Що називається основою логарифму. Визначення логарифму та його властивості: теорія та вирішення завдань

Логарифмічні вирази, розв'язання прикладів. У цій статті ми розглянемо завдання, пов'язані з вирішенням логарифмів. У завданнях порушується питання про знаходження значення висловлювання. Потрібно відзначити, що поняття логарифму використовується в багатьох завданнях і розуміти його сенс є вкрай важливим. Що стосується ЄДІ, то логарифм використовується при вирішенні рівнянь, у прикладних завданнях, а також у завданнях пов'язаних із дослідженням функцій.

Наведемо приклади для розуміння самого змісту логарифму:

Основне логарифмічне тотожність:

Властивості логарифмів, які необхідно завжди пам'ятати:

*Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.

* * *

*Логарифм приватного (дробу) дорівнює різниці логарифмів співмножників.

* * *

*Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм його заснування.

* * *

*Перехід до нової основи

* * *

Ще властивості:

* * *

Обчислення логарифмів тісно пов'язані з використанням властивостей показників ступеня.

Перерахуємо деякі з них:

Суть даної властивостіполягає в тому, що при перенесенні чисельника у знаменник і навпаки, знак показника ступеня змінюється на протилежний. Наприклад:

Наслідок з цієї властивості:

* * *

При зведенні ступеня в ступінь основа залишається незмінною, а показники перемножуються.

* * *

Як ви переконалися саме поняття логарифму нескладне. Головне те, що потрібна гарна практика, яка дає певну навичку. Вочевидь знання формул обов'язково. Якщо навичка у перетворенні елементарних логарифмів не сформована, то при вирішенні простих завдань можна легко припуститися помилки.

Практикуйтесь, вирішуйте спочатку найпростіші приклади з курсу математики, потім переходьте до складніших. У майбутньому обов'язково покажу, як вирішуються «страшні» логарифми, таких на ЄДІ не буде, але вони становлять інтерес, не пропустіть!

На цьому все! Успіху Вам!

З повагою, Олександр Крутицьких

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

274. Зауваження.

а)Якщо у виразі, який потрібно обчислити, зустрічається сумаабо різницячисел, їх треба знаходити без допомоги таблиць звичайним додаваннямчи відніманням. Напр.

log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

б)Вміючи логарифмувати вирази, ми можемо, назад, за цим результатом логарифмування знайти вираз, від якого вийшов цей результат; так, якщо

log х= log a+ log b- 3 log з,

то легко збагнути, що

в)Перш ніж перейти до розгляду устрою логарифмічних таблиць, ми вкажемо деякі властивості десяткових логарифмів, тобто. таких, у яких за основу прийнято число 10 (тільки такі логарифми використовуються для обчислень).

Розділ другий.

Властивості десяткових логарифмів.

275 . а) Так як 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 і т. д., то log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, т.д.

Значить, логарифм цілого числа, що зображується одиницею з нулями, є ціле позитивне число, що містить стільки одиниць, скільки нулів у зображенні числа.

Таким чином: log 100000 = 5, log 1000 000 = 6 , і т.д.

б) Так як

log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4,і т.д.

Значить, логарифм десяткового дробу, що зображується одиницею з попередніми нулями, є ціле негативне число містить стільки негативних одиниць, скільки нулів у зображенні дробу, вважаючи навіть 0 цілих.

Таким чином: log 0,00001 = - 5, log 0,000001 = -6,і т.д.

в)Візьмемо ціле число, яке не зображується одиницею з нулями, напр. 35 або ціле число з дробом, напр. 10,7. Логарифм такого числа не може бути цілим числом, оскільки, піднявши 10 ступінь з цілим показником (позитивним або негативним), ми отримаємо 1 з нулями (наступними за 1, або їй попередніми). Припустимо тепер, що логарифм такого числа є якийсь дріб a / b . Тоді ми мали б рівність

Але ці рівності неможливі, як 10а є 1 з нулями, тоді як ступеня 35b і 10,7b ні за якого показника b не можуть дати 1 з нулями. Отже, не можна допустити, щоб log 35і log 10,7дорівнювали дробам. Але з властивостей логарифмічної функції ми знаємо (), що будь-яке позитивне число має логарифм; отже, кожне з чисел 35 і 10,7 має свій логарифм, і оскільки він не може бути ні числом цілим, ні числом дробовим, тобто число ірраціональне і, отже, не може бути виражений точно за допомогою цифр. Зазвичай ірраціональні логарифми виражають приблизно у вигляді десяткового дробу з кількома десятковими знаками. Ціла кількість цього дробу (хоча б це було „0 цілих") називається характеристикоюа дробова частина - мантисою логарифму. Якщо, наприклад, логарифм є 1,5441 , то характеристика його дорівнює 1 , а мантіса є 0,5441 .

г)Візьмемо якесь ціле чи змішане число, напр. 623 або 623,57 . Логарифм такого числа складається з характеристики та мантиси. Виявляється, що десяткові логарифми мають ту зручність, що характеристику їх ми завжди можемо знайти за одним видом числа . Для цього порахуємо, скільки цифр у даному цілому числі, або в цілій частині змішаного числа. У наших прикладах цих цифр 3 . Тому кожне з чисел 623 і 623,57 більше 100 але менше 1000; значить, і логарифм кожного з них більший log 100, тобто більше 2 , але менше log 1000, тобто менше 3 (Згадаймо, що більше має і більший логарифм). Отже, log 623 = 2,..., і log 623,57 = 2,... (крапки замінюють собою невідомі мантиси).

