1. Визначення паралелограма.

Якщо пару паралельних прямих перетнемо іншою парою паралельних прямих, то отримаємо чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

У чотирикутниках ABDС та ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС та AB || CD;

ЕF || МN та ЕМ || FN.

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

2. Властивості паралелограма.

Теорема. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Нехай є паралелограм ABDС (рис. 225), в якому AB | СD та АС || ВD.

Потрібно довести, що діагональ ділить його на два рівні трикутники.

Проведемо в паралелограмі ABDС діагональ СВ. Доведемо, що \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Сторона СВ загальна цих трикутників; ∠ABC = ∠BCD, як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних AB і СD та січній СВ; ∠ACB = ∠СВD, теж як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних АС і ВD та січній CB.

Звідси \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Таким же шляхом можна довести, що діагональ AD розділить паралелограм на два рівні трикутники АСD і ABD.

Наслідки:

1 . Протилежні кути паралелограма рівні між собою.

∠А = ∠D, це випливає з рівності трикутників CAB та СDВ.

Аналогічно і ∠С = ∠В.

2. Протилежні сторони паралелограма рівні між собою.

AB = СD та АС = ВD, оскільки це сторони рівних трикутників і лежать проти рівних кутів.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма в точці їх перетину діляться навпіл.

Нехай BC та AD - діагоналі паралелограма AВDС (рис. 226). Доведемо, що АТ = OD та СО = OB.

Для цього порівняємо якусь пару протилежно розташованих трикутників, наприклад \(\Delta\)AOB і \(\Delta\)СОD.

У цих трикутниках AB = СD як протилежні сторони паралелограма;

∠1 = ∠2, як кути внутрішні навхрест лежать при паралельних AB і СD та січній AD;

∠3 = ∠4 з тієї ж причини, тому що AB || СD і СВ – їх січуча.

Звідси випливає, що \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. На рівних трикутниках проти рівних кутів лежать рівні сторони. Отже, АТ = OD та СО = OB.

Теорема 3. Сума кутів, що прилягають до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180 °.

У паралелограмі ABCD проведемо діагональ АС і отримаємо два трикутники ABC та ADC.

Трикутники рівні, оскільки ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (нахрест лежачі кути при паралельних прямих), а сторона АС загальна.
З рівності \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC випливає, що AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, наприклад, кутів А і D, дорівнює 180° як односторонніх при паралельних прямих.

Конспект уроку.

Алгебра 8 клас

Вчитель Сисий А.К.

Школа 1828

Тема уроку: «Паралелограм та його властивості»

Тип уроку: комбінований

Цілі уроку:

1) Забезпечити засвоєння нового поняття – паралелограм та його властивостей

2) Продовжити розвиток навичок та умінь вирішення геометричних завдань;

3) Розвиток культури математичної мови

План уроку:

1. Організаційний момент

(Слайд 1)

На слайді демонструється висловлювання Льюїса Керролла. Учням повідомляється про мету уроку. Перевіряється готовність учнів до уроку.

2. Актуалізація знань

(Слайд 2)

На дошці - завдання для усної роботи. Вчитель пропонує учням подумати над цими завданнями та підняти руку тим, хто зрозумів, як завдання вирішувати. Після вирішення двох завдань, на доказ теореми про суму кутів викликається до дошки учень, який самостійно робить додаткові побудови на кресленні та доводить усно теорему.

