Log x پایه 2 برابر است با 3. لگاریتم - خواص، فرمول ها، نمودار

لگاریتم چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

لگاریتم چیست؟ چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟ این سوالات بسیاری از فارغ التحصیلان را سردرگم می کند. به طور سنتی، موضوع لگاریتم پیچیده، غیرقابل درک و ترسناک در نظر گرفته می شود. به خصوص معادلات با لگاریتم.

این مطلقا درست نیست. کاملا! باور نمی کنی؟ خوب. اکنون، تنها در 10 تا 20 دقیقه شما:

1. درک کنید لگاریتم چیست.

2. حل یک کلاس کامل را یاد بگیرید معادلات نمایی. حتی اگر چیزی در مورد آنها نشنیده باشید.

3. محاسبه لگاریتم های ساده را یاد بگیرید.

علاوه بر این، برای این کار فقط باید جدول ضرب و نحوه افزایش یک عدد به توان را بدانید...

احساس میکنم شک داری...خب باشه، ساعت رو مشخص کن! برو!

ابتدا این معادله را در ذهن خود حل کنید:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

log a r b r =log a bیا ورود ب= log a r b r

اگر پایه لگاریتم و عدد زیر علامت لگاریتم به توان یکسان افزایش یابد، مقدار لگاریتم تغییر نخواهد کرد.

فقط اعداد مثبت می توانند زیر علامت لگاریتم باشند و پایه لگاریتم برابر با یک نیست.

مثال ها.

1) log 3 9 و log 9 81 را با هم مقایسه کنید.

log 3 9=2، از 3 2 =9;

log 9 81=2، از 9 2 =81.

بنابراین log 3 9 = log 9 81.

توجه داشته باشید که پایه لگاریتم دوم برابر است با مربع پایه لگاریتم اول: 9=3 2 و عدد زیر علامت لگاریتم دوم برابر مربع عدد زیر علامت لگاریتم اول است. لگاریتم: 81=9 2. به نظر می رسد که هم عدد و هم پایه اولین لگاریتم log 3 9 به توان دوم افزایش یافته است و مقدار لگاریتم از این تغییر نکرده است:

بعد از استخراج ریشه nدرجه ام از میان آبالا بردن یک عدد است آبه درجه ( 1/n، سپس از log 9 81 می توانید با گرفتن جذر عدد و پایه لگاریتم ، log 3 9 را بدست آورید:

2) برابری را بررسی کنید: log 4 25=log 0.5 0.2.

بیایید به لگاریتم اول نگاه کنیم. استخراج کنیم ریشه دوماز پایه 4 و از میان 25 ; دریافت می کنیم: log 4 25 = log 2 5.

بیایید به لگاریتم دوم نگاه کنیم. پایه لگاریتم: 0.5= 1/2. عدد زیر علامت این لگاریتم: 0.2= 1/5. بیایید هر یک از این اعداد را به منهای توان اول برسانیم:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

بنابراین log 0.5 0.2 = log 2 5. نتیجه: این برابری درست است.

معادله را حل کنید:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2).بیایید لگاریتم ها را از سمت چپ به پایه کاهش دهیم 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). جذر عدد و پایه لگاریتم اول را بگیرید. ریشه چهارم عدد و پایه لگاریتم دوم را استخراج کنید.

log 2 (3x2)=log 2 (5x+2). مجموع لگاریتم ها را به لگاریتم حاصلضرب تبدیل کنید.

3x2 =5x+2. پس از تقویت دریافت شد.

3x 2 -5x-2=0. بیا تصمیم بگیریم معادله درجه دومبا استفاده از فرمول کلی برای یک معادله درجه دوم کامل:

a=3، b=-5، c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 ریشه واقعی

معاینه.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n ب=(1/ n)∙ ورود ب

لگاریتم یک عدد ببر اساس a nبرابر حاصلضرب کسری است 1/ nبه لگاریتم یک عدد ببر اساس آ.

پیدا کردن:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 ، اگر معلوم باشد که log 2 3=b,log 5 2=c.

