Поодиноких доданків. Наприклад, запис 5*3 означає «5 скласти з собою 3 рази», тобто є коротким записом для 5+5+5. Результат множення називається твором, а числа, що множаться - множникамиабо співмножниками. Існують також таблиці множення.
Запис
Множення позначається зірочкою*, хрестиком або крапкою. Записи
позначають те саме. Знак множення часто пропускають, якщо це не призводить до плутанини. Наприклад, замість звичайно пишуть .
Якщо співмножників багато, то частину їх можна замінити крапкою. Наприклад, добуток цілих чисел від 1 до 100 може бути записаний як
У буквеному записі застосовується також символ твору: 
Див. також
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитись що таке "Твор (математика)" в інших словниках:
- (Математика) результат множення. Витвір мистецтва. Музичний твір. Аудіовізуальний твір. Службовий твір … Вікіпедія
Твір двох чи більше об'єктів це узагальнення теоретично категорій таких понять, як декартово твір множин, прямий твір груп і твір топологічних просторів. Твори сімейства об'єктів це в… … Вікіпедія
Кронекера бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається. Результатом є блокова матриця. Твір Кронекера не слід плутати зі звичайним множенням матриць. Операцію названо на честь німецької… … Вікіпедія
Історія науки За тематикою Математика Природничі науки … Вікіпедія
I. Визначення предмета математики, зв'язок з іншими науками та технікою. Математика (грец. mathematice, від mathema знання, наука), наука про кількісні відносини і просторові форми дійсного світу. «Чиста … Велика Радянська Енциклопедія
Теорія категорій - розділ математики, що вивчає властивості відносин між математичними об'єктами, що не залежать від внутрішньої структури об'єктів. Деякі математики вважають теорію категорій занадто абстрактною і непридатною для ... ... Вікіпедія
Вектор Цей термін має інші значення, див. Вектор … Вікіпедія
Цей термін має й інші значення, див. функція. Запит «Відображення» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія
Цей термін має й інші значення, див. Операція. Операція відображення, що ставить у відповідність одному або кільком елементам множини (аргументам) інший елемент (значення). Термін «операція» як правило застосовується до ... Вікіпедія
Цей термін має й інші значення, див. Ротор. Ротор або вихор вектор диференціальний оператор над вектор поле. Позначається (в російськомовній літературі) або (в англомовній літературі), а також як векторне множення … Вікіпедія
Книги
- Набір таблиць. Математика. 4 клас. 8 таблиць + методика, . Навчальний альбом з 8 аркушів (формат 68 х 98 см): - Частки. - множення та розподіл числа на твір. - Складання та віднімання величин. - множення та розподіл величин. - Письмове множення на…
- Кирик Новгородець - російський вчений XII століття у вітчизняній книжковій культурі, Симонов Р.А. …
Завдання 1.2
Дано два цілих числа Х і Т. Якщо вони мають різні знаки, то надати Х значення твору цих чисел, а Т - значення їх різниці по модулю. Якщо числа мають однакові знаки, то надати Х значення різниці за модулем вихідних чисел, а Т - значення добутку цих чисел. Нові значення Х та Т вивести на екран.
Завдання теж нескладне. "Незрозумілі" можуть виникнути тільки в тому випадку, якщо ви забули, що таке різницю по модулю (сподіваюся, що таке твір двох цілих чисел, ви все-таки пам'ятаєте))).
Різниця за модулем двох чисел
Різниця по модулю двох цілих чисел (хоча не обов'язково цілих - це не має значення, просто в нашому завданні числа цілі) - це, говорячи по простому, коли результатом обчислення є модуль різниці двох чисел.
Тобто спочатку виконується операція віднімання одного числа з іншого. А потім обчислюється модуль результату цієї операції.
Математично це можна записати так:
Якщо хтось забув, що таке модуль або як його обчислити в Паскалі, див.
Алгоритм визначення символів двох чисел
Розв'язання завдання загалом досить просте. Проблема у новачків може викликати лише визначення символів двох чисел. Тобто треба відповісти на запитання: як дізнатися, чи мають числа однакові знаки чи різні.
