Jednostavno rečeno, to je povrće kuhano u vodi po posebnoj recepturi. Razmotrit ću dvije početne komponente (salata od povrća i voda) i gotov rezultat - boršč. Geometrijski, može se zamisliti kao pravougaonik, pri čemu jedna strana predstavlja zelenu salatu, a druga vodu. Zbir ove dvije strane će pokazati boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršč" su čisto matematički koncepti i nikada se ne koriste u receptima za boršč.
Kako se salata i voda pretvaraju u boršč sa matematičke tačke gledišta? Kako zbir dva segmenta može postati trigonometrija? Da bismo ovo razumjeli, potrebne su nam linearne ugaone funkcije.
Nećete naći ništa o linearnim ugaonim funkcijama u udžbenicima matematike. Ali bez njih ne može biti matematike. Zakoni matematike, kao i zakoni prirode, djeluju bez obzira na to znamo li za njihovo postojanje ili ne.
Linearne ugaone funkcije su zakoni sabiranja. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.
Da li je moguće bez linearnog ugaone funkcije? Moguće je, jer matematičari se i dalje snalaze bez njih. Trik matematičara je u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami znaju riješiti, a nikada ne govore o onim problemima koje ne mogu riješiti. Pogledaj. Ako znamo rezultat sabiranja i jednog člana, koristimo oduzimanje da pronađemo drugi član. Sve. Ne poznajemo druge probleme i ne znamo kako ih riješiti. Šta da radimo ako znamo samo rezultat sabiranja, a ne znamo oba pojma? U ovom slučaju, rezultat sabiranja mora se razložiti na dva člana korištenjem linearnih kutnih funkcija. Dalje, sami biramo šta jedan pojam može biti, a linearne ugaone funkcije pokazuju kakav bi trebao biti drugi član kako bi rezultat sabiranja bio upravo ono što nam treba. Može postojati beskonačan broj takvih parova pojmova. U svakodnevnom životu se dobro slažemo bez razlaganja sume; Ali u naučnom istraživanju zakona prirode, razlaganje zbroja na njegove komponente može biti vrlo korisno.
Još jedan zakon sabiranja o kojem matematičari ne vole da govore (još jedan od njihovih trikova) zahtijeva da termini imaju iste mjerne jedinice. Za salatu, vodu i boršč, to mogu biti jedinice težine, zapremine, vrijednosti ili jedinice mjere.
Na slici su prikazana dva nivoa razlike za matematičku . Prvi nivo su razlike u polju brojeva koje su naznačene a, b, c. To rade matematičari. Drugi nivo su razlike u polju mernih jedinica koje su prikazane u uglastim zagradama i označene slovom U. To rade fizičari. Možemo razumjeti treći nivo - razlike u površini objekata koji se opisuju. Razni objekti može imati isti broj identičnih mjernih jedinica. Koliko je to važno, možemo vidjeti na primjeru boršč trigonometrije. Ako istoj oznaci mjernih jedinica različitih objekata dodamo indekse, možemo reći koje točno matematička količina opisuje određeni objekt i kako se mijenja tokom vremena ili zbog naših radnji. Pismo W Vodu ću označiti slovom S Salatu ću označiti slovom B- boršč. Ovako će izgledati linearne kutne funkcije za boršč.
Ako uzmemo dio vode i dio salate, zajedno će se pretvoriti u jednu porciju boršča. Ovdje predlažem da se malo odmorite od boršča i prisjetite se svog dalekog djetinjstva. Sjećate se kako su nas učili da spajamo zečiće i patke? Trebalo je pronaći koliko će životinja biti. Šta su nas tada učili da radimo? Učili su nas da odvajamo mjerne jedinice od brojeva i sabiramo brojeve. Da, bilo koji broj se može dodati bilo kojem drugom broju. Ovo je direktan put ka autizmu moderne matematike - mi radimo neshvatljivo šta, neshvatljivo zašto, i vrlo slabo razumemo kako se to odnosi na stvarnost, zbog tri nivoa razlike matematičari operišu samo sa jednim. Bilo bi ispravnije naučiti kako preći s jedne mjerne jedinice na drugu.
Zečići, patke i male životinje mogu se prebrojati u komadima. Jedna zajednička mjerna jedinica za različite objekte nam omogućava da ih saberemo. Ovo dječija verzija zadataka. Pogledajmo sličan zadatak za odrasle. Šta dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.
Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i dodajemo je raspoloživoj količini novca. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novčanom smislu.
Druga opcija. Broj zečića možete dodati broju novčanica koje imamo. Dobit ćemo iznos pokretne imovine u komadima.
Kao što vidite, isti zakon sabiranja vam omogućava da dobijete različite rezultate. Sve zavisi od toga šta tačno želimo da znamo.
No, vratimo se našem boršu. Sada možemo vidjeti šta će biti kada različita značenja ugao linearnih ugaonih funkcija.
Ugao je nula. Imamo salatu, ali nemamo vodu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je također nula. To uopće ne znači da je nula boršča jednaka nuli vode. Može biti nulti boršč sa nula salate (pravi ugao).
Za mene lično, ovo je glavni matematički dokaz činjenice da . Nula ne mijenja broj kada se doda. To se dešava zato što je samo zbrajanje nemoguće ako postoji samo jedan član, a drugi član nedostaje. Možete osjećati ovo kako god želite, ali zapamtite - sve matematičke operacije matematičari su sami smislili nulu, pa odbacite svoju logiku i glupo trpajte definicije koje su matematičari izmislili: "podjela na nulu je nemoguća", "bilo koji broj pomnožen sa nulom jednak je nuli", "izvan punkcije tačke je nula" i druge gluposti. Dovoljno je jednom zapamtiti da nula nije broj i nikada više nećete imati pitanje da li je nula prirodan broj ili nije, jer takvo pitanje gubi svaki smisao: kako se nešto što nije broj može smatrati brojem ? To je kao da se pitate u koju boju treba klasifikovati nevidljivu boju. Dodavanje nule broju je isto kao i slikanje bojom koje nema. Mahali smo suvim kistom i rekli svima da smo "farbali". Ali malo sam skrenuo pažnju.
Ugao je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stepeni. Imamo puno zelene salate, ali nema dovoljno vode. Kao rezultat toga, dobit ćemo debeli boršč.
Ugao je četrdeset pet stepeni. Imamo jednake količine vode i salate. Ovo je savršeni boršč (oprostite, kuhari, to je samo matematika).
Ugao je veći od četrdeset pet stepeni, ali manji od devedeset stepeni. Imamo puno vode i malo salate. Dobićete tečni boršč.
Pravi ugao. Imamo vodu. Od salate su ostale samo uspomene, dok nastavljamo da merimo ugao od linije koja je nekada označavala salatu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je nula. U ovom slučaju, držite se i pijte vodu dok je imate)))
Evo. Ovako nešto. Ovdje mogu ispričati druge priče koje bi ovdje bile više nego primjerene.
Dva prijatelja su imala svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon što su ubili jednog od njih, sve je otišlo drugom.
Pojava matematike na našoj planeti.
Sve ove priče su ispričane jezikom matematike koristeći linearne ugaone funkcije. Neki drugi put ću vam pokazati pravo mjesto ovih funkcija u strukturi matematike. U međuvremenu, vratimo se na boršč trigonometriju i razmotrimo projekcije.
Subota, 26.10.2019
Gledao sam zanimljiv video o tome Grundy serija Jedan minus jedan plus jedan minus jedan - Numberphile. Matematičari lažu. Nisu izvršili provjeru jednakosti tokom svog rasuđivanja.
Ovo odražava moje misli o .
Pogledajmo pobliže znakove da nas matematičari varaju. Na samom početku argumenta, matematičari kažu da zbir niza ZAVISI od toga da li ima paran broj elemenata ili ne. Ovo je OBJEKTIVNO UTVRĐENA ČINJENICA. Šta se dalje događa?
Zatim, matematičari oduzimaju niz od jedinice. čemu ovo vodi? To dovodi do promjene broja elemenata niza - paran broj se mijenja u neparan, a neparan u paran broj. Na kraju krajeva, nizu smo dodali jedan element jednak jednom. Unatoč svoj vanjskoj sličnosti, niz prije transformacije nije jednak nizu nakon transformacije. Čak i ako govorimo o beskonačnom nizu, moramo zapamtiti da beskonačan niz s neparnim brojem elemenata nije jednak beskonačnom nizu s parnim brojem elemenata.
