Формули певних інтегралів повна таблиця. Первісна

Перелічимо інтеграли від елементарних функцій, які іноді називають табличними:

Будь-яку з наведених вище формул можна довести, взявши похідну від правої частини (в результаті буде отримано підінтегральну функцію).

Методи інтегрування

Розглянемо деякі основні методи інтегрування. До них відносяться:

1. Метод розкладання(безпосереднього інтегрування).

Цей метод заснований на безпосередньому застосуванні табличних інтегралів, а також на застосуванні властивостей 4 і 5 невизначеного інтеграла (тобто на виносі за дужку постійного співмножника та/або подання підінтегральної функції у вигляді суми функцій – розкладання підінтегральної функції на доданки).

приклад 1.Наприклад, для знаходження(dx/x 4) можна безпосередньо скористатися табличним інтегралом дляx n dx. Справді,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Розглянемо ще кілька прикладів.

приклад 2.Для знаходження скористаємося тим самим інтегралом:

приклад 3.Для знаходження треба взяти

приклад 4.Щоб знайти, представимо підінтегральну функцію у вигляді і використовуємо табличний інтеграл для показової функції:

Розглянемо використання виносу за дужку постійного співмножника.

Приклад 5.Знайдемо, наприклад . Враховуючи, що отримаємо

Приклад 6.Знайдемо. Оскільки скористаємося табличним інтегралом Отримаємо

У наступних двох прикладах також можна використовувати винос за дужки та табличні інтеграли:

Приклад 7.

(використовуємо та );

Приклад 8.

(використовуємо і ).

Розглянемо складніші приклади, у яких використовується інтеграл суми.

Приклад 9.Наприклад, знайдемо
. Для застосування методу розкладання у чисельнику використовуємо формулу куба суми  , а потім отриманий багаточлен почленно розділимо на знаменник.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Слід зазначити, що наприкінці рішення записана одна загальна постійна (а не окремі при інтегруванні кожного доданку). Надалі також пропонується опускати в процесі рішення постійні від інтегрування окремих доданків доти, поки вираз містить хоча б один невизначений інтеграл (записуватимемо одну постійну в кінці рішення).

Приклад 10Знайдемо . Для вирішення цього завдання розкладемо на множники чисельник (після цього вдасться скоротити знаменник).

Приклад 11.Знайдемо. Тут можна використовувати тригонометричні тотожності.

Іноді, щоб розкласти вираз на доданки, доводиться застосовувати складніші прийоми.

Приклад 12Знайдемо . У підінтегральній функції виділимо цілу частину дробу . Тоді

приклад 13.Знайдемо

2. Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод заснований на наступній формулі: f(x)dx=f((t))`(t)dt, де x =(t) - функція, що диференціюється на розглянутому проміжку.

Доведення. Знайдемо похідні за змінною t від лівої та правої частин формули.

Зазначимо, що у лівій частині знаходиться складна функція, проміжним аргументом якої є x = (t). Тому, щоб диференціювати її поt, спочатку диференціюємо інтеграл по x, а потім здобудемо похідну від проміжного аргументу поt.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Похідна від правої частини:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Так як ці похідні рівні, за наслідком з теореми Лагранжа ліва і права частини формули, що доводиться, відрізняються на деяку постійну. Оскільки самі невизначені інтеграли визначені з точністю до невизначеного постійного доданку, то постійну в остаточному записі можна опустити. Доведено.

Вдала заміна змінної дозволяє спростити вихідний інтеграл, а найпростіших випадках звести його до табличного. У застосуванні цього методу розрізняють методи лінійної та нелінійної підстановки.

а) Метод лінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = 1 - 2x, тоді

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Слід зазначити, що нову змінну можна виписувати явно. У разі говорять про перетворення функції під знаком диференціала чи запровадження постійних і змінних під знак диференціала, - тобто. про неявної заміни змінної.

приклад 2.Наприклад, знайдемо cos(3x + 2)dx. За властивостями диференціала dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), тоді cos (3x + 2) dx = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

В обох розглянутих прикладах для знаходження інтегралів було використано лінійну підстановку t=kx+b(k0).