راه حل.

حل معادلات:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5.25.

راه حل.

بیایید این لگاریتم ها را به پایه 2 کاهش دهیم. فرمول را اعمال کنید: log a n ب=(1/ n)∙ ورود ب

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5.25;

log 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25. در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

(1+0.5+0.25) log 2 x=5.25;

1.75 log 2 x=5.25 |:1.75

log 2 x=3. با تعریف لگاریتم:

2) 0.5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0.25.

راه حل. بیایید لگاریتم را به مبنای 16 به پایه 4 تبدیل کنیم.

0.5log 4 (x-2)+0.5log 4 (x-3)=0.25 |:0.5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0.5. بیایید مجموع لگاریتم ها را به لگاریتم حاصلضرب تبدیل کنیم.

log 4 ((x-2)(x-3))=0.5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0.5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0.5. با تعریف لگاریتم:

x 2 -5x+4=0. طبق قضیه ویتا:

x 1 = 1; x 2 = 4. اولین مقدار x کار نخواهد کرد، زیرا در x = 1 لگاریتم های این برابری وجود ندارد، زیرا فقط اعداد مثبت می توانند زیر علامت لگاریتم باشند.

بیایید این معادله را در x=4 بررسی کنیم.

معاینه.

0.5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0.25

0.5log 4 2+log 16 1=0.25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

لگاریتم یک عدد ببر اساس آبرابر با لگاریتم عدد ببر مبنای جدید با، تقسیم بر لگاریتم پایه قدیمی آبر مبنای جدید با.

مثال ها:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

محاسبه:

1) لاگ 5 7، اگر معلوم باشد که lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

جب / ورود به سیستم جآ.

log 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090.

پاسخ: لاگ 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) ورود به سیستم 5 7 ، اگر معلوم باشد که ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

راه حل. فرمول را اعمال کنید: log a b =log جب / ورود به سیستم جآ.

log 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

پاسخ: لاگ 5 7≈1,209 1≈1,209 .

x را پیدا کنید:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

ما از فرمول استفاده می کنیم: log جب / ورود به سیستم ج a = ورود ب . ما گرفتیم:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192.

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

ما از فرمول استفاده می کنیم: log جب / ورود به سیستم ج a = ثبت یک ب . ما گرفتیم:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

صفحه 1 از 1 1

بنابراین، ما دو قدرت داریم. اگر عدد را از خط پایین بگیرید، به راحتی می توانید قدرتی را پیدا کنید که برای به دست آوردن این عدد باید دو را افزایش دهید. به عنوان مثال، برای به دست آوردن 16، باید دو را به توان چهارم ببرید. و برای گرفتن 64 باید دو را به توان ششم برسانید. این را می توان از جدول مشاهده کرد.

و اکنون - در واقع، تعریف لگاریتم:

پایه لگاریتم x توانی است که برای بدست آوردن x باید a را به آن افزایش داد.

تعیین: log a x = b، جایی که a پایه است، x آرگومان است، b چیزی است که لگاریتم در واقع برابر است.

برای مثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لگاریتم پایه 2 از 8 سه است زیرا 2 3 = 8 است). با همان ثبت موفقیت 2 64 = 6، از 2 6 = 64.

عملیات یافتن لگاریتم یک عدد به یک پایه معین را لگاریتم سازی می گویند. بنابراین، بیایید یک خط جدید به جدول خود اضافه کنیم:

متأسفانه، همه لگاریتم ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. برای مثال، log 2 5 را پیدا کنید. عدد 5 در جدول نیست، اما منطق حکم می کند که لگاریتم در جایی از قطعه قرار گیرد. زیرا 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند: اعداد بعد از اعشار را می توان تا بی نهایت نوشت و هرگز تکرار نمی شوند. اگر لگاریتم غیرمنطقی است، بهتر است آن را به این ترتیب رها کنید: log 2 5، log 3 8، log 5 100.

