Arifmetik progressiya raqamlar ketma-ketligini nomlash (progressiya shartlari)
Bunda har bir keyingi atama oldingisidan yangi atama bilan farqlanadi, u ham deyiladi qadam yoki progressiya farqi.
Shunday qilib, progressiya bosqichini va uning birinchi muddatini ko'rsatib, formuladan foydalanib, uning istalgan elementini topishingiz mumkin
Arifmetik progressiyaning xossalari
1) arifmetik progressiyaning ikkinchi sonidan boshlab har bir a'zosi progressiyaning oldingi va keyingi a'zolarining o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi.
Qarama-qarshilik ham to'g'ri. Agar progressiyaning qo‘shni toq (juft) hadlarining o‘rtacha arifmetik qiymati ular orasida joylashgan hadga teng bo‘lsa, u holda bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya hisoblanadi. Ushbu bayonotdan foydalanib, har qanday ketma-ketlikni tekshirish juda oson.
Shuningdek, arifmetik progressiya xususiyatiga ko‘ra, yuqoridagi formulani quyidagilarga umumlashtirish mumkin
Agar shartlarni teng belgisining o'ng tomoniga yozsangiz, buni tekshirish oson
Ko'pincha amaliyotda masalalarda hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun ishlatiladi.
2) formula yordamida arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig’indisi hisoblanadi
Arifmetik progressiyaning yig'indisi formulasini yaxshi eslab qoling, u hisob-kitoblarda ajralmas va ko'pincha oddiy hayotiy vaziyatlarda topiladi.
3) Agar siz butun yig'indini emas, balki ketma-ketlikning uning k hadidan boshlab qismini topishingiz kerak bo'lsa, quyidagi yig'indi formulasi sizga foydali bo'ladi.
4) k-sondan boshlab arifmetik progressiyaning n ta hadining yig'indisini topish amaliy qiziqish uyg'otadi. Buning uchun formuladan foydalaning
Bu nazariy materialni yakunlaydi va amaliyotda umumiy muammolarni hal qilishga o'tadi.
1-misol. 4;7;... arifmetik progressiyaning qirqinchi hadini toping.
Yechim:
Bizda mavjud shartga ko'ra
Keling, rivojlanish bosqichini aniqlaylik
Ma'lum formuladan foydalanib, biz progressiyaning qirqinchi hadini topamiz
2-misol. Arifmetik progressiya uchinchi va yettinchi shartlari bilan berilgan. Progressiyaning birinchi hadini va o‘nning yig‘indisini toping.
Yechim:
Progressiyaning berilgan elementlarini formulalar yordamida yozamiz
Ikkinchi tenglamadan birinchisini ayiramiz, natijada progressiya bosqichini topamiz
Arifmetik progressiyaning birinchi hadini topish uchun topilgan qiymatni istalgan tenglamaga almashtiramiz.
Biz progressiyaning birinchi o'nta hadining yig'indisini hisoblaymiz
Murakkab hisob-kitoblardan foydalanmasdan, biz barcha kerakli miqdorlarni topdik.
3-misol. Arifmetik progressiya maxraj va uning hadlaridan biri orqali beriladi. Progressiyaning birinchi hadini, uning 50 dan boshlanadigan 50 ta hadi yig‘indisini va birinchi 100 tasining yig‘indisini toping.
Yechim:
Progressiyaning yuzinchi elementi formulasini yozamiz
va birinchisini toping
Birinchisiga asoslanib, biz progressiyaning 50-sonini topamiz
Progressiya qismining yig`indisini topish
va birinchi 100 ning yig'indisi
Progress miqdori 250 ni tashkil qiladi.
4-misol.
Arifmetik progressiyaning hadlar sonini toping, agar:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Yechim:
Tenglamalarni birinchi had va progressiya qadami bo‘yicha yozamiz va ularni aniqlaymiz
Olingan qiymatlarni yig'indidagi atamalar sonini aniqlash uchun yig'indi formulasiga almashtiramiz
Biz soddalashtirishni amalga oshiramiz
va qaror qiling kvadrat tenglama
Topilgan ikkita qiymatdan faqat 8 raqami muammo shartlariga mos keladi. Shunday qilib, progressiyaning dastlabki sakkizta hadining yig'indisi 111 ga teng.
5-misol.
Tenglamani yeching
1+3+5+...+x=307.
Yechish: Bu tenglama arifmetik progressiya yig‘indisidir. Keling, uning birinchi hadini yozamiz va progressiyaning farqini topamiz
Birinchi daraja
Arifmetik progressiya. Batafsil nazariya misollar bilan (2019)
Raqamlar ketma-ketligi
Shunday qilib, keling, o'tiramiz va bir nechta raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular bor). Qancha son yozmaylik, qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisiga qadar ayta olamiz, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:
Raqamlar ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:
Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli raqam ketma-ketlikning uchinchi hadi deb ataladi.
Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .
Bizning holatda: 
Aytaylik, bizda bor raqamlar ketma-ketligi, unda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'ladi.
Masalan: 
va hokazo.
Bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
"Progressiya" atamasi Rim muallifi Boethius tomonidan VI asrda kiritilgan va kengroq ma'noda cheksiz sonli ketma-ketlik sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar tomonidan o'rganilgan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan ko'chirildi.