Спочатку напрошується почергове порівняння чисел із нулем. Це припустимо. Але вихідний код буде досить великим. Тому правильніше використовувати такий алгоритм:
- Помножити числа один на одного
- Якщо результат менше нуля, значить у чисел різні знаки
- Якщо результат дорівнює нулю чи більше нуля, то чисел однакові знаки
Цей алгоритм я виконав у вигляді окремої. А сама програма вийшла такою, як показано у прикладах на Паскалі та С++ нижче.
Розв'язання задачі 1.2 на Паскалі program checknums; var A, X, T: integer; //************************************************ **************** // Перевіряє, чи мають числа N1 та N2 однакові знаки. Якщо так, то // повертає TRUE, інакше - FALSE //************************************ **************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; end; //************************************************ **************** // ОСНОВНА ПРОГРАМА //**************************** ************************************ begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Якщо числа мають однакові знаки begin A:= (X - T); //Отримати різницю по модулю вихідних чисел T: = X * T; end else // Якщо числа мають різні знаки begin A: = X * T; T: = Abs (X - T); end; X: = A; //Записати до Х значення А WriteLn("X = ", X); // Вивести Х WriteLn("T = ", T); // Вивести Т WriteLn("The end. Press ENTER..."); ReadLn; end.
Розв'язання задачі 1.2 на С++#include #include using namespace std; int A, X, T; //************************************************ **************** // Перевіряє, чи мають числа N1 та N2 однакові знаки. Якщо так, то // повертає TRUE, інакше - FALSE //************************************ **************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) >= 0); ) //*********************************************** ***************** // ОСНОВНА ПРОГРАМА //*************************** ************************************* int main(int argc, char *argv) ( cout > x; Якщо числа мають різні знаки (A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A;
Оптимізація
Цю просту програму можна трохи спростити, якщо не використовувати функцію і трохи переробити вихідний код програми. У цьому загальна кількість рядків вихідного коду трохи скоротиться. Як це зробити – подумайте самі.
Розберемо поняття множення на прикладі:
Туристи перебували в дорозі три дні. Щодня вони проходили однаковий шлях 4200 м. Яку відстань вони пройшли за три дні? Розв'яжіть задачу двома способами.
Рішення:
Розглянемо завдання докладно.
Першого дня туристи пройшли 4200м. По-друге той же шлях пройшли туристи 4200м і в третій день - 4200м. Запишемо математичною мовою:
4200 +4200 +4200 = 12600м.
Ми бачимо закономірність число 4200 повторюється три рази, отже можна суму замінити множенням:
4200⋅3 = 12600м.
Відповідь: туристи за три дні пройшли 12 600 метрів.
Розглянемо приклад:
Щоб нам не писати довгий запис, можна записати його у вигляді множення. Число 2 повторюється 11 разів тому приклад з множенням виглядатиме так:
2⋅11=22
Підведемо підсумок. Що таке множення?
Розмноження– це дія, що замінює повторення n разів доданку m.
Запис m⋅n та результат цього виразу називають добутком чисел, А числа m і n називають множниками.
Розглянемо сказане з прикладу:
7⋅12=84
Вираз 7⋅12 та результат 84 називаються добутком чисел.
Числа 7 та 12 називаються множниками.
У математиці є кілька законів множення. Розглянемо їх:
Переміщувальний закон множення.
Розглянемо завдання:
Ми віддали по два яблука 5 своїм друзям. Математично запис виглядатиме так: 2⋅5.
Або ми віддали по 5 яблук двом своїм друзям. Математично запис виглядатиме так: 5⋅2.
У першому і другому випадку ми роздамо однакову кількість яблук, що дорівнює 10 штук.
Якщо ми помножимо 2⋅5=10 та 5⋅2=10, то результат не зміниться.
Властивість переміщувального закону множення:
Від зміни місць множників твір не змінюється.
m⋅
n=n⋅m
Сполучний закон множення.
