Чому дорівнює десятковий логарифм 1. Десятковий логарифм: як обчислити

ВІДДІЛЕННЯ XIII.

ЛОГАРИФМИ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ.

§ 2. Десятичні логарифми.

Десятичний логарифм числа 1 є 0. Десятичні логарифми позитивних ступенів 10-ти, тобто. чисел 10, 100, 1000,.... суть, позитивні числа 1, 2, 3,...., отже взагалі логарифм числа, позначеного одиницею з нулями, дорівнює числу нулів. Десяткові логарифми негативних степенів 10-ти, тобто. дробів 0,1, 0,01, 0,001,.... суть негативні числа -1,-2, -3....., так що взагалі логарифм десяткового дробуз чисельником одиницею дорівнює негативному числу нуля знаменника.

Логарифми решти сумірних чисел непорівнянні. Такі логарифми обчислюються приблизно, зазвичай з точністю до однієї стотисячної, і тому виражаються п'ятизначними десятковими дробами; наприклад, lg 3 = 0,47712.

При викладі теорії десяткових логарифмів усі числа передбачаються складеними за десятковою системою їх одиниць і часток, а всі логарифми виражаються через десятковий дріб, що містить 0 цілих, з цілим додатком або убавком. Дробова частина логарифму називається його мантисою, а цілий добавок або убавок-його характеристикою.Логарифми чисел, великих одиниць, завжди позитивні і тому мають і позитивну характеристику; логарифми чисел, менших за одиницю, завжди негативні, але їх уявляють так, що мантиса їх виявляється позитивною, а одна характеристика негативна: напр., lg 500=0,69897+2 або коротше 2,69800, а l 69897-2, що для стислості позначають у вигляді 2,69897, ставлячи характеристику на місце цілих чисел, але зі знаком - над нею. Таким чином, логарифм числа, більшого за одиницю, представляє арифметичну суму позитивного цілого і позитивного дробу, А логарифм числа, меншого одиниці, алгебраїчну суму негативного цілого з позитивним дробом.

Будь-який негативний логарифм можна призвести до вказаної штучної форми. Напр., маємо lg 3 / 5 = lg 3 - lg 5 = 0,47712-0,69897 = -0,22185. Щоб перетворити цей справжній логарифм в штучну форму, додамо до нього 1 і після алгебраїчного складання вкажемо для поправки віднімання одиниці.

Отримаємо lg 3/5 = lg 0,6 = (1-0,22185)-1 = 0,77815-1. При цьому виявиться, що мантиса 0,77815 є та сама, яка відповідає чисельнику 6 даного числа, представленого за десятковою системою у формі дробу 0,6.

IIра зазначеному поданні десяткових логарифмів їх мантиси і характеристики мають важливі властивості у зв'язку з позначенням по десятковій системі відповідних їм чисел. Для роз'яснення цих властивостей зауважимо наступне. Приймемо за основний вид числа деяке довільне число, що міститься між 1 і 10, і, висловлюючи його за десятковою системою, представимо у вигляді а, b, c, d, e, f ...., де а є одна з значущих цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а десяткові знаки, b, c, d, e, f ....... суть будь-які цифри, між якими можуть бути і нулі. Внаслідок того, що взяте число міститься між 1 п 10, логарифм його міститься між 0 і 1 і тому цей логарифм складається з однієї мантиси без характеристики або з характеристикою 0. Позначимо цей логарифм у формі 0 ,α β γ δ ε ...., де α, β ,γ ,δ, ε суть деякі цифри. Помножимо тепер це число з одного боку на числа 10, 100, 1000,... і з іншого боку на числа 0,1, 0,01, 0,001,... і застосуємо теореми про логарифми твору і частки. Тоді отримаємо ряд чисел більших одиниць і ряд чисел менших одиниць із їх логарифмами:

lg а ,bcde f ....= 0 ,α β γ δ ε ....

lg аb, cde f ....= 1 ,α β γ δ ε .... lg 0,abcde f ....= 1 ,α β γ δ ε ....

lg аbc,de f ....= 2 ,α β γ δ ε .... lg 0,0аbcde f ....= 2 ,α β γ δ ε ....

lg abcd,e f ....= 3 ,α β γ δ ε .... lg 0,00аbcde f ....= 3 ,α β γ δ ε ....

