معادلات نمایی با پایه های مختلف. حل معادلات توان نمایی، الگوریتم ها و مثال ها

دانشگاه دولتی بلگورود

بخش جبر، نظریه اعداد و هندسه

موضوع کار: معادلات توان نمایی و نابرابری ها.

کار فارغ التحصیلدانشجوی دانشکده فیزیک و ریاضی

مشاور علمی:

______________________________

بازبین: _______________________________

________________________

بلگورود. 2006

معرفی.

"... لذت دیدن و فهمیدن..."

الف. انیشتین.

در این کار سعی کردم تجربه خود را به عنوان یک معلم ریاضیات منتقل کنم تا حداقل تا حدی نگرش خود را نسبت به تدریس آن منتقل کنم - تلاشی انسانی که در آن علوم ریاضی، آموزش، تعلیم، روانشناسی و حتی فلسفه به طرز شگفت انگیزی در هم تنیده شده اند.

من این فرصت را داشتم که با بچه ها و فارغ التحصیلان کار کنم، با بچه هایی که پشت میله ها ایستاده بودند رشد فکری: کسانی که نزد روانپزشک ثبت نام کرده بودند و واقعاً به ریاضیات علاقه داشتند

من این فرصت را داشتم که بسیاری از مشکلات روش شناختی را حل کنم. من سعی خواهم کرد در مورد مواردی که موفق به حل آنها شدم صحبت کنم. اما حتی بیشتر شکست خورده، و حتی در مواردی که به نظر می رسد حل شده اند، سؤالات جدیدی مطرح می شود.

اما حتی مهمتر از خود تجربه، تأملات و تردیدهای معلم است: چرا دقیقاً این چنین است، این تجربه؟

و تابستان اکنون متفاوت است و توسعه آموزش جالب تر شده است. "زیر مشتری" امروز جستجوی یک سیستم بهینه اسطوره ای برای آموزش "همه و همه چیز" نیست، بلکه خود کودک است. اما پس از آن - به ضرورت - معلم.

که در دوره مدرسهجبر و شروع تجزیه و تحلیل، نمرات 10 - 11، هنگام قبولی در آزمون دولتی واحد برای دوره دبیرستانو در امتحانات ورودی دانشگاه ها معادلات و نابرابری هایی وجود دارد که شامل یک مجهول در مبنا و نماها هستند - این معادلات و نابرابری های نمایی هستند.

در مدرسه به آنها توجه چندانی نمی شود. با این حال، به نظر من، تسلط بر روش حل آنها بسیار مفید است: توانایی های ذهنی و خلاقانه دانش آموزان را افزایش می دهد و افق های کاملاً جدیدی در برابر ما باز می شود. هنگام حل مسائل، دانش آموزان اولین مهارت ها را کسب می کنند کار تحقیقاتی، فرهنگ ریاضی آنها غنی شده است، توانایی های آنها به تفکر منطقی. دانش‌آموزان دارای ویژگی‌های شخصیتی مانند قاطعیت، هدف‌گذاری و استقلال هستند که در زندگی بعدی برای آنها مفید خواهد بود. و همچنین تکرار، گسترش و جذب عمیق مطالب آموزشی وجود دارد.

من کار روی این موضوع را برای پایان نامه خود با نوشتن درس خود شروع کردم. در این دوره که من به طور عمیق ادبیات ریاضی در مورد این موضوع را مطالعه و تجزیه و تحلیل کردم، مناسب ترین روش را برای حل معادلات و نابرابری های نمایی شناسایی کردم.

این در این واقعیت نهفته است که علاوه بر رویکرد عمومی پذیرفته شده هنگام حل معادلات نمایی (مبنای بزرگتر از 0 در نظر گرفته می شود) و هنگام حل نابرابری های یکسان (پایه بزرگتر از 1 یا بزرگتر از 0، اما کمتر از 1 گرفته می شود) ، مواردی نیز در نظر گرفته می شوند که پایه ها منفی، برابر 0 و 1 باشند.