У випадку справедлива наступна теорема.

Теорема про лінійну підстановку. Нехай F(х) - деяка первісна для функції f(х). Тоді f(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, де k та b - деякі постійні,k0.

Доведення.

За визначенням інтегралу f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Винесемо постійний множникkза знак інтеграла:kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Тепер можна розділити ліву і праву частини рівності наkі отримати твердження, що доводиться, з точністю до позначення постійного доданку.

Ця теорема стверджує, що якщо визначення інтеграла f(x)dx= F(x) + C замість аргументу х підставити вираз (kx+b), це призведе до появи додаткового множника 1/kперед первообразной.

З використанням доведеної теореми вирішимо такі приклади.

приклад 3.

Знайдемо . Тут kx + b = 3 -x, тобто. k = -1, b = 3. Тоді

приклад 4.

Знайдемо. Тут kx + b = 4x + 3, тобто k = 4, b = 3. Тоді

Приклад 5.

Знайдемо . Тут kx + b = -2x + 7, тобто. k = -2, b = 7. Тоді

.

Приклад 6.Знайдемо
. Тут kx + b = 2x + 0, тобто k = 2, b = 0.

.

Порівняємо отриманий результат прикладом 8, який був вирішений методом розкладання. Вирішуючи це завдання іншим методом, ми отримали відповідь
. Порівняємо отримані результати:. Таким чином, ці вирази відрізняються один від одного на постійне доданок , тобто. отримані відповіді не суперечать одна одній.

Приклад 7.Знайдемо
. Виділимо у знаменнику повний квадрат.

У деяких випадках заміна змінної не зводить інтеграл безпосередньо до табличного, але може спростити рішення, уможлививши застосування на наступному кроці методу розкладання.

Приклад 8.Наприклад, знайдемо . Замінимо t = x + 2, тоді dt = d (x + 2) = dx. Тоді

,

де С = С 1 – 6 (при підстановці замість tвиразу (x+ 2) замість перших двох доданків отримаємо ½x 2 -2x– 6).

Приклад 9.Знайдемо
. Нехай t = 2x + 1, тоді dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t-1) / 2.

Підставимо замість tвираз (2x+ 1), розкриємо дужки і наведемо подібні.

Зазначимо, що у перетворень ми перейшли до іншого постійного доданку, т.к. групу постійних доданків у процесі перетворень можна було опустити.

б) Метод нелінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = -x2. Далі можна було б виразити х через t, потім знайти вираз для dxі реалізувати заміну змінної в шуканому інтегралі. Але в даному випадкупростіше вчинити по-іншому. Знайдемо dt=d(-x 2) = -2xdx. Зазначимо, що вираз xdx є співмножником підінтегрального виразу шуканого інтегралу. Виразимо його з отриманої рівності xdx = - ½ dt. Тоді

У більш ранньому матеріалі було розглянуто питання знаходження похідної та були показані її різні застосування: обчислення кутового коефіцієнтащо стосується графіку, вирішення завдань на оптимізацію, дослідження функцій на монотонність та екстремуми. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Малюнок 1.

Також було розглянуто завдання знаходження миттєвої швидкості $v(t)$ за допомогою похідної по заздалегідь відомому пройденому шляху, що виражається функцією $s(t)$.

Малюнок 2.

Дуже часто зустрічається і зворотне завдання, коли потрібно знайти шлях $s(t)$, пройдений точкою за час $t$, знаючи швидкість руху точки $v(t)$. Якщо згадати, миттєва швидкість $v(t)$ перебуває, як похідна від функції шляху $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Значить, щоб вирішити обернену задачу, тобто обчислити шлях, потрібно знайти функцію, похідна якої дорівнюватиме функції швидкості. Але ми знаємо, що похідна шляху і є швидкість, тобто: $ s '(t) = v (t) $. Швидкість дорівнює добутку прискорення тимчасово: $v=at$. Неважко визначити, що потрібна функція шляху матиме вигляд: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Але це зовсім повне рішення. Повне рішення матиме вигляд: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) + C $, де $ C $ - деяка константа. Чому саме так буде розказано далі. А поки перевіримо правильність знайденого рішення: $ s "(t) = \ left (\ frac (at ^ 2) (2) + C \ right)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = at = v ( t) $.