При розгляді цих рівностей виявляються такі властивості мантиси та характеристики:

Властивість мантиси.Мантісса залежить від розташування і виду цифр цифр, що зіачать, але зовсім не залежить від місця коми в позначенні цього числа. Мантиси логарифмів чисел, що мають десяткове відношення, тобто. таких, кратне відношення яких дорівнює будь-якому позитивному або негативному ступеню десяти, однакові.

Властивість характеристики.Характеристика залежить від розряду найвищих одиниць або десяткових частокчисла, але зовсім залежить від виду цифр у позначенні цього числа.

Якщо назвемо числа а ,bcde f ...., аb, cde f ...., аbc,de f .... числами позитивних розрядів-першого, другого, третього і т.д., розряд числа 0,abcde f .... вважатимемо нульовим, а розряди чисел 0,0аbcde f ...., 0,00аbcde f ...., 0,000аbcde f .... висловимо негативними числами мінус одна, мінус два, мінус три і т. д., то можна буде сказати взагалі, що характеристика логарифму всякого десяткового числана одиницю менше числа, що вказує розряд

101. Знаючи, що lg 2 =0,30103, знайти логарифми чисел 20,2000, 0,2 та 0,00002.

101. Знаючи, що lg 3=0,47712, знайти логарифми чисел 300, 3000, 0,03 та 0,0003.

102. Знаючи, що lg 5 = 0,69897, знайти логарифми чисел 2,5, 500, 0,25 та 0,005.

102. Знаючи, що lg 7=0,84510, знайти логарифми чисел 0,7, 4,9, 0,049 та 0,0007.

103. Знаючи lg 3 = 0,47712 і lg 7 = 0,84510, знайти логарифми чисел 210, 0,021, 3/7, 7/9 і 3/49.

103. Знаючи lg 2 = 0,30103 і lg 7 = 0,84510, знайти логарифми чисел 140, 0,14, 2/7, 7/8 і 2/49.

104. Знаючи lg 3=0,47712 і lg 5=О,69897, знайти логарифми чисел 1,5, 3/5, 0,12, 5/9 та 0,36.

104. Знаючи lg 5 = 0,69897 і lg 7 = 0,84510, знайти логарифми чисел 3,5, 5/7, 0,28, 5/49 та 1,96.

Десяткові логарифми чисел, виражених трохи більше, як чотирма цифрами, підшукуються прямо по таблицям, причому з таблиць перебуває мантиса шуканого логарифму, а характеристика ставиться, відповідно до розрядом цього числа.

Якщо ж число містить більше чотирьох цифр, то підшукування логарифму супроводжується додатковим обчисленням. Правило таке: щоб знайти логарифм числа, що містить понад чотири цифри, потрібно підшукати в таблицях число, позначене чотирма першими цифрами, та виписати відповідну цим чотирьом цифрам мантису; потім помножити табличну різницю мантис на число, складене з відкинутих цифр, у творі відкинути праворуч стільки цифр, скільки їх було відкинуто в даному числі, і результат надати останнім цифрам підшуканої мантпсеи; характеристику поставити, відповідно до розрядом цього числа.

Коли шукається число по даному логарифму і цей логарифм міститься в таблицях, то цифри шуканого числа знаходяться прямо з таблиць, а розряд числа визначається відповідно до характеристики даного логарифму.

Якщо цей логарифм немає у таблицях, то підшукування числа супроводжується додатковим обчисленням. Правило таке: щоб знайти число, що відповідає даному логарифму, мантиса якого не міститься в таблицях, потрібно підшукати найближчу меншу мантису і виписати відповідні цифри числа; потім помножити різницю між даною мантисою і підшуканою на 10 і розділити твір на табличну різницю; отриману цифру частки приписати праворуч до виписаних цифр числа, через що і вийде шукана сукупність цифр; ряд же числа необхідно визначити за характеристикою даного логарифму.

