Іноді ретельне вивчення точних наук може принести свої плоди - ви станете не тільки відомими на весь світ, але й багатими. Нагороди даються, втім, нема за що потрапило, і в сучасній науці дуже багато недоведених теорій, теорем і завдань, які розмножуються в міру розвитку наук, взяти хоча б Коурівські або Дністровські зошити, такі собі збірки з нерозв'язними фізико-математичними, і не тільки, завданнями. Однак є і справді складні теореми, які не можуть розгадати вже не один десяток років, і ось за них і виставлена нагорода американським інститутом Клея в розмірі 1 млн. доларів США за кожну. До 2002 року загальний джекпот дорівнював 7 мільйонам, оскільки «завдань тисячоліття» було сім, проте російський математик Григорій Перельман вирішив гіпотезу Пуанкаре, епічно відмовившись від мільйона, навіть не відчинивши двері математикам США, які хотіли вручити йому його чесно зароблені преміальні. Отже, включаємо Теорію Великого Вибуху для фону та настрою, і дивимося, за що ще можна зрубати круглу суму.
Рівність класів P та NP
Простими словами, проблема рівності P = NP полягає в наступному: якщо позитивну відповідь на якесь питання можна досить швидко перевірити (за поліноміальний час), то правда, що відповідь на це питання можна досить швидко знайти (також за поліноміальний час і використовуючи поліноміальну пам'ять)? Інакше кажучи, чи справді вирішення завдання перевірити не легше, ніж знайти? Суть тут у тому, що деякі розрахунки та обчислення легше вирішувати за алгоритмом, а не обчислювати перебором, і таким чином заощаджувати купу часу та ресурсів.
Гіпотеза Ходжа
Гіпотеза Ходжа сформульована в 1941 році і полягає в тому, що для особливо хороших типів просторів, які називають проективними алгебраїчними різноманіттями, так звані цикли Ходжа є комбінаціями об'єктів, що мають геометричну інтерпретацію, - алгебраїчних циклів.
Тут пояснюючи простими словами можна сказати таке: у 20 столітті було відкрито дуже складні геометричні форми, типу викривлених пляшок. Так ось, було висловлено припущення, що щоб сконструювати ці об'єкти для опису, треба застосовувати зовсім головоломні форми, які не мають геометричної суті «такі страшні багатовимірні коляки-маляки» або все ж таки можна обійтися умовно-стандартною алгеброю+геометрією.
Гіпотеза Рімана
Тут людською мовою пояснити досить складно, достатньо знати, що вирішення цієї проблеми матиме далекосяжні наслідки в галузі розподілу простих чисел. Проблема настільки важлива і нагальна, що навіть виведення контрприкладу гіпотези – на розсуд вченої ради університету, проблему можна буде вважати доведеною, тож тут можна спробувати й метод «від зворотного». Навіть якщо вдасться переформулювати гіпотезу у вужчому значенні - і тут інститут Клея виплатить деяку суму грошей.
Теорія Янга - Міллса
Фізика елементарних частинок - один із улюблених розділів доктора Шелдона Купера. Тут квантова теорія двох розумних дядечок говорить нам про те, що для будь-якої простої калібрувальної групи в просторі існує дефект маси відмінний від нульового. Це твердження встановлено експериментальними даними та чисельним моделюванням, проте довести його поки що ніхто не може.
Рівняння Навье-Стокса
Тут нам напевно допоміг би Говард Воловіц, якби існував у реальності - адже це загадка з гідродинаміки, причому основа основ. Рівняння описують рухи в'язкої ньютонівської рідини, мають величезне практичне значення, а головне описують турбулентність, яку ніяк не вдається загнати в рамки науки і передбачити її властивості та події. Обгрунтування побудови цих рівнянь дозволило б не тикати пальцем у небо, а зрозуміти турбулентність зсередини та зробити літаки та механізми стійкішими.
Гіпотеза Берча - Свіннертон-Дайєра
Тут я, правда, намагався підібрати прості слова, проте тут така дрімуча алгебра, що без глибокого занурення не обійтися. Тим же, хто не хоче пірнати з аквалангом в матан, треба знати, що дана гіпотеза дозволяє швидко і безболісно знаходити ранг еліптичних кривих, а якби цієї гіпотези не було, то для обчислення цього рангу потрібне було б простирадло обчислень. Та й природно також треба знати, що доказ цієї гіпотези збагатить вас на мільйон доларів.
Не можна не відзначити, що майже в кожній області вже є просування, і навіть доведено випадки для окремих прикладів. Тому не варто зволікати, а то вийде як з теоремою Ферма, яка піддалася Ендрю Уайлсу через три з лишком століття в 1994 році, і принесла йому Абелевську премію і близько 6 млн. норвезьких крон (50 мільйонів рублів за сьогоднішнім курсом).
