مدرسه متوسطه روستایی Kopyevskaya

10 روش برای حل معادلات درجه دوم

رئیس: پاتریکیوا گالینا آناتولیونا،

معلم ریاضی

روستای Kopevo، 2007

1. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

1.1 معادلات درجه دوم در بابل باستان

1.2 چگونه دیوفانتوس گردآوری و حل کرد معادلات درجه دوم

1.3 معادلات درجه دوم در هند

1.4 معادلات درجه دوم توسط الخوارزمی

1.5 معادلات درجه دوم در اروپا قرن XIII - XVII

1.6 درباره قضیه ویتا

2. روش های حل معادلات درجه دوم

نتیجه

ادبیات

1. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

1.1 معادلات درجه دوم در بابل باستان

نیاز به حل معادلات نه تنها درجه یک، بلکه درجه دوم در دوران باستان ناشی از نیاز به حل مسائل مربوط به یافتن مناطق بود. قطعات زمینو با کارهای خاکی با ماهیت نظامی، و همچنین با توسعه خود نجوم و ریاضیات. معادلات درجه دوم را می توان در حدود 2000 سال قبل از میلاد حل کرد. ه. بابلی ها

با استفاده از نماد جبری مدرن، می توان گفت که در متون خط میخی آنها، علاوه بر متن های ناقص، مانند معادلات درجه دوم کامل وجود دارد:

ایکس 2 + ایکس = ¾; ایکس 2 - ایکس = 14,5

قاعده حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساساً با قانون امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند. تقریباً تمام متون خط میخی که تاکنون یافت شده اند، تنها مشکلاتی را با راه حل های ارائه شده در قالب دستور العمل ارائه می دهند، بدون هیچ اشاره ای به نحوه یافتن آنها.

با وجود سطح بالاتوسعه جبر در بابل، متون خط میخی فاقد مفهوم عدد منفی و روش های کلی برای حل معادلات درجه دوم هستند.

1.2 چگونه دیوفانتوس معادلات درجه دوم را تشکیل داد و حل کرد.

حساب دیوفانتوس شامل ارائه سیستماتیک جبر نیست، اما شامل یک سری مسائل سیستماتیک است که با توضیحات همراه است و با ساخت معادلات درجات مختلف حل می شود.

هنگام تنظیم معادلات، دیوفانتوس به طرز ماهرانه ای مجهولات را برای ساده کردن راه حل انتخاب می کند.

مثلاً یکی از وظایف او اینجاست.

مسئله 11.دو عدد را با دانستن اینکه مجموع آنها 20 و حاصل ضرب آنها 96 است پیدا کنید.

دیوفانتوس چنین استدلال می کند: از شرایط مسئله بر می آید که اعداد مورد نیاز مساوی نیستند، زیرا اگر مساوی بودند، حاصلضرب آنها برابر با 96 نمی شد، بلکه برابر 100 بود. بنابراین، یکی از آنها بیشتر از نیمی از مجموع آنها، یعنی . 10 + x، دیگری کمتر است، یعنی. دهه 10. تفاوت بین آنها 2 برابر .

از این رو معادله:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

از اینجا x = 2. یکی از اعداد مورد نیاز برابر است با 12 ، دیگر 8 . راه حل x = -2زیرا دیوفانتوس وجود ندارد، زیرا ریاضیات یونانی فقط اعداد مثبت می دانستند.

اگر این مشکل را با انتخاب یکی از اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول حل کنیم، به جواب معادله خواهیم رسید.

y (20 - y) = 96،

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

واضح است که دیوفانتوس با انتخاب نیم تفاضل اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول، راه حل را ساده می کند. او موفق می شود مسئله را به حل یک معادله درجه دوم ناقص تقلیل دهد (1).

1.3 معادلات درجه دوم در هند

مسائل مربوط به معادلات درجه دوم را قبلاً در رساله نجومی "آریابهاتیام" که در سال 499 توسط ریاضیدان و ستاره شناس هندی آریابهاتا گردآوری شده است یافت می شود. دانشمند هندی دیگری به نام براهماگوپتا (قرن هفتم) به طور خلاصه بیان کرد قانون کلیحل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد کاهش یافته است:

آه 2 + ب x = c، a > 0. (1)

در رابطه (1)، ضرایب، به جز آ، همچنین می تواند منفی باشد. قانون برهماگوپتا اساساً با ما یکی است.

در هند باستان، مسابقات عمومی برای حل مسائل دشوار رایج بود. یکی از کتاب های قدیمی هندی در مورد چنین مسابقاتی چنین می گوید: «همانطور که خورشید با درخشندگی خود ستاره ها را می گیرد، بنابراین انسان آموختهبا طرح و حل مسائل جبری، شکوه دیگری را در مجامع مردمی تحت الشعاع قرار دهید.» مشکلات غالباً در قالب شعر مطرح می شد.

این یکی از مشکلات ریاضیدان مشهور هندی قرن دوازدهم است. باسکارها

مسئله 13.

"یک گله میمون دمدمی مزاج و دوازده میمون در کنار تاک ها...

مسئولین پس از خوردن غذا، سرگرم شدند. شروع کردند به پریدن، آویزان شدن...

آنها در میدان هستند، قسمت هشتم چند تا میمون بود؟

در پاکسازی داشتم خوش می گذراندم. به من بگو، در این بسته؟

راه حل بهاسکارا نشان می دهد که او می دانست که ریشه های معادلات درجه دوم دو مقدار هستند (شکل 3).

معادله مربوط به مسئله 13 به صورت زیر است:

( ایکس /8) 2 + 12 = ایکس

باسکارا در پوشش می نویسد:

x 2 - 64x = -768

و برای تکمیل سمت چپ این معادله به یک مربع، به هر دو طرف اضافه می کند 32 2 ، سپس دریافت:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024،

(x - 32) 2 = 256،

x - 32 = 16 ±،

x 1 = 16، x 2 = 48.

