бути тривалішою, ніж отримання рішення, незалежно від алгоритму перевірки. Ця проблема також є одним із невирішених завдань з галузі логіки та інформатики. Її рішення могло б революційним чином змінити основи криптографії, що використовується під час передачі та зберігання даних.
2. Гіпотеза Рімана (сформульована 1859 року)
Деякі цілі числа не можуть бути виражені як добуток двох менших цілих чисел, наприклад, 2, 3, 5, 7 і так далі. Такі числа називаються простими та відіграють важливу роль у чистій математиці та її додатках. Розподіл простих чисел серед низки всіх натуральних чисел не підпорядковується жодної закономірності. Проте німецький математик Ріман висловив припущення щодо властивостей послідовності простих чисел. Якщо гіпотезу Рімана буде доведено, то це призведе до революційної зміни наших знань у галузі шифрування та до небаченого прориву в галузі безпеки Інтернету.
3. Гіпотеза Берча та Свіннертон-Дайєра (сформульована у 1960 році)
Пов'язана з описом безлічі рішень деяких рівнянь алгебри від декількох змінних з цілими коефіцієнтами. Прикладом такого рівняння є вираз x2 + y2 = z2. Евклід дав повний опис рішень цього рівняння, але для складніших рівнянь пошук рішень стає надзвичайно важким.
4. Гіпотеза Ходжа (сформульована 1941 року)
У ХХ столітті математики відкрили потужний метод дослідження форми складних об'єктів. Основна ідея полягає в тому, щоб використовувати замість самого об'єкта просту "цеглу", яка склеюється між собою і утворює її подобу. Гіпотеза Ходжа пов'язана з деякими припущеннями щодо властивостей таких "цеглинок" та об'єктів.
5. Рівняння Навье - Стокса (сформульовані 1822 року)
Якщо плисти в човні озером, то виникнуть хвилі, а якщо летіти в літаку, у повітрі виникнуть турбулентні потоки. Передбачається, що це та інші явища описуються рівняннями, відомими як рівняння Навье - Стокса. Рішення цих рівнянь невідомі, і навіть невідомо, як їх вирішувати. Необхідно показати, що рішення існує і досить гладкою функцією. Вирішення цієї проблеми дозволить суттєво змінити способи проведення гідро- та аеродинамічних розрахунків.
6. Проблема Пуанкаре (сформульована 1904 року)
Якщо натягнути гумову стрічку на яблуко, можна, повільно переміщуючи стрічку без відриву від поверхні, стиснути її до точки. З іншого боку, якщо ту ж гумову стрічку відповідним чином натягнути навколо бублика, то ніяким способом неможливо стиснути стрічку в крапку, не розриваючи стрічку або не ламаючи бублик. Кажуть, що поверхня яблука однозв'язкова, а поверхня бублика – ні. Довести, що однозв'язкова тільки сфера, виявилося настільки важко, що математики шукають правильну відповідь досі.
7. Рівняння Янга - Міллса (сформульовані 1954 року)
Рівняння квантової фізики описують світ елементарних частинок. Фізики Янг та Міллс, виявивши зв'язок між геометрією та фізикою елементарних частинок, написали свої рівняння. Тим самим вони знайшли шлях до об'єднання теорій електромагнітної, слабкої та сильної взаємодій. З рівнянь Янга - Міллса випливало існування частинок, які справді спостерігалися в лабораторіях у всьому світі, тому теорія Янга - Міллса прийнята більшістю фізиків незважаючи на те, що в рамках цієї теорії досі не вдається пророкувати безліч елементарних частинок.
Думаю, що цей матеріал, опублікований у блозі, цікавий не лише студентам, а й школярам, які серйозно займаються математикою. Є над чим подумати, обираючи теми та напрямки дослідницьких робіт.
