O'rta chiziqli trapezoid belgilari. Trapetsiyaning diagonallari

Dars maqsadlari:

1) o'quvchilarni trapetsiyaning o'rta chizig'i tushunchasi bilan tanishtirish, uning xususiyatlarini ko'rib chiqish va ularni isbotlash;

2) trapetsiyaning o'rta chizig'ini qurishni o'rgatish;

3) o‘quvchilarda trapetsiyaning o‘rta chizig‘i ta’rifi va trapetsiya o‘rta chizig‘ining xossalaridan masalalar yechishda foydalanish ko‘nikmasini shakllantirish;

4) zarur matematik atamalardan foydalangan holda o‘quvchilarning malakali so‘zlash qobiliyatini rivojlantirishni davom ettirish; o'z nuqtai nazaringizni isbotlash;

5) rivojlantirish mantiqiy fikrlash, xotira, diqqat.

Darslar davomida

1. Dars davomida uy vazifasi tekshiriladi. Uy vazifasi og'zaki edi, esda tuting:

a) trapetsiyaning ta'rifi; trapezoidlarning turlari;

b) uchburchakning o'rta chizig'ini aniqlash;

v) uchburchakning o'rta chizig'ining xossasi;

d) uchburchakning o'rta chizig'ining belgisi.

2. Yangi materialni o'rganish.

a) Doskada ABCD trapesiya ko'rsatilgan.

b) O'qituvchi trapetsiya ta'rifini eslab qolishingizni so'raydi. Har bir stolda "Trapezoid" mavzusidagi asosiy tushunchalarni eslab qolishga yordam beradigan maslahat diagrammasi mavjud (1-ilovaga qarang). Har bir stolga 1-ilova beriladi.

Talabalar daftarlariga ABCD trapetsiyasini chizadilar.

v) O'qituvchi qaysi mavzuda o'rta chiziq tushunchasi uchraganligini eslab qolishingizni so'raydi ("Uchburchakning o'rta chizig'i"). Talabalar uchburchakning o'rta chizig'ining ta'rifini va uning xususiyatlarini esga oladilar.

e) daftarga chizib, trapetsiyaning o'rta chizig'ining ta'rifini yozing.

O'rta chiziq Trapezoid - bu uning yon tomonlarini o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment.

Trapetsiyaning o'rta chizig'ining xossasi bu bosqichda isbotlanmagan bo'lib qoladi, shuning uchun darsning keyingi bosqichi trapetsiya o'rta chizig'ining xossasini isbotlash ustida ishlashni o'z ichiga oladi.

Teorema. Trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslariga parallel va ularning yarim yig'indisiga teng.

Berilgan: ABCD - trapezoid,

MN - o'rta chiziq A B C D

isbotlash, Nima:

1. Miloddan avvalgi || MN || A.D.

2. MN = (AD + BC).

Teorema shartlaridan kelib chiqadigan ba'zi xulosalarni yozishimiz mumkin:

AM = MB, CN = ND, BC || A.D.

Faqat sanab o'tilgan xususiyatlar asosida nima talab qilinishini isbotlash mumkin emas. Savollar va mashqlar tizimi o'quvchilarni trapetsiyaning o'rta chizig'ini qaysidir uchburchakning o'rta chizig'i bilan bog'lash istagiga olib kelishi kerak, ularning xususiyatlarini allaqachon bilgan. Agar takliflar bo'lmasa, siz savol berishingiz mumkin: MN segmenti o'rta chiziq bo'ladigan uchburchakni qanday qurish kerak?

Keling, holatlardan biri uchun qo'shimcha qurilishni yozamiz.

AD tomonining davomini K nuqtada kesib o'tuvchi BN to'g'ri chiziq chizamiz.

Qo'shimcha elementlar paydo bo'ladi - uchburchaklar: ABD, BNM, DNK, BCN. Agar biz BN = NK ekanligini isbotlasak, bu MN ning ABD ning o'rta chizig'i ekanligini bildiradi va u holda biz uchburchakning o'rta chizig'i xususiyatidan foydalanib, kerakli narsani isbotlashimiz mumkin.

