رابطه کسینوس و سینوس. دیپلم تحصیلات عالی را ارزان بخرید

روابط بین توابع مثلثاتی اصلی - سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت - داده شده است. فرمول های مثلثاتی. و از آنجایی که ارتباطات بسیار زیادی بین توابع مثلثاتی وجود دارد، این فراوانی فرمول های مثلثاتی را توضیح می دهد. برخی از فرمول ها توابع مثلثاتی یک زاویه را به هم متصل می کنند، برخی دیگر - توابع یک زاویه چندگانه، برخی دیگر - به شما امکان می دهند درجه را کاهش دهید، چهارم - تمام توابع را از طریق مماس نیم زاویه و غیره بیان کنید.

در این مقاله تمام فرمول های مثلثاتی را که برای حل اکثریت قریب به اتفاق مسائل مثلثاتی کافی هستند، به ترتیب فهرست می کنیم. برای سهولت در حفظ و استفاده، آنها را بر اساس هدف گروه بندی کرده و در جداول وارد می کنیم.

پیمایش صفحه.

هویت های مثلثاتی پایه

هویت های مثلثاتی پایهرابطه بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه را تعریف کنید. آنها از تعریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت و همچنین مفهوم دایره واحد پیروی می کنند. آنها به شما اجازه می دهند یک تابع مثلثاتی را بر حسب هر تابع دیگر بیان کنید.

برای توضیح دقیق این فرمول‌های مثلثاتی، مشتقات و مثال‌هایی از کاربرد آنها، به مقاله مراجعه کنید.

فرمول های کاهش

فرمول های کاهشاز خواص سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی می کنند، یعنی خاصیت تناوب را منعکس می کنند. توابع مثلثاتی، خاصیت تقارن و همچنین خاصیت جابجایی با زاویه معین. این فرمول های مثلثاتی به شما این امکان را می دهد که از کار با زوایای دلخواه به کار با زوایای بین صفر تا 90 درجه بروید.

منطق این فرمول ها، قانون یادگاری برای به خاطر سپردن آنها و نمونه هایی از کاربرد آنها را می توان در مقاله مطالعه کرد.

فرمول های اضافه

فرمول های جمع مثلثاتینشان می دهد که چگونه توابع مثلثاتی مجموع یا تفاضل دو زاویه بر حسب توابع مثلثاتی آن زوایا بیان می شود. این فرمول ها به عنوان مبنایی برای استخراج فرمول های مثلثاتی زیر عمل می کنند.

فرمول های دوبل، سه تایی و غیره زاویه

فرمول های دوبل، سه تایی و غیره زاویه (به آنها فرمول های چند زاویه ای نیز گفته می شود) نشان می دهد که چگونه توابع مثلثاتی دو، سه و غیره وجود دارد. زوایای () بر حسب توابع مثلثاتی یک زاویه بیان می شوند. اشتقاق آنها بر اساس فرمول های جمع است.

اطلاعات دقیق تر در فرمول های مقاله برای دو، سه و غیره جمع آوری شده است. زاویه

فرمول های نیم زاویه

فرمول های نیم زاویهنشان می دهد که چگونه توابع مثلثاتی یک نیم زاویه بر حسب کسینوس یک زاویه کامل بیان می شود. این فرمول‌های مثلثاتی از فرمول‌های زاویه دوتایی پیروی می‌کنند.

نتیجه گیری و نمونه هایی از کاربرد آنها را می توان در مقاله یافت.

فرمول های کاهش مدرک تحصیلی

فرمول های مثلثاتی برای کاهش درجهبرای تسهیل انتقال از توان طبیعی توابع مثلثاتی به سینوس ها و کسینوس ها در درجه اول، اما زوایای متعدد طراحی شده اند. به عبارت دیگر، آنها به شما این امکان را می دهند که قدرت توابع مثلثاتی را به اول کاهش دهید.

فرمول های مجموع و تفاضل توابع مثلثاتی

هدف اصلی فرمول مجموع و تفاضل توابع مثلثاتیرفتن به حاصلضرب توابع است که در ساده سازی عبارات مثلثاتی بسیار مفید است. این فرمول ها همچنین به طور گسترده ای در حل معادلات مثلثاتی استفاده می شوند، زیرا به شما امکان می دهند مجموع و اختلاف سینوس ها و کسینوس ها را فاکتور بگیرید.

فرمول حاصل ضرب سینوس، کسینوس و سینوس به کسینوس

انتقال از حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع یا تفاوت با استفاده از فرمول های حاصل ضرب سینوس ها، کسینوس ها و سینوس به کسینوس انجام می شود.

حق چاپ توسط دانش آموزان باهوش

تمامی حقوق محفوظ است.
توسط قانون کپی رایت محافظت می شود. هیچ بخشی از www.site، از جمله مواد داخلیو ظاهر را نمی توان به هر شکلی تکثیر کرد یا بدون اجازه کتبی قبلی صاحب حق چاپ استفاده کرد.

