انواع نابرابری های لگاریتمی و روش های حل آنها. نابرابری های لگاریتمی

نابرابری های لگاریتمی

در درس های قبلی با معادلات لگاریتمی آشنا شدیم و اکنون می دانیم که آنها چیست و چگونه آنها را حل کنیم. درس امروز به مطالعه نابرابری های لگاریتمی اختصاص دارد. این نابرابری ها چیست و چه تفاوتی بین حل معادله لگاریتمی و نابرابری وجود دارد؟

نابرابری های لگاریتمی- اینها نابرابری هایی هستند که یک متغیر در زیر علامت لگاریتم یا در پایه آن دارند.

یا همچنین می توان گفت که نابرابری لگاریتمی نابرابری است که مقدار مجهول آن، مانند یک معادله لگاریتمی، در زیر علامت لگاریتم ظاهر می شود.

ساده ترین نابرابری های لگاریتمی به شکل زیر است:

که در آن f(x) و g(x) عباراتی هستند که به x بستگی دارند.

بیایید با استفاده از این مثال به این نگاه کنیم: f(x)=1+2x+x2، g(x)=3x−1.

حل نابرابری های لگاریتمی

قبل از حل نابرابری های لگاریتمی، شایان ذکر است که هنگام حل آنها مشابه نابرابری های نمایی هستند، یعنی:

ابتدا، هنگام حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، همچنین باید پایه لگاریتم را با یک مقایسه کنیم.

ثانیاً، هنگام حل یک نابرابری لگاریتمی با استفاده از تغییر متغیرها، باید نابرابری ها را با توجه به تغییر حل کنیم تا زمانی که ساده ترین نابرابری را بدست آوریم.

اما من و شما جنبه های مشابهی را برای حل نابرابری های لگاریتمی در نظر گرفته ایم. حالا بیایید به یک تفاوت نسبتاً مهم توجه کنیم. من و شما می دانیم که تابع لگاریتمی دامنه تعریف محدودی دارد، بنابراین، هنگام حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، باید محدوده مقادیر مجاز (ADV) را در نظر بگیریم.

یعنی باید در نظر داشت که در حل معادله لگاریتمی، من و شما می توانیم ابتدا ریشه های معادله را پیدا کنیم و سپس این راه حل را بررسی کنیم. اما حل یک نابرابری لگاریتمی به این روش کار نخواهد کرد، زیرا حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، نوشتن ODZ نابرابری ضروری است.

علاوه بر این، لازم به یادآوری است که نظریه نابرابری ها از اعداد حقیقی که اعداد مثبت و منفی هستند و همچنین از عدد 0 تشکیل شده است.

به عنوان مثال، وقتی عدد "a" مثبت است، باید از نماد زیر استفاده کنید: a >0. در این صورت هم جمع و هم حاصلضرب این اعداد نیز مثبت خواهند بود.

اصل اصلی برای حل یک نابرابری این است که آن را با یک نابرابری ساده تر جایگزین کنیم، اما نکته اصلی این است که معادل آن است. علاوه بر این، ما نیز یک نابرابری به دست آوردیم و دوباره آن را با یکی که شکل ساده تری دارد و غیره جایگزین کردیم.

هنگام حل نابرابری ها با یک متغیر، باید تمام راه حل های آن را پیدا کنید. اگر دو نامعادله دارای متغیر x یکسانی باشند، آنگاه این نامعادله ها معادل هستند، مشروط بر اینکه جواب های آنها بر هم منطبق باشد.

هنگام انجام وظایف حل نابرابری های لگاریتمی، باید به خاطر داشته باشید که وقتی a> 1 باشد، تابع لگاریتمی افزایش می یابد و زمانی که 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

روش های حل نابرابری های لگاریتمی

حال بیایید به برخی از روش هایی که هنگام حل نامساوی لگاریتمی انجام می شود نگاه کنیم. برای درک بهتر و شبیه سازی، سعی می کنیم با استفاده از مثال های خاص آنها را درک کنیم.

همه ما می دانیم که ساده ترین نابرابری لگاریتمی به شکل زیر است:

در این نابرابری، V – یکی از علائم نابرابری زیر است:<,>، ≤ یا ≥.

هنگامی که پایه یک لگاریتم معین بزرگتر از یک باشد (a>1)، انتقال از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، در این نسخه علامت نابرابری حفظ می شود و نابرابری به شکل زیر خواهد بود:

که معادل این سیستم است:

در صورتی که پایه لگاریتم بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک باشد (0

معادل این سیستم است:

بیایید نمونه های بیشتری از حل ساده ترین نابرابری های لگاریتمی نشان داده شده در تصویر زیر را بررسی کنیم:

حل مثال ها

ورزش.بیایید سعی کنیم این نابرابری را حل کنیم:

حل محدوده مقادیر قابل قبول.