Isbot:

1. BNC va DNKni ko'rib chiqing, ular quyidagilarni o'z ichiga oladi:

a) CNB =DNK (vertikal burchaklar xossasi);

b) BCN = NDK (ichki kesishgan burchaklar xossasi);

c) CN = ND (teorema shartlariga muvofiq).

Bu BNC =DNK (yon va ikkita qo'shni burchakda) degan ma'noni anglatadi.

Q.E.D.

Tasdiqlash sinfda og'zaki amalga oshirilishi mumkin va uni qayta qurish va uyda daftarga yozish mumkin (o'qituvchining ixtiyoriga ko'ra).

Ushbu teoremani isbotlashning boshqa mumkin bo'lgan usullari haqida gapirish kerak:

1. Trapetsiyaning diagonallaridan birini chizing va uchburchakning o‘rta chizig‘ining belgisi va xususiyatidan foydalaning.

2. CF ||ni bajaring BA va ABCF va DCF parallelogrammasini ko'rib chiqing.

3. EF || bajaring BA va FND va ENC tengligini ko'rib chiqing.

g) Bu bosqichda u ko'rsatilgan Uy vazifasi: 84-band, darslik nashri. Atanasyan L.S. (trapetsiya oʻrta chizigʻining xossasini vektor usuli yordamida isbotlash), uni daftaringizga yozing.

h) Biz tayyor chizmalar yordamida trapetsiyaning o'rta chizig'ining ta'rifi va xususiyatlaridan foydalangan holda masalalarni hal qilamiz (2-ilovaga qarang). 2-ilova har bir talabaga beriladi va masalalar yechimi xuddi shu varaqda qisqa shaklda yoziladi.

Ushbu maqolada biz trapezoidning xususiyatlarini iloji boricha to'liq aks ettirishga harakat qilamiz. Xususan, trapetsiyaning umumiy xususiyatlari va xossalari, shuningdek, trapetsiya ichiga chizilgan trapetsiya va aylana xususiyatlari haqida gapiramiz. Shuningdek, biz teng yon tomonlarning xususiyatlariga to'xtalamiz va to'rtburchak trapezoid.

Muhokama qilingan xususiyatlardan foydalangan holda muammoni hal qilish misoli uni boshingizdagi joylarga ajratishga va materialni yaxshiroq eslab qolishga yordam beradi.

Trapesiya va hamma narsa

Boshlash uchun, keling, trapezoid nima ekanligini va u bilan qanday boshqa tushunchalar bog'liqligini qisqacha eslaylik.

Demak, trapezoid to'rtburchak figura bo'lib, uning ikki tomoni bir-biriga parallel (bu asoslar). Va ikkalasi parallel emas - bu tomonlar.

Trapezoidda balandlikni tushirish mumkin - poydevorlarga perpendikulyar. Markaziy chiziq va diagonallar chizilgan. Trapetsiyaning istalgan burchagidan bissektrisa chizish ham mumkin.

Haqida har xil xususiyatlar, bu barcha elementlar va ularning kombinatsiyalari bilan bog'liq, biz hozir gaplashamiz.

Trapetsiya diagonallarining xossalari

Aniqroq bo'lishi uchun, siz o'qiyotganingizda, qog'oz varag'iga ACME trapetsiyasining eskizini chizib oling va unda diagonallarni chizing.