مثلثات به عنوان یک علم در شرق باستان سرچشمه گرفته است. اولین نسبت های مثلثاتی توسط ستاره شناسان برای ایجاد تقویم و جهت گیری دقیق توسط ستارگان استخراج شد. این محاسبات مربوط به مثلثات کروی است، در حالی که در دوره مدرسهنسبت اضلاع و زوایای یک مثلث مسطح را مطالعه کنید.

مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به ویژگی های توابع مثلثاتی و روابط بین اضلاع و زوایای مثلث ها می پردازد.

در دوران اوج فرهنگ و علم در هزاره اول پس از میلاد، دانش از شرق باستان به یونان گسترش یافت. اما اکتشافات اصلی مثلثات شایستگی شوهران است خلافت عرب. به ویژه دانشمند ترکمن المرازوی توابعی مانند مماس و کوتانژانت را معرفی کرد و اولین جداول مقادیر سینوس ها، مماس ها و کتانژانت ها را جمع آوری کرد. مفاهیم سینوس و کسینوس توسط دانشمندان هندی معرفی شد. مثلثات در آثار شخصیت های بزرگ دوران باستان مانند اقلیدس، ارشمیدس و اراتوستن مورد توجه بسیاری قرار گرفت.

کمیت های اصلی مثلثات

توابع مثلثاتی پایه استدلال عددی- اینها سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت هستند. هر کدام از آنها نمودار مخصوص به خود را دارند: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

فرمول های محاسبه مقادیر این مقادیر بر اساس قضیه فیثاغورث است. در این فرمول برای دانش آموزان مدرسه بهتر شناخته شده است: "شلوار فیثاغورث در همه جهات برابر است"، زیرا اثبات با استفاده از مثال یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ارائه شده است.

سینوس، کسینوس و سایر وابستگی ها رابطه بین را ایجاد می کنند گوشه های تیزو اضلاع هر مثلث قائم الزاویه اجازه دهید فرمول هایی را برای محاسبه این مقادیر برای زاویه A ارائه کنیم و روابط بین توابع مثلثاتی را ردیابی کنیم:

همانطور که مشاهده می شود، tg و ctg هستند توابع معکوس. اگر پایه a را حاصل ضرب گناه A و هیپوتنوز c و پایه b را cos A * c تصور کنیم، فرمول های زیر را برای مماس و کوتانژانت به دست می آوریم:

دایره مثلثاتی

از نظر گرافیکی، رابطه بین مقادیر ذکر شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

محیط، در در این مورد، نشان دهنده تمام مقادیر ممکن زاویه α - از 0 درجه تا 360 درجه است. همانطور که از شکل مشخص است، هر تابع یک یا منفی می گیرد ارزش مثبتبسته به اندازه زاویه به عنوان مثال، اگر α به ربع 1 و 2 دایره تعلق داشته باشد، یعنی در محدوده 0 تا 180 درجه باشد، sin α علامت "+" خواهد داشت. برای α از 180 درجه تا 360 درجه (ربع III و IV)، sin α فقط می تواند یک مقدار منفی باشد.

بیایید سعی کنیم بسازیم جداول مثلثاتیبرای زوایای خاص و پی بردن به مقدار کمیت ها.

مقادیر α برابر با 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه، 90 درجه، 180 درجه و غیره را موارد خاص می نامند. مقادیر توابع مثلثاتی برای آنها محاسبه و در قالب جداول ویژه ارائه می شود.

این زوایا به طور تصادفی انتخاب نشده اند. نام π در جداول برای رادیان است. راد زاویه ای است که طول کمان دایره با شعاع آن مطابقت دارد. این مقداربه منظور ایجاد یک وابستگی جهانی هنگام محاسبه بر حسب رادیان، طول واقعی شعاع در سانتی متر مهم نیست.

زوایای جداول برای توابع مثلثاتی با مقادیر رادیان مطابقت دارد:

بنابراین، حدس زدن اینکه 2π یک دایره کامل یا 360 درجه است دشوار نیست.

ویژگی های توابع مثلثاتی: سینوس و کسینوس

برای در نظر گرفتن و مقایسه خصوصیات اساسی سینوس و کسینوس، مماس و کوتانژانت، لازم است توابع آنها ترسیم شود. این را می توان به صورت یک منحنی واقع در یک سیستم مختصات دو بعدی انجام داد.

در نظر گرفتن جدول مقایسهخواص سینوس و کسینوس:

تعیین زوج بودن یا نبودن یک تابع بسیار ساده است. کافی است یک دایره مثلثاتی با علائم مقادیر مثلثاتی تصور کنید و نمودار را نسبت به محور OX به صورت ذهنی "تا" کنید. اگر نشانه ها بر هم منطبق باشند، تابع زوج و در غیر این صورت فرد است.

معرفی رادیان‌ها و فهرست‌بندی ویژگی‌های اساسی امواج سینوسی و کسینوسی به ما امکان می‌دهد الگوی زیر را ارائه دهیم:

تأیید صحت فرمول بسیار آسان است. به عنوان مثال، برای x = π/2، سینوس 1 است، همانطور که کسینوس x = 0 است. بررسی را می توان با مراجعه به جداول یا با ردیابی منحنی های تابع برای مقادیر داده شده انجام داد.

