برای درک نحوه محاسبه LCM، ابتدا باید معنای اصطلاح "چندین" را تعیین کنید.
مضرب A یک عدد طبیعی است که بر A بدون باقیمانده بخش پذیر است بنابراین اعدادی که مضرب 5 هستند را می توان 15، 20، 25 و غیره در نظر گرفت.
می تواند تعداد محدودی از مقسوم علیه های یک عدد خاص وجود داشته باشد، اما تعداد بی نهایت مضرب وجود دارد.
مضرب مشترک اعداد طبیعی عددی است که بدون باقی ماندن بر آنها بخش پذیر باشد.
چگونه کوچکترین مضرب مشترک اعداد را پیدا کنیم
کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد (دو، سه یا بیشتر) کوچکترین عدد طبیعی است که بر همه این اعداد بخش پذیر است.
برای پیدا کردن LOC، می توانید از چندین روش استفاده کنید.
برای اعداد کوچک، نوشتن همه مضرب این اعداد در یک خط راحت است تا زمانی که چیزی مشترک بین آنها پیدا کنید. مضرب ها با حرف بزرگ K نشان داده می شوند.
به عنوان مثال، مضرب 4 را می توان به صورت زیر نوشت:
K (4) = (8،12، 16، 20، 24، ...)
K (6) = (12، 18، 24، ...)
بنابراین، می بینید که کمترین مضرب مشترک اعداد 4 و 6 عدد 24 است. این نماد به صورت زیر انجام می شود:
LCM(4، 6) = 24
اگر اعداد بزرگ هستند، مضرب مشترک سه یا چند عدد را پیدا کنید، سپس بهتر است از روش دیگری برای محاسبه LCM استفاده کنید.
برای تکمیل کار، باید اعداد پیشنهادی را به تفکیک کنید عوامل اصلی.
ابتدا باید تجزیه بزرگترین عدد را روی یک خط بنویسید و در زیر آن - بقیه را بنویسید.
تجزیه هر عدد ممکن است شامل تعداد متفاوتی از عوامل باشد.
برای مثال، اعداد 50 و 20 را در فاکتورهای اول قرار می دهیم.
در بسط عدد کوچکتر باید عواملی که در بسط اولین عدد بزرگ وجود ندارد را برجسته کرده و سپس به آن اضافه کنید. در مثال ارائه شده، یک دو گم شده است.
اکنون می توانید حداقل مضرب مشترک 20 و 50 را محاسبه کنید.
LCM(20، 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
بنابراین حاصل ضرب ضرایب اول عدد بزرگتر و ضرایب عدد دوم که در بسط عدد بزرگتر لحاظ نشده اند، کمترین مضرب مشترک خواهد بود.
برای یافتن LCM سه یا چند عدد، باید همه آنها را مانند مورد قبلی در فاکتورهای اول قرار دهید.
به عنوان مثال، می توانید حداقل مضرب مشترک اعداد 16، 24، 36 را پیدا کنید.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
بنابراین، تنها دو دو از بسط شانزده در فاکتورگیری یک عدد بزرگتر گنجانده نشد (یکی در بسط بیست و چهار است).
بنابراین، آنها باید به بسط تعداد بیشتری اضافه شوند.
LCM(12، 16، 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
موارد خاصی برای تعیین کمترین مضرب مشترک وجود دارد. بنابراین، اگر بتوان یکی از اعداد را بدون باقیمانده بر دیگری تقسیم کرد، بزرگتر از این اعداد کمترین مضرب مشترک خواهد بود.
به عنوان مثال، LCM دوازده و بیست و چهار، بیست و چهار است.
اگر می خواهید کمترین مضرب مشترک یکدیگر را پیدا کنید اعداد اولکه مقسوم‌گیرنده‌های یکسانی ندارند، LCM آنها برابر با حاصلضرب آنها خواهد بود.
به عنوان مثال، LCM (10، 11) = 110.