حالا بیایید سعی کنیم سمت راست آن را در ضرب کنیم:

بیایید ببینیم چه چیزی می توانیم به دست آوریم:

حالا بیایید به تبدیل عبارات زیر لگاریتمی بپردازیم. با توجه به اینکه پایه لگاریتم 0 است< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

و از این نتیجه می شود که فاصله ای که به دست آوردیم کاملاً متعلق به ODZ است و راه حلی برای چنین نابرابری است.

پاسخی که گرفتیم این است:

برای حل نابرابری های لگاریتمی چه چیزی لازم است؟

حال بیایید سعی کنیم آنچه را که برای حل موفقیت آمیز نابرابری های لگاریتمی نیاز داریم تجزیه و تحلیل کنیم؟

ابتدا تمام توجه خود را متمرکز کنید و سعی کنید هنگام انجام دگرگونی هایی که در این نابرابری داده می شود اشتباه نکنید. همچنین، باید به خاطر داشت که هنگام حل این گونه نابرابری ها، باید از انبساط و انقباض نابرابری ها که می تواند منجر به از دست دادن یا دستیابی به راه حل های اضافی شود، اجتناب کرد.

ثانیاً، هنگام حل نابرابری های لگاریتمی، باید یاد بگیرید که منطقی فکر کنید و تفاوت بین مفاهیمی مانند سیستم نابرابری ها و مجموعه ای از نابرابری ها را درک کنید، تا بتوانید به راحتی راه حل های نابرابری را انتخاب کنید، در حالی که توسط DL آن هدایت می شوید.

ثالثاً، برای حل موفقیت آمیز چنین نابرابری ها، هر یک از شما باید تمام ویژگی های توابع ابتدایی را کاملاً بدانید و معنای آنها را به وضوح درک کنید. چنین توابعی نه تنها لگاریتمی، بلکه منطقی، توانی، مثلثاتی و غیره را نیز شامل می شود، در یک کلام، همه آنهایی که در طول جبر مدرسه مطالعه کردید.

همانطور که می بینید با مطالعه مبحث نابرابری های لگاریتمی، حل این نابرابری ها مشکلی ندارد، مشروط بر اینکه در رسیدن به اهداف خود دقت و پشتکار داشته باشید. برای جلوگیری از هرگونه مشکل در حل نابرابری ها، باید تا حد امکان تمرین کنید، وظایف مختلف را حل کنید و در عین حال روش های اساسی حل این نابرابری ها و سیستم های آنها را به خاطر بسپارید. اگر نتوانستید نابرابری های لگاریتمی را حل کنید، باید اشتباهات خود را به دقت تجزیه و تحلیل کنید تا در آینده دوباره به آنها باز نگردید.

مشق شب

برای درک بهتر موضوع و ادغام مطالب مطرح شده، نابرابری های زیر را حل کنید:

اهداف درس:

اموزشی:

• سطح 1 - آموزش نحوه حل ساده ترین نابرابری های لگاریتمی با استفاده از تعریف لگاریتم و ویژگی های لگاریتم.
• سطح 2 - حل نابرابری های لگاریتمی، انتخاب روش حل خود.
• سطح 3 - توانایی به کارگیری دانش و مهارت در موقعیت های غیر استاندارد.

آموزشی:تقویت حافظه، توجه، تفکر منطقی، مهارت های مقایسه، قادر به تعمیم و نتیجه گیری

آموزشی:دقت، مسئولیت برای انجام وظیفه و کمک متقابل را پرورش دهید.

روش های تدریس: کلامی , دیداری , کاربردی , جستجوی جزئی , خودگردانی , کنترل.

اشکال سازماندهی فعالیت های شناختی دانش آموزان: جلویی , شخصی , به صورت جفت کار کنید

تجهیزات: مجموعه ای از وظایف تست، یادداشت های مرجع، برگه های خالی برای راه حل ها.

نوع درس:یادگیری مطالب جدید

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.موضوع و اهداف درس، طرح درس اعلام می شود: به هر دانش آموز یک برگه ارزیابی داده می شود که دانش آموز در طول درس آن را پر می کند. برای هر جفت دانش آموز - مطالب چاپ شده با وظایف باید به صورت جفت تکمیل شود. برگه های محلول خالی؛ برگه های پشتیبانی: تعریف لگاریتم. نمودار یک تابع لگاریتمی، خواص آن؛ خواص لگاریتم؛ الگوریتم حل نابرابری های لگاریتمی

کلیه تصمیمات پس از خودارزیابی به معلم ارائه می شود.

برگه امتیاز دانش آموز

2. به روز رسانی دانش.