Bu raqamlar ketma-ketligi bo'lib, uning har bir a'zosi bir xil raqamga qo'shilgan oldingisiga teng. Bu raqam arifmetik progressiyaning farqi deb ataladi va belgilanadi.
Qaysi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:
a)
b)
c)
d)
Tushundim? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:
Bu arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.
Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning uchinchi hadining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish usuli.
1. Usul
Progressiya raqamini oldingi qiymatga progressiyaning uchinchi qismiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa yo'qligi yaxshi - faqat uchta qiymat:
Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning uchinchi hadi ga teng.
2. Usul
Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Yig'ish bir soatdan ko'proq vaqtni oladi va raqamlarni qo'shishda xato qilmasligimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar arifmetik progressiyaning farqini oldingi qiymatga qo‘shish shart bo‘lmagan usulni o‘ylab topishgan. Chizilgan rasmni diqqat bilan ko'rib chiqing ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:
Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi hadining qiymati nimadan iboratligini ko'rib chiqamiz: 
Boshqa so'zlar bilan aytganda:
Berilgan arifmetik progressiyaning a'zosining qiymatini shu tarzda o'zingiz topishga harakat qiling.
Siz hisoblab chiqdingizmi? Qaydlaringizni javob bilan solishtiring:
Iltimos, e'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya shartlarini ketma-ket qo'shganimizda, oldingi usulda bo'lgani kabi, xuddi shunday raqamni oldingiz.
Keling, "depersonalizatsiya" ga harakat qilaylik bu formula- keling, uni olib kelaylik umumiy shakl va biz olamiz:
|
Arifmetik progressiya tenglamasi. |
Arifmetik progressiyalar ortib yoki kamayishi mumkin.
Ortib bormoqda- atamalarning har bir keyingi qiymati oldingisidan katta bo'lgan progressiyalar.
Masalan:
Pastga- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Masalan:
Olingan formula arifmetik progressiyaning o'suvchi va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda qo'llaniladi.
Buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan: Keling, uni hisoblash uchun formulamizdan foydalansak, bu arifmetik progressiyaning soni qancha bo'lishini tekshirib ko'raylik:
O'shandan beri:
Shunday qilib, formulaning arifmetik progressiyaning ham kamayishi, ham ortishi bilan ishlashiga amin bo'ldik.
Ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi va uchinchi hadlarini o'zingiz topishga harakat qiling.
Keling, natijalarni taqqoslaylik:
Arifmetik progressiya xossasi
Keling, masalani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Oson, siz bilgan formula bo'yicha aytasiz va hisoblashni boshlaysiz:
Keling, ah, keyin:
Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa nima bo'ladi? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formuladan foydalanib, bu muammoni bir bosqichda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz buni hozir chiqarishga harakat qilamiz.
Arifmetik progressiyaning zaruriy atamasini shunday belgilaymizki, uni topish formulasi bizga ma'lum - bu biz boshida olingan formuladir:
, Keyin:
- progressiyaning oldingi muddati:
- progressiyaning keyingi muddati:
Progressiyaning oldingi va keyingi shartlarini umumlashtiramiz:
Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi hadlarining yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya hadining qo‘sh qiymatidir. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya hadining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.
To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni himoya qilaylik. Rivojlanish qiymatini o'zingiz hisoblang, bu unchalik qiyin emas.
Juda qoyil! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" Karl Gauss tomonidan osonlik bilan chiqarilgan yagona formulani topish qoladi ...
Karl Gauss 9 yoshga to'lganda, boshqa sinflardagi o'quvchilarning ishini tekshirish bilan band bo'lgan o'qituvchi sinfda quyidagi muammoni so'radi: "Hammasining yig'indisini hisoblang. natural sonlar dan (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuziv. Bir daqiqadan so'ng uning shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss edi) topshiriqga to'g'ri javob berganida, o'qituvchining hayratda qolganini tasavvur qiling-a, biroq jasur sinfdoshlarining ko'pchiligi uzoq hisob-kitoblardan so'ng noto'g'ri natijaga erishdilar ...
Yosh Karl Gauss siz ham osongina sezishingiz mumkin bo'lgan ma'lum bir naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda --chi hadlardan iborat arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning bu hadlarining yig‘indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, lekin agar vazifa Gauss izlayotgandek, uning shartlari yig'indisini topishni talab qilsa-chi?
Keling, bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarni diqqat bilan ko'rib chiqing va ular bilan turli matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling. 
Siz sinab ko'rdingizmi? Nimani sezdingiz? To'g'ri! Ularning summalari teng
Endi ayting-chi, bizga berilgan progressiyada jami nechta shunday juftlik bor? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita hadining yig‘indisi teng va o‘xshash juftliklar teng ekanligiga asoslanib, umumiy yig‘indi quyidagiga teng ekanligini hosil qilamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi:
Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin progressiyaning farqini bilamiz. Yig'indi formulasiga th hadning formulasini qo'yishga harakat qiling.
Nima oldingiz?
Juda qoyil! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi va th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi nimaga teng ekanligini o'zingiz hisoblang.
