قوانین محاسبه لگاریتم تعریف لگاریتم، هویت لگاریتمی پایه

همانطور که جامعه توسعه یافت و تولید پیچیده تر شد، ریاضیات نیز توسعه یافت. حرکت از ساده به پیچیده. از حسابداری معمولی با استفاده از روش جمع و تفریق با تکرار مکرر آنها به مفهوم ضرب و تقسیم رسیدیم. کاهش عملیات مکرر ضرب به مفهوم توان تبدیل شد. اولین جداول وابستگی اعداد به پایه و تعداد توان در قرن هشتم توسط ریاضیدان هندی Varasena گردآوری شد. از روی آنها می توانید زمان وقوع لگاریتم را بشمارید.

طرح تاریخی

احیای اروپا در قرن شانزدهم نیز توسعه مکانیک را تحریک کرد. تی به مقدار زیادی محاسبات نیاز داشتمربوط به ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی است. میزهای باستانی خدمات بسیار خوبی داشتند. آنها جایگزینی عملیات پیچیده با عملیات ساده تر - جمع و تفریق را ممکن کردند. یک قدم بزرگ رو به جلو کار ریاضیدان مایکل استیفل بود که در سال 1544 منتشر شد و در آن او ایده بسیاری از ریاضیدانان را محقق کرد. این امکان استفاده از جداول را نه تنها برای درجه در فرم فراهم کرد اعداد اول، بلکه برای عقلای دلخواه.

در سال 1614، جان ناپیر اسکاتلندی، با توسعه این ایده ها، برای اولین بار اصطلاح جدید "لگاریتم یک عدد" را معرفی کرد. جداول پیچیده جدیدی برای محاسبه لگاریتم سینوس ها و کسینوس ها و همچنین مماس ها تهیه شد. این کار اخترشناسان را بسیار کاهش داد.

جداول جدیدی ظاهر شدند که با موفقیت توسط دانشمندان در سراسر جهان استفاده شد سه قرن. زمان زیادی گذشت تا عملیات جدید در جبر شکل نهایی خود را به دست آورد. تعریف لگاریتم ارائه شد و خواص آن مورد مطالعه قرار گرفت.

تنها در قرن بیستم، با ظهور ماشین حساب و کامپیوتر، بشریت جداول باستانی را که در طول قرن سیزدهم با موفقیت کار می کردند، کنار گذاشت.

امروز لگاریتم b را برای مبنای a عدد x می نامیم که توان a برای ساختن b است. این به صورت یک فرمول نوشته می شود: x = log a(b).

به عنوان مثال، log 3(9) برابر با 2 خواهد بود. اگر از تعریف پیروی کنید این واضح است. اگر 3 را به توان 2 برسانیم، 9 می شود.

بنابراین، تعریف فرموله شده تنها یک محدودیت را تعیین می کند: اعداد a و b باید واقعی باشند.

انواع لگاریتم

تعریف کلاسیک لگاریتم واقعی نامیده می شود و در واقع حل معادله a x = b است. گزینه a = 1 مرزی است و مورد توجه نیست. توجه: 1 به هر توانی برابر با 1 است.

ارزش واقعی لگاریتمتنها زمانی تعریف می شود که مبنا و آرگومان بزرگتر از 0 باشند و پایه نباید برابر با 1 باشد.

جایگاه ویژه در رشته ریاضیبازی لگاریتمی که بسته به اندازه پایه آنها نامگذاری می شود:

قوانین و محدودیت ها

ویژگی اساسی لگاریتم ها این قانون است: لگاریتم یک محصول برابر با مجموع لگاریتمی است. log abp = log a(b) + log a(p).

به عنوان یک نوع از این عبارت وجود خواهد داشت: log c(b/p) = log c(b) - log c(p)، تابع ضریب برابر با تفاوت توابع است.

از دو قانون قبلی به راحتی می توان دریافت که: log a(b p) = p * log a(b).

سایر خواص عبارتند از:

اظهار نظر. نیازی به اشتباه رایج نیست - لگاریتم یک مجموع با مجموع لگاریتم ها برابر نیست.

برای قرن‌های متمادی، یافتن لگاریتم یک کار نسبتاً زمان‌بر بود. ریاضیدانان از فرمول معروف نظریه لگاریتمی انبساط چند جمله ای استفاده کردند:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)، که در آن n - عدد طبیعیبزرگتر از 1، که دقت محاسبه را تعیین می کند.

لگاریتم با پایه های دیگر با استفاده از قضیه انتقال از یک پایه به پایه دیگر و ویژگی لگاریتم حاصلضرب محاسبه شد.

از آنجایی که این روش بسیار کار بر است و هنگام حل مسائل عملیپیاده سازی دشوار است، ما از جداول لگاریتمی از پیش کامپایل شده استفاده کردیم که به طور قابل توجهی سرعت تمام کار را افزایش داد.

در برخی موارد، از نمودارهای لگاریتم کامپایل شده ویژه استفاده شد که دقت کمتری داشت، اما به طور قابل توجهی سرعت جستجوی مقدار مورد نظر را افزایش داد. منحنی تابع y = log a(x) که بر روی چندین نقطه ساخته شده است، به شما امکان می دهد از یک خط کش معمولی برای یافتن مقدار تابع در هر نقطه دیگر استفاده کنید. مهندسان مدت زمان طولانیبرای این منظور از کاغذ گراف به اصطلاح استفاده شد.