Stavljajući znak jednakosti između dva niza sa različitim brojem elemenata, matematičari tvrde da zbir niza NE ZAVISI od broja elemenata u nizu, što je u suprotnosti sa OBJEKTIVNO UTVRĐENOM ČINJENICOM. Dalje razmišljanje o zbiru beskonačnog niza je pogrešno, jer se zasniva na lažnoj jednakosti.
Ako vidite da matematičari u toku dokazivanja stavljaju zagrade, preuređuju elemente matematičkog izraza, dodaju ili uklanjaju nešto, budite veoma oprezni, najvjerovatnije vas pokušavaju prevariti. Poput mađioničara karata, matematičari koriste razne manipulacije izražavanjem da bi vam skrenuli pažnju kako bi vam na kraju dali lažni rezultat. Ako ne možete ponoviti kartaški trik a da ne znate tajnu obmane, onda je u matematici sve mnogo jednostavnije: čak ni ne sumnjate ništa u obmanu, ali ponavljanje svih manipulacija matematičkim izrazom omogućava vam da uvjerite druge u ispravnost dobijeni rezultat, baš kao i kada su vas uvjerili.
Pitanje iz publike: Da li je beskonačnost (kao broj elemenata u nizu S) paran ili neparan? Kako možete promijeniti paritet nečega što nema paritet?
Beskonačnost je za matematičare, kao što je Carstvo nebesko za sveštenike - tamo niko nikada nije bio, ali svi tačno znaju kako sve tamo funkcioniše))) Slažem se, nakon smrti biće vam apsolutno svejedno da li ste živeli paran ili neparan broj dana, ali... Dodavanjem samo jednog dana na početak vašeg života, dobićemo sasvim drugu osobu: njegovo prezime, ime i patronim je potpuno isto, samo je datum rođenja potpuno drugačiji - bio je rođen dan prije tebe.
Sada pređimo na stvar))) Recimo da konačni niz koji ima parnost gubi ovaj paritet kada ide u beskonačnost. Tada svaki konačni segment beskonačnog niza mora izgubiti parnost. Mi ovo ne vidimo. Činjenica da ne možemo sa sigurnošću reći da li beskonačni niz ima paran ili neparan broj elemenata ne znači da je parnost nestala. Paritet, ako postoji, ne može netragom nestati u beskonačnost, kao u rukavu oštrice. Postoji vrlo dobra analogija za ovaj slučaj.
Jeste li ikada pitali kukavicu koja sjedi u satu u kojem smjeru se okreće kazaljka na satu? Za nju, strelica se okreće u suprotnom smjeru od onoga što zovemo "kazaljke na satu". Koliko god paradoksalno zvučalo, smjer rotacije ovisi isključivo o tome s koje strane promatramo rotaciju. I tako, imamo jedan točak koji se okreće. Ne možemo reći u kom pravcu se rotacija dešava, jer je možemo posmatrati i sa jedne i sa druge strane ravni rotacije. Možemo samo posvjedočiti da postoji rotacija. Potpuna analogija s paritetom beskonačnog niza S.
Sada dodajmo drugi rotirajući točak, čija je ravan rotacije paralelna ravnini rotacije prvog rotacionog točka. Još uvijek ne možemo sa sigurnošću reći u kojem smjeru ovi kotači rotiraju, ali apsolutno možemo reći da li se oba kotača rotiraju u istom smjeru ili u suprotnom smjeru. Poređenje dva beskonačna niza S I 1-S, pokazao sam uz pomoć matematike da ovi nizovi imaju različite paritete i stavljanje znaka jednakosti između njih je greška. Osobno vjerujem matematici, ne vjerujem matematičarima))) Usput, da bismo u potpunosti razumjeli geometriju transformacija beskonačnih nizova, potrebno je uvesti koncept "simultanost". Ovo će morati da se nacrta.
Srijeda, 07.08.2019
Završavajući razgovor o tome, moramo razmotriti beskonačan skup. Poenta je da koncept "beskonačnosti" utiče na matematičare kao što udav utiče na zeca. Drhtavi užas beskonačnosti lišava matematičare zdravog razuma. Evo primjera:
Izvorni izvor se nalazi. Alpha označava pravi broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima pokazuje da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako uzmemo beskonačni skup kao primjer prirodni brojevi, onda se razmatrani primjeri mogu predstaviti na sljedeći način:
Kako bi jasno dokazali da su bili u pravu, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Lično, na sve ove metode gledam kao na šamane koji plešu uz tamburaše. U suštini, svi se svode na to da su ili neke sobe prazne i da se useljavaju novi gosti, ili da se neki od posjetitelja izbace u hodnik da se napravi mjesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u formi fantastične priče o Plavuši. Na čemu se zasniva moje rezonovanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što oslobodimo prvu sobu za gosta, jedan od posetilaca će uvek hodati hodnikom od svoje sobe do sledeće do kraja vremena. Naravno, faktor vremena se može glupo zanemariti, ali ovo će biti u kategoriji „nijedan zakon nije pisan za budale“. Sve zavisi od toga šta radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.
Šta je "beskonačan hotel"? Beskonačan hotel je hotel koji uvijek ima bilo koji broj praznih kreveta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve sobe u beskonačnom hodniku za "posetioce" zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik sa "gostinjskim" sobama. Postojaće beskonačan broj takvih koridora. Štaviše, „beskonačni hotel“ ima beskonačan broj spratova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju univerzuma koje je stvorio beskonačan broj bogova. Matematičari nisu u stanju da se distanciraju od banalnih svakodnevnih problema: uvijek postoji samo jedan Bog-Allah-Buda, postoji samo jedan hotel, postoji samo jedan hodnik. Dakle, matematičari pokušavaju da žongliraju serijskim brojevima hotelskih soba, uvjeravajući nas da je moguće “ugurati nemoguće”.
Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji tačan odgovor na ovo pitanje, pošto smo sami izmislili brojeve, ne postoje u prirodi. Da, priroda je odlična u brojanju, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Reći ću vam šta priroda misli drugi put. Pošto smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva ima. Razmotrimo obje opcije, kako i priliči pravim naučnicima.
Opcija jedan. “Neka nam se da” jedan jedini set prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set sa police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nigdje ih uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. Šta ako zaista želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedan iz seta koji smo već uzeli i vratiti na policu. Nakon toga možemo uzeti jednu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet ćemo dobiti beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete zapisati ovako:
Zapisao sam radnje u algebarskoj notaciji i u teoriji skupova, sa detaljnim popisom elemenata skupa. Indeks označava da imamo jedan jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme jedan i doda ista jedinica.
Opcija dva. Na našoj polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam - RAZLIČITIH, uprkos tome što se praktično ne razlikuju. Uzmimo jedan od ovih setova. Zatim uzimamo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodajemo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo šta dobijamo:
Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ovi elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako beskonačnom skupu dodate jedan, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao originalni skup. Ako jednom beskonačnom skupu dodate još jedan beskonačan skup, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.
Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao što se ravnalo za mjerenje. Sada zamislite da ste lenjiru dodali jedan centimetar. Ovo će biti drugačija linija, koja neće biti jednaka originalnoj.
Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - to je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite da li slijedite put lažnog rasuđivanja kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, proučavanje matematike, prije svega, u nama formira stabilan stereotip mišljenja, a tek onda doprinosi našim mentalnim sposobnostima (ili nas, obrnuto, lišava slobodnog razmišljanja).
pozg.ru
Nedjelja, 04.08.2019
Završavao sam postskriptum za članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:
Čitamo: „...bogat teorijska osnova Matematika Babilona nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajednički sistem i bazu dokaza."
Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Da li nam je teško da savremenu matematiku posmatramo iz iste perspektive? Malo parafrazirajući gornji tekst, lično sam dobio sljedeće:
Bogata teorijska osnova moderne matematike nije holistička i svedena je na skup različitih sekcija, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.
Neću ići daleko da potvrdim svoje riječi - ima jezik i konvencije koje se razlikuju od jezika i simboli mnoge druge grane matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim da posvetim čitav niz publikacija najočitijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.
Subota 03.08.2019
Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, potrebno je unijeti novu mjernu jedinicu koja je prisutna u nekom od elemenata odabranog skupa. Pogledajmo primjer.