Часто, розмовляючи зі старшокласниками про дослідження з математики, чую наступне: "Що можна нового відкрити в математиці?" А справді: можливо всі великі відкриття зроблені, а теореми доведені?
8 серпня 1900 року на міжнародному математичному конгресі в Парижі математик Девід Гілберт (David Hilbert) виклав список проблем, які, як він вважав, треба було вирішити у ХХ столітті. У списку було 23 пункти. Двадцять один із них на даний момент вирішено. Останньою вирішеною проблемою зі списку Гілберта була знаменита теорема Ферма, з якою вчені було неможливо впоратися протягом 358 років. 1994 року своє рішення запропонував британець Ендрю Уайлз. Воно й виявилося вірним.За прикладом Гілберта наприкінці минулого століття багато математиків намагалися сформулювати подібні стратегічні завдання на ХХI століття. Один із таких списків набув широкої популярності завдяки бостонському мільярдеру Лендону Клею (Landon T. Clay). У 1998 році на його кошти в Кембриджі (Массачусетс, США) було засновано Математичний інститут Клея (Clay Mathematics Institute) та встановлено премії за вирішення низки найважливіших проблем сучасної математики. 24 травня 2000 року експерти інституту обрали сім проблем – за кількістю мільйонів доларів, виділених на премії. Список отримав назву Millennium Prize Problems:
1. Проблема Кука (сформульована 1971 року)
Припустимо, що ви, перебуваючи у великій компанії, хочете переконатися, що там знаходиться ваш знайомий. Якщо вам скажуть, що він сидить у кутку, достатньо буде частки секунди, щоб, кинувши погляд, переконатися в істинності інформації. Без цієї інформації ви будете змушені обійти всю кімнату, розглядаючи гостей. Це говорить про те, що вирішення будь-якої задачі часто займає більше часу, ніж перевірка правильності розв'язання.
Стівен Кук сформулював проблему: чи може перевірка правильності розв'язання задачі бути тривалішою, ніж отримання рішення, незалежно від алгоритму перевірки. Ця проблема також є одним із невирішених завдань з галузі логіки та інформатики. Її рішення могло б революційним чином змінити основи криптографії, що використовується під час передачі та зберігання даних.
2. Гіпотеза Рімана (сформульована 1859 року)
Деякі цілі числа не можуть бути виражені як добуток двох менших цілих чисел, наприклад, 2, 3, 5, 7 і так далі. Такі числа називаються простими та відіграють важливу роль у чистій математиці та її додатках. Розподіл простих чисел серед низки всіх натуральних чисел не підпорядковується жодної закономірності. Проте німецький математик Ріман висловив припущення щодо властивостей послідовності простих чисел. Якщо гіпотезу Рімана буде доведено, то це призведе до революційної зміни наших знань у галузі шифрування та до небаченого прориву в галузі безпеки Інтернету.
3. Гіпотеза Берча та Свіннертон-Дайєра (сформульована у 1960 році)
Пов'язана з описом безлічі рішень деяких рівнянь алгебри від декількох змінних з цілими коефіцієнтами. Прикладом такого рівняння є вираз x2 + y2 = z2. Евклід дав повний опис рішень цього рівняння, але для складніших рівнянь пошук рішень стає надзвичайно важким.
4. Гіпотеза Ходжа (сформульована 1941 року)
У ХХ столітті математики відкрили потужний метод дослідження форми складних об'єктів. Основна ідея полягає в тому, щоб використовувати замість самого об'єкта просту "цеглу", яка склеюється між собою і утворює її подобу. Гіпотеза Ходжа пов'язана з деякими припущеннями щодо властивостей таких "цеглинок" та об'єктів.
5. Рівняння Навье - Стокса (сформульовані 1822 року)
Якщо плисти в човні озером, то виникнуть хвилі, а якщо летіти в літаку, у повітрі виникнуть турбулентні потоки. Передбачається, що це та інші явища описуються рівняннями, відомими як рівняння Навье - Стокса. Рішення цих рівнянь невідомі, і навіть невідомо, як їх вирішувати. Необхідно показати, що рішення існує і досить гладкою функцією. Вирішення цієї проблеми дозволить суттєво змінити способи проведення гідро- та аеродинамічних розрахунків.
6. Проблема Пуанкаре (сформульована 1904 року)
Якщо натягнути гумову стрічку на яблуко, можна, повільно переміщуючи стрічку без відриву від поверхні, стиснути її до точки. З іншого боку, якщо ту ж гумову стрічку відповідним чином натягнути навколо бублика, то ніяким способом неможливо стиснути стрічку в крапку, не розриваючи стрічку або не ламаючи бублик. Кажуть, що поверхня яблука однозв'язкова, а поверхня бублика – ні. Довести, що однозв'язкова тільки сфера, виявилося настільки важко, що математики шукають правильну відповідь досі.