Подібно до цього знайдемо:

Нехай взагалі в цій цілій кількості, або в цілій частині даного змішаного числа, міститься m цифр. Оскільки щонайменше ціле число, що містить m цифр, є 1 з m - 1 нулями на кінці, то (позначаючи це число N) можемо написати нерівності:

і, отже,

m - 1 < log N < m ,

log N = ( m - 1) + позитивний дріб .

Отже, характеристика logN = m - 1 .

Ми бачимо таким чином, що характеристика логарифму цілого чи змішаного числа містить стільки позитивних одиниць, скільки цифр у цілій частині числа без однієї.

Помітивши це, ми можемо прямо писати:

log 7,205 = 0, ...; log 83 = 1, ...; log 720,4 = 2,...і т.п.

д)Візьмемо кілька десяткових дробів, менших 1 (т. е. мають 0 цілих): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, і т.п.

Таким чином, кожен із цих логарифмів укладений між двома цілими негативними числами, що розрізняються на одну одиницю; тому кожен із них дорівнює меншому з цих негативних чисел, збільшеному на деякий позитивний дріб. напр. log0,0056 = -3 + позитивний дріб. Припустимо, що цей дріб буде 0,7482. Тоді, значить:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Такі суми, як - 3 + 0,7482 , Що складаються з цілого негативного числа.і позитивного десяткового дробу, умовилися при логарифмічних обчисленнях писати скорочено так: 3 ,7482 (Таке число читається: 3 з мінусом, 7482 десятитисячні.), тобто ставлять знак мінус над характеристикою з метою показати, що він відноситься тільки до цієї характеристики, а не до мантиси, яка залишається позитивною. Таким чином, із наведеної вище таблички видно, що

log 0,35 == 1, ....; log 0,07 = 2, ....; log 0,0008 = 4,.

Нехай взагалі . є десятковий дріб, у якого перед першим значущою цифрою α стоїть m нулів, рахуючи навіть 0 цілих. Тоді, очевидно, що

- m < log A < - (m- 1).

Бо з двох цілих чисел: - m і - (m- 1) менше є - m , то

log А = - m+ позитивний дріб,

і тому характеристика log А = - m (При позитивній мантисі).

Таким чином, характеристика логарифму десяткового дробу, меншого 1, містить у собі стільки негативних одиниць, скільки нулів у зображенні десяткового дробу перед першою значущою цифрою, вважаючи в тому числі і нуль цілих; мантиса ж такого логарифму позитивна.

е)Помножимо якесь число N(ціле або дробове - все одно) на 10, на 100 на 1000 ..., взагалі на 1 з нулями. Подивимося, як від цього зміниться log N. Оскільки логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників, то

log (N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log (N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log (N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3;і т.д.

Коли до log Nми додаємо якесь ціле число, то це число ми може завжди додавати до характеристики, а не до мантиси.

Тож якщо log N = 2,7804, то 2,7804 + 1 =3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 тощо;

або якщо log N = 3,5649, то 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649, тощо.

Від множення числа на 10, 100, 1000,.., взагалі на 1 з нулями, мантиса логарифма не змінюється, а характеристика збільшується на стільки одиниць, скільки нулів у множнику .

Подібно до цього, взявши до уваги, що логарифм приватного дорівнює логарифмуділимого без логарифму дільника, ми отримаємо:

log N/10 = log N-log 10 = log N -1;

log N/100 = log N-log 100 = log N -2;

log N/1000 = log N-log 1000 = log N -3;і т.п.

Якщо умовимося при відніманні цілого числа з логарифму віднімати це ціле число завжди з характеристики, а мантису залишати без зміни, то можна сказати:

Від розподілу числа на 1 з нулями мантиса логарифма не змінюється, а характеристика зменшується на стільки одиниць, скільки нулів у дільнику.

276. Наслідки.З якості ( е) можна вивести такі два наслідки:

а) Мантіса логарифму десяткового числа не змінюється від перенесення в числі коми , Тому що перенесення коми рівносильне множенню або поділу на 10, 100, 1000 і т. д. Таким чином, логарифми чисел:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

відрізняються лише характеристиками, але з мантисами (за умови, що це мантиси позитивні).

б) Мантиси чисел, що мають ту саму значну частину, але відрізняються тільки нулями на кінці, однакові: так, логарифми чисел: 23, 230, 2300, 23 000 відрізняються лише характеристиками.

Зауваження. З зазначених властивостей десяткових логарифмів видно, що характеристику логарифму цілого числа та десяткового дробу ми можемо знаходити без допомоги таблиць (у цьому полягає велика зручність десяткових логарифмів); внаслідок цього в логарифмічних таблицях містяться лише одні мантиси; крім того, оскільки знаходження логарифмів дробів зводиться до знаходження логарифмів цілих чисел (логарифм дробу = логарифму чисельника без логарифму знаменника), то таблицях містяться мантиси логарифмів тільки цілих чисел.

Розділ третій.

Влаштування та вживання чотиризначних таблиць.

277. Системи логарифмів.Системою логарифмів називається сукупність логарифмів, обчислених для низки послідовних цілих чисел з однієї й тому підставі. Вживаються дві системи: система звичайних чи десяткових логарифмів, у яких за основу взято число 10 , і система так званих натуральних логарифмів, у яких за основу (з деяких причин, які усвідомлюються в інших відділах математики) взято ірраціональне число 2,7182818 ... Для обчислень використовуються десяткові логарифми, внаслідок тих зручностей, які ми вказані, коли ми перераховували властивості таких логарифмів.