105. Знайти логарифми чисел 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18,43, 2,05, 900,1, 0,73, 0,0028, 0,1008, 0,000

105. Знайти логічні цифри 15,154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8,315, 790,7, 0,09, 0,6745, 0,000745, 0,0405

106. Знайти логарифми чисел 2174,6, 1445,7, 2169,5, 8437,2, 46,472, 6,2853, 0,7893В, 0,054294, 631,074, 2,79556,08

106. Знайти логарифми чисел 2578,4, 1323,6, 8170,5, 6245,3, 437,65, 87,268, 0,059372, 0,84938, 62,5475, 134,23

107. Знайти числа, що відповідають логарифмам 3,16227, 3,59207, 2,93318, 0,41078, 1,60065, 2,756.86, 3,23528, 1,79692. 4,87800 5,14613.

107. Знайти числа, що відповідають логарифмам 3,07372, 3,69205, 1,64904, 2,16107, 0,70364, 1,31952, 4,30814, 3,00087,4.

108. Знайти число, що відповідають логарифмам 3,57686, 3,16340, 2,40359, 1,09817, 4,49823, 2,83882, 1,50060, 3,30056, 1,0

108. Знайти числа, що відповідають логарифмам 3,33720, 3,09875, 0,70093, 4,04640, 2,94004, 1,41509, 2,32649, 4,14631,30.

Позитивні логарифми чисел, великих одиниць, суть арифметичні сумиїх характеристики та мантиси. Тому події з ними проводяться за звичайними арифметичними правилами.

Негативні логарифми чисел, менших одиниці, суть суми алгебри негативної характеристики і позитивної мантиси. Тому дії з ними проводяться за правилами алгебри, які доповнюються особливими вказівками, що відносяться до приведення негативних логарифмів в їх нормальну форму. Нормальна форма негативного логарифму та, в якій характеристика є негативна ціла кількість, а мантиса позитивний правильний дріб.

Для перетворення справжнього негативного логарифму на його нормальну штучну форму, потрібно збільшити абсолютну величинуйого цілого доданку на одиницю і зробити результат негативною характеристикою; потім доповнити всі цифри дробового доданку до 9, а останню з них до 10 і зробити результат позитивною мантисою. Напр., -2,57928 = 3,42072.

Для перетворення нормальної штучної форми логарифму на його справжнє від'ємне значенняпотрібно зменшити на одиницю негативну характеристикуі зробити результат цілим доданком негативної суми; потім доповнити всі цифри мантиси до 9, а останню з них до 10 і зробити результат дробовим доданком тієї ж негативної суми. Напр.: 4,57406 = -3,42594.

109. Перетворити на штучну форму логарифми-2,69537, -4, 21283, -0,54225, -1,68307, -3,53820, -5,89990.

109. Перетворити на штучну форму логарифми-3,21729, -1,73273, -5,42936, -0,51395, -2,43780, -4,22990.

110. Знайти справжні значеннялогарифмів 1,33278, 3,52793, 2,95426, 4,32725, 1,39420, 5,67990.

110. Знайти ієтинні значення логарифмів 2,45438, 1,73977, 3,91243, 5,12912, 2,83770, 4,28990.

Правила алгебраїчних процесів з негативними логарифмами виражаються так:

Щоб докласти негативний логарифм у його штучній формі, потрібно докласти мантису та відняти абсолютну величину характеристики. Якщо від складання мантис виділиться ціле позитивне число, потрібно віднести його до характеристики результату, зробивши у ній відповідну поправку. напр.

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

Щоб відняти негативний логарифм у його штучній формі, потрібно відняти мантису і додати абсолютну величину характеристики. Якщо мантиса, що віднімається, є велика, то потрібно зробити поправку в характеристиці зменшуваного так, щоб відокремити до зменшуваної мантиси позитивну одиницю. напр.

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

Щоб помножити негативний логарифм на ціле позитивне число, потрібно помножити окремо його характеристику і мантису. Якщо при множенні мантиси виділиться ціле позитивне число, потрібно віднести його до характеристики результату, зробивши у ній відповідну поправку. напр.

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

При множенні негативного логарифму на негативну кількість потрібно замінювати множне його істинним значенням.

Щоб розділити негативний логарифм на позитивне ціле число, потрібно розділити окремо його характеристику та мантису. Якщо характеристика ділимого не ділиться націло на дільник, то потрібно зробити в ній поправку так, щоб віднести до мантиси кілька позитивних одиниць, а характеристику зробити кратною дільника. напр.