در قرن هفدهم، اولین شرایط کمکی محاسبات آنالوگ ظاهر شد که قرن 19ظاهری تمام شده به دست آورد. موفق ترین دستگاه قانون اسلاید نام داشت. علیرغم سادگی دستگاه، ظاهر آن به طور قابل توجهی روند تمام محاسبات مهندسی را تسریع می کند، و این امر دشوار است که بیش از حد برآورد شود. در حال حاضر افراد کمی با این دستگاه آشنایی دارند.

ظهور ماشین حساب ها و کامپیوترها استفاده از هر وسیله دیگری را بی معنی کرد.

معادلات و نابرابری ها

برای حل معادلات و نابرابری های مختلف با استفاده از لگاریتم از فرمول های زیر استفاده می شود:

• انتقال از یک پایه به پایه دیگر: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• در نتیجه گزینه قبلی: log a(b) = 1 / log b(a).

برای حل نابرابری ها مفید است بدانید:

• مقدار لگاریتم تنها در صورتی مثبت خواهد بود که مبنا و آرگومان هر دو بزرگتر یا کوچکتر از یک باشند. اگر حداقل یک شرط نقض شود، مقدار لگاریتم منفی خواهد بود.
• اگر تابع لگاریتم به سمت راست و چپ نابرابری اعمال شود و پایه لگاریتم بزرگتر از یک باشد، علامت نابرابری حفظ می شود. در غیر این صورت تغییر می کند.

نمونه هایی از مشکلات

بیایید چندین گزینه برای استفاده از لگاریتم و خواص آنها در نظر بگیریم. مثال هایی با حل معادلات:

گزینه قرار دادن لگاریتم در توان را در نظر بگیرید:

• مسئله 3. 25^log 5(3) را محاسبه کنید. راه حل: در شرایط مشکل، ورودی مشابه زیر است (5^2)^log5(3) یا 5^(2 * log 5(3)). بیایید آن را متفاوت بنویسیم: 5^log 5(3*2)، یا مربع یک عدد به عنوان آرگومان تابع را می توان به عنوان مربع خود تابع نوشت (5^log 5(3))^2. با استفاده از خواص لگاریتم، این عبارت برابر با 3^2 است. پاسخ: در نتیجه محاسبه 9 به دست می آید.

استفاده عملی

به عنوان یک ابزار کاملاً ریاضی، به نظر دور از دسترس است زندگی واقعیکه لگاریتم ناگهان به دست آورد پراهمیتبرای توصیف اشیاء دنیای واقعی. یافتن علمی در جایی که از آن استفاده نمی شود دشوار است. این به طور کامل نه تنها در زمینه های دانش طبیعی، بلکه در زمینه های بشردوستانه نیز صدق می کند.

وابستگی های لگاریتمی

در اینجا چند نمونه از وابستگی های عددی آورده شده است:

مکانیک و فیزیک

از نظر تاریخی، مکانیک و فیزیک همیشه با استفاده از روش های تحقیق ریاضی توسعه یافته اند و در عین حال به عنوان انگیزه ای برای توسعه ریاضیات از جمله لگاریتم عمل کرده اند. تئوری اکثر قوانین فیزیک به زبان ریاضی نوشته شده است. اجازه دهید تنها دو مثال از توصیف قوانین فیزیکی با استفاده از لگاریتم بیاوریم.

مشکل محاسبه چنین کمیت پیچیده ای مانند سرعت یک موشک را می توان با استفاده از فرمول Tsiolkovsky که پایه و اساس تئوری اکتشاف فضایی را ایجاد کرد، حل کرد:

V = I * ln (M1/M2)، که در آن

• V سرعت نهایی هواپیما است.
• I - ضربه خاص موتور.
• M 1 - جرم اولیه موشک.
• M 2 - جرم نهایی.

مثال مهم دیگر- این در فرمول دانشمند بزرگ دیگر ماکس پلانک استفاده می شود که برای ارزیابی حالت تعادل در ترمودینامیک استفاده می شود.

S = k * ln (Ω)، که در آن

• S – خاصیت ترمودینامیکی
• k – ثابت بولتزمن.
• Ω وزن آماری حالت های مختلف است.

علم شیمی

استفاده از فرمول های حاوی نسبت لگاریتم ها در شیمی کمتر آشکار است. بیایید فقط دو مثال بزنیم:

• معادله نرنست، شرایط پتانسیل ردوکس محیط نسبت به فعالیت مواد و ثابت تعادل.
• محاسبه ثابت هایی مانند شاخص اتولیز و اسیدیته محلول نیز بدون عملکرد ما انجام نمی شود.

روانشناسی و زیست شناسی

و اصلاً مشخص نیست که روانشناسی چه ربطی به آن دارد. معلوم می شود که قدرت حس به خوبی توسط این تابع به عنوان نسبت معکوس مقدار شدت محرک به مقدار شدت کمتر توصیف می شود.

پس از مثال های بالا، دیگر جای تعجب نیست که مبحث لگاریتم ها به طور گسترده در زیست شناسی مورد استفاده قرار می گیرد. مجلدات کامل را می توان در مورد اشکال بیولوژیکی متناظر با مارپیچ های لگاریتمی نوشت.

مناطق دیگر

به نظر می رسد وجود جهان بدون ارتباط با این کارکرد ناممکن است و بر همه قوانین حاکم است. به خصوص زمانی که قوانین طبیعت مربوط به پیشرفت هندسی. ارزش مراجعه به وب سایت MatProfi را دارد و نمونه های زیادی از این قبیل در زمینه های فعالیت زیر وجود دارد:

لیست می تواند بی پایان باشد. با تسلط بر اصول اولیه این عملکرد، می توانید در دنیای خرد بی نهایت غوطه ور شوید.

