ترسیم سیستم معادلات. نحوه محاسبه دور دایره در صورتی که قطر و شعاع دایره مشخص نشده باشد

یک دایره در زندگی روزمره کمتر از یک مستطیل یافت می شود. و برای بسیاری از مردم، مشکل نحوه محاسبه دور مشکل است. و همه به این دلیل که گوشه ای ندارد. اگر آنها در دسترس بودند، همه چیز بسیار آسان تر می شد.

دایره چیست و در کجا ایجاد می شود؟

این شکل مسطح تعدادی از نقاط را نشان می دهد که در همان فاصله از نقطه دیگر، که مرکز است، قرار دارند. به این فاصله شعاع می گویند.

در زندگی روزمره، اغلب نیازی به محاسبه دور دایره نیست، مگر برای افرادی که مهندس و طراح هستند. آنها طرح هایی را برای مکانیسم هایی ایجاد می کنند که برای مثال از چرخ دنده ها، سوراخ ها و چرخ ها استفاده می کنند. معماران خانه هایی با پنجره های گرد یا قوسی می سازند.

هر یک از این موارد و موارد دیگر دقت خاص خود را می طلبد. علاوه بر این، محاسبه دور کاملاً دقیق غیرممکن است. این به دلیل بی نهایت بودن عدد اصلی در فرمول است. "Pi" هنوز در حال پالایش است. و مقدار گرد اغلب استفاده می شود. درجه دقت برای دادن صحیح ترین پاسخ انتخاب می شود.

تعیین مقادیر و فرمول ها

اکنون پاسخ دادن به این سوال که چگونه محیط دایره را بر اساس شعاع محاسبه کنید، به فرمول زیر نیاز دارید:

از آنجایی که شعاع و قطر به یکدیگر مرتبط هستند، فرمول دیگری برای محاسبات وجود دارد. از آنجایی که شعاع دو برابر کوچکتر است، عبارت کمی تغییر خواهد کرد. و فرمول نحوه محاسبه دور دایره با دانستن قطر به صورت زیر خواهد بود:

l = π * d.

اگر بخواهید محیط یک دایره را محاسبه کنید چه؟

فقط به یاد داشته باشید که یک دایره شامل تمام نقاط داخل دایره است. این بدان معنی است که محیط آن با طول آن منطبق است. و بعد از محاسبه دور با محیط دایره علامت مساوی بگذارید.

به هر حال، نامگذاری آنها یکسان است. این برای شعاع و قطر صدق می کند و محیط آن حرف لاتین P است.

نمونه هایی از وظایف

وظیفه یک

وضعیت.طول دایره ای که شعاع آن 5 سانتی متر است را دریابید.

راه حل.در اینجا درک چگونگی محاسبه دور کار دشواری نیست. شما فقط باید از فرمول اول استفاده کنید. از آنجایی که شعاع مشخص است، تنها کاری که باید انجام دهید این است که مقادیر را جایگزین کنید و محاسبه کنید. 2 ضرب در شعاع 5 سانتی متر 10 می شود. تنها چیزی که باقی می ماند ضرب آن در مقدار π است. 3.14 * 10 = 31.4 (سانتی متر).

پاسخ: l = 31.4 سانتی متر.

وظیفه دو

وضعیت.چرخی وجود دارد که محیط آن مشخص و برابر با 1256 میلی متر است. محاسبه شعاع آن ضروری است.

راه حل.در این کار باید از همان فرمول استفاده کنید. اما فقط طول شناخته شده باید بر حاصل ضرب 2 و π تقسیم شود. به نظر می رسد که محصول نتیجه را می دهد: 6.28. بعد از تقسیم، عدد باقی مانده: 200. این مقدار مورد نظر است.

پاسخ: r = 200 میلی متر.

وظیفه سه

وضعیت.اگر دور دایره معلوم باشد قطر را حساب کنید که 56.52 سانتی متر است.

راه حل.مشابه مشکل قبلی، باید طول شناخته شده را بر مقدار π، که به نزدیکترین صدم گرد شده، تقسیم کنید. در نتیجه این عمل عدد 18 به دست می آید.

پاسخ: d = 18 سانتی متر.

مسئله چهار

وضعیت.عقربه های ساعت 3 و 5 سانتی متر طول دارند.

راه حل.از آنجایی که فلش ها با شعاع دایره ها منطبق هستند، اولین فرمول مورد نیاز است. باید دو بار از آن استفاده کنید.

برای طول اول، محصول شامل عوامل زیر است: 2; 3.14 و 3. نتیجه 18.84 سانتی متر خواهد بود.

برای پاسخ دوم، باید 2، π و 5 را ضرب کنید. حاصل ضرب عدد: 31.4 سانتی متر است.

پاسخ: l 1 = 18.84 سانتی متر، l 2 = 31.4 سانتی متر.