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

При розподілі негативного логарифму на від'ємну кількість, потрібно замінювати ділимо його справжнім значенням.

Виконати за допомогою логарифмічних таблиць нижчепоказані обчислення і перевірити в найпростіших випадках результати звичайними способами дій:

174. Визначити об'єм конуса, що утворює якого 0,9134 фута, а радіус основи 0,04278 фута.

175. Обчислити 15-й член кратної прогресії, перший член якої 2 3/5, а знаменник 1,75.

175. Обчислити перший член кратної прогресії, 11 член якої дорівнює 649,5, а знаменник 1,58.

176. Визначити кількість множників а , а 3 , а 5 р . Підшукати таке а , При якому виробництво 10-ти множників дорівнює 100.

176. Визначити чиє множників. а 2 , а 6 , а 10 ,.... так, щоб їх добуток дорівнював даному числу р . Підшукати таке а , При якому добуток 5-ти множників дорівнює 10

177. Знаменник кратної прогресії дорівнює 1,075, сума 10 її членів 2017,8. Знайти перший член.

177. Знаменник кратної прогресії 1,029, сума 20 її членів 8743,7. Знайти двадцятий член.

178 . Виразити число членів кратної прогресії за даними першого члена а , останньому і знаменнику q , а потім, вибравши довільно числові значення a і u , підібрати q так щоб п

178. Виразити число членів кратної прогресії за даними першого члена а останньому і та знаменника q і і q , підібрати а так щоб п було якесь ціле число.

179. Визначити число множників так, щоб їх добуток був рівний р . Яке має бути р для того, щоб при а =0,5 та b =0,9 число множників становило 10.

179. Визначити кількість множників так, щоб їхній твір був рівний р . Яке має бути р для того щоб при а =0,2 та b =2 число множників було 10.

180. Виразити число членів кратної прогресії за даними першого члена а , післядії і та твору всіх членів р , а потім, обравши довільно числові значення а і р , підібрати і і слідом за ним знаменник q так щоб і було якесь ціле число.

160. Виразити число членів кратної прогресії за даними першого члена а , останньому та й твору всіх членів р , а потім, обравши довільно числові значення і і р , підібрати а і слідом за ним знаменник q так щоб п було якесь ціле число.

Вирішити нижченаведені рівняння, де можна - без допомоги таблиць, а де не можна-з таблицями:

Який дуже простий у використанні, не вимагає в його інтерфейсі і запускати будь-що додаткові програми. Все, що вам потрібно - перейти на сайт Google і ввести відповідний запит в єдине поле на цій сторінці. Наприклад, для обчислення десяткового логарифму для 900 введіть у поле пошукового запиту lg 900 і одразу (навіть без натискання кнопки) отримайте 2.95424251.

Використовуйте калькулятор, якщо немає доступу до пошуковій системі. Це може бути програмний калькулятор із стандартного набору ОС Windows. Найпростіший спосіб запустити його - натиснути клавіші WIN + R, ввести команду calc і клацнути кнопку «OK». Інший спосіб – розкрити меню на кнопці «Пуск» і вибрати в ньому пункт «Всі програми». Потім треба відкрити розділ «Стандартні» і перейти в підрозділ «Службові», щоб клацнути посилання «Калькулятор». Використовуючи Windows 7, можна натиснути клавішу WIN і ввести в полі пошуку «Калькулятор», а потім клацнути відповідне посилання в результатах пошуку.

Перемкніть інтерфейс калькулятора в розширений режим, оскільки в базовому варіанті, що відкривається за замовчуванням, потрібна вам операція не передбачена. Для цього розкрийте в меню програми розділ «Вигляд» та виберіть пункт « » або «інженерний» - залежно від того, яку версію операційної системи встановлено на вашому комп'ютері.

Нині знижками нікого не здивуєш. Продавці розуміють, що знижки не є засобом підвищення прибутку. Найбільшу ефективність має не 1-2 знижки на конкретний товар, а система знижок, яка має бути простою та зрозумілою співробітникам фірми та її покупцям.