درک این نکته مهم است که لگاریتم عبارتی است با دو متغیر (پایه و آرگومان). در ابتدا، بسیاری از مردم اشتباه می کنند که اساس و استدلال کجاست. برای جلوگیری از سوء تفاهم های آزاردهنده، فقط به تصویر نگاه کنید:

در مقابل ما چیزی بیش از تعریف لگاریتم نیست. یاد آوردن: لگاریتم یک قدرت است، که برای به دست آوردن آرگومان باید پایه در آن ساخته شود. این پایه ای است که به یک قدرت بالا می رود - در تصویر با رنگ قرمز مشخص شده است. معلوم می شود که پایه همیشه در پایین است! من این قانون فوق العاده را در همان درس اول به دانش آموزانم می گویم - و هیچ سردرگمی ایجاد نمی شود.

ما تعریف را فهمیدیم - تنها چیزی که باقی می ماند این است که یاد بگیریم چگونه لگاریتم ها را بشماریم. از شر علامت "log" خلاص شوید. برای شروع، متذکر می شویم که دو واقعیت مهم از این تعریف به دست می آید:

1. آرگومان و مبنا باید همیشه بزرگتر از صفر باشند. این از تعریف درجه توسط یک توان گویا، که تعریف لگاریتم به آن تقلیل می یابد، نتیجه می گیرد.
2. پایه باید با یک متفاوت باشد، زیرا یک به هر درجه ای هنوز یکی باقی می ماند. به همین دلیل، این سوال که "برای بدست آوردن دو تا چه قدرتی باید بالا رفت" بی معنی است. چنین مدرکی وجود ندارد!

چنین محدودیت هایی نامیده می شود محدوده مقادیر قابل قبول(ODZ). معلوم می شود که ODZ لگاریتم به این صورت است: log a x = b ⇒ x > 0، a > 0، a ≠ 1.

توجه داشته باشید که هیچ محدودیتی برای عدد b (مقدار لگاریتم) وجود ندارد. برای مثال، لگاریتم ممکن است منفی باشد: log 2 0.5 = -1، زیرا 0.5 = 2-1.

با این حال، اکنون ما فقط عبارات عددی را در نظر می گیریم، جایی که نیازی به دانستن VA لگاریتم نیست. تمام محدودیت ها قبلاً توسط نویسندگان مشکلات در نظر گرفته شده است. اما زمانی که معادلات لگاریتمی و نابرابری ها وارد عمل شوند، الزامات DL اجباری خواهند شد. از این گذشته، اساس و استدلال ممکن است حاوی ساختارهای بسیار قوی باشد که لزوماً با محدودیت های فوق مطابقت ندارند.

حال بیایید به طرح کلی محاسبه لگاریتم نگاه کنیم. از سه مرحله تشکیل شده است:

1. پایه a و آرگومان x را به صورت توانی با حداقل پایه ممکن بزرگتر از یک بیان کنید. در طول مسیر، بهتر است از شر اعشار خلاص شوید.
2. معادله متغیر b را حل کنید: x = a b ;
3. عدد b به دست آمده پاسخ خواهد بود.

همین! اگر لگاریتم غیرمنطقی باشد، در مرحله اول قابل مشاهده خواهد بود. شرط بزرگتر بودن پایه از یک بسیار مهم است: این امر احتمال خطا را کاهش می دهد و محاسبات را بسیار ساده می کند. در مورد کسرهای اعشاری هم همینطور است: اگر بلافاصله آنها را به کسرهای معمولی تبدیل کنید، خطاهای بسیار کمتری وجود خواهد داشت.

بیایید ببینیم این طرح با استفاده از مثال های خاص چگونه کار می کند:

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25

1. بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان پنج تصور کنیم: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. جواب گرفتیم: 2.

وظیفه. محاسبه لگاریتم:

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 4 64

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. جواب گرفتیم: 3.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 16 1

1. بیایید پایه و آرگومان را به عنوان توان دو تصور کنیم: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. بیایید معادله را ایجاد و حل کنیم:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. جواب گرفتیم: 0.