7. Рівняння Янга - Міллса (сформульовані 1954 року)
Рівняння квантової фізики описують світ елементарних частинок. Фізики Янг та Міллс, виявивши зв'язок між геометрією та фізикою елементарних частинок, написали свої рівняння. Тим самим вони знайшли шлях до об'єднання теорій електромагнітної, слабкої та сильної взаємодій. З рівнянь Янга - Міллса випливало існування частинок, які справді спостерігалися в лабораторіях у всьому світі, тому теорія Янга - Міллса прийнята більшістю фізиків незважаючи на те, що в рамках цієї теорії досі не вдається пророкувати безліч елементарних частинок.
Думаю, що цей матеріал, опублікований у блозі, цікавий не лише студентам, а й школярам, які серйозно займаються математикою. Є над чим подумати, обираючи теми та напрямки дослідницьких робіт.
Нерозв'язні завдання - це 7 найцікавіших математичних проблем. Кожна з них була запропонована свого часу відомими вченими, як правило, як гіпотези. Ось уже багато десятиліть над їх вирішенням ламають голови математики у всьому світі. На тих, хто досягне успіху, чекає винагорода в мільйон американських доларів, запропонована інститутом Клейя.
Інститут Клейя
Під такою назвою відома приватна некомерційна організація, штаб-квартира якої знаходиться у Кембриджі, штат Массачусетс. Вона була заснована в 1998 році гарвардським математиком А. Джеффі та бізнесменом Л. Клейєм. Метою діяльності інституту є популяризація та розвиток математичних знань. Для її досягнення організація видає премії вченим та спонсорує багатообіцяючі дослідження.
На початку 21 століття Математичний інститут Клейя запропонував премію тим, хто вирішить проблеми, які відомі, як найскладніші завдання, що вирішуються, назвавши свій список Millennium Prize Problems. Зі «Списку Гільберта» до нього увійшла лише гіпотеза Рімана.
Завдання тисячоліття
До списку інституту Клейя спочатку входили:
- гіпотеза про цикли Ходжу;
- рівняння квантової теорії Янга - Міллса;
- гіпотеза Пуанкаре;
- проблема рівності класів Р та NP;
- гіпотеза Рімана;
- про існування та гладкість його рішень;
- проблема Берча - Свіннертон-Дайєра.
Ці відкриті математичні проблеми становлять величезний інтерес, оскільки можуть мати безліч практичних реалізацій.
Що довів Григорій Перельман
У 1900 році відомий вчений-філософ Анрі Пуанкаре припустив, що всяке однозв'язне компактне 3-мірне різноманіття без краю гомеоморфної 3-мірної сфери. Її доказ у випадку не знаходилося протягом століття. Лише у 2002-2003 роках петербурзький математик Г. Перельман опублікував низку статей із вирішенням проблеми Пуанкаре. Вони справили ефект бомби, що розірвалася. У 2010 році гіпотеза Пуанкаре була виключена зі списку «Нерозв'язані завдання» інституту Клейя, а самому Перельману було запропоновано отримати чималу винагороду, від якої останній відмовився, не пояснивши причин свого рішення.
Найзрозуміліше пояснення того, що вдалося довести російському математику, можна дати, уявивши, що на бублик (тор) натягують гумовий диск, а потім намагаються стягнути краї його кола в одну точку. Очевидно, що це неможливо. Інша річ, якщо зробити цей експеримент із кулею. У такому разі начебто тривимірна сфера, що вийшла з диска, коло якого стягнули в крапку гіпотетичним шнуром, буде тривимірною у розумінні звичайної людини, але двовимірною з погляду математики.
Пуанкаре припустив, що тривимірна сфера є єдиним тривимірним «предметом», поверхню якої можна стягнути в одну точку, а Перельман вдалося це довести. Таким чином, список «Нерозв'язних задач» сьогодні складається з 6 проблем.
Теорія Янга-Міллса
Ця математична проблема була запропонована її авторами у 1954-му році. Наукове формулювання теорії має такий вигляд: для будь-якої простої компактної калібрувальної групи квантова просторова теорія, створена Янгом і Мілльсом, існує, і при цьому має нульовий дефект маси.
Якщо говорити мовою, зрозумілою для звичайної людини, взаємодії між природними об'єктами (частинами, тілами, хвилями тощо) діляться на 4 типи: електромагнітне, гравітаційне, слабке та сильне. Вже багато років фізики намагаються створити загальну теорію поля. Вона має стати інструментом для пояснення всіх цих взаємодій. Теорія Янга-Міллса - це математична мова, за допомогою якої стало можливо описати три з чотирьох основних сил природи. Вона не застосовується до гравітації. Тому не можна вважати, що Янгу та Міллсу вдалося створити теорію поля.