Натуральні логарифми називаються також Неперовими на ім'я винахідника логарифмів, шотландського математика Непера(1550-1617 рр.), а десяткові логарифми - Бриггові на ім'я професора Брігга(Сучасника і друга Непера), вперше склав таблиці цих логарифмів.

278. Перетворення негативного логарифму на такий, у якого мантиса позитивна, і зворотне перетворення. Ми бачили, що логарифми чисел, менших за 1, негативні. Значить, вони складаються з негативної характеристики та негативної мантиси. Такі логарифми завжди можна перетворити так, що у них мантиса буде позитивною, а характеристика залишиться негативною. Для цього достатньо додати до мантиси позитивну одиницю, а до характеристики негативну (від чого, звичайно, величина логарифму не зміниться).

Якщо, наприклад, ми маємо логарифм - 2,0873 , то можна написати:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

або скорочено:

Назад, будь-який логарифм з негативною характеристикою та позитивною мантисою можна перетворити на негативний. Для цього достатньо до позитивної мантиси прикласти негативну одиницю, а до негативної характеристики - позитивну: так, можна написати:

279. Опис чотиризначних таблиць.Для вирішення більшості практичних завдань цілком достатні чотиризначні таблиці, поводження з якими дуже просто. Таблиці ці (з написом на верху їх „логарифми”) поміщені наприкінці цієї книги, а невелика частина їх (для пояснення розташування) надрукована на цій сторінці, що містить мантиси.

Логарифми.

логарифмів всіх цілих чисел від 1 до 9999 включно, обчислені з чотирма десятковими знаками, причому останній із цих знаків збільшено на 1 у всіх випадках, коли 5-й десятковий знак мав би виявитися 5 чи більше 5; отже, 4-значні таблиці дають наближені мантиси з точністю до 1 / 2 десятитисячної частки (з нестачею чи з надлишком).

Так як характеристику логарифму цілого числа або десяткового дробу ми можемо, на підставі властивостей десяткових логарифмів, проставити безпосередньо, то з таблиць повинні взяти тільки мантиси; при цьому треба згадати, що положення коми в десятковому числі, і навіть число нулів, що стоять наприкінці числа, немає впливу величину мантиси. Тому при знаходженні мантиси по даному числуми відкидаємо в тому числі кому, а також і нулі на кінці його, якщо такі є, і знаходимо мантису утвореного після цього цілого числа. При цьому можуть бути такі випадки.

1) Ціле число складається із 3-х цифр.Наприклад, нехай треба знайти мантису логарифму числа 536. Перші дві цифри цього числа, тобто 53, знаходимо в таблицях у першому зліва вертикальному стовпці (див. таблицю). Знайшовши число 53, просуваємось від нього по горизонтальному рядку вправо до перетину цього рядка з вертикальним стовпцем, що проходить через ту з цифр 0, 1, 2, 3,... 9, поставлених нагорі (і внизу) таблиці, яка є 3- ю цифру даного числа, т. е. у прикладі цифру 6. У перетині отримаємо мантису 7292 (т. е. 0,7292), що належить логарифму числа 536. Подібно до цього для числа 508 знайдемо мантису 0,7059, для числа 50 0,6990 тощо.

2) Ціле число складається з 2-х чи 1-ї цифри.Тоді подумки приписуємо до цього числу один або два нулі і знаходимо мантису для тризначного числа, що утворився таким чином. Напр., до 51 приписуємо один нуль, від чого отримуємо 510 і знаходимо мантису 7070; до числа 5 приписуємо 2 нуля і знаходимо мантису 6990 і т.д.

3) Ціла кількість виражається 4 цифрами.Напр., треба визначити мантису log 5436. Тоді спочатку знаходимо в таблицях, як було зазначено, мантису для числа, зображеного першими трьома цифрами цього числа, т. е. для 543 (ця мантиса буде 7348); потім просуваємося від знайденої мантиси по горизонтальному рядку направо (у праву частину таблиці, розташовану за жирною вертикальною рисою) до перетину з вертикальним стовпцем, що проходить через ту із цифр: 1, 2 3,... 9, що стоять на верху (і внизу ) цієї частини таблиці, яка є 4-ю цифрою даного числа, тобто в нашому прикладі цифру 6. У перетині знаходимо поправку (число 5), яку треба прикласти в розумі до мантиси 7348, щоб отримати мантису числа 5436; ми отримаємо таким чином мантису 0,7353.

4) Ціле число виражається 5 чи більше цифрами.Тоді відкидаємо всі цифри, крім перших 4-х, і беремо наближене чотиризначне число, причому останню цифру збільшуємо на 1 в тому. у випадку, коли відкидається 5-а цифра числа є 5 або більше 5. Так, замість 57842 ми беремо 5784, замість 30257 беремо 3026, замість 583263 беремо 5833 тощо. Для цього округленого чотиризначного числа знаходимо мантису так, як було пояснено.

Керуючись цими вказівками, знайдемо для прикладу логарифми наступних чисел:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Насамперед, не звертаючись до таблиць, проставимо одні характеристики, залишаючи місце для мантис, які випишемо після:

log 36,5 = 1, .... log 0,00345 = 3,.

log 804,7 = 2,.... log 7,2634 = 0,....

log 0,26 = 1,.... log 3456,86 = 3,....

log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.