وظیفه. لگاریتم را محاسبه کنید: log 7 14

1. بیایید پایه و استدلال را به عنوان توان هفت تصور کنیم: 7 = 7 1 ; 14 را نمی توان به عنوان توان هفت نشان داد، زیرا 7 1 است< 14 < 7 2 ;
2. از پاراگراف قبلی چنین بر می آید که لگاریتم به حساب نمی آید.
3. پاسخ هیچ تغییری نیست: log 7 14.

یک نکته کوچک در مورد آخرین مثال. چگونه می توان مطمئن شد که یک عدد توان دقیق عدد دیگری نیست؟ این بسیار ساده است - فقط آن را به تقسیم کنید عوامل اصلی. اگر انبساط حداقل دو عامل متفاوت داشته باشد، عدد یک توان دقیق نیست.

وظیفه. دریابید که آیا اعداد توان دقیق هستند یا خیر: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - درجه دقیق، زیرا فقط یک ضریب وجود دارد.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - توان دقیقی نیست، زیرا دو عامل وجود دارد: 3 و 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - درجه دقیق.
35 = 7 · 5 - باز هم یک توان دقیق نیست.
14 = 7 · 2 - باز هم درجه دقیق نیست.

همچنین توجه داشته باشیم که خود ما هستیم اعداد اولهمیشه درجات دقیقی از خودشان هستند.

لگاریتم اعشاری

برخی از لگاریتم ها آنقدر رایج هستند که نام و نماد خاصی دارند.

لگاریتم اعشاری x لگاریتم پایه 10 است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد 10 را به آن افزایش داد. نامگذاری: lg x.

به عنوان مثال، log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - و غیره

از این پس، وقتی عبارتی مانند Find lg 0.01 در کتاب درسی ظاهر می شود، بدانید که این اشتباه تایپی نیست. این لگاریتم اعشاری. با این حال، اگر با این نماد آشنا نیستید، همیشه می توانید آن را بازنویسی کنید:
log x = log 10 x

هر چیزی که برای لگاریتم های معمولی صادق است برای لگاریتم های اعشاری نیز صادق است.

لگاریتم طبیعی

لگاریتم دیگری وجود دارد که نام خود را دارد. از برخی جهات، حتی مهمتر از اعشاری است. این در مورد استدر مورد لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی x لگاریتم به پایه e است، یعنی. توانی که برای بدست آوردن عدد x باید عدد e را به آن افزایش داد. نامگذاری: ln x.

بسیاری خواهند پرسید: عدد e چیست؟ این یک عدد غیر منطقی است. من فقط ارقام اول را می آورم:
e = 2.718281828459...

ما به جزئیات در مورد اینکه این شماره چیست و چرا به آن نیاز است نمی پردازیم. فقط به یاد داشته باشید که e پایه لگاریتم طبیعی است:
ln x = log e x

بنابراین ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - و غیره. از طرف دیگر، ln 2 یک عدد غیر منطقی است. به طور کلی، لگاریتم طبیعی هر عدد گویاغیر منطقی البته به جز وحدت: ln 1 = 0.

برای لگاریتم های طبیعی، تمام قوانینی که برای لگاریتم های معمولی صادق هستند، معتبر هستند.

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، توان آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b *a c = a b+c). این قانون ریاضی توسط ارشمیدس استخراج شد و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان ویراسن جدولی از توانای اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را می‌توان تقریباً در همه جا یافت که باید ضرب دست و پا گیر را با جمع ساده ساده کنید. اگر 10 دقیقه برای خواندن این مقاله وقت بگذارید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. به زبانی ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" به پایه آن "a" توان "c" در نظر گرفته می شود. ” که پایه “a” باید به آن افزایش یابد تا در نهایت مقدار “b” به دست آید. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید توانی پیدا کنید که از 2 به توان مورد نیاز 8 بگیرید. پس از انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و این درست است، زیرا 2 به توان 3 پاسخ 8 را می دهد.