Крім того, нелінійність запропонованих рівнянь робить їх дуже складними для вирішення. При малих константах зв'язку вдається наближено вирішити вигляді низки теорії збурень. Однак поки що незрозуміло, як можна вирішити ці рівняння за сильного зв'язку.
Рівняння Навье-Стокса
За допомогою цих виразів описуються такі процеси, як повітряні потоки, перебіг рідин та турбулентність. Для деяких окремих випадків аналітичні рішення рівняння Нав'є-Стокса вже були знайдені, однак зробити це для загального поки що нікому не вдалося. У той же час, чисельне моделювання для конкретних значень швидкості, щільності, тиску, часу і так далі дозволяє досягти чудових результатів. Залишається сподіватися, що комусь вдасться застосувати рівняння Навье-Стокса у напрямі, т. е. обчислити з допомогою параметри, чи довести, що методу рішення немає.
Завдання Берча - Свіннертон-Дайєра
До категорії «Нерозв'язані завдання» належить і гіпотеза, запропонована англійськими вченими з Кембриджського університету. Ще 2300 років тому давньогрецький вчений Евклід дав повний опис рішень рівняння x2+y2=z2.
Якщо для кожного з простих чисел порахувати кількість точок на кривій за його модулем, вийде нескінченний набір цілих чисел. Якщо конкретним чином "склеїти" його в 1 функцію комплексної змінної, тоді вийде дзета-функція Хассе-Вейля для кривої третього порядку, що позначається буквою L. Вона містить інформацію про поведінку по модулю всіх простих чисел відразу.
Браян Берч та Пітер Свіннертон-Дайєр висунули гіпотезу щодо еліптичних кривих. Відповідно до неї, структура та кількість безлічі її раціональних рішень пов'язані з поведінкою L-функції в одиниці. Недоведена на даний момент гіпотеза Берча - Свіннертон-Дайєра залежить від опису рівнянь алгебри 3 ступеня і є єдиним порівняно простим загальним способом розрахунку рангу еліптичних кривих.
Щоб зрозуміти практичну важливість цього завдання, досить сказати, що в сучасній криптографії на еліптичних кривих засновано цілий клас асиметричних систем, і на їх застосуванні засновано вітчизняні стандарти цифрового підпису.
Рівність класів p і np
Якщо інші «Завдання тисячоліття» ставляться до суто математичних, то це стосується актуальної теорії алгоритмів. Проблема, що стосується рівності класів р і np, відома також як проблема Кука-Левіна, зрозумілою мовою може бути сформульована наступним чином. Припустимо, що позитивну відповідь на питання можна перевірити досить швидко, тобто за поліноміальний час (ПВ). Тоді чи правильно твердження, що на нього можна досить швидко знайти? Ще простіше звучить так: чи справді вирішення завдання перевірити не важче, ніж його знайти? Якщо рівність класів р і np буде будь-коли доведено, всі проблеми підбору можна буде вирішувати за ПВ. На даний момент багато фахівців сумніваються в істинності цього твердження, хоча не можуть довести протилежне.
Гіпотеза Рімана
Аж до 1859 року було виявлено будь-якої закономірності, яка описувала б, як розподіляються прості числа серед натуральних. Можливо, це було з тим, що наука займалася іншими питаннями. Однак до середини 19 століття ситуація змінилася, і вони стали одними з найактуальніших, якими почала займатися математика.
Гіпотеза Рімана, що виникла у період — це припущення у тому, що у розподілі простих чисел існує певна закономірність.
Сьогодні багато сучасних вчених вважають, що якщо вона буде доведена, то доведеться переглянути багато фундаментальних принципів сучасної криптографії, які становлять основу значної частини механізмів електронної комерції.
Згідно з гіпотезою Рімана, характер розподілу простих чисел, можливо, істотно відрізняється від передбачуваного на даний момент. Справа в тому, що до цих пір поки не було виявлено будь-якої системи у розподілі простих чисел. Наприклад, існує проблема «близнюків», різниця між якими дорівнює 2. Цими числами є 11 і 13, 29. Інші прості числа утворюють скупчення. Це 101, 103, 107 та ін. Вчені давно підозрювали, що такі скупчення існують і серед дуже великих простих чисел. Якщо їх знайдуть, то стійкість сучасних криптоключів під питанням.
Гіпотеза про цикли Ходжа
Ця невирішена досі завдання сформульована 1941 року. Гіпотеза Ходжа передбачає можливість апроксимації форми будь-якого об'єкта шляхом «склеювання» разом простих тіл більшої розмірності. Цей спосіб був відомий і успішно застосовується досить давно. Однак не відомо, наскільки можна спрощення.