دستورات معلم تعریف لگاریتم، نمودار تابع لگاریتمی و خواص آن را به خاطر بیاورید. برای انجام این کار، متن صفحات 88-90، 98-101 کتاب درسی "جبر و آغاز تحلیل 10-11" ویرایش شده توسط Sh.A Alimov، Yu.M Kolyagin و دیگران را بخوانید.

به دانش آموزان برگه هایی داده می شود که روی آنها نوشته شده است: تعریف لگاریتم; نمودار یک تابع لگاریتمی و خواص آن را نشان می دهد. خواص لگاریتم؛ الگوریتم حل نابرابری های لگاریتمی، نمونه ای از حل نابرابری لگاریتمی که به یک درجه دوم کاهش می یابد.

3. مطالعه مطالب جدید.

حل نابرابری های لگاریتمی بر اساس یکنواختی تابع لگاریتمی است.

الگوریتم حل نابرابری های لگاریتمی:

الف) دامنه تعریف نابرابری را بیابید (عبارت ساب لگاریتمی بزرگتر از صفر است).
ب) (در صورت امکان) سمت چپ و راست نابرابری را به صورت لگاریتمی در یک قاعده نشان دهید.
ج) تعیین کنید که آیا تابع لگاریتمی در حال افزایش یا کاهش است: اگر t>1، سپس افزایش می یابد. اگر 0 1، سپس کاهش می یابد.
د) به سراغ یک نابرابری ساده تر بروید (عبارات زیر لگاریتمی) با در نظر گرفتن اینکه علامت نابرابری در صورت افزایش تابع ثابت می ماند و در صورت کاهش تغییر می کند.

عنصر یادگیری شماره 1.

هدف: حل ساده ترین نابرابری های لگاریتمی را ادغام کنید

شکل سازماندهی فعالیت شناختی دانش آموزان: کار فردی.

وظایف برای کار مستقل به مدت 10 دقیقه. برای هر نابرابری چندین پاسخ ممکن وجود دارد که باید پاسخ صحیح را انتخاب کنید و با استفاده از کلید آن را بررسی کنید.

KEY: 13321، حداکثر تعداد امتیاز - 6 امتیاز.

عنصر یادگیری شماره 2.

هدف: حل نابرابری های لگاریتمی را با استفاده از خواص لگاریتم تثبیت کنید.

دستورات معلم ویژگی های اصلی لگاریتم ها را به خاطر بسپارید. برای این کار متن کتاب درسی ص 92، 103–104 را مطالعه کنید.

وظایف برای کار مستقل به مدت 10 دقیقه.

کلید: 2113، حداکثر تعداد امتیاز - 8 امتیاز.

عنصر یادگیری شماره 3.

هدف: بررسی حل نابرابری های لگاریتمی با روش کاهش به درجه دوم.

دستورات معلم: روش کاهش یک نابرابری به درجه دوم این است که نابرابری را به شکلی تبدیل می کنیم که یک تابع لگاریتمی خاص با یک متغیر جدید نشان داده شود و در نتیجه یک نابرابری درجه دوم نسبت به این متغیر به دست می آید.

بیایید از روش فاصله استفاده کنیم.

شما سطح اول تسلط بر مطالب را گذرانده اید. اکنون باید به طور مستقل روشی را برای حل معادلات لگاریتمی با استفاده از تمام دانش و توانایی خود انتخاب کنید.

عنصر یادگیری شماره 4.

هدف: با انتخاب مستقل یک روش حل منطقی، راه حل نابرابری های لگاریتمی را تثبیت کنید.

وظایف برای کار مستقل به مدت 10 دقیقه

عنصر یادگیری شماره 5.

دستورات معلم آفرین! شما در حل معادلات سطح دوم پیچیدگی تسلط دارید. هدف کار بعدی شما این است که دانش و مهارت های خود را در موقعیت های پیچیده تر و غیر استاندارد به کار ببرید.

وظایف برای راه حل مستقل:

دستورات معلم اگر کل کار را انجام دهید عالی است. آفرین!

نمره کل درس به تعداد امتیازهای کسب شده برای همه عناصر آموزشی بستگی دارد:

• اگر N ≥ 20 باشد، رتبه "5" را دریافت می کنید،
• برای 16 ≤ N ≤ 19 - نمره "4"،
• برای 8 ≤ N ≤ 15 - نمره "3"،
• در N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

اوراق ارزیابی را به معلم ارسال کنید.

5. تکلیف: اگر بیش از 15 امتیاز کسب نکردید، روی اشتباهات خود کار کنید (راه حل ها را می توانید از معلم دریافت کنید)، اگر بیش از 15 امتیاز کسب کردید، یک کار خلاقانه با موضوع "نابرابری های لگاریتمی" انجام دهید.

