To'rtburchakning diagonali nimaga teng? To'rtburchaklar barcha qoidalar

Va yana savol: romb parallelogrammi yoki yo'qmi?

To'liq o'ng bilan - parallelogramm, chunki u va (bizning xususiyatimizni eslang 2).

Va yana, romb parallelogramm bo'lgani uchun, u parallelogrammaning barcha xususiyatlariga ega bo'lishi kerak. Demak, rombda qarama-qarshi burchaklar teng, qarama-qarshi tomonlar parallel va diagonallar kesishish nuqtasida ikkiga bo'linadi.

Rombning xossalari

Rasmga qarang:

To'rtburchakda bo'lgani kabi, bu xususiyatlar o'ziga xosdir, ya'ni bu xususiyatlarning har biri uchun biz bu shunchaki parallelogramma emas, balki romb degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Olmos belgilari

Va yana e'tibor bering: diagonallari perpendikulyar bo'lgan to'rtburchak emas, balki parallelogramm bo'lishi kerak. Ishonch hosil qilmoq:

Yo'q, albatta, uning diagonallari perpendikulyar bo'lsa ham, diagonali burchaklarning bissektrisasi va. Lekin... diagonallar kesishish nuqtasi bo'yicha yarmiga bo'linmaydi, shuning uchun - parallelogram EMAS, shuning uchun ham romb emas.

Ya'ni, kvadrat bir vaqtning o'zida to'rtburchak va rombdir. Keling, nima bo'lishini ko'rib chiqaylik.

Buning sababi aniqmi? - romb A burchakning bissektrisasi bo'lib, unga teng. Bu shuni anglatadiki, u (shuningdek) bo'ylab ikki burchakka bo'linadi.

Bu juda aniq: to'rtburchakning diagonallari teng; Rombning diagonallari perpendikulyar va umuman, diagonallarning parallelogrammasi kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi.

O'RTACHA DARAJASI

To'rtburchaklarning xossalari. Paralelogramma

Paralelogrammaning xossalari

Diqqat! So'zlar" parallelogrammning xossalari"Bu sizning vazifangizda bo'lsa, degani Mavjud parallelogramma, keyin quyidagi barcha foydalanish mumkin.

Paralelogramma xossalari haqidagi teorema.

Har qanday parallelogrammada:

Keling, nima uchun bularning barchasi haqiqat ekanligini tushunaylik, boshqacha qilib aytganda ISBOT ETAMIZ teorema.

Xo'sh, nima uchun 1) to'g'ri?

Agar u parallelogramm bo'lsa, unda:

xoch kabi yolg'on gapirish
xoch kabi yolg'on gapirish.

Bu degani (II mezon bo'yicha: va - umumiy.)

Xo'sh, shunday, shunday! - isbotladi.

Aytgancha! Biz ham isbotladik 2)!

Nega? Lekin (rasmga qarang), ya'ni aniq, chunki.

Faqat 3 ta qoldi).

Buning uchun siz hali ham ikkinchi diagonalni chizishingiz kerak.

Va endi biz buni ko'ramiz - II xarakteristikaga ko'ra (burchaklar va ularning "orasi" tomoni).

Xususiyatlari isbotlangan! Keling, belgilarga o'tamiz.

Paralelogramma belgilari

Eslatib o'tamiz, parallelogramma belgisi "Siz qanday qilib figuraning parallelogram ekanligini bilasiz?" Degan savolga javob beradi.

Ikonkalarda bu shunday:

Nega? Buning sababini tushunish yaxshi bo'lardi - bu etarli. Ammo qarang:

Xo'sh, biz nima uchun 1 belgisi to'g'ri ekanligini tushundik.

Xo'sh, bundan ham osonroq! Keling, yana diagonal chizamiz.

Bu degani:

VA Bu ham oson. Lekin... boshqacha!

Ma'nosi, . Voy-buy! Lekin, shuningdek - sekant bilan ichki bir tomonlama!

Shuning uchun bu haqiqat shuni anglatadi.

