Щоб зрозуміти, як обчислювати НОК, слід визначитися насамперед із значенням терміна "кратне".
Кратним числу А називають таке натуральне число, яке без залишку ділиться на А. Так, кратними числами 5 можна вважати 15, 20, 25 і так далі.
Дільників конкретного числа може бути обмежена кількість, а ось кратних безліч.
Загальне кратне натуральних чисел – число, яке ділиться на них без залишку.
Як знайти найменше загальне кратне чисел
Найменше загальне кратне (НОК) чисел (двох, трьох або більше) - це найменше натуральне число, яке ділиться на ці цифри націло.
Щоб знайти НОК, можна використати кілька способів.
Для невеликих чисел зручно виписати в рядок усі кратні цих чисел доти, доки серед них не знайдеться загальне. Кратні позначають у записі великою літерою До.
Наприклад, кратні числа 4 можна записати так:
До (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
До (6) = (12, 18, 24, ...)
Так, можна побачити, що найменшим загальним кратним чисел 4 і 6 є число 24. Цей запис виконують таким чином:
НОК (4, 6) = 24
Якщо числа великі, знайти загальне кратне трьох чи більше чисел, краще використовувати інший спосіб обчислення НОК.
Для виконання завдання необхідно розкласти запропоновані числа на прості множники.
Спочатку треба виписати в рядок розкладання найбільшого з чисел, а під ним – інших.
У розкладанні кожного числа може бути різна кількість множників.
Наприклад, розкладемо на прості множники числа 50 та 20.
У розкладанні меншого числа слід підкреслити множники, які відсутні в розкладанні першого найбільшого числа, а потім додати до нього. У наведеному прикладі не вистачає двійки.
Тепер можна обчислити найменше загальне кратне 20 та 50.
НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Так, добуток простих множників більшого числа та множників другого числа, які не увійшли до розкладання більшого, буде найменшим загальним кратним.
Щоб знайти НОК трьох чисел і більше, слід їх розкласти на прості множники, як і в попередньому випадку.
Як приклад можна знайти найменше загальне кратне чисел 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Так, у розкладання більшого числа на множники не увійшли лише дві двійки з розкладання шістнадцяти (одна є в розкладі двадцяти чотирьох).
Таким чином, їх потрібно додати до розкладання більшого числа.
НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Існують окремі випадки визначення найменшого загального кратного. Так, якщо одне з чисел можна поділити без залишку на інше, то більше з цих чисел буде найменшим загальним кратним.
Наприклад, НОК дванадцяти та двадцяти чотирьох буде двадцять чотири.
Якщо потрібно знайти найменше спільне кратне взаємно простих чисел, які мають однакових дільників, їх НОК дорівнюватиме їх твору.
Наприклад, НОК (10, 11) = 110.
Математичні висловлювання та завдання вимагають безлічі додаткових знань. НОК - це одне з основних, особливо часто застосовується в Тема вивчається в середній школі, при цьому не є особливо складним у розумінні матеріалом, людині знайомій зі ступенями та таблицею множення не важко виділити необхідні числа та виявити результат.
Визначення
Загальне кратне - число, здатне націло розділитись на два числа одночасно (а і b). Найчастіше це число отримують методом перемноження вихідних чисел a і b. Число має ділитися одночасно на обидва числа, без відхилень.
НОК – це прийняте для позначення коротка назвазібрані з перших літер.
Способи отримання числа
Для знаходження НОК не завжди підходить спосіб перемноження чисел, він краще підходить для простих однозначних або двозначних чисел. прийнято розділяти на множники, що більше число, то більше вписувалося множників буде.
Приклад №1
Для найпростішого прикладу у школах зазвичай беруться прості, однозначні чи двоцифрові числа. Наприклад, необхідно вирішити наступне завдання, знайти найменше загальне кратне від чисел 7 і 3, рішення досить просте, їх просто перемножити. У результаті є число 21, менше просто немає.
