در رابطه با
وظیفه یافتن هر یک از سه عدد از دو عدد داده شده دیگر را می توان تنظیم کرد. اگر a و سپس N داده شوند، آنها با توان یافت می شوند. اگر N و سپس a با گرفتن ریشه درجه x (یا بالا بردن آن به توان) داده شوند. حال این مورد را در نظر بگیرید که با توجه به a و N، باید x را پیدا کنیم.
عدد N مثبت باشد: عدد a مثبت باشد و مساوی یک نباشد: .
تعریف. لگاریتم عدد N به پایه a، توانی است که a باید به آن افزایش یابد تا عدد N به دست آید. لگاریتم با نشان داده می شود
بنابراین، در برابری (26.1) توان به عنوان لگاریتم N به پایه a یافت می شود. نوشته ها
همین معنی را دارند. برابری (26.1) گاهی اوقات هویت اصلی نظریه لگاریتم نامیده می شود. در واقع تعریف مفهوم لگاریتم را بیان می کند. توسط این تعریفپایه لگاریتم a همیشه مثبت و متفاوت از وحدت است. عدد لگاریتمی N مثبت است. اعداد منفی و صفر لگاریتمی ندارند. می توان ثابت کرد که هر عددی با یک پایه معین، لگاریتمی کاملاً مشخص دارد. بنابراین برابری مستلزم آن است. توجه داشته باشید که شرط در اینجا ضروری است، در غیر این صورت، نتیجه گیری توجیه نمی شود، زیرا برابری برای هر مقدار x و y صادق است.
مثال 1. پیدا کنید
راه حل. برای به دست آوردن یک عدد باید پایه 2 را به توان برسانید بنابراین.
هنگام حل چنین مثال هایی می توانید به شکل زیر یادداشت برداری کنید:
مثال 2. پیدا کنید.
راه حل. ما داریم
در مثال های 1 و 2، با نمایش عدد لگاریتمی به عنوان توان پایه با توان گویا، لگاریتم مورد نظر را به راحتی پیدا کردیم. در حالت کلی، به عنوان مثال، برای غیره، نمی توان این کار را انجام داد، زیرا لگاریتم دارای ارزش غیر منطقی است. اجازه دهید به یک موضوع مرتبط با این بیانیه توجه کنیم. در بند 12، مفهوم امکان تعیین هر توان واقعی یک عدد مثبت معین را ارائه کردیم. این برای معرفی لگاریتم ها، که به طور کلی می توانند اعداد غیر منطقی باشند، ضروری بود.
بیایید به برخی از خواص لگاریتم نگاه کنیم.
خاصیت 1. اگر عدد و مبنا مساوی باشند، لگاریتم برابر با یک است و برعکس، اگر لگاریتم برابر با یک باشد، عدد و مبنا مساوی هستند.
اثبات اجازه دهید با تعریف لگاریتم و از کجا داریم
برعکس، اجازه دهید سپس با تعریف
خاصیت 2. لگاریتم یک به هر پایه برابر با صفر است.
اثبات با تعریف لگاریتم (قدرت صفر هر پایه مثبت برابر با یک است، به (10.1) مراجعه کنید). از اینجا
Q.E.D.
گزاره معکوس نیز درست است: اگر، پس N = 1. در واقع، ما داریم.
قبل از فرمول‌بندی خاصیت لگاریتم‌ها، اجازه دهید بگوییم که دو عدد a و b در یک سمت عدد سوم c قرار دارند، اگر هر دو بزرگتر از c یا کوچکتر از c باشند. اگر یکی از این اعداد بزرگتر از c و دیگری کوچکتر از c باشد، می گوییم که آنها در طرف مقابل c قرار دارند.
خاصیت 3. اگر عدد و مبنا در یک طرف یک قرار گیرند، لگاریتم مثبت است. اگر عدد و پایه در دو طرف یک قرار گیرند، لگاریتم منفی است.
اثبات خاصیت 3 بر این اساس است که توان a بزرگتر از یک است اگر پایه بزرگتر از یک و توان مثبت یا پایه کوچکتر از یک و توان منفی باشد. توانی کمتر از یک است اگر پایه بزرگتر از یک و توان آن منفی باشد یا پایه کوچکتر از یک و توان مثبت باشد.