Agar siz diagonallarning har birining o'rta nuqtalarini topsangiz (bu nuqtalarni X va T deb ataymiz) va ularni birlashtirsangiz, siz segmentga ega bo'lasiz. Trapetsiya diagonallarining xossalaridan biri shundaki, HT segmenti o'rta chiziqda yotadi. Va uning uzunligini asoslar farqini ikkiga bo'lish orqali olish mumkin: HT = (a – b)/2.
Bizning oldimizda bir xil trapezoid ACME. Diagonallar O nuqtada kesishadi. Keling, diagonallarning segmentlari bilan birga trapetsiya asoslari bilan tuzilgan AOE va MOK uchburchaklarini ko'rib chiqaylik. Bu uchburchaklar o'xshash. Uchburchaklarning o'xshashlik koeffitsienti k trapetsiya asoslarining nisbati orqali ifodalanadi: k = AE/KM.
AOE va MOK uchburchaklar maydonlarining nisbati k 2 koeffitsienti bilan tavsiflanadi.
Xuddi shu trapetsiya, bir xil diagonallar O nuqtada kesishadi. Faqat bu safar biz diagonallarning segmentlari trapetsiya tomonlari bilan birga hosil bo'lgan uchburchaklarni ko'rib chiqamiz. AKO va EMO uchburchaklarining maydonlari o'lchamlari bo'yicha teng - ularning maydonlari bir xil.
Trapezoidning yana bir xususiyati diagonallarni qurishni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, agar siz AK va ME tomonlarini kichikroq asos yo'nalishi bo'yicha davom ettirsangiz, ertami-kechmi ular ma'lum bir nuqtada kesishadi. Keyinchalik, trapezoidning asoslari o'rtasidan to'g'ri chiziq torting. U asoslarni X va T nuqtalarda kesib o'tadi.
Agar biz XT chizig'ini endi cho'zsak, u holda O trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasini, X va T asoslarning yon tomonlari va o'rtalarining kengaytmalari kesishgan nuqtani birlashtiradi.
Diagonallarning kesishish nuqtasi orqali biz trapetsiya asoslarini bog'laydigan segmentni chizamiz (T kichikroq KM asosida, X kattaroq AEda yotadi). Diagonallarning kesishish nuqtasi ushbu segmentni quyidagi nisbatda ajratadi: TO/OX = KM/AE.
Endi diagonallarning kesishish nuqtasi orqali trapetsiya (a va b) asoslariga parallel segment chizamiz. Kesishish nuqtasi uni ikkita teng qismga ajratadi. Formuladan foydalanib, segment uzunligini topishingiz mumkin 2ab/(a + b).

Trapetsiyaning o'rta chizig'ining xossalari

Trapetsiyadagi o'rta chiziqni uning asoslariga parallel ravishda chizing.

Trapezoidning o'rta chizig'ining uzunligini asoslar uzunligini qo'shib, ularni yarmiga bo'lish orqali hisoblash mumkin: m = (a + b)/2.
Agar siz trapetsiyaning ikkala asosi orqali biron bir segmentni (masalan, balandlikni) o'tkazsangiz, o'rta chiziq uni ikkita teng qismga ajratadi.

Trapetsiya bissektrisa xossasi

Trapetsiyaning istalgan burchagini tanlang va bissektrisa chizing. Masalan, ACME trapesiyamizning KAE burchagini olaylik. Qurilishni o'zingiz tugatgandan so'ng, bissektrisa taglikdan (yoki rasmning o'zidan tashqaridagi to'g'ri chiziqda davom etishi) yon tomondan bir xil uzunlikdagi segmentni kesib tashlashini osongina tekshirishingiz mumkin.

Trapetsiya burchaklarining xossalari

Yon tomonga ulashgan ikki juft burchakdan qaysi birini tanlasangiz, juftlikdagi burchaklar yig‘indisi har doim 180 0 ga teng: a + b = 180 0 va g + d = 180 0.
Trapetsiya asoslarining o'rta nuqtalarini TX segmenti bilan bog'laymiz. Endi trapetsiya asoslaridagi burchaklarni ko'rib chiqamiz. Agar ularning birortasi uchun burchaklar yig'indisi 90 0 ga teng bo'lsa, TX segmentining uzunligini ikkiga bo'lingan tagliklar uzunligidagi farq asosida osongina hisoblash mumkin: TX = (AE – KM)/2.
Agar trapezoid burchakning tomonlari orqali parallel chiziqlar o'tkazilsa, ular burchakning tomonlarini proportsional segmentlarga bo'linadi.