آیا فکر می کنید که هنوز تا آزمون یکپارچه دولتی زمان باقی است و برای آماده شدن زمان خواهید داشت؟ شاید اینطور باشد. اما در هر صورت، هر چه دانش آموز زودتر آماده سازی را آغاز کند، امتحانات را با موفقیت بیشتری پشت سر می گذارد. امروز تصمیم گرفتیم مقاله ای را به نابرابری های لگاریتمی اختصاص دهیم. این یکی از وظایف است که به معنای فرصتی برای دریافت اعتبار اضافی است.

آیا از قبل می دانید لگاریتم چیست؟ ما واقعا امیدواریم. اما حتی اگر پاسخی برای این سوال ندارید، مشکلی نیست. درک اینکه لگاریتم چیست بسیار ساده است.

چرا 4؟ برای بدست آوردن 81 باید عدد 3 را به این توان برسانید. پس از درک اصل، می توانید محاسبات پیچیده تری را انجام دهید.

شما چند سال پیش نابرابری را پشت سر گذاشتید. و از آن زمان شما دائماً در ریاضیات با آنها روبرو شده اید. اگر در حل نابرابری ها مشکل دارید، بخش مربوطه را بررسی کنید.
اکنون که به صورت جداگانه با مفاهیم آشنا شدیم، به بررسی کلی آنها می پردازیم.

ساده ترین نابرابری لگاریتمی

ساده‌ترین نابرابری‌های لگاریتمی به این مثال محدود نمی‌شوند، فقط سه علامت مختلف وجود دارد. چرا این لازم است؟ برای درک بهتر نحوه حل نابرابری ها با لگاریتم. اکنون بیایید یک مثال کاربردی تر ارائه دهیم، هنوز هم کاملاً ساده است.

چگونه این را حل کنیم؟ همه چیز با ODZ شروع می شود. اگر می خواهید همیشه هر نابرابری را به راحتی حل کنید، ارزش دانستن بیشتر در مورد آن را دارد.

ODZ چیست؟ ODZ برای نابرابری های لگاریتمی

مخفف عبارت محدوده مقادیر قابل قبول است. این فرمول اغلب در وظایف آزمون یکپارچه دولتی مطرح می شود. ODZ نه تنها در مورد نابرابری های لگاریتمی برای شما مفید خواهد بود.

دوباره به مثال بالا نگاه کنید. ما ODZ را بر اساس آن در نظر می گیریم تا اصل را بفهمید و حل نابرابری های لگاریتمی سوالی ایجاد نمی کند. از تعریف لگاریتم به دست می آید که 2x+4 باید بزرگتر از صفر باشد. در مورد ما این به معنای زیر است.

این عدد طبق تعریف باید مثبت باشد. نابرابری ارائه شده در بالا را حل کنید. این را می توان حتی به صورت شفاهی انجام داد. در اینجا واضح است که X نمی تواند کمتر از 2 باشد. راه حل نابرابری، تعریف محدوده مقادیر قابل قبول خواهد بود.
حالا بیایید به حل ساده ترین نابرابری لگاریتمی برویم.

ما خود لگاریتم ها را از هر دو طرف نابرابری دور می اندازیم. در نتیجه چه چیزی برای ما باقی می ماند؟ نابرابری ساده

حلش سخت نیست X باید بزرگتر از -0.5 باشد. اکنون دو مقدار بدست آمده را در یک سیستم ترکیب می کنیم. بدین ترتیب،

این محدوده مقادیر قابل قبول برای نابرابری لگاریتمی مورد بررسی خواهد بود.

چرا اصلاً به ODZ نیاز داریم؟ این فرصتی است برای از بین بردن پاسخ های نادرست و غیرممکن. اگر پاسخ در محدوده مقادیر قابل قبول نباشد، پاسخ به سادگی معنا ندارد. این امر برای مدت طولانی ارزش یادآوری را دارد ، زیرا در آزمون یکپارچه ایالت اغلب نیاز به جستجوی ODZ وجود دارد و این نه تنها به نابرابری های لگاریتمی مربوط می شود.

الگوریتم حل نابرابری لگاریتمی

راه حل شامل چندین مرحله است. ابتدا باید محدوده مقادیر قابل قبول را پیدا کنید. دو معنی در ODZ وجود خواهد داشت که در بالا در مورد آن بحث کردیم. بعد باید خود نابرابری را حل کنیم. روش های حل به شرح زیر است:

• روش جایگزینی چند برابر؛
• تجزیه؛
• روش منطقی سازی

بسته به موقعیت، ارزش استفاده از یکی از روش های فوق را دارد. بیایید مستقیماً به راه حل برویم. بیایید محبوب ترین روش را نشان دهیم که تقریباً در همه موارد برای حل وظایف آزمون یکپارچه ایالت مناسب است. در ادامه به بررسی روش تجزیه می پردازیم. اگر با یک نابرابری خاص مواجه شدید، می تواند کمک کند. بنابراین، یک الگوریتم برای حل نابرابری لگاریتمی.