280. Зауваження. У деяких чотиризначних таблицях (напр., у таблицях В. Лорченко та Н. Оглобліна, С. Глазенапа, Н. Каміньщикова) поправки на 4 цифру даного числа не вміщені. Маючи справу з такими таблицями, доводиться ці поправки знаходити за допомогою простого обчислення, яке можна виконувати на підставі наступної істини: якщо числа перевищують 100, а різниці між ними менше 1, то без чутливої ​​похибки можна прийняти, що різниці між логарифмами пропорційні різницям між відповідними числами . Нехай, напр., треба знайти мантису, що відповідає числу 5367. Мантісса ця, звичайно, та сама, що і для числа 536,7. Знаходимо в таблицях для числа 536 мантису 7292. Порівнюючи цю мантису з сусідньою праворуч мантисою 7300, що відповідає числу 537, ми помічаємо, що якщо число 536 збільшиться на 1, то мантиса його збільшиться на 8 десятитисячних (8 таблічна різницяміж двома сусідніми мантисами); якщо ж число 536 збільшиться на 0,7, то його мантиса збільшиться не на 8 десятитисячних, а на деяке менше х десятитисячне, яке, відповідно до допущеної пропорційності, має задовольняти пропорції:

х : 8 = 0,7: 1; звідки х = 8 07 = 5,6,

що за округленням становить 6 десятитисячних. Отже, мантиса для числа 536,7 (і отже, для числа 5367) буде: 7292 + 6 = 7298.

Зауважимо, що перебування за двома рядами числа проміжного числа, що стоять у таблицях, називається інтерполювання.Інтерполювання, описане тут, називається пропорційним, оскільки воно засноване на припущенні, що зміна логарифму пропорційна до зміни числа. Воно називається також лінійним, оскільки передбачає, що графічно зміна логарифмічної функції виражається прямою лінією.

281. Межа похибки наближеного логарифму.Якщо число, якого логарифм відшукується, є число точне, то за межу похибки його логарифму, знайденого але 4-значним таблицям, можна прийняти, як ми говорили в , прийняти 1 / 2 десятитисячної частки. Якщо ж це число не точне , то до цієї межі похибки ще треба додати межу іншої похибки, що походить від неточності самого числа. Доведено (ми опускаємо цей доказ), що за таку межу можна прийняти твір

a(d +1) десятитисячних.,

в котрому а є межа похибки самого неточного числа у припущенні, що у його цілій частині взято 3 цифри, a d таблична різниця мантис, що відповідають двом послідовним тризначним числам, між якими полягає дане неточне число. Таким чином, межа остаточної похибки логарифму висловиться тоді формулою:

1 / 2 + a(d +1) десятитисячних

приклад. Знайти log π , приймаючи за π наближене число 3,14, точне до 1 / 2 сотий.

Перенісши в числі 3,14 ком після 3-ї цифри, вважаючи зліва, ми отримаємо тризначне число 314, точне до 1 / 2 одиниці; значить, межа похибки неточного числа, тобто те, що ми позначили буквою а , єгь 1 / 2 З таблиць знаходимо:

log 3,14 = 0,4969.

Таблична різниця d між мантисами чисел 314 і 315 дорівнює 14, тому похибка знайденого логарифму буде меншою

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 десятитисячних.

Так як про логарифм 0,4969 ми не знаємо, чи з недоліком він чи з надлишком, то можемо тільки ручатися, що точний логарифм π полягає між 0,4969 - 0,0008 та 0,4969 + 0,0008, тобто 0,4961< log π < 0,4977.

282. Знайти число за цим логарифмом. Для знаходження числа з цього логарифму можуть бути самі таблиці, якими перебувають мантиси даних чисел; але зручніше користуватися іншими таблицями, у яких вміщено звані антилогарифмы, т. е. числа, відповідні даним мантисам. Таблиці ці, позначені написом зверху „антилогарифми", поміщені наприкінці цієї книги слідом за таблицями логарифмів; невелика частина їх поміщена на цій сторінці (для пояснення).

Нехай дана 4-значна мантіса 2863 (на характеристику не звертаємо уваги) і потрібно знайти відповідне ціле число. Тоді, маючи таблиці антилогарифмів, треба користуватися ними так само, як було раніше пояснено для знаходження мантис за цим числом, а саме: перші 2 цифри мантиси ми знаходимо в першому зліва стовпці. Потім просуваємось від цих цифр по горизонтальному рядку вправо до перетину з вертикальним стовпцем, що йде від 3-ї цифри мантиси, яку треба шукати у верхньому рядку (або в нижньому). У перетині знаходимо чотиризначне число 1932, відповідне мантисі 286. Потім від цього числа просуваємось далі по горизонтальному рядку направо до перетину з вертикальним стовпцем, що йде від 4-ї цифри мантиси, яку треба знайти нагорі (або внизу) серед поставлених там цифр 1 , 3, ... 9. У перетині ми знаходимо поправку 1, яку треба докласти (в розумі) до знайденого раніше числа 1032, щоб отримати число, що відповідає мантисі 2863.

Таким чином, число це буде 1933 року. Після цього, звертаючи увагу на характеристику, треба в числі 1933 року поставити зайняту на належному місці. Наприклад:

якщо log x = 3,2863, то х = 1933,

„ log x = 1,2863, „ х = 19,33,

, log x = 0,2&63, „ х = 1,933,

„ log x = 2 ,2863, „ х = 0,01933

Ось ще приклади:

log x = 0,2287, х = 1,693,

log x = 1 ,7635, х = 0,5801,

log x = 3,5029, х = 3184,

log x = 2 ,0436, х = 0,01106.