تمرکز این مقاله است لگاریتم. در اینجا تعریفی از لگاریتم ارائه می دهیم، نماد پذیرفته شده را نشان می دهیم، نمونه هایی از لگاریتم ها را بیان می کنیم و در مورد لگاریتم های طبیعی و اعشاری صحبت می کنیم. پس از این ما هویت لگاریتمی پایه را در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

تعریف لگاریتم

مفهوم لگاریتم هنگام حل یک مسئله به معنای معکوس خاص، زمانی که باید یک توان از یک مقدار توان شناخته شده و یک پایه شناخته شده پیدا کنید، به وجود می آید.

اما به اندازه کافی مقدمه، وقت آن است که به این سوال پاسخ دهیم "لگاریتم چیست"؟ اجازه دهید تعریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

لگاریتم b تا پایه a، که در آن a>0، a≠1 و b>0 توانی است که برای بدست آوردن b در نتیجه باید عدد a را افزایش دهید.

در این مرحله، توجه می کنیم که کلمه گفتاری "لگاریتم" باید بلافاصله دو سوال بعدی را ایجاد کند: "چه عددی" و "بر چه اساسی". به عبارت دیگر، به سادگی لگاریتمی وجود ندارد، بلکه فقط لگاریتم یک عدد به یک پایه وجود دارد.

بیا بلافاصله وارد شویم نماد لگاریتمی: لگاریتم یک عدد b به پایه a معمولا با log a b نشان داده می شود. لگاریتم یک عدد b به پایه e و لگاریتم به پایه 10 به ترتیب lnb و logb نام های خاص خود را دارند، یعنی نه log e b بلکه lnb و نه log 10 b بلکه lgb را می نویسند.

حالا می توانیم بدهیم: .
و سوابق معنی ندارد، زیرا در اولی یک عدد منفی زیر علامت لگاریتم وجود دارد، در دومی یک عدد منفی در پایه وجود دارد، و در سومی یک عدد منفی زیر علامت لگاریتم و یک واحد در پایه.

حالا بیایید در مورد صحبت کنیم قوانین خواندن لگاریتم. Log a b به عنوان "لگاریتم b به پایه a" خوانده می شود. برای مثال، log 2 3 لگاریتم سه به پایه 2 است و لگاریتم دو نقطه دو سوم به پایه 2 است. ریشه دوماز پنج لگاریتم به پایه e نامیده می شود لگاریتم طبیعی، و علامت lnb "لگاریتم طبیعی b" را می خواند. برای مثال ln7 لگاریتم طبیعی هفت است و ما آن را لگاریتم طبیعی pi خواهیم خواند. لگاریتم پایه 10 نیز نام خاصی دارد - لگاریتم اعشاری، و lgb به عنوان "لگاریتم اعشاری b" خوانده می شود. برای مثال lg1 لگاریتم اعشاری یک است و lg2.75 لگاریتم اعشاری دو نقطه هفت پانصدم است.

ارزش دارد که به طور جداگانه در شرایط a>0، a≠1 و b>0 صحبت کنیم، که تحت آن تعریف لگاریتم ارائه شده است. اجازه دهید توضیح دهیم که این محدودیت ها از کجا می آیند. یک برابری از شکل به نام که مستقیماً از تعریف لگاریتم ارائه شده در بالا ناشی می شود، به ما در انجام این کار کمک می کند.

بیایید با a≠1 شروع کنیم. از آنجایی که یک به هر توانی برابر با یک است، برابری تنها زمانی می تواند درست باشد که b=1 باشد، اما log 1 1 می تواند هر یک باشد. عدد واقعی. برای جلوگیری از این ابهام، a≠1 فرض می شود.

اجازه دهید مصلحت شرط a>0 را توجیه کنیم. با a=0 با تعریف لگاریتم برابری خواهیم داشت که فقط با b=0 امکان پذیر است. اما log 0 0 می تواند هر عدد واقعی غیر صفر باشد، زیرا صفر تا هر توان غیر صفر صفر است. شرط a≠0 به ما امکان می دهد از این ابهام اجتناب کنیم. و زمانی که الف<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

در نهایت، شرط b>0 از نابرابری a>0 به دست می آید، زیرا، و مقدار توانی با پایه مثبت a همیشه مثبت است.

برای نتیجه گیری از این نکته، اجازه دهید بگوییم که تعریف بیان شده از لگاریتم به شما امکان می دهد تا زمانی که عدد زیر علامت لگاریتم قدرت معینی از پایه است، بلافاصله مقدار لگاریتم را نشان دهید. در واقع، تعریف لگاریتم به ما این امکان را می دهد که بگوییم اگر b=a p، آنگاه لگاریتم عدد b به پایه a برابر با p است. یعنی ثبت تساوی a a p =p درست است. به عنوان مثال، ما می دانیم که 2 3 = 8، سپس log 2 8 = 3. در مقاله بیشتر در این مورد صحبت خواهیم کرد.