چهار مورد برای بررسی وجود دارد:
ما خود را به تجزیه و تحلیل اولین آنها محدود می کنیم.
بگذارید در برابری توان نه می تواند منفی باشد و نه برابر با صفر، بنابراین مثبت است، یعنی همانطور که باید ثابت شود.
مثال 3. ببینید کدام یک از لگاریتم های زیر مثبت و کدام منفی هستند:
راه حل، الف) از آنجایی که عدد 15 و پایه 12 در یک سمت یک قرار دارند.
ب) از آنجایی که 1000 و 2 در یک طرف واحد قرار دارند. در این مورد، مهم نیست که پایه از عدد لگاریتمی بزرگتر باشد.
ج) از آنجایی که 3.1 و 0.8 در دو طرف وحدت قرار دارند.
ز)؛ چرا؟
د)؛ چرا؟
خواص زیر 4-6 اغلب قوانین لگاریتم نامیده می شوند: آنها با دانستن لگاریتم برخی از اعداد اجازه می دهند لگاریتم حاصلضرب، ضریب و درجه هر یک از آنها را بیابند.
خاصیت 4 (قانون لگاریتم محصول). لگاریتم حاصل ضرب چند عدد مثبت توسط این اساسبرابر با مجموع لگاریتم این اعداد به یک پایه است.
اثبات بگذارید اعداد داده شده مثبت باشند.
برای لگاریتم حاصل ضرب آنها، برابری (26.1) را می نویسیم که لگاریتم را تعریف می کند:
از اینجا خواهیم یافت
با مقایسه نماهای اولین و آخرین عبارت، برابری لازم را بدست می آوریم:
توجه داشته باشید که شرط ضروری است. لگاریتم حاصل ضرب دو عدد منفی منطقی است، اما در این صورت می‌گیریم
به طور کلی، اگر حاصل ضرب چند عامل مثبت باشد، لگاریتم آن برابر است با مجموع لگاریتم مقادیر مطلق این عوامل.
خاصیت 5 (قاعده گرفتن لگاریتم ضریب). لگاریتم ضریبی از اعداد مثبت برابر است با تفاوت لگاریتم های تقسیم کننده و مقسوم علیه که به یک پایه گرفته شده است. اثبات ما به طور مداوم پیدا می کنیم
Q.E.D.
خاصیت 6 (قانون لگاریتم توان). لگاریتم توان یک عدد مثبت برابر با لگاریتماین عدد در توان ضرب می شود.
اثبات اجازه دهید دوباره هویت اصلی (26.1) را برای شماره بنویسیم:
Q.E.D.
نتیجه. لگاریتم ریشه یک عدد مثبت برابر است با لگاریتم رادیکال تقسیم بر توان ریشه:
صحت این نتیجه را می توان با تصور چگونگی و استفاده از خاصیت 6 اثبات کرد.
مثال 4. لگاریتم را به مبنای a بگیرید:
الف) (فرض می شود که همه مقادیر b، c، d، e مثبت هستند)؛
ب) (فرض می شود که ).
راه حل، الف) رفتن به آن راحت است این بیانبه توان های کسری:
بر اساس برابری های (26.5) - (26.7) اکنون می توانیم بنویسیم:
متوجه می‌شویم که عملیات ساده‌تری بر روی لگاریتم اعداد نسبت به خود اعداد انجام می‌شود: هنگام ضرب اعداد، لگاریتم آنها اضافه می‌شود، هنگام تقسیم، آنها کم می‌شوند و غیره.
به همین دلیل است که از لگاریتم ها در عمل محاسباتی استفاده می شود (به بند 29 مراجعه کنید).
عمل معکوس لگاریتم را تقویت می گویند، یعنی: توانمندی عملی است که به وسیله آن خود عدد از لگاریتم معین یک عدد پیدا می شود. اساساً، تقویت هیچ اقدام خاصی نیست: به بالا بردن یک پایه به یک قدرت خلاصه می شود ( برابر با لگاریتمشماره). اصطلاح «تقویت‌سازی» را می‌توان مترادف با واژه «توان‌سازی» دانست.