خواص مماس‌سوئیدها و کوتانژانتزوئیدها

نمودار توابع مماس و کتانژانت به طور قابل توجهی با توابع سینوسی و کسینوس متفاوت است. مقادیر tg و ctg متقابل یکدیگر هستند.

1. Y = tan x.
2. مماس به مقادیر y در x = π/2 + πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
3. کوچکترین دوره مثبت مماس، π است.
4. Tg (- x) = - tg x، یعنی تابع فرد است.
5. Tg x = 0، برای x = πk.
6. عملکرد در حال افزایش است.
7. Tg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0، برای x ε (- π/2 + πk، πk).
9. مشتق (tg x) = 1/cos 2⁡x.

تصویر گرافیکی کوتانژانتوئید زیر را در متن در نظر بگیرید.

خواص اصلی کوتانژانتوئیدها:

1. Y = cotg x.
2. برخلاف توابع سینوس و کسینوس، در مماس Y می تواند مقادیر مجموعه تمام اعداد حقیقی را بگیرد.
3. کوتانژانتوئید به مقادیر y در x = πk تمایل دارد، اما هرگز به آنها نمی رسد.
4. کوچکترین دوره مثبت کوتانژانتوئید π است.
5. Ctg (- x) = - ctg x، یعنی تابع فرد است.
6. Ctg x = 0، برای x = π/2 + πk.
7. عملکرد در حال کاهش است.
8. Ctg x › 0، برای x ε (πk، π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0، برای x ε (π/2 + πk، πk).
10. مشتق (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x درست است

در این مقاله نگاهی جامع خواهیم داشت. هویت‌های مثلثاتی پایه برابری‌هایی هستند که بین سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه ارتباط برقرار می‌کنند و به فرد اجازه می‌دهند هر یک از این توابع مثلثاتی را از طریق دیگری شناخته شده پیدا کنند.

بیایید فوراً هویت های مثلثاتی اصلی را که در این مقاله تحلیل خواهیم کرد، فهرست کنیم. بیایید آنها را در یک جدول یادداشت کنیم و در زیر خروجی این فرمول ها را می دهیم و توضیحات لازم را ارائه می دهیم.

پیمایش صفحه.

رابطه بین سینوس و کسینوس یک زاویه

گاهی اوقات آنها در مورد هویت های مثلثاتی اصلی ذکر شده در جدول بالا صحبت نمی کنند، بلکه در مورد یک تک صحبت می کنند هویت مثلثاتی پایهنوع . توضیح این واقعیت بسیار ساده است: تساوی ها از هویت مثلثاتی اصلی پس از تقسیم هر دو قسمت آن بر و به ترتیب و و تساوی ها به دست می آیند. و از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی کنید. در پاراگراف های بعدی در این مورد با جزئیات بیشتری صحبت خواهیم کرد.

یعنی این برابری است که مورد توجه خاص است که نام هویت مثلثاتی اصلی به آن داده شد.

قبل از اثبات اصلی هویت مثلثاتیاجازه دهید فرمول آن را بیان کنیم: مجموع مجذورات سینوس و کسینوس یک زاویه به طور یکسان برابر با یک است. حالا بیایید ثابت کنیم.

هویت مثلثاتی اساسی اغلب زمانی استفاده می شود که تبدیل عبارات مثلثاتی. این اجازه می دهد تا مجموع مربع های سینوس و کسینوس یک زاویه با یک جایگزین شود. نه کمتر، از هویت مثلثاتی اصلی به ترتیب معکوس استفاده می شود: واحد با مجموع مربع های سینوس و کسینوس هر زاویه جایگزین می شود.

مماس و کتانژانت از طریق سینوس و کسینوس

هویت های اتصال مماس و کتانژانت با سینوس و کسینوس از یک زاویه دید و بلافاصله از تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت پیروی کنید. در واقع، طبق تعریف، سینوس مختص y است، کسینوس ابسیسا x، مماس نسبت مصداق به ابسیسا است، یعنی و کوتانژانت نسبت ابسیسا به مجمل است، یعنی .

به لطف چنین آشکار بودن هویت ها و مماس و کوتانژانت اغلب نه از طریق نسبت ابسیسا و مختصات، بلکه از طریق نسبت سینوس و کسینوس تعریف می شوند. بنابراین مماس یک زاویه نسبت سینوس به کسینوس این زاویه است و کوتانژانت نسبت کسینوس به سینوس است.

در خاتمه این نکته لازم به ذکر است که هویت و برای تمام زوایایی که توابع مثلثاتی گنجانده شده در آنها معنا پیدا می کنند، اتفاق می افتد. بنابراین فرمول برای هر , غیر از ( در غیر این صورت مخرج صفر خواهد بود و ما تقسیم بر صفر را تعریف نکردیم ) و فرمول معتبر است - برای همه، متفاوت از، جایی که z هر کدام است.