ما به مطالعه لگاریتم ادامه می دهیم. در این مقاله در مورد صحبت خواهیم کرد محاسبه لگاریتم، این فرآیند نامیده می شود لگاریتم. ابتدا محاسبه لگاریتم ها را با تعریف درک خواهیم کرد. در مرحله بعد، بیایید ببینیم که چگونه مقادیر لگاریتم ها با استفاده از ویژگی های آنها پیدا می شوند. پس از این، بر روی محاسبه لگاریتم ها از طریق مقادیر مشخص شده اولیه سایر لگاریتم ها تمرکز خواهیم کرد. در نهایت بیایید نحوه استفاده از جداول لگاریتمی را بیاموزیم. کل نظریه با مثال هایی همراه با راه حل های دقیق ارائه شده است.

پیمایش صفحه.

محاسبه لگاریتم بر اساس تعریف

در ساده ترین موارد می توان به سرعت و به راحتی انجام داد یافتن لگاریتم بر اساس تعریف. بیایید نگاهی دقیق تر به نحوه انجام این فرآیند بیندازیم.

ماهیت آن نشان دادن عدد b به شکل a c است که با تعریف لگاریتم، عدد c مقدار لگاریتم است. یعنی طبق تعریف، زنجیره برابری های زیر با یافتن لگاریتم مطابقت دارد: log a b=log a a c=c.

بنابراین، محاسبه لگاریتم بر اساس تعریف به یافتن یک عدد c به گونه‌ای است که a c = b، و عدد c خود مقدار مورد نظر لگاریتم است.

با در نظر گرفتن اطلاعات پاراگراف های قبلی، وقتی عدد زیر علامت لگاریتم با توان خاصی از پایه لگاریتم داده می شود، می توانید بلافاصله نشان دهید که لگاریتم برابر است - برابر با توان است. بیایید راه حل هایی را برای مثال ها نشان دهیم.

مثال.

log 2 2 −3 را پیدا کنید و لگاریتم طبیعی عدد e 5,3 را نیز محاسبه کنید.

راه حل.

تعریف لگاریتم به ما این امکان را می دهد که بلافاصله بگوییم که log 2 2 −3 =−3. در واقع، عدد زیر علامت لگاریتم برابر است با پایه 2 به توان -3.

به طور مشابه، لگاریتم دوم را پیدا می کنیم: lne 5.3 = 5.3.

پاسخ:

log 2 2 −3 =−3 و lne 5,3 =5,3.

اگر عدد b در زیر علامت لگاریتم به‌عنوان توان پایه لگاریتم مشخص نشده باشد، باید به دقت بررسی کنید تا ببینید آیا می‌توان عدد b را به شکل a c ارائه داد. اغلب این نمایش کاملاً آشکار است، به خصوص زمانی که عدد زیر علامت لگاریتم برابر با پایه به توان 1، یا 2، یا 3، ...

مثال.

لگاریتم log 5 25 و را محاسبه کنید.

راه حل.

به راحتی می توان فهمید که 25=5 2، این به شما امکان می دهد اولین لگاریتم را محاسبه کنید: log 5 25=log 5 5 2 =2.

بیایید به محاسبه لگاریتم دوم برویم. عدد را می توان به عنوان توان 7 نشان داد: (در صورت لزوم ببینید). از این رو، .

بیایید لگاریتم سوم را به شکل زیر بازنویسی کنیم. اکنون می توانید آن را ببینید ، که از آن نتیجه می گیریم که . بنابراین با تعریف لگاریتم .

به طور خلاصه، راه حل را می توان به صورت زیر نوشت: .

پاسخ:

log 5 25=2 , و .

هنگامی که یک عدد طبیعی به اندازه کافی بزرگ در زیر علامت لگاریتم وجود دارد، گسترش آن به آن ضرری ندارد عوامل اصلی. اغلب به نشان دادن عددی به عنوان مقداری توان پایه لگاریتم کمک می کند و بنابراین با تعریف این لگاریتم را محاسبه می کند.

مثال.

مقدار لگاریتم را پیدا کنید.

راه حل.

برخی از ویژگی های لگاریتم به شما امکان می دهد بلافاصله مقدار لگاریتم ها را مشخص کنید. این ویژگی ها شامل ویژگی لگاریتم یک و خاصیت لگاریتم یک عدد برابر با پایه است: log 1 1=log a a 0 =0 و log a a=log a a 1 =1. یعنی وقتی زیر علامت لگاریتم عدد 1 یا عدد a برابر با پایه لگاریتم باشد، در این موارد لگاریتم ها به ترتیب برابر با 0 و 1 هستند.

مثال.

لگاریتم و log10 برابر با چه چیزی هستند؟

راه حل.

از آنجایی که از تعریف لگاریتم بر می آید .

در مثال دوم عدد 10 در زیر علامت لگاریتم با پایه آن منطبق است، بنابراین لگاریتم اعشاری ده برابر با یک است، یعنی lg10=lg10 1 =1.

پاسخ:

و lg10=1.

توجه داشته باشید که محاسبه لگاریتم ها بر اساس تعریف (که در پاراگراف قبل در مورد آن صحبت کردیم) مستلزم استفاده از log برابری a a p =p است که یکی از ویژگی های لگاریتم است.

در عمل، وقتی یک عدد زیر علامت لگاریتم و پایه لگاریتم به راحتی به عنوان توان یک عدد معین نشان داده شود، استفاده از فرمول بسیار راحت است. ، که با یکی از ویژگی های لگاریتم مطابقت دارد. بیایید به مثالی از یافتن لگاریتمی که استفاده از این فرمول را نشان می دهد نگاه کنیم.

مثال.

لگاریتم را محاسبه کنید.

راه حل.

پاسخ:

.