Qancha oldingiz?
Gauss hadlar yig'indisi teng, va hadlar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?
Darhaqiqat, arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasini qadimgi yunon olimi Diofant 3-asrda isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan to‘liq foydalanishgan.
Masalan, tasavvur qiling Qadimgi Misr va o'sha davrdagi eng yirik qurilish loyihasi - piramida qurilishi... Rasmda uning bir tomoni ko'rsatilgan. 
Bu yerda taraqqiyot qayerda, deysizmi? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping. 
Nega arifmetik progressiya emas? Agar poydevorga blokli g'isht qo'yilgan bo'lsa, bitta devorni qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, siz barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirganda hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?
IN Ushbu holatda Progressiya quyidagicha ko'rinadi: .
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiyaning hadlar soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (bloklar sonini 2 usulda hisoblang).
1-usul.
2-usul.
Va endi siz monitorda hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Tushundim? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning n-chi hadlari yig‘indisini o‘zlashtirib oldingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin nimadan? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:
Trening
Vazifalar:
- Masha yoz uchun formaga tushmoqda. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Agar Masha birinchi mashg'ulotda chayqalsa, haftada necha marta chayqaladi?
- Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
- Jurnallarni saqlashda loggerlar ularni har bir yuqori qatlamda oldingisidan bittadan kamroq jurnalni o'z ichiga oladigan tarzda to'playdi. Agar toshning poydevori loglar bo'lsa, bitta devorda nechta log bor?
Javoblar:
- Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
(hafta = kunlar).Javob: Ikki hafta ichida Masha kuniga bir marta squats qilish kerak.
- Birinchidan toq raqam, oxirgi raqam.
Arifmetik progressiya farqi.
Toq sonlar soni yarmiga teng, ammo arifmetik progressiyaning uchinchi hadini topish formulasi yordamida bu faktni tekshiramiz:Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
Keling, mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi teng.
- Piramidalar haqidagi muammoni eslaylik. Bizning holatlarimiz uchun a , chunki har bir yuqori qatlam bitta logga qisqartiriladi, keyin jami qatlamlar to'plami mavjud, ya'ni.
Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.
Keling, xulosa qilaylik
- - qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonlar ketma-ketligi. U ortishi yoki kamayishi mumkin.
- Formulani topish Arifmetik progressiyaning uchinchi hadi - formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
- Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu yerda progressiyadagi sonlar soni.
- Arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi ikki usulda topish mumkin:
, bu yerda qiymatlar soni.
ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI
Raqamlar ketma-ketligi
Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin biz har doim qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va boshqalarni aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.
Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son va noyob raqam bilan bog'lanishi mumkin. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.
Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deyiladi.
Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .
Agar ketma-ketlikning uchinchi hadi qandaydir formula bilan aniqlansa, bu juda qulay. Masalan, formula
ketma-ketlikni belgilaydi:
Va formula quyidagi ketma-ketlikdir:
Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng, farq esa). Yoki (, farq).
n-sonli formula
Formulani takroriy deb ataymiz, unda 1-sonni bilish uchun siz oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:
Masalan, ushbu formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak bo'ladi. Masalan, ruxsat bering. Keyin:
Xo'sh, endi formula nima ekanligi aniqmi?
Har bir qatorda biz qo'shamiz, ba'zi bir raqamga ko'paytiramiz. Qaysi biri? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:
Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:
O'zingiz uchun qaror qiling:
Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.
Yechim:
Birinchi atama teng. Farqi nimada? Mana nima:
(Shuning uchun u farq deb ataladi, chunki u progressiyaning ketma-ket hadlari ayirmasiga teng).
Shunday qilib, formula:
U holda yuzinchi had quyidagilarga teng bo'ladi:
dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nechaga teng?
Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi bir xil, oxiridan uchinchi va uchinchi sonlar yig‘indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar jami nechta? To'g'ri, barcha raqamlar sonining yarmi, ya'ni. Shunday qilib,
Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:
Misol:
Barcha ikki xonali koʻpaytmalar yigʻindisini toping.
Yechim:
Birinchi bunday raqam bu. Har bir keyingi raqam oldingi raqamga qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va ayirma bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.
Ushbu progressiyaning 3-sonining formulasi:
Agar ularning hammasi ikki xonali bo‘lishi kerak bo‘lsa, progressiyada nechta had bor?
Juda oson: .
Progressiyaning oxirgi muddati teng bo'ladi. Keyin summa:
Javob: .
Endi o'zingiz qaror qiling:
- Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda ko'proq metr yuguradi. Agar birinchi kuni km m yugurgan bo'lsa, u haftada jami necha kilometr yuguradi?
- Velosipedchi har kuni oldingi kunga qaraganda ko'proq kilometr masofani bosib o'tadi. Birinchi kuni u km yo'l bosib o'tdi. Bir kilometrni bosib o'tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatining oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
- Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda pasayadi. Agar sotuvga rublga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan so'ng u rublga sotilgan bo'lsa, muzlatgich narxi har yili qanchaga tushganini aniqlang.
Javoblar:
- Bu erda eng muhim narsa arifmetik progressiyani tanib olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kun). Ushbu progressiyaning birinchi shartlari yig'indisini aniqlashingiz kerak:
.