هنگام تقویت، باید از قوانین معکوس قواعد لگاریتم استفاده کنید: مجموع لگاریتم ها را با لگاریتم حاصلضرب، تفاوت لگاریتم ها را با لگاریتم ضریب، و غیره جایگزین کنید. به ویژه، اگر فاکتوری جلوتر باشد. از علامت لگاریتم، سپس در هنگام تقویت باید به درجات توان تحت علامت لگاریتم منتقل شود.
مثال 5. اگر معلوم است که N را پیدا کنید
راه حل. در رابطه با قاعده تقویتی که به تازگی بیان شده است، عوامل 2/3 و 1/3 ایستاده در مقابل نشانه های لگاریتم در سمت راست این برابری را به توان های زیر علائم این لگاریتم ها منتقل می کنیم. ما گرفتیم
اکنون اختلاف لگاریتم ها را با لگاریتم ضریب جایگزین می کنیم:
برای به دست آوردن آخرین کسر در این زنجیره برابری ها، کسر قبلی را از غیر منطقی بودن مخرج رها کردیم (بند 25).
خاصیت 7. اگر پایه بزرگتر از یک باشد، پس تعداد بزرگترلگاریتم بزرگتر دارد (و عدد کوچکتر یک کوچکتر دارد)، اگر پایه کوچکتر از یک باشد، عدد بزرگتر لگاریتم کوچکتری دارد (و عدد کوچکتر عدد بزرگتر).
این ویژگی همچنین به عنوان یک قاعده برای گرفتن لگاریتم نابرابری ها که هر دو طرف آن مثبت هستند، فرموله شده است:
هنگام گرفتن لگاریتم نابرابری ها به پایه بزرگتر از یک، علامت نابرابری حفظ می شود، و هنگام لگاریتم کردن به پایه کمتر از یک، علامت نابرابری به خلاف آن تغییر می کند (همچنین به بند 80 مراجعه کنید).
اثبات بر اساس ویژگی های 5 و 3 است. موردی را در نظر بگیرید که اگر، سپس و با گرفتن لگاریتم، به دست می آوریم
(الف و N/M در یک سمت وحدت قرار دارند). از اینجا
در صورت زیر، خواننده به تنهایی متوجه آن خواهد شد.
حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.
جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی
اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.
ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.
در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.
چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:
- هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیکو غیره.
نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:
- جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
- هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
- ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
- اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.
افشای اطلاعات به اشخاص ثالث
ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.
استثناها:
- در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
- در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.
حفاظت از اطلاعات شخصی
ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.
احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت
برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.
لگاریتم یک عدد ن بر اساس آ توان نامیده می شود ایکس ، که باید به آن بسازید آ برای دریافت شماره ن
به شرطی که 
,
,
از تعریف لگاریتم چنین بر می آید که 
، یعنی
- این برابری هویت لگاریتمی اساسی است.
لگاریتم های پایه 10 را لگاریتم اعشاری می نامند. بجای 
نوشتن 
.
لگاریتم به پایه ه
طبیعی نامیده می شوند و تعیین می شوند 
.
ویژگی های اصلی لگاریتم ها
لگاریتم یک برای هر پایه برابر با صفر است.
لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم عوامل.
3) لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها
عامل 
مدول انتقال از لگاریتم به پایه نامیده می شود آ
به لگاریتم در پایه ب
.
با استفاده از ویژگی های 2-5، اغلب می توان لگاریتم یک عبارت پیچیده را به نتیجه عملیات ساده حسابی روی لگاریتم کاهش داد.
مثلا، 
به چنین تبدیل های لگاریتمی لگاریتم می گویند. تبدیل معکوس به لگاریتم را تقویت می گویند.
فصل 2. عناصر ریاضیات عالی.
1. محدودیت ها
محدودیت عملکرد 
یک عدد محدود A است اگر، به عنوان xx
0
برای هر از پیش تعیین شده 
، چنین عددی وجود دارد 
که به محض 
، آن 
.
