Калькулятор онлайн виконує скорочення алгебраїчних дробіввідповідно до правила скорочення дробів: заміна вихідного дробу рівним дробом, але з меншими чисельником і знаменником, тобто. одночасне розподіл чисельника і знаменника дробу з їхньої загальний найбільший спільний дільник (НОД). Також калькулятор виводить докладне рішення, що допоможе зрозуміти послідовність виконання скорочення.

Дано:

Рішення:

Виконання скорочення дробів

перевірка можливості виконання скорочення алгебраїчного дробу

1) Визначення найбільшого загального дільника (НДД) чисельника та знаменника дробу

визначення найбільшого загального дільника (НОД) чисельника та знаменника алгебраїчного дробу

2) Скорочення чисельника та знаменника дробу

скорочення чисельника та знаменника алгебраїчного дробу

3) Виділення цілої частини дробу

виділення цілої частини алгебраїчного дробу

4) Переведення алгебраїчного дробу в десятковий дріб

переклад алгебраїчного дробу в десятковий дріб

Допомога на розвиток проекту

Шановний відвідувач сайту.
Якщо Вам не вдалося знайти, то що Ви шукали – обов'язково напишіть про це в коментарях, чого не вистачає зараз сайту. Це допоможе нам зрозуміти, у якому напрямку необхідно далі рухатися, а інші відвідувачі зможуть незабаром отримати необхідний матеріал.
Якщо ж сайт виявився Вам корисним - подаруй проекту сайт всього 2 ₽і ми знатимемо, що рухаємось у правильному напрямку.

Дякую, що не пройшли повз!

I. Порядок дій при скороченні алгебраїчної дробу калькулятором онлайн:

1. Щоб виконати скорочення алгебраїчного дробу, введіть у відповідні поля значення чисельника, знаменника дробу. Якщо дріб змішаний, то також заповніть поле, яке відповідає цілій частині дробу. Якщо дріб простий, то залиште поле цілої частини порожнім.
2. Щоб встановити негативний дріб, поставте знак мінус у частині дробу.
3. Залежно від алгебраїчного дробу, що задається, автоматично виконується наступна послідовність дій:

• визначення найбільшого загального дільника (НДД) чисельника та знаменника дробу;
• скорочення чисельника та знаменника дробу на НОД;
• виділення цілої частини дробу, якщо чисельник підсумкового дробу більший за знаменник.
• переведення підсумкового алгебраїчного дробу в десятковий дрібіз округленням до сотих.

ІІ. Для довідки:

Дроб - число, що складається з однієї або декількох частин (часток) одиниці. Звичайна дріб (простий дріб) записується у вигляді двох чисел (числитель дробу і знаменник дробу), розділених горизонтальною межею (дрібною межею), що позначає знак поділу. чисельник дробу - число, що стоїть над дробовою рисою. Чисельник показує, скільки часток взяли в цілого. знаменник дробу - число, що стоїть під дробовою рисою. Знаменник показує, скільки рівних часток розділене ціле. простий дріб - дріб, що не має цілої частини. Простий дріб може бути правильним або неправильним. правильний дріб - дріб, у якого чисельник менший за знаменник, тому правильний дріб завжди менше одиниці. Приклад правильних дробів: 8/7, 11/19, 16/17. неправильний дріб - дріб, у якого чисельник більший або дорівнює знаменнику, тому неправильний дріб завжди більше одиниці або дорівнює їй. Приклад неправильного дробу: 7/6, 8/7, 13/13. змішаний дріб - число, до складу якого входить ціле число та правильний дріб, і позначає суму цього цілого числа та правильного дробу. Будь-який змішаний дріб може бути перетворений на неправильний простий дріб. Приклад змішаних дробів: 1?, 2?, 4?.

ІІІ. Примітка:

1. Блок вихідних даних виділено жовтим кольором , блок проміжних обчислень виділено блакитним кольором, блок рішення виділено зеленим кольором.
2. Для складання, віднімання, множення та поділу звичайних або змішаних дробів скористайтесь онлайн калькулятором дробів із докладним рішенням.

Скорочення дробів потрібне для того, щоб привести дріб до більш простому вигляду, Наприклад, у відповіді отриманому в результаті рішення виразу.

Скорочення дробів, визначення та формула.