Neka nam bude dosta A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na osnovu "ljudi". A, indeks sa brojem će označavati serijski broj svake osobe u ovom skupu. Hajde da uvedemo novu mjernu jedinicu "pol" i označimo je slovom b. Pošto su seksualne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A na osnovu spola b. Primijetite da je naš skup “ljudi” sada postao skup “ljudi s rodnim karakteristikama”. Nakon toga možemo podijeliti spolne karakteristike na muške bm i ženski bw seksualne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filter: biramo jednu od ovih seksualnih karakteristika, bez obzira koju – mušku ili žensku. Ako ga osoba ima, onda ga množimo sa jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga sa nulom. A onda koristimo redovnu školsku matematiku. Vidi šta se desilo.
Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, na kraju smo dobili dva podskupa: podskup ljudi Bm i podskup žena Bw. Matematičari razmišljaju na približno isti način kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nam ne govore detalje, već nam daju gotov rezultat - "mnogo ljudi se sastoji od podskupine muškaraca i podskupa žena." Naravno, možda imate pitanje: koliko je pravilno matematika primijenjena u gore navedenim transformacijama? Usuđujem se da vas uvjerim da je u suštini sve urađeno ispravno, dovoljno je poznavati matematičke osnove aritmetike, Bulove algebre i drugih grana matematike. Šta je to? Neki drugi put ću vam pričati o ovome.
Što se tiče superskupova, možete kombinovati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice prisutne u elementima ova dva skupa.
Kao što vidite, mjerne jedinice i obična matematika čine teoriju skupova reliktom prošlosti. Znak da nije sve u redu sa teorijom skupova je to što su matematičari smislili svoj jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su se ponašali kao nekada šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Oni nas uče ovom "znanju".
U zaključku, želim da vam pokažem kako matematičari manipulišu
Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju do danas naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi bili su uključeni u proučavanje problematike; ; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji ta obmana.
Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.
Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.
Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se ne smije tražiti beskonačno veliki brojevi, ali u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju je da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba mešati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Pokazat ću vam proces na primjeru. Odabiremo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su ove stvari sa lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga odabiremo dio "cjeline" i formiramo set "sa mašnom". Ovako šamani dobijaju hranu vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.
Hajde sada da napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto sa bubuljicom sa mašnom" i kombinujmo ove "cjeline" prema boji, birajući crvene elemente. Imamo dosta "crvenih". Sada poslednje pitanje: da li su dobijeni setovi “sa lukom” i “crvenim” isti set ili dva različita seta? Samo šamani znaju odgovor. Tačnije, ni oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, tako će i biti.
Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je stvarnost u pitanju. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvene čvrste boje sa bubuljicom i mašnom." Formiranje se odvijalo u četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (bubuljičasta), ukras (sa mašnom). Samo skup mjernih jedinica nam omogućava da adekvatno opišemo stvarne objekte jezikom matematike. Ovako to izgleda.
Slovo "a" sa različitim indeksima znači različite jedinice mjerenja. U zagradama su istaknute mjerne jedinice po kojima se "cjelina" razlikuje u preliminarnoj fazi. Jedinica mjere po kojoj se skup formira vadi se iz zagrada. Posljednji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo mjerne jedinice za formiranje skupa, onda rezultat ne ovisi o redoslijedu naših akcija. I ovo je matematika, a ne ples šamana s tamburašima. Šamani mogu "intuitivno" doći do istog rezultata, tvrdeći da je "očigledan", jer jedinice mjere nisu dio njihovog "naučnog" arsenala.
Koristeći mjerne jedinice, vrlo je lako podijeliti jedan set ili kombinirati nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.
Tabela vrijednosti trigonometrijskih funkcija sastavljeno za uglove od 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 i 360 stepeni i odgovarajuće vrijednosti uglova u radijani. Od trigonometrijske funkcije tabela pokazuje sinus, kosinus, tangent, kotangens, sekans I kosekans. Radi praktičnosti rješavanja školskih primjera značenja trigonometrijske funkcije u tabeli su upisani u obliku razlomka uz očuvanje znakova vađenja kvadratnog korijena brojeva, što vrlo često pomaže u smanjenju složenih matematičkih izraza. Za tangenta I kotangens Neki uglovi se ne mogu odrediti. Za vrijednosti tangenta I kotangens U tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija za takve uglove nalazi se crtica. Općenito je prihvaćeno da tangenta I kotangens takvih uglova jednako beskonačnosti. Na posebnoj stranici nalaze se formule za redukciju trigonometrijskih funkcija.
Tabela vrijednosti za trigonometrijsku sinusnu funkciju prikazuje vrijednosti za sljedeće uglove: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 u stepenima, što odgovara sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. Školska tablica sinusa.
Za trigonometrijsku kosinusnu funkciju, tabela prikazuje vrijednosti za sljedeće uglove: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 u stepenima, što odgovara cos 0 pi , cos pi sa 6, cos pi sa 4, cos pi sa 3, cos pi sa 2, cos pi, cos 3 pi sa 2, cos 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. Školska tablica kosinusa.
Trigonometrijska tabela za trigonometrijsku tangentnu funkciju daje vrijednosti za sljedeće uglove: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 u stepenskoj mjeri, što odgovara tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijskih tangentnih funkcija nisu definirane tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 i smatraju se jednakim beskonačnosti.
Za kotangens trigonometrijske funkcije u trigonometrijskoj tablici date su vrijednosti sljedećih uglova: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 u stepenskoj mjeri, što odgovara ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 u radijanskoj mjeri uglova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijskih kotangensnih funkcija nisu definirane ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi i smatraju se jednakim beskonačnosti.
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija sekansa i kosekansa date su za iste uglove u stupnjevima i radijanima kao sinus, kosinus, tangent, kotangens.
Tabela vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih uglova prikazuje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove u stepenima 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 stepena i u radijanima pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radijana. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija izražene su kao razlomci i kvadratni korijeni kako bi se lakše smanjili razlomci u školskim primjerima.
Još tri trigonometrijska čudovišta. Prvi je tangent od 1,5 jedan i po stepen ili pi podijeljen sa 120. Drugi je kosinus od pi podijeljen sa 240, pi/240. Najduži je kosinus od pi podijeljen sa 17, pi/17.
Trigonometrijski krug vrijednosti funkcija sinus i kosinus vizualno predstavlja znakove sinusa i kosinusa ovisno o veličini kuta. Posebno za plavuše, vrijednosti kosinusa su podvučene zelenom crticom kako bi se smanjila zabuna. Pretvaranje stepeni u radijane je takođe vrlo jasno predstavljeno kada su radijani izraženi u smislu pi.
Ova trigonometrijska tabela predstavlja vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove od 0 nula do 90 devedeset stepeni u intervalima od jednog stepena. Za prvih četrdeset pet stepeni, nazive trigonometrijskih funkcija treba pogledati na vrhu tabele. Prvi stupac sadrži stupnjeve, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa upisuju se u sljedeće četiri stupca.
Za uglove od četrdeset pet stepeni do devedeset stepeni, nazivi trigonometrijskih funkcija su napisani na dnu tabele. Posljednja kolona sadrži stupnjeve vrijednosti kosinusa, sinusa, kotangensa i tangenta upisane su u prethodna četiri stupca. Treba biti oprezan jer na dnu trigonometrijska tabela Nazivi trigonometrijskih funkcija razlikuju se od naziva na vrhu tabele. Sinusi i kosinusi se zamjenjuju, baš kao tangenta i kotangens. To je zbog simetrije vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Znaci trigonometrijskih funkcija prikazani su na gornjoj slici. Sinus ima pozitivne vrijednosti od 0 do 180 stepeni, odnosno od 0 do pi. Negativne vrijednosti sinus ima 180 do 360 stepeni ili pi do 2 pi. Vrijednosti kosinusa su pozitivne od 0 do 90 i 270 do 360 stepeni, odnosno od 0 do 1/2 pi i 3/2 do 2 pi. Tangenta i kotangens imaju pozitivne vrijednosti od 0 do 90 stepeni i od 180 do 270 stepeni, što odgovara vrijednostima od 0 do 1/2 pi i pi do 3/2 pi. Negativne vrijednosti tangenta i kotangensa su od 90 do 180 stepeni i od 270 do 360 stepeni, odnosno od 1/2 pi do pi i od 3/2 pi do 2 pi. Prilikom određivanja predznaka trigonometrijskih funkcija za uglove veće od 360 stepeni ili 2 pi, treba koristiti svojstva periodičnosti ovih funkcija.