نمونه هایی از راه حل ها :

بیخود نیست که ما دقیقاً این نابرابری را گرفتیم! به پایه توجه کنید. به یاد داشته باشید: اگر بزرگتر از یک باشد، هنگام یافتن محدوده مقادیر قابل قبول، علامت ثابت می ماند. در غیر این صورت، باید علامت نابرابری را تغییر دهید.

در نتیجه، نابرابری را دریافت می کنیم:

حالا سمت چپ را به شکل معادله برابر با صفر کاهش می دهیم. به جای علامت «کمتر»، «برابر» قرار می دهیم و معادله را حل می کنیم. بنابراین، ما ODZ را پیدا خواهیم کرد. امیدواریم در حل چنین معادله ساده مشکلی نداشته باشید. پاسخ ها -4 و -2 هستند. این همش نیست. باید این نقاط را با قرار دادن «+» و «-» روی نمودار نمایش دهید. برای این کار چه باید کرد؟ اعداد را از فواصل در عبارت جایگزین کنید. در جایی که مقادیر مثبت هستند، "+" را در آنجا قرار می دهیم.

پاسخ: x نمی تواند بزرگتر از -4 و کوچکتر از -2 باشد.

ما محدوده مقادیر قابل قبول را فقط برای سمت چپ پیدا کردیم، اکنون باید محدوده مقادیر قابل قبول را برای سمت راست پیدا کنیم. این خیلی راحت تر است. پاسخ: -2. هر دو ناحیه حاصل را قطع می کنیم.

و تنها اکنون ما شروع به پرداختن به خود نابرابری می کنیم.

بیایید آن را تا حد امکان ساده کنیم تا حل آن آسان تر شود.

ما دوباره از روش فاصله در محلول استفاده می کنیم. بیایید از محاسبات بگذریم. پاسخ.

اما این روش در صورتی مناسب است که نابرابری لگاریتمی دارای پایه های یکسان باشد.

حل معادلات لگاریتمی و نامساوی با پایه های مختلف نیاز به کاهش اولیه به یک پایه دارد. در مرحله بعد از روشی که در بالا توضیح داده شد استفاده کنید. اما یک مورد پیچیده تر وجود دارد. بیایید یکی از پیچیده ترین انواع نابرابری های لگاریتمی را در نظر بگیریم.

نابرابری های لگاریتمی با پایه متغیر

چگونه می توان نابرابری ها را با چنین ویژگی هایی حل کرد؟ بله، و چنین افرادی را می توان در آزمون یکپارچه دولتی یافت. حل نابرابری ها به روش زیر نیز تاثیر مفیدی در روند آموزشی شما خواهد داشت. بیایید با جزئیات به موضوع نگاه کنیم. بیایید تئوری را کنار بگذاریم و مستقیماً به سراغ عمل برویم. برای حل نابرابری های لگاریتمی کافی است یک بار با مثال آشنا شوید.

برای حل یک نابرابری لگاریتمی شکل ارائه شده، لازم است سمت راست را به لگاریتمی با پایه یکسان کاهش دهیم. این اصل شبیه انتقال های معادل است. در نتیجه، نابرابری به این شکل خواهد بود.

در واقع، تنها چیزی که باقی می‌ماند ایجاد سیستمی از نابرابری‌ها بدون لگاریتم است. با استفاده از روش منطقی سازی، به سیستم معادلی از نابرابری ها می رویم. وقتی مقادیر مناسب را جایگزین کنید و تغییرات آنها را دنبال کنید، خود قانون را درک خواهید کرد. این سیستم دارای نابرابری های زیر خواهد بود.

هنگام استفاده از روش منطقی سازی هنگام حل نابرابری ها، باید موارد زیر را به خاطر بسپارید: یکی باید از پایه کم شود، x، با تعریف لگاریتم، از هر دو طرف نابرابری (راست از چپ) کم می شود، دو عبارت ضرب می شود. و در زیر علامت اصلی نسبت به صفر قرار دهید.

راه حل بیشتر با استفاده از روش فاصله انجام می شود، همه چیز در اینجا ساده است. برای شما مهم است که تفاوت های روش های راه حل را درک کنید، سپس همه چیز به راحتی شروع به کار می کند.