وظیفه پنجم

وضعیت.یک سنجاب در یک چرخ با قطر 2 متر می دود نوبت کاملچرخ ها؟

راه حل.این فاصله برابر با محیط است. بنابراین، باید از یک فرمول مناسب استفاده کنید. یعنی مقدار π را ضرب کنید و 2 متر را محاسبه کنید: 6.28 متر.

پاسخ:سنجاب 6.28 متر می دود.

یک خط کش به تنهایی کافی نیست. تنها کاری که باید انجام دهیم تعیین قطر یا شعاع دایره است. در برخی مشکلات این مقادیر نشان داده شده است. اما اگر چیزی جز نقاشی نداشته باشیم چه؟ مشکلی نیست قطر و شعاع را می توان با استفاده از یک خط کش معمولی محاسبه کرد. حالا بیایید به اصول اولیه بپردازیم.

فرمول هایی که همه باید بدانند

تقریباً 4000 سال پیش، دانشمندان یک رابطه شگفت انگیز را کشف کردند: اگر محیط یک دایره بر قطر آن تقسیم شود، نتیجه همان عدد است که تقریباً 3.14 است. این مقدار از این حرف در نامگذاری شد یونان باستانکلمات "محیط" و "محیط" شروع شد. بر اساس کشفی که دانشمندان باستانی انجام داده اند، می توانید طول هر دایره را محاسبه کنید:

جایی که P به معنای طول (محیط) دایره است،

D - قطر، P - شماره "Pi".

دور دایره را می توان از طریق شعاع (r) آن نیز محاسبه کرد که برابر با نصف طول قطر است. در اینجا فرمول دومی است که باید به خاطر بسپارید:

چگونه قطر دایره را بفهمیم؟

آکوردی است که از مرکز شکل می گذرد. در عین حال، دو نقطه دور از دایره را به هم متصل می کند. بر این اساس، می توانید به طور مستقل قطر (شعاع) را رسم کنید و طول آن را با استفاده از یک خط کش اندازه گیری کنید.

روش 1: وارد کنید راست گوشهدر یک دایره

اگر قطر دایره را پیدا کنیم، محاسبه دور دایره آسان خواهد بود. لازم است دایره ای رسم کنید که هیپوتانوس برابر با قطر دایره باشد. برای انجام این کار، باید یک خط کش و یک مربع در دست داشته باشید، در غیر این صورت هیچ چیز کار نخواهد کرد.

روش 2: متناسب با هر مثلثی

در سمت دایره هر سه نقطه را علامت گذاری می کنیم، آنها را به هم وصل می کنیم - یک مثلث می گیریم. مهم است که مرکز دایره در ناحیه مثلث قرار داشته باشد این کار را می توان با چشم انجام داد. میانه ها را به هر ضلع مثلث رسم می کنیم، نقطه تقاطع آنها با مرکز دایره منطبق است. و وقتی مرکز را بدانیم، به راحتی می توانیم قطر را با استفاده از یک خط کش رسم کنیم.

این روش شباهت زیادی به روش اول دارد، اما در صورت نبود مربع یا در مواردی که امکان ترسیم روی یک شکل، مثلاً روی یک بشقاب وجود ندارد، قابل استفاده است. باید یک ورق کاغذ با زوایای قائمه بردارید. ورق را روی دایره اعمال می کنیم تا یک راس گوشه آن به لبه دایره برخورد کند. در مرحله بعد، محل تلاقی دو طرف کاغذ با خط دایره را با نقطه مشخص کنید. این نقاط را با مداد و خط کش به هم وصل کنید. اگر چیزی در دست ندارید، فقط کاغذ را تا کنید. این خط برابر با طول قطر خواهد بود.

نمونه کار

1. قطر را با استفاده از مربع، خط کش و مداد مطابق روش شماره 1 جستجو می کنیم. فرض کنید 5 سانتی متر باشد.
2. با دانستن قطر، می توانیم به راحتی آن را در فرمول خود وارد کنیم: P = d P = 5 * 3.14 = 15.7 در مورد ما، معلوم شد که حدود 15.7 است. حالا به راحتی می توانید نحوه محاسبه دور دایره را توضیح دهید.

1. پیدا کردن سخت تر است دور از طریق قطر، بنابراین ابتدا به این گزینه نگاه می کنیم.

مثال: محیط دایره ای که قطر آن 6 سانتی متر است را پیدا کنید. ما از فرمول دور دایره در بالا استفاده می کنیم، اما ابتدا باید شعاع را پیدا کنیم. برای این کار قطر 6 سانتی متر را بر 2 تقسیم می کنیم و شعاع دایره را 3 سانتی متر می گیریم.

پس از آن، همه چیز بسیار ساده است: عدد Pi را در 2 و در شعاع حاصل 3 سانتی متر ضرب کنید.
2 * 3.14 * 3 سانتی متر = 6.28 * 3 سانتی متر = 18.84 سانتی متر.