Va agar siz boshqa tomondan qarasangiz, unda - sekant bilan ichki bir tomonlama! Va shuning uchun.

Ko'ryapsizmi, bu qanchalik ajoyib?!

Va yana oddiy:

Aynan bir xil va.

Diqqat qilish: topsangiz kamida muammoingizdagi parallelogrammaning bir belgisi, sizda bor aynan parallelogramm va siz foydalanishingiz mumkin hamma parallelogrammning xossalari.

To'liq aniqlik uchun diagrammaga qarang:

To'rtburchaklarning xossalari. To'rtburchak.

To'rtburchaklar xususiyatlari:

1) nuqta juda aniq - 3 () belgisi shunchaki bajarilgan

Va 2-band) - juda muhim. Shunday ekan, buni isbotlaylik

Bu ikki tomondan (va - umumiy) degan ma'noni anglatadi.

Xo'sh, uchburchaklar teng bo'lganligi sababli, ularning gipotenuslari ham tengdir.

Buni isbotladi!

Tasavvur qiling-a, diagonallarning tengligi to'rtburchakning barcha parallelogrammalar orasidagi o'ziga xos xususiyatidir. Ya'ni, bu gap haqiqatdir^

Keling, nima uchun tushunaylik?

Bu (parallelogrammaning burchaklarini anglatadi) degan ma'noni anglatadi. Ammo yana bir bor eslaylikki, bu parallelogramm va shuning uchun.

Ma'nosi, . Albatta, shundan kelib chiqadiki, ularning har biri! Axir ular jami berishlari kerak!

Shunday qilib, agar ular buni isbotladilar parallelogramma to'satdan (!) diagonallar teng bo'lib chiqadi, keyin bu aniq to'rtburchak.

Lekin! Diqqat qilish! Bu haqida parallelogrammalar! Faqat hech kim emas diagonallari teng bo'lgan to'rtburchak to'rtburchak, va faqat parallelogramm!

To'rtburchaklarning xossalari. Romb

Va yana savol: romb parallelogrammi yoki yo'qmi?

To'liq o'ng bilan - parallelogramm, chunki u bor (2-funktsiyani eslang).

Ammo o'ziga xos xususiyatlar ham bor. Keling, uni shakllantiramiz.

Rombning xossalari

Nega? Xo'sh, romb parallelogramm bo'lgani uchun uning diagonallari yarmiga bo'linadi.

Nega? Ha, shuning uchun!

Boshqacha qilib aytganda, diagonallar romb burchaklarining bissektrisalari bo'lib chiqdi.

To'rtburchakda bo'lgani kabi, bu xususiyatlar o'ziga xos, ularning har biri ham rombning belgisidir.

Olmos belgilari.

Nima uchun bu? Va qarang,

Bu degani ikkalasi ham Bu uchburchaklar teng yon tomonlardir.

Romb bo'lish uchun to'rtburchak avval parallelogramma "aylanishi", so'ngra 1 yoki 2 xususiyatni ko'rsatishi kerak.

To'rtburchaklarning xossalari. Kvadrat

Ya'ni, kvadrat bir vaqtning o'zida to'rtburchak va rombdir. Keling, nima bo'lishini ko'rib chiqaylik.

Buning sababi aniqmi? Kvadrat - romb - teng bo'lgan burchakning bissektrisasidir. Bu shuni anglatadiki, u (shuningdek) bo'ylab ikki burchakka bo'linadi.

Xo'sh, bu juda aniq: to'rtburchakning diagonallari teng; Rombning diagonallari perpendikulyar va umuman, diagonallarning parallelogrammasi kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi.

Nega? Keling, Pifagor teoremasini qo'llaylik...

XULOSA VA ASOSIY FORMULALAR

Paralelogrammaning xossalari:

Qarama-qarshi tomonlar teng: , .
Qarama-qarshi burchaklar teng: , .
Bir tomondagi burchaklar qo'shiladi: , .
Diagonallar kesishish nuqtasi bo'yicha yarmiga bo'linadi: .