عبارات و مسائل ریاضی به دانش اضافی زیادی نیاز دارند. NOC یکی از موارد اصلی است، به ویژه اغلب در این موضوع در دبیرستان مورد مطالعه قرار می گیرد، و درک مطالب به خصوص دشوار نیست، فردی که با قدرت ها آشنا است و جدول ضرب در شناسایی اعداد لازم و کشف آن مشکلی نخواهد داشت نتیجه
تعریف
مضرب مشترک عددی است که بتوان آن را بطور همزمان به دو عدد (الف و ب) تقسیم کرد. اغلب این عدد با ضرب اعداد اصلی a و b به دست می آید. عدد باید به طور همزمان بر هر دو عدد بخش پذیر باشد، بدون انحراف.
NOC نام پذیرفته شده است نام کوتاه، از حروف اول جمع آوری شده است.
راه های بدست آوردن شماره
روش ضرب اعداد همیشه برای یافتن LCM مناسب نیست. مرسوم است که به فاکتورها تقسیم شوند.
مثال شماره 1
برای ساده ترین مثال، مدارس معمولا از اعداد اول، تک رقمی یا دو رقمی استفاده می کنند. به عنوان مثال، شما باید کار زیر را حل کنید، حداقل مضرب مشترک اعداد 7 و 3 را پیدا کنید، راه حل بسیار ساده است، فقط آنها را ضرب کنید. در نتیجه، یک عدد 21 وجود دارد، به سادگی عدد کوچکتری وجود ندارد.
مثال شماره 2
نسخه دوم کار بسیار دشوارتر است. اعداد 300 و 1260 داده شده است، پیدا کردن LOC اجباری است. برای حل مشکل، اقدامات زیر فرض می شود:
تجزیه اعداد اول و دوم به عوامل ساده. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. مرحله اول تکمیل شد.
مرحله دوم شامل کار با داده های از قبل به دست آمده است. هر یک از اعداد دریافتی باید در محاسبه نتیجه نهایی شرکت کنند. برای هر ضریب، بیشترین عدد بزرگظهور. LCM یک عدد کلی است، بنابراین فاکتورهای اعداد باید در آن تکرار شوند، هر یک، حتی آنهایی که در یک نسخه وجود دارند. هر دو عدد اولیه شامل اعداد 2، 3 و 5 هستند، در قدرت های مختلف 7 فقط در یک مورد وجود دارد.
برای محاسبه نتیجه نهایی، باید هر عدد را در بزرگترین توان های نمایش داده شده در معادله بگیرید. تنها چیزی که باقی می ماند این است که ضرب کنید و پاسخ را دریافت کنید، اگر به درستی پر شود، کار بدون توضیح در دو مرحله قرار می گیرد:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
این کل مشکل است، اگر سعی کنید عدد مورد نیاز را با ضرب محاسبه کنید، پاسخ قطعا درست نخواهد بود، زیرا 300 * 1260 = 378000.
معاینه:
6300 / 300 = 21 - صحیح؛
6300 / 1260 = 5 - صحیح است.
صحت نتیجه به دست آمده با بررسی تعیین می شود - تقسیم LCM بر هر دو عدد اصلی اگر عدد در هر دو مورد یک عدد صحیح باشد، پاسخ صحیح است.
NOC در ریاضیات به چه معناست؟
همانطور که می دانید، یک تابع بی فایده در ریاضیات وجود ندارد، این یکی نیز از این قاعده مستثنی نیست. رایج ترین هدف این عدد کاهش کسرها به مخرج مشترک است. آنچه معمولا در کلاس های 5-6 مطالعه می شود دبیرستان. همچنین یک مقسوم علیه مشترک برای همه مضرب ها است، اگر چنین شرایطی در مسئله وجود داشته باشد. چنین عبارتی می تواند مضرب نه تنها دو عدد، بلکه یک عدد بسیار بزرگتر - سه، پنج و غیره را نیز بیابد. چگونه اعداد بیشتر- اقدامات بیشتری در کار وجود دارد، اما پیچیدگی افزایش نمی یابد.