Trigonometrijske funkcije sinus, tangent i kotangens su neparne funkcije. Vrijednosti ovih funkcija za negativne kutove bit će negativne. Kosinus je parna trigonometrijska funkcija - vrijednost kosinusa za negativan ugao bit će pozitivna. Kod množenja i dijeljenja trigonometrijskih funkcija moraju se poštovati pravila znakova.
Korijen 2/2 je koliko pi?— To se dešava na različite načine (vidi sliku). Morate znati koja je trigonometrijska funkcija jednaka korijenu dva podijeljenom sa dva.
Ako vam se dopao post i želite da saznate više, imam još u pripremi.
cos pi podijeljeno sa 2
Početna > Imenik > Matematičke formule.
Matematičke formule.
Pretvorite radijane u stepeni.
A d = A r * 180 / pi
Pretvaranje stupnjeva u radijane.
A r = A d * pi / 180
Gdje je A d ugao u stepenima, A r je ugao u radijanima.
Obim.
L = 2 * pi * R
Dužina luka kružnice.
L=A*R
Površina trougla.
p=(a+b+c)/2 - poluperimetar.
Područje kruga.
S = pi * R 2
Sektorsko područje.
S = L d * R/2 = (A * R 2)/2
Površina lopte.
S = 4 * pi * R 2
S = 2 * pi * R * H
Gdje je S površina bočne površine cilindra, R je polumjer osnove cilindra, H je visina cilindra.
S = pi * R * L
S = pi * R * L + pi * R 2
Volumen lopte.
V = 4 / 3 * pi * R 3
Volumen cilindra.
V = pi * R 2 * H
Volumen konusa.
Objavljeno: 15.01.13
Ažurirano: 15.11.14
Ukupno pregleda: 10754
danas: 1
Početna > Imenik > Matematičke formule.
Egor
Dobro veče! Veoma ste pitali interes Pitajte, nadam se da vam možemo pomoći.
Kako riješiti C1. Lekcija 2. Jedinstveni državni ispit iz matematike 2014
Ti i ja trebamo riješiti sljedeći problem: pronaći cos pi podijeljeno sa 2.
Najčešće, za rješavanje takvih problema potrebno je odrediti kosinus ili sinus eksponente. Za uglove od 0 do 360 stepeni, skoro svaka vrednost cos ili sin može se lako naći u odgovarajućim pločama koje postoje i koje su široko rasprostranjene, kao što su ove:
Ali ti i ja nemamo sinus (grijeh), nego kosinus. Hajde da prvo shvatimo šta je kosinus. Cos (kosinus) je jedna od trigonometrijskih funkcija. Da bi se izračunao kosinus akutnog pravougaonog trougla Morate znati omjer nogu susedni ugao na hipotenuzu. Kosinus pi podijeljen sa 2 može se lako izračunati pomoću trigonometrijska formula, koji se odnosi na standardne trigonometrijske formule. Ali ako govorimo o vrijednosti kosinusa pi podijeljenoj sa 2, tada ćemo za to koristiti tablicu koju smo već spomenuli više puta:
Sretno u daljnjem rješavanju sličnih zadataka!
odgovor: 
Početna > Imenik > Matematičke formule.
Matematičke formule.
Pretvorite radijane u stepeni.
A d = A r * 180 / pi
Pretvaranje stupnjeva u radijane.
A r = A d * pi / 180
Gdje je A d ugao u stepenima, A r je ugao u radijanima.
Obim.
L = 2 * pi * R
Gdje je L obim, R je polumjer kružnice.
Dužina luka kružnice.
L=A*R
Gdje je L dužina kružnog luka, R je polumjer kružnice, A je središnji ugao, izražen u radijanima
Za krug A = 2*pi (360 stepeni), dobijamo L = 2*pi*R.
Površina trougla.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
Gdje je S površina trokuta, a, b, c su dužine stranica,
p=(a+b+c)/2 - poluperimetar.
Područje kruga.
S = pi * R 2
Gdje je S površina kruga, R je polumjer kružnice.
Sektorsko područje.
S = L d * R/2 = (A * R 2)/2
Gdje je S površina sektora, R je polumjer kružnice, L d je dužina luka.
Površina lopte.
S = 4 * pi * R 2
Gdje je S površina lopte, R je polumjer lopte.
Bočna površina cilindra.
S = 2 * pi * R * H
Gdje je S površina bočne površine cilindra, R je polumjer osnove cilindra, H je visina cilindra.
Ukupna površina cilindra.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
Gdje je S površina bočne površine cilindra, R je polumjer osnove cilindra, H je visina cilindra.
Područje bočne površine stošca.
S = pi * R * L
Gdje je S površina bočne površine stošca, R je polumjer osnove stošca, L je dužina generatrise stošca.
Ukupna površina konusa.
S = pi * R * L + pi * R 2
Gdje je S ukupna površina stošca, R je polumjer osnove stošca, L je dužina generatrike stošca.
Volumen lopte.
V = 4 / 3 * pi * R 3
Gde je V zapremina lopte, R je poluprečnik lopte.
Volumen cilindra.
V = pi * R 2 * H
Gde je V zapremina cilindra, R je poluprečnik osnove cilindra, H je visina cilindra.
Volumen konusa.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Gdje je V zapremina stošca, R je poluprečnik osnove stošca, L je dužina generatrise stošca, A je ugao na vrhu stošca.
Objavljeno: 15.01.13
Ažurirano: 15.11.14
Ukupno pregleda: 10742
danas: 1
Početna > Imenik > Matematičke formule.
Egor
Žicu možete pričvrstiti na terminale Crohnove baterije pomoću cijevi izrezane iz poklopca medicinske igle.
(pi / 3) može se uraditi na nekoliko načina.
Metoda 1.
Metodu najčešće koriste školarci i studenti i jedna je od najjednostavnijih.
Funkcija i njen argument se nalaze u zajedničkim argumentima i na njihovom presjeku, vrijednost ove funkcije se dobija iz datog argumenta.
Koristeći tablicu, pronaći ćemo vrijednost sinusa od pi / 3 - ovo je korijen od 3 podijeljen sa 2.
Zapišimo to matematički:
Metoda 2.
Drugi način je (ili krug). 
Ovdje se vrijednosti sinusa nalaze na ordinatnoj osi (os Oy). Pokušajmo izračunati vrijednost sinusa od pi / 3.
Argument sinusa je jednak pi / 3 - pronađimo ovu vrijednost na krugu. Zatim spuštamo okomicu na os koja sadrži vrijednosti sinusa - os Oy. Na kraju okomice dobijamo vrijednost korijena od 3/2. Dakle, sinus od pi/3 je jednak korijenu od 3/2.
Metoda 3.
Drugi način da izračunate vrijednost sinusa je da ga koristite.
Na primjer, na sinusnom grafu (sinusoidu), nalazimo vrijednost pi / 3 na osi Ox, a zatim povlačimo pravu liniju okomitu na ovu os dok se ne siječe sa grafom. Dobijamo tačku koju projektujemo na osu Oy i dobijemo korijen vrijednosti 3/2.
Jednostavno rečeno, to je povrće kuhano u vodi po posebnoj recepturi. Razmotrit ću dvije početne komponente (salata od povrća i voda) i gotov rezultat - boršč. Geometrijski, može se zamisliti kao pravougaonik, pri čemu jedna strana predstavlja zelenu salatu, a druga vodu. Zbir ove dvije strane će pokazati boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršč" su čisto matematički koncepti i nikada se ne koriste u receptima za boršč.
Kako se salata i voda pretvaraju u boršč sa matematičke tačke gledišta? Kako zbir dva segmenta može postati trigonometrija? Da bismo ovo razumjeli, potrebne su nam linearne ugaone funkcije.
Nećete naći ništa o linearnim ugaonim funkcijama u udžbenicima matematike. Ali bez njih ne može biti matematike. Zakoni matematike, kao i zakoni prirode, djeluju bez obzira na to znamo li za njihovo postojanje ili ne.
Linearne ugaone funkcije su zakoni sabiranja. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.