تجزیه و تحلیل برگه های امتحانی کتبی دانش آموزان نشان می دهد که عدم پوشش سؤال از ارزش منفیاستدلال تابع نمایی در کتاب‌های درسی مدارس، آنها را با مشکلات متعددی مواجه می‌کند و منجر به خطا می‌شود. و آنها همچنین در مرحله سیستماتیک کردن نتایج به دست آمده دارای مشکلاتی هستند ، جایی که به دلیل انتقال به یک معادله - نتیجه یا نابرابری - یک نتیجه ، ممکن است ریشه های خارجی ظاهر شود. برای حذف خطاها از آزمونی با استفاده از معادله یا نامساوی اصلی و الگوریتمی برای حل معادلات نمایی یا طرحی برای حل نابرابری های نمایی استفاده می کنیم.

برای اینکه دانش آموزان در امتحانات نهایی و ورودی با موفقیت پشت سر بگذارند، معتقدم باید به حل معادلات نمایی و نابرابری در کلاس ها یا علاوه بر آن در دروس انتخابی و باشگاهی توجه بیشتری شود.

بدین ترتیب موضوع ، من پایان نامهبه صورت زیر تعریف می شود: "معادلات توان نمایی و نابرابری".

اهداف از این کار عبارتند از:

1. ادبیات مربوط به این موضوع را تجزیه و تحلیل کنید.

2-تحلیل کاملی از حل معادلات و نابرابری های نمایی ارائه دهید.

3. تعداد کافی نمونه از انواع مختلف در این موضوع ارائه کنید.

4. در کلاس‌های کلاس، انتخابی و کلوب بررسی کنید که چگونه روش‌های پیشنهادی برای حل معادلات و نابرابری‌های نمایی درک می‌شوند. برای مطالعه این موضوع توصیه های مناسبی را ارائه دهید.

موضوع تحقیق ما توسعه روشی برای حل معادلات و نابرابری های نمایی است.

هدف و موضوع تحقیق مستلزم حل مسائل زیر است:

1. ادبیات موضوع: "معادلات توان نمایی و نابرابری ها" را مطالعه کنید.

2. تسلط بر تکنیک های حل معادلات نمایی و نامساوی.

3. مواد آموزشی را انتخاب کنید و یک سیستم تمرین در سطوح مختلف با موضوع: "حل معادلات نمایی و نابرابری" ایجاد کنید.

در طول تحقیق پایان نامه، بیش از 20 اثر به استفاده از روش های مختلفحل معادلات نمایی و نامساوی از اینجا می گیریم.

طرح پایان نامه:

معرفی.

فصل اول. تحلیل ادبیات موضوع تحقیق.

فصل دوم. توابع و خواص آنها در حل معادلات نمایی و نامساوی استفاده می شود.

II.1. تابع قدرت و خواص آن

II.2. تابع نمایی و خواص آن

فصل سوم. حل معادلات توان نمایی، الگوریتم و مثال.

فصل چهارم. حل نابرابری های نمایی، طرح حل و مثال ها.

فصل پنجم. تجربه برگزاری کلاس های آموزشی با دانش آموزان در این زمینه.

1. مواد آموزشی

2. وظایف برای راه حل مستقل.

نتیجه. نتیجه گیری و پیشنهادات.

فهرست ادبیات استفاده شده

فصل اول ادبیات را تحلیل می کند

در این درس به حل معادلات نمایی پیچیده تر خواهیم پرداخت و اصول نظری اساسی را در رابطه با تابع نمایی.

1. تعریف و خواص تابع نمایی، روش های حل ساده ترین معادلات نمایی

اجازه دهید تعریف و ویژگی های اصلی تابع نمایی را به یاد بیاوریم. حل تمام معادلات و نابرابری های نمایی بر اساس این ویژگی ها است.

تابع نماییتابعی از فرم است که پایه آن درجه و در اینجا x متغیر مستقل، آرگومان است. y متغیر وابسته، تابع است.