2. حالا بیایید دوباره به گزینه ساده نگاه کنیم دور دایره را پیدا کنید، شعاع آن 5 سانتی متر است

راه حل: شعاع 5 سانتی متر را در 2 ضرب کنید و در 14/3 ضرب کنید. نگران نباشید، زیرا تنظیم مجدد ضریب ها بر نتیجه تأثیر نمی گذارد، و فرمول دوربه هر ترتیبی قابل استفاده است.

5 سانتی متر * 2 * 3.14 = 10 سانتی متر * 3.14 = 31.4 سانتی متر - این دور پیدا شده برای شعاع 5 سانتی متر است!

ماشین حساب آنلاین دور

ماشین حساب دور ما تمام این محاسبات ساده را فورا انجام می دهد و راه حل را در یک خط و با نظرات می نویسد. ما محیط را برای شعاع 3، 5، 6، 8 یا 1 سانتی متر محاسبه می کنیم، یا قطر آن 4، 10، 15، 20 dm است.

تمام محاسبات دقیق خواهد بود و توسط ریاضیدانان متخصص آزمایش می شود. نتایج را می توان در حل مسائل مدرسه در هندسه یا ریاضیات و همچنین در محاسبات کاری در ساخت و ساز یا تعمیر و دکوراسیون محل استفاده کرد، زمانی که محاسبات دقیق با استفاده از این فرمول مورد نیاز است.

مهم نیست که شخص در چه حوزه ای از اقتصاد کار می کند، خواسته یا ناخواسته از دانش ریاضی انباشته شده در طول قرن ها استفاده می کند. ما هر روز با دستگاه ها و مکانیسم های حاوی دایره ها مواجه می شویم. یک چرخ شکلی گرد دارد، پیتزا، بسیاری از سبزیجات و میوه ها هنگام برش دایره ای تشکیل می دهند، همچنین بشقاب ها، فنجان ها و موارد دیگر. با این حال، همه نمی دانند که چگونه دور را به درستی محاسبه کنند.

برای محاسبه دور یک دایره، ابتدا باید به یاد داشته باشید که دایره چیست. این مجموعه تمام نقاط هواپیما با فاصله مساوی از این یکی است. و دایره یک مکان هندسی از نقاط روی صفحه ای است که در داخل یک دایره قرار دارد. از مطالب فوق چنین استنباط می شود که محیط دایره و محیط یکسان هستند.

روش های پیدا کردن محیط دایره

علاوه بر روش ریاضی برای یافتن محیط دایره، روش های عملی نیز وجود دارد.

• یک طناب یا طناب بردارید و یک بار دور آن بپیچید.
• سپس طناب را اندازه بگیرید، عدد به دست آمده، محیط خواهد بود.
• جسم گرد را یکبار بغلتانید و طول مسیر را بشمارید. اگر مورد خیلی کوچک است، می توانید چندین بار آن را با ریسمان بپیچید، سپس نخ را باز کنید، اندازه بگیرید و بر تعداد دور تقسیم کنید.
• مقدار مورد نیاز را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

L = 2πr = πD ,

که در آن L طول مورد نیاز است.

π - ثابت، تقریباً برابر با 3.14 r - شعاع دایره، فاصله از مرکز آن تا هر نقطه.

D قطر است، برابر با دو شعاع است.

استفاده از فرمول برای یافتن محیط دایره

• مثال 1: تردمیل دور دایره ای به شعاع 47.8 متر می دود. طول این تردمیل را با π = 3.14 پیدا کنید.

L = 2πr = 2*3.14*47.8 ≈ 300 (m)

جواب: 300 متر

• مثال 2. یک چرخ دوچرخه که 10 بار چرخیده است، 18.85 متر را طی کرده است. شعاع چرخ را پیدا کنید.

18.85: 10 = 1.885 (m) محیط چرخ است.

1.885: π = 1.885: 3.1416 ≈ 0.6 (m) - قطر مورد نیاز

پاسخ: قطر چرخ 0.6 متر

عدد شگفت انگیز پی

با وجود سادگی ظاهری فرمول، به دلایلی به خاطر سپردن آن برای بسیاری دشوار است. ظاهراً این به دلیل این واقعیت است که فرمول حاوی عدد گنگπ، که در فرمول های مساحت شکل های دیگر مانند مربع، مثلث یا لوزی وجود ندارد. فقط باید به یاد داشته باشید که این یک ثابت است، یعنی ثابت به معنای نسبت محیط به قطر. حدود 4 هزار سال پیش، مردم متوجه شدند که نسبت محیط یک دایره به شعاع (یا قطر) آن برای همه دایره ها یکسان است.