به عنوان مثال، با توجه به اعداد 250، 600 و 1500، باید LCM مشترک آنها را پیدا کنید:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - این مثال فاکتورسازی را با جزئیات و بدون کاهش توضیح می دهد.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
برای نوشتن یک عبارت، لازم است تمام عوامل ذکر شود، در این مورد 2، 5، 3 آورده شده است - برای همه این اعداد لازم است حداکثر درجه تعیین شود.
توجه: همه فاکتورها باید در صورت امکان تا حد تک رقمی شدن به حد ساده شدن کامل برسند.
معاینه:
1) 3000 / 250 = 12 - صحیح؛
2) 3000 / 600 = 5 - درست است.
3) 3000 / 1500 = 2 - صحیح است.
این روش به هیچ ترفند یا توانایی های سطح نابغه نیاز ندارد، همه چیز ساده و واضح است.
یک راه دیگر
در ریاضیات، بسیاری از چیزها به هم متصل هستند، بسیاری از چیزها را می توان به دو یا چند روش حل کرد، همین امر در مورد یافتن کمترین مضرب مشترک، LCM نیز صدق می کند. در مورد اعداد ساده دو رقمی و تک رقمی می توان از روش زیر استفاده کرد. جدولی جمع آوری می شود که در آن ضرب به صورت عمودی، ضریب به صورت افقی وارد می شود و حاصلضرب در خانه های متقاطع ستون نشان داده می شود. می توانید جدول را با استفاده از یک خط منعکس کنید، یک عدد بگیرید و نتایج حاصل از ضرب این عدد را در اعداد صحیح بنویسید، از 1 تا بی نهایت، گاهی اوقات 3-5 نقطه کافی است، اعداد دوم و بعدی نیز تحت فرآیند محاسباتی مشابهی قرار می گیرند. همه چیز تا زمانی اتفاق می افتد که یک مضرب مشترک پیدا شود.
با توجه به اعداد 30، 35، 42، باید LCM را پیدا کنید که همه اعداد را به هم متصل می کند:
1) مضرب های 30: 60، 90، 120، 150، 180، 210، 250 و غیره.
2) مضرب های 35: 70، 105، 140، 175، 210، 245 و غیره.
3) مضربهای 42: 84، 126، 168، 210، 252 و غیره.
قابل توجه است که همه اعداد کاملاً متفاوت هستند ، تنها عدد مشترک در بین آنها 210 است ، بنابراین NOC خواهد بود. در میان فرآیندهای درگیر در این محاسبه، بزرگترین مقسوم علیه مشترک نیز وجود دارد که بر اساس اصول مشابه محاسبه می شود و اغلب در مسائل همسایه با آن مواجه می شود. تفاوت کوچک است، اما کاملاً قابل توجه است، LCM شامل محاسبه عددی است که بر تمام مقادیر اولیه داده شده تقسیم می شود، و GCD شامل محاسبه می شود. بالاترین ارزشکه اعداد اصلی بر آن تقسیم می شوند.
بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک مفاهیم کلیدی حسابی هستند که به شما امکان می دهند بدون زحمت کار کنید کسرهای معمولی. LCM و اغلب برای یافتن مخرج مشترک چند کسر استفاده می شوند.
مفاهیم اساسی
مقسوم علیه یک عدد صحیح X عدد صحیح دیگری است که X بدون باقی ماندن بر آن تقسیم می شود. به عنوان مثال، مقسوم علیه 4 برابر 2 است و 36 برابر با 4، 6، 9 است. مضرب یک عدد صحیح X، عددی است که بر X بدون باقیمانده بخش پذیر است. مثلاً 3 مضرب 15 و 6 مضرب 12 است.