Тепер ви знаєте, які задачі, що не вирішуються, існують на даний момент. Вони є предметом дослідження тисяч вчених у всьому світі. Залишається сподіватися, що найближчим часом вони будуть вирішені, а їхнє практичне застосування допоможе людству вийти на новий виток технологічного розвитку.
У світі можна знайти не так багато людей, які жодного разу не чули про Велику теорему Ферма - мабуть, це єдина математична задача, що отримала таку широку популярність і стала справжньою легендою. Про неї згадується в безлічі книг і фільмів, при цьому головний контекст майже всіх згадок - неможливість довести теорему.
Так, ця теорема дуже відома і в певному сенсі стала «ідолом», якому поклоняються математики-аматори та професіонали, але мало кому відомо про те, що її доказ знайдено, а сталося це вже далекого 1995 року. Але про все по порядку.
Отже, Велика теорема Ферма (нерідко звана останньою теоремою Ферма), сформульована в 1637 році блискучим французьким математиком П'єром Ферма, дуже проста за своєю суттю і зрозуміла будь-якій людині із середньою освітою. Вона говорить, що формула а в ступені n + b у ступені n = c у ступені n не має натуральних (тобто не дробових) рішень для n > 2. Начебто все просто і зрозуміло, але найкращі вчені-математики та прості любителі билися над пошуком рішення понад три з половиною століть.
Чому вона така знаменита? Зараз дізнаємось...
Чи мало доведених, недоведених і доки не доведених теорем? Тут вся справа в тому, що Велика теорема Ферма є найбільшим контрастом між простотою формулювання і складністю доказу. Велика теорема Ферма - завдання неймовірно важка, проте її формулювання може зрозуміти кожен з 5-ма класами середньої школи, а ось доказ - навіть далеко не всякий математик-професіонал. Ні в фізиці, ні в хімії, ні в біології, ні в тій же математиці немає жодної проблеми, яка б формулювалася так просто, але залишалася невирішеною так довго. 2. У чому вона полягає?
Почнемо з піфагорових штанів Формулювання справді просте - на перший погляд. Як відомо нам з дитинства, «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проблема виглядає настільки простою тому, що в її основі лежало математичне твердження, яке всім відомо, - теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах.
У V столітті до н. Піфагор заснував піфагорійське братство. Піфагорійці, крім іншого, вивчали цілі трійки, що задовольняють рівності x²+y²=z². Вони довели, що піфагорових трійок нескінченно багато, і отримали загальні формули для їхнього знаходження. Напевно, вони намагалися шукати трійки та вищих ступенів. Переконавшись, що це не виходить, піфагорійці залишили марні спроби. Члени братства були більше філософами та естетами, ніж математиками.
Тобто легко підібрати безліч чисел, які чудово задовольняють рівності x²+y²=z²
Починаючи з 3, 4, 5 – справді, молодшокласнику зрозуміло, що 9+16=25.
Або 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Чудово.
Так от, виявляється, що їх немає. Ось тут починається каверза. Простота - здається, тому що важко довести не наявність чогось, а навпаки, відсутність. Коли треба довести, що рішення є, можна і потрібно просто навести це рішення.
Довести відсутність складніше: наприклад, хтось каже: таке рівняння не має рішень. Посадити його в калюжу? легко: бац – а ось воно, рішення! (Приведіть рішення). І все, опонент вражений. А як довести відсутність?
Сказати: "Я не знайшов таких рішень"? А може, ти погано шукав? А раптом вони є, тільки дуже великі, ну дуже такі, що навіть у надпотужного комп'ютера поки не вистачає сил? Ось це й складно.
У наочному вигляді це можна показати так: якщо взяти два квадратики відповідних розмірів і розібрати на одиничні квадратики, то з цієї купки одиничних квадратиків виходить третій квадратик (рис. 2): 
А зробимо те саме з третім виміром (рис. 3) – не виходить. Бракує кубиків, або залишаються зайві:
А ось математик XVII століття француз П'єр де Ферма із захопленням досліджував загальне рівняння xn+yn=zn. І, нарешті, зробив висновок: при n>2 цілих рішень не існує. Доказ Ферма безповоротно втрачено. Рукописи горять! Залишилося лише його зауваження в «Арифметиці» Діофанта: «Я знайшов справді дивовижний доказ цієї пропозиції, але поля тут занадто вузькі для того, щоб вмістити його».
Взагалі теорема без доказу називається гіпотезою. Але за Ферма закріпилася слава, що він ніколи не помиляється. Навіть якщо він не залишав доказів будь-якого твердження, згодом воно підтверджувалося. До того ж Ферма довів свою тезу для n=4. Так гіпотеза французького математика увійшла до історії як Велика теорема Ферма.