Приклад №2
Другий варіант завдання набагато складніший. Дано числа 300 і 1260, знаходження НОК - обов'язково. Для вирішення завдання передбачаються такі дії:
Розкладання першого та другого чисел на найпростіші множники. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Перший етап завершено.
Другий етап передбачає роботу з отриманими даними. Кожне з отриманих чисел має брати участь у обчисленні підсумкового результату. Для кожного множника зі складу вихідних чисел береться саме велике числовходжень. НОК - це загальна кількість, тому множники з чисел повинні в ньому повторяться все до одного, навіть ті, що присутні в одному екземплярі. Обидва початкові числа мають у своєму складі числа 2, 3 і 5, у різних ступенях, 7 є тільки в одному випадку.
Для обчислення підсумкового результату необхідно взяти кожне число у найбільшій їх представлених ступенів, до рівняння. Залишається тільки перемножити і отримати відповідь, при правильному заповненні завдання укладається у дві дії без пояснень:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) НОК = 6300.
Ось і вся задача, якщо спробувати обчислити потрібне число за допомогою перемноження, то відповідь однозначно не буде правильною, оскільки 300 * 1260 = 378000.
Перевірка:
6300/300 = 21 - вірно;
6300/1260 = 5 - вірно.
Правильність отриманого результату визначається за допомогою перевірки - розподілу НОК на обидва вихідні числа, якщо число ціле в обох випадках, то відповідь вірна.
Що означає НОК у математиці
Як відомо, у математиці немає жодної марної функції, ця – не виняток. Найпоширенішим призначенням цього є приведення дробів до спільного знаменника. Що вивчають зазвичай у 5-6 класах середньої школи. Також додатково є спільним дільником для всіх кратних чисел, якщо такі умови стоять у завданні. Подібний вираз може знайти кратне не тільки до двох чисел, але й до значно більшої кількості – трьох, п'яти тощо. Чим більше чисел- тим більше дій у завданні, але складність від цього не збільшується.
Наприклад, дані числа 250, 600 і 1500, необхідно знайти їх загальний НОК:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - на цьому прикладі детально описано розкладання на множники, без скорочення.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Для того щоб скласти вираз, потрібно згадати всі множники, в цьому випадку дано 2, 5, 3 - для всіх цих чисел потрібно визначити максимальний ступінь.
Увага: всі множники необхідно доводити до спрощення, по можливості, розкладаючи до рівня однозначних.
Перевірка:
1) 3000/250 = 12 - вірно;
2) 3000/600 = 5 - вірно;
3) 3000/1500 = 2 - вірно.
Даний метод не вимагає будь-яких хитрощів чи здібностей рівня генія, все просто і зрозуміло.
Ще один спосіб
У математиці багато що пов'язано, багато що можна вирішити двома і більше способами, те саме стосується пошуку найменшого загального кратного, НОК. Наступний спосіб можна використовувати у випадку із простими двозначними та однозначними числами. Складається таблиця, в яку вносяться по вертикалі множинне, по горизонталі множник, а в клітинах стовпця, що перетинаються, вказується твір. Можна відобразити таблицю за допомогою рядка, береться число і в ряд записуються результати множення цього числа на цілі числа, від 1 до нескінченності, іноді вистачає і 3-5 пунктів, друге та наступні числа піддаються тому ж обчислювальному процесу. Все відбувається до того, як знайдеться загальне кратне.
Дані числа 30, 35, 42 необхідно знайти НОК, що пов'язує всі числа:
1) Кратні 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 і т.д.
2) Кратні 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 і т.д.
3) Кратні 42: 84, 126, 168, 210, 252 і т.д.
Помітно, що всі числа досить різні, єдине серед них число 210, ось воно і буде НОК. Серед пов'язаних з цим обчисленням процесів є також найбільший спільний дільник, що обчислюється за схожими принципами і часто зустрічається в задачах, що сусідять. Відмінність невелика, але досить значуща, НОК передбачає обчислення числа, яке ділиться на всі дані вихідні значення, а НОД передбачає під собою обчислення найбільшого значенняяке діляться вихідні числа.
Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне – ключові арифметичні поняття, які дозволяють без зусиль оперувати звичайними дробами. НОК і найчастіше використовують для пошуку спільного знаменника кількох дробів.
Основні поняття
Дільник цілого числа X - це інше ціле число Y, яке X поділяється без залишку. Наприклад, дільник 4 - це 2, а 36 - 4, 6, 9. Кратне цілого X - це число Y, яке ділиться на X без залишку. Наприклад, 3 кратно 15, а 6 - 12.
Для будь-якої пари чисел ми можемо знайти їхні спільні дільники та кратні. Наприклад, для 6 і 9 загальним кратним є 18, а загальним дільником - 3. Очевидно, що дільників і кратних пар може бути кілька, тому при розрахунках використовується найбільший дільник НОД і найменше кратне НОК.
Найменший дільник немає сенсу, оскільки будь-якого числа це завжди одиниця. Найбільше кратне також безглуздо, оскільки послідовність кратних спрямовується у нескінченність.
Знаходження НІД
Для пошуку найбільшого спільного дільника існує безліч методів, найвідоміші з яких:
- послідовний перебір дільників, вибір спільних для пари та пошук найбільшого з них;
- розкладання чисел на неподільні множники;
- алгоритм Евкліда;
- бінарний алгоритм.
Сьогодні в навчальних закладахНайбільш популярними є методи розкладання на прості множники та алгоритм Евкліда. Останній у свою чергу використовується при розв'язанні діофантових рівнянь: пошук НОД потрібний для перевірки рівняння на можливість розв'язання в цілих числах.
Знаходження НОК
Найменше загальне кратне також визначається послідовним перебором або розкладанням на неподільні множники. Крім того, легко знайти НОК, якщо вже визначено найбільшого дільника. Для чисел X і Y НОК і НОД пов'язані наступним співвідношенням:
НОК (X, Y) = X × Y / НОД (X, Y).
Наприклад, якщо НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Найбільш очевидний приклад використання НОК - пошук спільного знаменника, який є найменшим загальним кратним для заданих дробів.
Взаємно прості числа
Якщо в пари чисел немає спільних дільників, то така пара називається взаємно простою. НОД для таких пар завжди дорівнює одиниці, а виходячи із зв'язку дільників та кратних, НОК для взаємно простих дорівнює їхньому твору. Наприклад, числа 25 і 28 взаємно прості, адже вони немає спільних дільників, а НОК(25, 28) = 700, що їх твору. Два будь-які неподільні числа завжди будуть взаємно простими.
Калькулятор загального дільника та кратного
За допомогою нашого калькулятора ви можете визначити НОД і НОК для довільної кількості чисел на вибір. Завдання на обчислення загальних дільників та кратних зустрічаються в арифметиці 5, 6 класу, проте НОД та НОК – ключові поняття математики та використовуються в теорії чисел, планіметрії та комунікативної алгебри.
Приклади із реального життя
Загальний знаменник дробів
Найменше загальне кратне використовується для пошуку спільного знаменника кількох дробів. Нехай в арифметичній задачі потрібно підсумувати 5 дробів:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Для складання дробів вираз необхідно привести до спільного знаменника, що зводиться до завдання знаходження НОК. Для цього виберіть у калькуляторі 5 чисел та введіть значення знаменників у відповідні комірки. Програма обчислить НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Тепер необхідно обчислити додаткові множники кожного дробу, які визначаються як співвідношення НОК до знаменника. Таким чином, додаткові множники будуть виглядати як:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Після цього множимо всі дроби на відповідний додатковий множник і отримуємо:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Такі дроби ми можемо легко підсумовувати та отримати результат у вигляді 159/360. Скорочуємо дріб на 3 і бачимо остаточну відповідь – 53/120.