1.4 معادلات درجه دوم در خوارزمی

در رساله جبری خوارزمی طبقه بندی معادلات خطی و درجه دوم آورده شده است. نویسنده 6 نوع معادله را برمی شمارد و آنها را به صورت زیر بیان می کند:

1) "مربع ها برابر با ریشه هستند" یعنی. تبر 2 + c = ب ایکس.

2) "مربع مساوی اعداد هستند"، یعنی. تبر 2 = ج.

3) "ریشه ها مساوی عدد هستند" یعنی. ah = s.

4) «مربع و اعداد مساوی ریشه هستند» یعنی. تبر 2 + c = ب ایکس.

5) «مربع و ریشه مساوی اعداد هستند» یعنی. آه 2 + bx = s.

6) "ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند" یعنی. bx + c = تبر 2 .

برای خوارزمی که از استفاده از اعداد منفی پرهیز کرده است، عبارات هر یک از این معادلات جمع هستند و نه قابل تفریق. در این حالت معادلاتی که جواب مثبت ندارند بدیهی است که در نظر گرفته نمی شوند. نویسنده روش هایی را برای حل این معادلات با استفاده از تکنیک های الجبر و المقابله ارائه می کند. تصمیمات او البته کاملاً با تصمیم ما منطبق نیست. ناگفته نماند که صرفاً بلاغی است، باید توجه داشت که مثلاً هنگام حل یک معادله درجه دوم ناقص نوع اول

الخوارزمی، مانند همه ریاضیدانان قبل از قرن هفدهم، راه حل صفر را در نظر نمی گیرد، احتمالاً به این دلیل که در مسائل عملی خاص مهم نیست. خوارزمی هنگام حل معادلات درجه دوم، قوانین حل آنها را با استفاده از مثال های عددی خاص و سپس برهان های هندسی تعیین می کند.

مسئله 14.«مربع و عدد 21 برابر با 10 ریشه است. ریشه را پیدا کن" (دلالت بر ریشه معادله x 2 + 21 = 10x دارد).

راه حل نویسنده چیزی شبیه به این است: تعداد ریشه ها را به نصف تقسیم کنید، 5 بدست می آورید، 5 را در خودش ضرب کنید، 21 را از حاصلضرب کم کنید، آنچه باقی می ماند 4 است. ریشه را از 4 بگیرید، 2 را دریافت می کنید. ، شما 3 دریافت می کنید، این ریشه مورد نظر خواهد بود. یا 2 به 5 اضافه کنید که 7 می شود، این هم ریشه است.

رساله خوارزمی اولین کتابی است که به دست ما رسیده است که به طور سیستماتیک طبقه بندی معادلات درجه دوم را بیان می کند و برای حل آنها فرمول می دهد.

1.5 معادلات درجه دوم در اروپا سیزدهم - XVII bb

فرمول های حل معادلات درجه دوم در امتداد خطوط خوارزمی در اروپا برای اولین بار در کتاب چرتکه که در سال 1202 توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی نوشته شده است، ارائه شد. این اثر حجیم که نشان دهنده تأثیر ریاضیات، هم کشورهای اسلامی و هم یونان باستان، از نظر کامل بودن و وضوح ارائه متمایز می شود. نویسنده به طور مستقل موارد جدیدی را توسعه داده است مثال های جبریحل مشکلات و اولین بار در اروپا بود که اعداد منفی را معرفی کرد. کتاب او به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد. مشکلات زیادی از کتاب چرتکه تقریباً در تمام کتابهای درسی اروپایی قرن 16 - 17 استفاده شد. و تا حدودی هجدهم.

قانون کلی برای حل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد کاهش می یابد:

x 2 + bx = ج،

برای تمام ترکیبات ممکن از علائم ضریب ب , باتنها در سال 1544 توسط M. Stiefel در اروپا فرموله شد.

اشتقاق فرمول برای حل معادله درجه دوم به صورت کلی از Viète در دسترس است، اما Viète فقط ریشه های مثبت را تشخیص داد. ریاضیدانان ایتالیایی تارتالیا، کاردانو، بومبلی از جمله اولین ریاضیدانان در قرن شانزدهم بودند. علاوه بر موارد مثبت، ریشه های منفی نیز مورد توجه قرار می گیرد. فقط در قرن هفدهم. به لطف کار ژیرار، دکارت، نیوتن و دیگر دانشمندان، روش حل معادلات درجه دوم شکل مدرن به خود می گیرد.

1.6 درباره قضیه ویتا

قضیه بیان کننده رابطه بین ضرایب یک معادله درجه دوم و ریشه های آن به نام ویتا برای اولین بار توسط وی در سال 1591 به صورت زیر فرموله شد: «اگر ب + D، ضربدر آ - آ 2 ، برابر است BD، آن آبرابر است که درو برابر D ».

برای درک ویتا، باید آن را به خاطر بسپاریم آ، مانند هر حرف مصوت به معنای ناشناخته (ما ایکس)، مصوت ها که در، D- ضرایب برای مجهول. در زبان جبر مدرن، فرمول Vieta فوق به معنای: اگر وجود دارد

(a + ب )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + ب )x + a ب = 0,

x 1 = a، x 2 = ب .

ویته با بیان رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادلات با فرمول های کلی که با استفاده از نمادها نوشته شده اند، یکنواختی را در روش های حل معادلات ایجاد کرد. با این حال، نمادگرایی ویت هنوز دور است ظاهر مدرن. او اعداد منفی را تشخیص نمی داد و بنابراین هنگام حل معادلات فقط مواردی را در نظر می گرفت که همه ریشه ها مثبت بودند.

2. روش های حل معادلات درجه دوم

معادلات درجه دوم شالوده ای هستند که عمارت باشکوه جبر بر آن استوار است. معادلات درجه دوم پیدا می شود کاربرد گستردههنگام حل معادلات و نابرابری های مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی، غیر منطقی و ماورایی. همه ما می دانیم که چگونه معادلات درجه دوم را از مدرسه (کلاس هشتم) تا فارغ التحصیلی حل کنیم.