از خواص لگاریتمی که در بالا ذکر نشده است نیز در محاسبات استفاده می شود، اما در پاراگراف های بعدی در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

یافتن لگاریتم از طریق لگاریتم های شناخته شده دیگر

اطلاعات این پاراگراف در ادامه مبحث استفاده از خواص لگاریتم ها در هنگام محاسبه آنهاست. اما در اینجا تفاوت اصلی این است که از خواص لگاریتم ها برای بیان لگاریتم اصلی بر حسب لگاریتم دیگری استفاده می شود که مقدار آن مشخص است. برای روشن شدن مطلب مثالی می زنیم. فرض کنید که log 2 3≈1.584963 را می دانیم، سپس می توانیم برای مثال، log 2 6 را با انجام یک تبدیل کوچک با استفاده از خواص لگاریتم پیدا کنیم: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

در مثال بالا کافی بود که از خاصیت لگاریتم یک محصول استفاده کنیم. با این حال، بیشتر اوقات لازم است از زرادخانه وسیع تری از خواص لگاریتم استفاده شود تا بتوان لگاریتم اصلی را از طریق موارد داده شده محاسبه کرد.

مثال.

اگر می دانید که log 60 2=a و log 60 5=b می دانید لگاریتم 27 تا مبنای 60 را محاسبه کنید.

راه حل.

بنابراین باید log 60 27 را پیدا کنیم. به راحتی می توان دریافت که 27 = 3 3، و لگاریتم اصلی، به دلیل خاصیت لگاریتم توان، می تواند به صورت 3·log 60 3 بازنویسی شود.

حال بیایید ببینیم که چگونه log 60 3 را بر حسب لگاریتم های شناخته شده بیان کنیم. خاصیت لگاریتم یک عدد برابر با قاعده به ما اجازه می دهد تا log تساوی 60 60=1 را بنویسیم. از سوی دیگر، log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . بدین ترتیب، 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. از این رو، log 60 3=1-2·log 60 2-log 60 5=1-2·a-b.

در نهایت لگاریتم اصلی را محاسبه می کنیم: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

پاسخ:

log 60 27=3·(1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

به طور جداگانه، لازم است به معنای فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم فرم اشاره شود. . این به شما امکان می دهد از لگاریتم با هر پایه به لگاریتم با یک پایه خاص بروید که مقادیر آنها مشخص است یا امکان یافتن آنها وجود دارد. معمولاً از لگاریتم اصلی با استفاده از فرمول انتقال به لگاریتم در یکی از پایه های 2، e یا 10 حرکت می کنند، زیرا برای این پایه ها جداول لگاریتم وجود دارد که اجازه می دهد مقادیر آنها با درجه خاصی از محاسبه شود. دقت. در پاراگراف بعدی نحوه انجام این کار را نشان خواهیم داد.

جداول لگاریتمی و کاربرد آنها

برای محاسبه تقریبی مقادیر لگاریتمی می توان از آن استفاده کرد جداول لگاریتمی. متداول ترین جدول لگاریتم پایه 2، جدول لگاریتم طبیعی و جدول لگاریتم اعشاری. هنگام کار در سیستم اعداد اعشاری، استفاده از جدول لگاریتم بر اساس پایه ده راحت است. با کمک آن ما یاد خواهیم گرفت که مقادیر لگاریتم ها را پیدا کنیم.

جدول ارائه شده به شما امکان می دهد مقادیر لگاریتم اعشاری اعداد از 1000 تا 9999 (با سه رقم اعشار) را با دقت یک ده هزارم پیدا کنید. ما اصل یافتن مقدار یک لگاریتم را با استفاده از جدول لگاریتم های اعشاری در آن تجزیه و تحلیل خواهیم کرد مثال خاص- اینطور واضح تر است. بیایید log1.256 را پیدا کنیم.

در ستون سمت چپ جدول لگاریتم های اعشاری، دو رقم اول عدد 1.256 را پیدا می کنیم، یعنی 1.2 را پیدا می کنیم (این عدد برای وضوح به رنگ آبی دایره شده است). سومین رقم عدد 1.256 (رقم 5) در اولین یا آخرین سطر سمت چپ خط دوتایی یافت می شود (این عدد به رنگ قرمز دایره شده است). چهارمین رقم از شماره اصلی 1.256 (رقم 6) در اولین یا آخرین سطر سمت راست خط دوتایی یافت می شود (این عدد با یک خط سبز دایره شده است). اکنون اعداد را در خانه های جدول لگاریتم در تقاطع سطر مشخص شده و ستون های علامت گذاری شده پیدا می کنیم (این اعداد برجسته شده اند. نارنجی). مجموع اعداد علامت گذاری شده مقدار مورد نظر را می دهد لگاریتم اعشاریدقیق به رقم چهارم اعشار، یعنی log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

آیا می توان با استفاده از جدول بالا مقادیر لگاریتم اعشاری اعدادی که بیش از سه رقم بعد از نقطه اعشار دارند و همچنین آنهایی که از محدوده 1 تا 9.999 فراتر می روند را پیدا کرد؟ بله، تو میتونی. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار انجام می شود.