Інструкція

Ви, мабуть, помітили, що в даний час найбільш поширеною є зростаюча при збільшенні обсягів продукції. У даному випадкуПродавець розробляє шкалу відсотків знижок, яка збільшується при зростанні обсягів покупок за певний період. Наприклад, ви купили чайник та кавоварку та отримали знижку 5%. Якщо цього місяця ви купите ще й праску, то отримаєте знижку 8% на всі придбані товари. При цьому отриманий прибуток компанії при ціні зі знижкою та збільшеним обсягом продажів має бути не меншим, ніж очікуваний прибуток при ціні без знижки та колишньому рівні продажів.

Розрахувати шкалу знижок нескладно. Спочатку визначте обсяг продажу, з якого починається надання знижки. Як нижню межу можна взяти. Потім розрахуйте очікуваний обсяг прибутку, який ви хотіли б отримати на товар, що продається. Її верхня межа буде органічною купівельною спроможністю товару та його конкурентними властивостями. Максимальну знижкуможна розрахувати так: (прибуток – (прибуток x мінімальний обсяг продажу / очікуваний обсяг) / ціна одиниці виробленої продукції.

Ще однією досить поширеною знижкою є знижка за контрактом. Це може бути знижка по , при покупці певних видівтовару, а також при розрахунку у тій чи іншій валюті. Іноді знижки такого плану надаються під час купівлі товару та замовлення для доставки. Наприклад, ви купуєте продукцію фірми, замовляєте транспорт у цій же компанії та отримуєте знижку 5% на придбаний товар.

Величина передсвяткових та сезонних знижок визначається, виходячи з вартості товару на складі та ймовірністю продажу товару за встановленою ціною. Зазвичай таких знижок вдаються роздрібні продавці, наприклад, при продажі одягу з колекцій минулого сезону. Подібними знижками користуються супермаркети для того, щоб розвантажити роботу магазину вечірній годинникта вихідні дні. У разі розмір знижки визначається розміром втраченої вигоди при незадоволенні купівельного попиту години пік.

Джерела:

• як розрахувати відсоток знижки у 2019

Обчислення логарифмів може знадобитися для знаходження значень за формулами, що містять як невідомі змінні показники ступенів. Два види логарифмів, на відміну від інших, мають власні назви і позначення - це логарифми з підстав 10 і число e (ірраціональна константа). Розглянемо кілька простих способівобчислення логарифму на підставі 10 - «десяткового» логарифму.

Інструкція

Використовуйте для обчислень , вбудований в операційну систему Windows. Щоб його запустити, натисніть клавішу win, виберіть пункт «Виконати» в головному меню системи, введіть calc і натисніть OK. У стандартному інтерфейсі цієї програми немає функції обчислення алгоритмів, тому розкрийте в її меню розділ «Вигляд» (або натисніть клавіші alt + «і») і виберіть рядок «науковий» або «інженерний».

Інструкція

Запишіть заданий логарифмічний вираз. Якщо у виразі використовується логарифм 10, його запис укорочується і виглядає так: lg b - це десятковий логарифм. Якщо ж логарифм має у вигляді основи число е, записують вираз: ln b – натуральний логарифм. Мається на увазі, що результатом будь-якого є ступінь, в який треба звести число основи, щоб вийшло число b.

При знаходженні від суми двох функцій необхідно просто їх по черзі продиференціювати, а результати скласти: (u+v)" = u"+v";

При знаходженні похідної від добутку двох функцій необхідно похідну від першої функції помножити на другу і додати похідну другої функції, помножену на першу функцію: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Для того, щоб знайти похідну від частки двох функцій необхідно, від твору похідної ділимого, помноженої на функцію дільника, відняти твір похідної дільника, помноженої на функцію ділимого, і все це розділити на функцію дільника зведену в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Якщо дана складна функціянеобхідно перемножити похідну від внутрішньої функції і похідну від зовнішньої. Нехай y=u(v(x)), тоді y"(x)=y"(u)*v"(x).

Використовуючи отримані вище, можна продиференціювати практично будь-яку функцію. Отже, розглянемо кілька прикладів:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Також зустрічаються завдання на обчислення похідної у точці. Нехай задана функція y=e^(x^2+6x+5), необхідно визначити значення функції у точці х=1.
1) Знайдіть похідну функції: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Обчисліть значення функції в заданій точці y"(1)=8*e^0=8

Відео на тему

Корисна порада

Вивчіть таблицю елементарних похідних. Це помітно заощадить час.