Javob: - Bu erda berilgan: , topilishi kerak.
Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
.
Qiymatlarni almashtiring:Ildiz aniq mos kelmaydi, shuning uchun javob.
Oxirgi kun davomida bosib o‘tgan yo‘lni 1-son formulasi yordamida hisoblaymiz:
(km).
Javob: - Berilgan: . Toping: .
Bu oddiyroq bo'lishi mumkin emas:
(rub).
Javob:
ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA
Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi.
Arifmetik progressiya ortishi () va kamayishi () bo'lishi mumkin.
Masalan:
Arifmetik progressiyaning n-chi hadini topish formulasi
formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi
Bu progressiyaning qo‘shni shartlari ma’lum bo‘lsa, uning hadini osongina topish imkonini beradi – progressiyadagi sonlar soni qayerda.
Arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi
Miqdorni topishning ikki yo'li mavjud:
Qaerda qiymatlar soni.
Qaerda qiymatlar soni.
Ko'rsatmalar
Arifmetik progressiya a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ko‘rinishdagi ketma-ketlikdir. d raqami qadam taraqqiyot.Ko’rinib turibdiki, arifmetikaning ixtiyoriy n-chi hadining umumiyi. taraqqiyot shaklga ega: An = A1+(n-1)d. Keyin a'zolardan birini bilish taraqqiyot, a'zo taraqqiyot va qadam taraqqiyot, mumkin, ya'ni progress a'zosining raqami. Shubhasiz, u n = (An-A1+d)/d formulasi bilan aniqlanadi.
Keling, m-soni ma'lum bo'lsin taraqqiyot va boshqa a'zo taraqqiyot- n-chi, lekin n , oldingi holatda bo'lgani kabi, lekin n va m bir-biriga mos kelmasligi ma'lum taraqqiyot formula yordamida hisoblash mumkin: d = (An-Am)/(n-m). Keyin n = (An-Am+md)/d.
Agar arifmetik tenglamaning bir nechta elementlari yig'indisi ma'lum bo'lsa taraqqiyot, shuningdek, uning birinchi va oxirgi, keyin bu elementlarning soni ham arifmetik yig'indisi aniqlanishi mumkin taraqqiyot teng bo'ladi: S = ((A1+An)/2)n. Keyin n = 2S/(A1+An) - chdenov taraqqiyot. An = A1+(n-1)d ekanligidan foydalanib, bu formulani quyidagicha qayta yozish mumkin: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Bundan kvadrat tenglamani yechish orqali n ni ifodalashimiz mumkin.
Arifmetik ketma-ketlik - bu tartiblangan raqamlar to'plami bo'lib, ularning har bir a'zosi, birinchisidan tashqari, oldingisidan bir xil miqdorda farq qiladi. Bu doimiy qiymat progressiya yoki uning qadamining farqi deb ataladi va arifmetik progressiyaning ma'lum shartlaridan hisoblanishi mumkin.
Ko'rsatmalar
Agar birinchi va ikkinchi yoki boshqa qo'shni shartlarning qiymatlari muammo shartlaridan ma'lum bo'lsa, farqni hisoblash uchun (d) keyingi haddan oldingisini ayirish kifoya. Olingan qiymat ijobiy yoki salbiy raqam bo'lishi mumkin - bu progressiyaning ortib borayotganiga bog'liq. Umumiy shaklda progressiyaning qo‘shni hadlarining ixtiyoriy juftligi (aᵢ va aᵢ₊₁) uchun yechimni quyidagicha yozing: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Biri birinchi (a₁), ikkinchisi esa har qanday boshqa ixtiyoriy tanlangan bo'lgan bunday progressiyaning juft shartlari uchun ayirma (d) ni topish formulasini yaratish ham mumkin. Biroq, bu holda, ketma-ketlikning o'zboshimchalik bilan tanlangan a'zosining seriya raqami (i) ma'lum bo'lishi kerak. Farqni hisoblash uchun ikkala raqamni qo'shing va olingan natijani bittaga qisqartirilgan ixtiyoriy atamaning tartib raqamiga bo'ling. Umuman olganda, bu formulani quyidagicha yozing: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Agar tartib raqami i boʻlgan arifmetik progressiyaning ixtiyoriy aʼzosidan tashqari, tartib raqami u boʻlgan boshqa aʼzosi maʼlum boʻlsa, avvalgi bosqichdagi formulani shunga mos ravishda oʻzgartiring. Bunday holda, progressiyaning farqi (d) bu ikki hadning yig'indisi ularning tartib raqamlari farqiga bo'linadi: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Farqni (d) hisoblash formulasi, agar masala shartlari uning birinchi hadi (a₁) va arifmetik ketma-ketlikning birinchi hadlari berilgan sonning (i) yig‘indisini (Sᵢ) bersa, biroz murakkablashadi. Kerakli qiymatni olish uchun yig'indini uni tashkil etuvchi shartlar soniga bo'ling, ketma-ketlikdagi birinchi raqamning qiymatini ayiring va natijani ikki barobarga oshiring. Olingan qiymatni bittaga kamaytirilgan yig'indini tashkil etuvchi shartlar soniga bo'ling. Umuman olganda, diskriminantni hisoblash formulasini quyidagicha yozing: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
Ko'p odamlar arifmetik progressiya haqida eshitgan, ammo hamma ham bu nima ekanligini yaxshi tasavvur qila olmaydi. Ushbu maqolada biz tegishli ta'rifni beramiz, shuningdek, arifmetik progressiyaning farqini qanday topish masalasini ko'rib chiqamiz va bir qator misollar keltiramiz.