Розв'язання лінійних діофантових рівнянь
Лінійні діофантові рівняння – це вирази виду ax + by = d. Якщо відношення d / НОД (a, b) є ціле число, то рівняння можна розв'язати в цілих числах. Давайте перевіримо пару рівнянь на можливість цілого рішення. Спочатку перевіримо рівняння 150x + 8y = 37. За допомогою калькулятора знаходимо НОД (150,8) = 2. Ділимо 37/2 = 18,5. Число не ціле, отже, рівняння не має цілих коренів.
Перевіримо рівняння 1320x + 1760y = 10120. Використовуємо калькулятор для знаходження НОД(1320, 1760) = 440. Розділимо 10120/440 = 23. У результаті отримуємо ціле число, отже, діофантово врівно.
Висновок
НОД і НОК відіграють велику роль у теорії чисел, а самі поняття широко використовуються в різних областях математики. Використовуйте наш калькулятор для розрахунку найбільших дільників та найменших кратних будь-якої кількості чисел.
Тема «Кратні числа» вивчається у 5 класі загальноосвітньої школи. Її метою є вдосконалення письмових та усних навичок математичних обчислень. На цьому уроці вводяться нові поняття – «кратні числа» та «ділителі», відпрацьовується техніка знаходження дільників та кратних натурального числа, уміння знаходити НОК у різний спосіб.
Ця тема є дуже важливою. Знання з неї можна застосувати під час вирішення прикладів з дробами. Для цього необхідно знайти спільний знаменник шляхом розрахунку найменшого загального кратного (НОК).
Кратним А вважається ціле число, яке ділиться на А без решти.
Кожне натуральне число має нескінченну кількість кратних чисел. Найменшим вважається воно саме. Кратне не може бути менше самого числа.
Потрібно довести, що число 125 кратне числу 5. Для цього потрібно перше число поділити на друге. Якщо 125 ділиться на 5 без залишку, то відповідь позитивна.
Даний спосіб застосовується для невеликих чисел.
При розрахунку НОК трапляються особливі випадки.
1. Якщо потрібно знайти загальне кратне для 2-х чисел (наприклад, 80 і 20), де одне з них (80) ділиться без залишку на інше (20), то це число (80) і є найменше кратне цих двох чисел.
НОК (80, 20) = 80.
2. Якщо два немає спільного дільника, можна сказати, що й НОК - це твір цих двох чисел.
НОК (6, 7) = 42.
Розглянемо останній приклад. 6 та 7 по відношенню до 42 є дільниками. Вони ділять кратне число без залишку.
У цьому прикладі 6 та 7 є парними дільниками. Їх добуток дорівнює самому кратному числу (42).
Число називається простим, якщо ділиться тільки на себе або на 1 (3:1=3; 3:3=1). Інші називаються складовими.
В іншому прикладі слід визначити, чи є 9 дільником по відношенню до 42.
42: 9 = 4 (залишок 6)
Відповідь: 9 не є дільником числа 42, тому що у відповіді є решта.
Дільник відрізняється від кратного тим, що дільник це те число, на яке ділять натуральні числа, А кратне саме ділиться цього числа.
Найбільший спільний дільник чисел aі b, помножений на їх найменше кратне, дасть добуток самих чисел aі b.
А саме: НОД(а, b) х НОК(а, b) = а х b.
Загальні кратні числа більш складних чисел знаходять в такий спосіб.
Наприклад, знайти НОК для 168, 180, 3024.
Ці числа розкладаємо на прості множники, записуємо у вигляді добутку ступенів:
168 = 2?х3?х7?
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
НОК (168, 180, 3024) = 15120.
Поданий нижче матеріал є логічним продовженням теорії із статті під заголовком НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади, зв'язок між НОК та НОД. Тут ми поговоримо про знаходження найменшого загального кратного (НОК), та особливу увагу приділимо рішенню прикладів. Спочатку покажемо, як обчислюється НОК двох чисел через НОД цих чисел. Далі розглянемо знаходження найменшого загального кратного за допомогою розкладання чисел на звичайні множники. Після цього зупинимося на знаходженні НОК трьох та більшої кількостічисел, і навіть приділимо увагу обчисленню НОК негативних чисел.