بیایید lg102.76332 را محاسبه کنیم. ابتدا باید یادداشت کنید شماره در فرم استاندارد : 102.76332=1.0276332·10 2. پس از این، مانتیس باید به سومین رقم اعشار گرد شود 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، در حالی که لگاریتم اعشاری اصلی تقریباً است برابر با لگاریتمعدد حاصل، یعنی log102.76332≈lg1.028·10 2 را می گیریم. اکنون خواص لگاریتم را اعمال می کنیم: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. در نهایت، مقدار لگاریتم lg1.028 را از جدول لگاریتم های اعشاری lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 پیدا می کنیم. در نتیجه، کل فرآیند محاسبه لگاریتم به صورت زیر است: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

در پایان، شایان ذکر است که با استفاده از جدول لگاریتم های اعشاری می توانید مقدار تقریبی هر لگاریتمی را محاسبه کنید. برای انجام این کار، کافی است از فرمول انتقال برای رفتن به لگاریتم های اعشاری، یافتن مقادیر آنها در جدول و انجام محاسبات باقی مانده استفاده کنید.

برای مثال، بیایید log 2 3 را محاسبه کنیم. با توجه به فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید، داریم. از جدول لگاریتم های اعشاری log3≈0.4771 و log2≈0.3010 را پیدا می کنیم. بدین ترتیب، .

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

همانطور که می دانید، هنگام ضرب عبارات با توان، توان آنها همیشه با هم جمع می شوند (a b *a c = a b+c). این قانون ریاضی توسط ارشمیدس استخراج شد و بعدها، در قرن هشتم، ریاضیدان ویراسن جدولی از توانای اعداد صحیح ایجاد کرد. این آنها بودند که برای کشف بیشتر لگاریتم ها خدمت کردند. نمونه‌هایی از استفاده از این تابع را تقریباً در همه جا می‌توان یافت که باید ضرب دست و پا گیر را با جمع ساده ساده کنید. اگر 10 دقیقه را صرف خواندن این مقاله کنید، ما به شما توضیح خواهیم داد که لگاریتم چیست و چگونه با آنها کار کنید. به زبانی ساده و در دسترس.

تعریف در ریاضیات

لگاریتم عبارتی از شکل زیر است: log a b=c، یعنی لگاریتم هر عدد غیر منفی (یعنی هر مثبت) "b" به پایه آن "a" توان "c" در نظر گرفته می شود. ” که پایه “a” باید به آن افزایش یابد تا در نهایت مقدار “b” به دست آید. بیایید لگاریتم را با استفاده از مثال ها تجزیه و تحلیل کنیم، فرض کنید یک عبارت log وجود دارد 2 8. چگونه پاسخ را پیدا کنیم؟ خیلی ساده است، باید توانی پیدا کنید که از 2 به توان مورد نیاز 8 بگیرید. پس از انجام محاسباتی در ذهن شما، عدد 3 را به دست می آوریم! و این درست است، زیرا 2 به توان 3 پاسخ 8 را می دهد.

انواع لگاریتم

برای بسیاری از دانش آموزان این موضوع پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد، اما در واقع لگاریتم ها چندان ترسناک نیستند، نکته اصلی درک معنای کلی آنها و به خاطر سپردن ویژگی های آنها و برخی قوانین است. سه نوع مختلف از عبارت لگاریتمی وجود دارد:

1. لگاریتم طبیعی ln a، که در آن پایه عدد اویلر است (e = 2.7).
2. اعشاری a که پایه آن 10 است.
3. لگاریتم هر عدد b تا مبنای a>1.

هر کدام از آنها تصمیم گیری می شود به صورت استانداردکه شامل ساده سازی، کاهش و کاهش متعاقب آن به یک لگاریتم با استفاده از قضایای لگاریتمی است. برای به دست آوردن مقادیر صحیح لگاریتم ها، هنگام حل آنها باید ویژگی های آنها و دنباله اقدامات را به خاطر بسپارید.

قوانین و برخی محدودیت ها

در ریاضیات چندین قاعده-قید وجود دارد که به عنوان بدیهیات پذیرفته شده است، یعنی موضوع بحث نیست و حقیقت است. به عنوان مثال، تقسیم اعداد بر صفر غیرممکن است و همچنین نمی توان ریشه زوج اعداد منفی را استخراج کرد. لگاریتم ها نیز قوانین خاص خود را دارند که به دنبال آن می توانید به راحتی کار با عبارات لگاریتمی طولانی و بزرگ را یاد بگیرید:

• پایه "a" باید همیشه بزرگتر از صفر باشد و مساوی 1 نباشد، در غیر این صورت این عبارت معنای خود را از دست می دهد، زیرا "1" و "0" به هر درجه ای همیشه با مقادیر خود برابر هستند.
• اگر a > 0، سپس a b > 0، معلوم می شود که "c" نیز باید بزرگتر از صفر باشد.

چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟

به عنوان مثال، وظیفه یافتن پاسخ معادله 10 x = 100 داده می شود. این کار بسیار آسان است، شما باید یک توان را با بالا بردن عدد ده انتخاب کنید که به عدد 100 می رسیم. البته این 10 2 = است. 100.

حالا بیایید تصور کنیم این بیانبه شکل لگاریتمی ما log 10 100 = 2 را دریافت می کنیم. هنگام حل لگاریتم، همه اقدامات عملاً برای یافتن توانی که برای به دست آوردن یک عدد معین وارد پایه لگاریتم می شود، همگرا می شوند.