برنج. 1. نمودار تابع نمایی

نمودار افزایش و کاهش توان را نشان می دهد که تابع نمایی را به ترتیب با پایه بزرگتر از یک و کوچکتر از یک اما بزرگتر از صفر نشان می دهد.

هر دو منحنی از نقطه (0;1) عبور می کنند

ویژگی های تابع نمایی:

دامنه: ؛

محدوده مقادیر: ;

تابع یکنواخت است، با افزایش می یابد، با کاهش می یابد.

یک تابع یکنواخت هر یک از مقادیر خود را با یک مقدار آرگومان می گیرد.

وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی‌نهایت افزایش می‌یابد، تابع از صفر به اضافه بی‌نهایت افزایش می‌یابد. برعکس، وقتی آرگومان از منهای به مثبت بی نهایت افزایش می یابد، تابع از بی نهایت به صفر کاهش می یابد، نه شامل.

2. حل معادلات نمایی استاندارد

بیایید به شما یادآوری کنیم که چگونه ساده ترین معادلات نمایی را حل کنید. حل آنها بر اساس یکنواختی تابع نمایی است. تقریباً تمام معادلات نمایی پیچیده را می توان به چنین معادلاتی تقلیل داد.

برابری توان در در شرایط برابربه دلیل خاصیت تابع نمایی، یعنی یکنواختی آن.

روش حل:

مساوی کردن پایه های درجه؛

نماها را برابر کنید.

بیایید به بررسی معادلات نمایی پیچیده تر بپردازیم.

بیایید از ریشه سمت چپ خلاص شویم و درجات را به همان پایه برسانیم:

به منظور کاهش یک معادله نمایی پیچیده به ساده ترین آن، اغلب از جایگزینی متغیرها استفاده می شود.

بیایید از ویژگی power استفاده کنیم:

ما جایگزین معرفی می کنیم. بگذار آن وقت باشد

بیایید معادله حاصل را در دو ضرب کنیم و همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم:

ریشه اول محدوده مقادیر y را برآورده نمی کند، بنابراین آن را کنار می گذاریم. ما گرفتیم:

بیایید درجه ها را به همان شاخص کاهش دهیم:

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم:

بگذار آن وقت باشد . با چنین جایگزینی، بدیهی است که y مقادیر کاملاً مثبتی به خود می گیرد. ما گرفتیم:

ما می دانیم که چگونه چنین معادلات درجه دوم را حل کنیم، می توانیم پاسخ را یادداشت کنیم:

برای اطمینان از درستی یافتن ریشه ها، می توانید با استفاده از قضیه Vieta بررسی کنید، یعنی مجموع ریشه ها و حاصل ضرب آنها را بیابید و آنها را با ضرایب مربوطه معادله مقایسه کنید.

ما گرفتیم:

3. روش حل معادلات نمایی همگن درجه دو

بیایید موارد زیر را مطالعه کنیم نوع مهممعادلات نمایی:

معادلات این نوع با توجه به توابع f و g همگن درجه دوم نامیده می شوند. در سمت چپ آن یک مثلث مربع نسبت به f با پارامتر g یا یک مثلث مربع نسبت به g با پارامتر f وجود دارد.

روش حل:

این معادله را می توان به عنوان یک معادله درجه دوم حل کرد، اما انجام آن به روشی ساده تر است. دو مورد برای رسیدگی وجود دارد:

در حالت اول دریافت می کنیم

در حالت دوم، ما حق داریم بر بالاترین درجه تقسیم کنیم و بدست آوریم:

لازم است تغییر متغیرها را معرفی کنیم، یک معادله درجه دوم برای y بدست می آوریم:

اجازه دهید توجه داشته باشیم که توابع f و g می توانند هر کدام باشند، اما ما علاقه مندیم که اینها توابع نمایی باشند.