Якщо в мантисі вказано 5 або більше цифр, то беремо лише перші 4 цифри, відкидаючи інші (і збільшуючи 4 цифру на 1, якщо 5 цифра є п'ять або більше). Напр., замість мантиси 35478 беремо 3548, замість 47562 беремо 4756.

283. Зауваження.Поправку на 4-ту та наступні цифри мантиси можна знаходити і за допомогою інтерполювання. Так, якщо мантиса буде 84357, то, знайшовши число 6966, відповідне мантисі 843 ми можемо міркувати далі так: якщо мантиса збільшується на 1 (тисячну), тобто зробить 844, то число, як видно з таблиць, збільшиться на 1 одиниць; якщо ж мантиса збільшиться не так на 1 (тисячну), але в 0,57 (тисячної), то число збільшиться на х одиниць, причому х має задовольняти пропорції:

х : 16 = 0,57: 1, звідки х = 16 0,57 = 9,12.

Отже, число, що шукається, буде 6966+ 9,12 = 6975,12 або (обмежуючись лише чотирма цифрами) 6975.

284. Межа похибки знайденого числа.Доведено, що в тому випадку, коли в знайденому числі кома стоїть після 3-ї цифри зліва, тобто коли характеристика логарифму є 2, за межу похибки можна прийняти суму

де а є межа похибки логарифму (виражений у десятитисячних частках), яким знаходилося число, і d - Різниця між мантисами двох тризначних послідовних чисел, між якими полягає знайдене число (з комою після 3-ї цифри зліва). Коли характеристика буде не 2, а якась інша, то в знайденому числі кому доведеться перенести вліво або вправо, тобто розділити або помножити число на деякий ступінь 10. При цьому похибка результату також розділиться або помножиться на той же ступінь 10.

Нехай, наприклад, ми знаходимо число за логарифмом 1,5950 , Про яке відомо, чого він точний до 3 десятитисячних; значить, тоді а = 3 . Число, що відповідає цьому логарифму, знайдене за таблицею антилогарифмів, є 39,36 . Перенісши кому після 3-ї цифри зліва, матимемо число 393,6 , що полягає між 393 і 394 . З таблиць логарифмів бачимо, що різниця між мантисами, що відповідають цим двом числам, становить 11 десятитисячних; значить d = 11 . Похибка числа 393,6 буде меншою

Отже, похибка числа 39,36 буде менше 0,05 .

285. Дії над логарифмами із негативними характеристиками.Додавання і віднімання логарифмів не становлять жодних труднощів, як це видно з наступних прикладів:

Не уявляє жодних труднощів також і множення логарифму на позитивне число, напр.:

В останньому прикладі окремо помножено позитивну мантису на 34, потім негативна характеристикана 34.

Якщо логарифм про негативну характеристику і позитивну мантису множиться на негативне число, то надходять двояко: або попередньо даний логарифм звертають в негативний, або множать окремо мантису і характеристику і результати з'єднують разом, наприклад:

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

При розподілі можуть бути два випадки: 1) негативна характеристика ділиться та 2) не поділяється на дільник. У першому випадку окремо ділять характеристику та мантису:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

У другому випадку додають до характеристики стільки негативних одиниць, щоб число, що утворилося, ділилося на дільник; до мантиси додають стільки ж позитивних одиниць:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Це перетворення треба здійснювати в умі, так що дія розташовується так:

286. Заміна віднімаються логарифмів доданками.При обчисленні якогось складного виразу допомогою логарифмів доводиться деякі логарифми складати, інші віднімати; у разі, при звичайному методі здійснення дій, знаходять окремо суму доданків логарифмів, потім суму віднімаються і з першої суми віднімають другу. Напр., якщо маємо:

log х = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

то звичайне виконання процесів розташується так:

Є однак можливість замінити віднімання додаванням. Так:

Тепер можна розмістити обчислення так:

287. Приклади обчислень.

Приклад 1. Обчислити вираз:

якщо А = 0,8216, = 0,04826, С = 0,005127і D = 7,246.

Логарифмуємо даний вираз:

log х= 1 / 3 log A + 4 log В - 3 log С - 1 / 3 log D

Тепер, щоб уникнути зайвої втрати часу і зменшення можливості помилок, передусім розташуємо всі обчислення, не виконуючи поки що їх і звертаючись, отже, до таблиць:

Після цього беремо таблиці та проставляємо логарифми на залишених вільних місцях:

Межа похибки.Спочатку знайдемо межу похибки числа x 1 = 194,5 , рівний:

Отже, перш за все треба знайти а т. е. межа похибки наближеного логарифму, виражений у десятитисячних частках. Припустимо, що дані числа А, В, Сі Dвсі точні. Тоді похибки в окремих логарифмах будуть такі (у десятитисячних частках):

в logА.......... 1 / 2

в 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 додана тому, що при розподілі на 3 логарифми 1,9146 ми округлили приватне, відкинувши 5-у цифру його, і, отже, зробили ще помилку, меншу 1 / 2 десятитисячний).

Тепер знаходимо межу похибки логарифму:

а = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (Десятитисячних).