تفاوت های ظریف زیادی در نابرابری های لگاریتمی وجود دارد. حل ساده ترین آنها بسیار آسان است. چگونه می توانید هر یک از آنها را بدون مشکل حل کنید؟ شما قبلا تمام پاسخ ها را در این مقاله دریافت کرده اید. اکنون تمرین طولانی در پیش رو دارید. به طور مداوم حل انواع مسائل را در امتحان تمرین کنید و خواهید توانست بالاترین امتیاز را کسب کنید. برای شما در کار دشوار خود موفق باشید!

تعریف لگاریتمساده ترین راه برای نوشتن آن به صورت ریاضی این است:

تعریف لگاریتم را می توان به شکل دیگری نوشت:

به محدودیت هایی که بر مبنای لگاریتم اعمال می شود توجه کنید ( آ) و به عبارت زیر لگاریتمی ( ایکس). در آینده، این شرایط به محدودیت های مهمی برای OD تبدیل خواهد شد که باید در حل هر معادله با لگاریتم در نظر گرفته شود. بنابراین، در حال حاضر، علاوه بر شرایط استاندارد منجر به محدودیت در ODZ (مثبت بودن عبارات زیر ریشه توان های زوج، مخرج غیر مساوی به صفر و غیره)، شرایط زیر نیز باید در نظر گرفته شود:

• بیان زیر لگاریتمی فقط می تواند مثبت باشد.
• پایه لگاریتم فقط می تواند مثبت باشد و برابر با یک نباشد.

توجه داشته باشید که نه پایه لگاریتم و نه عبارت زیر لگاریتمی نمی توانند برابر با صفر باشند. لطفاً همچنین توجه داشته باشید که خود مقدار لگاریتمی می تواند تمام مقادیر ممکن را به خود بگیرد. لگاریتم می تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. لگاریتم ها دارای ویژگی های بسیار متفاوتی هستند که از ویژگی های توان ها و تعریف لگاریتم ناشی می شود. بیایید آنها را فهرست کنیم. بنابراین، خواص لگاریتم:

لگاریتم محصول:

لگاریتم کسری:

خارج کردن درجه از علامت لگاریتمی:

به آن دسته از آخرین ویژگی های فهرست شده که در آنها علامت مدول پس از گرفتن درجه ظاهر می شود، توجه ویژه ای داشته باشید. فراموش نکنید که هنگام قرار دادن توان زوج در خارج از علامت لگاریتم، زیر لگاریتم یا در پایه، باید علامت مدول را ترک کنید.

سایر خواص مفید لگاریتم:

آخرین ویژگی اغلب در معادلات و نابرابری های لگاریتمی پیچیده استفاده می شود. او را باید مانند بقیه به یاد آورد، اگرچه اغلب فراموش می شود.

ساده ترین معادلات لگاریتمی به صورت زیر است:

و حل آنها با فرمولی که مستقیماً از تعریف لگاریتم ناشی می شود، ارائه می شود:

ساده‌ترین معادلات لگاریتمی دیگر معادلات لگاریتمی هستند که با استفاده از تبدیل‌های جبری و فرمول‌ها و ویژگی‌های لگاریتمی فوق، می‌توان آنها را به شکل زیر تقلیل داد:

راه حل چنین معادلاتی با در نظر گرفتن ODZ به شرح زیر است:

برخی دیگر معادلات لگاریتمی با یک متغیر در پایهرا می توان به شکل زیر کاهش داد:

در چنین معادلات لگاریتمی، شکل کلی حل نیز مستقیماً از تعریف لگاریتم پیروی می کند. فقط در این مورد محدودیت های اضافی برای DZ وجود دارد که باید در نظر گرفته شود. در نتیجه، برای حل یک معادله لگاریتمی با یک متغیر در پایه، باید سیستم زیر را حل کنید:

هنگام حل معادلات لگاریتمی پیچیده تر که نمی توان آنها را به یکی از معادلات ارائه شده در بالا کاهش داد، به طور فعال نیز استفاده می شود. روش جایگزینی متغیر. طبق معمول، هنگام استفاده از این روش، باید به خاطر داشته باشید که پس از معرفی جایگزین، معادله باید ساده شود و دیگر حاوی مجهول قدیمی نباشد. همچنین باید به یاد داشته باشید که متغیرها را جایگزین معکوس کنید.

گاهی اوقات هنگام حل معادلات لگاریتمی نیز باید از آن استفاده کنید روش گرافیکی. این روش شامل ساخت نمودارهایی از توابع است که در سمت چپ و راست معادله با حداکثر دقت ممکن در یک صفحه مختصات قرار دارند و سپس مختصات نقاط تقاطع آنها را از نقشه پیدا می کند. ریشه های به دست آمده از این طریق باید با جایگزینی در معادله اصلی بررسی شوند.