انواع لگاریتم

برای بسیاری از دانش آموزان این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی ها و برخی قوانین است. سه نوع مختلف از عبارت لگاریتمی وجود دارد:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b تا مبنای a>1.

هر کدام از آنها تصمیم گیری می شود به صورت استانداردکه شامل ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم با استفاده از قضایای لگاریتمی است. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، هنگام حل آنها باید ویژگی های آنها و دنباله اقدامات را به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات، قاعده ـ قیدهای متعددی وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده اند، یعنی قابل بحث نیستند و حقیقت هستند. به عنوان مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان ریشه زوج اعداد منفی را استخراج کرد. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی کار با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ را یاد بگیرید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و مساوی 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" نیز باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x = 100 داده می شود. این کار بسیار آسان است، شما باید یک توان را با بالا بردن عدد ده انتخاب کنید که به عدد 100 می رسیم. البته این 10 2 = است. 100.

حالا بیایید تصور کنیم این بیانبه شکل لگاریتمی ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم، همه اقدامات عملاً همگرا می شوند تا توانی را که برای به دست آوردن یک عدد معین وارد کردن پایه لگاریتم لازم است، پیدا کنیم.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، در صورت وجود، می توان برخی از شارح ها را به طور مستقیم حدس زد انبار فنیهوش و دانش جدول ضرب با این حال، برای مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارید. حتی برای کسانی که اصلاً در مورد موضوعات پیچیده ریاضی چیزی نمی دانند، می توان از آن استفاده کرد. ستون سمت چپ شامل اعداد (مبنای a) است، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می یابد. در محل تقاطع، سلول ها حاوی مقادیر عددی هستند که پاسخ هستند (a c =b). به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و مربع آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرا هم می فهمد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط معین، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک برابری لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم پایه 3 81 برابر با چهار نوشت (log 3 81 = 4). برای توان های منفی قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 آن را به صورت لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، موضوع "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و حل معادلات را در زیر بررسی خواهیم کرد. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

با توجه به شکل زیر: log 2 (x-1) > 3 - آن است نابرابری لگاریتمی، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتم است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شود: لگاریتم عدد مورد نظر به پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها این است که معادلات لگاریتمی (مثلاً لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند پاسخ خاص دارند. مقادیر عددی، در حالی که هنگام حل نابرابری، هم محدوده مقادیر مجاز و هم نقاط شکست این تابع تعیین می شود. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد منفرد نیست، مانند پاسخ به یک معادله، بلکه یک سری یا مجموعه ای از اعداد پیوسته است.

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف ابتدایی یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه به نمونه‌هایی از معادلات خواهیم پرداخت.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط زمانی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان با فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. در این مورد پيش نيازاست: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتمی با مثال و راه حل اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2، سپس a f1 = s 1، a f2 = s 2. به دست می آوریم که s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه) و سپس طبق تعریف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که باید ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه به خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر اساس فرضیه های طبیعی است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

اجازه دهید log a b = t، به نظر می رسد t =b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانیم: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت می شود.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل در لگاریتم مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین جزء ضروری امتحانات ریاضی هستند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در امتحانات ورودی ریاضی، باید بدانید که چگونه چنین کارهایی را به درستی حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، اما می توان آن را برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. قوانین خاص. اول از همه، باید دریابید که آیا عبارت را می توان ساده کرد یا منجر به آن شد ظاهر عمومی. اگر از خصوصیات آنها به درستی استفاده کنید، می توانید عبارات لگاریتمی طولانی را ساده کنید. بیایید سریع با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، باید مشخص کنیم که چه نوع لگاریتمی داریم: یک عبارت مثال ممکن است شامل یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که آنها باید قدرتی را تعیین کنند که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای حل لگاریتم های طبیعی، باید از هویت های لگاریتمی یا ویژگی های آنها استفاده کنید. بیایید به نمونه هایی از حل مسائل لگاریتمی در انواع مختلف نگاه کنیم.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید به نمونه هایی از استفاده از قضایای اساسی در مورد لگاریتم نگاه کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم یک محصول می توان در کارهایی که نیاز به گسترش است استفاده کرد پراهمیتاعداد b به عوامل ساده تر مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید با استفاده از چهارمین خاصیت توان لگاریتمی موفق به حل یک عبارت به ظاهر پیچیده و غیرقابل حل شدیم. شما فقط باید پایه را فاکتور بگیرید و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کنید.