Що таке скорочення дробів? Що означає скоротити дріб?

Визначення:
Скорочення дробів- Це поділ у дробу чисельник і знаменник на те саме позитивне число не дорівнює нулю і одиниці. У результаті скорочення виходить дріб з меншим чисельником і знаменником, що дорівнює попередньому дробу відповідно до .

Формула скорочення дробівосновної властивості раціональних чисел.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Розглянемо приклад:
Скоротіть дріб \(\frac(9)(15)\)

Рішення:
Ми можемо розкласти дріб на прості множники та скоротити загальні множники.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Відповідь: після скорочення отримали дріб \(\frac(3)(5)\). За основною властивістю раціональних чисел первісний дроб, що вийшов, рівні.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Як скорочувати дроби? Скорочення дробу до нескоротного виду.

Щоб отримати в результаті нескоротний дріб, потрібно знайти найбільший спільний дільник (НДД)для чисельника та знаменника дробу.

Є кілька способів знайти НОД ми скористаємось у прикладі розкладанням чисел на прості множники.

Отримайте нескоротний дріб ((frac(48)(136))).

Рішення:
Знайдемо НОД (48, 136). Розпишемо числа 48 і 136 на прості множники.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Правило скорочення дробу до нескоротного виду.

1. Потрібно знайти найбільший спільний дільник для чисельників та знаменників.
2. Потрібно поділити чисельник та знаменник на найбільший спільний дільник у результаті розподілу отримати нескоротний дріб.

Приклад:
Скоротіть дріб \(\frac(152)(168)\).

Рішення:
Знайдемо НОД (152, 168). Розпишемо числа 152 та 168 на прості множники.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Відповідь: \(\frac(19)(21)\) нескоротний дріб.

Скорочення неправильного дробу.

Як скоротити неправильний дріб?
Правила скорочення дробів для правильних та неправильних дробів однакові.

Розглянемо приклад:
Скоротіть неправильний дріб \(\frac(44)(32)\).

Рішення:
Розпишемо на прості множники чисельник та знаменник. А потім загальні множники скоротимо.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Скорочення змішаних дробів.

Змішані дроби за тими самими правилами як і звичайні дроби. Різниця лише в тому, що ми можемо цілу частину не чіпати, а дробову частину скоротитиабо змішаний дріб перевести в неправильний дріб, скоротити і перевести назад у правильний дріб.

Розглянемо приклад:
Скоротіть змішаний дріб \(2\frac(30)(45)\).

Рішення:
Вирішимо двома способами:
Перший спосіб:
Розпишемо дробову частину на прості множники, а цілу частину не чіпатимемо.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Другий спосіб:
Переведемо спочатку в неправильний дріб, а потім розпишемо на прості множники і скоротимо. Отриманий неправильний дріб переведемо в правильний.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Питання на тему:
Чи можна скорочувати дроби при складанні чи відніманні?
Відповідь: ні, потрібно спочатку скласти або відняти дроби за правилами, а потім скорочувати. Розглянемо приклад:

Обчисліть вираз \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Рішення:
Часто припускаються помилки скорочуючи однакові числа в чисельнику і знаменнику в нашому випадку число 20, але їх скорочувати не можна поки не виконайте додавання і віднімання.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

На які числа можна скорочувати дріб?
Відповідь: можна скорочувати дріб на найбільший спільний дільник або звичайний дільник чисельника та знаменника. Наприклад, дріб \(\frac(100)(150)\).

Розпишемо на прості множники числа 100 та 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Найбільшим спільним дільником буде число НОД(100, 150) = 2⋅5⋅5 = 50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Отримали нескоротний дріб \(\frac(2)(3)\).

Але необов'язково завжди ділити на НОД не завжди потрібний нескоротний дріб, можна скоротити дріб на простий дільник чисельника та знаменника. Наприклад, у числа 100 та 150 загальний дільник 2. Скоротимо дріб ((frac(100)(150)) на 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Отримали скоротитий дріб ((frac(50)(75))).

Які дроби можна скорочувати?
Відповідь: можна скорочувати дроби у яких чисельник і знаменник мають спільний дільник. Наприклад, дріб \(\frac(4)(8)\). У числа 4 і 8 є число, на яке обидва діляться це число 2. Тому такий дріб можна скоротити на число 2.