Matematik ta'rif
Shunday qilib, agar haqida gapiramiz arifmetik yoki algebraik progressiya haqida (bu tushunchalar bir xil narsani belgilaydi), bu quyidagi qonunni qondiradigan ma'lum bir sonli qator mavjudligini bildiradi: qatordagi har ikki qo'shni son bir xil qiymat bilan farqlanadi. Matematik jihatdan u quyidagicha yozilgan:
Bu yerda n ketma-ketlikdagi a n element sonini, d soni esa progressiyaning farqini bildiradi (uning nomi taqdim etilgan formuladan kelib chiqadi).
d farqini bilish nimani anglatadi? Qo'shni raqamlar bir-biridan qanchalik "uzoq" ekanligi haqida. Biroq, d ni bilish butun progressiyani aniqlash (tiklash) uchun zarur, ammo etarli shart emas. Ko'rib chiqilayotgan qatorning mutlaqo istalgan elementi bo'lishi mumkin bo'lgan yana bitta raqamni bilish kerak, masalan, 4, a10, lekin, qoida tariqasida, ular birinchi raqamdan, ya'ni 1 dan foydalanadilar.
Progressiya elementlarini aniqlash formulalari
Umuman olganda, yuqoridagi ma'lumotlar muayyan muammolarni hal qilishga o'tish uchun etarli. Shunga qaramay, arifmetik progressiya berilgunga qadar va uning farqini topish kerak bo'ladi, biz bir nechta foydali formulalarni keltiramiz va shu bilan muammolarni hal qilishning keyingi jarayonini osonlashtiramiz.
n sonli ketma-ketlikning istalgan elementini quyidagicha topish mumkinligini ko'rsatish oson:
a n = a 1 + (n - 1) * d
Haqiqatan ham, har bir kishi ushbu formulani oddiy qidiruv orqali tekshirishi mumkin: agar siz n = 1 ni almashtirsangiz, birinchi elementni olasiz, agar siz n = 2 ni almashtirsangiz, u holda ifoda birinchi raqam va farqning yig'indisini beradi va hokazo.
Ko'pgina masalalarning shartlari shunday tuzilganki, raqamlari ham ketma-ketlikda berilgan ma'lum juft sonlar berilgan bo'lsa, butun sonlar qatorini qayta qurish kerak (farq va birinchi elementni toping). Endi biz bu muammoni umumiy shaklda hal qilamiz.
Demak, n va m sonli ikkita element berilsin. Yuqoridagi formuladan foydalanib, siz ikkita tenglama tizimini yaratishingiz mumkin:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Noma'lum miqdorlarni topish uchun biz bunday tizimni echishning taniqli oddiy usulidan foydalanamiz: chap va o'ng tomonlarni juftlik bilan ayirish, tenglik o'z kuchida qoladi. Bizda ... bor:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Shunday qilib, biz bitta noma'lumni (a 1) chiqarib tashladik. Endi d ni aniqlash uchun yakuniy ifodani yozishimiz mumkin:
d = (a n - a m) / (n - m), bu erda n > m
Juda oldik oddiy formula: muammoning shartlariga muvofiq d farqini hisoblash uchun siz faqat elementlarning o'zlari va ularning seriya raqamlari o'rtasidagi farqlarning nisbatini olishingiz kerak. Biriga e'tibor berish kerak muhim nuqta e'tibor: farqlar "eng yuqori" va "eng past" a'zolar o'rtasida olinadi, ya'ni n > m ("eng yuqori" ketma-ketlikning boshidan uzoqroqda joylashganini anglatadi, uning mutlaq qiymati undan katta yoki kichik bo'lishi mumkin. "kenja" element).
Birinchi hadning qiymatini olish uchun muammoni yechish boshida d progressiya farqi ifodasi har qanday tenglamaga almashtirilishi kerak.
Kompyuter texnologiyalari rivojlangan asrimizda ko'plab maktab o'quvchilari Internetda o'z topshiriqlari uchun echimlarni topishga harakat qilishadi, shuning uchun ko'pincha bunday turdagi savollar tug'iladi: arifmetik progressiyaning farqini onlayn tarzda toping. Bunday so'rov uchun qidiruv tizimi bir qator veb-sahifalarni qaytaradi, ularga o'tish orqali siz shartdan ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni kiritishingiz kerak bo'ladi (bu progressiyaning ikkita sharti yoki ularning ma'lum sonining yig'indisi bo'lishi mumkin. ) va darhol javob oling. Biroq, muammoni hal qilishning bunday yondashuvi talabaning rivojlanishi va unga yuklangan vazifaning mohiyatini tushunish nuqtai nazaridan samarasizdir.