Teng yonli (teng yonli) trapetsiyaning xossalari

Teng yonli trapesiyada har qanday asosdagi burchaklar teng.
Endi biz nima haqida gapirayotganimizni tasavvur qilishni osonlashtirish uchun yana trapezoid quring. AE asosiga diqqat bilan qarang - qarama-qarshi M asosining tepasi AE ni o'z ichiga olgan chiziqning ma'lum bir nuqtasiga proyeksiyalangan. A cho'qqidan M cho'qqining proyeksiya nuqtasigacha bo'lgan masofa va teng yonli trapetsiyaning o'rta chizig'i teng.
Teng yonli trapezoid diagonallarining xossasi haqida bir necha so'z - ularning uzunligi teng. Shuningdek, bu diagonallarning trapetsiya asosiga moyillik burchaklari bir xil.
Faqat teng yonli trapesiya atrofida aylana tasvirlanishi mumkin, chunki to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180 0 ga teng - majburiy shart Buning uchun.
Teng yon tomonli trapesiyaning xossasi oldingi paragrafdan kelib chiqadi - agar trapezoid yaqinida aylana tasvirlanishi mumkin bo'lsa, u izoskeldir.
Teng yonli trapetsiyaning xususiyatlaridan trapetsiyaning balandlik xususiyati kelib chiqadi: agar uning diagonallari to'g'ri burchak ostida kesishsa, balandlik uzunligi asoslar yig'indisining yarmiga teng bo'ladi: h = (a + b)/2.
Yana TX segmentini trapetsiya asoslarining o'rta nuqtalari orqali o'tkazing - teng yonli trapesiyada u asoslarga perpendikulyar. Va ayni paytda TX - teng yonli trapezoidning simmetriya o'qi.
Bu safar trapetsiyaning qarama-qarshi cho'qqisidan balandlikni kattaroq poydevorga tushiring (uni a deb ataymiz). Siz ikkita segmentni olasiz. Agar asoslarning uzunligi qo'shilsa va yarmiga bo'linsa, bittaning uzunligini topish mumkin: (a + b)/2. Kattaroq bazadan kichigini ayirib, hosil bo'lgan farqni ikkiga bo'lsak, ikkinchisini olamiz: (a - b)/2.

Doira ichiga chizilgan trapetsiyaning xossalari

Biz allaqachon aylana ichiga yozilgan trapezoid haqida gapirayotganimiz sababli, keling, ushbu masalaga batafsil to'xtalib o'tamiz. Xususan, aylananing markazi trapezoidga nisbatan qayerda joylashgan. Bu erda ham, qalam olishga vaqt ajratish va quyida muhokama qilinadigan narsalarni chizish tavsiya etiladi. Shunday qilib, siz tezroq tushunasiz va yaxshiroq eslaysiz.

Doira markazining joylashishi trapetsiya diagonalining uning yon tomoniga egilish burchagi bilan aniqlanadi. Misol uchun, diagonal trapezoidning tepasidan yon tomonga to'g'ri burchak ostida cho'zilishi mumkin. Bunday holda, kattaroq asos chegaralangan doira markazini o'rtada kesib o'tadi (R = ½AE).
Diagonal va yon tomonlari ham ostida uchrashishi mumkin o'tkir burchak– u holda aylananing markazi trapetsiya ichida joylashgan.
Cheklangan doiraning markazi trapetsiyadan tashqarida, uning kattaroq asosidan tashqarida bo'lishi mumkin, agar trapetsiya diagonali va yon tomoni o'rtasida o'tmas burchak mavjud bo'lsa.
ACME trapezoidining diagonali va katta asosi (yozilgan burchak) tomonidan hosil qilingan burchak unga mos keladigan markaziy burchakning yarmini tashkil qiladi: MAE = ½MOE.
Cheklangan aylana radiusini topishning ikkita usuli haqida qisqacha. Birinchi usul: chizilgan rasmingizga diqqat bilan qarang - nimani ko'ryapsiz? Diagonal trapezoidni ikkita uchburchakka bo'lishini osongina payqashingiz mumkin. Radiusni uchburchak tomonining qarama-qarshi burchak sinusiga nisbati ikkiga ko'paytirilganda topish mumkin. Masalan, R = AE/2*sinAME. Xuddi shunday, formulani ikkala uchburchakning istalgan tomoni uchun yozish mumkin.
Ikkinchi usul: trapetsiyaning diagonali, yon tomoni va asosi tomonidan hosil qilingan uchburchakning maydoni orqali aylana radiusini toping: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Doira atrofida chizilgan trapetsiyaning xossalari

Agar bitta shart bajarilsa, aylanani trapezoidga joylashtirishingiz mumkin. Quyida u haqida ko'proq o'qing. Va birgalikda bu raqamlar kombinatsiyasi bir qator qiziqarli xususiyatlarga ega.