4. نمونه هایی از حل معادلات همگن

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ معادله منتقل کنیم:

از آنجایی که توابع نمایی مقادیر کاملاً مثبت به دست می آورند، ما این حق را داریم که بلافاصله معادله را بر تقسیم کنیم، بدون در نظر گرفتن موارد زیر:

ما گرفتیم:

بیایید جایگزینی را معرفی کنیم: (با توجه به ویژگی های تابع نمایی)

یک معادله درجه دوم بدست آوردیم:

ریشه ها را با استفاده از قضیه Vieta تعیین می کنیم:

ریشه اول محدوده مقادیر y را برآورده نمی کند، آن را کنار می گذاریم، دریافت می کنیم:

بیایید از خواص درجه استفاده کنیم و همه درجات را به مبانی ساده کاهش دهیم:

به راحتی می توان به توابع f و g توجه کرد:

از آنجایی که توابع نمایی مقادیر کاملاً مثبت به دست می آورند، ما این حق را داریم که بلافاصله معادله را بدون در نظر گرفتن موردی تقسیم کنیم.

حل معادلات نمایی. مثال ها.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

چه اتفاقی افتاده است معادله نمایی? این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها در آن قرار دارند شاخص هابرخی درجات و فقط آنجا! مهم است.

شما آنجا هستید نمونه هایی از معادلات نمایی:

3 x 2 x = 8 x + 3

توجه داشته باشید! بر اساس درجه (زیر) - فقط اعداد. که در شاخص هادرجه (بالا) - طیف گسترده ای از عبارات با X. اگر به طور ناگهانی X در معادله در جایی غیر از یک نشانگر ظاهر شود، برای مثال:

این یک معادله از نوع مختلط خواهد بود. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل آنها ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. در اینجا به آن خواهیم پرداخت حل معادلات نماییدر خالص ترین شکل آن

در واقع، حتی معادلات نمایی خالص نیز همیشه به وضوح حل نمی شوند. اما انواع خاصی از معادلات نمایی وجود دارد که می توانند و باید حل شوند. اینها انواعی هستند که ما در نظر خواهیم گرفت.

حل معادلات نمایی ساده

اول، بیایید یک چیز بسیار اساسی را حل کنیم. مثلا:

حتی بدون هیچ نظریه ای، با انتخاب ساده مشخص می شود که x = 2. دیگه هیچی درسته!؟ هیچ مقدار دیگری از X کار نمی کند. حال بیایید به حل این معادله نمایی پیچیده نگاه کنیم:

ما چه کرده ایم؟ در واقع ما آن را دور انداختیم زمینه های یکسان(سه). کاملا بیرون انداخته شده و خبر خوب این است که میخ را به سرمان زدیم!

در واقع، اگر در یک معادله نمایی چپ و راست وجود داشته باشد هماناعداد در هر توانی، این اعداد را می توان حذف کرد و توان ها را برابر کرد. ریاضیات اجازه می دهد. برای حل یک معادله بسیار ساده تر باقی مانده است. عالیه، درسته؟)

با این حال، بیایید قاطعانه به یاد داشته باشیم: شما می توانید پایه ها را فقط زمانی حذف کنید که اعداد پایه در سمت چپ و راست در انزوا عالی باشند!بدون هیچ همسایه و ضرایبی. بیایید در معادلات بگوییم:

2 x +2 x+1 = 2 3، یا

دوتا قابل حذف نیست!

خوب، ما به مهمترین چیز مسلط شدیم. چگونه از عبارات نمایی بد به معادلات ساده تر حرکت کنیم.

"آن زمان است!" - تو بگو. "چه کسی چنین درس ابتدایی در آزمون ها و امتحانات می دهد!؟"

من باید موافقت کنم. کسی آن را نخواهد داد. اما اکنون می‌دانید که هنگام حل مثال‌های پیچیده کجا را هدف بگیرید. لازم است آن را به فرمی بیاورید که همان عدد پایه در سمت چپ و راست باشد. سپس همه چیز آسان تر خواهد شد. در واقع، این یک کلاسیک از ریاضیات است. نمونه اصلی را می گیریم و آن را به نمونه دلخواه تبدیل می کنیم ماذهن البته طبق قوانین ریاضی.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم که به تلاش بیشتری برای کاهش آنها به ساده ترین نیاز دارند. به آنها زنگ بزنیم معادلات نمایی ساده

حل معادلات نمایی ساده مثال ها.