Джерела:

• похідна константи

Отже, чим відрізняється ірраціональне рівняння від раціонального? Якщо невідома змінна знаходиться під знаком квадратного кореня, то рівняння вважається ірраціональним.

Інструкція

Основний метод розв'язання таких рівнянь – метод зведення обох частин рівнянняу квадрат. Втім. це природно, насамперед необхідно позбутися знака. Технічно цей метод не складний, але іноді це може спричинити неприємності. Наприклад, рівняння v(2х-5) = v(4х-7). Звівши обидві його сторони квадрат, ви отримаєте 2х-5=4х-7. Таке рівняння вирішити не складе труднощів; х = 1. Але число 1 не буде цього рівняння. Чому? Підставте одиницю в рівняння замість значення х. Таке значення не припустимо квадратного кореня. Тому 1 - сторонній корінь, отже дане рівняння немає коренів.

Отже, ірраціональне рівняння вирішується за допомогою методу зведення квадрата обох його частин. І вирішивши рівняння, необхідно обов'язково відсікти стороннє коріння. Для цього підставте знайдене коріння в оригінальне рівняння.

Розгляньте ще один.
2х+vх-3=0
Звичайно ж, це рівняння можна вирішити за тим самим, що й попереднє. Перенести складові рівняння, що не мають квадратного кореня, в праву частину і далі використовувати метод зведення в квадрат. вирішити отримане раціональне рівняння та коріння. Але й інший, більш витончений. Введіть нову змінну; vх = y. Відповідно, ви отримаєте рівняння виду 2y2+y-3=0. Тобто звичайне квадратне рівняння. Знайдіть його коріння; y1=1 та y2=-3/2. Далі вирішіть два рівняння vх = 1; vх = -3/2. Друге рівняння коренів немає, з першого знаходимо, що х=1. Не забудьте про необхідність перевірки коренів.

Вирішувати тотожності досить просто. Для цього потрібно здійснювати тотожні перетворення, доки поставленої мети не буде досягнуто. Таким чином, за допомогою найпростіших арифметичних дій поставлене завдання буде вирішено.

Вам знадобиться

• - папір;
• - Ручка.

Інструкція

Найпростіший таких перетворень – алгебраїчні скороченого множення (такі як квадрат суми (різниці), різниця квадратів, сума (різниця), куб суми (різниці)). Крім того існує безліч і тригонометричних формул, які за своєю суттю тими самими тотожностями.

Справді, квадрат суми двох доданків дорівнює квадрату першого плюс подвоєний добуток першого на друге і плюс квадрат другого, тобто (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Спростіть обох

Загальні засади рішення

Метод заміни змінних

Рішення інтегралів другого роду

Підстановка меж інтегрування

Ступінь окремого числа називається математичним терміном, придуманим кілька століть тому. У геометрії та алгебрі зустрічається два варіанти - десяткові та натуральні логарифми. Вони розраховуються різними формулами, при цьому рівняння, що відрізняються написанням, завжди дорівнюють один одному. Ця тотожність характеризує властивості, що належать до корисного потенціалу функції.

Особливості та важливі ознаки

на Наразірозрізняють десять відомих математичних якостей. Найпоширенішими та затребуваними з них є:

• Підкорений log, розділений на величину кореня, завжди такий самий, як і десятковий логарифм √.
• Твір log завжди дорівнює сумі виробника.
• Lg = величині ступеня, перемноженої на число, яке зводиться.
• Якщо від log ділимого відібрати дільник, вийде lg приватного.

Крім того, є рівняння, засноване на головному тотожності (вважається ключовим), перехід до оновленої основи та кілька другорядних формул.

Обчислення десяткового логарифму – досить специфічне завдання, тому до інтегрування властивостей у рішення необхідно підходити обережно та регулярно перевіряти свої дії та послідовність. Не можна забувати і про таблиці, з якими потрібно постійно звірятися, і керуватися лише знайденими даними.

Різновиди математичного терміна

Основні відмінності математичного числа «заховані» на підставі (a). Якщо вона має показник 10, це десятковий log. У протилежному випадку «a» перетворюється на «у» і має трансцендентні та ірраціональні ознаки. Також варто зазначити, що натуральна величинарозраховується спеціальним рівнянням, де доказом стає теорія, що вивчається за межами шкільної програмистарших класів.