Навігація на сторінці.
Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД
Один із способів знаходження найменшого загального кратного заснований на зв'язку між НОК та НОД. Існуючий зв'язок між НОК та НОД дозволяє обчислювати найменше загальне кратне двох цілих позитивних чисел через відомий найбільший спільний дільник. Відповідна формула має вигляд НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b) . Розглянемо приклади знаходження НОК за наведеною формулою.
приклад.
Знайдіть найменше загальне кратне двох чисел 126 та 70 .
Рішення.
У цьому прикладі a = 126, b = 70. Скористаємося зв'язком НОК з НОД, що виражається формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Тобто спочатку нам належить знайти найбільший спільний дільник чисел 70 і 126 , після чого ми зможемо обчислити НОК цих чисел за записаною формулою.
Знайдемо НОД (126, 70), використовуючи алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 +56, 70 = 56 · 1 +14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126, 70) = 14 .
Тепер знаходимо необхідне найменше загальне кратне: НОК(126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630 .
Відповідь:
НОК (126, 70) = 630 .
приклад.
Чому дорівнює НОК(68, 34)?
Рішення.
Так як 68 ділиться націло на 34 , то НОД (68, 34) = 34 . Тепер обчислюємо найменше загальне кратне: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34:34 = 68 .
Відповідь:
НОК(68, 34) = 68 .
Зауважимо, що попередній приклад підходить під наступне правило знаходження НОК для цілих позитивних чисел a і b: якщо число a ділиться на b, то найменше загальне кратне цих чисел дорівнює a.
Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники
Інший спосіб знаходження найменшого загального кратного базується на розкладанні чисел на прості множники. Якщо скласти твір з усіх простих множників даних чисел, після чого з цього твору виключити всі загальні прості множники, присутні в розкладах даних чисел, то отриманий добуток дорівнює найменшому загальному кратному даних чисел .
Озвучене правило знаходження НОК випливає з рівності НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Справді, добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, що беруть участь у розкладах чисел a та b . У свою чергу НОД(a, b) дорівнює добутку всіх простих множників, що одночасно присутні в розкладах чисел a і b (про що написано в розділі знаходження НОД за допомогою розкладання чисел на прості множники).
Наведемо приклад. Нехай ми знаємо, що 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Складемо добуток із усіх множників даних розкладів: 2·3·3·5·5·5·7 . Тепер з цього твору виключимо всі множники, присутні і в розкладі числа 75 і в розкладі числа 210 (такими множниками є 3 і 5), тоді добуток набуде вигляду 2·3·5·5·7. Значення цього твору дорівнює найменшому загальному кратному чисел 75 і 210, тобто, НОК (75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050.
приклад.
Розклавши числа 441 і 700 на прості множники, знайдіть найменше загальне кратне цих чисел.
Рішення.
Розкладемо числа 441 і 700 на прості множники:
Отримуємо 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .
Тепер складемо твір з усіх множників, що беруть участь у розкладах даних чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Виключимо з цього твору всі множники, одночасно присутні в обох розкладах (такий множник тільки один – це число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким чином, НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.
Відповідь:
НОК(441, 700) = 44100 .
Правило знаходження НОК з використанням розкладання чисел на прості множники можна сформулювати трохи інакше. Якщо до множників з розкладання числа a додати множники з розкладання числа b , то значення отриманого твору дорівнюватиме найменшому загальному кратному чисел a і b.
Наприклад візьмемо ті самі числа 75 і 210 , їх розкладання на прості множники такі: 75=3·5·5 і 210=2·3·5·7 . До множників 3, 5 і 5 з розкладання числа 75 додаємо відсутні множники 2 і 7 з розкладання числа 210, отримуємо добуток 2 · 3 · 5 · 5 · 7 , значення якого дорівнює НОК (75, 210) .