هنگام حل معادلات لگاریتمی اغلب نیز مفید است روش گروه بندی. هنگام استفاده از این روش، نکته اصلی این است که: برای اینکه حاصل ضرب چند عامل برابر با صفر شود، لازم است حداقل یکی از آنها برابر با صفر باشد. و بقیه وجود داشت. هنگامی که عوامل لگاریتمی یا پرانتز با لگاریتم باشند، و نه فقط پرانتز با متغیرها مانند معادلات منطقی، خطاهای زیادی ممکن است رخ دهد. از آنجایی که لگاریتم ها محدودیت های زیادی در منطقه ای دارند که در آن وجود دارند.

هنگام تصمیم گیری سیستم های معادلات لگاریتمیاغلب شما باید از روش جایگزینی یا روش جایگزینی متغیر استفاده کنید. اگر چنین امکانی وجود داشته باشد، پس هنگام حل سیستم های معادلات لگاریتمی، باید تلاش کرد تا اطمینان حاصل شود که هر یک از معادلات سیستم به طور جداگانه به شکلی رسیده است که در آن امکان انتقال از یک معادله لگاریتمی به یک معادله لگاریتمی وجود داشته باشد. منطقی

ساده ترین نابرابری های لگاریتمی تقریباً به روش معادلات مشابه حل می شوند. ابتدا با استفاده از تبدیل‌های جبری و ویژگی‌های لگاریتم‌ها، باید سعی کنیم آنها را به شکلی برسانیم که لگاریتم‌های سمت چپ و راست نابرابری دارای پایه‌های یکسان باشند، یعنی. یک نابرابری از فرم را بدست آورید:

پس از آن باید به یک نابرابری گویا بروید، با توجه به اینکه این انتقال باید به صورت زیر انجام شود: اگر پایه لگاریتم بزرگتر از یک باشد، علامت نابرابری نیازی به تغییر ندارد، و اگر پایه لگاریتم کمتر از یک است، پس باید علامت نابرابری را به عکس تغییر دهید (این به معنای تغییر "کمتر" به "بیشتر" یا برعکس است). در این مورد، با دور زدن قوانینی که قبلاً آموخته اید، نیازی به تغییر علائم منفی به مثبت نیست. بیایید آنچه را که در نتیجه انجام چنین انتقالی به دست می آوریم به صورت ریاضی بنویسیم. اگر پایه بزرگتر از یک باشد دریافت می کنیم:

اگر پایه لگاریتم کوچکتر از یک باشد، علامت نابرابری را تغییر می دهیم و سیستم زیر را بدست می آوریم:

همانطور که می بینیم، هنگام حل نابرابری های لگاریتمی، طبق معمول، ODZ نیز در نظر گرفته می شود (این سومین شرط در سیستم های بالا است). علاوه بر این، در این مورد ممکن است به مثبت بودن هر دو عبارت زیر لگاریتمی نیاز نداشته باشیم، بلکه فقط به مثبت بودن کوچکتر از آنها نیاز داشته باشیم.

هنگام تصمیم گیری نابرابری های لگاریتمی با یک متغیر در پایهلگاریتم، لازم است هر دو گزینه را به طور مستقل در نظر بگیرید (زمانی که پایه کمتر از یک و بزرگتر از یک است) و راه حل های این موارد را در یک مجموعه ترکیب کنید. در عین حال، ما نباید DL را فراموش کنیم، یعنی. در مورد این واقعیت که هم پایه و هم تمام عبارات زیر لگاریتمی باید مثبت باشند. بنابراین، هنگام حل یک نابرابری از فرم:

مجموعه سیستم های زیر را بدست می آوریم:

نابرابری های لگاریتمی پیچیده تر را نیز می توان با استفاده از تغییرات متغیرها حل کرد. برخی از نابرابری‌های لگاریتمی دیگر (مانند معادلات لگاریتمی) برای حل نیاز به روشی دارند که لگاریتم هر دو طرف نابرابری یا معادله را به یک پایه می‌رسانند. بنابراین، هنگام انجام چنین رویه ای با نابرابری های لگاریتمی، یک ظرافت وجود دارد. لطفاً توجه داشته باشید که هنگام گرفتن لگاریتم به پایه بزرگتر از یک، علامت نابرابری تغییر نمی کند، اما اگر پایه کمتر از یک باشد، علامت نابرابری معکوس می شود.