تابعی که دارای حد است به مقدار بی نهایت کوچک با آن تفاوت دارد: 
، جایی که- b.m.v.، i.e. 
.
مثال. تابع را در نظر بگیرید 
.
هنگام تلاش 
، تابع y
به سمت صفر میل می کند: 
1.1. قضایای اساسی در مورد حدود
حد یک مقدار ثابت برابر با این مقدار ثابت است
.
حد مجموع (تفاوت) تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع (تفاوت) حدود این توابع.
حد حاصلضرب تعداد محدودی از توابع برابر است با حاصلضرب حدود این توابع.
حد نصاب دو تابع برابر است با نصاب حدود این توابع اگر حد مخرج صفر نباشد.
محدودیت های شگفت انگیز
,
، جایی که 
1.2. مثال های محاسبه حد
با این حال، همه محدودیت ها به این راحتی محاسبه نمی شوند. اغلب، محاسبه حد به آشکار کردن عدم قطعیت از نوع ختم می شود: 
یا .
.
2. مشتق یک تابع
اجازه دهید یک تابع داشته باشیم 
، پیوسته بر روی قطعه 
.
بحث و جدل 
مقداری افزایش یافت 
. سپس تابع یک افزایش دریافت می کند 
.
مقدار استدلال 
با مقدار تابع مطابقت دارد 
.
مقدار استدلال 
با مقدار تابع مطابقت دارد.
از این رو، .
اجازه دهید حد این نسبت را در پیدا کنیم 
. اگر این حد وجود داشته باشد، آن را مشتق تابع داده شده می نامند.
تعریف 3 مشتق یک تابع معین 
با استدلال 
حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان، زمانی که افزایش آرگومان خودسرانه به صفر میل می کند، نامیده می شود.
مشتق از یک تابع 
را می توان به صورت زیر تعیین کرد:
;
;
;
.
تعریف 4عملیات یافتن مشتق تابع نامیده می شود تفکیک.
2.1. معنای مکانیکی مشتق.
اجازه دهید حرکت مستقیم یک جسم صلب یا نقطه مادی را در نظر بگیریم.
اجازه دهید در یک نقطه از زمان 
نقطه متحرک 
در فاصله ای بود 
از موقعیت شروع 
.
بعد از مدتی 
او فاصله ای را طی کرد 
. نگرش 
=
- سرعت متوسط یک نقطه مادی 
. اجازه دهید با در نظر گرفتن آن، حد این نسبت را پیدا کنیم 
.
در نتیجه، تعیین سرعت لحظه ای حرکت یک نقطه مادی به یافتن مشتق مسیر با توجه به زمان کاهش می یابد.
2.2. ارزش هندسی مشتق
اجازه دهید یک تابع گرافیکی تعریف شده داشته باشیم 
.
برنج. 1. معنای هندسی مشتق
اگر 
، سپس اشاره کنید 
، در امتداد منحنی حرکت می کند و به نقطه نزدیک می شود 
.
از این رو 
، یعنی مقدار مشتق برای مقدار معینی از آرگومان 
از نظر عددی برابر با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس در یک نقطه معین با جهت مثبت محور 
.
2.3. جدول فرمول های تمایز پایه.
تابع توان
|
|
|
|
|
|
|
تابع نمایی
|
|
|
|
|
تابع لگاریتمی
|
|
|
|
|
تابع مثلثاتی
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
تابع مثلثاتی معکوس
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. قوانین تمایز.
مشتق از 
مشتق مجموع (تفاوت) توابع
مشتق حاصل ضرب دو تابع
مشتق ضریب دو تابع
2.5. مشتق از تابع پیچیده.
اجازه دهید تابع داده شود 
به گونه ای که بتوان آن را در قالب نمایش داد
و 
، جایی که متغیر 
پس یک استدلال میانی است 
مشتق تابع مختلط با حاصلضرب مشتق تابع داده شده نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به x برابر است.
مثال 1. 
مثال 2. 
3. تابع دیفرانسیل.