To'rtburchaklar xususiyatlari:

To'rtburchakning diagonallari teng: .
To'rtburchak - bu parallelogramm (to'rtburchak uchun parallelogrammaning barcha xususiyatlari bajariladi).

Rombning xususiyatlari:

Rombning diagonallari perpendikulyar: .
Rombning diagonallari uning burchaklarining bissektrisalaridir: ; ; ; .
Romb parallelogrammdir (romb uchun parallelogrammaning barcha xossalari bajariladi).

Kvadratning xususiyatlari:

Kvadrat bir vaqtning o'zida romb va to'rtburchakdir, shuning uchun kvadrat uchun to'rtburchak va rombning barcha xususiyatlari bajariladi. Shuningdek.

Bugun biz ko'rib chiqamiz geometrik shakl- to'rtburchak. Ushbu raqam nomidan allaqachon ma'lum bo'ladiki, bu raqam to'rtta burchakka ega. Ammo biz ushbu raqamning qolgan xususiyatlari va xususiyatlarini quyida ko'rib chiqamiz.

To'rtburchak nima

To'rtburchak - bu to'rtta nuqta (cho'qqi) va to'rtta segment (tomon) dan iborat bo'lgan ko'pburchak. To'rtburchakning maydoni uning diagonallari va ular orasidagi burchakning yarmiga teng.

To'rtburchak to'rtta uchli ko'pburchak bo'lib, ulardan uchtasi to'g'ri chiziqda yotmaydi.

To'rtburchaklar turlari

Qarama-qarshi tomonlari juft boʻlib parallel boʻlgan toʻrtburchak parallelogramma deyiladi.
Ikki qarama-qarshi tomoni parallel, qolgan ikkitasi parallel bo'lmagan to'rtburchaklar trapetsiya deyiladi.
Barcha to'g'ri burchakli to'rtburchak to'rtburchakdir.
Barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak rombdir.
Barcha tomonlari teng va barcha burchaklari to'g'ri bo'lgan to'rtburchak kvadrat deyiladi.

To'rtburchak bo'lishi mumkin:

O'z-o'zini kesish

Qavariq bo'lmagan

Qavariq

O'z-o'zidan kesishgan to'rtburchak to'rtburchak bo'lib, uning har qanday tomoni kesishish nuqtasiga ega (rasmda ko'k rangda).

Qavariq bo'lmagan to'rtburchak to'rtburchak bo'lib, ulardan biri ichki burchaklar 180 darajadan ortiq (rasmda to'q sariq rangda ko'rsatilgan).

Burchaklar yig'indisi o'z-o'zidan kesishmaydigan har qanday to'rtburchak har doim 360 darajaga teng.

To'rtburchaklarning maxsus turlari

To'rtburchaklar qo'shimcha xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin, hosil qiladi maxsus turlari geometrik shakllar:

Paralelogramma
To'rtburchak
Kvadrat
Trapezoid
Deltoid
Qarama-qarshi paralelogramma

To'rtburchak va aylana

Aylana boʻylab chizilgan toʻrtburchak (toʻrtburchak ichiga chizilgan doira).

Ta'riflangan to'rtburchakning asosiy xususiyati:

To'rtburchakni aylana bo'ylab chegaralash mumkin, agar qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi teng bo'lsa.

Aylana ichiga chizilgan to'rtburchak (to'rtburchak atrofida aylana)

Yozilgan to'rtburchakning asosiy xususiyati:

To'rtburchakni aylana ichiga yozish mumkin, agar qarama-qarshi burchaklar yig'indisi 180 gradusga teng bo'lsa.

To'rtburchak tomonlari uzunliklarining xossalari

To'rtburchakning har qanday ikki tomoni orasidagi farq moduli uning boshqa ikki tomonining yig'indisidan oshmaydi.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

Muhim. Tengsizlik to'rtburchak tomonlarning har qanday birikmasi uchun to'g'ri. Chizma faqat idrok etish qulayligi uchun taqdim etiladi.