Логарифми десяткового типу отримали широке застосуванняпри обчисленні складних формул. Складено цілі таблиці, що полегшують розрахунки та наочно показують процес розв'язання задачі. До того ж у кожному магазині шкільного приладдя можна знайти спеціальну лінійку з нанесеною шкалою, що допомагає вирішити рівняння будь-якої складності.

Десятковий логарифмЧисло називається Бригговим, або цифрою Ейлера, на честь дослідника, який першим опублікував величину і виявив протиставлення двох визначень.

Два види формули

Всі типи і різновиди завдань на обчислення відповіді, що мають в умові термін log, мають окрему назву і суворий математичний пристрій. Показове рівнянняє практично точною копією логарифмічних розрахунків, якщо з боку правильності рішення. Просто перший варіант включає спеціалізоване число, що допомагає швидше розібратися в умові, а другий замінює log на звичайний ступінь. При цьому обчислення із застосуванням останньої формули повинні включати змінне значення.

Різниця та термінологія

Обидва головні показники мають власними особливостями, Що відрізняють числа один від одного:

• Десятковий логарифм. Важлива детальчисла - обов'язкова наявність основи. Стандартний варіантвеличини дорівнює 10. Маркується послідовністю - log x чи lg x.
• Натуральний. Якщо його основою є знак «e», що є константою, ідентичну строго розрахованому рівнянню, де n стрімко рухається до нескінченності, то приблизний розмір числа цифровому еквіваленті становить 2.72. Офіційне маркування, прийняте як і шкільних, і у складніших професійних формулах, - ln x.
• Різні. Крім основних логарифмів зустрічаються шістнадцяткові та двійкові види (основа 16 і 2 відповідно). Є ще найскладніший варіантз базовим показником 64, що підпадає під систематизоване управління адаптивного типу, з геометричною точністю, що робить розрахунок підсумкового результату.

Термінологія включає наступні величини, що входять в завдання алгебри:

• значення;
• аргумент;
• заснування.

Обчислення log числа

Є три способи швидко і в усній формі зробити все необхідні розрахункиза знаходженням цікавого результату з обов'язковим правильним результатом рішення. Спочатку наближаємо десятковий логарифм до свого порядку (науковий запис числа ступеня). Кожну позитивну величину можна задати рівнянням, де вона дорівнює мантисі (цифра від 1 до 9), перемноженої на десятку в n-го ступеня. Такий варіант підрахунку створено на основі двох математичних фактів:

• твір та сума log завжди мають однаковий показник;
• логарифм, взятий із числа від однієї до десяти, неспроможна перевищувати величину один пункт.

1. Якщо помилка у обчисленні все-таки відбувається, вона ніколи не буває менше одного у бік віднімання.
2. Точність підвищується, якщо врахувати, що lg з основою три має підсумковий результат – п'ять десятих від одиниці. Тому будь-яке математичне значення більше 3 автоматично додає один пункт до відповіді.
3. Практично ідеальна точністьдосягається, якщо під рукою є спеціалізована таблиця, яку можна легко застосовувати у оціночних діях. З її допомогою можна з'ясувати, чому дорівнює десятковий логарифм до десятих відсотків від оригінального числа.

Історія речового log

Шістнадцяте століття гостро відчував потреби у складніших обчисленнях, ніж було відомо науці на той час. Особливо це стосувалося поділу та множення багатозначних цифр з великою послідовністю, у тому числі дробів.

Наприкінці другої половини епохи відразу кілька умів дійшли висновку про складання чисел за допомогою таблиці, яка зіставляла дві та геометричну. При цьому всі базові розрахунки мали упиратися в останню величину. Так само вчені інтегрували і віднімання.

Перша згадка про LG відбулася в 1614 році. Це зробив аматор-математик на прізвище Непер. Варто зазначити, що, незважаючи на величезну популяризацію отриманих результатів, у формулі була зроблена помилка через незнання деяких визначень, що з'явилися пізніше. Вона починалася із шостого знака показника. Найбільш близькими до розуміння логарифму були брати Бернуллі, а дебютне узаконення відбулося у вісімнадцятому столітті Ейлером. Він і поширив функцію у сферу освіти.