معادلات درجه دوم در کلاس هشتم مطالعه می شوند، بنابراین هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد. توانایی حل آنها کاملاً ضروری است.

معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 است که در آن ضرایب a، b و c اعداد دلخواه و a ≠ 0 هستند.

قبل از مطالعه روش های حل خاص، توجه داشته باشید که تمام معادلات درجه دوم را می توان به سه کلاس تقسیم کرد:

1. آنها ریشه ندارند.
2. دقیقا یک ریشه داشته باشد.
3. آنها دو ریشه متفاوت دارند.

این یک تفاوت مهم بین معادلات درجه دوم و معادلات خطی است، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه تعیین کنیم که یک معادله چند ریشه دارد؟ یک چیز شگفت انگیز برای این وجود دارد - ممیز.

ممیز

اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 داده شود، سپس متمایز کننده به سادگی عدد D = b 2 - 4ac است.

شما باید این فرمول را از روی قلب بدانید. الان از کجا آمده مهم نیست. یک چیز دیگر مهم است: با علامت تمایز می توانید تعیین کنید که یک معادله درجه دوم چند ریشه دارد. برای مثال:

1. اگر D< 0, корней нет;
2. اگر D = 0 باشد، دقیقاً یک ریشه وجود دارد.
3. اگر D > 0 باشد، دو ریشه وجود خواهد داشت.

لطفاً توجه داشته باشید: متمایز کننده تعداد ریشه ها را نشان می دهد و اصلاً علائم آنها را نشان نمی دهد ، همانطور که به دلایلی بسیاری از مردم معتقدند. به مثال ها نگاهی بیندازید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:

وظیفه. معادلات درجه دوم چند ریشه دارند:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

بیایید ضرایب معادله اول را بنویسیم و ممیز را پیدا کنیم:
a = 1، b = -8، c = 12;
D = (-8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

بنابراین ممیز مثبت است، بنابراین معادله دو ریشه متفاوت دارد. ما معادله دوم را به روشی مشابه تجزیه و تحلیل می کنیم:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = 131-.

ممیز منفی است، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی مانده این است:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

ممیز صفر است - ریشه یک خواهد بود.

لطفا توجه داشته باشید که ضرایب برای هر معادله نوشته شده است. بله، طولانی است، بله، خسته کننده است، اما شما شانس را با هم مخلوط نمی کنید و اشتباهات احمقانه ای مرتکب نمی شوید. خودتان انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.

به هر حال، اگر به آن دست پیدا کنید، پس از مدتی نیازی به نوشتن همه ضرایب نخواهید داشت. شما چنین عملیاتی را در سر خود انجام خواهید داد. اکثر مردم از جایی بعد از 50-70 معادله حل شده شروع به انجام این کار می کنند - به طور کلی، نه چندان زیاد.

ریشه های یک معادله درجه دوم

حالا بیایید به سراغ خود راه حل برویم. اگر تفکیک کننده D > 0 باشد، ریشه ها را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد:

فرمول اصلی برای ریشه های یک معادله درجه دوم

وقتی D = 0 باشد، می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - همان عدد را دریافت خواهید کرد که پاسخ خواهد بود. در نهایت، اگر D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

معادله اول:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم:

معادله دوم:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2-4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \راست))=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

در نهایت معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ معادله یک ریشه دارد. از هر فرمولی می توان استفاده کرد. مثلا اولی:

همانطور که از مثال ها می بینید، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول ها را بلد باشید و بتوانید بشمارید مشکلی پیش نمی آید. اغلب، هنگام جایگزینی ضرایب منفی در فرمول، خطا رخ می دهد. در اینجا دوباره، تکنیک توضیح داده شده در بالا کمک خواهد کرد: به فرمول به معنای واقعی کلمه نگاه کنید، هر مرحله را یادداشت کنید - و خیلی زود از شر اشتباهات خلاص خواهید شد.

معادلات درجه دوم ناقص

این اتفاق می افتد که یک معادله درجه دوم کمی با آنچه در تعریف ارائه شده است متفاوت است. مثلا:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

به راحتی می توان متوجه شد که این معادلات دارای یکی از اصطلاحات هستند. حل چنین معادلات درجه دوم حتی ساده تر از معادلات استاندارد است: آنها حتی نیازی به محاسبه متمایز ندارند. بنابراین، بیایید یک مفهوم جدید را معرفی کنیم:

معادله ax 2 + bx + c = 0 یک معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود اگر b = 0 یا c = 0، یعنی. ضریب متغیر x یا عنصر آزاد برابر با صفر است.

البته زمانی که هر دوی این ضرایب برابر با صفر باشند، یک حالت بسیار دشوار ممکن است: b = c = 0. در این حالت، معادله به شکل ax 2 = 0 است. بدیهی است که چنین معادله ای یک ریشه دارد: x = 0.

بیایید موارد باقیمانده را در نظر بگیریم. اجازه دهید b = 0، سپس یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 + c = 0 به دست می آوریم. اجازه دهید آن را کمی تبدیل کنیم:

از حسابی ریشه دومفقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد، آخرین تساوی فقط برای (−c/a) ≥ 0 معنا دارد. نتیجه‌گیری:

1. اگر در یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 + c = 0 نابرابری (-c/a) ≥ 0 برآورده شود، دو ریشه وجود خواهد داشت. فرمول بالا داده شده است؛
2. اگر (-c/a)< 0, корней нет.

همانطور که می بینید، نیازی به تشخیص وجود نداشت - در معادلات درجه دوم ناقص هیچ محاسبات پیچیده ای وجود ندارد. در واقع، حتی لازم نیست نابرابری (−c/a) ≥ 0 را به خاطر بسپارید. کافی است مقدار x 2 را بیان کنید و ببینید در طرف دیگر علامت مساوی چه چیزی وجود دارد. اگر یک عدد مثبت وجود داشته باشد، دو ریشه خواهد بود. اگر منفی باشد، اصلا ریشه ای وجود نخواهد داشت.