رابطه تانژانت و کوتانژانت

یک هویت مثلثاتی آشکارتر از دو مورد قبلی، هویتی است که مماس و کتانژانت یک زاویه از فرم را به هم متصل می کند. . واضح است که برای هر زاویه ای غیر از .

اثبات فرمول بسیار ساده. با تعریف و از کجا . اثبات می توانست کمی متفاوت انجام شود. از آنجا که ، آن .

بنابراین، مماس و کتانژانت همان زاویه ای که در آن معنا پیدا می کنند، هستند.

- مطمئناً وظایفی در مورد مثلثات وجود خواهد داشت. مثلثات معمولاً به دلیل نیاز به جمع کردن تعداد زیادی فرمول دشوار، مملو از سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها مورد علاقه نیست. این سایت قبلاً با استفاده از مثال فرمول های اویلر و پیل توصیه هایی در مورد نحوه به خاطر سپردن فرمول فراموش شده ارائه کرده است.

و در این مقاله سعی خواهیم کرد نشان دهیم که کافی است فقط پنج فرمول مثلثاتی ساده را با قاطعیت بدانید و از بقیه درک کلی داشته باشید و در حین حرکت آنها را استخراج کنید. مانند DNA است: مولکول نقشه های کامل یک موجود زنده را ذخیره نمی کند. بلکه حاوی دستورالعمل هایی برای مونتاژ آن از اسیدهای آمینه موجود است. بنابراین در مثلثات، دانستن برخی اصول کلی، ما همه چیز را خواهیم گرفت فرمول های لازماز مجموعه کوچکی از مواردی که باید در نظر داشت.

ما بر فرمول های زیر تکیه خواهیم کرد:

از فرمول‌های مجموع سینوس و کسینوس، با دانستن برابری تابع کسینوس و عجیب بودن تابع سینوس، با جایگزینی -b به جای b، فرمول‌هایی را برای تفاوت‌ها به دست می‌آوریم:

1. دلیل تفاوت: گناه(الف-ب) = گناهآcos(-ب)+cosآگناه(-ب) = گناهآcosب-cosآگناهب
2. کسینوس تفاوت: cos(الف-ب) = cosآcos(-ب)-گناهآگناه(-ب) = cosآcosب+گناهآگناهب

با قرار دادن a = b در فرمول های مشابه، فرمول های سینوس و کسینوس زوایای دوتایی را به دست می آوریم:

1. سینوس زاویه دوتایی: گناه2a = گناه(a+a) = گناهآcosآ+cosآگناهآ = 2گناهآcosآ
2. کسینوس زاویه دوتایی: cos2a = cos(a+a) = cosآcosآ-گناهآگناهآ = cos2 الف-گناه2 الف

فرمول‌های زوایای چندگانه دیگر به‌طور مشابه به دست می‌آیند:

1. سینوس زاویه سه گانه: گناه3a = گناه(2a+a) = گناه2acosآ+cos2aگناهآ = (2گناهآcosآ)cosآ+(cos2 الف-گناه2 الف)گناهآ = 2گناهآcos2 الف+گناهآcos2 الف-گناه 3 a = 3 گناهآcos2 الف-گناه 3 a = 3 گناهآ(1-گناه2 الف)-گناه 3 a = 3 گناهآ-4گناه 3a
2. کسینوس زاویه سه گانه: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosآ-گناه2aگناهآ = (cos2 الف-گناه2 الف)cosآ-(2گناهآcosآ)گناهآ = cos 3 الف- گناه2 الفcosآ-2گناه2 الفcosآ = cos 3 الف-3 گناه2 الفcosآ = cos 3 a-3(1- cos2 الف)cosآ = 4cos 3 الف-3 cosآ

قبل از اینکه به ادامه مطلب بپردازیم، اجازه دهید یک مشکل را بررسی کنیم.
با توجه به: زاویه حاد است.
کسینوس آن را پیدا کنید اگر
راه حل ارائه شده توسط یک دانش آموز:
زیرا ، آن گناهآ= 3، a cosآ = 4.
(از طنز ریاضی)

بنابراین، تعریف مماس این تابع را به سینوس و کسینوس مرتبط می کند. اما می توانید فرمولی بدست آورید که مماس را فقط به کسینوس مرتبط می کند. برای استخراج آن، هویت مثلثاتی اصلی را می گیریم: گناه 2 آ+cos 2 آ= 1 و تقسیم بر cos 2 آ. ما گرفتیم:

بنابراین راه حل این مشکل این خواهد بود:

(از آنجایی که زاویه تند است، هنگام استخراج ریشه علامت + گرفته می شود)

فرمول مماس یک مجموع فرمول دیگری است که به خاطر سپردن آن دشوار است. بیایید آن را به صورت زیر خروجی بگیریم:

بلافاصله نمایش داده می شود و

از فرمول کسینوس برای زاویه دوتایی، می توانید فرمول سینوس و کسینوس برای نیم زاویه را بدست آورید. برای انجام این کار، در سمت چپ فرمول کسینوس دو زاویه اعمال کنید:
cos2 آ = cos 2 آ-گناه 2 آ
ما یک را اضافه می کنیم، و به سمت راست - یک واحد مثلثاتی، یعنی. مجموع مجذورات سینوس و کسینوس
cos2a+1 = cos2 الف-گناه2 الف+cos2 الف+گناه2 الف
2cos 2 آ = cos2 آ+1
بیان کننده cosآاز طریق cos2 آو با انجام تغییر متغیرها، دریافت می کنیم:

علامت بسته به ربع گرفته می شود.