Варто зауважити, що знаходження шляху за швидкістю є фізичним змістом первісної.

Отримана функція $s(t)$ називається первинної функції $v(t)$. Досить цікава і незвичайна назва, чи не так. У ньому криється великий сенс, який пояснює суть даного поняття та веде до його розуміння. Можна зауважити, що в ньому укладено два слова «перший» та «образ». Вони самі за себе говорять. Тобто це та функція, яка є вихідною для похідної. А ми по цій похідній шукаємо ту функцію, яка була на початку, була «першою», «перше», тобто первісною. Її іноді також називають примітивною функцією чи антипохідною.

Як нам відомо, процес перебування похідної називається диференціюванням. А процес знаходження первинної називається інтегруванням. Операція інтегрування є зворотною для операції диференціювання. Правильне і зворотне твердження.

Визначення.Первоподібною для функції $f(x)$ на певному інтервалі називається така функція $F(x)$, похідна якої дорівнює цій функції $f(x)$ для всіх $x$ із зазначеного інтервалу: $F'(x)=f (x) $.

У когось може виникнути питання: звідки у визначенні взялися $F(x)$ і $f(x)$, якщо спочатку йшлося про $s(t)$ і $v(t)$. Річ у тім, що $s(t)$ і $v(t)$ – окремі випадки позначення функцій, мають у разі конкретний зміст, тобто це функція часу і швидкість швидкості відповідно. Те саме і зі змінною $t$ - вона позначає час. А $f$ і $x$ – традиційний варіант загального позначенняфункції та змінної відповідно. Варто звернути особливу увагу на позначення первісної $F(x)$. По-перше, $F$ - велика. Первинні позначаються великими літерами. По-друге, літери збігаються: $F$ та $f$. Тобто, для функції $g(x)$ первісна буде позначатись $G(x)$, для $z(x)$ – $Z(x)$. Незалежно від позначень правила знаходження первинної функції завжди однакові.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.Довести, що функція $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ є першорядною функцією $f(x)=\cos5x$.

Для доказу скористаємося визначенням, а точніше тим фактом, що $F'(x)=f(x)$, і знайдемо похідну функції $F(x)$: $F'(x)=(\frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Отже $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ є первісною $f(x)=\cos5x$. Що й потрібно було довести.

приклад 2.Знайти, яким функціям відповідають такі первісні: $F(z)=\tg z$; б) $G(l) = \sin l$.

Щоб знайти потрібні функції, обчислимо їх похідні:
а) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
б) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

приклад 3.Якою буде первісна для $f(x)=0$?
Скористаємося визначенням. Подумаємо, яка функція може мати похідну, що дорівнює $0$. Згадуючи таблицю похідних, отримуємо, що будь-яка постійна матиме таку похідну. Отримуємо, що шукана нами первісна: $ F (x) = C $.

Отримане рішення можна пояснити геометрично та фізично. Геометрично воно означає, що до графіка $y=F(x)$ горизонтальна у кожному точці цього графіка і, отже, збігається з віссю $Ox$. Фізично пояснюється тим, що точка, що має швидкість, що дорівнює нулю, залишається на місці, тобто пройдений нею шлях незмінний. Тому можна сформулювати наступну теорему.

Теорема. (Ознака сталості функцій). Якщо деякому проміжку $F’(x) = 0$, то функція $F(x)$ у цьому проміжку постійна.

приклад 4.Визначити, першорядними яких функцій є функції а) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $; б) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $; в) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; г) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, де $a$ - деяке число.
Використовуючи визначення первісної, робимо висновок, що для вирішення цього завдання нам потрібно обчислити похідні даних першорядних функцій. При обчисленні пам'ятаємо, що похідна постійної, тобто будь-якого числа, дорівнює нулю.
а) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
б) $ F_2 = \ left (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 right) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
в) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
г) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Що ми бачимо? Декілька різних функцій є первісними однієї й тієї функції. Це говорить про те, що у будь-якої функції існує безліч первісних, і вони мають вигляд $F(x) + C$, де $C$ – довільна константа. Тобто операція інтегрування є багатозначною на відміну операції диференціювання. Сформулюємо виходячи з цього теорему, описує основне властивість первообразных.