Після Ферма над пошуком доказу працювали такі великі уми, як Леонард Ейлер (в 1770 їм було запропоновано рішення для n = 3),
Адрієн Лежандр і Йоган Діріхле (ці вчені в 1825 році спільно знайшли доказ для n = 5), Габріель Ламе (який знайшов доказ для n = 7) і багато інших. До середини 80-х років минулого століття стало зрозуміло, що вчений світ знаходиться на шляху до остаточного вирішення Великої теореми Ферма, проте тільки в 1993 математики побачили і повірили, що тривікова епопея з пошуку доказів останньої теореми Ферма практично закінчилася.
Легко показується, що теорему Ферма достатньо довести лише для простих n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При складових n доказ залишається чинним. Але й простих чисел нескінченно багато.
У 1825 році, застосувавши метод Софі Жермен, жінки-математика, Діріхле та Лежандр незалежно одна від одної довели теорему для n=5. У 1839 року тим самим методом француз Габріель Ламе показав істинність теореми для n=7. Поступово теорему довели майже всім n, менших ста.
Нарешті, німецький математик Ернст Куммер у блискучому дослідженні показав, що методами математики ХІХ століття теорему у вигляді довести не можна. Премія Французької Академії Наук, започаткована в 1847 році за доказ теореми Ферма, залишилася неврученою.
У 1907 році багатий німецький промисловець Пауль Вольфскель через нерозділене кохання вирішив звести рахунки з життям. Як справжній німець він призначив дату і час самогубства: рівно опівночі. В останній день він склав заповіт та написав листи друзям та родичам. Справи закінчилися раніше за північ. Слід сказати, що Пауль цікавився математикою. Від нічого робити він пішов у бібліотеку і почав читати знамениту статтю Куммера. Несподівано йому здалося, що Куммер у ході міркувань зробив помилку. Вольфскель став із олівцем у руках розбирати це місце статті. Опівночі минула, настав ранок. Пробіл у доказі було заповнено. Та й сам привід для самогубства тепер виглядав абсолютно безглуздим. Пауль розірвав прощальні листи та переписав заповіт.
Незабаром він помер природною смертю. Спадкоємці були неабияк здивовані: 100 000 марок (понад 1 000 000 нинішніх фунтів стерлінгів) передавалися на рахунок Королівського наукового товариства Геттінгена, яке того ж року оголосило про проведення конкурсу на здобуття премії Вольфскеля. 100 000 марок покладалися теорему Ферма, що доказав. За спростування теореми не належало ні пфеніг...
Більшість професійних математиків уважали пошук доказу Великої теореми Ферма безнадійною справою і рішуче відмовлялися витрачати час на таке марне заняття. Зате любителі повеселіли на славу. Через кілька тижнів після оголошення на Геттінгенському університеті обрушилася лавина «доказів». Професор Е. М. Ландау, в обов'язок якого входив розбір надісланих доказів, роздав своїм студентам картки:
Шановний(а) . . . . . . . .
Дякую Вам за надісланий Вами рукопис із доказом Великої теореми Ферма. Перша помилка знаходиться на стор. ... у рядку... . Через неї весь доказ втрачає чинність.
Професор Е. М. Ландау
1963 року Пауль Коен, спираючись на висновки Геделя, довів нерозв'язність однієї з двадцяти трьох проблем Гільберта — гіпотези континууму. А що, якщо Велика теорема Ферма теж нерозв'язна? Але справжніх фанатиків Великої теореми це не розчарувало. Поява комп'ютерів зненацька дала математикам новий спосіб підтвердження. Після Другої світової війни групи програмістів та математиків довели Велику теорему Ферма за всіх значень n до 500, потім до 1 000, а пізніше до 10 000.
У 80-ті роки Семюель Вагстафф підняв межу до 25 000, а в 90-ті математики заявили, що Велика теорема Ферма вірна при всіх значеннях n до 4 мільйонів. Але якщо від нескінченності відібрати навіть трильйон трильйонів, вона не стане меншою. Математиків не переконує статистика. Довести Велику теорему означало довести її ВСІХ n, які у нескінченність.
У 1954 році два молодих японських друга-математика зайнялися дослідженням модулярних форм. Ці форми породжують ряди чисел, кожна – свій ряд. Випадково Таніяма порівняв ці ряди із рядами, що породжуються еліптичними рівняннями. Вони збігалися! Але модулярні форми – геометричні об'єкти, а еліптичні рівняння – алгебраїчні. Між такими різними об'єктами ніколи не знаходили зв'язку.
Тим не менш, друзі після ретельної перевірки висунули гіпотезу: у кожного еліптичного рівняння існує двійник – модулярна форма, і навпаки. Саме ця гіпотеза стала фундаментом цілого напряму в математиці, але доти, поки гіпотеза Таніями-Сімури не була доведена, вся будівля могла зруйнуватися будь-якої миті.