تکالیف از آزمون دولتی واحد

لگاریتم ها اغلب در امتحانات ورودی یافت می شوند، به ویژه بسیاری از مشکلات لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی ( آزمون دولتیبرای تمام فارغ التحصیلان مدرسه). به طور معمول، این وظایف نه تنها در بخش A (آسان ترین بخش آزمایشی امتحان)، بلکه در قسمت C (پیچیده ترین و پرحجم ترین کارها) نیز وجود دارد. آزمون نیاز به دانش دقیق و کامل از مبحث لگاریتم های طبیعی دارد.

مثال ها و راه حل های مشکلات از رسمی گرفته شده است گزینه های آزمون دولتی یکپارچه. بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• بهتر است تمام لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهید تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگامی که توان یک عبارتی که زیر علامت لگاریتم است و به عنوان پایه آن به عنوان ضریب خارج می شود، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.

\(a^(b)=c\) \(\فلش راست چپ\) \(\log_(a)(c)=b\)

بیایید آن را ساده تر توضیح دهیم. به عنوان مثال، \(\log_(2)(8)\) برابر با توانی است که \(2\) باید برای بدست آوردن \(8\) به آن افزایش یابد. از اینجا مشخص است که \(\log_(2)(8)=3\).

برهان و پایه لگاریتم

هر لگاریتمی دارای "آناتومی" زیر است:

آرگومان لگاریتم معمولاً در سطح آن نوشته می‌شود و پایه به صورت زیرنویس نزدیک‌تر به علامت لگاریتم نوشته می‌شود. و این ورودی به این صورت است: "لگاریتم بیست و پنج تا پایه پنج."

چگونه لگاریتم را محاسبه کنیم؟

برای محاسبه لگاریتم، باید به این سوال پاسخ دهید: برای بدست آوردن آرگومان، پایه باید به چه قدرتی افزایش یابد؟

مثلا، لگاریتم را محاسبه کنید: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) د) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

الف) برای بدست آوردن \(16\) \(4\) باید به چه قدرتی برود؟ بدیهی است که دومی از همین رو:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

ج) برای بدست آوردن \(1\) \(\sqrt(5)\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ چه قدرتی هر شماره یک را می سازد؟ صفر البته!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

د) برای بدست آوردن \(\sqrt(7)\) باید \(\sqrt(7)\) را به چه قدرتی افزایش داد؟ اولاً هر عددی به توان اول با خودش برابر است.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ه) برای به دست آوردن \(\sqrt(3)\) \(3\) باید به چه قدرتی افزایش یابد؟ از ما می دانیم که یک توان کسری است، به این معنی که ریشه دوم توان \(\frac(1)(2)\) است.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

مثال : محاسبه لگاریتم \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

راه حل :

پاسخ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

چرا لگاریتم اختراع شد؟

برای درک این موضوع، اجازه دهید معادله \(3^(x)=9\) را حل کنیم. فقط \(x\) را مطابقت دهید تا معادله کار کند. البته \(x=2\).

حالا معادله \(3^(x)=8\) را حل کنید. x برابر با چیست؟ نکته همین است.

باهوش ترین ها خواهند گفت: "X کمی کمتر از دو است." دقیقا چطور میشه این عدد رو نوشت؟ برای پاسخ به این سوال، لگاریتم اختراع شد. با تشکر از او، پاسخ در اینجا می تواند به صورت \(x=\log_(3)(8)\) نوشته شود.