حال بیایید به معادلات شکل ax 2 + bx = 0 نگاه کنیم که در آن عنصر آزاد برابر با صفر است. همه چیز در اینجا ساده است: همیشه دو ریشه وجود خواهد داشت. کافی است چند جمله ای را فاکتور بگیریم:

زمانی که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، حاصلضرب صفر است. ریشه ها از اینجا می آید. در پایان، اجازه دهید به چند مورد از این معادلات نگاه کنیم:

وظیفه. حل معادلات درجه دوم:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(-7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. هیچ ریشه ای وجود ندارد، زیرا یک مربع نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم. موارد ریشه های واقعی، متعدد و پیچیده در نظر گرفته شده است. فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم. تفسیر هندسی نمونه هایی از تعیین ریشه و فاکتورگیری.

فرمول های پایه

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید:
(1) .
ریشه های یک معادله درجه دوم(1) با فرمول های زیر تعیین می شود:
; .
این فرمول ها را می توان به صورت زیر ترکیب کرد:
.
هنگامی که ریشه های یک معادله درجه دوم مشخص است، آنگاه یک چند جمله ای درجه دوم را می توان به عنوان حاصلضرب عوامل (فاکتور) نشان داد:
.

ما همچنین فرض می کنیم که - اعداد واقعی.
در نظر بگیریم تفکیک معادله درجه دوم:
.
اگر ممیز مثبت باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه واقعی متفاوت است:
; .
سپس فاکتورسازی مثلثی درجه دوم به شکل زیر است:
.
اگر ممیز برابر با صفر باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه واقعی چندگانه (برابر) است:
.
فاکتورسازی:
.
اگر ممیز منفی باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه مزدوج پیچیده است:
;
.
در اینجا واحد خیالی، ;
و قسمت های واقعی و خیالی ریشه ها هستند:
; .
سپس

.

تفسیر گرافیکی

اگر بسازید نمودار یک تابع
,
که یک سهمی است، سپس نقاط تلاقی نمودار با محور، ریشه معادله خواهد بود.
.
در نمودار، محور x (محور) را در دو نقطه قطع می کند.
هنگامی که نمودار، محور x را در یک نقطه لمس می کند.
هنگامی که نمودار از محور x عبور نمی کند.

در زیر نمونه هایی از این گونه نمودارها آورده شده است.

فرمول های مفید مربوط به معادله درجه دوم

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

ما تبدیل ها را انجام می دهیم و فرمول های (f.1) و (f.3) را اعمال می کنیم:




,
جایی که
; .

بنابراین، ما فرمول چند جمله ای درجه دوم را به شکل زیر دریافت کردیم:
.
این نشان می دهد که معادله

انجام شده در
و .
یعنی و ریشه های معادله درجه دوم هستند
.

نمونه هایی از تعیین ریشه های یک معادله درجه دوم

مثال 1

(1.1) .

راه حل

.
با مقایسه با معادله ما (1.1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
از آنجایی که ممیز مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد:
;
;
.

از این، فاکتورسازی سه جمله درجه دوم را به دست می آوریم:

.

نمودار تابع y = 2 x 2 + 7 x + 3محور x را در دو نقطه قطع می کند.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. از محور آبسیسا (محور) در دو نقطه عبور می کند:
و .
این نقاط ریشه معادله اصلی (1.1) هستند.

پاسخ

;
;
.

مثال 2

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید:
(2.1) .

راه حل

بیایید معادله درجه دوم را به صورت کلی بنویسیم:
.
در مقایسه با معادله اصلی (2.1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
از آنجایی که ممیز صفر است، معادله دارای دو ریشه چندگانه (مساوی) است:
;
.

سپس فاکتورگیری مثلثی به شکل زیر است:
.

نمودار تابع y = x 2 - 4 x + 4محور x را در یک نقطه لمس می کند.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. محور x (محور) را در یک نقطه لمس می کند:
.
این نقطه ریشه معادله اصلی (2.1) است. از آنجایی که این ریشه دو بار فاکتور می شود:
,
سپس چنین ریشه ای معمولاً مضرب نامیده می شود. یعنی معتقدند دو ریشه مساوی وجود دارد:
.

پاسخ

;
.

مثال 3

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید:
(3.1) .

راه حل

بیایید معادله درجه دوم را به صورت کلی بنویسیم:
(1) .
بیایید معادله اصلی (3.1) را بازنویسی کنیم:
.
در مقایسه با (1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
ممیز منفی است، . بنابراین هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

شما می توانید ریشه های پیچیده را پیدا کنید:
;
;
.

سپس


.

نمودار تابع از محور x عبور نمی کند. هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. محور x را قطع نمی کند. بنابراین هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

پاسخ

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. ریشه های پیچیده:
;
;
.

برخی از مسائل در ریاضیات نیاز به توانایی محاسبه مقدار جذر دارد. چنین مسائلی شامل حل معادلات درجه دوم است. در این مقاله ارائه خواهیم داد روش موثرمحاسبات ریشه های مربعو هنگام کار با فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم از آن استفاده کنید.

جذر چیست؟

در ریاضیات، این مفهوم با نماد √ مطابقت دارد. داده های تاریخی می گوید که اولین بار در حدود نیمه اول قرن شانزدهم در آلمان مورد استفاده قرار گرفت (اولین کار آلمانی در مورد جبر توسط کریستوف رودولف). دانشمندان معتقدند که نماد مشخص شده تبدیل شده است حرف لاتین r (رادیکس در لاتین به معنای "ریشه" است).

