Tekislik yordamida kubning kesmalarini qurish bilan bog'liq masalalar, qoida tariqasida, masalan, piramida kesimlari bilan bog'liq masalalarga qaraganda oddiyroqdir.
Ikki nuqta bir tekislikda yotsa, ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazishimiz mumkin. Kubning qismlarini qurishda, kesish tekisligining izini qurish uchun boshqa variant ham mumkin. Uchinchi tekislik ikkita parallel tekislikni parallel chiziqlar bo'ylab kesib o'tganligi sababli, agar yuzlarning birida to'g'ri chiziq allaqachon qurilgan bo'lsa, ikkinchisida esa kesma o'tadigan nuqta bo'lsa, biz bunga parallel chiziq chizishimiz mumkin. bu nuqta orqali ishora qiling.
Keling, ko'rib chiqaylik aniq misollar tekislik yordamida kubning kesmalarini yasash.
1) A, C va M nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing.
Ushbu turdagi masalalar kubning kesimlarini qurish uchun eng oddiy masalalardir. A va C nuqtalar bir tekislikda (ABC) yotganligi sababli ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazishimiz mumkin. Uning izi AC segmentidir. Bu ko'rinmas, shuning uchun biz ACni zarba bilan tasvirlaymiz. Xuddi shunday, biz bir tekislikda yotuvchi M va C nuqtalarni (CDD1) va bir tekislikda joylashgan A va M nuqtalarni (ADD1) bog'laymiz. Uchburchak ACM - kerakli qism.
2) M, N, P nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing.
Bu erda faqat M va N nuqtalar bir tekislikda yotadi (ADD1), shuning uchun biz ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz va MN (ko'rinmas) izini olamiz. Kubning qarama-qarshi yuzlari parallel tekisliklarda yotganligi sababli, kesish tekisligi parallel tekisliklarni (ADD1) va (BCC1) parallel chiziqlar bo'ylab kesib o'tadi. Biz allaqachon parallel chiziqlardan birini qurdik - bu MN.
P nuqta orqali MN ga parallel chiziq o'tkazamiz. U BB1 chetini S nuqtada kesib o'tadi. PS - yuzdagi kesish tekisligining izi (BCC1).
Bir tekislikda yotgan M va S nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz (ABB1). Biz MS izini oldik (ko'rinadigan).
Samolyotlar (ABB1) va (CDD1) parallel. Tekislikda (ABB1) allaqachon MS to'g'ri chiziq mavjud, shuning uchun tekislikdagi N nuqta (CDD1) orqali MS ga parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Bu chiziq D1C1 chetini L nuqtada kesib o'tadi. Uning izi NL (ko'rinmas). P va L nuqtalar bir tekislikda yotadi (A1B1C1), shuning uchun biz ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.
Pentagon MNLPS - bu zarur bo'lim.
3) M, N, P nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing.
M va N nuqtalar bir tekislikda yotadi (VSS1), shuning uchun ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Biz MN izini olamiz (ko'rinadigan). Tekislik (BCC1) tekislikka (ADD1) parallel, shuning uchun (ADD1) yotgan P nuqta orqali MN ga parallel chiziq chizamiz. U E nuqtada AD qirrasini kesib o'tadi. Biz iz PE (ko'rinmas) oldik.
Endi bitta tekislikda yotadigan nuqtalar yoki parallel tekisliklarda to'g'ri chiziq va nuqtalar yo'q. Shuning uchun, qo'shimcha nuqta olish uchun mavjud chiziqlardan birini davom ettirishimiz kerak.
Agar MN chiziqni davom ettirsak, u holda u (BCC1) tekislikda yotganligi sababli, MN ning shu tekislik chiziqlaridan biri bilan kesishish nuqtasini izlash kerak. CC1 va B1C1 bilan kesishish nuqtalari allaqachon mavjud - bular M va N. Qolgan narsa BC va BB1 to'g'ri chiziqlardir. BC va MN ni K nuqtada kesishguncha davom ettiramiz. K nuqta BC to‘g‘rida yotadi, ya’ni u tekislikka (ABC) tegishli ekanligini bildiradi, shuning uchun biz u orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz va shu tekislikda joylashgan E nuqtani o‘tkazamiz. U CD qirrasini H nuqtada kesib o'tadi. EH - uning izi (ko'rinmas). H va N bir tekislikda (CDD1) yotganligi uchun ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Biz HN (ko'rinmas) izini olamiz.