بذار باشه 
، در برخی فاصله ها قابل تمایز است 
رهایش کن در
این تابع یک مشتق دارد
,
سپس می توانیم بنویسیم
(1),
جایی که 
- یک کمیت بی نهایت کوچک،
از کی تا حالا 
ضرب تمام شرایط برابری (1) در 
ما داریم:
جایی که 
- b.m.v. مرتبه بالاتر.
اندازه 
دیفرانسیل تابع نامیده می شود 
و تعیین شده است 
.
3.1. مقدار هندسی دیفرانسیل
اجازه دهید تابع داده شود 
.
شکل 2. معنی هندسی دیفرانسیل
.
بدیهی است که دیفرانسیل تابع 
برابر است با افزایش مختصات مماس در یک نقطه معین.
3.2. مشتقات و دیفرانسیل های سفارشات مختلف.
اگر آنجا 
، سپس 
مشتق اول نامیده می شود.
مشتق مشتق اول را مشتق مرتبه دوم می گویند و نوشته می شود 
.
مشتق از مرتبه n تابع 
مشتق مرتبه (n-1) ام نامیده می شود و نوشته می شود:
.
دیفرانسیل دیفرانسیل یک تابع را دیفرانسیل دوم یا دیفرانسیل مرتبه دوم می گویند.
.
.
3.3 حل مسائل بیولوژیکی با استفاده از تمایز.
وظیفه 1. مطالعات نشان داده است که رشد یک کلونی از میکروارگانیسم ها از قانون پیروی می کند 
، جایی که ن
- تعداد میکروارگانیسم ها (به هزار) تی
- زمان (روزها).
ب) آیا جمعیت کلنی در این مدت افزایش می یابد یا کاهش می یابد؟
پاسخ. اندازه کلنی افزایش خواهد یافت.
وظیفه 2. آب دریاچه به طور دوره ای برای نظارت بر محتوای باکتری های بیماری زا آزمایش می شود. از طریق تی روز پس از آزمایش، غلظت باکتری ها با نسبت تعیین می شود
.
چه زمانی این دریاچه دارای حداقل غلظت باکتری خواهد بود و آیا می توان در آن شنا کرد؟
راه حل: یک تابع زمانی به max یا min می رسد که مشتق آن صفر باشد.
,
بیایید تعیین کنیم حداکثر یا حداقل در 6 روز خواهد بود. برای انجام این کار، بیایید مشتق دوم را در نظر بگیریم.
پاسخ: پس از 6 روز حداقل غلظت باکتری وجود خواهد داشت.
همانطور که جامعه توسعه یافت و تولید پیچیده تر شد، ریاضیات نیز توسعه یافت. حرکت از ساده به پیچیده از حسابداری معمولی با استفاده از روش جمع و تفریق با تکرار مکرر آنها به مفهوم ضرب و تقسیم رسیدیم. کاهش عملیات مکرر ضرب به مفهوم توان تبدیل شد. اولین جداول وابستگی اعداد به پایه و تعداد توان در قرن هشتم توسط ریاضیدان هندی Varasena گردآوری شد. از روی آنها می توانید زمان وقوع لگاریتم را بشمارید.
طرح تاریخی
احیای اروپا در قرن شانزدهم نیز توسعه مکانیک را تحریک کرد. تی به مقدار زیادی محاسبات نیاز داشتمربوط به ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی است. میزهای باستانی خدمات بسیار خوبی داشتند. آنها جایگزینی عملیات پیچیده با عملیات ساده تر - جمع و تفریق - را ممکن کردند. یک قدم بزرگ رو به جلو کار ریاضیدان مایکل استیفل بود که در سال 1544 منتشر شد و در آن او ایده بسیاری از ریاضیدانان را درک کرد. این امکان استفاده از جداول را نه تنها برای درجه در فرم فراهم کرد اعداد اول، بلکه برای عقلای دلخواه.
در سال 1614، جان ناپیر اسکاتلندی، با توسعه این ایده ها، برای اولین بار اصطلاح جدید "لگاریتم یک عدد" را معرفی کرد. جداول پیچیده جدیدی برای محاسبه لگاریتم سینوس ها و کسینوس ها و همچنین مماس ها تهیه شد. این کار اخترشناسان را بسیار کاهش داد.