به همین ترتیب، با کم کردن یک از سمت چپ تساوی و مجموع مربع های سینوس و کسینوس از سمت راست، به دست می آید:
cos2a-1 = cos2 الف-گناه2 الف-cos2 الف-گناه2 الف
2گناه 2 آ = 1-cos2 آ

و در نهایت برای تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به حاصل ضرب از تکنیک زیر استفاده می کنیم. فرض کنید باید مجموع سینوس ها را به عنوان یک محصول نمایش دهیم گناهآ+گناهب. بیایید متغیرهای x و y را طوری معرفی کنیم که a = x+y، b+x-y. سپس
گناهآ+گناهب = گناه(x+y)+ گناه(x-y) = گناهایکس cos y+ cosایکس گناه y+ گناهایکس cos y- cosایکس گناه y=2 گناهایکس cos y اکنون x و y را بر حسب a و b بیان می کنیم.

از آنجایی که a = x+y، b = x-y، پس . از همین رو

می توانید فوراً برداشت کنید

1. فرمول پارتیشن بندی محصولات سینوس و کسینوس V میزان: گناهآcosب = 0.5(گناه(a+b)+گناه(الف-ب))

توصیه می کنیم برای تبدیل تفاضل سینوس ها و مجموع و تفاضل کسینوس ها به حاصل ضرب و همچنین برای تقسیم حاصل از سینوس ها و کسینوس ها به مجموع فرمول هایی را خودتان تمرین و استخراج کنید. با انجام این تمرین ها، مهارت استخراج فرمول های مثلثاتی را کاملاً مسلط خواهید کرد و حتی در سخت ترین آزمون، المپیاد یا تست زنی گم نمی شوید.

مفاهیم سینوس ()، کسینوس ()، مماس ()، کوتانژانت () با مفهوم زاویه پیوند ناگسستنی دارند. برای اینکه درک درستی از این مفاهیم پیچیده در نگاه اول داشته باشیم (که باعث ایجاد حالت وحشت در بسیاری از دانش‌آموزان مدرسه می‌شود) و مطمئن شویم که «شیطان به اندازه‌ای که ترسیم می‌شود وحشتناک نیست»، اجازه دهید از اینجا شروع کنیم. در ابتدا و درک مفهوم زاویه.

مفهوم زاویه: رادیان، درجه

بیایید به تصویر نگاه کنیم. بردار نسبت به نقطه به مقدار معینی "چرخش" شده است. بنابراین اندازه گیری این چرخش نسبت به موقعیت اولیه خواهد بود گوشه.

چه چیز دیگری در مورد مفهوم زاویه باید بدانید؟ خب البته واحدهای زاویه!

زاویه را هم در هندسه و هم در مثلثات می توان بر حسب درجه و رادیان اندازه گیری کرد.

زاویه (یک درجه) زاویه مرکزی در یک دایره است که توسط یک قوس دایره ای برابر با بخشی از دایره فرو رفته است. بنابراین، کل دایره از "قطعات" کمان های دایره ای تشکیل شده است، یا زاویه توصیف شده توسط دایره برابر است.

یعنی شکل بالا زاویه ای برابر را نشان می دهد، یعنی این زاویه بر روی یک قوس دایره ای به اندازه محیط قرار دارد.

زاویه بر حسب رادیان، زاویه مرکزی در دایره ای است که توسط یک قوس دایره ای که طول آن برابر با شعاع دایره است، فرو رفته است. خوب متوجه شدی؟ اگر نه، پس بیایید آن را از نقاشی بفهمیم.

بنابراین، شکل زاویه ای برابر با رادیان را نشان می دهد، یعنی این زاویه بر روی یک کمان دایره ای قرار دارد که طول آن برابر با شعاع دایره است (طول برابر با طول یا شعاع است. برابر طولقوس ها). بنابراین، طول قوس با فرمول محاسبه می شود:

زاویه مرکزی بر حسب رادیان کجاست.

خوب، با دانستن این، می توانید پاسخ دهید که در زاویه توصیف شده توسط دایره چند رادیان وجود دارد؟ بله، برای این باید فرمول دور را به خاطر بسپارید. او اینجاست:

خوب، حالا بیایید این دو فرمول را به هم مرتبط کنیم و دریابیم که زاویه توصیف شده توسط دایره برابر است. یعنی با همبستگی مقدار بر حسب درجه و رادیان به آن می رسیم. به ترتیب، . همانطور که می بینید، بر خلاف "درجه"، کلمه "رادیان" حذف شده است، زیرا واحد اندازه گیری معمولاً از متن مشخص است.

چند رادیان وجود دارد؟ درست است!