Теорема. (Основна властивість первісних). Нехай функції $F_1$ і $F_2$ є первинними функціями $f(x)$ на деякому проміжку. Тоді для всіх значень цього проміжку справедлива наступна рівність: $F_2=F_1+C$, де $C$ – деяка константа.

Факт наявності нескінченної множини первісних можна інтерпретувати геометрично. За допомогою паралельного перенесення вздовж осі $Oy$ можна отримати один з одного графіки двох будь-яких первісних $f(x)$. У цьому полягає геометричний зміст первісної.

Дуже важливо звернути увагу на те, що вибором константи $C$ можна домогтися проходження графіка первісної через певну точку.

Малюнок 3.

Приклад 5.Знайти первісну для функції $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, графік якої проходить через точку $(3; 1)$.
Знайдемо спочатку все первісні для $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Далі знайдемо таке число C, у якому графік $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ проходить через точку $(3; 1)$. Для цього підставимо координати точки рівняння графіка і вирішимо його щодо $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Отримали графік $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, який відповідає первісній $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Таблиця первісних

Таблицю формул для знаходження первісних можна скласти, використовуючи формули знаходження похідних.

Перевірити правильність складання таблиці можна в такий спосіб: кожному за безлічі первісних, що у правому стовпці знайти похідну, у результаті вийдуть відповідні функції, які у лівому стовпці.

Деякі правила знаходження первісних

Як відомо, багато функцій мають більше складний вигляд, ніж зазначені в таблиці первісних, і можуть бути будь-яким довільним поєднанням сум і творів функцій з цієї таблиці. І тут постає питання, як обчислювати первісні подібні функції. Наприклад, з таблиці знаємо, як обчислити первісні $x^3$, $\sin x$ і $10$. А як, наприклад, обчислити первісну $x^3-10\sin x$? Забігаючи вперед, варто відзначити, що вона дорівнюватиме $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Якщо $F(x)$ первісна для $f(x)$, $G(x)$ – для $g(x)$, то для $f(x)+g(x)$ первісна дорівнюватиме $ F(x)+G(x)$.
2. Якщо $F(x)$ є первісною для $f(x)$ і $a$ – константа, то для $af(x)$ первісною буде $aF(x)$.
3. Якщо для $f(x)$ первісною є $F(x)$, $a$ і $b$ – константи, то $\frac(1)(a) F(ax+b)$ первісна для $f (ax + b) $.
Використовуючи отримані правила, ми можемо розширити таблицю первісних.

Приклад 5.Знайти первісні для:

а) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

б) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

в) $ \ displaystyle 5 \ cos x + \ sin (3x +15) $;

г) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

а) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x ^ 8 + C $;

б) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

в) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

г) $ frac (2) (3) x sqrt (x) - frac (3) (2) x sqrt (x) + C $.

Первісна функція та невизначений інтеграл

Факт 1. Інтегрування - дія, зворотне диференціювання, а саме відновлення функції за відомою похідною цієї функції. Відновлена ​​таким чином функція F(x) називається первісноїдля функції f(x).

Визначення 1. Функція F(x f(x) на деякому проміжку Xякщо для всіх значень xз цього проміжку виконується рівність F "(x)=f(x), тобто дана функція f(x) є похідною від первісної функції F(x). .

Наприклад, функція F(x) = sin x є первісною для функції f(x) = cos x на всій числовій прямій, тому що при будь-якому значенні ікса (sin x)" = (cos x) .

Визначення 2. Невизначеним інтегралом функції f(x) називається сукупність всіх її первісних. При цьому використовується запис

∫

f(x)dx

де знак ∫ називається знаком інтеграла, функція f(x) – підінтегральною функцією, а f(x)dx - Підінтегральний вираз.