Приклад:
Порівняйте два дроби \(\frac(2)(3)\) і \(\frac(8)(12)\).

Ці два дроби рівні. Розглянемо докладно дріб \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

Звідси отримуємо, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Два дроби рівні тоді і лише тоді, коли один з них отриманий шляхом скорочення іншого дробу на загальний множник чисельника і знаменника.

Приклад:
Скоротіть якщо можливо такі дроби: а) \(\frac(90)(65)\) б) \(\frac(27)(63)\) в) \(\frac(17)(100)\) г) \(\frac(100)(250)\)

Рішення:
а) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
б) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
в) \(\frac(17)(100)\) нескоротний дріб
г) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ times 5)=\frac(2)(5)\)

Початковий рівень

Перетворення виразів. Детальна теорія (2019)

Перетворення виразів

Часто ми чуємо цю неприємну фразу: спростіть вираз. Зазвичай при цьому перед нами якесь чудовисько типу цього:

"Та куди вже простіше" - говоримо ми, але така відповідь зазвичай не прокочує.

Зараз я навчу тебе не боятися подібних завдань. Більше того, наприкінці заняття ти сам спростиш цей приклад до (всього лише!) звичайного числа (так-так, до біса ці літери).

Але перш ніж приступити до цього заняття, тобі необхідно вміти поводитися з дробами та розкладати багаточлени на множники. Тому спершу, якщо ти цього не зробив раніше, обов'язково освою теми «» та «».

Прочитав? Якщо так, то тепер ти готовий.

Базові операції спрощення

Зараз розберемо основні прийоми, що використовуються при спрощенні виразів.

Найпростіший з них – це

1. Приведення подібних

Що таке? Ти проходив це у 7 класі, як тільки вперше в математиці з'явилися букви замість чисел. Подібні - це доданки (одночлени) з однаковою літерною частиною. Наприклад, у сумі подібні доданки - це і.

Згадав?

Привести подібні - значить скласти кілька подібних доданків один з одним і отримати один доданок.

А як нам скласти один з одним літери? - Запитаєш ти.

Це дуже легко зрозуміти, якщо уявити, що літери – це якісь предмети. Наприклад, літера – це стілець. Тоді чому дорівнює вираз? Два стільці плюс три стільці, скільки буде? Правильно, стільців: .

А тепер спробуй такий вираз: .

Щоб не заплутатися, нехай різні літери позначають різні предмети. Наприклад, - це (як завжди) стілець, а - це стіл. Тоді:

стільця столу стілець стільців стільців стільців столів

Числа, на які множаться літери в таких доданках, називаються коефіцієнтами. Наприклад, в одночлені коефіцієнт дорівнює. А він дорівнює.

Отже, правило приведення таких:

Приклади:

Наведіть такі:

Відповіді:

2. (і подібні, тому що, отже у цих доданків однакова літерна частина).

2. Розкладання на множники

Це зазвичай найважливіша частина у спрощенні виразів. Після того, як ти навів подібні, найчастіше отриманий вираз потрібно розкласти на множники, тобто подати у вигляді твору. Особливо це важливо у дробах: адже щоб можна було скоротити дріб, чисельник та знаменник мають бути представлені у вигляді твору.

Докладно способи розкладання виразів на множники ти проходив у темі «», тому тут тобі залишається лише згадати вивчене. Для цього виріши кілька прикладів(Потрібно розкласти на множники):

Рішення:

3. Скорочення дробу.

Ну що може бути приємніше, ніж закреслити частину чисельника та знаменника, і викинути їх зі свого життя?

У цьому вся краса скорочення.

Все просто:

Якщо чисельник і знаменник містять однакові множники, їх можна скоротити, тобто забрати з дробу.

Це правило випливає з основної властивості дробу:

Тобто суть операції скорочення в тому, що чисельник і знаменник дробу ділимо на одне й те саме число (або на один і той самий вираз).

Щоб скоротити дріб, потрібно:

1) чисельник та знаменник розкласти на множники

2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

Принцип, я гадаю, зрозумілий?

Хочу звернути увагу на одну типову помилкупри скороченні. Хоча ця тема і проста, але дуже багато хто робить все неправильно, не розуміючи, що скоротити- це означає поділитичисельник і знаменник одне й те число.

Жодних скорочень, якщо в чисельнику чи знаменнику сума.