فهمیدم؟ سپس ادامه دهید و آن را اصلاح کنید:

داشتن مشکلات؟ سپس نگاه کنید پاسخ می دهد:

مثلث قائم الزاویه: سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت زاویه

بنابراین، ما مفهوم زاویه را کشف کردیم. اما سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟ بیایید آن را بفهمیم. برای این به ما کمک خواهد کرد راست گوشه.

اضلاع مثلث قائم الزاویه چه نام دارند؟ درست است، هیپوتنوز و پاها: هیپوتنوز سمتی است که در مقابل زاویه راست قرار دارد (در مثال ما این سمت است). پاها دو طرف باقی مانده و (آنهایی که مجاور هستند زاویه راست، و اگر پاها را نسبت به زاویه در نظر بگیریم، ساق پای مجاور است و ساق برعکس است. خب حالا بیایید به این سوال پاسخ دهیم: سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه چیست؟

سینوس زاویه- این نسبت پای مخالف (دور) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما

کسینوس زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

در مثلث ما

مماس زاویه- این نسبت طرف مقابل (دور) به مجاور (نزدیک) است.

در مثلث ما

کتانژانت زاویه- این نسبت پای مجاور (نزدیک) به مخالف (دور) است.

در مثلث ما

این تعاریف لازم است یاد آوردن! برای اینکه راحت‌تر به خاطر بیاورید که کدام پا را باید به چه چیزی تقسیم کنید، باید آن را به وضوح درک کنید مماسو کتانژانتفقط پاها می نشینند و هیپوتنوز فقط در داخل ظاهر می شود سینوسیو کسینوس. و سپس می توانید با زنجیره ای از انجمن ها بیایید. مثلا این یکی:

کسینوس← لمس← لمس← مجاور;

کوتانژانت← لمس← لمس← مجاور.

اول از همه، باید به یاد داشته باشید که سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت به عنوان نسبت اضلاع یک مثلث به طول این ضلع ها (در یک زاویه) بستگی ندارد. باور نکن؟ سپس با دیدن عکس مطمئن شوید:

برای مثال کسینوس یک زاویه را در نظر بگیرید. طبق تعریف، از مثلث: ، اما ما می توانیم کسینوس یک زاویه را از مثلث محاسبه کنیم: . ببینید طول اضلاع متفاوت است، اما مقدار کسینوس یک زاویه یکسان است. بنابراین، مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت تنها به بزرگی زاویه بستگی دارد.

اگر تعاریف را فهمیدید، پس بروید و آنها را تثبیت کنید!

برای مثلثی که در شکل زیر نشان داده شده است، پیدا می کنیم.

خوب متوجه شدی؟ سپس خودتان آن را امتحان کنید: همان را برای زاویه محاسبه کنید.

دایره واحد (مثلثی).

با درک مفاهیم درجه و رادیان دایره ای با شعاع برابر در نظر گرفتیم. چنین دایره ای نامیده می شود تنها. هنگام مطالعه مثلثات بسیار مفید خواهد بود. بنابراین، اجازه دهید به آن با کمی جزئیات بیشتر نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، این دایره در ساخته شده است سیستم دکارتیمختصات شعاع دایره برابر با یک است، در حالی که مرکز دایره در مبدا مختصات قرار دارد، موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور ثابت است (در مثال ما، این شعاع است).

هر نقطه روی دایره مربوط به دو عدد است: مختصات محور و مختصات محور. این اعداد مختصات چیست؟ و در کل چه ربطی به موضوع مورد بحث دارن؟ برای انجام این کار، باید مثلث قائم الزاویه در نظر گرفته شده را به خاطر بسپاریم. در شکل بالا دو مثلث کامل قائم الزاویه را مشاهده می کنید. مثلثی را در نظر بگیرید. مستطیل است زیرا بر محور عمود است.

مثلث برابر چیست؟ درست است. علاوه بر این، می دانیم که شعاع دایره واحد است، که به معنای . بیایید این مقدار را با فرمول کسینوس جایگزین کنیم. این چیزی است که اتفاق می افتد:

مثلث برابر چیست؟ خوب البته، ! مقدار شعاع را در این فرمول جایگزین کنید و بدست آورید:

بنابراین، آیا می توانید بگویید یک نقطه متعلق به یک دایره چه مختصاتی دارد؟ خوب، هیچ راهی؟ اگر متوجه شوید که فقط اعداد هستند چه؟ با کدام مختصات مطابقت دارد؟ خب البته مختصات! و با چه مختصاتی مطابقت دارد؟ درست است، مختصات! بنابراین، دوره.

پس با چه چیزهایی هستند و برابرند؟ درست است، بیایید از تعاریف متناظر مماس و کوتانژانت استفاده کنیم و دریافت کنیم که، a.