من می خواهم تاکید کنم که \(\log_(3)(8)\)، مانند هر لگاریتمی فقط یک عدد است. بله، غیر معمول به نظر می رسد، اما کوتاه است. چون اگر بخواهیم در فرم بنویسیم اعشاری، پس به این شکل می شود: \(1.892789260714.....\)

مثال : حل معادله \(4^(5x-4)=10\)

راه حل :

پاسخ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

لگاریتم های اعشاری و طبیعی

همانطور که در تعریف لگاریتم بیان شد، پایه آن می تواند هر عدد مثبتی باشد به جز یک \((a>0, a\neq1)\). و در بین همه پایه های ممکن، دو پایه وجود دارد که به قدری اتفاق می افتد که یک نماد کوتاه ویژه برای لگاریتم ها با آنها اختراع شده است:

لگاریتم طبیعی: لگاریتمی که پایه آن عدد اویلر \(e\) است (برابر تقریباً \(2.7182818…\)) و لگاریتم به صورت \(\ln(a)\ نوشته می شود.

به این معنا که، \(\ln(a)\) همان \(\log_(e)(a)\) است.

لگاریتم اعشاری: لگاریتمی که پایه آن 10 است \(\lg(a)\) نوشته می شود.

به این معنا که، \(\lg(a)\) همان \(\log_(10)(a)\) است، جایی که \(a\) مقداری است.

هویت لگاریتمی پایه

لگاریتم ها خواص زیادی دارند. یکی از آنها "اساسی" نام دارد هویت لگاریتمی"و به شکل زیر است:

این ویژگی مستقیماً از تعریف پیروی می کند. بیایید ببینیم این فرمول دقیقا چگونه به وجود آمد.

بیایید یک نماد کوتاه از تعریف لگاریتم را به یاد بیاوریم:

اگر \(a^(b)=c\)، سپس \(\log_(a)(c)=b\)

یعنی \(b\) همان \(\log_(a)(c)\) است. سپس می توانیم به جای \(b\) در فرمول \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) بنویسیم. معلوم شد \(a^(\log_(a)(c))=c\) - هویت لگاریتمی اصلی.

شما می توانید ویژگی های دیگر لگاریتم ها را بیابید. با کمک آنها می توانید مقادیر عبارات را با لگاریتم ساده و محاسبه کنید که محاسبه مستقیم آنها دشوار است.

مثال : مقدار عبارت \(36^(\log_(6)(5)) را پیدا کنید

راه حل :

پاسخ : \(25\)

چگونه یک عدد را به صورت لگاریتمی بنویسیم؟

همانطور که در بالا ذکر شد، هر لگاریتمی فقط یک عدد است. عکس آن نیز صادق است: هر عددی را می توان به صورت لگاریتم نوشت. به عنوان مثال، می دانیم که \(\log_(2)(4)\) برابر با دو است. سپس می توانید به جای دو، \(\log_(2)(4)\) بنویسید.

اما \(\log_(3)(9)\) نیز برابر با \(2\) است، یعنی می توانیم \(2=\log_(3)(9)\) را نیز بنویسیم. به همین ترتیب با \(\log_(5)(25)\) و با \(\log_(9)(81)\) و غیره. یعنی معلوم می شود

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

بنابراین، در صورت نیاز، می‌توانیم دو را به‌عنوان لگاریتم با هر پایه‌ای در هر جایی بنویسیم (خواه در یک معادله، در یک عبارت یا در یک نابرابری) - ما به سادگی پایه را به‌عنوان یک آرگومان می‌نویسیم.

در مورد سه‌گانه هم همین‌طور است - می‌توان آن را به صورت \(\log_(2)(8)\)، یا به صورت \(\log_(3)(27)\) یا به صورت \(\log_(4)( نوشت 64) \)... در اینجا پایه را در مکعب به عنوان آرگومان می نویسیم:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

و با چهار:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

و با منفی یک:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

و با یک سوم:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

هر عدد \(a\) را می توان به صورت لگاریتمی با پایه \(b\) نشان داد: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

مثال : معنی عبارت را بیابید \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

راه حل :

پاسخ : \(1\)