هنگام حل معادلات نمایی، قوانین اصلی هستند اقدامات با درجهبدون آگاهی از این اقدامات هیچ چیز کار نخواهد کرد.

به اعمال دارای درجه، باید مشاهده شخصی و نبوغ را اضافه کرد. آیا به اعداد پایه یکسانی نیاز داریم؟ بنابراین ما آنها را در مثال به صورت صریح یا رمزگذاری شده جستجو می کنیم.

بیایید ببینیم چگونه این کار در عمل انجام می شود؟

اجازه دهید مثالی برای ما آورده شود:

2 2x - 8 x+1 = 0

اولین نگاه مشتاقانه به زمینه.آنها... با هم فرق دارند! دو و هشت. اما برای ناامید شدن خیلی زود است. وقت آن است که آن را به خاطر بسپاریم

دو و هشت از نظر درجه نسبی هستند.) کاملاً ممکن است بنویسیم:

8 x+1 = (2 3) x+1

اگر فرمول را از عملیات با درجه به یاد بیاوریم:

(a n) m = a nm

این عالی عمل می کند:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

نمونه اصلی به این شکل شروع شد:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

انتقال می دهیم 2 3 (x+1)در سمت راست (هیچ کس عملیات ابتدایی ریاضیات را لغو نکرده است!)، دریافت می کنیم:

2 2x = 2 3 (x+1)

این عملاً تمام است. برداشتن پایه ها:

ما این هیولا را حل می کنیم و می گیریم

این جواب درست است.

در این مثال، دانستن قدرت های دو به ما کمک کرد. ما شناخته شده استدر هشت، دو رمزگذاری شده وجود دارد. این تکنیک (رمزگذاری زمینه های مشترک تحت اعداد مختلف) یک تکنیک بسیار محبوب در معادلات نمایی است! بله، و در لگاریتم نیز. شما باید بتوانید قدرت اعداد دیگر را در اعداد تشخیص دهید. این برای حل معادلات نمایی بسیار مهم است.

واقعیت این است که افزایش هر عددی به هر توانی مشکلی ندارد. ضرب کنید، حتی روی کاغذ، و تمام. به عنوان مثال، هر کسی می تواند 3 را به توان پنجم برساند. اگر جدول ضرب را بدانید، 243 درست می شود.) اما در معادلات نمایی، خیلی بیشتر اوقات لازم نیست که به یک توان افزایش دهید، بلکه برعکس... پیدا کنید، چه عددی به چه درجه ایپشت عدد 243 یا مثلاً 343 پنهان شده است... اینجا هیچ ماشین حسابی به شما کمک نمی کند.

شما باید قدرت برخی از اعداد را با دید بدانید، درست است... بیایید تمرین کنیم؟

تعیین کنید که اعداد چه قدرت ها و چه اعدادی هستند:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

پاسخ ها (البته در آشفتگی!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

اگر با دقت نگاه کنید می توانید یک واقعیت عجیب را ببینید. پاسخ ها به طور قابل توجهی بیشتر از وظایف هستند! خوب، اتفاق می افتد... مثلاً 2 6، 4 3، 8 2 - این همه 64 است.

فرض کنید شما اطلاعات مربوط به آشنایی با اعداد را یادداشت کرده اید.) همچنین یادآور می شوم که برای حل معادلات نمایی از ما استفاده می کنیم. همهذخیره دانش ریاضی از جمله کسانی که از طبقات متوسطه و متوسطه هستند. شما مستقیماً به دبیرستان نرفتید، درست است؟)

به عنوان مثال، هنگام حل معادلات نمایی، قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز اغلب کمک می کند (سلام به کلاس هفتم!). بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

3 2x+4 -11 9 x = 210

و باز هم اولین نگاه به پایه هاست! پایه درجات متفاوت است... سه و نه. و ما می خواهیم که آنها یکسان باشند. خب، در این صورت خواسته کاملا برآورده می شود!) زیرا:

9 x = (3 2) x = 3 2x

استفاده از قوانین مشابه برای برخورد با مدرک:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

عالی است، می توانید آن را بنویسید:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

به همین دلایل مثال زدیم. خب بعدش چیه!؟ شما نمی توانید سه نفر را بیرون بیندازید... بن بست؟

اصلا. جهانی ترین و قدرتمندترین قانون تصمیم گیری را به خاطر بسپارید هر کستکالیف ریاضی:

اگر نمی دانید به چه چیزی نیاز دارید، آنچه را که می توانید انجام دهید!

ببین همه چیز درست میشه).

آنچه در این معادله نمایی وجود دارد می توانانجام دادن؟ بله، در سمت چپ فقط التماس می کند که از پرانتز خارج شود! ضریب کلی 3 2x به وضوح به این اشاره دارد. بیایید امتحان کنیم، سپس خواهیم دید:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

مثال همیشه بهتر و بهتر می شود!

ما به یاد داریم که برای حذف زمینه ها نیاز به مدرک تحصیلی خالص و بدون ضریب داریم. عدد 70 ما را اذیت می کند. بنابراین هر دو طرف معادله را بر 70 تقسیم می کنیم، به دست می آید:

اوه! همه چیز بهتر شد!

این پاسخ نهایی است.

اما اتفاق می‌افتد که تاکسی‌گیری بر همین اساس محقق می‌شود، اما حذف آنها ممکن نیست. این در انواع دیگر معادلات نمایی اتفاق می افتد. بیایید به این نوع تسلط پیدا کنیم.

جایگزینی یک متغیر در حل معادلات نمایی. مثال ها.

بیایید معادله را حل کنیم:

4 x - 3 2 x +2 = 0

اول - طبق معمول. بیایید به یک پایه برویم. به یک دونه.

4 x = (2 2) x = 2 2x

معادله را بدست می آوریم:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

و این جایی است که ما آویزان می شویم. تکنیک های قبلی، مهم نیست که چگونه به آن نگاه کنید، کارساز نیستند. ما باید روش قدرتمند و جهانی دیگری را از زرادخانه خود خارج کنیم. نامیده می شود جایگزینی متغیر

ماهیت روش به طرز شگفت آوری ساده است. به جای یک نماد پیچیده (در مورد ما - 2 x) یک نماد دیگر ساده تر (مثلا - t) می نویسیم. چنین جایگزینی به ظاهر بی معنی منجر به نتایج شگفت انگیزی می شود!) همه چیز واضح و قابل درک می شود!

بنابراین اجازه دهید

سپس 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

در معادله ما تمام توان ها را با x با t جایگزین می کنیم:

خوب، آیا صبح می شود؟) معادلات درجه دومهنوز فراموش کردی؟ با حل از طریق تفکیک، دریافت می کنیم:

نکته اصلی اینجا این است که متوقف نشویم، همانطور که اتفاق می افتد... این هنوز پاسخی نیست، ما به x نیاز داریم، نه t. بیایید به X برگردیم، یعنی. ما یک جایگزین معکوس می کنیم. ابتدا برای t 1:

به این معنا که،

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم از t 2 هستیم:

هوم... 2 x سمت چپ، 1 در سمت راست... مشکل؟ اصلا! کافی است به یاد داشته باشید (از عملیات با قدرت ها، بله...) که یک واحد است هرعدد به توان صفر هر هر چه نیاز باشد، آن را نصب می کنیم. ما به دوتا نیاز داریم به معنای:

الان همین است. ما 2 ریشه گرفتیم:

این پاسخ است.

در حل معادلات نماییدر پایان گاهی اوقات شما با نوعی بیان ناخوشایند روبرو می شوید. نوع:

از هفت تا دو تا درجه سادهکار نمی کند. فامیل نیستن... چطوری باشیم؟ ممکن است کسی گیج شود ... اما شخصی که در این سایت موضوع "لگاریتم چیست؟" را خوانده است. ، فقط کمی لبخند بزنید و یادداشت کنید با دستی ثابتپاسخ کاملا صحیح:

چنین پاسخی در وظایف "B" در آزمون یکپارچه دولتی وجود ندارد. در آنجا یک شماره خاص مورد نیاز است. اما در وظایف "C" آسان است.