Agar aylana trapezoidga chizilgan bo'lsa, uning o'rta chizig'ining uzunligini tomonlarning uzunliklarini qo'shib, olingan yig'indini yarmiga bo'lish orqali osongina topish mumkin: m = (c + d)/2.
Doira haqida tasvirlangan ACME trapetsiyasi uchun asoslar uzunliklarining yig'indisi tomonlarning uzunliklari yig'indisiga teng: AK + ME = KM + AE.
Trapetsiya asoslarining bu xossasidan qarama-qarshi gap kelib chiqadi: asoslar yig’indisi uning tomonlari yig’indisiga teng bo’lgan trapetsiyaga aylana chizilishi mumkin.
Radiusi r trapetsiyaga chizilgan aylananing teginish nuqtasi tomonini ikki qismga ajratadi, ularni a va b deb ataymiz. Doira radiusini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: r = √ab.
Va yana bir mulk. Chalkashmaslik uchun ushbu misolni o'zingiz ham chizing. Bizda aylana bo'ylab tasvirlangan yaxshi eski ACME trapezoidi bor. U O nuqtada kesishgan diagonallarni o'z ichiga oladi. Diagonallar segmentlari va lateral tomonlari tomonidan hosil qilingan AOK va EOM uchburchaklari to'rtburchaklardir.
Bu uchburchaklarning gipotenuslarga tushirilgan balandliklari (ya'ni, trapetsiyaning lateral tomonlari) chizilgan doira radiuslariga to'g'ri keladi. Va trapezoidning balandligi chizilgan doira diametriga to'g'ri keladi.

To'rtburchak trapetsiyaning xossalari

Agar burchaklaridan biri to'g'ri bo'lsa, trapezoid to'rtburchaklar deyiladi. Va uning xususiyatlari shu holatdan kelib chiqadi.

To'g'ri to'rtburchaklar trapetsiyaning bir tomoni uning asosiga perpendikulyar bo'ladi.
ga ulashgan trapezoidning balandligi va lateral tomoni to'g'ri burchak, teng. Bu sizga to'rtburchaklar trapezoidning maydonini hisoblash imkonini beradi (umumiy formula S = (a + b) * h/2) nafaqat balandlik orqali, balki to'g'ri burchakka ulashgan tomondan ham.
To'rtburchaklar trapezoid uchun yuqorida tavsiflangan trapezoid diagonallarining umumiy xususiyatlari tegishli.

Trapetsiyaning ba'zi xossalarini isbotlash

Teng yonli trapetsiya asosidagi burchaklarning tengligi:

Ehtimol, siz allaqachon taxmin qilgandirsiz, bu erda bizga yana AKME trapesiya kerak bo'ladi - izossellar trapesiyasini chizish. M cho'qqisidan AK (MT || AK) tomoniga parallel bo'lgan MT to'g'ri chiziqni o'tkazing.

Olingan to'rtburchak AKMT parallelogrammdir (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT bo'lgani uchun ∆ MTE teng yon tomonli va MET = MTE.

AK || MT, shuning uchun MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME qaerda.

Q.E.D.

Endi teng yonli trapezoidning xossasidan (diagonallarning tengligi) biz buni isbotlaymiz ACME trapezoidasi teng yon tomonli:

Boshlash uchun MX - MX || to'g'ri chiziq chizamiz KE. Biz KMHE parallelogrammasini olamiz (asosiy - MX || KE va KM || EX).

∆AMX teng yon tomonli, chunki AM = KE = MX va MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MHE, shuning uchun MAE = MHE.

Aniqlanishicha, AKE va EMA uchburchaklari bir-biriga teng, chunki AM = KE va AE ikki uchburchakning umumiy tomonidir. Shuningdek, MAE = MXE. AK = ME degan xulosaga kelishimiz mumkin va bundan AKME trapetsiyasi teng yon tomonli ekanligi kelib chiqadi.