اگر یک نابرابری لگاریتمی را نتوان به یک نابرابری منطقی کاهش داد یا با استفاده از یک جایگزین حل کرد، در این مورد باید از روش بازه تعمیم یافته، که به شرح زیر است:

• DL را تعریف کنید.
• نابرابری را طوری تبدیل کنید که در سمت راست صفر باشد (در سمت چپ، در صورت امکان، به مخرج مشترک کاهش دهید، فاکتورسازی کنید، و غیره).
• تمام ریشه های صورت و مخرج را بیابید و آنها را روی محور اعداد رسم کنید و اگر نامساوی سخت نیست، ریشه های صورت را رنگ کنید، اما در هر صورت ریشه های مخرج را به صورت نقطه چین رها کنید.
• علامت کل عبارت را در هر یک از بازه ها با جایگزین کردن عددی از یک بازه معین به نامساوی تبدیل شده پیدا کنید. در این حالت دیگر امکان تعویض علائم به هیچ وجه در هنگام عبور از نقاط محور وجود ندارد. باید علامت یک عبارت را در هر بازه با جایگزین کردن مقدار بازه به این عبارت تعیین کرد و برای هر بازه به همین ترتیب. این دیگر امکان پذیر نیست (این به طور کلی تفاوت بین روش فاصله عمومی و معمول است).
• محل تقاطع ODZ و فواصلی را که نابرابری را برآورده می کنند، پیدا کنید، اما نقاط تکی را که نابرابری را برآورده می کنند (ریشه های عدد در نامعادله های غیر دقیق) از دست ندهید، و فراموش نکنید که تمام ریشه های نابرابری را از پاسخ حذف کنید. مخرج در همه نابرابری ها

• بازگشت
• رو به جلو

چگونه برای CT در فیزیک و ریاضیات با موفقیت آماده شویم؟

برای آمادگی موفقیت آمیز برای CT در فیزیک و ریاضیات، از جمله موارد دیگر، رعایت سه شرط مهم ضروری است:

1. همه مباحث را مطالعه کنید و تمام تست ها و تکالیف ارائه شده در مطالب آموزشی این سایت را تکمیل کنید. برای انجام این کار، به هیچ چیز نیاز ندارید، یعنی: هر روز سه تا چهار ساعت را به آماده شدن برای سی تی در فیزیک و ریاضیات، مطالعه تئوری و حل مسائل اختصاص دهید. واقعیت این است که سی تی امتحانی است که در آن فقط دانستن فیزیک یا ریاضی کافی نیست، بلکه باید بتوانید آن را سریع و بدون شکست حل کنید. تعداد زیادی ازوظایف در موضوعات مختلف و پیچیدگی های مختلف. دومی را فقط با حل هزاران مشکل می توان آموخت.
2. تمام فرمول ها و قوانین در فیزیک و فرمول ها و روش ها در ریاضیات را بیاموزید. در واقع، انجام این کار نیز بسیار ساده است، فرمول های لازمدر فیزیک فقط حدود 200 قطعه وجود دارد و در ریاضیات حتی کمی کمتر. در هر یک از این موضوعات حدود دوازده روش استاندارد برای حل مسائل با سطح پیچیدگی اولیه وجود دارد که می توان آنها را نیز یاد گرفت و بنابراین کاملاً خودکار و بدون مشکل حل کرد. لحظه مناسباکثر DH. پس از این، فقط باید به سخت ترین کارها فکر کنید.
3. در هر سه مرحله تست تمرینی فیزیک و ریاضی شرکت کنید. هر RT را می توان دو بار برای تصمیم گیری در مورد هر دو گزینه بازدید کرد. باز هم در CT علاوه بر توانایی حل سریع و کارآمد مسائل و دانش فرمول ها و روش ها، باید بتوانید زمان را به درستی برنامه ریزی کنید، نیروها را توزیع کنید و مهمتر از همه، فرم پاسخ را به درستی پر کنید. گیج کردن تعداد پاسخ ها و مشکلات یا نام خانوادگی خودتان. همچنین، در طول RT، مهم است که به سبک سوال پرسیدن در مسائل عادت کنید، که ممکن است برای یک فرد ناآماده در DT بسیار غیر معمول به نظر برسد.

اجرای موفقیت آمیز، سخت کوش و مسئولانه این سه نکته به شما امکان می دهد در CT ظاهر شوید نتیجه عالی، حداکثر توانایی شما.

اشتباهی پیدا کردی؟

اگر فکر می کنید خطایی در آن پیدا کرده اید مواد آموزشی، سپس لطفاً از طریق ایمیل در مورد آن بنویسید. همچنین می توانید یک اشکال را به آن گزارش دهید شبکه اجتماعی(). در نامه موضوع (فیزیک یا ریاضی)، نام یا شماره مبحث یا تست، شماره مسئله و یا جایی در متن (صفحه) که به نظر شما خطایی وجود دارد را مشخص کنید. همچنین توضیح دهید که خطای مشکوک چیست. نامه شما بی توجه نمی ماند، یا خطا تصحیح می شود، یا به شما توضیح داده می شود که چرا اشتباه نیست.