در این درس مثال هایی از حل رایج ترین معادلات نمایی ارائه می شود. بیایید نکات اصلی را برجسته کنیم.

توصیه عملی:

1. اول از همه، نگاه می کنیم زمینهدرجه. ما نمی دانیم که آیا امکان ساخت آنها وجود دارد یا خیر همسان.بیایید سعی کنیم این کار را با استفاده فعال انجام دهیم اقدامات با درجهفراموش نکنید که اعداد بدون x را نیز می توان به توان تبدیل کرد!

2. ما سعی می کنیم معادله نمایی را زمانی که در سمت چپ و راست وجود دارد به شکلی در آوریم هماناعداد در هر قدرتی ما استفاده می کنیم اقدامات با درجهو فاکتورسازیآنچه را می توان با اعداد شمارش کرد، ما می شماریم.

3. اگر نکته دوم کار نکرد، از جایگزینی متغیر استفاده کنید. نتیجه ممکن است معادله ای باشد که به راحتی قابل حل باشد. اغلب - مربع. یا کسری که به مربع نیز کاهش می یابد.

4. برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید قدرت برخی از اعداد را از روی دید بدانید.

طبق معمول، در پایان درس از شما دعوت می شود تا کمی تصمیم بگیرید.) خودتان. از ساده به پیچیده.

حل معادلات نمایی:

سخت تر:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

محصول ریشه ها را پیدا کنید:

2 3 + 2 x = 9

اتفاق افتاد؟

خب پس پیچیده ترین مثال(اما در ذهن تصمیم گرفت...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

چه جالب تر؟ پس در اینجا یک مثال بد برای شما وجود دارد. برای افزایش سختی بسیار وسوسه انگیز است. اجازه دهید اشاره کنم که در این مثال، چیزی که شما را نجات می دهد، نبوغ و جهانی ترین قانون برای حل تمام مسائل ریاضی است.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

یک مثال ساده تر، برای آرامش):

9 2 x - 4 3 x = 0

و برای دسر. مجموع ریشه های معادله را بیابید:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

بله بله! این یک معادله از نوع مختلط است! که در این درس به آن توجه نکردیم. چرا آنها را در نظر بگیرید، آنها باید حل شوند!) این درس برای حل معادله کاملاً کافی است. خوب، شما نیاز به نبوغ دارید... و ممکن است کلاس هفتم به شما کمک کند (این یک اشاره است!).

پاسخ ها (به هم ریخته، با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند):

1 2 3; 4 هیچ راه حلی وجود ندارد؛ 2 -2 -5; 4 0.

آیا همه چیز موفق است؟ عالی.

مشکلی وجود دارد؟ مشکلی نیست! بخش ویژه 555 تمام این معادلات نمایی را با توضیحات دقیق حل می کند. چی، چرا و چرا. و البته، اطلاعات ارزشمند بیشتری در مورد کار با انواع معادلات نمایی وجود دارد. نه فقط اینها.)

آخرین سوال جالبی که باید در نظر گرفت. در این درس با معادلات نمایی کار کردیم. چرا من اینجا یک کلمه در مورد ODZ نگفتم؟در معادلات، اتفاقاً این یک چیز بسیار مهم است ...

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

معادلات نمایی معادلاتی هستند که در آنها مجهول در توان گنجانده شده است. ساده ترین معادله نمایی به این شکل است: a x = a b، که در آن a> 0، a 1، x مجهول است.

ویژگی های اصلی توان هایی که معادلات نمایی به وسیله آنها تبدیل می شوند: a>0، b>0.