Vazifani ko'rib chiqish

ACME trapesiyaning asoslari 9 sm va 21 sm, yon tomoni KA, 8 sm ga teng, kichikroq asos bilan 150 0 burchak hosil qiladi. Siz trapezoidning maydonini topishingiz kerak.

Yechish: K cho'qqisidan trapetsiyaning kattaroq asosiga balandlikni tushiramiz. Keling, trapezoidning burchaklariga qarashni boshlaylik.

AEM va KAN burchaklari bir tomonlama. Bu degani, ular jami 180 0 beradi. Shuning uchun KAN = 30 0 (trapezoidal burchaklar xususiyatiga asoslangan).

Keling, to'rtburchak ∆ANC ni ko'rib chiqaylik (menimcha, bu fikr o'quvchilarga qo'shimcha dalillarsiz ravshan). Undan biz KH trapetsiyaning balandligini topamiz - uchburchakda u 30 0 burchakka qarama-qarshi yotgan oyoqdir. Shuning uchun KH = ½AB = 4 sm.

Trapetsiya maydonini quyidagi formuladan foydalanib topamiz: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 sm 2.

Keyingi so'z

Agar siz ushbu maqolani diqqat bilan va puxta o'rgangan bo'lsangiz, qo'lingizda qalam bilan barcha berilgan xususiyatlar uchun trapezoidlarni chizish va ularni amalda tahlil qilish uchun dangasa bo'lmasangiz, materialni yaxshi o'zlashtirgan bo'lishingiz kerak edi.

Albatta, bu erda juda ko'p ma'lumotlar mavjud, turli xil va ba'zan chalkashliklar: tasvirlangan trapezoidning xususiyatlarini yozilganining xususiyatlari bilan aralashtirish unchalik qiyin emas. Ammo o'zingiz ko'rdingizki, farq juda katta.

Endi siz trapezoidning barcha umumiy xususiyatlarining batafsil tavsifiga egasiz. Shuningdek, teng yon tomonlar va to'rtburchaklar trapezoidlarning o'ziga xos xususiyatlari va xususiyatlari. Test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rish uchun foydalanish juda qulay. O'zingiz sinab ko'ring va havolani do'stlaringiz bilan baham ko'ring!

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.

Trapetsiyaning o'rta chizig'i haqida tushuncha

Birinchidan, trapezoid deb ataladigan figurani eslaylik.

Ta'rif 1

Trapezoid to'rtburchak bo'lib, uning ikki tomoni parallel, qolgan ikkitasi parallel emas.

Bunda parallel tomonlar trapetsiyaning asoslari, parallel bo'lmagan tomonlari esa trapetsiyaning lateral tomonlari deyiladi.

Ta'rif 2

Trapetsiyaning o'rta chizig'i - bu trapetsiyaning yon tomonlarini o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment.

Trapezoid o'rta chiziq teoremasi

Endi trapetsiyaning o'rta chizig'i haqidagi teoremani kiritamiz va uni vektor usuli yordamida isbotlaymiz.

Teorema 1

Trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslarga parallel va ularning yarim yig'indisiga teng.

Isbot.

Bizga asoslari $AD\ va\ BC$ boʻlgan $ABCD$ trapesiya berilsin. Va bu trapetsiyaning o'rta chizig'i $MN$ bo'lsin (1-rasm).

Shakl 1. Trapezoidning o'rta chizig'i

$MN||AD\ va\ MN=\frac(AD+BC)(2)$ ekanligini isbotlaymiz.

$\overrightarrow(MN)$ vektorini ko'rib chiqaylik. Keyinchalik vektorlarni qo'shish uchun ko'pburchak qoidasidan foydalanamiz. Bir tomondan, biz buni tushunamiz

Boshqa tomondan

Oxirgi ikkita tenglikni qo'shamiz va olamiz

$M$ va $N$ trapetsiyaning yon tomonlarining oʻrta nuqtalari boʻlgani uchun bizda shunday boʻladi.

Biz olamiz:

Shuning uchun

Xuddi shu tenglikdan (chunki $\overrightarrow(BC)$ va $\overrightarrow(AD)$ koordinatsiyali va shuning uchun kollineardir) biz $MN||AD$ ni olamiz.