ریشه هر عدد برابر با مقداری است که مربع آن با عبارت رادیکال مطابقت دارد. در زبان ریاضیات، این تعریف به این صورت خواهد بود: √x = y، اگر y 2 = x.

ریشه یک عدد مثبت (x > 0) نیز یک عدد مثبت است (y > 0)، اما اگر ریشه یک عدد منفی را بگیرید (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

در اینجا دو مثال ساده وجود دارد:

√9 = 3، از 3 2 = 9; √(-9) = 3i، زیرا i 2 = -1 است.

فرمول تکراری هرون برای یافتن مقادیر ریشه های مربع

مثال های بالا بسیار ساده هستند و محاسبه ریشه در آنها کار سختی نیست. هنگام یافتن مقادیر ریشه برای هر مقداری که نمی تواند به صورت مربع نمایش داده شود، مشکلات ظاهر می شوند عدد طبیعیبه عنوان مثال √10، √11، √12، √13، ناگفته نماند که در عمل لازم است برای اعداد غیر صحیح ریشه پیدا کنیم: به عنوان مثال √(12،15)، √(8،5) و غیره

در تمامی موارد فوق باید از روش خاصی برای محاسبه جذر استفاده شود. در حال حاضر، چندین روش شناخته شده است: به عنوان مثال، گسترش سری تیلور، تقسیم ستون و برخی دیگر. از بین تمام روش های شناخته شده، شاید ساده ترین و موثرترین آنها استفاده از فرمول تکراری هرون باشد که به روش بابلی تعیین ریشه های مربع نیز معروف است (شواهدی وجود دارد که بابلی های باستان از آن در محاسبات عملی خود استفاده می کردند).

اجازه دهید لازم باشد مقدار √x را تعیین کنیم. فرمول برای پیدا کردن جذر به صورت زیر است:

a n+1 = 1/2 (a n +x/a n)، که در آن lim n->∞ (a n) => x.

بیایید این نماد ریاضی را رمزگشایی کنیم. برای محاسبه √x، باید یک عدد مشخص a 0 را بگیرید (ممکن است دلخواه باشد، اما برای به دست آوردن سریع نتیجه، باید آن را طوری انتخاب کنید که (0) 2 تا حد امکان به x نزدیک شود. سپس آن را در عدد جایگزین کنید. فرمول مشخص شده برای محاسبه ریشه دوم و گرفتن عدد a 1 جدید، که از قبل به مقدار مورد نظر نزدیکتر خواهد بود، پس از این، باید یک عدد 1 را جایگزین کنید و عدد 2 را بدست آورید. این روش باید تکرار شود. دقت لازم به دست می آید.

مثالی از استفاده از فرمول تکراری هرون

الگوریتمی که در بالا برای به دست آوردن جذر یک عدد معین توضیح داده شد ممکن است برای بسیاری بسیار پیچیده و گیج کننده به نظر برسد، اما در واقع همه چیز بسیار ساده تر است، زیرا این فرمول بسیار سریع همگرا می شود (مخصوصاً اگر یک عدد موفق a 0 انتخاب شود) .

بیایید یک مثال ساده بیاوریم: باید √11 را محاسبه کنید. بیایید 0 = 3 را انتخاب کنیم، زیرا 3 2 = 9، که نزدیکتر به 11 است تا 4 2 = 16. با جایگزینی در فرمول، دریافت می کنیم:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3.333333;

a 2 = 1/2 (3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

a 3 = 1/2 (3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662.

ادامه محاسبات فایده ای ندارد، زیرا متوجه شدیم که 2 و 3 فقط در رقم 5 اعشاری متفاوت هستند. بنابراین، برای محاسبه √11 با دقت 0.0001، فقط 2 بار فرمول را اعمال کنید.

امروزه از ماشین‌حساب‌ها و رایانه‌ها به طور گسترده برای محاسبه ریشه‌ها استفاده می‌شود، با این حال، به خاطر سپردن فرمول علامت‌گذاری شده برای اینکه بتوانیم مقدار دقیق آن‌ها را به صورت دستی محاسبه کنیم، مفید است.

معادلات مرتبه دوم

دانستن اینکه یک جذر چیست و توانایی محاسبه آن در حل معادلات درجه دوم استفاده می شود. این معادلات را برابری با یک مجهول می نامند، فرم کلیکه در شکل زیر نشان داده شده است.

در اینجا c، b و a نشان دهنده برخی اعداد هستند و a نباید برابر با صفر باشد و مقادیر c و b می توانند کاملاً دلخواه از جمله برابر با صفر باشند.

هر مقدار از x که برابری نشان داده شده در شکل را برآورده کند، ریشه آن نامیده می شود (این مفهوم نباید با جذر √ اشتباه گرفته شود). از آنجایی که معادله مورد بررسی از مرتبه 2 (x 2) است، بنابراین نمی تواند بیش از دو ریشه برای آن وجود داشته باشد. بیایید در مقاله نحوه یافتن این ریشه ها را بیشتر بررسی کنیم.

پیدا کردن ریشه یک معادله درجه دوم (فرمول)

این روش حل نوع برابری های مورد بررسی را روش جهانی یا روش تفکیک نیز می نامند. می توان از آن برای هر معادله درجه دوم استفاده کرد. فرمول تفکیک و ریشه های معادله درجه دوم به شرح زیر است:

نشان می دهد که ریشه ها به مقدار هر یک از سه ضریب معادله بستگی دارند. علاوه بر این، محاسبه x 1 با محاسبه x 2 تنها با علامت جلوی جذر متفاوت است. عبارت رادیکال که برابر با b 2 - 4ac است، چیزی جز تمایز برابری مورد بحث نیست. ممیز در فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم بازی می کند نقش مهم، از آنجایی که تعداد و نوع راه حل ها را تعیین می کند. بنابراین، اگر برابر با صفر باشد، تنها یک راه حل وجود دارد، اگر مثبت باشد، معادله دارای دو ریشه واقعی است و در نهایت، تمایز منفیمنجر به دو ریشه پیچیده x 1 و x 2 می شود.