جداول جدیدی ظاهر شدند که با موفقیت توسط دانشمندان در سراسر جهان استفاده شد سه قرن. زمان زیادی گذشت تا عملیات جدید در جبر شکل نهایی خود را به دست آورد. تعریف لگاریتم ارائه شد و خواص آن مورد مطالعه قرار گرفت.
تنها در قرن بیستم، با ظهور ماشین حساب و کامپیوتر، بشریت جداول باستانی را که در طول قرن سیزدهم با موفقیت کار می کردند، کنار گذاشت.
امروز لگاریتم b را برای مبنای a عدد x می نامیم که توان a برای ساختن b است. این به صورت یک فرمول نوشته می شود: x = log a(b).
به عنوان مثال، log 3(9) برابر با 2 خواهد بود. اگر از تعریف پیروی کنید این واضح است. اگر 3 را به توان 2 برسانیم، 9 می شود.
بنابراین، تعریف فرموله شده تنها یک محدودیت را تعیین می کند: اعداد a و b باید واقعی باشند.
انواع لگاریتم
تعریف کلاسیک لگاریتم واقعی نامیده می شود و در واقع حل معادله a x = b است. گزینه a = 1 مرزی است و مورد توجه نیست. توجه: 1 به هر توانی برابر با 1 است.
ارزش واقعی لگاریتمتنها زمانی تعریف می شود که مبنا و آرگومان بزرگتر از 0 باشد و پایه نباید برابر با 1 باشد.
جایگاه ویژه در رشته ریاضیبازی لگاریتمی که بسته به اندازه پایه آنها نامگذاری می شود:
قوانین و محدودیت ها
ویژگی اساسی لگاریتم ها این قانون است: لگاریتم یک محصول برابر با مجموع لگاریتمی است. log abp = log a(b) + log a(p).
به عنوان یک نوع از این عبارت وجود خواهد داشت: log c(b/p) = log c(b) - log c(p)، تابع ضریب برابر با تفاوت توابع است.
از دو قانون قبلی به راحتی می توان دریافت که: log a(b p) = p * log a(b).
سایر خواص عبارتند از:
اظهار نظر. نیازی به اشتباه رایج نیست - لگاریتم یک مجموع با مجموع لگاریتم ها برابر نیست.
برای قرن‌های متمادی، یافتن لگاریتم یک کار نسبتاً زمان‌بر بود. ریاضیدانان از فرمول معروف نظریه لگاریتمی انبساط چند جمله ای استفاده کردند:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)، که در آن n - عدد طبیعیبزرگتر از 1، که دقت محاسبه را تعیین می کند.
لگاریتم با پایه های دیگر با استفاده از قضیه انتقال از یک پایه به پایه دیگر و ویژگی لگاریتم حاصلضرب محاسبه شد.
از آنجایی که این روش بسیار کار بر است و هنگام حل مسائل عملیپیاده سازی دشوار است، ما از جداول لگاریتمی از پیش کامپایل شده استفاده کردیم که به طور قابل توجهی سرعت تمام کار را افزایش داد.
در برخی موارد، از نمودارهای لگاریتمی طراحی شده ویژه استفاده شد که دقت کمتری داشت، اما سرعت جستجوی مقدار مورد نظر را به میزان قابل توجهی افزایش داد. منحنی تابع y = log a(x) که بر روی چندین نقطه ساخته شده است، به شما امکان می دهد از یک خط کش معمولی برای یافتن مقدار تابع در هر نقطه دیگر استفاده کنید. مهندسان مدت زمان طولانیبرای این منظور از کاغذ گراف به اصطلاح استفاده شد.
در قرن هفدهم، اولین شرایط کمکی محاسبات آنالوگ ظاهر شد که قرن 19ظاهری تمام شده به دست آورد. موفق ترین دستگاه قانون اسلاید نام داشت. علیرغم سادگی دستگاه، ظاهر آن به طور قابل توجهی روند تمام محاسبات مهندسی را تسریع می کند، و این امر دشوار است که بیش از حد برآورد شود. در حال حاضر افراد کمی با این دستگاه آشنایی دارند.