برای هر جفت اعداد می توانیم مقسوم علیه و مضرب مشترک آنها را پیدا کنیم. به عنوان مثال، برای 6 و 9، مضرب مشترک 18 و مقسوم علیه مشترک 3 است. بدیهی است که جفت ها می توانند چندین مقسوم علیه و مضرب داشته باشند، بنابراین در محاسبات از بزرگترین مقسوم علیه GCD و کوچکترین مضرب LCM استفاده می شود.
کمترین مقسوم علیه بی معنی است، زیرا برای هر عددی همیشه یک است. بزرگترین مضرب نیز بی معنی است، زیرا دنباله مضرب به بی نهایت می رود.
پیدا کردن gcd
روش های زیادی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک وجود دارد که معروف ترین آنها عبارتند از:
- جستجوی متوالی مقسوم علیه ها، انتخاب موارد مشترک برای یک جفت و جستجوی بزرگترین آنها.
- تجزیه اعداد به عوامل تقسیم ناپذیر؛
- الگوریتم اقلیدسی؛
- الگوریتم باینری
امروز در موسسات آموزشیمتداول ترین روش های فاکتورسازی اول و الگوریتم اقلیدسی است. دومی به نوبه خود هنگام حل معادلات دیوفانتین استفاده می شود: جستجوی GCD برای بررسی معادله برای امکان تفکیک در اعداد صحیح مورد نیاز است.
پیدا کردن NOC
کمترین مضرب مشترک نیز با جستجوی متوالی یا تجزیه به عوامل غیرقابل تقسیم تعیین می شود. علاوه بر این، اگر بزرگترین مقسوم علیه قبلاً تعیین شده باشد، یافتن LCM آسان است. برای اعداد X و Y، LCM و GCD با رابطه زیر مرتبط هستند:
LCD (X,Y) = X × Y / GCD (X,Y).
به عنوان مثال، اگر GCM(15,18) = 3، LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. واضح ترین مثال استفاده از LCM یافتن مخرج مشترک است که کمترین مضرب مشترک است. کسرهای داده شده
اعداد همزمان اول
اگر یک جفت از اعداد مقسوم علیه مشترک نداشته باشد، به چنین جفتی کوپرایم می گویند. gcd برای چنین جفت هایی همیشه برابر با یک است و بر اساس ارتباط بین مقسوم علیه ها و مضرب ها، gcd برای جفت های coprime برابر است با حاصلضرب آنها. به عنوان مثال، اعداد 25 و 28 نسبتاً اول هستند، زیرا آنها مقسوم علیه مشترک ندارند و LCM(25, 28) = 700 که با حاصلضرب آنها مطابقت دارد. هر دو عدد غیر قابل تقسیم همیشه نسبتا اول خواهند بود.
مقسوم علیه مشترک و ماشین حساب چندگانه
با استفاده از ماشین حساب ما می توانید GCD و LCM را برای تعداد دلخواه اعدادی که می توانید انتخاب کنید محاسبه کنید. وظایف محاسبه مقسوم علیه ها و مضرب های مشترک در ریاضی کلاس پنجم و ششم یافت می شود، اما GCD و LCM مفاهیم کلیدی در ریاضیات هستند و در تئوری اعداد، پلان سنجی و جبر ارتباطی استفاده می شوند.
نمونه های زندگی واقعی
مخرج مشترک کسرها
کمترین مضرب مشترک برای یافتن مخرج مشترک کسرهای متعدد استفاده می شود. فرض کنید در یک مسئله حسابی باید 5 کسر را جمع کنید:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
برای اضافه کردن کسرها، عبارت باید به یک مخرج مشترک تقلیل یابد، که به مشکل یافتن LCM کاهش می‌یابد. برای انجام این کار، 5 عدد را در ماشین حساب انتخاب کنید و مقادیر مخرج ها را در سلول های مربوطه وارد کنید. این برنامه LCM (8، 9، 12، 15، 18) = 360 را محاسبه می کند. اکنون باید عوامل اضافی را برای هر کسری محاسبه کنید، که به عنوان نسبت LCM به مخرج تعریف می شود. بنابراین ضریب های اضافی به نظر می رسد:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
پس از این، همه کسرها را در ضریب اضافی مربوطه ضرب می کنیم و به دست می آوریم:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
ما به راحتی می توانیم چنین کسرهایی را جمع کنیم و نتیجه را 159/360 بدست آوریم. کسر را 3 کاهش می دهیم و پاسخ نهایی را می بینیم - 53/120.