Лев Валентинович Руді, автор статті «П'єр Ферма та його «недоказова» теорема», прочитавши публікацію про одного зі 100 геніїв сучасності математики, який був названий генієм завдяки своєму рішенню теореми Ферма, запропонував опублікувати свою альтернативну думку на цю тему. На що ми охоче відгукнулися та публікуємо його статтю без скорочень.
П'єр Ферма та його «недоказова» теорема
Цього року виповнилося 410 років від дня народження великого французького математика П'єра Ферма. Академік В.М. Тихомиров пише про П. Ферма: «Лише один математик удостоївся те, що його ім'я стало номінальним. Якщо кажуть «ферматист», то йдеться про людину, одержиму до божевілля якоюсь нездійсненною ідеєю. Але це слово не може бути віднесено до самого П'єра Ферма (1601-1665), одного з найсвітліших розумів Франції.
П. Ферма - людина дивовижної долі: один із найбільших математиків світу, він не був «професійним» математиком. За фахом Ферма був юристом. Він здобув чудову освіту і був видатним знавцем мистецтва та літератури. Все життя він працював на державній службі, останні 17 років був радником парламенту у Тулузі. До математики його вабило безкорисливе і піднесене кохання, і саме ця наука дала йому все, що може дати людині любов: захват красою, насолоду і щастя.
У паперах і листуванні Ферма сформулював чимало гарних тверджень, про які він писав, що має їх доказ. І поступово таких недоведених тверджень ставало дедалі менше і, нарешті, залишилося лише одне – його загадкова Велика теорема!
Однак, тим, хто цікавиться математикою, ім'я Ферма говорить багато про що незалежно від його Великої теореми. Він був одним із найпроникливіших розумів свого часу, його вважають основоположником теорії чисел, він зробив величезний внесок у розвиток аналітичної геометрії, математичного аналізу. Ми вдячні Ферма за те, що він відкрив для нас світ, сповнений краси та загадковості» (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).
Дивна, однак, «вдячність»!? Математичний світ та освічене людство проігнорували 410-й ювілей Ферма. Все було, як завжди, тихо, мирно, буденно... Не чути було фанфар, хвалебних промов, тостів. З усіх математиків світу тільки Ферма «удостоївся» такої високої честі, що при слові «ферматист», всі розуміють, що йдеться про напівдурку, який «до безумства одержимий нездійсненною ідеєю» знайти втрачений доказ теореми Ферма!
У своєму зауваженні на полях книги Діофанта Ферма писав: "Я знайшов справді дивовижний доказ свого твердження, але поля книги вузькі, щоб його вмістити". Так це був «момент слабкості математичного генія XVII століття». Цей глухий кут не розумів, що «помиляється», а, швидше за все, він просто «брехав», «лукавив».
Якщо Ферма стверджував, значить, доказ у нього був! Рівень знань був не вищим, ніж у сучасного десятикласника, але якщо якийсь інженер намагається знайти цей доказ, то його висміюють, оголошують божевільним. І зовсім інша справа, якщо американський 10-річний хлопчик Е. Уайлс «приймає як вихідну гіпотезу, що Ферма не міг знати набагато більше математики, ніж він», і починає «доводити» цю «недоказову теорему». На таке, звісно, здатний лише «геній».
Випадково я потрапив на сайт (works.tarefer.ru>50/100086/index.html), де студентка Читинського ГТУ Кушенко В.В. пише про Ферма: «...Маленьке містечко Бомон і всі його п'ять тисяч жителів не в змозі усвідомити, що тут народився великий Ферма, останній математик-алхімік, що вирішував пусті завдання прийдешніх століть, тихий суддівський гачок, лукавий сфінкс, замучив людство своїми загадками , обережний і доброзичливий чинуша, підтасувальник, інтриган, домосід, заздрісник, геніальний компілятор, один із чотирьох титанів математики... Ферма майже не виїжджав із Тулузи, де осів після весілля на Луїзі де Лонг, доньці радника парламенту. Завдяки тестю він дослужився до звання радника і придбав омріяну приставку «де». Син третього стану, практичний син багатих шкіряників, нашпигований латиною і францисканським благочестям, не ставив собі грандіозних завдань у житті...
