Що таке логарифми визначення. Властивості логарифмів та приклади їх рішень

Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня х , в яку потрібно звести а , щоб отримати число N

За умови, що
,
,

З визначення логарифму випливає, що
, тобто.
- ця рівність є основною логарифмічною тотожністю.

Логарифми на підставі 10 називаються десятковими логарифмами. Замість
пишуть
.

Логарифми з основи e називаються натуральними та позначаються
.

Основні властивості логарифмів.

Логарифм одиниці за будь-якої підстави дорівнює нулю

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.

3) Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів

Множник
називається модулем переходу від логарифмів на підставі a до логарифмів на підставі b .

За допомогою властивостей 2-5 часто вдається звести логарифм складного виразу результату простих арифметичних дій над логарифмами.

Наприклад,

Такі перетворення логарифму називаються логарифмуванням. Перетворення зворотні логарифмування називаються потенціюванням.

Розділ 2. Елементи вищої математики.

1. Межі

Межею функції
є кінцеве число А, якщо при прагненні xx 0 для кожного наперед заданого
, знайдеться таке число
, що як тільки
, то
.

Функція, що має межу, відрізняється від нього на нескінченно малу величину:
, де -б.м.в., тобто.
.

приклад. Розглянемо функцію
.

При прагненні
, функція y прагне до нуля:

1.1. Основні теореми про межі.

Межа постійної величини дорівнює цій постійній величині

.

Межа суми (різниці) кінцевого числа функцій дорівнює сумі (різниці) меж цих функцій.

Межа добутку кінцевого числа функцій дорівнює добутку меж цих функцій.

Межа частки двох функцій дорівнює приватній межі цих функцій, якщо межа знаменника не дорівнює нулю.

Чудові межі

,
, де

1.2. Приклади обчислення меж

Однак не всі межі обчислюються так просто. Найчастіше обчислення межі зводиться до розкриття невизначеності типу: або .

.

2. Похідна функції

Нехай ми маємо функцію
, безперервну на відрізку
.

Аргумент отримав деякий приріст
. Тоді і функція отримає збільшення
.

Значення аргументу відповідає значення функції
.

Значення аргументу
відповідає значення функції.

Отже, .

Знайдемо межу цього відношення при
. Якщо ця межа існує, то вона називається похідною цієї функції.

Визначення 3Виробної даної функції
за аргументом називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли збільшення аргументу довільним чином прагне до нуля.

Похідна функції
може бути позначена таким чином:

; ; ; .

Визначення 4Операція знаходження похідної від функції називається диференціюванням.

2.1. Механічний сенс похідної.

Розглянемо прямолінійний рух деякого твердого тіла чи матеріальної точки.

Нехай у певний момент часу точка, що рухається
знаходилась на відстані від початкового положення
.

Через деякий проміжок часу
вона перемістилася на відстань
. Ставлення =- Середня швидкість матеріальної точки
. Знайдемо межу цього відношення, враховуючи що
.

Отже визначення миттєвої швидкості руху матеріальної точки зводиться до знаходження похідної від шляху за часом.

2.2. Геометричне значення похідної

Нехай ми маємо графічно задану деяку функцію
.

Мал. 1. Геометричний зміст похідної

Якщо
, то крапка
, буде переміщатися кривою, наближаючись до точки
.

Отже
, тобто. значення похідної за даного значення аргументу чисельно дорівнює тангенсу кута утвореного дотичної в даній точці з позитивним напрямом осі
.

2.3. Таблиця основних формул диференціювання.

Ступінна функція

Показова функція

Логарифмічна функція

Тригонометрична функція

Зворотна тригонометрична функція

2.4. Правила диференціювання.

Похідна від

Похідна суми (різниці) функцій

Похідна робота двох функцій

Похідна приватного двох функцій

2.5. Похідна від складної функції.

Нехай дана функція
така, що її можна подати у вигляді

і
, де змінна є проміжним аргументом, тоді

Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу по x.

Приклад1.

Приклад2.

3. Диференціал функції.

Нехай є
, що диференціюється на деякому відрізку
і нехай у цієї функції є похідна

,

тоді можна записати

(1),

де - нескінченно мала величина,

так як при

Помножуючи всі члени рівності (1) на
маємо:

Де
- Б.М.В. вищого ладу.

Величина
називається диференціалом функції
і позначається

.

3.1. Геометричне значення диференціалу.

Нехай дана функція
.

Рис.2. Геометричний зміст диференціалу.

.

Очевидно, що диференціал функції
дорівнює приросту ординати дотичної у цій точці.

3.2. Похідні та диференціали різних порядків.

Якщо є
тоді
називається першою похідною.

Похідна від першої похідної називається похідною другого порядку та записується
.

Похідний n-го порядку від функції
називається похідна (n-1)-го порядку та записується:

.

Диференціал від диференціалу функції називається другим диференціалом чи диференціалом другого порядку.

.

.

3.3 Розв'язання біологічних завдань із застосуванням диференціювання.

Задача1. Дослідження показали, що зростання колонії мікроорганізмів підпорядковується закону
, де N – чисельність мікроорганізмів (у тис.), t -Час (Дні).

б) Чи буде в цей період чисельність колонії збільшуватися чи зменшуватись?

Відповідь. Чисельність колонії збільшуватиметься.

Задача 2. Вода в озері періодично тестується контролю вмісту хвороботворних бактерій. Через t днів після тестування концентрація бактерій визначається співвідношенням

.