Teorema isbotlangan.

Trapetsiyaning o'rta chizig'i tushunchasi bo'yicha masalalarga misollar

1-misol

Trapetsiyaning yon tomonlari mos ravishda $15\ sm$ va $17\ sm$ ga teng. Trapetsiyaning perimetri $52\sm$. Trapetsiyaning o'rta chizig'ining uzunligini toping.

Yechim.

Trapetsiyaning o'rta chizig'ini $n$ bilan belgilaymiz.

Tomonlarning yig'indisi ga teng

Demak, perimetri $52\ sm$ bo'lgani uchun asoslar yig'indisi teng

Shunday qilib, 1-teorema bo'yicha biz olamiz

Javob:$10\sm$.

2-misol

Doira diametrining uchlari tegidan mos ravishda $9$ sm va $5$ sm uzoqda, bu doiraning diametrini toping.

Yechim.

Bizga markazi $O$ nuqtada va diametri $AB$ boʻlgan aylana berilsin. $l$ tangensini chizamiz va $AD=9\ cm$ va $BC=5\ sm$ masofalarini tuzamiz. $OH$ radiusini chizamiz (2-rasm).

2-rasm.

$AD$ va $BC$ tangensgacha bo'lgan masofalar bo'lgani uchun, $AD\bot l$ va $BC\bot l$ va $OH$ radius bo'lgani uchun $OH\bot l$, shuning uchun $OH |\left|AD\right||BC$. Bularning barchasidan biz $ABCD$ trapetsiya, $OH$ esa uning oʻrta chizigʻi ekanligini tushunamiz. 1-teorema bo'yicha biz olamiz

Trapetsiyaning o'rta chizig'i haqida tushuncha

Birinchidan, trapezoid deb ataladigan figurani eslaylik.

Ta'rif 1

Trapezoid to'rtburchak bo'lib, uning ikki tomoni parallel, qolgan ikkitasi parallel emas.

Bunda parallel tomonlar trapetsiyaning asoslari, parallel bo'lmagan tomonlari esa trapetsiyaning lateral tomonlari deyiladi.

Ta'rif 2

Trapetsiyaning o'rta chizig'i - bu trapetsiyaning yon tomonlarini o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment.

Trapezoid o'rta chiziq teoremasi

Endi trapetsiyaning o'rta chizig'i haqidagi teoremani kiritamiz va uni vektor usuli yordamida isbotlaymiz.

Teorema 1

Trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslarga parallel va ularning yarim yig'indisiga teng.

Isbot.

Bizga asoslari $AD\ va\ BC$ boʻlgan $ABCD$ trapesiya berilsin. Va bu trapetsiyaning o'rta chizig'i $MN$ bo'lsin (1-rasm).

Shakl 1. Trapezoidning o'rta chizig'i

$MN||AD\ va\ MN=\frac(AD+BC)(2)$ ekanligini isbotlaymiz.

$\overrightarrow(MN)$ vektorini ko'rib chiqaylik. Keyinchalik vektorlarni qo'shish uchun ko'pburchak qoidasidan foydalanamiz. Bir tomondan, biz buni tushunamiz

Boshqa tomondan

Oxirgi ikkita tenglikni qo'shamiz va olamiz

$M$ va $N$ trapetsiyaning yon tomonlarining oʻrta nuqtalari boʻlgani uchun bizda shunday boʻladi.

Biz olamiz:

Shuning uchun

Xuddi shu tenglikdan (chunki $\overrightarrow(BC)$ va $\overrightarrow(AD)$ koordinatsiyali va shuning uchun kollineardir) biz $MN||AD$ ni olamiz.

Teorema isbotlangan.

Trapetsiyaning o'rta chizig'i tushunchasi bo'yicha masalalarga misollar

1-misol

Trapetsiyaning yon tomonlari mos ravishda $15\ sm$ va $17\ sm$ ga teng. Trapetsiyaning perimetri $52\sm$. Trapetsiyaning o'rta chizig'ining uzunligini toping.

Yechim.

Trapetsiyaning o'rta chizig'ini $n$ bilan belgilaymiz.