Таким чином, якщо F(x) – якась первісна для f(x) , то

∫

f(x)dx = F(x) +C

де C - Довільна постійна (константа).

Для розуміння сенсу безлічі первісних функцій як невизначеного інтеграла доречна наступна аналогія. Нехай є двері (традиційні дерев'яні двері). Її функція – "бути дверима". А з чого зроблено двері? Із дерева. Значить, безліччю первісних підінтегральних функцій "бути дверима", тобто її невизначеним інтегралом, є функція "бути деревом + С", де С - константа, яка в даному контексті може позначати, наприклад, породу дерева. Подібно до того, як двері зроблені з дерева за допомогою деяких інструментів, похідна функції "зроблена" з первісної функції за допомогою формули, яку ми дізналися, вивчаючи похідну .

Тоді таблиця функцій поширених предметів та відповідних їм первісних ("бути дверима" - "бути деревом", "бути ложкою" - "бути металом" та ін.) аналогічна до таблиці основних невизначених інтегралів, яка буде наведена трохи нижче. У таблиці невизначених інтегралів перераховуються поширені функції із зазначенням первісних, у тому числі " зроблені " ці функції. У частині завдань перебування невизначеного інтеграла дані такі подинтегральные функції, які без особливих умов може бути проінтегровані безпосередньо, тобто за таблицею невизначених інтегралів. У завданнях складніше підінтегральну функцію потрібно попередньо перетворити те щоб можна було використовувати табличні інтеграли.

Факт 2. Відновлюючи функцію як первісну, ми маємо враховувати довільну постійну (константу) C, а щоб не писати список первісної з різними константами від 1 до нескінченності, потрібно записувати безліч первісних з довільною константою Cнаприклад, так: 5 x³+С . Отже, довільна стала (константа) входить у вираз первісної, оскільки первісна може бути функцією, наприклад, 5 x³+4 або 5 x³+3 та при диференціюванні 4 або 3, або будь-яка інша константа перетворюються на нуль.

Поставимо завдання інтегрування: для цієї функції f(x) знайти таку функцію F(x), похідна якоїдорівнює f(x).

приклад 1.Знайти безліч первісних функцій

Рішення. Для цієї функції первісною є функція

Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо похідна F(x) дорівнює f(x), або, що те саме, диференціал F(x) дорівнює f(x) dx, тобто.

(2)

Отже, функція - первісна для функції . Однак вона не є єдиною первісною для . Ними служать також функції

де З- Довільна постійна. У цьому вся можна переконатися диференціюванням.

Таким чином, якщо для функції існує одна первісна, то для неї існує безліч первісних, що відрізняються на постійне доданок. Усі первісні функції записуються в наведеному вище вигляді. Це випливає із наступної теореми.

Теорема (формальний виклад факту 2).Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на деякому проміжку Х, то будь-яка інша первісна для f(x) на тому ж проміжку може бути представлена ​​у вигляді F(x) + C, де З- Довільна постійна.

У наступний прикладвже звертаємось до таблиці інтегралів, яка буде дана у параграфі 3, після властивостей невизначеного інтегралу. Робимо це до ознайомлення з усією таблицею, щоб було зрозуміло суть вищевикладеного. А після таблиці та властивостей будемо користуватися ними при інтегруванні у всій повноті.

приклад 2.Знайти безліч первісних функцій:

Рішення. Знаходимо безліч первісних функцій, у тому числі " зроблені " дані функції. При згадці формул з таблиці інтегралів поки що просто прийміть, що є такі формули, а повністю саму таблицю невизначених інтегралів ми вивчимо трохи далі.

1) Застосовуючи формулу (7) з таблиці інтегралів при n= 3, отримаємо

2) Використовуючи формулу (10) з таблиці інтегралів при n= 1/3, маємо

3) Оскільки

то за формулою (7) при n= -1/4 знайдемо

Під знаком інтеграла пишуть не саму функцію f, а її твір на диференціал dx. Це робиться насамперед для того, щоб вказати, за якою змінною шукається первісна. Наприклад,

, ;

тут обох випадках подинтегральная функція дорівнює , та її невизначені інтеграли у розглянутих випадках виявляються різними. У першому випадку ця функція сприймається як функція від змінної x, а у другому - як функція від z .