قضیه ویتا یا برخی از خواص ریشه های معادلات مرتبه دوم

که در اواخر شانزدهمقرن، یکی از بنیانگذاران جبر مدرن، یک فرانسوی، که معادلات مرتبه دوم را مطالعه می کرد، توانست ویژگی های ریشه های آن را به دست آورد. از نظر ریاضی می توان آنها را به این صورت نوشت:

x 1 + x 2 = -b / a و x 1 * x 2 = c / a.

برای انجام این کار، هر دو برابری را می توان به راحتی به دست آورد عملیات ریاضیبا ریشه هایی که از طریق فرمول با یک تفکیک به دست می آیند.

ترکیب این دو عبارت را به درستی می توان فرمول دوم برای ریشه های یک معادله درجه دوم نامید که امکان حدس زدن جواب های آن را بدون استفاده از ممیز ممکن می سازد. در اینجا باید توجه داشت که اگرچه هر دو عبارت همیشه معتبر هستند، اما استفاده از آنها برای حل یک معادله تنها در صورتی راحت است که بتوان آن را فاکتور گرفت.

وظیفه تثبیت دانش به دست آمده

بیایید یک مسئله ریاضی را حل کنیم که در آن تمام تکنیک های مورد بحث در مقاله را نشان خواهیم داد. شرایط مسئله به شرح زیر است: شما باید دو عدد را پیدا کنید که حاصل ضرب آنها 13- و حاصل جمع آن 4 باشد.

این شرط بلافاصله قضیه Vieta را به ما یادآوری می کند و با استفاده از فرمول های حاصل از مجموع ریشه های مربع و حاصل ضرب آنها می نویسیم:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

اگر a = 1 فرض کنیم، آنگاه b = -4 و c = -13. این ضرایب به ما اجازه می دهد تا یک معادله مرتبه دوم ایجاد کنیم:

x 2 - 4x - 13 = 0.

بیایید از فرمول با ممیز استفاده کنیم و ریشه های زیر را بدست آوریم:

x 1.2 = (4 ± √D)/2، D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

یعنی مشکل به یافتن عدد √68 خلاصه شد. توجه داشته باشید که 68 = 4 * 17، سپس با استفاده از خاصیت جذر، می گیریم: √68 = 2√17.

حالا بیایید از فرمول ریشه مربع در نظر گرفته شده استفاده کنیم: a 0 = 4، سپس:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4.125;

a 2 = 1/2 (4.125 + 17/4.125) = 4.1231.

نیازی به محاسبه 3 نیست زیرا مقادیر یافت شده تنها 0.02 متفاوت است. بنابراین، √68 = 8.246. با جایگزین کردن آن به فرمول x 1,2، دریافت می کنیم:

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 و x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.

همانطور که می بینیم مجموع اعداد یافت شده واقعاً برابر با 4 است، اما اگر حاصل ضرب آنها را پیدا کنیم، برابر با 12.999- خواهد بود که شرایط مسئله را با دقت 0.001 برآورده می کند.

معادلات درجه دوم. ممیز. راه حل، مثال

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

انواع معادلات درجه دوم

معادله درجه دوم چیست؟ چه شکلی است؟ در مدت معادله درجه دومکلمه کلیدی است "مربع".این بدان معناست که در معادله لزوماباید یک x مربع وجود داشته باشد. علاوه بر آن، معادله ممکن است (یا نه!) فقط شامل X (به توان اول) و فقط یک عدد باشد. (عضو آزاد).و هیچ X برای توان بیشتر از دو نباید وجود داشته باشد.

از نظر ریاضی، یک معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:

اینجا الف، ب و ج- تعدادی اعداد ب و ج- مطلقاً، اما آ- هر چیزی غیر از صفر مثلا:

اینجا آ =1; ب = 3; ج = -4

اینجا آ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

اینجا آ =-3; ب = 6; ج = -18

خوب فهمیدی...

در این معادلات درجه دوم سمت چپ وجود دارد مجموعه کاملاعضا. X مجذور ضریب آ، x به توان اول با ضریب بو عضو رایگان s.

چنین معادلات درجه دوم نامیده می شوند پر شده.

و اگر ب= 0، چه چیزی به دست می آوریم؟ ما داریم X به قدرت اول گم می شود.وقتی در صفر ضرب می شود این اتفاق می افتد.) مثلاً معلوم می شود:

5x 2 -25 = 0،

2x 2 -6x=0،

-x 2 +4x=0

و غیره. و اگر هر دو ضریب بو جبرابر با صفر هستند، سپس ساده تر است:

2x2 =0،

-0.3x 2 =0

چنین معادلاتی که در آن چیزی کم است نامیده می شود معادلات درجه دوم ناقصکه کاملاً منطقی است.) لطفاً توجه داشته باشید که x مربع در همه معادلات وجود دارد.

اتفاقا چرا آنمی تواند برابر با صفر باشد؟ و شما به جای آن جایگزین می کنید آصفر.) مربع X ما ناپدید می شود! معادله خطی خواهد شد. و راه حل کاملا متفاوت است ...

این همه انواع اصلی معادلات درجه دوم است. کامل و ناقص.

حل معادلات درجه دوم.

حل معادلات درجه دوم کامل

حل معادلات درجه دوم آسان است. طبق فرمول ها و قوانین واضح و ساده. در مرحله اول لازم است معادله داده شده را به کاهش دهیم نمای استاندارد، یعنی به فرم:

اگر معادله قبلاً به این شکل به شما داده شده است، لازم نیست مرحله اول را انجام دهید.) نکته اصلی این است که همه ضرایب را به درستی تعیین کنید. آ, بو ج.

فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

عبارت زیر علامت ریشه نامیده می شود ممیز. اما بیشتر در مورد او در زیر. همانطور که می بینید، برای یافتن X از آن استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج. آن ها ضرایب از یک معادله درجه دوم فقط با دقت مقادیر را جایگزین کنید الف، ب و جما با این فرمول محاسبه می کنیم. جایگزین کنیم با نشانه های خودت! به عنوان مثال، در معادله:

آ =1; ب = 3; ج= -4. در اینجا ما آن را یادداشت می کنیم:

مثال تقریباً حل شده است:

این پاسخ است.

همه چیز بسیار ساده است. و چه، به نظر شما اشتباه کردن غیرممکن است؟ خب آره چطوری...

رایج ترین اشتباهات، اشتباه گرفتن با مقادیر علامت است الف، ب و ج. یا بهتر است بگوییم، نه با علائم آنها (کجا گیج شویم؟)، بلکه با جایگزینی مقادیر منفیدر فرمول محاسبه ریشه چیزی که در اینجا کمک می کند، ضبط دقیق فرمول با اعداد خاص است. اگر در محاسبات مشکلی وجود دارد، انجام این کار!

فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:

اینجا آ = -6; ب = -5; ج = -1

فرض کنید می دانید که به ندرت بار اول پاسخ می گیرید.

خب تنبل نباش نوشتن یک خط اضافی و تعداد خطاها حدود 30 ثانیه طول می کشد به شدت کاهش خواهد یافت. بنابراین ما با تمام پرانتزها و علائم به تفصیل می نویسیم:

به نظر می رسد نوشتن با این دقت بسیار دشوار است. اما فقط به نظر می رسد. آن را امتحان کنید. خوب یا انتخاب کن چه چیزی بهتر است، سریع یا درست؟ علاوه بر این، من شما را خوشحال خواهم کرد. بعد از مدتی دیگر نیازی نیست همه چیز را با دقت بنویسید. به خودی خود درست کار خواهد کرد. به خصوص اگر از تکنیک های عملی استفاده کنید که در زیر توضیح داده شده است. این مثال شیطانی با یک سری معایب به راحتی و بدون خطا قابل حل است!

اما، اغلب، معادلات درجه دوم کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:

آیا آن را تشخیص دادید؟) بله! این معادلات درجه دوم ناقص.

حل معادلات درجه دوم ناقص.

آنها همچنین می توانند با استفاده از یک فرمول کلی حل شوند. شما فقط باید به درستی بفهمید که آنها در اینجا با چه چیزی برابر هستند. الف، ب و ج.

آیا آن را فهمیده اید؟ در مثال اول a = 1; b = -4;آ ج? اصلا اونجا نیست! خوب بله، درست است. در ریاضیات این به این معنی است c = 0 ! همین. به جای آن صفر را به فرمول جایگزین کنید جو ما موفق خواهیم شد. مثال دوم هم همینطور. فقط ما اینجا صفر نداریم با، آ ب !

اما معادلات درجه دوم ناقص را می توان بسیار ساده تر حل کرد. بدون هیچ فرمولی بیایید اولین معادله ناقص را در نظر بگیریم. در سمت چپ چه کاری می توانید انجام دهید؟ می توانید X را از پرانتز خارج کنید! بیا بیرونش کنیم

و از این چی؟ و این که حاصل برابر صفر است اگر و فقط اگر هر یک از عوامل برابر با صفر باشد! باور نمی کنی؟ خوب، پس دو عدد غیر صفر بیاورید که با ضرب آنها صفر می شود!
کار نمی کند؟ خودشه...
بنابراین، می توانیم با اطمینان بنویسیم: x 1 = 0, x 2 = 4.

همه. اینها ریشه های معادله ما خواهند بود. هر دو مناسب هستند. هنگامی که هر یک از آنها را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، هویت صحیح 0 = 0 را به دست می آوریم. همانطور که می بینید، راه حل بسیار ساده تر از استفاده از فرمول کلی است. اجازه دهید توجه کنم، اتفاقا، کدام X اولین و کدام دوم خواهد بود - کاملاً بی تفاوت. نوشتن به ترتیب راحت است، x 1- چه چیزی کوچکتر است و x 2- آنچه بزرگتر است.

معادله دوم را نیز می توان به سادگی حل کرد. 9 را به سمت راست حرکت دهید. ما گرفتیم:

تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از 9 است و تمام. معلوم خواهد شد:

همچنین دو ریشه . x 1 = -3, x 2 = 3.

به این ترتیب تمام معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند. یا با قرار دادن X خارج از براکت، یا انتقال سادهاعداد به سمت راست و سپس استخراج ریشه.
اشتباه گرفتن این تکنیک ها بسیار دشوار است. صرفاً به این دلیل که در حالت اول باید ریشه X را استخراج کنید که به نوعی نامفهوم است و در مورد دوم چیزی برای خارج کردن از براکت وجود ندارد ...

ممیز. فرمول تشخیصی

واژه جادویی ممیز ! به ندرت دانش آموز دبیرستانی این کلمه را نشنیده است! عبارت "ما از طریق یک متمایز حل می کنیم" اعتماد و اطمینان را القا می کند. چون نیازی به حیله از ممیز نیست! استفاده از آن ساده و بدون دردسر است.) کلی ترین فرمول حل را به شما یادآوری می کنم هرمعادلات درجه دوم:

به عبارتی که در زیر علامت ریشه قرار دارد، ممیز می گویند. معمولاً تمایز با حرف نشان داده می شود D. فرمول تفکیک:

D = b 2 - 4ac

و چه چیزی در این بیان قابل توجه است؟ چرا سزاوار یک نام خاص بود؟ چی معنی ممیز؟گذشته از همه اینها -ب،یا 2aدر این فرمول آنها به طور خاص آن را چیزی نمی نامند ... حروف و حروف.