Je li moguće bez linearnih kutnih funkcija? Moguće je, jer matematičari se i dalje snalaze bez njih. Trik matematičara je u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami znaju riješiti, a nikada ne govore o onim problemima koje ne mogu riješiti. Pogledaj. Ako znamo rezultat sabiranja i jednog člana, koristimo oduzimanje da pronađemo drugi član. Sve. Ne poznajemo druge probleme i ne znamo kako ih riješiti. Šta da radimo ako znamo samo rezultat sabiranja, a ne znamo oba pojma? U ovom slučaju, rezultat sabiranja mora se razložiti na dva člana korištenjem linearnih kutnih funkcija. Dalje, sami biramo šta jedan pojam može biti, a linearne ugaone funkcije pokazuju kakav bi trebao biti drugi član kako bi rezultat sabiranja bio upravo ono što nam treba. Može postojati beskonačan broj takvih parova pojmova. U svakodnevnom životu se dobro slažemo bez razlaganja sume; Ali u naučnom istraživanju zakona prirode, razlaganje zbroja na njegove komponente može biti vrlo korisno.
Još jedan zakon sabiranja o kojem matematičari ne vole da govore (još jedan od njihovih trikova) zahtijeva da termini imaju iste mjerne jedinice. Za salatu, vodu i boršč, to mogu biti jedinice težine, zapremine, vrijednosti ili jedinice mjere.
Na slici su prikazana dva nivoa razlike za matematičku . Prvi nivo su razlike u polju brojeva koje su naznačene a, b, c. To rade matematičari. Drugi nivo su razlike u polju mernih jedinica koje su prikazane u uglastim zagradama i označene slovom U. To rade fizičari. Možemo razumjeti treći nivo - razlike u površini objekata koji se opisuju. Različiti objekti mogu imati isti broj identičnih mjernih jedinica. Koliko je to važno, vidimo na primjeru boršč trigonometrije. Ako dodamo indekse istoj oznaci jedinice za različite objekte, možemo tačno reći koja matematička veličina opisuje određeni objekt i kako se mijenja tokom vremena ili zbog naših radnji. Pismo W Vodu ću označiti slovom S Salatu ću označiti slovom B- boršč. Ovako će izgledati linearne kutne funkcije za boršč.
Ako uzmemo dio vode i dio salate, zajedno će se pretvoriti u jednu porciju boršča. Ovdje predlažem da se malo odmorite od boršča i prisjetite se svog dalekog djetinjstva. Sjećate se kako su nas učili da spajamo zečiće i patke? Trebalo je pronaći koliko će životinja biti. Šta su nas tada učili da radimo? Učili su nas da odvajamo mjerne jedinice od brojeva i sabiramo brojeve. Da, bilo koji broj se može dodati bilo kojem drugom broju. Ovo je direktan put ka autizmu moderne matematike - mi radimo neshvatljivo šta, neshvatljivo zašto, i vrlo slabo razumemo kako se to odnosi na stvarnost, zbog tri nivoa razlike matematičari operišu samo sa jednim. Bilo bi ispravnije naučiti kako preći s jedne mjerne jedinice na drugu.
Zečići, patke i male životinje mogu se prebrojati u komadima. Jedna zajednička mjerna jedinica za različite objekte nam omogućava da ih saberemo. Ovo je dječja verzija problema. Pogledajmo sličan zadatak za odrasle. Šta dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.
Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i dodajemo je raspoloživoj količini novca. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novčanom smislu.
Druga opcija. Broj zečića možete dodati broju novčanica koje imamo. Dobit ćemo iznos pokretne imovine u komadima.
Kao što vidite, isti zakon sabiranja vam omogućava da dobijete različite rezultate. Sve zavisi od toga šta tačno želimo da znamo.
No, vratimo se našem boršu. Sada možemo vidjeti što će se dogoditi za različite vrijednosti kutova linearnih kutnih funkcija.
Ugao je nula. Imamo salatu, ali nemamo vodu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je također nula. To uopće ne znači da je nula boršča jednaka nuli vode. Može biti nulti boršč sa nula salate (pravi ugao).
Za mene lično, ovo je glavni matematički dokaz činjenice da . Nula ne mijenja broj kada se doda. To se dešava zato što je samo zbrajanje nemoguće ako postoji samo jedan član, a drugi član nedostaje. Možete se osjećati o ovome kako želite, ali zapamtite - sve matematičke operacije s nulom izmislili su sami matematičari, pa odbacite svoju logiku i glupo trpajte definicije koje su izmislili matematičari: "dijeljenje nulom je nemoguće", "bilo koji broj pomnožen sa nula jednaka nuli” , “izvan tačke punkcije nule” i druge gluposti. Dovoljno je jednom zapamtiti da nula nije broj i nikada više nećete imati pitanje da li je nula prirodan broj ili nije, jer takvo pitanje gubi svaki smisao: kako se nešto što nije broj može smatrati brojem ? To je kao da se pitate u koju boju treba klasifikovati nevidljivu boju. Dodavanje nule broju je isto kao i slikanje bojom koje nema. Mahali smo suvim kistom i rekli svima da smo "farbali". Ali malo sam skrenuo pažnju.
Ugao je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stepeni. Imamo puno zelene salate, ali nema dovoljno vode. Kao rezultat toga, dobit ćemo debeli boršč.
Ugao je četrdeset pet stepeni. Imamo jednake količine vode i salate. Ovo je savršeni boršč (oprostite, kuhari, to je samo matematika).
Ugao je veći od četrdeset pet stepeni, ali manji od devedeset stepeni. Imamo puno vode i malo salate. Dobićete tečni boršč.
Pravi ugao. Imamo vodu. Od salate su ostale samo uspomene, dok nastavljamo da merimo ugao od linije koja je nekada označavala salatu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je nula. U ovom slučaju, držite se i pijte vodu dok je imate)))
Evo. Ovako nešto. Ovdje mogu ispričati druge priče koje bi ovdje bile više nego primjerene.
Dva prijatelja su imala svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon što su ubili jednog od njih, sve je otišlo drugom.
Pojava matematike na našoj planeti.
Sve ove priče su ispričane jezikom matematike koristeći linearne ugaone funkcije. Neki drugi put ću vam pokazati pravo mjesto ovih funkcija u strukturi matematike. U međuvremenu, vratimo se na boršč trigonometriju i razmotrimo projekcije.
Subota, 26.10.2019
Gledao sam zanimljiv video o tome Grundy serija Jedan minus jedan plus jedan minus jedan - Numberphile. Matematičari lažu. Nisu izvršili provjeru jednakosti tokom svog rasuđivanja.
Ovo odražava moje misli o .
Pogledajmo pobliže znakove da nas matematičari varaju. Na samom početku argumenta, matematičari kažu da zbir niza ZAVISI od toga da li ima paran broj elemenata ili ne. Ovo je OBJEKTIVNO UTVRĐENA ČINJENICA. Šta se dalje događa?
Zatim, matematičari oduzimaju niz od jedinice. čemu ovo vodi? To dovodi do promjene broja elemenata niza - paran broj se mijenja u neparan, a neparan u paran broj. Na kraju krajeva, nizu smo dodali jedan element jednak jednom. Unatoč svoj vanjskoj sličnosti, niz prije transformacije nije jednak nizu nakon transformacije. Čak i ako govorimo o beskonačnom nizu, moramo zapamtiti da beskonačan niz s neparnim brojem elemenata nije jednak beskonačnom nizu s parnim brojem elemenata.
Stavljajući znak jednakosti između dva niza sa različitim brojem elemenata, matematičari tvrde da zbir niza NE ZAVISI od broja elemenata u nizu, što je u suprotnosti sa OBJEKTIVNO UTVRĐENOM ČINJENICOM. Dalje razmišljanje o zbiru beskonačnog niza je pogrešno, jer se zasniva na lažnoj jednakosti.
Ako vidite da matematičari u toku dokazivanja stavljaju zagrade, preuređuju elemente matematičkog izraza, dodaju ili uklanjaju nešto, budite veoma oprezni, najvjerovatnije vas pokušavaju prevariti. Poput mađioničara karata, matematičari koriste razne manipulacije izražavanjem da bi vam skrenuli pažnju kako bi vam na kraju dali lažni rezultat. Ako ne možete ponoviti kartaški trik a da ne znate tajnu obmane, onda je u matematici sve mnogo jednostavnije: čak ni ne sumnjate ništa u obmanu, ali ponavljanje svih manipulacija matematičkim izrazom omogućava vam da uvjerite druge u ispravnost dobijeni rezultat, baš kao i kada su vas uvjerili.
Pitanje iz publike: Da li je beskonačnost (kao broj elemenata u nizu S) paran ili neparan? Kako možete promijeniti paritet nečega što nema paritet?