Розглянемо з прикладу:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 або 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 отримаємо,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅
b) ⋅
c=
a⋅(b⋅
c)
Властивість поєднаного закону множення:
Щоб число помножити на добуток двох чисел, його можна спочатку помножити на перший множник, а потім отриманий добуток помножити на другий.
Змінюючи кілька множників місцями і укладаючи в дужки, результат чи твір не зміниться.
Ці закони вірні для будь-яких натуральних чисел.
Розмноження будь-якого натурального числа на одиницю.
Розглянемо приклад:
7⋅1=7 або 1⋅7=7
a⋅1=a або 1⋅a=
a
При множенні будь-якого натурального числа на одиницю твором завжди буде теж число.
Розмноження будь-якого натурального числа на нуль.
6⋅0=0 або 0⋅6=0
a⋅0=0 або 0⋅a=0
При множенні будь-якого натурального числа на нуль добуток дорівнює нулю.
Запитання до теми “Умноження”:
Що таке твір чисел?
Відповідь: добутком чисел або множення чисел називається вираз m⋅n, де m – доданок, а n – число повторень цього доданка.
Навіщо потрібно множення?
Відповідь: щоб не писати довге додавання чисел, а писати скорочено. Наприклад, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Що результат множення?
Відповідь: значення твору.
Що означає запис множення 3⋅5?
Відповідь: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Якщо помножити мільйон на нуль, чому дорівнюватиме твір?
Відповідь: 0
Приклад №1:
Замініть суму твором: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Відповідь: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27
Приклад №2:
Запишіть у вигляді твору: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Рішення:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с
Завдання №1:
Мама купила 3 коробки цукерок. У кожній коробці по 8 цукерок. Скільки цукерок купила мати?
Рішення:
В одній коробці 8 цукерок, а у нас таких 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 цукерки
Відповідь: 24 цукерки.
Завдання №2:
Вчителька малювання сказала приготувати своїм вісьмом учням по сім олівців на урок. Скільки олівців разом було у дітей?
Рішення:
Можна порахувати сумою завдання. Перший учень мав 7 олівців, другий учень мав 7 олівців і т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запис вийшов незручний і довгий, замінимо суму на твір.
7⋅8=56
Відповідь 56 олівців.
Аби вирішити багатьох завдань " максимум і мінімум " , тобто. на пошук найбільшого та найменшого значень змінної величиниможна успішно користуватися деякими алгебраїчними твердженнями, з якими ми зараз познайомимося.
x · y
Розглянемо таке завдання:
На які дві частини треба розбити це числощоб твір їх був найбільшим?
Нехай це числоа. Тоді частини, на які розбито числоа, можна позначити через
а/2+x і a/2 - x;
число хпоказує, яку величину ці частини від половини числа а. Добуток обох частин одно
(а/2+x) · ( a/2 - x) = a 2 / 4 - x 2.
Зрозуміло, що добуток частин буде збільшуватися при зменшенні х, тобто. при зменшенні різниці між цими частинами. Найбільшим твір буде за x = 0, тобто. у разі коли обидві частини рівні a / 2.
Отже,
добуток двох чисел, сума яких незмінна, буде найбільшою тоді, коли ці числа рівні між собою.
x · y · z
Розглянемо те саме питання для трьох чисел.
На які три частини треба розбити дане число, щоб їхній твір був найбільшим?
При вирішенні цього завдання спиратимемося на попередню.
Нехай число арозбито на три частини. Припустимо спочатку, що жодна з частин не дорівнює a/3.Тоді серед них знайдеться частина, велика a/3(усі три не можуть бути меншими a/3); позначимо її через
a/3+x.
Так само серед них знайдеться частина, менша a/3; позначимо її через
a/3 - y.
Числа хі упозитивні. Третя частина буде, очевидно, рівна
a/3 + y - x.
Числа a/3і a/3 + x - yмають ту ж суму, що і перші дві частини числа а, А різницю між ними, тобто. х - yменше, ніж різниця між першими двома частинами, яка дорівнювала х + y. Як ми знаємо з вирішення попереднього завдання, звідси випливає, що твір
a/3 · ( a/3 + x - y)
більше, ніж добуток перших двох частин числа а.