ظهور ماشین حساب ها و کامپیوترها استفاده از هر وسیله دیگری را بی معنی کرد.
معادلات و نابرابری ها
برای حل معادلات و نابرابری های مختلف با استفاده از لگاریتم از فرمول های زیر استفاده می شود:
- حرکت از یک پایه به پایه دیگر: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- در نتیجه گزینه قبلی: log a(b) = 1 / log b(a).
برای حل نابرابری ها مفید است بدانید:
- مقدار لگاریتم تنها در صورتی مثبت خواهد بود که مبنا و آرگومان هر دو بزرگتر یا کوچکتر از یک باشند. اگر حداقل یک شرط نقض شود، مقدار لگاریتم منفی خواهد بود.
- اگر تابع لگاریتم به سمت راست و چپ نابرابری اعمال شود و پایه لگاریتم بزرگتر از یک باشد، علامت نابرابری حفظ می شود. در غیر این صورت تغییر می کند.
نمونه مشکلات
بیایید چندین گزینه برای استفاده از لگاریتم و خواص آنها در نظر بگیریم. مثال هایی با حل معادلات:
گزینه قرار دادن لگاریتم در توان را در نظر بگیرید:
- مسئله 3. 25^log 5(3) را محاسبه کنید. راه حل: در شرایط مشکل، ورودی مشابه زیر است (5^2)^log5(3) یا 5^(2 * log 5(3)). بیایید آن را متفاوت بنویسیم: 5^log 5(3*2)، یا مربع یک عدد به عنوان آرگومان تابع را می توان به عنوان مربع خود تابع نوشت (5^log 5(3))^2. با استفاده از خواص لگاریتم، این عبارت برابر با 3^2 است. پاسخ: در نتیجه محاسبه 9 به دست می آید.
استفاده عملی
به عنوان یک ابزار کاملاً ریاضی، به نظر دور از دسترس است زندگی واقعیکه لگاریتم ناگهان به دست آورد پراهمیتبرای توصیف اشیاء دنیای واقعی. یافتن علمی در جایی که از آن استفاده نمی شود دشوار است. این به طور کامل نه تنها در زمینه های دانش طبیعی، بلکه در زمینه های بشردوستانه نیز صدق می کند.
وابستگی های لگاریتمی
در اینجا چند نمونه از وابستگی های عددی آورده شده است:
مکانیک و فیزیک
از نظر تاریخی، مکانیک و فیزیک همیشه با استفاده از روش های تحقیق ریاضی توسعه یافته اند و در عین حال به عنوان انگیزه ای برای توسعه ریاضیات از جمله لگاریتم عمل کرده اند. تئوری اکثر قوانین فیزیک به زبان ریاضیات نوشته شده است. اجازه دهید تنها دو مثال از توصیف قوانین فیزیکی با استفاده از لگاریتم بیاوریم.
مشکل محاسبه چنین کمیت پیچیده ای مانند سرعت یک موشک را می توان با استفاده از فرمول Tsiolkovsky که پایه و اساس تئوری اکتشاف فضایی را ایجاد کرد، حل کرد:
V = I * ln (M1/M2)، که در آن
- V سرعت نهایی هواپیما است.
- I - ضربه خاص موتور.
- M 1 - جرم اولیه موشک.
- M 2 - جرم نهایی.
مثال مهم دیگر- این در فرمول دانشمند بزرگ دیگر ماکس پلانک استفاده می شود که برای ارزیابی حالت تعادل در ترمودینامیک استفاده می شود.
S = k * ln (Ω)، که در آن
- S – خاصیت ترمودینامیکی
- k – ثابت بولتزمن.
- Ω وزن آماری حالت های مختلف است.
علم شیمی
استفاده از فرمول های حاوی نسبت لگاریتم ها در شیمی کمتر آشکار است. اجازه دهید فقط دو مثال بزنیم:
- معادله نرنست، شرایط پتانسیل ردوکس محیط نسبت به فعالیت مواد و ثابت تعادل.
- محاسبه ثابت هایی مانند شاخص اتولیز و اسیدیته محلول نیز بدون عملکرد ما انجام نمی شود.