Beskonačnost je za matematičare, kao što je Carstvo nebesko za sveštenike - tamo niko nikada nije bio, ali svi tačno znaju kako sve tamo funkcioniše))) Slažem se, nakon smrti biće vam apsolutno svejedno da li ste živeli paran ili neparan broj dana, ali... Dodavanjem samo jednog dana na početak vašeg života, dobićemo sasvim drugu osobu: njegovo prezime, ime i patronim je potpuno isto, samo je datum rođenja potpuno drugačiji - bio je rođen dan prije tebe.
Sada pređimo na stvar))) Recimo da konačni niz koji ima parnost gubi ovaj paritet kada ide u beskonačnost. Tada svaki konačni segment beskonačnog niza mora izgubiti parnost. Mi ovo ne vidimo. Činjenica da ne možemo sa sigurnošću reći da li beskonačni niz ima paran ili neparan broj elemenata ne znači da je parnost nestala. Paritet, ako postoji, ne može netragom nestati u beskonačnost, kao u rukavu oštrice. Postoji vrlo dobra analogija za ovaj slučaj.
Jeste li ikada pitali kukavicu koja sjedi u satu u kojem smjeru se okreće kazaljka na satu? Za nju, strelica se okreće u suprotnom smjeru od onoga što zovemo "kazaljke na satu". Koliko god paradoksalno zvučalo, smjer rotacije ovisi isključivo o tome s koje strane promatramo rotaciju. I tako, imamo jedan točak koji se okreće. Ne možemo reći u kom pravcu se rotacija dešava, jer je možemo posmatrati i sa jedne i sa druge strane ravni rotacije. Možemo samo posvjedočiti da postoji rotacija. Potpuna analogija s paritetom beskonačnog niza S.
Sada dodajmo drugi rotirajući točak, čija je ravan rotacije paralelna ravnini rotacije prvog rotacionog točka. Još uvijek ne možemo sa sigurnošću reći u kojem smjeru ovi kotači rotiraju, ali apsolutno možemo reći da li se oba kotača rotiraju u istom smjeru ili u suprotnom smjeru. Poređenje dva beskonačna niza S I 1-S, pokazao sam uz pomoć matematike da ovi nizovi imaju različite paritete i stavljanje znaka jednakosti između njih je greška. Osobno vjerujem matematici, ne vjerujem matematičarima))) Usput, da bismo u potpunosti razumjeli geometriju transformacija beskonačnih nizova, potrebno je uvesti koncept "simultanost". Ovo će morati da se nacrta.
Srijeda, 07.08.2019
Završavajući razgovor o tome, moramo razmotriti beskonačan skup. Poenta je da koncept "beskonačnosti" utiče na matematičare kao što udav utiče na zeca. Drhtavi užas beskonačnosti lišava matematičare zdravog razuma. Evo primjera:
Izvorni izvor se nalazi. Alfa označava pravi broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima pokazuje da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako za primjer uzmemo beskonačan skup prirodnih brojeva, onda se razmatrani primjeri mogu predstaviti u ovom obliku:
Kako bi jasno dokazali da su bili u pravu, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Lično, na sve ove metode gledam kao na šamane koji plešu uz tamburaše. U suštini, svi se svode na to da su ili neke sobe prazne i da se useljavaju novi gosti, ili da se neki od posjetitelja izbace u hodnik da se napravi mjesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u formi fantastične priče o Plavuši. Na čemu se zasniva moje rezonovanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što oslobodimo prvu sobu za gosta, jedan od posetilaca će uvek hodati hodnikom od svoje sobe do sledeće do kraja vremena. Naravno, faktor vremena se može glupo zanemariti, ali ovo će biti u kategoriji „nijedan zakon nije pisan za budale“. Sve zavisi od toga šta radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.
Šta je "beskonačan hotel"? Beskonačan hotel je hotel koji uvijek ima bilo koji broj praznih kreveta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve sobe u beskonačnom hodniku za "posetioce" zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik sa "gostinjskim" sobama. Postojaće beskonačan broj takvih koridora. Štaviše, „beskonačni hotel“ ima beskonačan broj spratova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju univerzuma koje je stvorio beskonačan broj bogova. Matematičari nisu u stanju da se distanciraju od banalnih svakodnevnih problema: uvijek postoji samo jedan Bog-Allah-Buda, postoji samo jedan hotel, postoji samo jedan hodnik. Dakle, matematičari pokušavaju da žongliraju serijskim brojevima hotelskih soba, uvjeravajući nas da je moguće “ugurati nemoguće”.
Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji tačan odgovor na ovo pitanje, pošto smo sami izmislili brojeve, ne postoje u prirodi. Da, priroda je odlična u brojanju, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Reći ću vam šta priroda misli drugi put. Pošto smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva ima. Razmotrimo obje opcije, kako i priliči pravim naučnicima.
Opcija jedan. “Neka nam se da” jedan jedini set prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set sa police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nigdje ih uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. Šta ako zaista želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedan iz seta koji smo već uzeli i vratiti na policu. Nakon toga možemo uzeti jednu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet ćemo dobiti beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete zapisati ovako:
Zapisao sam radnje u algebarskoj notaciji i u teoriji skupova, sa detaljnim popisom elemenata skupa. Indeks označava da imamo jedan jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme jedan i doda ista jedinica.
Opcija dva. Na našoj polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam - RAZLIČITIH, uprkos tome što se praktično ne razlikuju. Uzmimo jedan od ovih setova. Zatim uzimamo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodajemo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo šta dobijamo:
Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ovi elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako beskonačnom skupu dodate jedan, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao originalni skup. Ako jednom beskonačnom skupu dodate još jedan beskonačan skup, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.
Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao što se ravnalo za mjerenje. Sada zamislite da ste lenjiru dodali jedan centimetar. Ovo će biti drugačija linija, koja neće biti jednaka originalnoj.
Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - to je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite da li slijedite put lažnog rasuđivanja kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, proučavanje matematike, prije svega, u nama formira stabilan stereotip mišljenja, a tek onda doprinosi našim mentalnim sposobnostima (ili nas, obrnuto, lišava slobodnog razmišljanja).
pozg.ru
Nedjelja, 04.08.2019
Završavao sam postskriptum za članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:
Čitamo: "...bogata teorijska osnova matematike Babilona nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza."
Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Da li nam je teško da savremenu matematiku posmatramo iz iste perspektive? Malo parafrazirajući gornji tekst, lično sam dobio sljedeće:
Bogata teorijska osnova moderne matematike nije holistička i svedena je na skup različitih sekcija, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.
Neću ići daleko da potvrdim svoje riječi - ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim da posvetim čitav niz publikacija najočitijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.
Subota 03.08.2019
Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, potrebno je unijeti novu mjernu jedinicu koja je prisutna u nekom od elemenata odabranog skupa. Pogledajmo primjer.
Neka nam bude dosta A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na osnovu "ljudi". A, indeks sa brojem će označavati serijski broj svake osobe u ovom skupu. Hajde da uvedemo novu mjernu jedinicu "pol" i označimo je slovom b. Pošto su seksualne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A na osnovu spola b. Primijetite da je naš skup “ljudi” sada postao skup “ljudi s rodnim karakteristikama”. Nakon toga možemo podijeliti spolne karakteristike na muške bm i ženski bw seksualne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filter: biramo jednu od ovih seksualnih karakteristika, bez obzira koju – mušku ili žensku. Ako ga osoba ima, onda ga množimo sa jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga sa nulom. A onda koristimo redovnu školsku matematiku. Vidi šta se desilo.
Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, na kraju smo dobili dva podskupa: podskup ljudi Bm i podskup žena Bw. Matematičari razmišljaju na približno isti način kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nam ne govore detalje, već nam daju gotov rezultat - "mnogo ljudi se sastoji od podskupine muškaraca i podskupa žena." Naravno, možda imate pitanje: koliko je pravilno matematika primijenjena u gore navedenim transformacijama? Usuđujem se da vas uvjerim da je u suštini sve urađeno ispravno, dovoljno je poznavati matematičke osnove aritmetike, Bulove algebre i drugih grana matematike. Šta je to? Neki drugi put ću vam pričati o ovome.
Što se tiče superskupova, možete kombinovati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice prisutne u elementima ova dva skupa.
Kao što vidite, mjerne jedinice i obična matematika čine teoriju skupova reliktom prošlosti. Znak da nije sve u redu sa teorijom skupova je to što su matematičari smislili svoj jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su se ponašali kao nekada šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Oni nas uče ovom "znanju".