Har qanday to'rtburchakda uning uch tomonining uzunliklari yig'indisi to'rtinchi tomonining uzunligidan kam emas.

Muhim. Maktab o'quv dasturidagi muammolarni hal qilishda siz qat'iy tengsizlikdan foydalanishingiz mumkin (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Brauzeringizda Javascript o‘chirib qo‘yilgan.
Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruvlarini yoqishingiz kerak!

Dars mavzusi

To'rtburchakning ta'rifi.

Dars maqsadlari

Ta'lim - "To'rtburchak" mavzusi bo'yicha bilimlarni takrorlash, umumlashtirish va tekshirish; asosiy ko'nikmalarni rivojlantirish.
Rivojlantiruvchi - o'quvchilarning diqqatini, qat'iyatliligini, qat'iyatliligini, mantiqiy fikrlashini, matematik nutqini rivojlantirish.
Tarbiyaviy - dars orqali bir-biriga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lish, o'rtoqlarni tinglash, o'zaro yordam va mustaqillik qobiliyatini tarbiyalash.

Dars maqsadlari

Masshtab o‘lchagich va chizilgan uchburchak yordamida to‘rtburchak yasash ko‘nikmalarini shakllantirish.
Talabalarning muammoni yechish qobiliyatlarini tekshirish.

Dars rejasi

Tarixiy ma'lumotnoma. Evklid bo'lmagan geometriya.
To'rtburchak.
To'rtburchaklar turlari.

Evklid bo'lmagan geometriya

Evklid bo'lmagan geometriya, geometriyaga o'xshash geometriya Evklid bunda u figuralarning harakatini belgilaydi, lekin Yevklid geometriyasidan uning beshta postulatdan biri (ikkinchi yoki beshinchisi) inkori bilan almashtirilishi bilan farq qiladi. Evklid postulatlaridan birini inkor etish (1825) tafakkur tarixida muhim voqea bo'ldi, chunki u birinchi qadam bo'ldi. nisbiylik nazariyasi.

Evklidning ikkinchi postulati shunday deydi har qanday to'g'ri chiziq segmenti cheksiz uzaytirilishi mumkin. Aftidan, Evklid bu postulatda to'g'ri chiziq cheksiz uzunlikka ega degan fikr ham borligiga ishongan. Biroq "elliptik" geometriyada har qanday to'g'ri chiziq cheklangan va aylana kabi yopiqdir.

Beshinchi postulat shuni ko'rsatadiki, agar chiziq berilgan ikkita chiziqni shunday kesib o'tsa, uning bir tomonidagi ikkita ichki burchaklar yig'indisi ikkita to'g'ri burchakdan kichik bo'lsa, u holda bu ikki chiziq, agar cheksiz uzaytirilsa, u joylashgan tomonda kesishadi. bu burchaklar yig'indisi ikkita to'g'ri chiziq yig'indisidan kichik. Ammo "giperbolik" geometriyada C nuqtada ma'lum r chiziqqa perpendikulyar va boshqa s chiziqni B nuqtada o'tkir burchak ostida kesib o'tuvchi CB chizig'i bo'lishi mumkin (rasmga qarang), lekin shunga qaramay, cheksiz r va s chiziqlar bo'ladi. hech qachon kesishmaydi.

Ushbu qayta ko'rib chiqilgan postulatlardan kelib chiqadiki, Evklid geometriyasida 180 ° ga teng bo'lgan uchburchak burchaklarining yig'indisi elliptik geometriyada 180 ° dan katta va giperbolik geometriyada 180 ° dan kichikdir.

To'rtburchak

Mavzular > Matematika > Matematika 8-sinf

To'rt burchakli va to'rt tomoni bilan. To'rtburchak to'rtta bo'g'indan va tekislikning siniq chiziq ichida joylashgan qismidan iborat yopiq siniq chiziqdan hosil bo'ladi.