روانشناسی و زیست شناسی
و اصلاً مشخص نیست که روانشناسی چه ربطی به آن دارد. معلوم می شود که قدرت حس به خوبی توسط این تابع به عنوان نسبت معکوس مقدار شدت محرک به مقدار شدت کمتر توصیف می شود.
پس از مثال های بالا، دیگر جای تعجب نیست که مبحث لگاریتم ها به طور گسترده در زیست شناسی مورد استفاده قرار می گیرد. مجلدات کامل را می توان در مورد اشکال بیولوژیکی متناظر با مارپیچ های لگاریتمی نوشت.
مناطق دیگر
به نظر می رسد وجود جهان بدون ارتباط با این کارکرد ناممکن است و بر همه قوانین حاکم است. به خصوص زمانی که قوانین طبیعت مربوط به پیشرفت هندسی. ارزش مراجعه به وب سایت MatProfi را دارد و نمونه های زیادی از این دست در زمینه های فعالیت زیر وجود دارد:
لیست می تواند بی پایان باشد. با تسلط بر اصول اولیه این عملکرد، می توانید در دنیای خرد بی نهایت غوطه ور شوید.
امروز در مورد آن صحبت خواهیم کرد فرمول های لگاریتمیو ما نشان خواهیم داد نمونه های راه حل.
آنها خود الگوهای حل را با توجه به ویژگی های اصلی لگاریتم ها دلالت می کنند. قبل از استفاده از فرمول های لگاریتمی برای حل، اجازه دهید تمام ویژگی های زیر را به شما یادآوری کنیم:
حال بر اساس این فرمول ها (خواص) نشان خواهیم داد نمونه هایی از حل لگاریتم.
نمونه هایی از حل لگاریتم بر اساس فرمول.
لگاریتمعدد مثبت b برای پایه a (که با log a b مشخص می شود) توانی است که a باید به آن افزایش یابد تا b به دست آید، با b> 0، a > 0 و 1.
طبق تعریف، log a b = x، که معادل a x = b است، بنابراین log a a x = x.
لگاریتم ها، مثال ها:
log 2 8 = 3، زیرا 2 3 = 8
log 7 49 = 2، زیرا 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1، زیرا 5 -1 = 1/5
لگاریتم اعشاری- این یک لگاریتم معمولی است که پایه آن 10 است. با lg مشخص می شود.
log 10 100 = 2، زیرا 10 2 = 100
لگاریتم طبیعی- همچنین لگاریتم لگاریتم معمول، اما با پایه e (e = 2.71828... - عدد گنگ). با ln مشخص می شود.
توصیه می شود فرمول ها یا خواص لگاریتم ها را به خاطر بسپارید، زیرا بعداً هنگام حل لگاریتم، معادلات لگاریتمی و نامساوی به آنها نیاز خواهیم داشت. بیایید دوباره هر فرمول را با مثال ها بررسی کنیم.
- هویت لگاریتمی پایه
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم ها
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- ویژگی های توان یک عدد لگاریتمی و پایه لگاریتم
نماگر عدد لگاریتمی log a b m = mlog a b
نماگر پایه لگاریتم log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
اگر m = n، log a n b n = log a b دریافت می کنیم
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- انتقال به یک پایه جدید
log a b = log c b/log c a,اگر c = b، log b b = 1 را دریافت می کنیم
سپس log a b = 1/log b a
log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1
همانطور که می بینید، فرمول های لگاریتم آنقدرها که به نظر می رسد پیچیده نیستند. حال با نگاهی به نمونه هایی از حل لگاریتم می توانیم به سراغ معادلات لگاریتمی برویم. نمونه هایی از حل معادلات لگاریتمی را با جزئیات بیشتری در مقاله بررسی خواهیم کرد: "". از دست نده!
اگر هنوز در مورد راه حل سؤالی دارید، آنها را در نظرات مقاله بنویسید.
توجه: ما تصمیم گرفتیم یک کلاس آموزشی متفاوت داشته باشیم و به عنوان یک گزینه در خارج از کشور تحصیل کنیم.