برای تعیین دقیق مقدار یک درجه مجهول، باید نحوه کار با جدول درجات را یاد بگیرید. به نظر می رسد این است:

همانطور که می بینید، در صورت وجود، می توان برخی از شارح ها را به طور مستقیم حدس زد انبار فنیهوش و دانش جدول ضرب با این حال، برای مقادیر بزرگتر به میز برق نیاز دارید. حتی برای کسانی که هیچ چیز در مورد موضوعات پیچیده ریاضی نمی دانند می تواند استفاده شود. ستون سمت چپ شامل اعداد (مبنای a) است، ردیف بالای اعداد مقدار توان c است که عدد a به آن افزایش می یابد. در محل تقاطع، سلول ها حاوی مقادیر عددی هستند که پاسخ هستند (a c =b). به عنوان مثال، اولین خانه را با عدد 10 در نظر می گیریم و مربع آن را مربع می کنیم، مقدار 100 را می گیریم که در محل تقاطع دو خانه ما نشان داده شده است. همه چیز به قدری ساده و آسان است که حتی واقعی ترین انسان گرا هم می فهمد!

معادلات و نابرابری ها

معلوم می شود که تحت شرایط معین، توان لگاریتم است. بنابراین، هر عبارت عددی ریاضی را می توان به عنوان یک برابری لگاریتمی نوشت. به عنوان مثال، 3 4 = 81 را می توان به عنوان لگاریتم پایه 3 81 برابر با چهار نوشت (log 3 81 = 4). برای توان های منفی قوانین یکسان است: 2 -5 = 1/32 آن را به صورت لگاریتم می نویسیم، log 2 (1/32) = -5 را دریافت می کنیم. یکی از جذاب ترین بخش های ریاضیات، موضوع "لگاریتم" است. ما بلافاصله پس از مطالعه خواص معادلات، نمونه ها و حل معادلات را در زیر بررسی خواهیم کرد. حال بیایید ببینیم که نابرابری ها چگونه هستند و چگونه آنها را از معادلات متمایز کنیم.

با توجه به شکل زیر: log 2 (x-1) > 3 - آن است نابرابری لگاریتمی، زیرا مقدار مجهول "x" زیر علامت لگاریتم است. و همچنین در عبارت دو کمیت با هم مقایسه می شود: لگاریتم عدد مورد نظر به پایه دو بزرگتر از عدد سه است.

مهمترین تفاوت بین معادلات لگاریتمی و نابرابری ها این است که معادلات لگاریتمی (مثلاً لگاریتم 2 x = √9) دلالت بر یک یا چند پاسخ خاص دارند. مقادیر عددی، در حالی که هنگام حل نابرابری، هم محدوده مقادیر مجاز و هم نقاط شکست این تابع تعیین می شود. در نتیجه، پاسخ یک مجموعه ساده از اعداد منفرد نیست، مانند پاسخ به یک معادله، بلکه یک سری پیوسته یا مجموعه ای از اعداد است.

قضایای اساسی در مورد لگاریتم

هنگام حل وظایف ابتدایی یافتن مقادیر لگاریتم، ممکن است ویژگی های آن مشخص نباشد. با این حال، هنگامی که صحبت از معادلات لگاریتمی یا نابرابری ها می شود، قبل از هر چیز، لازم است که به وضوح تمام ویژگی های اصلی لگاریتم ها را درک کرده و در عمل اعمال کنیم. در ادامه به نمونه‌هایی از معادلات نگاه خواهیم کرد.

1. هویت اصلی به این صورت است: alogaB =B. فقط زمانی اعمال می شود که a بزرگتر از 0 باشد نه برابر یک و B بزرگتر از صفر باشد.
2. لگاریتم محصول را می توان با فرمول زیر نشان داد: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. در این مورد پيش نيازاست: d، s 1 و s 2 > 0; a≠1. شما می توانید برای این فرمول لگاریتمی با مثال و راه حل اثبات کنید. اجازه دهید log a s 1 = f 1 و log a s 2 = f 2، سپس a f1 = s 1، a f2 = s 2. به دست می آوریم که s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خواص درجه) و سپس طبق تعریف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 که باید ثابت شود.
3. لگاریتم ضریب به این صورت است: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. قضیه به شکل فرمول به شکل زیر است: log a q b n = n/q log a b.

این فرمول "ویژگی درجه لگاریتم" نامیده می شود. این شبیه به خواص درجات معمولی است و جای تعجب نیست، زیرا تمام ریاضیات بر اساس فرضیه های طبیعی است. بیایید به اثبات نگاه کنیم.

اجازه دهید log a b = t، به نظر می رسد t =b. اگر هر دو قسمت را به توان m برسانیم: a tn = b n ;

اما از آنجایی که a tn = (a q) nt/q = b n، بنابراین log a q b n = (n*t)/t، سپس log a q b n = n/q log a b. قضیه ثابت شده است.

نمونه هایی از مشکلات و نابرابری ها

رایج ترین انواع مسائل در لگاریتم مثال هایی از معادلات و نابرابری ها هستند. آنها تقریباً در تمام کتاب های مسئله یافت می شوند و همچنین جزء ضروری امتحانات ریاضی هستند. برای ورود به دانشگاه یا قبولی در امتحانات ورودی ریاضی، باید بدانید که چگونه چنین کارهایی را به درستی حل کنید.

متأسفانه هیچ طرح یا طرح واحدی برای حل و تعیین مقدار مجهول لگاریتم وجود ندارد، اما می توان آن را برای هر نابرابری ریاضی یا معادله لگاریتمی اعمال کرد. قوانین خاص. اول از همه، شما باید دریابید که آیا عبارت می تواند ساده شود یا منجر به آن شود ظاهر عمومی. اگر از خصوصیات آنها به درستی استفاده کنید، می توانید عبارات لگاریتمی طولانی را ساده کنید. بیایید به سرعت با آنها آشنا شویم.