حل معادلات دیوفانتین خطی
معادلات دیوفانتین خطی عبارت هایی به شکل ax + by = d هستند. اگر نسبت d / gcd(a, b) یک عدد صحیح باشد، معادله در اعداد صحیح قابل حل است. بیایید چند معادله را بررسی کنیم تا ببینیم آیا آنها یک راه حل عدد صحیح دارند یا خیر. ابتدا معادله 150x + 8y = 37 را بررسی می کنیم. با استفاده از یک ماشین حساب، GCD (150.8) = 2 را پیدا می کنیم. 37/2 = 18.5 را تقسیم می کنیم. عدد یک عدد صحیح نیست، بنابراین معادله ریشه عدد صحیح ندارد.
اجازه دهید معادله 1320x + 1760y = 10120 را بررسی کنیم. از یک ماشین حساب برای پیدا کردن GCD(1320, 1760) = 440 استفاده کنید. .
نتیجه
GCD و LCM نقش بزرگی در تئوری اعداد بازی می‌کنند و خود مفاهیم به طور گسترده در زمینه‌های متنوعی از ریاضیات استفاده می‌شوند. از ماشین حساب ما برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه و کوچکترین مضرب هر تعداد اعداد استفاده کنید.
مبحث اعداد چندگانه در پایه پنجم متوسطه مطالعه می شود. هدف آن بهبود مهارت های محاسباتی ریاضی کتبی و شفاهی است. در این درس، مفاهیم جدیدی معرفی می شوند - "اعداد متعدد" و "قسمت کننده ها"، تکنیک یافتن مقسوم علیه و مضرب یک عدد طبیعی، و توانایی یافتن LCM به روش های مختلف تمرین می شود.
این موضوع بسیار مهم است. دانش آن را می توان هنگام حل مثال با کسری به کار برد. برای این کار باید مخرج مشترک را با محاسبه کمترین مضرب مشترک (LCM) پیدا کنید.
مضرب A عددی است که بدون باقیمانده بر A بخش پذیر است.
هر عدد طبیعی دارای بی نهایت مضرب آن است. خود کوچکترین محسوب می شود. مضرب نمی تواند از خود عدد کمتر باشد.
شما باید ثابت کنید که عدد 125 مضرب 5 است. برای این کار باید عدد اول را بر عدد دوم تقسیم کنید. اگر 125 بدون باقی مانده بر 5 بخش پذیر باشد، پاسخ مثبت است.
این روش برای تعداد کم قابل استفاده است.
هنگام محاسبه LOC موارد خاصی وجود دارد.
1. اگر باید مضرب مشترکی از 2 عدد (مثلا 80 و 20) پیدا کنید، جایی که یکی از آنها (80) بر دیگری (20) بخش پذیر است، این عدد (80) کوچکترین مضرب این عدد است. دو عدد
LCM(80، 20) = 80.
2. اگر دو مقسوم علیه مشترک نداشته باشند، می توان گفت که LCM آنها حاصلضرب این دو عدد است.
LCM(6، 7) = 42.
بیایید به آخرین مثال نگاه کنیم. 6 و 7 در رابطه با 42 مقسوم علیه هستند. مضرب یک عدد را بدون باقی مانده تقسیم می کنند.
در این مثال، 6 و 7 فاکتورهای زوجی هستند. حاصل ضرب آنها برابر است با چندگانه ترین عدد (42).
عددی را که فقط بر خودش یا بر 1 بخش پذیر باشد اول می نامند (3:1=3؛ 3:3=1). به بقیه کامپوزیت می گویند.
مثال دیگر شامل تعیین اینکه آیا 9 مقسوم علیه 42 است یا خیر.