Визначимо далі d . Так як x 1 = 194,5 , то 2 цілих послідовних числа, між якими полягає x 1 будуть 194 і 195 . Таблична різниця d між мантисами, що відповідають цим числам, дорівнює 22 . Значить, межа похибки числа x 1 є:

Так як x = x 1 : 10, то межа похибки в числі x дорівнює 0,3:10 = 0,03 . Таким чином, знайдене нами число 19,45 відрізняється від точного числа менш, ніж на 0,03 . Так як ми не знаємо, з нестачею чи з надлишком знайдено наше наближення, то можемо тільки ручатися, що

19,45 + 0,03 > х > 19,45 - 0,03 , тобто.

19,48 > х > 19,42 ,

і тому, якщо приймемо х =19,4 , То будемо мати наближення з недоліком з точністю до 0,1.

приклад 2.Обчислити:

х = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Оскільки негативні числа немає логарифмів, то попередньо знаходимо:

х" = (2,31) 3 5 √72

з розкладання:

log х"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.

Після обчислення виявиться:

х" = 28,99 ;

отже,

x = - 28,99 .

Приклад 3. Обчислити:

Суцільного логарифмування тут застосувати не можна, так як під знаком кореня стоїть розуму. У таких випадках обчислюють формулу частинами.

Спочатку знаходимо N = 5 √8 , потім N 1 = 4 √3 ; далі простим додаванням визначаємо N+ N 1 , і, нарешті, обчислюємо 3 √N+ N 1 ; виявиться:

N = 1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

log x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2,830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

Розділ четвертий.

Показові та логарифмічні рівняння.

288. Показовими рівняннями називаються такі, у яких невідоме входить до показника ступеня, а логарифмічними- такі, у яких невідоме входить під знаком log. Такі рівняння можуть бути дозволені тільки в окремих випадках, причому доводиться ґрунтуватися на властивостях логарифмів і на тому початку, що коли числа рівні, то рівні та їх логарифми, і, якщо логарифми рівні, то рівні і відповідні їм числа.

приклад 1.Вирішити рівняння: 2 x = 1024 .

Логарифмуємо обидві частини рівняння:

приклад 2.Вирішити рівняння: a 2x - a x = 1 . Поклавши a x = у , отримаємо квадратне рівняння:

y 2 - у - 1 = 0 ,

Так як 1-√5 < 0 , то останнє рівняння неможливе (функція a x завжди є число позитивне), а перше дає:

приклад 3.Вирішити рівняння:

log ( а + x) + log ( b + х) = log ( з + x) .

Рівняння можна написати так:

log [( а + x) (b + х)] = log ( з + x) .

З рівності логарифмів укладаємо про рівність чисел:

(а + x) (b + х) = з + x .

Це є квадратне рівняння, рішення якого не становить труднощів.

Розділ п'ятий.

Складні відсотки, термінові сплати та строкові внески.

289. Основне завдання складні відсотки.В яку суму звернеться капітал а рублів, відданий у зростання по р складних відсотків, по закінченні t років ( t - ціле число)?

Кажуть, що капітал віддано за складними відсотками, якщо беруться до уваги так звані „відсотки на відсотки”, тобто якщо належні на капітал відсоткові гроші приєднуються наприкінці кожного року до капіталу для нарощення їх відсотками у наступні роки.

Кожен рубль капіталу, відданого по р %, протягом одного року принесе прибутки p / 100 рубля, і, отже, кожен рубль капіталу через 1 рік звернеться до 1 + p / 100 рубля (напр., якщо капітал віддано по 5 % , то кожен карбованець його через рік звернеться в 1 + 5 / 100 , тобто в 1,05 рубля).

Позначивши для стислості дріб p / 100 однією буквою, напр, r , можемо сказати, що кожен рубль капіталу через рік звернеться в 1 + r рублів; отже, а рублів звернуться через 1 рік у а (1 + r ) руб. Ще через рік, тобто через 2 роки від початку зростання, кожен рубль з цих а (1 + r ) руб. звернеться знову в 1 + r руб.; значить, весь капітал звернеться до а (1 + r ) 2 руб. Так само знайдемо, що через три роки капітал буде а (1 + r ) 3 , через чотири роки буде а (1 + r ) 4 ,... взагалі через t років, якщо t є ціле число, він звернеться до а (1 + r ) tруб. Таким чином, позначивши через Аостаточний капітал, матимемо наступну формулу складних відсотків:

А = а (1 + r ) tде r = p / 100 .

приклад.Нехай a =2300 руб., p = 4, t=20 років; тоді формула дає:

r = 4 / 100 = 0,04 ; А = 2300 (1,04) 20 .

Щоб обчислити А, застосовуємо логарифми:

log a = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617 +0,3400 = 3,7017.

A = 5031карбованець.

Зауваження.У цьому прикладі нам довелося log 1,04помножити на 20 . Оскільки число 0,0170 є наближене значення log 1,04з точністю до 1 / 2 десятитисячної частки, то добуток цього числа на 20 буде точно тільки до 1 / 2 20, тобто до 10 десятитисячних = 1 тисячний. Тому в сумі 3,7017 ми можемо ручатися як за цифру десятитисячних, а й цифру тисячних. Щоб у подібних випадках можна було отримати більшу точність, краще для числа 1 + r брати логарифми не 4-значні, а з більшим числомнапр. 7-значні. Для цієї мети ми наводимо тут невелику табличку, в якій виписані 7-значні логарифми для найбільш уживаних значень р .

290. Основне завдання термінові сплати.Хтось зайняв а рублів за р % з умовою погасити борг, разом із належними нею відсотками, в t років, вносячи наприкінці кожного року ту саму суму. Якою має бути ця сума?