Учнями використовується формула суми кутів багатокутника:

3. Основна частина

(Слайд 3)

На дошці визначення паралелограма. Вчитель говорить про нову фігуру та формулює визначення, роблячи за допомогою креслення необхідні пояснення. Потім на картатій частині презентації, за допомогою маркера та лінійки, показує, як можна малювати паралелограм (можливо кілька випадків)

(Слайд 4)

Вчитель формулює першу властивість паралелограма. Пропонує учням сказати, на малюнку, що дано і що необхідно довести. Після цього на дошці з'являється завдання. Учні здогадуються (можливо за допомогою вчителя), що шукані рівності треба довести через рівності трикутників, які можна отримати, провівши діагональ (на дошці з'являється діагональ). Далі учні здогадуються, чому трикутники рівні і називають ознаку рівності трикутників (з'являється відповідна форма). Усно повідомляють факти, які необхідні рівності трикутників (у міру того як вони їх називають, з'являється відповідна візуалізація). Далі учні формулюють властивість рівних трикутників, воно з'являється у вигляді пункту 3 докази, а потім самостійно завершують доказ теореми усно.

(Слайд 5)

Вчитель формулює другу властивість паралелограма. На дошці з'являється малюнок паралелограма. Вчитель пропонує за малюнком сказати, що дано, що необхідно довести. Після того, як учні правильно повідомляють про те, що дано і що необхідно довести, з'являється умова теореми. Учні здогадуються, що рівність частин діагоналей можна довести через рівність трикутниківAOBі COD. За допомогою попередньої властивості паралелограма здогадуються про рівність сторінABі CD. Потім розуміють, що треба знайти рівні кути і за допомогою властивостей паралельних прямих доводять рівність кутів, що прилягають до рівних сторін. Ці етапи візуалізуються на слайді. З рівності трикутників випливає і істинність теореми – промовляють учні на слайді з'являється відповідна візуалізація.

(Слайд 6)

Вчитель формулює третю властивість паралелограма. Залежно від часу, що залишається до кінця уроку, вчитель може дати можливість учням самостійно довести цю властивість, або обмежиться його формулюванням, а сам доказ залишити учням як домашньої роботи. Доказ може спиратися на суму кутів вписаного багатокутника, яка повторювалася на початку уроку, або на суму односторонніх внутрішніх кутів при двох паралельних прямихADі BC, і січеною, наприкладAB.

4. Закріплення матеріалу

У цьому етапі учні, використовуючи раніше вивчені теореми, вирішують завдання. Ідеї вирішення завдання підбирають учні самостійно. Так як можливих варіантівоформлення чимало і всі вони залежать від того, яким чином учні шукатимуть рішення задачі, візуалізації розв'язання задач немає, а учні самостійно оформлюють кожен етап рішення на окремій дошці із записом рішення у зошит.

(Слайд 7)

З'являється умова завдання. Вчитель пропонує за умовою сформулювати "Дано". Після того, як учні, правильно складуть короткий запис умови на дошці з'являється «Дано». Хід розв'язання задачі може виглядати так:

Проведемо висоту BH (візуалізовано)

Трикутник AHB – прямокутний. Кут A дорівнює куту C і дорівнює 30 0 (за властивістю про протилежні кути в паралелограмі). 2BH =AB (за властивістю катета, що лежить навпроти кута 30 0 у прямокутному трикутнику). Отже AB = 13 див.

AB = CD, BC = AD (за якістю протилежних сторін у паралелограмі) Значить AB = CD = 13см. Так як периметр паралелограма дорівнює 50 см, то BC = AD = (50 - 26): 2 = 12см.

Відповідь: AB = CD = 13 см; BC = AD = 12 см.

(Слайд 8)

З'являється умова завдання. Вчитель пропонує за умовою сформулювати "Дано". Після цього з'являється «Дано» на екрані. За допомогою червоних ліній виділяється чотирикутник, про який необхідно довести, що він паралелограм. Хід розв'язання задачі може виглядати так:

Т.к. BK та MD перпендикуляри до однієї прямої, то прямі BK та MD паралельні.

Через суміжні кути можна показати, що сума внутрішніх односторонніх кутів при прямих BM та KD та січній MD дорівнює 180 0 . Тому дані прямі паралельні.

Так як чотирикутник BMDK протилежні сторони попарно паралельні, то даний чотирикутник паралелограм.

5. Закінчення уроку. Поведінка підсумків.