Процес знаходження невизначеного інтеграла функції називається інтегрування цієї функції.

Геометричний зміст невизначеного інтегралу

Нехай потрібно знайти криву y=F(x)і ми вже знаємо, що тангенс кута нахилу дотичної в кожній її точці є задана функція f(x)абсциси цієї точки.

Згідно геометричному зміступохідної, тангенс кута нахилу дотичної в даній точці кривої y=F(x)дорівнює значенню похідної F"(x). Отже, потрібно знайти таку функцію F(x), для котрої F"(x)=f(x). Необхідна в завданні функція F(x)є первісною від f(x). Умову задачі задовольняє не одна крива, а сімейство кривих. y=F(x)- одна з таких кривих, а будь-яка інша крива може бути отримана з неї паралельним перенесенням вздовж осі Ой.

Назвемо графік первісної функції від f(x)інтегральної кривої. Якщо F"(x)=f(x), то графік функції y=F(x)є інтегральна крива.

Факт 3. Невизначений інтеграл геометрично представлений насінням усіх інтегральних кривих як на малюнку нижче. Відстань кожної кривої від початку координат визначається довільною постійною (константою) інтегрування C.

Властивості невизначеного інтегралу

Факт 4. Теорема 1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, яке диференціал – підинтегральному вираженню.

Факт 5. Теорема 2. Невизначений інтеграл від диференціалу функції f(x) дорівнює функції f(x) з точністю до постійного доданку , тобто.

(3)

Теореми 1 і 2 показують, що диференціювання та інтегрування є взаємно-зворотними операціями.

Факт 6. Теорема 3. Постійний множник у підінтегральному вираженні можна виносити за знак невизначеного інтегралу , тобто.

Головні інтеграли, які має знати кожен студент

Перелічені інтеграли – це базис, основа основ. Ці формули, безумовно, слід запам'ятати. При обчисленні складніших інтегралів вам доведеться постійно користуватися ними.

Зверніть особливу увагу на формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) та (19). Не забувайте при інтегруванні додавати до відповіді будь-яку постійну С!

Інтеграл від константи

Інтегрування статечної функції

Насправді, можна було обмежитися лише формулами (5) і (7), але решта інтегралів із цієї групи зустрічається настільки часто, що варто приділити їм трохи уваги.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Інтеграли від показової функції та від гіперболічних функцій

Зрозуміло, формулу (8) (мабуть, найзручнішу для запам'ятовування) можна як окремий випадок формули (9). Формули (10) та (11) для інтегралів від гіперболічного синуса та гіперболічного косинуса легко виводяться з формули (8), але краще просто запам'ятати ці співвідношення.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Базові інтеграли від тригонометричних функцій

Помилка, яку часто роблять студенти: плутають знаки у формулах (12) та (13). Запам'ятавши, що похідна синуса дорівнює косінусу, багато хто чомусь вважає, що інтеграл від функції sinx дорівнює сosx. Це не вірно! Інтеграл від синуса дорівнює "мінус косинусу", а ось інтеграл від cosx дорівнює "просто синусу":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Інтеграли, що зводяться до зворотних тригонометричних функцій

Формула (16), що призводить до арктангенсу, природно, є окремим випадком формули (17) при a=1. Аналогічно, (18) – окремий випадок (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = r c t g x + C = − a r c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Більш складні інтеграли

Ці формули теж бажано запам'ятати. Вони також використовуються досить часто, а їх висновок досить стомлюючий.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0) (24)

Загальні правила інтегрування

1) Інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі відповідних інтегралів: ∫(f(x) + g(x)) d x = ∫ f(x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Інтеграл від різниці двох функцій дорівнює різниці відповідних інтегралів: ∫(f(x) − g(x)) d x = ∫ f(x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константу можна виносити за знак інтеграла: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Легко помітити, що властивість (26) – це просто комбінація властивостей (25) та (27).