У свій бурхливий вік він прожив ґрунтовно та тихо. Він не писав філософських трактатів, як Декарт, не був нагрудником французьких королів, як Вієт, не воював, не подорожував, не створював математичні гуртки, не мав учнів і не друкувався за життя... Не виявивши жодних свідомих претензій на місце в історії, Ферма помирає 12 січня 1665».
Я був вражений, шокований... А хто був першим «математиком-алхіміком»? Що це за «пусті завдання майбутніх століть»!? «Чинуша, підтасовщик, інтриган, домосід, заздрісник»... Звідки у цих зелених молодиків і молодиків стільки зневаги, зневаги, цинізму до людини, яка жила за 400 років до них!? Яке блюзнірство, що кричить несправедливість!? Але, не самі ж молодики все це вигадали!? Їх здивували математики, «царі наук», те саме «людство», яке «лукавий сфінкс» Ферма «замучив своїми загадками».
Проте, Ферма неспроможна нести будь-яку відповідальність через те, що пихаті, але бездарні нащадки триста з гаком років збивали свої роги про його шкільну теоремку. Принижуючи, обпльовуючи Ферма, математики намагаються врятувати свою честь мундира! Але ніякої "честі" давно немає, навіть "мундира" немає!? Дитяче завдання Ферма стала найбільшою ганьбою «добірної, доблесної» армії математиків світу!?
«Царі наук» зганьбилися тим, що сім поколінь математичних «світил» так і не змогли довести шкільну теоремку, яку довели і П. Ферма, і арабський математик ал-Худжанді за 700 років до Ферма!? Вони зганьбилися і тим, що замість визнання своїх помилок, ославили П. Ферма обманщиком і почали роздмухувати міф про «недоказовість» його теореми!? Математики зганьбилися і тим, що вже сторіччя розлючено цькують математиків-аматорів, «б'ють по голові своїх братів менших». Це цькування стало найганебнішим, після утоплення Піфагором Гіппаса, діянням математиків у всій історії наукової думки! Вони зганьбилися і тим, що під виглядом «доказу» теореми Ферма, підсунули освіченому людству сумнівне «творіння» Е. Уайлса, яке «не розуміють» навіть найяскравіші світила математики!?
410-річний ювілей від дня народження П. Ферма - це, безсумнівно, досить вагомий доказ у тому, щоб математики, нарешті, опритомніли і перестали наводити тінь на тин і відновили б добре, чесне ім'я великого математика. П. Ферма «не виявив ніяких свідомих претензій на місце в історії», але ця норовлива і примхлива Дама сама внесла його на руках у свої аннали, зате багатьох завзятих і завзятих «претендентів» вона виплюнула, як вижовану жуйку. І нічого з цим не вдієш, лише одна з багатьох його красивих теорем надовго вписала ім'я П. Ферма в історію.
Але цей унікальний витвір Ферма і саме вже століття загнано в «підпілля», оголошено «поза законом», стало найнегіднішим і ненависним завданням у всій історії математики. Але настав час цьому «гидкому каченяті» математики перетворюватися на прекрасного лебедя! Дивовижна загадка Ферма вистраждала своє право зайняти гідне місце і в скарбниці математичних знань, і в кожній школі світу поряд зі своєю сестрою – теоремою Піфагора.
Таке унікальне, витончене завдання просто не може не мати і красивих, витончених рішень. Якщо теорема Піфагора має 400 доказів, то нехай спочатку у теореми Ферма буде всього 4 простих докази. Вони є, поступово їх побільшає!? Я вважаю, що 410-річний ювілей П. Ферма - це найбільш підходящий привід чи випадок, для того, щоб математикам-професіоналам прийти до тями і припинити, нарешті, цю безглузду, абсурдну, клопітку і абсолютно марну «блокаду» любителів!?