To'rtburchakning belgilanishi uning uchlarida joylashgan harflardan iborat bo'lib, ularni tartibda nomlaydi. Masalan, ular aytadilar yoki yozadilar: to'rtburchak A B C D :

To'rtburchakda A B C D ball A, B, C Va D- Bu to'rtburchakning uchlari, segmentlar AB, Miloddan avvalgi, CD Va D.A. - tomonlar.

Bir tomonga tegishli cho'qqilar deyiladi qo'shni, qo'shni bo'lmagan cho'qqilar deyiladi qarama-qarshi:

To'rtburchakda A B C D cho'qqilari A Va B, B Va C, C Va D, D Va A- qo'shni va uchlari A Va C, B Va D- qarama-qarshi. Qo'shni cho'qqilarda yotgan burchaklar ham qo'shni, qarama-qarshi cho'qqilarda esa qarama-qarshi deyiladi.

To'rtburchakning tomonlarini ham qo'shni va qarama-qarshi tomonlarga bo'lish mumkin: umumiy cho'qqisi bo'lgan tomonlar deyiladi. qo'shni(yoki qo'shni), umumiy uchlari bo'lmagan tomonlar - qarama-qarshi:

Partiyalar AB Va Miloddan avvalgi, Miloddan avvalgi Va CD, CD Va D.A., D.A. Va AB- qo'shni va yon tomonlar AB Va DC, AD Va Miloddan avvalgi- qarama-qarshi.

Agar qarama-qarshi cho'qqilar segment bilan bog'langan bo'lsa, unda bunday segment chaqiriladi to'rtburchakning diagonali. To'rtburchakda faqat ikkita juft qarama-qarshi cho'qqi borligini hisobga olsak, u holda faqat ikkita diagonal bo'lishi mumkin:

Segmentlar A.C. Va BD- diagonallar.

Keling, konveks to'rtburchaklarning asosiy turlarini ko'rib chiqaylik:

Trapezoid- qarama-qarshi tomonlarning bir jufti bir-biriga parallel, ikkinchisi esa parallel bo'lmagan to'rtburchak.
- Izossellar trapesiya- tomonlari teng bo'lgan trapetsiya.
- To'rtburchak trapezoid- burchaklaridan biri to'g'ri bo'lgan trapetsiya.
Paralelogramma- qarama-qarshi tomonlarning ikkala jufti bir-biriga parallel bo'lgan to'rtburchak.
- To'rtburchak- barcha burchaklari teng bo'lgan parallelogramm.
- Romb- barcha tomonlari teng bo'lgan parallelogramm.
- Kvadrat- tomonlari va burchaklari teng bo'lgan parallelogramm. To'rtburchak ham, romb ham kvadrat bo'lishi mumkin.

Qavariq to'rtburchaklar burchaklarining xossalari

Barcha qavariq to'rtburchaklar o'z burchaklarida quyidagi ikkita xususiyatga ega:

180 ° dan kam bo'lgan har qanday ichki burchak.
Ichki burchaklarning yig'indisi 360 ° ga teng.

IN maktab o'quv dasturi geometriya darslarida siz har xil turdagi to'rtburchaklar bilan shug'ullanishingiz kerak: romblar, parallelogramlar, to'rtburchaklar, trapezoidlar, kvadratlar. O'rganish uchun birinchi shakllar to'rtburchaklar va kvadratdir.

Xo'sh, to'rtburchaklar nima? O'rta maktabning 2-sinfi uchun ta'rif quyidagicha bo'ladi: bu to'rtburchak to'rtburchak to'g'ri. To'rtburchakning qanday ko'rinishini tasavvur qilish oson: bu 4 ta to'g'ri burchakli va juftliklarda bir-biriga parallel bo'lgan tomonlari bo'lgan figura.