4) Інтеграл від складної функціїякщо внутрішня функція є лінійною: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тут F(x) - первісна для функції f(x). Зверніть увагу: ця формула підходить тільки для випадку, коли внутрішня функція має вигляд Ax+B.

Важливо: немає універсальної формули для інтеграла від добутку двох функцій, і навіть для інтеграла від дробу:

∫ f(x) g(x) d x = ? ∫ f(x) g(x) d x = ? (30)

Це не означає, звичайно, що дріб чи твір не можна проінтегрувати. Просто щоразу, побачивши інтеграл типу (30), вам доведеться винаходити спосіб боротьби з ним. У якихось випадках вам допоможе інтегрування частинами, десь доведеться зробити заміну змінною, а іноді допомогу можуть надати навіть "шкільні" формули алгебри або тригонометрії.

Простий приклад обчислення невизначеного інтеграла

Скористаємося формулами (25) і (26) (інтеграл від суми або різниці функцій дорівнює сумі або різниці відповідних інтегралів. Отримуємо: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Згадаймо, що константу можна виносити як знак інтеграла (формула (27)). Вираз перетворюється на вигляд

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

А тепер просто скористаємось таблицею основних інтегралів. Нам потрібно буде застосувати формули (3), (12), (8) та (1). Проінтегруємо статечну функцію, синус, експоненту та константу 1. Не забудемо додати в кінці довільну постійну С:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Після елементарних перетворень отримуємо остаточну відповідь:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Перевірте себе диференціюванням: візьміть похідну від отриманої функції та переконайтеся, що вона дорівнює вихідному підінтегральному виразу.

Зведена таблиця інтегралів

Завантажте таблицю інтегралів (частина II) за цим посиланням

Якщо Ви навчаєтесь у ВНЗ, якщо у Вас виникли складнощі з вищою математикою (математичний аналіз, лінійна алгебра, теорія ймовірностей, статистика), якщо Вам потрібні послуги кваліфікованого викладача, зайдіть на сторінку репетитора з вищої математики. Вирішуватимемо Ваші проблеми разом!

Можливо, вас зацікавлять також

Основні формули та методи інтегрування. Правило інтегрування суми чи різниці. Винесення постійної за знак інтегралу. Метод заміни змінної. Формула інтегрування частинами. Приклад розв'язання задачі.

Нижче наведено чотири основні методи інтегрування.

1) Правило інтегрування суми чи різниці.
.
Тут і далі u, v, w - функції змінної інтегрування x .

2) Винесення постійної за знак інтегралу.
Нехай c - постійна, що не залежить від x. Тоді її можна винести за знак інтегралу.

3) Метод заміни змінної.
Розглянемо невизначений інтеграл.
Якщо вдасться підібрати таку функцію? (x)від x, так що
,
то, виконавши заміну змінної t = φ(x) , маємо
.

4) Формула інтегрування частинами.
,
де u та v - це функції від змінної інтегрування.

Кінцева мета обчислення не певних інтегралів- це шляхом перетворень привести заданий інтеграл до найпростіших інтегралів, які називаються табличними. Табличні інтеграли виражаються через елементарні функціїза відомими формулами.
Див. Таблиця інтегралів >>>

приклад

Обчислити невизначений інтеграл

Рішення

Зауважуємо, що підінтегральна функція є сумою та різницею трьох членів:
, та .
Застосовуємо метод 1 .

Далі зауважуємо, що підінтегральні функції нових інтегралів помножені на постійні 5, 4, і 2 відповідно. Застосовуємо метод 2 .

У таблиці інтегралів знаходимо формулу
.
Вважаючи n = 2 знаходимо перший інтеграл.

Перепишемо другий інтеграл у вигляді
.
Помічаємо, що . Тоді

Застосовуємо третій метод. Робимо заміну змінної t = φ (x) = ln x.
.
У таблиці інтегралів знаходимо формулу

Оскільки змінна інтегрування може позначатися будь-якою літерою, то

Перепишемо третій інтеграл у вигляді
.
Застосовуємо формулу інтегрування частинами.
Покладемо.
Тоді
;
;

;
;
.