اگر زاویه بزرگتر باشد چه؟ برای مثال مانند این تصویر:

چه چیزی در این مثال تغییر کرده است؟ بیایید آن را بفهمیم. برای انجام این کار، اجازه دهید دوباره به یک مثلث قائم الزاویه بچرخیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید: زاویه (در مجاورت یک زاویه). مقادیر سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت برای یک زاویه چیست؟ درست است، ما به تعاریف مربوط به توابع مثلثاتی پایبند هستیم:

خوب، همانطور که می بینید، مقدار سینوس زاویه همچنان با مختصات مطابقت دارد. مقدار کسینوس زاویه - مختصات؛ و مقادیر مماس و کتانژانت به نسبت های مربوطه. بنابراین، این روابط برای هر چرخش بردار شعاع اعمال می شود.

قبلاً ذکر شد که موقعیت اولیه بردار شعاع در امتداد جهت مثبت محور است. تا کنون این بردار را در خلاف جهت عقربه های ساعت چرخانده ایم، اما اگر آن را در جهت عقربه های ساعت بچرخانیم چه اتفاقی می افتد؟ هیچ چیز خارق العاده ای نیست، شما همچنین زاویه ای با مقدار مشخصی دریافت خواهید کرد، اما فقط آن منفی خواهد بود. بنابراین، هنگام چرخش بردار شعاع در خلاف جهت عقربه های ساعت، به دست می آوریم زوایای مثبتو هنگام چرخش در جهت عقربه های ساعت - منفی.

بنابراین، می دانیم که یک دور کامل بردار شعاع حول یک دایره یا است. آیا می توان بردار شعاع را به یا به چرخاند؟ خوب، البته که می توانید! بنابراین، در حالت اول، بردار شعاع یک دور کامل می‌کند و در موقعیت یا توقف می‌کند.

در حالت دوم، یعنی بردار شعاع سه دور کامل می‌کند و در موقعیت یا توقف می‌کند.

بنابراین، از مثال‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که زوایایی که با یا (جایی که هر عدد صحیحی است) متفاوت هستند، با موقعیت یکسان بردار شعاع مطابقت دارند.

شکل زیر یک زاویه را نشان می دهد. همان تصویر مربوط به گوشه و غیره است. این لیست را می توان به طور نامحدود ادامه داد. همه این زوایا را می توان با فرمول کلی یا (هر عدد صحیح کجاست) نوشت.

حال با دانستن تعاریف توابع مثلثاتی پایه و استفاده از دایره واحد، سعی کنید به مقادیر زیر پاسخ دهید:

در اینجا یک حلقه واحد برای کمک به شما وجود دارد:

داشتن مشکلات؟ سپس بیایید آن را بفهمیم. پس می دانیم که:

از اینجا، مختصات نقاط مربوط به معیارهای زاویه خاص را تعیین می کنیم. خوب، بیایید به ترتیب شروع کنیم: زاویه در مربوط به یک نقطه با مختصات است، بنابراین:

وجود ندارد؛

علاوه بر این، با رعایت همین منطق، متوجه می‌شویم که گوشه‌ها به ترتیب با نقاط دارای مختصات مطابقت دارند. با دانستن این موضوع، تعیین مقادیر توابع مثلثاتی در نقاط مربوطه آسان است. ابتدا خودتان آن را امتحان کنید و سپس پاسخ ها را بررسی کنید.

پاسخ ها:

وجود ندارد

وجود ندارد

وجود ندارد

وجود ندارد

بنابراین می توانیم جدول زیر را تهیه کنیم:

نیازی به یادآوری تمام این ارزش ها نیست. کافی است مطابقت بین مختصات نقاط روی دایره واحد و مقادیر توابع مثلثاتی را به خاطر بسپارید:

اما مقادیر توابع مثلثاتی زوایا در و در جدول زیر آورده شده است. باید به یاد آورد:

نترسید، اکنون یک نمونه را به شما نشان می دهیم به خاطر سپردن مقادیر مربوطه بسیار ساده است:

برای استفاده از این روش، یادآوری مقادیر سینوس برای هر سه معیار زاویه () و همچنین مقدار مماس زاویه بسیار مهم است. با دانستن این مقادیر، بازیابی کل جدول بسیار ساده است - مقادیر کسینوس مطابق با فلش ها منتقل می شوند، یعنی:

با دانستن این موضوع، می توانید مقادیر را بازیابی کنید. صورت " " مطابقت دارد و مخرج " " مطابقت دارد. مقادیر کوتانژانت مطابق با فلش های نشان داده شده در شکل منتقل می شوند. اگر این را فهمیدید و نمودار را با فلش ها به خاطر بسپارید، کافی است تمام مقادیر جدول را به خاطر بسپارید.

مختصات یک نقطه روی دایره

آیا می توان نقطه ای (مختصات آن) را روی یک دایره پیدا کرد؟ دانستن مختصات مرکز دایره، شعاع و زاویه چرخش آن?

خوب، البته که می توانید! بیا بیرونش کنیم فرمول کلی برای یافتن مختصات یک نقطه.

به عنوان مثال، در اینجا یک دایره در مقابل ما قرار دارد:

به ما داده می شود که نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش آن نقطه به درجه به دست می آید، پیدا کنیم.