موضوع اینجاست. هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول، امکان پذیر است فقط سه مورد

1. ممیز مثبت است.این بدان معنی است که ریشه را می توان از آن استخراج کرد. اینکه ریشه به خوبی استخراج شود یا ضعیف، سوال دیگری است. مهم این است که در اصل چه چیزی استخراج می شود. سپس معادله درجه دوم شما دو ریشه دارد. دو راه حل متفاوت

2. ممیز صفر است.سپس شما یک راه حل خواهید داشت. از آنجایی که با جمع یا تفریق صفر در صورت، چیزی تغییر نمی کند. به بیان دقیق، این یک ریشه نیست، بلکه دو تا یکسان. اما، در یک نسخه ساده شده، مرسوم است که در مورد آن صحبت شود یک راه حل

3. ممیز منفی است.جذر یک عدد منفی را نمی توان گرفت. بسیار خوب. این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

صادقانه بگویم، وقتی راه حل سادهمعادلات درجه دوم، مفهوم تمایز به ویژه مورد نیاز نیست. مقادیر ضرایب را در فرمول جایگزین می کنیم و می شماریم. همه چیز آنجا به خودی خود اتفاق می افتد، دو ریشه، یکی و هیچ. با این حال، هنگام حل وظایف پیچیده تر، بدون دانش معنی و فرمول ممیزکافی نیست. به خصوص در معادلات با پارامترها. چنین معادلاتی برای آزمون دولتی و آزمون دولتی واحد هوازی هستند!)

بنابراین، چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیماز طریق تمایزی که به یاد آوردی یا یاد گرفتید، که بد نیست.) می دانید که چگونه به درستی تعیین کنید الف، ب و ج. آیا می دانید چگونه؟ با دقتآنها را به فرمول ریشه جایگزین کنید و با دقتنتیجه را بشمار آیا آن را فهمیدی کلمه کلیدیاینجا - با دقت؟

اکنون به تکنیک های عملی توجه داشته باشید که به طور چشمگیری تعداد خطاها را کاهش می دهد. همان هایی که ناشی از بی توجهی است... که بعداً دردناک و توهین آمیز می شود...

اولین قرار . قبل از حل یک معادله درجه دوم تنبل نباشید و آن را به شکل استاندارد بیاورید. این یعنی چی؟
بیایید بگوییم که پس از همه تبدیل ها، معادله زیر را به دست می آورید:

برای نوشتن فرمول ریشه عجله نکنید! تقریباً مطمئناً احتمالات را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.مثال را درست بسازید. ابتدا X مربع، سپس بدون مربع، سپس عبارت آزاد. مثل این:

و باز هم عجله نکنید! یک منهای جلوی یک مربع X می تواند واقعا شما را ناراحت کند. فراموش کردن آسان است... از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ بله همانطور که در مبحث قبل آموزش داده شد! باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. ما گرفتیم:

اما اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را یادداشت کنید، تفکیک کننده را محاسبه کنید و حل مثال را تمام کنید. خودت تصمیم بگیر اکنون باید ریشه های 2 و -1 داشته باشید.

دومین پذیرایی. ریشه ها را بررسی کنید! طبق قضیه ویتا. نترس همه چیز رو توضیح میدم! چک کردن آخرین چیزمعادله. آن ها همانی که برای نوشتن فرمول ریشه استفاده کردیم. اگر (مانند این مثال) ضریب a = 1، بررسی ریشه ها آسان است. کافی است آنها را ضرب کنیم. نتیجه باید یک عضو رایگان باشد، یعنی. در مورد ما -2. لطفا توجه داشته باشید، نه 2، بلکه -2! عضو رایگان با علامت شما . اگر درست نشد، به این معنی است که شما قبلاً جایی را خراب کرده اید. به دنبال خطا باشید

اگر کار کرد، باید ریشه ها را اضافه کنید. آخرین و آخرین بررسی. ضریب باید باشد ببا مقابل آشنا در مورد ما -1+2 = +1. یک ضریب ب، که قبل از X است برابر با -1 است. بنابراین، همه چیز درست است!
حیف که این فقط برای نمونه هایی که x مجذور خالص است، با ضریب بسیار ساده است. a = 1.اما حداقل در چنین معادلاتی بررسی کنید! همه اشتباهات کمتراراده.

پذیرایی سوم . اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسرها خلاص شوید! معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنید همانطور که در درس "چگونه معادلات را حل کنیم؟ تبدیل هویت". هنگام کار با کسرها، به دلایلی خطاها همچنان به وجود می آیند...

اتفاقا من قول دادم مثال شیطانی را با یک سری موارد منفی ساده کنم. لطفا! او اینجا است.

برای اینکه با منفی ها اشتباه نگیریم، معادله را در -1 ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

همین! حل کردن یک لذت است!

بنابراین، اجازه دهید موضوع را خلاصه کنیم.

توصیه عملی:

1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم و آن را می سازیم درست.

2. اگر جلوی مجذور X ضریب منفی وجود داشته باشد با ضرب کل معادله در -1 آن را حذف می کنیم.

3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در ضریب مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.

4. اگر x مجذور خالص باشد، ضریب آن برابر با یک است، با استفاده از قضیه ویتا می توان جواب را به راحتی تأیید کرد. انجام دهید!

حالا می توانیم تصمیم بگیریم.)

حل معادلات:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

پاسخ ها (به هم ریخته):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - هر عدد

x 1 = -3
x 2 = 3

بدون راه حل

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

آیا همه چیز مناسب است؟ عالی! معادلات درجه دوم سردرد شما نیستند. سه مورد اول کار کردند، اما بقیه کار نکردند؟ پس مشکل از معادلات درجه دوم نیست. مشکل در تبدیل معادلات یکسان است. به لینک نگاه کنید مفید است

آیا کاملا کار نمی کند؟ یا اصلا درست نمیشه؟ سپس بخش 555 به شما کمک می کند که همه این مثال ها در آنجا تفکیک شوند. نشان داده شده اصلیاشتباهات در راه حل البته در مورد استفاده از تبدیل های یکسان در حل معادلات مختلف نیز صحبت می کنیم. کمک زیادی می کند!

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.