Сума x , що вноситься щорічно за таких умов, називається терміновою сплатою. Позначимо знову буквою r щорічні відсоткові гроші з 1 руб., Т. е. число p / 100 . Тоді до кінця першого року борг а зростає до а (1 + r ), а за сплатою х рублів він стане а (1 + r )-х .

До кінця другого року кожен рубль цієї суми знову звернеться до 1 + r рублів, і тому борг буде [ а (1 + r )-х ](1 + r ) = а (1 + r ) 2 - x (1 + r ), а за сплатою x рублів виявиться: а (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - х . Так само переконаємося, що до кінця 3-го року борг буде

а (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,

і взагалі і кінцю t -го року він виявиться:

а (1 + r ) t - x (1 + r ) t -1 - x (1 + r ) t -2 ... - x (1 + r ) - x , або

а (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]

Багаточлен, що стоїть усередині дужок, становить суму членів геометричній прогресії; у якої перший член є 1 , останній ( 1 + r ) t -1, а знаменник ( 1 + r ). За формулою для суми членів геометричної прогресії (відділ 10 розділ 3 § 249) знаходимо:

і величина боргу після t -ої сплати буде:

За умовою завдання, борг наприкінці t -го року повинен дорівнювати 0 ; тому:

звідки

При обчисленні цієї формули термінових сплатза допомогою логарифмів ми повинні спочатку знайти допоміжне число N = (1 + r ) tз логарифму: log N= t log (1 + r) ; знайшовши N, віднімемо з нього 1, тоді отримаємо знаменник формули для х, після чого вторинним логарифмуванням знайдемо:

log х= log a+ log N + log r - log (N - 1).

291. Основне завдання на строкові внески.Хтось вносить до банку на початку кожного року ту саму суму а руб. Визначити, який капітал утворюється з цих внесків після закінчення t років, якщо банк платить за р складних процентів.

Позначивши через r щорічні відсоткові гроші з 1 карбованця, тобто. p / 100 , розмірковуємо так: до кінця першого року капітал буде а (1 + r );

на початку 2-го року до цієї суми додасться а рублів; значить, у цей час капітал виявиться а (1 + r ) + a . До кінця 2-го року він буде а (1 + r ) 2 + а (1 + r );

на початку 3-го року знову вноситься а рублів; значить, у цей час капітал буде а (1 + r ) 2 + а (1 + r ) + а ; до кінця 3-го він виявиться а (1 + r ) 3 + а (1 + r ) 2 + а (1 + r ) Продовжуючи ці міркування далі, знайдемо, що до кінця t -го року шуканий капітал Aбуде:

Такою є формула термінових внесків, що робляться на початку кожного року.

Ту ж формулу можна отримати і таким міркуванням. перший внесок у а рублів, перебуваючи у банку t років, звернеться, згідно з формулою складних відсотків, в а (1 + r ) tруб. Другий внесок, перебуваючи у банку на один рік менше, тобто. t - 1 років, звернеться в а (1 + r ) t-1руб. Подібно до цього третій внесок дасть а (1 + r ) t-2і т. д., і, нарешті, останній внесок, перебуваючи в банку лише 1 рік, звернеться до а (1 + r ) руб. Отже, остаточний капітал Aруб. буде:

A= а (1 + r ) t + а (1 + r ) t-1 + а (1 + r ) t-2 + . . . + а (1 + r ),

що після спрощення дає знайдену вище формулу.

При обчисленні допомогою логарифмів цієї формули треба зробити так само, як і при обчисленні формули термінових сплат, тобто спочатку знайти число N = ( 1 + r ) tза його логарифмом: log N= t log(1 + r ), потім число N-1і вже тоді логарифмувати формулу:

log A = log a+ log (1 + r) + log (N - 1) - 1оgr

Зауваження.Якби терміновий внесок у а руб. провадився не на початку, а наприкінці кожного року (як, напр., вноситься термінова сплата х для погашення боргу), то, розмірковуючи подібно до попереднього, знайдемо, що до кінця t -го року шуканий капітал А"руб. буде (вважаючи у тому числі й останній внесок а руб., що не приносить відсотків):

A"= а (1 + r ) t-1 + а (1 + r ) t-2 + . . . + а (1 + r ) + а

що одно:

тобто. А"виявляється в ( 1 + r ) раз менше А, Що й треба було очікувати, тому що кожен рубль капіталу А"лежить у банку роком менше, ніж відповідний карбованець капіталу А.

1.1. Визначення ступеня для цілого показника ступеня

1.2. Нульовий ступінь.

1.3. Негативний ступінь.

1.4. Дробний ступінь, корінь.

Наприклад: X 1/2 = √X.

1.5. Формула складання ступенів.

1.6.Формула віднімання ступенів.

1.7. Формула множення ступенів.

1.8. Формула зведення дробу на ступінь.

2. Число e.

E = lim(1+1/N), за N → ∞.

З точністю 17 знаків число e дорівнює 2.71828182845904512.

3. Рівність Ейлера.

E (i*пі) + 1 = 0

4. Експонентна функція exp (x)

5. Похідна експоненційної функції

(exp(x))" = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Визначення функції логарифм

Y = Log b(x).

Логарифм показує в яку міру треба звести число - основу логарифму (b), щоб отримати задане число (X). Функція логарифм визначена для X більше нуля.

Наприклад: Log 10 (100) = 2.

6.2. Десятковий логарифм

Y = Log 10 (x).

Позначається Log(x): Log(x) = Log 10(x).

Приклад використання десяткового логарифму - децибел.

6.3. Децибел

6.4. Двійковий логарифм

Y = Log 2(x).