Отже, якщо перші дві частини числа азамінити числами
a/3і a/3 + x - y,
а третю залишити без зміни, той твір збільшиться.
Нехай тепер одна з частин уже дорівнює a/3. Тоді дві інші мають вигляд
a/3+zі a/3 - z.
Якщо ми ці дві останні частини зробимо рівними a/3 (чому сума їх не зміниться), то твір знову збільшиться і стане рівним
a / 3 · a / 3 · a / 3 = a 3 / 27 .
Отже,
якщо число розбито на 3 частини, не рівні між собою, то добуток цих частин менше ніж а 3 / 27 , тобто. ніж добуток трьох рівних співмножників, у сумі складових а .
Подібним чином можна довести цю теорему і для чотирьох множників, для п'яти і т.д.
x p · y q
Розглянемо тепер загальніший випадок.
При яких значеннях х і y вираз х p у q найбільший, якщо х + y = а?
Треба знайти, за якого значення х вираз
х р ·(а - х) q
сягає найбільшої величини.
Помножимо цей вираз на число 1/р p q q. Отримаємо новий вираз
x p / p p · (a - x ) q/q q,
яке, очевидно, досягає найбільшої величини тоді, коли і початкове.
Представимо отриманий зараз вираз у вигляді
(a - x) /q · (a - x) / q · ... · (a - x) /q ,
де множники першого виду повторюються pразів, а другого - qразів.
Сума всіх множників цього виразу дорівнює
x / p + x / p + ... + x / p + (a - x) /q+ (a - x) /q + ... + (a - x) /q =
= px / p + q (a - x) /q = x + a - x = a ,
тобто. величині постійної.
На підставі раніше доведеного укладаємо, що твір
x / p · x / p · ... · x / p · (a - x) /q · (a - x) / q · ... · (a - x) /q
досягає максимуму за рівності всіх його окремих множників, тобто. коли
x/p = (a - x) /q.
Знаючи, що а - х = y, отримуємо, переставивши члени, пропорцію
x/y = p/q.
Отже,
добуток х p y q за сталості суми х + у досягає найбільшої величини тоді, коли
x: y = p: q.
Так само можна довести, що
твори
x p y q z r , x p y q z r t u і т.п.
при сталості сум x + y + z, x + y + z + t і т.д. досягають найбільшої величини тоді, коли
х: у: z = p: q: r,х: у: z: t = p: q: r: u і т.д.
Якщо концертний зал висвітлюється 3 люстрами по 25 лампочок у кожній, то всього лампочок у цих люстрах буде 25 + 25 + 25, тобто 75.
Суму, в якій всі доданки рівні один одному, записують коротше: замість 25 + 25 + 25 пишуть 25 3. Отже, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 називають творомчисел 25 та 3, а числа 25 та 3 називають множниками.
Мал. 43. Добуток чисел 25 та 3
Помножити число m на натуральне число n означає знайти суму n доданків, кожне з яких дорівнює m.
Вираз m n та значення цього виразу називають твором чиселmіn. Числа, які перемножують називають множниками. Тобто. m та n – множники.
Твори 7 4 і 4 7 дорівнюють тому самому числу 28 (рис. 44).
Мал. 44. Добуток 7 4 = 4 7
1. Добуток двох чисел не змінюється при перестановці множників.
переміщальним
a × b = b × a .
Твори (5 3) 2 = 15 2 і 5 (3 2) = 5 6 мають те саме значення 30. Значить, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).
Мал. 45. Твір (5 3) 2 = 5 (3 2)
2. Щоб помножити число на добуток двох чисел, можна спочатку помножити його на першому множнику, а потім отриманий добуток помножити на другий множник.
Цю властивість множення називають сполучним. За допомогою літер його записують так:
а (bс) = (аbс).
Сума n доданків, кожне з яких дорівнює 1, дорівнює n. Тому правильна рівність 1 n = n.
Сума n доданків, кожне з яких дорівнює нулю, дорівнює нулю. Тому правильна рівність 0 n = 0.