هنگام حل معادلات نمایی، از خواص زیر تابع نمایی نیز استفاده می شود: y = a x، a > 0، a1:

برای نشان دادن یک عدد به عنوان توان، از پایه استفاده کنید هویت لگاریتمی: b = , a > 0, a1, b > 0.

مسائل و تست های مبحث "معادلات نمایی"

• معادلات نمایی

  درس: 4 تکلیف: 21 تست: 1

• معادلات نمایی - مباحث مهم برای بررسی آزمون دولتی واحد در ریاضیات

  وظایف: 14

• سیستم های معادلات نمایی و لگاریتمی - توابع نمایی و لگاریتمی درجه 11

  درس: 1 تکلیف: 15 تست: 1

• §2.1. حل معادلات نمایی

  درس: 1 وظایف: 27

• §7 معادلات و نابرابری های نمایی و لگاریتمی - بخش 5. توابع نمایی و لگاریتمی، درجه 10

  درس: 1 وظایف: 17

برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید ویژگی های اصلی توان ها، ویژگی های تابع نمایی و هویت لگاریتمی پایه را بدانید.

هنگام حل معادلات نمایی، از دو روش اصلی استفاده می شود:

1. انتقال از معادله a f(x) = a g(x) به معادله f(x) = g(x);
2. معرفی خطوط جدید

مثال ها.

1. معادلات کاهش یافته به ساده ترین. آنها با تقلیل دو طرف معادله به توانی با پایه یکسان حل می شوند.

3 x = 9 x – 2 .

راه حل:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x - 4 ;
x = 2x -4;
x = 4.

پاسخ: 4.

2. معادلات حل شده با خارج کردن عامل مشترک از پرانتز.

راه حل:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x - 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

پاسخ: 3.

3. معادلات حل شده با استفاده از تغییر متغیر.

راه حل:

2 2x + 2 x - 12 = 0
2 x = y را نشان می دهیم.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
الف) 2 x = - 4. معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا 2 x > 0.
ب) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

پاسخ:لاگ 2 3.

4. معادلات حاوی توان با دو پایه متفاوت (غیر قابل تقلیل).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
× 23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

پاسخ: 2.

5. معادلاتی که نسبت به a x و b x همگن هستند.

فرم کلی: .

9 x + 4 x = 2.5 × 6 x.

راه حل:

3 2x – 2.5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
(3/2) x = y را نشان می دهیم.
y 2 - 2.5y + 1 = 0،
y 1 = 2; y 2 = ½.

پاسخ: log 3/2 2; - لاگ 3/2 2.

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. انسان در زمان های قدیم از معادلات استفاده می کرد و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. معادلات توان یا نمایی معادلاتی هستند که در آنها متغیرها برحسب توان و مبنا یک عدد است. مثلا:

حل یک معادله نمایی به 2 مرحله نسبتاً ساده ختم می شود:

1. باید بررسی کنید که آیا پایه های معادله سمت راست و چپ یکسان هستند یا خیر. اگر دلایل یکسان نیستند، ما به دنبال گزینه هایی برای حل این مثال هستیم.

2. پس از یکسان شدن پایه ها، درجه ها را با هم برابر می کنیم و معادله جدید حاصل را حل می کنیم.

فرض کنید یک معادله نمایی به شکل زیر به ما داده شود:

شایسته است حل این معادله را با تحلیل مبنا آغاز کنیم. پایه ها متفاوت هستند - 2 و 4، اما برای حل ما نیاز داریم که آنها یکسان باشند، بنابراین با استفاده از فرمول زیر 4 را تبدیل می کنیم -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

به معادله اصلی اضافه می کنیم:

بیایید آن را از پرانتز خارج کنیم \

بیان کنیم \

از آنجایی که درجه ها یکسان هستند، آنها را کنار می گذاریم:

پاسخ: \

کجا می توانم یک معادله نمایی را با استفاده از حل کننده آنلاین حل کنم؟

می توانید معادله را در وب سایت ما https://site حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادلات آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که به سادگی داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید دستورالعمل های ویدیویی را تماشا کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر هنوز سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه VKontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک می کنیم.