Позначається Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натуральний логарифм

Y = Log e(x) .

Позначається Ln(x): Ln(x) = Log e(X)
Натуральний логарифм зворотна функціядо експонентної функції exp (X).

6.6. Характерні точки

6.7. Формула логарифму твору

6.8. Формула приватного логарифму

6.9. Формула логарифму ступеня

6.10. Формула перетворення до логарифму з іншою основою

Приклад:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формули корисні у житті

Часто виникають завдання перерахунку обсягу площу чи довжину і обернена завдання -- перерахунок площі обсяг. Наприклад, дошки продаються кубами (кубометрами), а нам потрібно розрахувати яку площу стіни можна обшити дошками, що містяться в певному обсязі, див. розрахунок дощок, скільки дощок у кубі. Або, відомі розміри стіни, треба розрахувати кількість цегли, див. розрахунок цегли.

Дозволяється використовувати матеріали сайту за умови встановлення активного посилання на джерело.

Почнемо зі властивості логарифму одиниці. Його формулювання таке: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1=0для будь-якого a>0, a≠1. Доказ не викликає складнощів: оскільки a 0 =1 для будь-якого a , що задовольняє зазначеним вище умовам a>0 і a≠1 , то рівність log a 1=0 відразу випливає з визначення логарифму.

Наведемо приклади застосування розглянутої якості: log 3 1=0 , lg1=0 і .

Переходимо до наступної властивості: логарифм числа, рівного підставі, дорівнює одиниці, тобто, log a a=1при a>0, a≠1. Справді, оскільки a 1 =a для будь-якого a , то визначення логарифму log a a=1 .

Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівності log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1 .

Наприклад, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 і .

Логарифм твору двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Доведемо властивість логарифму твору. В силу властивостей ступеня a log a x + log a y = log a x · log a y, а так як за основною логарифмічною тотожністю a log a x = x і a log a y = y, то a log a x a log a y = x y. Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки за визначенням логарифму випливає рівність, що доводиться.

Покажемо приклади використання властивості логарифму добутку: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 .

Властивість логарифму твору можна узагальнити добуток кінцевого числа n позитивних чисел x 1 , x 2 , …, x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ця рівність без проблем доводиться.

Наприклад, натуральний логарифм твору можна замінити сумою трьох натуральних логарифмів чисел 4 , e , і .

Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості приватного логарифму відповідає формула виду , де a>0 , a≠1 , x і y – деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифму твору: оскільки , то щодо визначення логарифму .

Наведемо приклад використання цієї властивості логарифму: .

Переходимо до властивості логарифму ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм модуля основи цього ступеня. Запишемо цю властивість логарифму ступеня у вигляді формули: log a b p = log a | b |, де a>0 , a≠1 , b та p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p >0 .

Спочатку доведемо цю властивість для позитивних b. Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b тоді b p = (a log a b) p , а отримане вираз в силу властивість ступеня дорівнює a p · log a b . Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b , з якого за визначенням логарифму укладаємо, що log a b p = p · log a b .

Залишилося довести цю властивість для негативних b. Тут зауважуємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (оскільки значення ступеня b p має бути більшим за нуль, в іншому випадку логарифм не матиме сенсу), а в цьому випадку b p =|b| p. Тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, Звідки log a b p = p log a | b | .

Наприклад, і ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Із попередньої властивості випливає властивість логарифму з кореня: логарифм кореня n-ого ступеня дорівнює добутку дробу 1/n на логарифм підкореного виразу, тобто, , де a>0, a≠1, n – натуральне число, Більше одиниці, b>0.

Доказ базується на рівності (дивіться ), яка справедлива для будь-яких позитивних b і властивості логарифму ступеня: .

Ось приклад використання цієї властивості: .

Тепер доведемо формулу переходу до нової основи логарифмувиду . Для цього достатньо довести справедливість рівності log c b = log a b log c a . Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b тоді log c b = log c a log a b . Залишилося скористатися властивістю логарифму ступеня: log ca log ab = log a b log c a. Так доведено рівність log c b = log a b log ca , а значить, доведено і формулу переходу до нової основи логарифму.

Покажемо кілька прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і .

Формула переходу до нової основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручну» основу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десятковим логарифмамщоб можна було обчислити значення логарифму за таблицею логарифмів. Формула переходу до нової основи логарифму також дозволяє в деяких випадках знаходити значення логарифму, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими основами.

Часто використовується окремий випадок формули переходу до нової основи логарифму при c=b виду . Звідси видно, що log ab і log ba – . Наприклад, .

Також часто використовується формула яка зручна при знаходженні значень логарифмів. Для підтвердження своїх слів покажемо, як з її допомогою обчислюється значення логарифму . Маємо . Для доказу формули достатньо скористатися формулою переходу до нової основи логарифму a: .

Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.

Доведемо, що для будь-яких позитивних чисел b1 і b2, b1 log a b 2 , а за a>1 – нерівність log a b 1

Нарешті, залишилося довести останню з перерахованих властивостей логарифмів. Обмежимося доказом його першої частини, тобто доведемо, що якщо a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b> log a 2 b . Інші твердження цієї властивості логарифмів доводяться за аналогічним принципом.

Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що за a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як і відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤ log b a 2 і log b a 1 ≥ log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з однаковими основами повинні виконуватися рівності b log b a 1 b log b a 2 і b log b a 1 b log b a 2 , тобто, a 1 a 2 . Так ми дійшли суперечності умові a 1

Список літератури.