(Слайд 8)

На слайді постають питання щодо новій теміна які учні відповідають.

Як у евклідовій геометрії точка і пряма – головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігур опуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, витікають поняття прямокутника, квадрата, ромба та інших геометричних величин.

Вконтакте

Визначення паралелограма

Випуклий чотирикутник,що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий у геометрії як паралелограм.

Як виглядає класичний паралелограм, зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються основами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині сторону - висотою (BE і BF), лінії AC і BD - діагоналями.

Увага!Квадрат, ромб і прямокутник – це окремі випадки паралелограма.

Сторони та кути: особливості співвідношення

Ключові властивості, за великому рахунку,зумовлені самим позначенням, їх доводить теорема Ці показники такі:

Сторони, які є протилежними - попарно однакові.
Кути, розташовані протилежно один до одного - попарно рівні.

Доказ: розглянемо ∆ABC та ∆ADC, які виходять внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямої AC. ∠BCA=∠CAD та ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD та AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).

Відрізки AB і BC в ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.

Характеристики діагоналей фігури

Основна ознакацих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.

Доказ: нехай тобто це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірні трикутники - ∆ABE і ∆CDE.

AB=CD, оскільки вони протилежні. Відповідно до прямих і січної, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.

За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ABE і CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони пропорційні частини AC і BD. Властивість доведено.

Особливості суміжних кутів

У суміжних сторінсума кутів дорівнює 180 °, оскільки вони лежать по один бік паралельних ліній та січній. Для чотирикутника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Властивості бісектриси:

опущені на один бік, є перпендикулярними;
протилежні вершини мають паралельні бісектриси;
трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.

Визначення характерних рис паралелограма з теореми

Ознаки цієї постаті випливають із її основної теореми, яка свідчить наступне: чотирикутник вважається паралелограмому разі, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх у рівні відрізки.

Доказ: нехай у т. е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD та BC. Отже, за визначенням паралельності - AD || BC. Аналогічна властивість ліній BC та CD виводиться також. Теорему доведено.

Обчислення площі фігури

Площа цієї фігури знаходиться декількома методами,одним із найпростіших: множення висоти та підстави, до якої вона проведена.

Доказ: проведемо перпендикуляри BE та CF з вершин B та C. ∆ABE та ∆DCF - рівні, оскільки AB = CD та BE = CF. ABCD - рівновеликий з прямокутником EBCF, оскільки вони складаються і пропорційних фігур: S ABE і S EBCD , а також S DCF і S EBCD . З цього випливає, що площа цієї геометричної фігуризнаходиться так само як і прямокутника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для визначення загальної формули площі паралелограма позначимо висоту як hb, а бік - b. Відповідно:

Інші способи знаходження площі

Обчислення площі через сторони паралелограма та кут, Який вони утворюють, - другий відомий метод.

Sпр-ма – площа;

a та b - його сторони

α - кут між відрізками a та b.

Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у разі, якщо невідома. завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого знаходяться тригонометричними тотожностями, тобто . Перетворюючи співвідношення, отримуємо . У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором та отримуємо доказ справедливості цієї формули.

Через діагоналі паралелограма та кут,який вони створюють при перетині, також можна знайти площу.

Доказ: AC і BD перетинаючи, утворюють чотири трикутники: ABE, BEC, CDE та AED. Їхня сума дорівнює площі цього чотирикутника.

Площу кожного з цих ∆ можна знайти за виразом , де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки , то в розрахунках використовується єдине значеннясинусу. Тобто . Оскільки AE+CE=AC= d 1 і BE+DE=BD= d 2 формула площі зводиться до:

Застосування у векторній алгебрі

Особливості складників цього чотирикутника знайшли застосування у векторній алгебрі, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані векториінеколінеарні, то їх сума дорівнюватиме діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.

Доказ: із довільно обраного початку – т. о. - Будуємо вектори та . Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA та OB – сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі чи сумі .