Samolyotlar (ABC) va (A1B1C1) parallel. Ularning birida EH chizig'i, ikkinchisida M nuqta bor. M orqali EH ga parallel chiziq o'tkazishimiz mumkin. Biz MF izini olamiz (ko'rinadigan). M va F nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazing.
Olti burchakli MNHEPF talab qilinadigan qismdir.
Agar MN toʻgʻri chiziqni boshqa toʻgʻri tekislik (BCC1) BB1 bilan kesishguncha davom ettirsak, (ABB1) tekislikka tegishli G nuqtani olgan boʻlamiz. Bu shuni anglatadiki, G va P orqali biz izi PF bo'lgan to'g'ri chiziq chizishimiz mumkin. Keyinchalik, parallel tekisliklarda yotgan nuqtalar orqali to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz va bir xil natijaga erishamiz.
To'g'ri PE bilan ishlash bir xil bo'lim MNHEPFni beradi.
4) M, N, P nuqtadan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini tuzing.
Bu yerda bir tekislikda (A1B1C1) yotgan M va N nuqtalar orqali toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin. Uning izi MN (ko'rinadigan). Xuddi shu tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotadigan nuqtalar qolmaydi.
MN to'g'ri chiziqni davom ettiramiz. U (A1B1C1) tekislikda yotadi, shuning uchun u faqat shu tekislikning chiziqlaridan biri bilan kesishishi mumkin. A1D1 va C1D1 - N va M bilan kesishish nuqtalari allaqachon mavjud. Ushbu tekislikning yana ikkita to'g'ri chizig'i - A1B1 va B1C1. A1B1 va MN ning kesishish nuqtasi S. U A1B1 toʻgʻrida yotganligi uchun u tekislikka (ABB1) tegishli, yaʼni u orqali toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin va bir tekislikda yotgan P nuqta. PS chizig'i AA1 qirrasini E nuqtasida kesib o'tadi. PE - uning izi (ko'rinadigan). Bir tekislikda (ADD1) yotgan N va E nuqtalar orqali siz to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin, uning izi NE (ko'rinmas). Tekislikda (ADD1) NE chiziq, unga parallel (BCC1) tekislikda P nuqta bor. P nuqta orqali NE ga parallel PL chiziqni o'tkazishimiz mumkin. U CC1 chetini L nuqtada kesib o'tadi. PL - bu chiziqning izi (ko'rinadigan). M va L nuqtalar bir tekislikda yotadi (CDD1), ya'ni ular orqali to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Uning izi ML (ko'rinmas). Pentagon MLPEN zarur bo'limdir.
NM toʻgʻri chiziqni har ikki yoʻnalishda davom ettirish va uning kesishish nuqtalarini nafaqat A1B1 toʻgʻri chiziq bilan, balki tekislikda (A1B1C1) yotuvchi B1C1 toʻgʻri chiziq bilan ham izlash mumkin edi. Bunday holda, P nuqta orqali biz bir vaqtning o'zida ikkita chiziq chizamiz: biri tekislikda (ABB1) P va S nuqtalari orqali, ikkinchisi esa tekislikda (BCC1), P va R nuqtalari orqali. Shundan so'ng, chiziqni ulash qoladi. bir tekislikda yotgan nuqtalar: M c L, E - N bilan.
Ko'rsatmalar
Ko'ndalang kesim maydonini hisoblash usuli ham muammoda mavjud bo'lgan ma'lumotlarga bog'liq. Bundan tashqari, eritma prizma tagida nima yotganligi bilan belgilanadi. Agar topish kerak bo'lsa diagonal qism prizma, yig'indining ildiziga teng bo'lgan diagonalning uzunligini toping (tomonlarning asosi). Misol uchun, agar asoslar mos ravishda 3 sm va 4 sm bo'lsa, diagonalning uzunligi (4x4 + 3x3) = 5 sm ning ildiziga teng: diagonalini ko'paytiring poydevor balandligi bo'yicha.