Історія комплексного log

Дебютні спроби інтегрувати lg у широкі маси робили на зорі 18-го століття Бернуллі та Лейбніц. Але цілісних теоретичних викладок вони не зуміли скласти. З цього приводу велася ціла дискусія, але точного визначеннячислу не присвоювали. Пізніше діалог відновився, але між Ейлером і Даламбером.

Останній був у принципі згоден з безліччю фактів, пропонованих засновником величини, але вважав, що позитивний та негативний показники мають бути рівними. У середині століття формула була продемонстрована як остаточного варіанта. Крім того, Ейлером була опублікована похідна десяткового логарифму та складені перші графіки.

Таблиці

Властивості числа вказують на те, що багатозначні цифри можна не перемножувати, а знайти їх log і скласти за допомогою спеціалізованих таблиць.

Особливо цінним цей показник став для астрономів, котрі змушені працювати з великим набором послідовностей. У радянський часдесятковий логарифм шукали у збірці Брадіса, випущеної 1921 року. Пізніше, 1971 року, з'явилося видання Веги.

Нерідко беруть цифру десять. Логарифми чисел з основи десять називають десятковими. Під час проведення обчислень із десятковим логарифмом загальноприйнято оперувати знаком lg, а не log; при цьому число десять, що визначають основу, не вказують. Так, замінюємо log 10 105на спрощене lg105; а log 10 2на lg2.

Для десяткових логарифмівтипові ті ж особливості, які є у логарифмів при підставі, більшій за одиницю. Зокрема, десяткові логарифми характеризуються виключно для позитивних чисел. Десяткові логарифми чисел, більших одиниць, позитивні, а чисел, менших одиниці, негативні; з двох не негативних чисел більшому еквівалентний і більший десятковий логарифм і т. д. Додатково, десяткові логарифми мають відмінні рисиі своєрідні ознаки, якими і пояснюється, навіщо як основу логарифмів комфортно віддавати перевагу саме цифрі десять.

Перед тим як розібрати ці властивості, ознайомимося з наведеними нижче формулюваннями.

Ціла частина десяткового логарифму числа аназивається характеристикою, а дробова - мантисоюцього логарифму.

Характеристика десяткового логарифму числа авказується як , а мантіса як (lg а}.

Візьмемо, скажімо, lg 2 ≈ 0,3010. Відповідно = 0, (lg 2) ≈ 0,3010.

Подібно і для lg 543,1 ≈2,7349. Відповідно, = 2, (lg 543,1) ≈ 0,7349.

Достатньо повсюдно використовується обчислення десяткових логарифмів позитивних чисел за таблицями.

Характерні ознаки десяткових логарифмів.

Перша ознака десяткового логарифму.цілого не негативного числа, представленого одиницею з наступними нулями, є ціле позитивне число, що дорівнює чисельності нулів у записі обраного числа .

Візьмемо, lg 100 = 2, lg 100000 = 5.

Узагальнено, якщо

То а= 10n , з чого отримуємо

lg a = lg 10 n = n lg 10 =п.

Друга ознака.Десятковий логарифм позитивного десяткового дробу , показаний одиницею з попередніми нулями, дорівнює - п, де п- чисельність нулів у поданні цього числа, враховуючи і нуль цілих.

Розглянемо , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 =-6.

Узагальнено, якщо

,

То a= 10-n і виходить

lga = lg 10n =-n lg 10 =-п

Третя ознака.Характеристика десяткового логарифму не негативного числа, більшого одиниці, дорівнює чисельності цифр у цілій частині цього числа, виключаючи одну.

Розберемо цю ознаку 1) Характеристика логарифму lg 75,631 прирівняна до 1.

І справді, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Звідси випливає,

lg 75,631 = 1 + б,

Зміщення коми в десятковому дробі вправо або вліво рівнозначно операції перемноження цього дробу на ступінь числа десять із цілим показником п(позитивним чи негативним). І отже, при зміщенні коми в позитивному десятковому дробі ліворуч або праворуч мантиса десяткового логарифму цього дробу не змінюється.

Так, (lg 0,0053) = (lg 0,53) = (lg 0,0000053).