Наприклад: треба спростити.

Деякі роблять так: що абсолютно неправильно.

Ще приклад: скоротити.

«Найрозумніші» зроблять так: .

Скажи мені, що тут не так? Здавалося б: це множник, значить можна скорочувати.

Але ні: - це множник лише одного доданку в чисельнику, але сам чисельник загалом на множники не розкладено.

Ось інший приклад: .

Це вираз розкладено на множники, отже, можна скоротити, тобто поділити чисельник і знаменник на, а потім і на:

Можна й одразу поділити на:

Щоб не допускати подібних помилок, запам'ятай легкий спосіб, як визначити, чи розкладено вираз на множники:

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною». Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники). Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

Відповіді:

1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:

Першим дією має бути розкладання на множники:

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

Додавання та віднімання звичайних дробів- операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники. Давай згадаємо:

Відповіді:

1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут спільний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дробиперетворюємо на неправильні, а далі - за звичною схемою:

Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять літер

Тут все те саме, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

b) Знаменники містять літери

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

· Насамперед ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

Це є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад: .

Бачимо в знаменниках одні й самі множники, лише з різними показниками. До спільного знаменника підуть:

у ступені

у ступені

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай згадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!

Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся тільки операцією множення!

Але на що ж треба примножити, щоб одержати?

Ось на і домнож. А примножуй на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками». Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.

Що скажеш щодо висловлювання? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множниківна які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:

Ще приклад:

Рішення:

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Чудово! Тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.

Тепер наводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного вирішення:

Відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:

Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів три штуки?

Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількістьмножників у знаменниках було однаковим:

Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

У загальний знаменник виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:

Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?

Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:

Те що потрібно!

5. Множення та розподіл дробів.

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Порахував?

Повинно вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.

Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

2) Отримуємо:

Розмноження дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.

Насамперед визначимо порядок дій. Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один. Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом. Схематично пронумерую дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:

Насамкінець дам тобі дві корисні поради:

1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.

2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш чи віднімаєш: якщо в них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного вирішення:

І обіцяна на самому початку:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, освоїв.

Тепер уперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

• Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати літерну частину.
• Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
• Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
  1) чисельник та знаменник розкласти на множники
  2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

  ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!

• Додавання та віднімання дробів:
  ;
• Розмноження та розподіл дробів:
  ;

У цій статті ми розглянемо основні дії з алгебраїчними дробами:

• скорочення дробів
• множення дробів
• розподіл дробів

Почнемо з скорочення алгебраїчних дробів.

Здавалося б, алгоритмочевидний.

Щоб скоротити алгебраїчні дроби , потрібно

1. Розкласти чисельник та знаменник дробу на множники.

2. Скоротити однакові множники.

Проте, школярі часто роблять помилку, "зменшуючи" не множники, а доданки. Наприклад, є любителі, які в дробі "зменшують" і отримують в результаті, що, зрозуміло, неправильно.

Розглянемо приклади:

1. Скоротити дріб:

1. Розкладемо на множники чисельник за формулою квадрата суми, а знаменник за формулою різниці квадратів

2. Розділимо чисельник та знаменник на

2. Скоротити дріб:

1. Розкладемо на множники чисельник. Так як чисельник містить чотири доданки, застосуємо угруповання.

2. Розкладемо на множники знаменник. Також застосуємо угруповання.

3. Запишемо дріб, який у нас вийшов і скоротимо однакові множники:

Розмноження алгебраїчних дробів.

При множенні дробів алгебри ми чисельник множимо на чисельник, а знаменник множимо на знаменник.

Важливо!Не потрібно поспішати виконувати множення у чисельнику та знаменнику дробу. Після того, як ми записали в чисельнику добуток чисельників дробів, а в знаменнику - добуток знаменників, потрібно розкласти на множники кожен множник і скоротити дріб.

Розглянемо приклади:

3. Спростіть вираз:

1. Запишемо добуток дробів: у чисельнику добуток чисельників, а в знаменнику добуток знаменників:

2. Розкладемо кожну дужку на множники:

Тепер нам потрібно скоротити однакові множники. Зауважимо, що вирази і відрізняються лише знаком: і в результаті розподілу першого виразу на друге отримаємо -1.