Agar prizmaning asosi uchburchak bo'lsa, prizmaning kesma maydonini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning: uchburchak poydevorining 1/2 qismini balandlikka ko'paytiring.
Prizmalarning quyidagi turlari mavjud - muntazam va to'g'ri. Agar siz bo'limni topishingiz kerak bo'lsa to'g'ri prizma, siz ko'pburchakning faqat bir tomonining uzunligini bilishingiz kerak, chunki poydevorda barcha tomonlari teng bo'lgan kvadrat mavjud. Tomoni va ikkining ildizi ko‘paytmasiga teng bo‘lgan kvadratning diagonalini toping. Shundan so'ng, diagonalni ko'paytirib, siz oddiy prizmaning tasavvurlar maydonini olasiz.
Prizmaning o'ziga xos xususiyati bor. Shunday qilib, ixtiyoriy prizmaning lateral yuzasining maydoni formula bo'yicha hisoblanadi, bu erda perpendikulyar kesma perimetri va lateral qirraning uzunligi. Bunda perpendikulyar kesim prizmaning barcha yon qirralariga perpendikulyar bo'lib, uning burchaklari mos keladigan yon qirralardagi ikki tomonlama burchaklarning chiziqli burchaklaridir. Perpendikulyar kesma ham barcha yon yuzlarga perpendikulyar.
Manbalar:
- prizmaning diagonal kesimi
Eksen - bu ma'lum bir aylanish natijasida hosil bo'lgan geometrik jismning o'qi orqali o'tadigan qism geometrik shakl. Tsilindr to'rtburchakni uning bir tomoni atrofida aylantirish orqali olinadi va bu uning ko'pgina xususiyatlarini aniqlaydi. Ushbu geometrik jismning generatrislari parallel va bir-biriga tengdir, bu uning eksenel kesimining parametrlarini, shu jumladan diagonalni aniqlash uchun juda muhimdir.
Sizga kerak bo'ladi
- - belgilangan parametrlarga ega silindr;
- - qog'oz;
- - qalam;
- - hukmdor;
- - kompas;
- - Pifagor teoremasi;
- - sinuslar va kosinuslar teoremalari.
Ko'rsatmalar
Berilgan shartlarga muvofiq tsilindrni yasang. Uni chizish uchun siz balandlikni bilishingiz kerak. Biroq, diagonallar bo'yicha masalada boshqa shartlarni ko'rsatish mumkin - masalan, diagonal va generatrix orasidagi burchak yoki poydevor diametri. Bunday holda, chizma yaratishda sizga berilgan o'lchamdan foydalaning. Qolganlarini tasodifiy oling va sizga aniq nima berilganligini ko'rsating. O'q va asoslarning kesishish nuqtalarini O va O deb belgilang."
Eksenel qismni chizish. Bu to'rtburchak bo'lib, uning ikki tomoni tagliklarning diametri, qolgan ikkitasi esa generatrisdir. Generatorlar ham asoslarga perpendikulyar bo'lgani uchun ular ham berilgan geometrik jismning balandliklari hisoblanadi. Olingan ABCD to'rtburchakni belgilang. AC va BD diagonallarini chizing. To'rtburchakning diagonallarini eslang. Ular bir-biriga teng va kesishish nuqtasida yarmiga bo'linadi.
ADC uchburchagini ko'rib chiqing. CD generatrice asosga perpendikulyar bo'lgani uchun u to'rtburchakdir. Biri taglikning diametrini ifodalaydi, ikkinchisi - . Diagonali - bu. Har qanday to'rtburchakning gipotenuzasi uzunligi qanday hisoblanganligini eslang. U oyoqlarning kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng. Ya'ni, ichida Ushbu holatda d=√4r2+h2, bu yerda d - diagonal, r - asosning radiusi, h - silindr balandligi.