Formulalardan foydalanmasdan yechim
Keling, berilgan formulalardan birortasini ishlatmasdan birinchi masalani yechaylik. Seriya elementlari berilgan bo‘lsin: a6 = 3, a9 = 18. Arifmetik progressiyaning ayirmasini toping.
Ma'lum elementlar bir qatorda bir-biriga yaqin turadi. Eng kattasini olish uchun d farqini eng kichigiga necha marta qo'shish kerak? Uch marta (birinchi marta d ni qo'shsak, biz 7-elementni olamiz, ikkinchi marta - sakkizinchi, nihoyat, uchinchi marta - to'qqizinchi). 18 ni olish uchun qaysi sonni uch marta uch marta qo'shish kerak? Bu beshinchi raqam. Haqiqatan ham:
Shunday qilib, noma'lum farq d = 5.
Albatta, yechim tegishli formula yordamida amalga oshirilishi mumkin edi, lekin bu ataylab qilinmagan. Muammoning yechimini batafsil tushuntirish arifmetik progressiya nima ekanligini aniq va aniq misolga aylantirishi kerak.
Oldingi vazifaga o'xshash vazifa
Keling, shunga o'xshash muammoni hal qilaylik, lekin kirish ma'lumotlarini o'zgartiramiz. Shunday qilib, a3 = 2, a9 = 19 ekanligini topishingiz kerak.
Albatta, siz yana "boshqa" yechim usuliga murojaat qilishingiz mumkin. Ammo bir-biridan nisbatan uzoqroq bo'lgan ketma-ketlik elementlari berilganligi sababli, bu usul mutlaqo qulay bo'lmaydi. Ammo olingan formuladan foydalanish bizni tezda javobga olib keladi:
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17/6 ≈ 2,83
Bu erda biz yakuniy raqamni yaxlitladik. Ushbu yaxlitlash qanchalik xatoga olib kelganligini natijani tekshirish orqali aniqlash mumkin:
a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98
Bu natija shartda berilgan qiymatdan atigi 0,1% farq qiladi. Shuning uchun, eng yaqin yuzdan birgacha ishlatiladigan yaxlitlashni muvaffaqiyatli tanlov deb hisoblash mumkin.
Atama uchun formulani qo'llash bilan bog'liq muammolar
Noma’lum d ni aniqlash uchun masalaning klassik misolini ko‘rib chiqamiz: a1 = 12, a5 = 40 bo‘lsa, arifmetik progressiyaning ayirmasini toping.
Noma'lum algebraik ketma-ketlikning ikkita raqami berilganda va ulardan biri element a 1 bo'lsa, unda siz uzoq o'ylamasligingiz kerak, lekin darhol a n had uchun formulani qo'llashingiz kerak. Bunday holda bizda:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Biz bo'lishda aniq raqamni oldik, shuning uchun oldingi xatboshida bo'lgani kabi, hisoblangan natijaning to'g'riligini tekshirishning ma'nosi yo'q.
Keling, yana bir shunga o'xshash masalani hal qilaylik: a1 = 16, a8 = 37 bo'lsa, arifmetik progressiyaning farqini topishimiz kerak.
Biz avvalgisiga o'xshash yondashuvdan foydalanamiz va quyidagilarni olamiz:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Arifmetik progressiya haqida yana nimani bilishingiz kerak?
Noma'lum ayirma yoki alohida elementlarni topish masalalaridan tashqari, ko'pincha ketma-ketlikning birinchi hadlari yig'indisiga doir masalalarni yechish kerak bo'ladi. Ushbu muammolarni ko'rib chiqish maqola doirasidan tashqarida, ammo ma'lumotlarning to'liqligi uchun biz ketma-ket n sonlar yig'indisi uchun umumiy formulani taqdim etamiz:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
Birinchi daraja
Arifmetik progressiya. Misollar bilan batafsil nazariya (2019)
Raqamlar ketma-ketligi
Shunday qilib, keling, o'tiramiz va bir nechta raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular bor). Qancha son yozmaylik, qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisiga qadar ayta olamiz, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:
Raqamlar ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:
Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli raqam ketma-ketlikning uchinchi hadi deb ataladi.
Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .
Bizning holatda:
Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi mavjud.
Masalan:
va hokazo.
Bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
"Progressiya" atamasi Rim muallifi Boethius tomonidan VI asrda kiritilgan va kengroq ma'noda cheksiz sonli ketma-ketlik sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar tomonidan o'rganilgan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan ko'chirildi.
Bu raqamlar ketma-ketligi bo'lib, uning har bir a'zosi bir xil raqamga qo'shilgan oldingisiga teng. Bu raqam arifmetik progressiyaning farqi deb ataladi va belgilanadi.
Qaysi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:
a)
b)
c)
d)
Tushundim? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:
Bu arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.
Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning uchinchi hadining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish usuli.
1. Usul
Progressiya raqamini oldingi qiymatga progressiyaning uchinchi qismiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa yo'qligi yaxshi - faqat uchta qiymat:
Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning uchinchi hadi ga teng.