Отже,

Розподіл алгебраїчних дробів ми виконуємо за таким правилом:

Тобто щоб розділити на дріб, потрібно помножити на "перевернутий".

Ми бачимо, що розподіл дробів зводиться до множення, а множення, зрештою, зводиться до скорочення дробів.

Розглянемо приклад:

4. Спростіть вираз:

Коли учень переходить у старшу школу, математика поділяється на 2 предмети: алгебру та геометрію. Понять стає дедалі більше, завдання дедалі складніше. У деяких виникають труднощі зі сприйняттям дробів. Пропустили перший урок з цієї теми і вуаля. дроби? Питання, яке мучитиме протягом усього шкільного життя.

Поняття алгебраїчного дробу

Почнемо з визначення. Під алгебраїчним дробомрозуміється вирази P/Q, де P є чисельником, а Q - знаменником. Під літерним записом може ховатися число, числове вираз, чисельно-літерний вираз.

Перш ніж ставити питання, як вирішувати алгебраїчні дроби, для початку потрібно розуміти, що подібне вираз - частина цілого.

Як правило, ціле - це 1. Число в знаменнику показує, скільки частин розділили одиницю. Чисельник необхідний у тому, щоб дізнатися, скільки елементів взято. Дробова характеристика відповідає знаку поділу. Допускається запис дробового виразуяк математичну операцію «Поділ». У такому разі чисельник – ділене, знаменник – дільник.

Основне правило звичайних дробів

Коли учні проходять цю тему у шкільництві, їм дають приклади закріплення. Щоб правильно їх вирішувати і знаходити різні шляхи з складних ситуацій, Необхідно використовувати основну властивість дробів.

Воно звучить так: Якщо помножити і чисельник, і знаменник на те саме число або вираз (відмінні від нуля), то значення звичайного дробуне зміниться. окремим випадком від цього правилає поділ обох частин виразу на те саме число або многочлен. Такі перетворення називаються тотожними рівностями.

Нижче буде розглянуто, як вирішувати додавання та віднімання алгебраїчних дробів, виробляти множення, розподіл і скорочення дробів.

Математичні операції з дробами

Розглянемо, як вирішувати, основна властивість дробу алгебри, як застосовувати його на практиці. Якщо потрібно перемножити два дроби, скласти їх, розділити один на інший або зробити віднімання, потрібно завжди дотримуватися правил.

Так, для операції додавання та віднімання слід знайти додатковий множник, щоб привести вирази до спільного знаменника. Якщо спочатку дроби дано з однаковими виразами Q, потрібно опустити цей пункт. Коли загальний знаменник знайдено, як вирішувати дроби алгебри? Потрібно скласти чи відняти чисельники. Але! Потрібно пам'ятати, що за наявності знака "-" перед дробом усі знаки в чисельнику змінюються на протилежні. Іноді не слід проводити будь-які підстановки та математичних операцій. Достатньо поміняти знак перед дробом.

Часто використовується таке поняття, як скорочення дробів. Це означає наступне: якщо чисельник і знаменник розділити на відмінне від одиниці вираз (однакове обох частин), то виходить новий дріб. Подільне і дільник менше колишніх, але з основного правила дробів залишаються рівними первісному прикладу.

Метою цієї операції є отримання нового нескоротного виразу. Вирішити це завдання можна, якщо скоротити чисельник і знаменник на найбільший спільний дільник. Алгоритм операції складається з двох пунктів:

1. Знаходження НОД для обох частин дробу.
2. Розподіл чисельника та знаменника на знайдений вираз та отримання нескоротного дробу, що дорівнює попередньому.

Нижче показано таблицю, в якій розписані формули. Для зручності її можна роздрукувати та носити із собою у зошиті. Однак, щоб у майбутньому при вирішенні контрольної або іспиту не виникло труднощів у питанні, як вирішувати дроби алгебри, зазначені формули потрібно вивчити напам'ять.

Декілька прикладів з рішеннями

З теоретичного погляду розглянуто питання, як вирішувати алгебраїчні дроби. Приклади, наведені у статті, допоможуть краще засвоїти матеріал.

1. Перетворити дроби та привести їх до спільного знаменника.

2. Перетворити дроби та привести їх до спільного знаменника.

Після вивчення теоретичної частини та розглянути практичної питаньбільше виникнути не повинно.