Щоб переміщувальна властивість множення була правильною при n = 1 і n = 0, домовилися, що m 1 = m та m 0 = 0.
Перед буквеними множниками зазвичай не пишуть знак множення: замість 8 хпишуть 8 хзамість аbпишуть аb.
Опускають знак множення перед дужками. Наприклад, замість 2 ( а +b) пишуть 2 (а+b) , а замість ( х+ 2) (у + 3) пишуть (х + 2) (у + 3).
Замість ( ab) з пишуть abc.
Коли запису твори немає дужок, множення виконують порядку зліва направо.
Твори читають, називаючи кожен множник у родовому відмінку. Наприклад:
1) 175 60 – добуток ста сімдесяти п'яти та шістдесяти;
2) 80 (х+ 1 7) – твір р.п. р.п.
вісімдесяти та суми ікс та сімнадцяти
Розв'яжемо завдання.
Скільки трицифрових чисел (рис. 46) можна скласти із цифр 2, 4, 6, 8, якщо цифри в записі числа не повторюються?
Рішення.
Першою цифрою числа може бути будь-яка з чотирьохданих цифр, другий – будь-яка з трьохінших, а третьої – будь-яка з двохрешти. Виходить:
Мал. 46. До завдання складення тризначних чисел
Усього з даних цифр можна скласти 4 3 2 = 24 тризначні числа.
Розв'яжемо завдання.
У правління фірми входять 5 осіб. Зі свого складу правління має обрати президента і віце-президента. Скільки способами це можна зробити?
Рішення.
Президентом фірми можна обрати одну з 5 осіб:
Президент:
Після того, як президента обрано, віце-президентом можна вибрати будь-якого з чотирьох членів правління, що залишилися (рис. 47):
|
Мал. 47. До завдання про вибори
Отже, обрати президента можна п'ятьма способами, і для кожного обраного президента чотирма способами можна вибрати віце-президента. Отже, загальне числоСпособів обрати президента та віце-президента фірми дорівнює: 54 = 20 (див. рис. 47).
Вирішимо ще завдання.
Із села Анікєєво до села Большово ведуть чотири дороги, а з села Большово до села Виноградове – три дороги (рис. 48). Скількими способами можна дістатися з Анікеєва до Виноградова через село Большове?
Мал. 48. До завдання про дороги
Рішення.
Якщо з А до Б добиратися 1-ою дорогою, то продовжити шлях є три способи (рис. 49).
Мал. 49. Варіанти шляху
Так само міркуючи, отримуємо по три способи продовжити шлях, почавши добиратися і по 2-й, і по 3-й, і по 4-й дорозі. Отже, всього виходить 43 = 12 способів дістатися з Анікеєва у Виноградові.
Вирішимо ще одне завдання.
Сім'ї, що складається з бабусі, тата, мами, дочки та сина, подарували 5 різних чашок. Скільки можна розділити чашки між членами сім'ї?
Рішення. У першого члена сім'ї (наприклад, бабусі) є 5 варіантів вибору, у наступного (нехай це буде тато) залишається 4 варіанти вибору. Наступний (наприклад, мама) буде вибирати вже з 3 чашок, наступний - з двох, останній же отримує одну чашку, що залишилася. Покажемо ці методи на схемі (рис. 50).
Мал. 50. Схема до розв'язання задачі
Отримали, кожен вибір чашки бабусею відповідає чотири можливих вибору тата, тобто. всього 5 4 способів. Після того, як тато вибрав чашку, у мами є три варіанти вибору, у дочки – два, у сина – один, тобто. всього 3 2 1 способів. Остаточно отримуємо, що для розв'язання задачі треба знайти добуток 5 4 3 2 1.
Зауважимо, що отримали добуток усіх натуральних чисел від 1 до 5. Такі твори записують коротше:
5 4 3 2 1 = 5! (Читають: «п'ять факторіал»).
Факторіал числа- Добуток всіх натуральних чисел від 1 до цього числа.
Отже, відповідь задачі: 5! = 120, тобто. чашки між членами сім'ї можна розподілити сто двадцятьма способами.