2. Usul
Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Yig'ish bir soatdan ko'proq vaqtni oladi va raqamlarni qo'shishda xato qilmasligimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar arifmetik progressiyaning farqini oldingi qiymatga qo‘shish shart bo‘lmagan usulni o‘ylab topishgan. Chizilgan rasmni diqqat bilan ko'rib chiqing ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:
Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi hadining qiymati nimadan iboratligini ko'rib chiqamiz:
Boshqa so'zlar bilan aytganda:
Berilgan arifmetik progressiyaning a'zosining qiymatini shu tarzda o'zingiz topishga harakat qiling.
Siz hisoblab chiqdingizmi? Qaydlaringizni javob bilan solishtiring:
Iltimos, e'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya shartlarini ketma-ket qo'shganimizda, oldingi usulda bo'lgani kabi, xuddi shunday raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - keling, uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:
|
Arifmetik progressiya tenglamasi. |
Arifmetik progressiyalar ortib yoki kamayishi mumkin.
Ortib bormoqda- atamalarning har bir keyingi qiymati oldingisidan katta bo'lgan progressiyalar.
Masalan:
Pastga- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Masalan:
Olingan formula arifmetik progressiyaning o'suvchi va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda qo'llaniladi.
Buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan: Keling, uni hisoblash uchun formulamizdan foydalansak, bu arifmetik progressiyaning soni qancha bo'lishini tekshirib ko'raylik:
O'shandan beri:
Shunday qilib, formulaning arifmetik progressiyaning ham kamayishi, ham ortishi bilan ishlashiga amin bo'ldik.
Ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi va uchinchi hadlarini o'zingiz topishga harakat qiling.
Keling, natijalarni taqqoslaylik:
Arifmetik progressiya xossasi
Keling, masalani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Oson, siz bilgan formula bo'yicha aytasiz va hisoblashni boshlaysiz:
Keling, ah, keyin:
Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa nima bo'ladi? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formuladan foydalanib, bu muammoni bir bosqichda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz buni hozir chiqarishga harakat qilamiz.
Arifmetik progressiyaning zaruriy atamasini shunday belgilaymizki, uni topish formulasi bizga ma'lum - bu biz boshida olingan formuladir:
, Keyin:
- progressiyaning oldingi muddati:
- progressiyaning keyingi muddati:
Progressiyaning oldingi va keyingi shartlarini umumlashtiramiz:
Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi hadlarining yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya hadining qo‘sh qiymatidir. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya hadining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.
To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni himoya qilaylik. Rivojlanish qiymatini o'zingiz hisoblang, bu unchalik qiyin emas.
Juda qoyil! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" Karl Gauss tomonidan osonlik bilan chiqarilgan yagona formulani topish qoladi ...
Karl Gauss 9 yoshga to'lganida, boshqa sinflardagi o'quvchilarning ishini tekshirish bilan band bo'lgan o'qituvchi sinfda quyidagi vazifani berdi: "Barcha natural sonlar yig'indisini (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuzivgacha hisoblang". Bir daqiqadan so'ng uning shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss edi) topshiriqga to'g'ri javob berganida, o'qituvchining hayratda qolganini tasavvur qiling-a, biroq jasur sinfdoshlarining ko'pchiligi uzoq hisob-kitoblardan so'ng noto'g'ri natijaga erishdilar ...
Yosh Karl Gauss siz ham osongina sezishingiz mumkin bo'lgan ma'lum bir naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda --chi hadlardan iborat arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning bu hadlarining yig‘indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, lekin agar vazifa Gauss izlayotgandek, uning shartlari yig'indisini topishni talab qilsa-chi?
Keling, bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarni diqqat bilan ko'rib chiqing va ular bilan turli matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling.
Siz sinab ko'rdingizmi? Nimani sezdingiz? To'g'ri! Ularning summalari teng
Endi ayting-chi, bizga berilgan progressiyada jami nechta shunday juftlik bor? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita hadining yig‘indisi teng va o‘xshash juftliklar teng ekanligiga asoslanib, umumiy yig‘indi quyidagiga teng ekanligini hosil qilamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi:
Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin progressiyaning farqini bilamiz. Yig'indi formulasiga th hadning formulasini qo'yishga harakat qiling.
Nima oldingiz?
Juda qoyil! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi va th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi nimaga teng ekanligini o'zingiz hisoblang.
Qancha oldingiz?
Gauss hadlar yig'indisi teng, va hadlar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?
Darhaqiqat, arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasini qadimgi yunon olimi Diofant 3-asrda isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan to‘liq foydalanishgan.
Masalan, Qadimgi Misr va o‘sha davrdagi eng yirik qurilish loyihasi – piramida qurilishini tasavvur qiling... Rasmda uning bir tomoni ko‘rsatilgan.
Bu yerda taraqqiyot qayerda, deysizmi? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping.
Nega arifmetik progressiya emas? Agar poydevorga blokli g'isht qo'yilgan bo'lsa, bitta devorni qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, siz barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirganda hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?
Bu holda progressiya quyidagicha ko'rinadi: .
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiyaning hadlar soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (bloklar sonini 2 usulda hisoblang).
1-usul.
2-usul.