Коли в озері настане мінімальна концентрація бактерій і чи можна буде в ньому купатися?

РішенняФункція досягає max або min, коли її похідна дорівнює нулю.

,

Визначимо max чи min буде через 6 днів. Для цього візьмемо другу похідну.

Відповідь: Через 6 днів буде мінімальна концентрація бактерій.

log a r b r = log a bабо log a b= log a r b r

Значення логарифму не зміниться, якщо основа логарифму та число під знаком логарифму звести в той самий ступінь.

Під знаком логарифму можуть бути лише позитивні числа, причому, підстава логарифму не дорівнює одиниці.

приклади.

1) Порівняти log 3 9 та log 9 81.

log 3 9 = 2, оскільки 3 2 = 9;

log 9 81 = 2, оскільки 9 2 = 81.

Отже, log 3 9 = log 9 81.

Зауважимо, що основа другого логарифму дорівнює квадрату основи першого логарифму: 9=3 2 , а число під знаком другого логарифму дорівнює квадрату числа під знаком першого логарифму: 81=9 2 . Виходить, що і число і основа першого логарифму log 3 9 були зведені на другий ступінь, і значення логарифму від цього не змінилося:

Далі, оскільки вилучення кореня n-й ступеня з числа ає зведення числа ау ступінь ( 1/n), то з log 9 81 можна отримати log 3 9 вилученням квадратного кореня з числа та з основи логарифму:

2) Перевірити рівність: log 4 25 = log 0,5 0,2.

Розглянемо перший логарифм. Вилучимо квадратний коріньз основи 4 і з числа 25 ; отримуємо: log 4 25 = log 2 5.

Розглянемо другий логарифм. Основа логарифму: 0,5 = 1/2. Число під знаком цього логарифму: 0,2 = 1/5. Зведемо кожне з цих чисел у мінус перший ступінь:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Таким чином, log 0,5 0,2 = log 2 5. Висновок: ця рівність вірна.

Вирішити рівняння:

log 4 x 4 + log 16 81 = log 2 (5x +2).Наведемо логарифми зліва до основи 2 .

log 2 x 2 + log 2 3 = log 2 (5x + 2). Витягли квадратний корінь із числа та з основи першого логарифму. Витягли корінь четвертого ступеня з числа та основи другого логарифму.

log 2 (3x 2) = log 2 (5x+2). Перетворили суму логарифмів на логарифм твору.

3x2 = 5x+2. Отримали після потенціювання.

3x2-5x-2=0. Вирішуємо квадратне рівнянняза загальною формулою для повного квадратного рівняння:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 дійсних кореня.

Перевірка.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 + log 2 3 = log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12 = log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ log a b

Логарифм числа bна підставі a nдорівнює добутку дробу 1/ nна логарифм числа bна підставі a.

Знайти:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 якщо відомо, що log 2 3 = b,log 5 2=c.

Рішення.

Розв'язати рівняння:

1) log 2 x + log 4 x + log 16 x = 5,25.

Рішення.

Наведемо дані логарифми до основи 2. Застосуємо формулу: log a n b=(1/ n)∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(½) log 2 x=5,25;

log 2 x + 0,5 log 2 x + 0,25 log 2 x = 5,25. Наводимо такі складові:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 · log 2 x = 5,25 |: 1,75

log 2 x = 3. За визначенням логарифму:

2) 0,5 log 4 (x-2) + log 16 (x-3) = 0,25.

Рішення. Логарифм з основи 16 приведемо до основи 4.

0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5

log 4 (x-2) + log 4 (x-3) = 0,5. Перетворимо суму логарифмів на логарифм твору.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x +6) = 0,5;

log 4 (x 2 -5x +6) = 0,5. За визначенням логарифму:

x 2 -5x +4 = 0. За теоремою Вієта:

x 1 = 1; х 2 =4. Перше значення х не підійде, тому що при х = 1 логарифми цієї рівності не існують, адже під знаком логарифму можуть бути лише позитивні числа.

Перевіримо це рівняння при х=4.

Перевірка.

0,5 log 4 (4-2) + log 16 (4-3) = 0,25

0,5 log 4 2+log 16 1 = 0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b = log c b / log c a

Логарифм числа bна підставі а дорівнює логарифмучисла bз нової основи з, поділеному на логарифм старої основи аз нової основи з.

Приклади:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7 = ln7/ln8.

Обчислити:

1) log 5 7якщо відомо, що lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / log c a.

log 5 7=lg7/lg5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Відповідь: log 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) log 5 7 якщо відомо, що ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Рішення. Застосовуємо формулу: log a b = log c b / log c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Відповідь: log 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Знайдіть х:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Використовуємо формулу: log c b / log c a = log a b . Отримуємо:

log 3 x = log 3 4 + log 3 6 + log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x = log 3 192;

x=192.

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Використовуємо формулу: log c b / log c a = log a b. Отримуємо:

log 7 x = lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143-(lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x = lg143-lg143;

x=1.

Сторінка 1 з 1 1

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять у ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою та страшною. Особливо – рівняння з логарифмами.

Це зовсім не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за ​​якісь 10 – 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться вирішувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо про них нічого не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати лише таблицю множення, та як зводиться число до ступеня...

Відчуваю, сумніваєтеся ви... Ну гаразд, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в умі ось таке рівняння:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.