همانطور که از شکل مشخص است، مختصات نقطه مطابق با طول قطعه است. طول پاره مطابق با مختصات مرکز دایره است، یعنی برابر است. طول یک قطعه را می توان با استفاده از تعریف کسینوس بیان کرد:

سپس آن را برای مختصات نقطه داریم.

با استفاده از همین منطق، مقدار مختصات y را برای نقطه پیدا می کنیم. بدین ترتیب،

بنابراین، در نمای کلیمختصات نقاط با فرمول تعیین می شود:

مختصات مرکز دایره،

شعاع دایره،

زاویه چرخش شعاع برداری.

همانطور که می بینید، برای دایره واحدی که در نظر می گیریم، این فرمول ها به طور قابل توجهی کاهش می یابد، زیرا مختصات مرکز برابر با صفر و شعاع برابر با یک است:

خوب، بیایید این فرمول ها را با تمرین یافتن نقاط روی یک دایره امتحان کنیم؟

1. مختصات یک نقطه را بر روی دایره واحد که با چرخاندن نقطه به دست می آید، پیدا کنید.

2. مختصات یک نقطه را در دایره واحد که با چرخاندن نقطه روی آن به دست می آید، بیابید.

3. مختصات یک نقطه را در دایره واحد که با چرخاندن نقطه روی آن به دست می آید، بیابید.

4. نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش بردار شعاع اولیه به دست می آید، پیدا کرد.

5. نقطه مرکز دایره است. شعاع دایره برابر است. لازم است مختصات نقطه ای را که با چرخش بردار شعاع اولیه به دست می آید، پیدا کرد.

آیا در یافتن مختصات یک نقطه روی یک دایره مشکل دارید؟

این پنج مثال را حل کنید (یا در حل آنها خوب شوید) و یاد خواهید گرفت که آنها را پیدا کنید!

1.

می توانید متوجه شوید. اما ما می دانیم که چه چیزی با یک انقلاب کامل مطابقت دارد نقطه شروع. بنابراین، نقطه مورد نظر در همان موقعیتی قرار می گیرد که هنگام چرخش به. با دانستن این موضوع، مختصات مورد نیاز نقطه را پیدا می کنیم:

2. دایره واحد در یک نقطه متمرکز است، به این معنی که می توانیم از فرمول های ساده شده استفاده کنیم:

می توانید متوجه شوید. ما می دانیم که چه چیزی مربوط به دو است سرعت کاملنقطه شروع. بنابراین، نقطه مورد نظر در همان موقعیتی قرار می گیرد که هنگام چرخش به آن قرار دارد. با دانستن این موضوع، مختصات مورد نیاز نقطه را پیدا می کنیم:

سینوس و کسینوس هستند مقادیر جدول. معانی آنها را به خاطر می آوریم و دریافت می کنیم:

بنابراین نقطه مورد نظر دارای مختصاتی است.

3. دایره واحد در یک نقطه متمرکز است، به این معنی که می توانیم از فرمول های ساده شده استفاده کنیم:

می توانید متوجه شوید. بیایید مثال مورد نظر را در شکل به تصویر بکشیم:

شعاع زوایایی را با محور و برابر می سازد. با دانستن اینکه مقادیر جدول کسینوس و سینوس برابر هستند و با تعیین اینکه کسینوس در اینجا مقدار منفی و سینوس مقدار مثبت می گیرد، داریم:

هنگام مطالعه فرمول های کاهش توابع مثلثاتی در مبحث، چنین مثال هایی با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار می گیرند.

بنابراین نقطه مورد نظر دارای مختصاتی است.

4.

زاویه چرخش شعاع بردار (بر اساس شرایط)

برای تعیین علائم مربوط به سینوس و کسینوس، دایره و زاویه واحد می سازیم:

همانطور که می بینید، مقدار، یعنی مثبت است و مقدار، یعنی منفی. با دانستن مقادیر جدولی توابع مثلثاتی مربوطه، به دست می آوریم که:

بیایید مقادیر به دست آمده را در فرمول خود جایگزین کنیم و مختصات را پیدا کنیم:

بنابراین نقطه مورد نظر دارای مختصاتی است.

5. برای حل این مشکل از فرمول هایی به صورت کلی استفاده می کنیم که کجا

مختصات مرکز دایره (در مثال ما،

شعاع دایره (بر اساس شرایط)

زاویه چرخش شعاع بردار (بر اساس شرایط).

بیایید همه مقادیر را در فرمول جایگزین کنیم و دریافت کنیم:

و - مقادیر جدول. بیایید به خاطر بسپاریم و آنها را در فرمول جایگزین کنیم:

بنابراین نقطه مورد نظر دارای مختصاتی است.

خلاصه و فرمول های اساسی

سینوس یک زاویه نسبت پای مقابل (دور) به هیپوتنوز است.

کسینوس یک زاویه نسبت پای مجاور (نزدیک) به هیپوتنوز است.

مماس یک زاویه نسبت ضلع مقابل (دور) به ضلع مجاور (نزدیک) است.

کتانژانت یک زاویه نسبت ضلع مجاور (نزدیک) به طرف مقابل (دور) است.