Формули для обчислення параметрів паралелограма

Тотожності наведені за таких умов:

a і b, α - сторони та кут між ними;
d 1 і d 2 , - діагоналі і в точці їх перетину;
h a та h b - висоти, опущені на сторони a та b;

Параметр	Формула
Знаходження сторін
по діагоналях і косинус кута між ними
по діагоналях та стороні
через висоту та протилежну вершину
Знаходження довжини діагоналей
по сторонах та величині вершини між ними

Середній рівень

Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат (2019)

1. Паралелограм

Складне слово «паралелограм»? А ховається за ним дуже проста фігура.

Ну, тобто, взяли дві паралельні прямі:

Перетнули ще двома:

І ось всередині - паралелограм!

Які є властивості у паралелограма?

Властивості паралелограма.

Тобто чим можна користуватися, якщо в задачі дано паралелограм?

На це запитання відповідає така теорема:

Давай намалюємо докладно.

Що означає перший пункт теореми? А те, що якщо у тебе є паралелограм, то неодмінно

Другий пункт означає, що якщо Є паралелограм, то, знову ж таки, неодмінно:

Ну, і нарешті, третій пункт означає, що якщо у тебе є паралелограм, то обов'язково:

Бачиш яке багатство вибору? Що ж використовувати у завданні? Спробуй орієнтуватися на питання завдання, або просто пробуй все по черзі - якийсь «ключик» та підійде.

А тепер поставимо собі інше питання: а як дізнатися паралелограм «в обличчя»? Що таке має статися з чотирикутником, щоб ми мали право видати йому звання паралелограма?

На це запитання відповідає кілька ознак паралелограма.

Ознаки паралелограма.

Увага! Починаємо.

Паралелограм.

Зверніть увагу: якщо ти знайшов хоча б одну ознаку у своєму завданні, то у тебе точно паралелограм, і ти можеш користуватися всіма властивостями паралелограма.

2. Прямокутник

Думаю, що для тебе зовсім не стане новиною те, що

Перше питання: а чи є прямокутник паралелограм?

Звісно, є! Адже в нього і - пам'ятаєш, наша ознака 3?

А звідси, звичайно ж, випливає, що у прямокутника, як і у будь-якого паралелограма, а діагоналі точкою перетину діляться навпіл.

Але є прямокутник і одна відмінна властивість.

Властивість прямокутника

Чому ця властивість відмінна? Тому що в жодного іншого паралелограма не буває рівних діагоналей. Сформулюємо чіткіше.

Зверніть увагу: щоб стати прямокутником, чотирикутнику потрібно спочатку стати паралелограмом, а потім уже пред'являти рівність діагоналей.

3. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що у нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Властивості ромба

Подивись на картинку:

Як і у випадку з прямокутником, ці властивості - відмінні , тобто по кожному з цих властивостей можна укласти, що перед нами не просто паралелограм , а саме ромб.

Ознаки ромба

І знову зверни увагу: має бути не просто чотирикутник, у якого перпендикулярні діагоналі, а саме паралелограм. Переконайтеся:

Ні, звичайно, хоча його діагоналі і перпендикулярні, а діагональ - бісектриса кутів і. Але … діагоналі не діляться, точкою перетину навпіл, тому – не паралелограм, а значить, і не ромб.

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло, чому? - ромб - бісектриса кута A, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Властивості чотирикутників. Паралелограм

Властивості паралелограма

Увага! Слова « властивості паралелограма» означають, що якщо у тебе в завданні єпаралелограм, то всім нижченаведеним можна користуватися.

Теорема про властивості паралелограма.

У будь-якому паралелограмі:

Давай зрозуміємо, чому це все правильно, інакше кажучи ДОКАЖЕМОтеорему.

Отже, чому правильно 1)?

Раз - паралелограм, то:

як навхрест лежачі
як навхрест лежать.