Agar masalada silindrning balandligi ko'rsatilmagan bo'lsa, lekin eksenel kesimning asos yoki generatrix bilan diagonal burchagi ko'rsatilgan bo'lsa, sinuslar yoki kosinuslar teoremasidan foydalaning. Esda tutingki, ma'lumotlar trigonometrikdir. Bu ma'lum bir burchakka qarama-qarshi yoki ulashgan oyoqning gipotenuzaga nisbati bo'lib, uni topishingiz kerak. Aytaylik, sizga taglikning diagonali va diametri orasidagi balandlik va SAPR burchagi berilgan. Bunday holda, sinuslar qonunidan foydalaning, chunki SAPR burchagi generatrixga qarama-qarshidir. d=h/sinCAD formulasi yordamida d gipotenuzasini toping. Agar sizga radius va bir xil burchak berilgan bo'lsa, kosinus teoremasidan foydalaning. Bu holda d=2r/cos SAPR.
Diagonal va generatrix o'rtasidagi ACD burchagi ko'rsatilgan hollarda xuddi shu printsipga amal qiling. Bunda radius berilganda sinus teoremasidan, balandligi ma'lum bo'lganda kosinus teoremasidan foydalaniladi.
Mavzu bo'yicha video
Oltin nisbat qadim zamonlardan beri eng mukammal va uyg'un hisoblangan nisbatdir. U haykallardan tortib ibodatxonalargacha bo'lgan ko'plab qadimiy inshootlarning asosini tashkil qiladi va tabiatda juda keng tarqalgan. Shu bilan birga, bu nisbat hayratlanarli darajada oqlangan matematik konstruktsiyalar bilan ifodalanadi.
Ko'rsatmalar
Agar butun segmentning uzunligi 1, katta qismining uzunligi esa x sifatida qabul qilinsa, kerakli nisbat tenglama bilan ifodalanadi:
(1 - x)/x = x/1.
Proporsiyaning ikkala tomonini x ga ko'paytirib, atamalarni o'tkazsak, biz kvadrat tenglamani olamiz:
x^2 + x - 1 = 0.
Tenglama ikkitadan iborat haqiqiy ildizlar, bizni tabiiyki, faqat ijobiy tomoni qiziqtiradi. U (√5 - 1)/2 ga teng, bu taxminan 0,618 ga teng. Bu raqam kesmani ifodalaydi. Ko'pincha ph harfi bilan belgilanadi.
ph soni bir qator ajoyib matematik xususiyatlarga ega. Masalan, hatto dastlabki tenglamadan ham 1/ph = ph + 1. Haqiqatan ham 1/(0,618) = 1,618 ekanligi aniq.
Oltin nisbatni hisoblashning yana bir usuli - foydalanish cheksiz kasr. Har qanday ixtiyoriy x dan boshlab, siz kasrni ketma-ket qurishingiz mumkin:
x
1/(x + 1)
1/(1/(x+1) + 1)
1/(1/(1/(x+1) + 1) +1)
Hisob-kitoblarni osonlashtirish uchun bu kasr iterativ sifatida ko'rsatilishi mumkin, bunda keyingi bosqichni hisoblash uchun oldingi qadam natijasiga bittasini qo'shish va natijada olingan raqamga bo'lish kerak. Boshqa so'zlar bilan aytganda:
x0 = x
x(n + 1) = 1/(xn + 1).
Bu jarayon yaqinlashadi va uning chegarasi ph + 1 ga teng.
Agar biz o'zaro qiymatni hisoblashni kvadrat ildizni ajratib olish bilan almashtirsak, ya'ni iterativ tsiklni amalga oshiramiz:
x0 = x
x(n + 1) = √(xn + 1),
keyin natija o'zgarishsiz qoladi: dastlab tanlangan x dan qat'i nazar, iteratsiyalar ph + 1 qiymatiga yaqinlashadi.