هنگام حل معادلات لگاریتمی، باید مشخص کنیم که چه نوع لگاریتمی داریم: یک عبارت مثال ممکن است شامل یک لگاریتم طبیعی یا یک اعشاری باشد.

در اینجا نمونه هایی از ln100، ln1026 آورده شده است. راه حل آنها به این واقعیت خلاصه می شود که آنها باید قدرتی را تعیین کنند که پایه 10 به ترتیب برابر با 100 و 1026 خواهد بود. برای حل لگاریتم های طبیعی، باید از هویت های لگاریتمی یا ویژگی های آنها استفاده کنید. بیایید به نمونه هایی از حل مسائل لگاریتمی در انواع مختلف نگاه کنیم.

نحوه استفاده از فرمول های لگاریتمی: با مثال ها و راه حل ها

بنابراین، بیایید به نمونه هایی از استفاده از قضایای اساسی در مورد لگاریتم نگاه کنیم.

1. از خاصیت لگاریتم یک محصول می توان در کارهایی استفاده کرد که لازم است مقدار زیادی از عدد b را به عوامل ساده تر تجزیه کنیم. مثلاً log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. جواب 9 است.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - همانطور که می بینید با استفاده از چهارمین خاصیت توان لگاریتمی موفق به حل یک عبارت به ظاهر پیچیده و غیرقابل حل شدیم. شما فقط باید پایه را فاکتور بگیرید و سپس مقادیر توان را از علامت لگاریتم خارج کنید.

تکالیف از آزمون دولتی واحد

لگاریتم ها اغلب در امتحانات ورودی، به ویژه بسیاری از مسائل لگاریتمی در آزمون یکپارچه دولتی یافت می شوند. آزمون دولتیبرای تمام فارغ التحصیلان مدرسه). به طور معمول، این وظایف نه تنها در بخش A (ساده ترین بخش آزمایشی امتحان)، بلکه در قسمت C (پیچیده ترین و پرحجم ترین کارها) نیز وجود دارد. آزمون نیاز به دانش دقیق و کامل از مبحث لگاریتم های طبیعی دارد.

مثال ها و راه حل های مشکلات از رسمی گرفته شده است گزینه های آزمون دولتی یکپارچه. بیایید ببینیم چگونه چنین وظایفی حل می شوند.

با توجه به log 2 (2x-1) = 4. راه حل:
بیایید عبارت را بازنویسی کنیم، آن را کمی ساده کنیم log 2 (2x-1) = 2 2، با تعریف لگاریتم دریافت می کنیم که 2x-1 = 2 4، بنابراین 2x = 17. x = 8.5.

• بهتر است تمام لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهید تا راه حل دست و پا گیر و گیج کننده نباشد.
• تمام عبارات زیر علامت لگاریتم مثبت نشان داده می شوند، بنابراین، هنگامی که توان یک عبارتی که زیر علامت لگاریتم است و به عنوان پایه آن به عنوان ضریب خارج می شود، عبارت باقی مانده در زیر لگاریتم باید مثبت باشد.

لگاریتم ها مانند هر اعدادی را می توان از هر جهت اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً نیستند اعداد منظم، قوانینی در اینجا وجود دارد که به آنها گفته می شود خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: log آ ایکسو وارد شوید آ y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. ورود به سیستم آ ایکس+log آ y= ثبت نام آ (ایکس · y);
2. ورود به سیستم آ ایکس- ورود به سیستم آ y= ثبت نام آ (ایکس : y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. توجه داشته باشید: لحظه کلیدیاینجا - زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

Log 6 4 + Log 6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملاً نرمال به دست می آید. بسیاری بر این واقعیت بنا شده اند اوراق تست. بله، عبارات تست مانند با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته اگر ODZ لگاریتم رعایت شود همه این قوانین منطقی هستند: آ > 0, آ ≠ 1, ایکس> 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

[کپشن عکس]

توجه داشته باشید که مخرج شامل لگاریتمی است که مبنا و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ما داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لاگ لگاریتمی داده شود آ ایکس. سپس برای هر عددی جبه طوری که ج> 0 و ج≠ 1، برابری درست است:

[کپشن عکس]

به ویژه اگر قرار دهیم ج = ایکس، ما گرفتیم:

[کپشن عکس]

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. تنها در هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها می توان میزان راحتی آنها را ارزیابی کرد.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که هنگام تنظیم مجدد فاکتورها حاصلضرب تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت: log 9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با رفتن به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان یک لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در مورد اول، شماره nمی شود شاخص درجه ای که در استدلال ایستاده است. عدد nمی تواند کاملاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. این همان چیزی است که به آن می گویند: هویت لگاریتمی اساسی.

در واقع، چه اتفاقی خواهد افتاد اگر تعداد ببه چنان قدرتی برسانید که عدد ببه این توان عدد را می دهد آ? درست است: شما همین عدد را دریافت می کنید آ. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

[کپشن عکس]

توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. در نظر گرفتن قواعد ضرب توان با همان مبنای، ما گرفتیم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون دولتی واحد بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. ورود به سیستم آ آ= 1 یک واحد لگاریتمی است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه آاز همین پایه برابر با یک است.
2. ورود به سیستم آ 1 = 0 صفر لگاریتمی است. پایه آمی تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا آ 0 = 1 نتیجه مستقیم تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.