В 1984 Герхард Фрей показав, що рішення рівняння Ферма, якщо воно існує, можна включити в деяке еліптичне рівняння. Двома роками пізніше професор Кен Рібет довів, що це гіпотетичне рівняння не може мати двійника у модулярному світі. Відтепер Велика теорема Ферма була нерозривно пов'язана з гіпотезою Таніями-Сімури. Довівши, що будь-яка еліптична крива модулярна, робимо висновок, що еліптичного рівняння з рішенням рівняння Ферма немає, і Велика теорема Ферма було б відразу доведено. Але протягом тридцяти років довести гіпотезу Таніями-Сімури не вдавалося, і надій на успіх залишалося дедалі менше.
У 1963 році, коли йому було всього десять років, Ендрю Вайлз вже був зачарований математикою. Коли він дізнався про Велику теорему, то зрозумів, що не зможе відмовитися від неї. Школярем, студентом, аспірантом він готував себе до цього завдання.
Дізнавшись про висновки Кена Рібета, Уайлс з головою пішов на доказ гіпотези Таніями-Сімури. Він вирішив працювати у повній ізоляції та таємності. «Я розумів, що все, що має якесь відношення до Великої теореми Ферма, викликає надто великий інтерес… Занадто багато глядачів наперед заважають досягненню мети». Сім років наполегливої роботи принесли плоди, Уайлс нарешті завершив доказ гіпотези Таніями-Сімури.
У 1993 році англійський математик Ендрю Уайлс представив світові свій доказ Великої теореми Ферма (Уайльс прочитав свою сенсаційну доповідь на конференції в Інституті сера Ісаака Ньютона в Кембриджі), робота над яким тривала понад сім років.
Поки в пресі продовжувався галас, розпочалася серйозна робота з перевірки доказу. Кожен фрагмент доказу повинен бути ретельно вивчений перш ніж доказ може бути визнаний суворим та точним. Уайлс провів неспокійне літо в очікуванні відгуків рецензентів, сподіваючись, що йому вдасться отримати схвалення. Наприкінці серпня експерти виявили недостатньо обґрунтоване судження.
Виявилося, що це рішення містить грубу помилку, хоча загалом і правильно. Уайлс не здався, закликав на допомогу відомого фахівця в теорії чисел Річарда Тейлора, і вже в 1994 вони опублікували виправлений і доповнений доказ теореми. Найдивовижніше, що ця робота зайняла цілих 130 (!) смуг у математичному журналі "Annals of Mathematics". Але й на цьому історія не закінчилася — останню точку було поставлено лише наступного, 1995 року, коли вийшов остаточний і «ідеальний», з математичної точки зору, варіант доказу.
«…через півхвилини після початку святкового обіду з нагоди її дня народження, я подарував Наді рукопис повного доказу» (Ендрю Уальс). Я ще не казав, що математики дивні люди?
На цей раз жодних сумнівів у доказі не було. Дві статті були піддані ретельному аналізу і в травні 1995 року були опубліковані в журналі «Annals of Mathematics».
З того моменту пройшло чимало часу, однак у суспільстві досі існує думка про нерозв'язність Великої теореми Фер-ма. Але навіть ті, хто знає про знайдений доказ, продовжують роботу в цьому напрямі — мало кого влаштовує, що Велика теорема потребує вирішення 130 сторінок!
Тому зараз сили дуже багатьох математиків (в основному це любителі, а не професійні вчені) кинуті на пошуки простого і лаконічного доказу, проте цей шлях, швидше за все, не приведе нікуди...
джерело
1 Murad :
Ми рівність Zn = Xn + Yn вважали Діофанта рівняння або великою теоремою Ферма, а це рішення рівняння (Zn-Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Тоді Zn = - (Xn + Yn) є рішення рівняння (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Ці рівняння та рішення пов'язані з властивостями цілих чисел та дії над ними. Значить, не знаємо властивості цілих чисел? Маючи такі обмежені знання не розкриємо істину.
Розглянемо рішення Zn = + (Xn + Yn) та Zn = - (Xn + Yn), коли n = 1. Цілі числа + Z утворюються за допомогою 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Вони ділитися на 2 цілі числа +X – парні, останні праві цифри: 0, 2, 4, 6, 8 та +Y – непарні, останні праві цифри: 1, 3, 5, 7, 9, т .е. + X = + Y. Кількість Y = 5 – непарних і X = 5 – парних чисел дорівнює: Z = 10. Задовольняє рівняння: (Z – X) X = (Z – Y) Y, а розв'язання +Z = +X + Y = + (X + Y).