U zaključku, želim da vam pokažem kako matematičari manipulišu
Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju do danas naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi bili su uključeni u proučavanje problematike; ; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji ta obmana.
Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.
Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.
Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju je da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba mešati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Pokazat ću vam proces na primjeru. Odabiremo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su ove stvari sa lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga odabiremo dio "cjeline" i formiramo set "sa mašnom". Ovako šamani dobijaju hranu vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.
Hajde sada da napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto sa bubuljicom sa mašnom" i kombinujmo ove "cjeline" prema boji, birajući crvene elemente. Imamo dosta "crvenih". Sada poslednje pitanje: da li su dobijeni setovi “sa lukom” i “crvenim” isti set ili dva različita seta? Samo šamani znaju odgovor. Tačnije, ni oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, tako će i biti.
Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je stvarnost u pitanju. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvene čvrste boje sa bubuljicom i mašnom." Formiranje se odvijalo u četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (bubuljičasta), ukras (sa mašnom). Samo skup mjernih jedinica nam omogućava da adekvatno opišemo stvarne objekte jezikom matematike. Ovako to izgleda.
Slovo "a" sa različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su istaknute mjerne jedinice po kojima se "cjelina" razlikuje u preliminarnoj fazi. Jedinica mjere po kojoj se skup formira vadi se iz zagrada. Posljednji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo mjerne jedinice za formiranje skupa, onda rezultat ne ovisi o redoslijedu naših akcija. I ovo je matematika, a ne ples šamana s tamburašima. Šamani mogu "intuitivno" doći do istog rezultata, tvrdeći da je "očigledan", jer jedinice mjere nisu dio njihovog "naučnog" arsenala.
Koristeći mjerne jedinice, vrlo je lako podijeliti jedan set ili kombinirati nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.
Stepen mjera ugla. Radijanska mjera ugla. Pretvaranje stupnjeva u radijane i obrnuto.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
U prethodnoj lekciji naučili smo kako mjeriti uglove na trigonometrijskom krugu. Naučio da brojiš pozitivne i negativne uglove. Naučili smo kako nacrtati ugao veći od 360 stepeni. Vrijeme je da shvatimo kako mjeriti uglove. Pogotovo sa brojem "Pi", koji nastoji da nas zbuni u škakljivim zadacima, da...
Standardni zadaci iz trigonometrije sa brojem "Pi" su dobro riješeni. Vizuelno pamćenje pomaže. Ali svako odstupanje od šablona je katastrofa! Da ne padne - razumeti neophodno. Što ćemo sada sa uspjehom i uraditi. Mislim, sve ćemo razumeti!
dakle, šta računaju li se uglovi? IN školski kurs trigonometrija koristi dvije mjere: stepen mera ugla I mjera radijanskog ugla. Pogledajmo ove mjere. Bez ovoga nema nigde u trigonometriji.
Stepen mjera ugla.
Nekako smo se navikli na stepene. U najmanju ruku smo položili geometriju... A u životu često nailazimo na frazu „okrenuto za 180 stepeni“, na primer. Diploma je, ukratko, jednostavna stvar...
Da? Odgovori mi onda šta je diploma? Šta, ne ide odmah? To je to...
Stepeni su izmišljeni u starom Babilonu. Bilo je to davno... pre 40 vekova... I oni su došli na jednostavnu ideju. Uzeli su i podijelili krug na 360 jednakih dijelova. 1 stepen je 1/360 kruga. To je sve. Mogli su ga razbiti na 100 komada. Ili 1000. Ali podijelili su na 360. Usput, zašto baš 360? Kako je 360 bolje od 100? Čini se da je 100 nekako lakše... Pokušajte odgovoriti na ovo pitanje. Ili slab protiv Drevnog Babilona?
Negde u isto vreme, unutra Drevni Egipat bili su mučeni drugim pitanjem. Koliko je puta dužina kruga veća od dužine njegovog prečnika? I mjerili su ovako, i ovako... Sve je malo ispalo više od tri. Ali nekako je ispalo čupavo, neravno... Ali nisu oni, Egipćani, krivi. Nakon njih, patili su još 35 vekova. Sve dok konačno nisu dokazali da koliko god fino isječeš krug na jednake komade, od takvih se može napraviti glatko dužina prečnika je nemoguća... U principu je nemoguće. Pa koliko puta je obim veći od prečnika je utvrđeno, naravno. Otprilike. 3,1415926... puta.
Ovo je broj "Pi". Tako čupavo, tako čupavo. Nakon decimalnog zareza postoji beskonačan broj brojeva bez ikakvog reda... Takvi brojevi se nazivaju iracionalnim. To, inače, znači da od jednakih komada kruga prečnik glatko ne savijati. Nikad.
Za praktičnu upotrebu, uobičajeno je zapamtiti samo dvije znamenke nakon decimalnog zareza. Zapamtite:
Budući da razumijemo da je obim veći od prečnika za "Pi" puta, ima smisla zapamtiti formulu za obim:
Gdje L- obim, i d- njegov prečnik.
Korisno u geometriji.
Za opšte obrazovanje, dodaću da se broj „Pi“ ne nalazi samo u geometriji... U raznim granama matematike, a posebno u teoriji verovatnoće, ovaj broj se stalno pojavljuje! Samo po sebi. Iznad naših želja. Volim ovo.
No, vratimo se stepenima. Jeste li shvatili zašto je u starom Babilonu krug bio podijeljen na 360 jednakih dijelova? A ne sa 100, na primjer? Ne? UREDU. Daću vam verziju. Ne možete pitati stare Babilonce... Za konstrukciju, ili, recimo, astronomiju, zgodno je podijeliti krug na jednake dijelove. Sada shvati s kojim brojevima je djeljiva potpuno 100, a kojih - 360? I u kojoj verziji ovih djelitelja potpuno- više? Ova podjela je vrlo zgodna za ljude. ali...
Kako se pokazalo mnogo kasnije od Drevnog Babilona, ne vole svi diplome. Viša matematika ih ne voli... Viša matematika je ozbiljna dama, organizovana po zakonima prirode. A ova gospođa izjavljuje: “Danas si razbio krug na 360 dijelova, sutra ćeš ga razbiti na 100, prekosutra na 245... A šta da radim, stvarno...” Morao sam da slušam. Ne možete prevariti prirodu...
Morali smo uvesti meru ugla koja nije zavisila od ljudskih izuma. Upoznajte - radian!
Radijanska mjera ugla.
Šta je radijan? Definicija radijana se još uvijek temelji na krugu. Ugao od 1 radijana je ugao koji seče luk iz kruga čija je dužina ( L) jednaka je dužini polumjera ( R). Pogledajmo slike.
Tako mali ugao, skoro da i ne postoji... Pomerimo kursor preko slike (ili dodirnemo sliku na tabletu) i vidimo otprilike jednu radian. L = R
Osjećate li razliku?
Jedan radijan je mnogo više od jednog stepena. Koliko puta?
Pogledajmo sljedeću sliku. Na kojoj sam nacrtao polukrug. Razvijeni ugao je, prirodno, 180°.
Sada ću izrezati ovaj polukrug u radijane! Prelazimo kursorom preko slike i vidimo da 180° odgovara 3 plus radijana.
Ko može da pogodi čemu je ravan ovaj rep!?
Da! Ovaj rep je 0,1415926.... Zdravo, broj "Pi", još te nismo zaboravili!
Zaista, 180° stepeni sadrži 3,1415926... radijana. Kao što i sami razumete, pisati 3,1415926 stalno... je nezgodno. Stoga, umjesto ovog beskonačnog broja, uvijek pišu jednostavno:
Ali na internetu broj
Nezgodno je pisati... Zato pišem njegovo ime u tekstu - "Pi". Nemojte se zbuniti, u redu?...
Sada možemo zapisati približnu jednakost na potpuno smislen način:
Ili tačna jednakost:
Hajde da odredimo koliko je stepeni u jednom radijanu. Kako? Lako! Ako je 180° stepeni u 3,14 radijana, onda je u 1 radijanu 3,14 puta manje! Odnosno, prvu jednačinu (formula je također jednačina!) dijelimo sa 3.14:
Ovaj omjer je korisno zapamtiti. Jedan radijan je otprilike 60°. U trigonometriji često morate procijeniti i procijeniti situaciju. Ovdje ovo znanje mnogo pomaže.