یونانیان باستان عدد π را با کسری 22/7 تقریب می‌کردند. برای مدت طولانی، π به عنوان میانگین بین طول چند ضلعی های محاط شده و محدود در یک دایره محاسبه می شد. در قرن سوم پس از میلاد، یک ریاضیدان چینی محاسبه ای را برای 3072 گون انجام داد و مقدار تقریبی π = 3.1416 را به دست آورد. باید به خاطر داشت که π همیشه برای هر دایره ای ثابت است. نامگذاری آن با حرف یونانی π در قرن 18 ظاهر شد. این اولین حرف از کلمات یونانی περιφέρεια - دایره و περίμετρος - محیط است. در قرن هجدهم ثابت شد که این کمیت غیر منطقی است، یعنی نمی توان آن را به شکل m/n نشان داد که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است.

و چه تفاوتی با دایره دارد؟ یک خودکار یا رنگ بردارید و یک دایره منظم روی یک کاغذ بکشید. تمام وسط شکل حاصل را با یک مداد آبی رنگ کنید. طرح قرمز رنگ که مرزهای شکل را نشان می دهد یک دایره است. اما محتوای آبی درون آن دایره است.

ابعاد یک دایره و یک دایره با قطر تعیین می شود. روی خط قرمز که نشان دهنده دایره است، دو نقطه را علامت بزنید تا تصویر آینه ای از یکدیگر باشند. آنها را با یک خط وصل کنید. قطعه قطعاً از نقطه ای در مرکز دایره عبور می کند. این قطعه که قسمت های مخالف یک دایره را به هم متصل می کند در هندسه قطر نامیده می شود.

قطعه‌ای که از مرکز دایره امتداد نمی‌یابد، اما در دو طرف مقابل به آن می‌پیوندد، وتر نامیده می‌شود. در نتیجه، وتر عبور از نقطه مرکزی دایره قطر آن است.

قطر نشان داده شده است حرف لاتیند. می توانید قطر یک دایره را با استفاده از مقادیری مانند مساحت، طول و شعاع دایره پیدا کنید.

فاصله نقطه مرکزی تا نقطه رسم شده روی دایره شعاع نامیده می شود و با حرف R نشان داده می شود. دانستن مقدار شعاع به محاسبه قطر دایره در یک مرحله ساده کمک می کند:

به عنوان مثال، شعاع 7 سانتی متر است.

گاهی اوقات باید قطر یک دایره را فقط با طول آن تعیین کنید. در اینجا لازم است یک فرمول ویژه برای کمک به تعیین فرمول L = 2 Pi * R اعمال شود که در آن 2 یک مقدار ثابت (ثابت) و Pi = 3.14 است. و از آنجایی که مشخص است که R = D * 2، فرمول را می توان به شکل دیگری ارائه کرد

این عبارت به عنوان فرمولی برای قطر یک دایره نیز قابل استفاده است. با جایگزینی مقادیر شناخته شده در مسئله، معادله را با یک مجهول حل می کنیم. فرض کنید طول 7 متر است، بنابراین:

پاسخ: قطر 21.98 متر است.

اگر مساحت مشخص باشد، می توان قطر دایره را نیز تعیین کرد. فرمولی که در در این مورد، به نظر می رسد که:

D = 2 * (S / Pi) * (1/2)

S - در این صورت فرض کنید در مسئله برابر با 30 متر مربع است. m دریافت می کنیم:

D = 2 * (30 / 3، 14) * (1 / 2) D = 9، 55414

هنگامی که مقدار نشان داده شده در مسئله برابر با حجم (V) توپ باشد، از فرمول زیر برای یافتن قطر استفاده می شود: D = (6 V / Pi) * 1/3.

گاهی اوقات باید قطر دایره ای را که در یک مثلث حک شده است پیدا کنید. برای انجام این کار، از فرمول برای پیدا کردن شعاع دایره نشان داده شده استفاده کنید:

R = S/p (S مساحت مثلث داده شده و p محیط تقسیم بر 2 است).

نتیجه به دست آمده را با در نظر گرفتن اینکه D = 2 * R دو برابر می کنیم.

اغلب شما باید قطر یک دایره را در زندگی روزمره پیدا کنید. به عنوان مثال، هنگام تعیین مقدار معادل قطر آن. برای انجام این کار، باید انگشت صاحب احتمالی حلقه را با نخ بپیچید. نقاط تماس دو سر را علامت بزنید. طول را از نقطه ای به نقطه دیگر با خط کش اندازه بگیرید. با پیروی از فرمول تعیین قطر با طول مشخص، مقدار حاصل را در 3.14 ضرب می کنیم. بنابراین، این جمله که دانش هندسه و جبر در زندگی مفید نیست، همیشه درست نیست. و این دلیلی جدی برای اتخاذ رویکرد مسئولانه‌تر به موضوعات مدرسه است.