Tomonlarning yig'indisi ga teng

Demak, perimetri $52\ sm$ bo'lgani uchun asoslar yig'indisi teng

Shunday qilib, 1-teorema bo'yicha biz olamiz

Javob:$10\sm$.

2-misol

Doira diametrining uchlari tegidan mos ravishda $9$ sm va $5$ sm uzoqda, bu doiraning diametrini toping.

Yechim.

Bizga markazi $O$ nuqtada va diametri $AB$ boʻlgan aylana berilsin. $l$ tangensini chizamiz va $AD=9\ cm$ va $BC=5\ sm$ masofalarini tuzamiz. $OH$ radiusini chizamiz (2-rasm).

2-rasm.

Faqat ikkita tomoni parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi trapezoid.

Trapetsiyaning parallel tomonlari deyiladi sabablari, va parallel bo'lmagan tomonlar deyiladi tomonlar. Agar tomonlar teng bo'lsa, unda bunday trapezoid isosselesdir. Poydevorlar orasidagi masofa trapetsiya balandligi deb ataladi.

O'rta chiziqli trapezoid

O'rta chiziq trapezoid tomonlarining o'rta nuqtalarini bog'laydigan segmentdir. Trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslariga parallel.

Teorema:

Agar bir tomonning o'rtasini kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq trapetsiya asoslariga parallel bo'lsa, u holda trapetsiyaning ikkinchi tomonini ikkiga bo'ladi.

Teorema:

O'rta chiziqning uzunligi uning asoslari uzunliklarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

MN o'rta chizig'i, AB va CD - asoslar, AD va BC - lateral tomonlar

MN = (AB + DC)/2

Teorema:

Trapetsiyaning oʻrta chizigʻining uzunligi uning asoslari uzunliklarining oʻrtacha arifmetik qiymatiga teng.

Asosiy vazifa: Trapetsiyaning oʻrta chizigʻi uchlari trapetsiya asoslari oʻrtasida joylashgan segmentni ikkiga boʻlishini isbotlang.

Uchburchakning o'rta chizig'i

Uchburchakning ikki tomonining oʻrta nuqtalarini tutashtiruvchi segmentga uchburchakning oʻrta chizigʻi deyiladi. U uchinchi tomonga parallel va uning uzunligi uchinchi tomon uzunligining yarmiga teng.
Teorema: Agar uchburchakning bir tomonining oʻrta nuqtasini kesib oʻtuvchi chiziq uchburchakning ikkinchi tomoniga parallel boʻlsa, u holda u uchinchi tomonini ikkiga boʻladi.

AM = MC va BN = NC =>

Uchburchak va trapetsiyaning o'rta chiziq xususiyatlarini qo'llash

Segmentni ma'lum miqdordagi teng qismlarga bo'lish.
Vazifa: AB segmentini 5 ta teng qismga bo'ling.
Yechim:
Boshi A nuqta bo‘lgan va AB to‘g‘rida yotmaydigan p tasodifiy nur bo‘lsin. Biz p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5 ga ketma-ket 5 ta teng segmentni ajratamiz.
Biz A 5 ni B ga bog'laymiz va A 5 B ga parallel bo'lgan A 4, A 3, A 2 va A 1 orqali shunday chiziqlar o'tkazamiz. Ular AB ni mos ravishda B 4, B 3, B 2 va B 1 nuqtalarida kesishadi. Bu nuqtalar AB segmentini 5 ta teng qismga ajratadi. Darhaqiqat, BB 3 A 3 A 5 trapesiyadan biz BB 4 = B 4 B 3 ekanligini ko'ramiz. Xuddi shunday B 4 B 2 A 2 A 4 trapesiyadan B 4 B 3 = B 3 B 2 ni olamiz.

Trapetsiyadan B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1 bo'lsa.
U holda B 2 AA 2 dan B 2 B 1 = B 1 A kelib chiqadi. Xulosa qilib shuni olamiz:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ko'rinib turibdiki, AB segmentini boshqa teng qismlarga bo'lish uchun biz bir xil sonli teng segmentlarni p nuriga proyeksiya qilishimiz kerak. Va keyin yuqorida tavsiflangan tarzda davom eting.