Значить (за II ознакою: і - загальна.)

Ну от, а раз, то й – все! – довели.

Але, до речі! Ми ще довели при цьому 2)!

Чому? Але ж (дивися на картинку), тобто саме тому, що.

Залишилося лише 3).

Для цього все-таки доведеться провести другу діагональ.

І тепер бачимо, що – за II ознакою (кута та сторона «між» ними).

Властивості довели! Перейдемо до ознак.

Ознаки паралелограма

Нагадаємо, що ознака паралелограма відповідає на питання "як дізнатися?", що фігура є паралелограмом.

У значках це так:

Чому? Добре було б зрозуміти, чому цього вистачить. Але дивись:

Ну ось і розібралися, чому ознака одна вірна.

Ну, це ще легше! Знову проведемо діагональ.

А значить:

Ітеж нескладно. Але... інакше!

Отже, . Ух! Але і - внутрішні односторонні при січній!

Тому той факт, що означає, що.

А якщо подивишся з іншого боку, то і – внутрішні односторонні при січній! І тому.

Бачиш, як здорово?

І знову просто:

Так само, в.

Зверни увагу:якщо ти знайшов хоча бодна ознака паралелограма у своєму завданні, то в тебе точнопаралелограм, і ти можеш користуватися усімавластивостями паралелограма.

Для повної ясності подивися на схему:

Властивості чотирикутників. Прямокутник.

Властивості прямокутника:

Пункт 1) Очевидний - адже просто виконано ознаку 3 ()

А пункт 2) - дуже важливий. Отже, доведемо, що

Отже, по двох катетах (і - загальний).

Ну ось, якщо трикутники і рівні, то в них і гіпотенузи теж рівні.

Довели, що!

І уяви собі, рівність діагоналей – відмінна властивість саме прямокутника серед усіх паралелограмів. Тобто правильне таке твердження ^

Давай зрозуміємо, чому?

Значить, (маються на увазі кути паралелограма). Але ще раз згадаємо, що – паралелограм, і тому.

Отже, . Ну і, звичайно, з цього випливає, що кожен з них! Адже в сумі вони повинні давати!

Ось і довели, що якщо у паралелограмараптом (!) виявляться рівні діагоналі, то це точно прямокутник.

Але! Зверни увагу!Мова йде про паралелограмах! Не будь-якийчотирикутник з рівними діагоналями - прямокутник, а тількипаралелограм!

Властивості чотирикутників. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що в нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

Але є й особливі якості. Формулюємо.

Властивості ромба

Чому? Ну, якщо ромб - це паралелограм, то його діагоналі діляться навпіл.

Чому? Так, тому ж!

Іншими словами, діагоналі і виявилися бісектрисами кутів ромба.

Як у випадку з прямокутником, властивості ці - відміннікожні з них є ще й ознакою ромба.

Ознаки ромба.

А це чому? А подивися,

Значить, і обидвацих трикутників - рівнобедрених.

Щоб бути ромбом, чотирикутник спочатку повинен стати паралелограмом, а потім уже демонструвати ознаку 1 або ознаку 2.

Властивості чотирикутників. Квадрат

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло чому? Квадрат - ромб - бісектриса кута, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Чому? Ну, просто застосуємо теорему Піфагора до.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Властивості паралелограма:

Протилежні сторони рівні: , .
Протилежні кути дорівнюють: , .
Кути з одного боку становлять у сумі: , .
Діагоналі діляться точкою перетину навпіл: .

Властивості прямокутника:

Діагоналі прямокутника дорівнюють: .
Прямокутник – паралелограм (для прямокутника виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості ромба:

Діагоналі ромба перпендикулярні: .
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів: ; ; ; .
Ромб – паралелограм (для ромба виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості квадрата:

Квадрат - ромб і прямокутник одночасно, отже для квадрата виконуються всі властивості прямокутника та ромба. А також.

Середній рівень

Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат (2019)