42:9=4 (بقیه 6)
پاسخ: 9 مقسوم علیه 42 نیست زیرا جواب باقیمانده دارد.
یک مقسوم علیه با مضرب فرق می کند در این که مقسوم علیه عددی است که بر آن تقسیم می شود اعداد صحیحو مضرب خود بر این عدد بخش پذیر است.
بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد آو بضرب در کمترین مضرب آنها، حاصلضرب خود اعداد را نشان می دهد آو ب.
یعنی: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
مضرب های مشترک برای اعداد مختلط تر به روش زیر یافت می شوند.
به عنوان مثال، LCM را برای 168، 180، 3024 پیدا کنید.
این اعداد را به ضرایب اول تبدیل می کنیم و آنها را به عنوان حاصل ضرب توان ها می نویسیم:
168=2³x3¹x7¹
24х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168، 180، 3024) = 15120.
مطالب ارائه شده در زیر ادامه منطقی نظریه از مقاله با عنوان LCM - کمترین مضرب مشترک، تعریف، مثال ها، ارتباط بین LCM و GCD است. در اینجا ما در مورد صحبت خواهیم کرد یافتن کمترین مضرب مشترک (LCM)، و به حل مثال ها توجه ویژه ای خواهیم داشت. ابتدا نشان خواهیم داد که چگونه LCM دو عدد با استفاده از GCD این اعداد محاسبه می شود. در مرحله بعد، ما به دنبال یافتن کمترین مضرب مشترک با فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول خواهیم بود. پس از این، ما بر روی یافتن LCM سه و تمرکز خواهیم کرد بیشتراعداد و همچنین به محاسبه LCM اعداد منفی توجه کنید.
پیمایش صفحه.
محاسبه حداقل چندگانه مشترک (LCM) از طریق GCD
یک راه برای یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس رابطه بین LCM و GCD است. ارتباط موجود بین LCM و GCD به ما این امکان را می دهد که حداقل مضرب مشترک دو عدد صحیح مثبت را از طریق بزرگترین مقسوم علیه مشترک شناخته شده محاسبه کنیم. فرمول مربوطه است LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . بیایید به نمونه هایی از پیدا کردن LCM با استفاده از فرمول داده شده نگاه کنیم.
مثال.
کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 126 و 70 را پیدا کنید.
راه حل.
در این مثال a=126، b=70. اجازه دهید از ارتباط بین LCM و GCD استفاده کنیم که با فرمول بیان شده است LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). یعنی ابتدا باید بزرگترین مقسوم علیه اعداد 70 و 126 را پیدا کنیم و بعد از آن می توانیم LCM این اعداد را با استفاده از فرمول نوشته شده محاسبه کنیم.
بیایید GCD(126, 70) را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی پیدا کنیم: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, بنابراین GCD(126, 70)=14.
اکنون حداقل مضرب مشترک مورد نیاز را پیدا می کنیم: GCD(126، 70)=126·70:GCD(126، 70)= 126·70:14=630.
پاسخ:
LCM(126، 70)=630.
مثال.
LCM(68, 34) برابر چیست؟
راه حل.
زیرا 68 بر 34 بخش پذیر است، سپس GCD(68, 34)=34. اکنون کمترین مضرب مشترک را محاسبه می کنیم: GCD(68، 34)=68·34:GCD(68، 34)= 68·34:34=68.
پاسخ:
LCM(68, 34)=68.
توجه داشته باشید که مثال قبلی با قانون زیر برای یافتن LCM برای اعداد صحیح مثبت a و b مطابقت دارد: اگر عدد a بر b بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک این اعداد a است.
یافتن LCM با فاکتورگیری اعداد به عوامل اول
راه دیگر برای یافتن کمترین مضرب مشترک بر اساس فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول است. اگر از همه ضرایب اول اعداد داده شده، یک محصول بسازید، و سپس تمام ضرایب اول مشترک موجود در تجزیه اعداد داده شده را از این حاصل حذف کنید، آنگاه حاصل ضرب حاصل برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده خواهد بود. .