Bilan aloqada

Boshqa geometrik masalani yechayotganda, qaysi to'rtburchak bilan shug'ullanayotganimizni qanday tushunish mumkin? Uchta asosiy belgi mavjud, bu orqali biz to'rtburchaklar haqida gapirayotganimizni aniq aniqlash mumkin. Keling, ularni chaqiramiz:

rasm - uchta burchagi 90 ° ga teng bo'lgan to'rtburchak;
ifodalangan to'rtburchak - diagonallari teng bo'lgan parallelogramm;
kamida bitta to'g'ri burchakka ega bo'lgan parallelogramm.

Bilish qiziq: konveks nima, uning xususiyatlari va belgilari.

To'rtburchak parallelogramm (ya'ni, qarama-qarshi tomonlari parallel bo'lgan to'rtburchaklar) bo'lgani uchun, uning barcha xossalari va xususiyatlari uning uchun bajariladi.

Yon uzunliklarni hisoblash uchun formulalar

To'rtburchakda qarama-qarshi tomonlar teng va o'zaro parallel. Uzunroq tomon odatda uzunlik deb ataladi (a bilan belgilanadi), qisqa tomoni kenglik deb ataladi (b bilan belgilanadi). Rasmdagi to'rtburchakda uzunliklar AB va CD tomonlari, kengligi esa AC va B. D. Ular asoslarga ham perpendikulyar (ya'ni, ular balandliklar).

Yon tomonlarini topish uchun quyidagi formulalardan foydalanishingiz mumkin. Qabul qilishdi shartli belgilar: a - to'rtburchakning uzunligi, b - kengligi, d - diagonali (bir-biriga qarama-qarshi yotgan ikkita burchakning uchlarini bog'laydigan segment), S - rasmning maydoni, P - perimetr, a - diagonal va uzunlik orasidagi burchak, b - o'tkir burchak, bu ikkala diagonal tomonidan hosil qilingan. Yon uzunliklarni topish usullari:

Diagonaldan foydalanish va taniqli partiya: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
Shaklning maydoniga va uning bir tomoniga qarab: a = S / b, b = S / a.
Perimetr va ma'lum tomonni ishlatish: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
Diagonal va uning orasidagi burchak va uzunlik orqali: a = d sina, b = d cosa.
Diagonal va burchak orqali b: a = d sin 0,5 b, b = d cos 0,5 b.

Perimetri va maydoni

To'rtburchakning perimetri deyiladi uning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisi. Perimetrni hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanish mumkin:

Ikkala tomon orqali: P = 2 (a + b).
Maydon va tomonlardan biri orqali: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Maydon - bu perimetr bilan o'ralgan bo'shliq. Hududni hisoblashning uchta asosiy usuli:

Ikkala tomonning uzunliklari orqali: S = a * b.
Perimetrdan va har qanday ma'lum tomondan foydalanish: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
Diagonal va burchak b: S = 0,5 d² sinb.

Maktab matematika kursidagi muammolar ko'pincha yaxshi bilim talab qiladi to'rtburchak diagonallarining xossalari. Biz asosiylarini sanab o'tamiz:

Diagonallar bir-biriga teng va ularning kesishish nuqtasida ikkita teng segmentga bo'linadi.
Diagonal har ikki tomonning kvadrati yig'indisining ildizi sifatida aniqlanadi (Pifagor teoremasidan kelib chiqadi).
Diagonal to'rtburchakni ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi.
Kesishish nuqtasi chegaralangan doiraning markaziga to'g'ri keladi va diagonallarning o'zi uning diametriga to'g'ri keladi.

Diagonal uzunligini hisoblash uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:

Shaklning uzunligi va kengligidan foydalanib: d = √(a² + b²).
To'rtburchak atrofida aylana radiusidan foydalanib: d = 2 R.

Kvadratning ta'rifi va xossalari

Kvadrat romb, parallelogram yoki to'rtburchakning maxsus holatidir. Uning bu raqamlardan farqi shundaki, uning barcha burchaklari to'g'ri va to'rt tomoni teng. Kvadrat - bu muntazam to'rtburchak.

Quyidagi hollarda to'rtburchak kvadrat deb ataladi:

Agar u uzunligi a va kengligi b teng bo'lgan to'rtburchak bo'lsa.
Agar u romb bo'lsa teng uzunliklar diagonallar va to'rtta to'g'ri burchakli.