Geometrik jihatdan oltin nisbat oddiy beshburchak yordamida tuzilishi mumkin. Agar siz ikkita kesishgan diagonalni chizsangiz, ularning har biri ikkinchisini oltin nisbatda bo'ladi. Ushbu kuzatish, afsonaga ko'ra, Pifagorga tegishli bo'lib, u naqshdan hayratda qolgan va uni to'g'ri deb hisoblagan. besh qirrali yulduz(pentagram) muqaddas ilohiy ramz.
Oltin nisbatning eng uyg'un ko'rinishi sabablari noma'lum. Biroq, segmentni ikkita teng bo'lmagan qismga eng chiroyli tarzda ajratish vazifasi yuklangan sub'ektlar buni oltin nisbatga juda yaqin nisbatda qilgani bir necha bor tasdiqlandi.
Savol analitik geometriyaga tegishli. Fazoviy chiziqlar va tekisliklar tenglamalari, kub va uning tushunchasi yordamida yechiladi geometrik xossalari, shuningdek vektor algebrasidan foydalanish. Tizimlarni ta'mirlash usullari kerak bo'lishi mumkin chiziqli tenglamalar.
Ko'rsatmalar
Muammoning shartlarini to'liq, ammo ortiqcha bo'lmasligi uchun tanlang. Kesish tekisligi a ko'rsatilishi kerak umumiy tenglama Ax+By+Cz+D=0 ko'rinishdagi, bu uning ixtiyoriy tanlashiga eng mos keladi. Kubni aniqlash uchun uning istalgan uchta uchining koordinatalari yetarli. Masalan, 1-rasmga muvofiq M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3) nuqtalarini olaylik.Bu rasm kubning kesmasini tasvirlaydi. U ikkita yon qovurg'a va uchta asosiy qovurg'ani kesib o'tadi.
Keyingi ish rejasi haqida qaror qabul qiling. Biz Q, L, N, W, R nuqtalarning koordinatalarini izlashimiz kerak, bu erda kesma kubning mos keladigan qirralari bilan kesishadi. Buning uchun ushbu qirralarni o'z ichiga olgan chiziqlar tenglamalarini topish va qirralarning a tekislik bilan kesishish nuqtalarini izlash kerak bo'ladi. Shundan so'ng QLNWR uchburchaklarga bo'linadi (2-rasmga qarang) va vektor mahsulotining xususiyatlaridan foydalangan holda ularning har birining maydonini hisoblash. Texnika har safar bir xil. Shuning uchun biz o'zimizni Q va L nuqtalari va ∆QLN uchburchakning maydoni bilan cheklashimiz mumkin.
M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) va M2M3=(x3-x2, y3-y2, z3-) vektor mahsuloti sifatida M1M5 chetini (va Q nuqtasini) o‘z ichiga olgan to‘g‘ri chiziqning h yo‘nalish vektorini toping. z2), h=(m1, n1, p1)=. Olingan vektor boshqa barcha yon qirralar uchun ko'rsatma bo'ladi. Kub chetining uzunligini toping, masalan, r=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2). Agar vektorning kattaligi h |h|≠r bo'lsa, uni mos keladigan kollinear vektor s=(m, n, p)=(h/|h|)r bilan almashtiring. Endi M1M5 ni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq tenglamasini parametrik tarzda yozing (3-rasmga qarang). Kesuvchi tekislik tenglamasiga tegishli ifodalarni almashtirib, A(x1+mt)+B(y1+nt)+C(z1+pt)+D=0 hosil bo‘ladi. t ni aniqlang, uni M1M5 tenglamalariga almashtiring va Q(qx, qy, qz) nuqtaning koordinatalarini yozing (3-rasm).
Shubhasiz, M5 nuqta M5 (x1+m, y1+n, z1+p) koordinatalariga ega. M5M8 chetini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq uchun yo'nalish vektori M2M3=(x3-x2, y3-y2,z3-z2) bilan mos keladi. Keyin L(lx, ly, lz) oldingi argumentlarni takrorlang (4-rasmga qarang). N(nx, ny, nz) uchun keyingi hamma narsa bu qadamning nusxasidir.