قانون بیان شده برای یافتن LCM از برابری ناشی می شود LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). در واقع، حاصل ضرب اعداد a و b برابر است با حاصلضرب همه عوامل دخیل در بسط اعداد a و b. به نوبه خود، GCD(a, b) برابر است با حاصلضرب همه عوامل اولی که به طور همزمان در بسط اعداد a و b موجود هستند (همانطور که در بخش یافتن GCD با استفاده از بسط اعداد به عوامل اول توضیح داده شد).
بیایید یک مثال بزنیم. به ما اطلاع دهید که 75=3·5·5 و 210=2·3·5·7. بیایید محصول را از همه عوامل این بسط ها بسازیم: 2·3·3·5·5·5·7. حال از این محصول، همه عوامل موجود در بسط عدد 75 و بسط عدد 210 را حذف می کنیم (این فاکتورها 3 و 5 هستند)، سپس حاصل ضرب به شکل 2·3·5·5·7 خواهد بود. . مقدار این حاصلضرب برابر است با کمترین مضرب مشترک 75 و 210 یعنی NOC(75، 210)= 2·3·5·5·7=1050.
مثال.
اعداد 441 و 700 را در ضرایب اول قرار دهید و کمترین مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنید.
راه حل.
بیایید اعداد 441 و 700 را در فاکتورهای اول فاکتور کنیم:
441=3·3·7·7 و 700=2·2·5·5·7 بدست می آوریم.
حالا بیایید یک محصول از همه عوامل دخیل در گسترش این اعداد ایجاد کنیم: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. اجازه دهید همه عواملی را که به طور همزمان در هر دو بسط وجود دارند از این محصول حذف کنیم (فقط یک عامل وجود دارد - این عدد 7 است): 2·2·3·3·5·5·7·7. بدین ترتیب، LCM(441، 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
پاسخ:
NOC(441، 700)= 44 100.
قانون برای یافتن LCM با استفاده از فاکتورسازی اعداد به ضرایب اول می تواند کمی متفاوت فرموله شود. اگر عوامل گمشده از بسط عدد b به عوامل حاصل از بسط عدد a اضافه شود، مقدار حاصلضرب برابر با کمترین مضرب مشترک اعداد a و b خواهد بود..
به عنوان مثال، بیایید همان اعداد 75 و 210 را در نظر بگیریم، تجزیه آنها به عوامل اول به صورت زیر است: 75=3·5·5 و 210=2·3·5·7. به فاکتورهای 3، 5 و 5 از بسط عدد 75، فاکتورهای گمشده 2 و 7 را از بسط عدد 210 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2·3·5·5·7 را بدست می آوریم که مقدار آن برابر است. برابر با LCM (75, 210).
مثال.
کوچکترین مضرب مشترک 84 و 648 را پیدا کنید.
راه حل.
ابتدا تجزیه اعداد 84 و 648 را به عوامل اول بدست می آوریم. آنها شبیه 84=2·2·3·7 و 648=2·2·2·3·3·3·3·3 هستند. به فاکتورهای 2، 2، 3 و 7 از بسط عدد 84، فاکتورهای گمشده 2، 3، 3 و 3 را از بسط عدد 648 اضافه می کنیم، حاصل ضرب 2 2 2 3 3 3 3 7 را به دست می آوریم. که برابر با 4 536 است. بنابراین، حداقل مضرب مشترک مطلوب 84 و 648، 4536 است.
پاسخ:
LCM(84, 648)=4,536.
یافتن LCM سه یا چند عدد
کمترین مضرب مشترک سه یا چند عدد را می توان با یافتن متوالی LCM دو عدد پیدا کرد. اجازه دهید قضیه مربوطه را به خاطر بیاوریم که راهی برای یافتن LCM سه یا چند عدد می دهد.
قضیه.