Kvadratning xususiyatlari to'rtburchaklar bilan bog'liq ilgari muhokama qilingan barcha xususiyatlarni, shuningdek quyidagilarni o'z ichiga oladi:

Diagonallar bir-biriga perpendikulyar (rombus xossasi).
Kesishish nuqtasi chizilgan doira markaziga to'g'ri keladi.
Ikkala diagonal to'rtburchakni to'rtta teng o'ng va teng yonli uchburchaklarga ajratadi.

Bu erda tez-tez ishlatiladigan formulalar perimetr, maydon va kvadrat elementlarni hisoblash:

Diagonali d = a √2.
Perimetri P = 4 a.
Maydon S = a².
Cheklangan doira radiusi diagonalning yarmiga teng: R = 0,5 a √2.
Yozilgan doira radiusi tomonning yarmi uzunligi sifatida aniqlanadi: r = a / 2.

Savol va topshiriqlarga misollar

Keling, maktabda matematika kursini o'rganayotganda duch keladigan ba'zi savollarni ko'rib chiqaylik va bir nechta oddiy muammolarni hal qilamiz.

Muammo 1. To'g'ri to'rtburchakning tomonlari uzunligi uch baravar ko'paytirilsa, uning maydoni qanday o'zgaradi?

Yechim : Asl rasmning maydonini S0 deb, tomonlari uzunligi uch baravar bo'lgan to'rtburchakning maydonini S1 deb belgilaymiz. Yuqorida muhokama qilingan formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: S0 = ab. Endi uzunlik va kenglikni 3 marta oshiramiz va yozamiz: S1= 3 a 3 b = 9 ab. S0 va S1 ni solishtirganda, ikkinchi maydon birinchisidan 9 marta katta ekanligi ayon bo'ladi.

Savol 1. To'g'ri burchakli to'rtburchak kvadratmi?

Yechim : Ta'rifdan kelib chiqadiki, to'g'ri burchakli figura faqat uning barcha tomonlari uzunligi teng bo'lsa, kvadrat hisoblanadi. Boshqa hollarda, rasm to'rtburchakdir.

Muammo 2. To'rtburchakning diagonallari 60 graduslik burchak hosil qiladi. To'rtburchakning kengligi 8. Diagonali nima ekanligini hisoblang.

Yechim: Eslatib o'tamiz, diagonallar kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi. Shunday qilib, biz shug'ullanamiz teng yonli uchburchak 60 ° burchak burchagi bilan. Uchburchak teng yonli bo'lgani uchun poydevordagi burchaklar ham bir xil bo'ladi. Oddiy hisob-kitoblar bilan biz ularning har biri 60 ° ga teng ekanligini aniqlaymiz. Bundan kelib chiqadiki, uchburchak teng yonli. Biz bilgan kenglik uchburchakning asosidir, shuning uchun diagonalning yarmi ham 8 ga teng, butun diagonalning uzunligi esa ikki baravar katta va 16 ga teng.

Savol 2. To'rtburchakning barcha tomonlari tengmi yoki yo'qmi?

Yechim : Kvadratda barcha tomonlar teng bo'lishi kerakligini eslash kifoya, bu to'rtburchakning alohida holatidir. Boshqa barcha holatlarda, etarli shart - kamida 3 ta to'g'ri burchakning mavjudligi. Tomonlarning tengligi majburiy xususiyat emas.

Muammo 3. Kvadratning maydoni ma'lum va 289 ga teng. Chizilgan va aylana radiuslarini toping.

Yechim : Kvadrat uchun formulalardan foydalanib, biz quyidagi hisob-kitoblarni amalga oshiramiz:

Kvadratning asosiy elementlari nimaga teng ekanligini aniqlaymiz: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
To'rtburchak atrofida aylana radiusini hisoblab chiqamiz: R = 0,5 d = 8,5√2.
Chizilgan aylana radiusini topamiz: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.