Ali glavna vještina ove teme je pretvaranje stupnjeva u radijane i obrnuto.
Ako je ugao dat u radijanima sa brojem "Pi", sve je vrlo jednostavno. Znamo da je "Pi" radijani = 180°. Dakle, radijane zamjenjujemo za “Pi” - 180°. Dobijamo ugao u stepenima. Smanjujemo ono što je smanjeno i odgovor je spreman. Na primjer, moramo saznati koliko stepeni u uglu "Pi"/2 radian? Pa pišemo:
Ili, egzotičniji izraz:
Lako, zar ne?
Obrnuti prijevod je malo složeniji. Ali ne mnogo. Ako je ugao dat u stepenima, moramo izračunati koliko je jedan stepen jednak u radijanima i taj broj pomnožiti sa brojem stepeni. Čemu je jednak 1° u radijanima?
Gledamo formulu i shvatamo da ako je 180° = “Pi” radijani, onda je 1° 180 puta manji. Ili, drugim riječima, dijelimo jednačinu (formula je također jednačina!) sa 180. Nema potrebe da se “Pi” predstavlja kao 3,14, ionako se uvijek piše slovom. Nalazimo da je jedan stepen jednak:
To je sve. Pomnožimo broj stepeni sa ovom vrednošću i dobijemo ugao u radijanima. Na primjer:
Ili, slično:
Kao što vidite, u laganom razgovoru sa lirskim digresijama, pokazalo se da su radijani vrlo jednostavni. A prevod nije problem... A "Pi" je sasvim podnošljiva stvar... Pa otkud zabuna!?
Otkriću tajnu. Činjenica je da je u trigonometrijskim funkcijama napisan simbol stupnjeva. Uvijek. Na primjer, sin35°. Ovo je sinus 35 stepeni . I ikona radijana ( drago) - nije napisano! To se podrazumeva. Ili je matematičare obuzela lenjost, ili nešto treće... Ali su odlučili da ne pišu. Ako nema simbola unutar sinusnog kotangensa, onda je ugao u radijanima ! Na primjer, cos3 je kosinus od tri radijani .
To dovodi do zabune... Osoba vidi „Pi“ i veruje da je 180°. Bilo kada i bilo gdje. Usput, ovo funkcionira. Za sada su primjeri standardni. Ali "Pi" je broj! Broj je 3,14, ali ne i stepeni! Ovo je "Pi" radijani = 180°!
Još jednom: “Pi” je broj! 3.14. Iracionalno, ali broj. Isto kao 5 ili 8. Možete, na primjer, raditi oko "Pi" koraka. Tri koraka i još malo. Ili kupite "Pi" kilograme slatkiša. Ako obrazovani prodavac naiđe na...
"Pi" je broj! Šta, jesam li te iznervirao ovom frazom? Jeste li već odavno sve shvatili? UREDU. Hajde da proverimo. Reci mi koji je broj veći?
Ili šta je manje?
Ovo je jedno u nizu pomalo nestandardnih pitanja koja vas mogu dovesti u omamljenost...
Ako ste i vi pali u stupor, zapamtite čaroliju: „Pi“ je broj! 3.14. U samom prvom sinusu jasno je navedeno da je ugao u stepenima! Stoga je nemoguće zamijeniti “Pi” za 180°! "Pi" stepeni je približno 3,14°. Stoga možemo napisati:
U drugom sinusu nema zapisa. Dakle, tamo - radijani! Ovdje će zamjena "Pi" za 180° raditi sasvim dobro. Pretvaranjem radijana u stepene, kao što je gore napisano, dobijamo:
Ostaje da uporedimo ova dva sinusa. Šta. zaboravio kako? Koristeći trigonometrijski krug, naravno! Nacrtajte krug, nacrtajte približne uglove od 60° i 1,05°. Hajde da vidimo koje sinuse imaju ovi uglovi. Ukratko, sve je opisano kao na kraju teme o trigonometrijskom krugu. Na krugu (čak i onom krivom!) to će se jasno vidjeti sin60° znatno više od sin1.05°.
Uradićemo potpuno istu stvar sa kosinusima. Na krugu ćemo nacrtati uglove od približno 4 stepeni i 4 radian(Jeste li zaboravili čemu je približno jednak 1 radijan?). Krug će reći sve! Naravno, cos4 je manji od cos4°.
Vježbajmo korištenje mjera uglova.
Pretvorite ove uglove iz stepeni u radijane:
360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°
Trebali biste dobiti ove vrijednosti u radijanima (drugim redoslijedom!)
| 0 | ||||
Inače, odgovore sam posebno istakao u dva reda. Pa, hajde da shvatimo koji su uglovi u prvom redu? Barem u stepenima, barem u radijanima?
Da! Ovo su ose koordinatnog sistema! Ako pogledate trigonometrijski krug, onda je pokretna strana ugla s ovim vrijednostima tačno pristaje na osovine. Ove vrijednosti moraju biti poznate. I primetio sam ugao od 0 stepeni (0 radijana) sa dobrim razlogom. I onda neki ljudi jednostavno ne mogu pronaći ovaj ugao na kružnici... I, shodno tome, zabune se u trigonometrijskim funkcijama nule... Druga stvar je da se položaj pokretne strane na nula stepeni poklapa sa položajem na 360°, tako da uvijek postoje podudarnosti na krugu blizu.
U drugom redu su i posebni uglovi... To su 30°, 45° i 60°. I šta je tako posebno kod njih? Ništa posebno. Jedina razlika između ovih uglova i svih ostalih je u tome što treba da znate o tim uglovima Sve. A gdje se nalaze i koji su to uglovi? trigonometrijske funkcije. Recimo vrijednost sin100° ne morate znati. A sin45°- molim te budi tako ljubazan! Ovo je obavezno znanje, bez kojeg se nema šta raditi u trigonometriji... Ali više o tome u sledećoj lekciji.
U međuvremenu, nastavimo sa treninzima. Pretvorite ove uglove iz radijana u stepen:
Trebali biste dobiti ovakve rezultate (u neredu):
210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.
Desilo se? Onda to možemo pretpostaviti pretvaranje stepeni u radijane i nazad- više nije vaš problem.) Ali prevođenje uglova je prvi korak ka razumevanju trigonometrije. Tu je potrebno raditi i sa sinusima i kosinusima. I sa tangentama i kotangensima također...
Drugi moćan korak je sposobnost određivanja položaja bilo kojeg ugla na trigonometrijskom krugu. I u stepenima i u radijanima. Dat ću vam dosadne savjete o ovoj vještini kroz trigonometriju, da...) Ako znate sve (ili mislite da znate sve) o trigonometrijskom krugu i mjerenju uglova na trigonometrijskom krugu, možete to provjeriti. Riješite ove jednostavne zadatke:
1. U koju četvrtinu padaju uglovi:
45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?
Lako? nastavimo:
2. U koju četvrtinu padaju uglovi:
402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?
Nema problema? Pa vidi...)
3. Uglove možete postaviti na četvrtine:
Dali bi mogao? Pa ti daj..)
4. Na koje osi će pasti ugao:
i ugao:
Da li je i lako? hm...)
5. U koju četvrtinu padaju uglovi:
I uspjelo je!? Pa onda stvarno ne znam...)
6. Odredite u koju četvrtinu spadaju uglovi:
1, 2, 3 i 20 radijana.
Odgovor ću dati samo na posljednje pitanje (malo je zeznuto) posljednjeg zadatka. Ugao od 20 radijana pada u prvu četvrtinu.
Ostatak odgovora neću davati, ne iz pohlepe.) Jednostavno, ako vi nisu odlučili nešto sumnjate u to kao rezultat, ili potrošeno na zadatak br. 4 više od 10 sekundi, loše ste orijentisani u krug. Ovo će biti vaš problem u cijeloj trigonometriji. Bolje je da ga se odmah riješite (problem, a ne trigonometrija!). To se može uraditi u temi: Praktični rad sa trigonometrijskim krugom u odeljku 555.
Govori kako jednostavno i ispravno riješiti takve zadatke. Pa, ovi zadaci su, naravno, riješeni. I četvrti zadatak je riješen za 10 sekundi. Da, odlučeno je da to može svako!
Ako ste potpuno sigurni u svoje odgovore i ne zanimaju vas jednostavni i bezbrižni načini rada sa radijanima, ne morate posjetiti 555. Ne insistiram.)
Dobro razumevanje je dovoljan razlog da krenemo dalje!)
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