اجازه دهید اعداد صحیح مثبت a 1 , a 2 , ..., a k داده شوند، کمترین مضرب مشترک m k این اعداد با محاسبه متوالی m 2 = LCM (a 1 , a 2 , m 3 = LCM (m 2 , a به دست می آید. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
بیایید کاربرد این قضیه را با استفاده از مثال یافتن مضرب مشترک چهار عدد در نظر بگیریم.
مثال.
LCM چهار عدد 140، 9، 54 و 250 را پیدا کنید.
راه حل.
در این مثال، a 1 = 140، a 2 =9، a 3 =54، a 4 =250.
ابتدا پیدا می کنیم m 2 = LOC (a 1, a 2) = LOC (140, 9). برای این کار، با استفاده از الگوریتم اقلیدسی، GCD(140, 9) را تعیین می کنیم، 140=9·15+5، 9=5·1+4، 5=4·1+1، 4=1·4، داریم. بنابراین، GCD(140, 9)=1، از کجا GCD(140، 9)=140 9:GCD(140، 9)= 140·9:1=1260. یعنی m 2 = 1 260.
حالا پیدا می کنیم m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). بیایید آن را از طریق GCD (1 260، 54) محاسبه کنیم، که با استفاده از الگوریتم اقلیدسی نیز تعیین می کنیم: 1 260=54·23+18، 54=18·3. سپس gcd(1,260, 54)=18 که از آن gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. یعنی m 3 = 3 780.
تنها چیزی که باقی می ماند یافتن است m 4 = LOC (m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). برای این کار، GCD(3,780, 250) را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی پیدا می کنیم: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. بنابراین، GCM(3,780, 250)=10، از آنجا GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780، 250)= 3780·250:10=94500. یعنی m 4 = 94500.
بنابراین کمترین مضرب مشترک چهار عدد اصلی 94500 است.
پاسخ:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
در بسیاری از موارد، یافتن کمترین مضرب مشترک از سه یا چند عدد با استفاده از فاکتورسازی اول اعداد داده شده راحت است. در این صورت باید رعایت کنید قانون بعدی. کمترین مضرب مشترک چند عدد برابر با حاصل ضرب است که به صورت زیر تشکیل می شود: عوامل گمشده از بسط عدد دوم به همه عوامل از بسط عدد اول اضافه می شوند، عوامل مفقود از بسط عدد اول. عدد سوم به عوامل حاصله اضافه می شود و غیره.
بیایید به مثالی از یافتن کمترین مضرب مشترک با استفاده از فاکتورسازی اول نگاه کنیم.
مثال.
کوچکترین مضرب مشترک پنج عدد 84، 6، 48، 7، 143 را پیدا کنید.
راه حل.
ابتدا تجزیه این اعداد را به عوامل اول به دست می آوریم: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 عدد اول است، منطبق است با تجزیه آن به عوامل اول) و 143=11·13.
برای یافتن LCM این اعداد، به فاکتورهای عدد اول 84 (آنها 2، 2، 3 و 7 هستند)، باید فاکتورهای گمشده از بسط عدد دوم 6 را اضافه کنید. تجزیه عدد 6 شامل عوامل گمشده نیست، زیرا هر دو 2 و 3 در حال حاضر در تجزیه اولین عدد 84 وجود دارند. در ادامه به فاکتورهای 2 و 2 و 3 و 7 فاکتورهای گمشده 2 و 2 را از بسط عدد سوم 48 اضافه می کنیم، مجموعه ای از فاکتورهای 2، 2، 2، 2، 3 و 7 به دست می آید. در مرحله بعد دیگر نیازی به افزودن ضریب به این مجموعه نخواهد بود، زیرا 7 قبلاً در آن موجود است. در نهایت به عوامل 2، 2، 2، 2، 3 و 7 فاکتورهای گمشده 11 و 13 را از بسط عدد 143 اضافه می کنیم. حاصلضرب 2·2·2·2·3·7·11·13 را بدست می آوریم که برابر با 48048 است.