Цілі числа -Z складаються з об'єднання -X - парні та -Y - непарні, і задовольняє рівняння:
(Z + X) X = (Z + Y) Y, а рішення -Z = - X - Y = - (X + Y).
Якщо Z/X=Y або Z/Y=X, то Z=XY; Z / -X = -Y або Z / -Y = -X, Z = (-X)(-Y). Розподіл перевіряється множенням.
Однозначні позитивні та негативні числа складаються з 5 непарних та 5 непарних чисел.
Розглянемо випадок n = 2. Тоді Z2 = X2 + Y2 є рішення рівняння (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 та Z2 = -(X2 + Y2) є рішення рівняння (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Ми Z2 = X2 + Y2 вважали теорему Піфагора і тоді рішення Z2 = -(X2 + Y2) є цією ж теоремою. Знаємо, що діагональ квадрата ділитиме його на 2 частини, де діагональ є гіпотенузою. Тоді справедливі рівності: Z2 = X2 + Y2 і Z2 = -(X2 + Y2) де X і Y катети. І ще рішення R2 = X2 + Y2 і R2 = - (X2 + Y2) є кола, центри є початком квадратної системи координат і з радіусом R. Їх можна записати у вигляді (5n)2 = (3n)2 + (4n)2 , де n - цілі позитивні та негативні, і є 3 послідовні числа. Також рішеннями є 2-розрядні числа XY, які починається з 00 і закінчується 99 і є 102 = 10х10 і рахувати 1 століття = 100 років.
Розглянемо рішення, коли n = 3. Тоді Z3 = X3 + Y3 розв'язки рівняння (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
3-розрядні числа XYZ починається з 000 і закінчується 999 і є 103 = 10х10х10 = 1000 років = 10століття
З 1000 кубиків однакового розміру та кольору можна скласти рубик порядку 10. Розглянемо рубик порядку +103=+1000 – червоний та -103=-1000 – синій. Вони складаються з 103 = 1000 кубиків. Якщо розкладемо, і поставити кубики в один ряд або один на одного, без проміжків, то отримаємо горизонтальний або вертикальний відрізок довжини 2000. Рубик - великий куб, покрито маленькими кубами, починаючи з розміру 1бутто = 10ст.-21, і в нього не можна додати або зменшити одного куба.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Кожне ціле число 1. Скласти 1 (одиниці) 9 + 9 = 18, 10 + 9 = 19, 10 +10 = 20, 11 +10 = 21, а твори:
111111111 х 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 х 111111111 = 123456789987654321.
0111111111х11111111110 = 0123456789876543210; 01111111111х11111111110 = 01234567899876543210.
Ці операції можна виконати у 20-розрядних калькуляторах.
Відомо, що +(n3 – n) ділиться на +6, а – (n3 – n) ділиться на -6. Знаємо, що n3 - n = (n-1) n (n + 1). Це 3 послідовні числа (n-1)n(n+1), де n – парне, то ділиться на 2, (n-1) і (n+1) непарні, діляться на 3. Тоді (n-1) n(n+1) завжди ділиться на 6. Якщо n=0, то (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, то(n-1)n (n+1)=(19)(20)(21).
Знаємо, що 19 х 19 = 361. Це означає, що одного квадрата оточують 360 квадратів, і тоді одного куба оточують 360 кубів. Виконується рівність: 6 n - 1 + 6n. Якщо n = 60, то 360 - 1 + 360, а n = 61, то 366 - 1 + 366.
З вищезазначених тверджень випливають узагальнення:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2 +4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3 +9); n9 -16 n = (n4-16) n (n4 +16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
n! = 0123 ... (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3) ... 3210; (n+1)! = n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
Якщо 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 х 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n-1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Будь-яке ціле число n є ступенем 10, має: - n і +n, +1/n і -1/n, непарне та парне:
- (n + n + ... + n) = -n2; - (n x n x ... x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n + ... + n) = + n2; + (n x n x ... x n) = + nn; + (1/n + ... +1 / n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
Зрозуміло, що й будь-яке ціле число скласти себе, то збільшитися вдвічі, а добуток буде квадратом: X = a, Y = a, X+Y = a +a = 2a; XY = a x a = a2. Це вважали теоремою Вієта – помилка!
Якщо дане число додати і відібрати число b, то сума не змінюється, а добуток змінюється, наприклад:
X = a + b, Y = a - b, X + Y = a + b + a - b = 2a; XY = (a + b) x (a - b) = a2-b2.
X = a + √b, Y = a -√b, X + Y = a +√b + a - √b = 2a; XY = (a +√b) x (a -√b) = a2-b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY = (a + bi) x (a -bi) = a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X + Y = a + √bi + a - √bi = 2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2 + b.
Якщо замість букв a і b поставити цілі числа, то отримаємо парадокси, абсурди та недовіри математиці.