приклад.
Знайдіть найменше загальне кратне чисел 84 та 648 .
Рішення.
Отримуємо спочатку розкладання чисел 84 та 648 на прості множники. Вони мають вигляд 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . До множників 2 , 2 , 3 і 7 з розкладання числа 84 додаємо множники 2 , 3 , 3 і 3 з розкладання числа 648 , що відсутні , отримуємо добуток 2·2·2·3·3·3·3·7 , який дорівнює 4 536 . Таким чином, шукане найменше загальне кратне чисел 84 і 648 дорівнює 4536 .
Відповідь:
НОК(84, 648) = 4536 .
Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел
Найменше загальне кратне трьох чи більшої кількості чисел може бути знайдено через послідовне перебування НОК двох чисел. Нагадаємо відповідну теорему, що дає спосіб знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел.
Теорема.
Нехай дані цілі позитивні числа a 1 , a 2 , …, a k , найменше загальне кратне m k цих чисел знаходиться при послідовному обчисленні m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , … , m k =НОК(m k−1 , a k) .
Розглянемо застосування цієї теореми з прикладу знаходження найменшого загального кратного чотирьох чисел.
приклад.
Знайдіть НОК чотирьох чисел 140 , 9 , 54 та 250 .
Рішення.
У цьому прикладі a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Спочатку знаходимо m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9). Для цього за алгоритмом Евкліда визначаємо НОД(140, 9) , маємо 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , отже, НОД(140, 9) = 1, звідки НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Тобто, m 2 = 1260 .
Тепер знаходимо m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54). Обчислимо його через НОД (1260, 54), який також визначимо за алгоритмом Евкліда: 1260 = 54 · 23 +18, 54 = 18 · 3 . Тоді НОД (1260, 54) = 18, звідки НОК (1260, 54) = 1260 · 54: НОД (1260, 54) = 1260 · 54:18 = 3780. Тобто, m3 = 3780 .
Залишилось знайти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250). Для цього знаходимо НОД (3780, 250) за алгоритмом Евкліда: 3780 = 250 · 15 +30, 250 = 30 · 8 +10, 30 = 10 · 3. Отже, НОД (3780, 250) = 10, звідки НОК (3780, 250) = 3780 · 250: НОД (3780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500 . Тобто, m 4 = 94500 .
Таким чином, найменше загальне кратне вихідних чотирьох чисел дорівнює 94500 .
Відповідь:
НОК(140, 9, 54, 250) = 94500.
У багатьох випадках найменша загальна кратність трьох і більшої кількості чисел зручно знаходити з використанням розкладів даних чисел на прості множники. При цьому слід дотримуватись наступного правила. Найменше загальне кратне кількох чисел дорівнює добутку, яке складається так: до всіх множників з розкладання першого числа додаються відсутні множники з розкладання другого числа, до отриманих множників додаються відсутні множники з розкладання третього числа і так далі.
Розглянемо приклад знаходження найменшого загального кратного із використанням розкладання чисел на прості множники.
приклад.
Знайдіть найменше загальне кратне п'ять чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Рішення.
Спочатку отримуємо розкладання даних чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 (7 - просте число , воно збігається зі своїм розкладанням на прості множники) і 143 = 11 · 13 .
Для знаходження НОК даних чисел до множників першого числа 84 (ними є 2, 2, 3 і 7) потрібно додати відсутні множники з розкладання другого числа 6. Розкладання числа 6 не містить множників, що відсутні, так як і 2 і 3 вже присутні в розкладанні першого числа 84 . Далі до множників 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 2 і 2 , що відсутні , з розкладання третього числа 48 , отримуємо набір множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 . До цього набору на наступному кроці не доведеться додавати множників, тому що 7 міститься в ньому. Нарешті, до множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 11 і 13 з розкладання числа 143 . Отримуємо добуток 2·2·2·2·3·7·11·13 , який дорівнює 48 048 .