Va endi siz monitorda hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Tushundim? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning n-chi hadlari yig‘indisini o‘zlashtirib oldingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin nimadan? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:
Trening
Vazifalar:
- Masha yoz uchun formaga tushmoqda. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Agar Masha birinchi mashg'ulotda chayqalsa, haftada necha marta chayqaladi?
- Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
- Jurnallarni saqlashda loggerlar ularni har bir yuqori qatlamda oldingisidan bittadan kamroq jurnalni o'z ichiga oladigan tarzda to'playdi. Agar toshning poydevori loglar bo'lsa, bitta devorda nechta log bor?
Javoblar:
- Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
(hafta = kunlar).Javob: Ikki hafta ichida Masha kuniga bir marta squats qilish kerak.
- Birinchi toq raqam, oxirgi raqam.
Arifmetik progressiya farqi.
Toq sonlar soni yarmiga teng, ammo arifmetik progressiyaning uchinchi hadini topish formulasi yordamida bu faktni tekshiramiz:Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
Keling, mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi teng.
- Piramidalar haqidagi muammoni eslaylik. Bizning holatlarimiz uchun a , chunki har bir yuqori qatlam bitta logga qisqartiriladi, keyin jami qatlamlar to'plami mavjud, ya'ni.
Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.
Keling, xulosa qilaylik
- - qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonlar ketma-ketligi. U ortishi yoki kamayishi mumkin.
- Formulani topish Arifmetik progressiyaning uchinchi hadi - formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
- Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu yerda progressiyadagi sonlar soni.
- Arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi ikki usulda topish mumkin:
, bu yerda qiymatlar soni.
ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI
Raqamlar ketma-ketligi
Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin biz har doim qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va boshqalarni aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.
Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son va noyob raqam bilan bog'lanishi mumkin. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.
Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deyiladi.
Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .
Agar ketma-ketlikning uchinchi hadi qandaydir formula bilan aniqlansa, bu juda qulay. Masalan, formula
ketma-ketlikni belgilaydi:
Va formula quyidagi ketma-ketlikdir:
Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng, farq esa). Yoki (, farq).
n-sonli formula
Formulani takroriy deb ataymiz, unda 1-sonni bilish uchun siz oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:
Masalan, ushbu formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak bo'ladi. Masalan, ruxsat bering. Keyin:
Xo'sh, endi formula nima ekanligi aniqmi?
Har bir qatorda biz qo'shamiz, ba'zi bir raqamga ko'paytiramiz. Qaysi biri? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:
Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:
O'zingiz uchun qaror qiling:
Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.
Yechim:
Birinchi atama teng. Farqi nimada? Mana nima:
(Shuning uchun u farq deb ataladi, chunki u progressiyaning ketma-ket hadlari ayirmasiga teng).
Shunday qilib, formula:
U holda yuzinchi had quyidagilarga teng bo'ladi:
dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nechaga teng?
Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi bir xil, oxiridan uchinchi va uchinchi sonlar yig‘indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar jami nechta? To'g'ri, barcha raqamlar sonining yarmi, ya'ni. Shunday qilib,
Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:
Misol:
Barcha ikki xonali koʻpaytmalar yigʻindisini toping.
Yechim:
Birinchi bunday raqam bu. Har bir keyingi raqam oldingi raqamga qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va ayirma bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.
Ushbu progressiyaning 3-sonining formulasi:
Agar ularning hammasi ikki xonali bo‘lishi kerak bo‘lsa, progressiyada nechta had bor?
Juda oson: .
Progressiyaning oxirgi muddati teng bo'ladi. Keyin summa:
Javob: .
Endi o'zingiz qaror qiling:
- Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda ko'proq metr yuguradi. Agar birinchi kuni km m yugurgan bo'lsa, u haftada jami necha kilometr yuguradi?
- Velosipedchi har kuni oldingi kunga qaraganda ko'proq kilometr masofani bosib o'tadi. Birinchi kuni u km yo'l bosib o'tdi. Bir kilometrni bosib o'tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatining oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
- Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda pasayadi. Agar sotuvga rublga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan so'ng u rublga sotilgan bo'lsa, muzlatgich narxi har yili qanchaga tushganini aniqlang.
Javoblar:
- Bu erda eng muhim narsa arifmetik progressiyani tanib olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kun). Ushbu progressiyaning birinchi shartlari yig'indisini aniqlashingiz kerak:
.
Javob: - Bu erda berilgan: , topilishi kerak.
Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
.
Qiymatlarni almashtiring:Ildiz aniq mos kelmaydi, shuning uchun javob.
Oxirgi kun davomida bosib o‘tgan yo‘lni 1-son formulasi yordamida hisoblaymiz:
(km).
Javob: - Berilgan: . Toping: .
Bu oddiyroq bo'lishi mumkin emas:
(rub).
Javob:
ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA
Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi.
Arifmetik progressiya ortishi () va kamayishi () bo'lishi mumkin.
Masalan:
Arifmetik progressiyaning n-chi hadini topish formulasi
formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi
Bu progressiyaning qo‘shni shartlari ma’lum bo‘lsa, uning hadini osongina topish imkonini beradi – progressiyadagi sonlar soni qayerda.
Arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi
Miqdorni topishning ikki yo'li mavjud:
Qaerda qiymatlar soni.
Qaerda qiymatlar soni.
