Елементарне інтегрування. Основні формули та методи інтегрування

Навчитися інтегрування не складно. Для цього необхідно лише засвоїти певний, досить невеликий набір правил і розробити у себе свого роду чуття. Вивчити правила і формули, звичайно, легко, але зрозуміти, де і коли потрібно застосувати те чи інше правило інтегрування або диференціювання, досить важко. У цьому, власне, і є вміння інтегрувати.

1. Первісна. Невизначений інтеграл.

Передбачається, що до моменту читання цієї статті читач вже має якісь навички диференціювання (тобто знаходження похідних).

Визначення 1.1:Функція називається первісної функції, якщо виконується рівність:

Коментарі:> Наголос у слові “первоподібна” можна ставити двома способами: перш пробразна або першообр азнаючи.

Властивість 1:Якщо функція є первісною функцією, то функція також є першорідною функцією.

Доведення:Доведемо це з визначення первісної. Знайдемо похідну функції:

Перший доданок по визначення 1.1одно , а другий доданок є похідною константи, яка дорівнює 0.

.

Підведемо підсумок. Запишемо початок і кінець ланцюжка рівностей:

Отже, похідна функції дорівнює , отже, за визначенням, є її первообразной. Властивість доведено.

Визначення 1.2:Невизначеним інтегралом функції називається вся множина первісних цієї функції. Це означає так:

.

Розглянемо назви кожної частини запису докладно:

- загальне позначення інтеграла,

- Підінтегральний (підінтегральний) вираз, інтегрована функція.

- диференціал, і вираз після літери , даному випадкуце , називатимемо змінною інтегрування.

Коментарі: Ключові словау цьому визначенні - "все безліч". Тобто. якщо в майбутньому у відповіді не буде записано це «плюс С», то перевіряючий має повне правоне врахувати це завдання, т.к. необхідно знайти все безліч первісних, а якщо С відсутня, то знайдено лише одну.

Висновок:Для того, щоб перевірити, чи правильно обчислений інтеграл, необхідно знайти від результату похідну. Вона має збігтися з підінтегральним виразом.
Приклад:
Завдання:Обчислити невизначений інтеграл та виконати перевірку.

Рішення:

Те, як обчислений цей інтеграл, у разі немає ніякого значення. Припустимо, що це одкровення згори. Наше завдання показати, що одкровення нас не обдурило, а зробити це можна за допомогою перевірки.

Перевірка:

При диференціювання результату отримали подынтегральное вираз, отже, інтеграл обчислений правильно.

2. Початок. Таблиця інтегралів.

Для інтегрування не потрібно щоразу згадувати функцію, похідна якої дорівнює даної підінтегральної функції (тобто використовувати безпосередньо визначення інтегралу). У кожному збірнику завдань чи підручнику з математичного аналізу наведено список властивостей інтегралів та таблицю найпростіших інтегралів.

Перелічимо властивості.

Властивості:
1.
Інтеграл від диференціала дорівнює змінній інтеграції.
2. де - Константа.
Множник-константу можна виносити за знак інтегралу.

3.
Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів (якщо кількість доданків звичайно).
Таблиця інтегралів:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Найчастіше завдання полягає в тому, щоб за допомогою властивостей та формул звести досліджуваний інтеграл до табличного.

Приклад:

[ Скористаємося третьою властивістю інтегралів і запишемо у вигляді суми трьох інтегралів.]

[ Скористаємося другою властивістю і винесемо константи за знак інтегрування.]

[ У першому інтегралі скористаємося табличним інтегралом №1 (n=2), у другому – тієї ж формулою, але n=1, а третього інтеграла можна або скористатися тим самим табличним інтегралом, але з n=0, чи першим властивістю. ]
.
Перевіримо диференціюванням:

Отримано вихідне підінтегральне вираз, отже, інтегрування виконано без помилок (і навіть не забуто додаток довільної константи С).

Табличні інтеграли потрібно вивчити напам'ять з однієї простої причини – щоб знати, чого прагнути, тобто. знати мету перетворення даного висловлювання.

Наведемо ще кілька прикладів:
1)
2)
3)

Завдання для самостійного вирішення:

Завдання 1.Обчислити невизначений інтеграл:

+ Показати/сховати підказку №1.

1) Скористатися третьою властивістю та подати цей інтеграл як суму трьох інтегралів.

+ Показати/сховати підказку №2.

+ Показати/сховати підказку №3.

3) Для перших двох доданків скористатися першим табличним інтегралом, а третього – другим табличним.

+ Показати/сховати Рішення та Відповідь.

4) Рішення:

Відповідь:

На цій сторінці ви знайдете:

1. Власне, таблицю первісних - її можна завантажити у форматі PDF та роздрукувати;

2. Відео, присвячене тому, як користуватися цією таблицею;

3. Купу прикладів обчислення первісної з різних підручників та контрольних робіт.

У самому відео ми розберемо безліч завдань, де потрібно порахувати першорядні функцій, часто досить складних, але головне — статечних. Усі функції, зведені в таблицю, запропоновану вище, необхідно знати напам'ять, подібно до похідних. Без них неможливе подальше вивчення інтегралів та їх застосування для вирішення практичних завдань.

Сьогодні ми продовжуємо займатися першорядними і переходимо до більш складної теми. Якщо минулого разу ми розглядали первісні лише від статечних функцій і трохи складніших конструкцій, то сьогодні ми розберемо тригонометрію та багато іншого.

Як я говорив на минулому занятті, первісні на відміну від похідних ніколи не вирішуються «напролом» за допомогою будь-яких стандартних правил. Понад те, погана новина у тому, що на відміну похідної, первообразная взагалі може вважатися. Якщо ми напишемо зовсім випадкову функцію і спробуємо знайти її похідну, то це з дуже великою ймовірністю у нас вийде, а ось первісна практично ніколи в цьому випадку не вважатиметься. Але є й хороша новина: існує досить великий клас функцій, які називають елементарними, первісні від яких дуже легко вважаються. А всі інші більше складні конструкції, які дають на всіляких контрольних, самостійних та іспитах, насправді складаються з цих елементарних функційшляхом додавання, віднімання та інших нескладних дій. Першорядні такі функції давно пораховані і зведені в спеціальні таблиці. Саме з такими функціями та таблицями ми сьогодні працюватимемо.

Але почнемо ми, як завжди, з повторення: пригадаємо, що таке первообразна, чому їх нескінченно багато і як визначити їх загальний вигляд. Для цього я підібрав два прості завдання.

Рішення легких прикладів

Приклад №1

Відразу зауважимо, що $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ і взагалі наявність $\text( )\!\!\pi\!\!\ text( )$ відразу натякає нам, що шукана первісна функції пов'язані з тригонометрією. І, дійсно, якщо ми подивимося в таблицю, то виявимо, що $ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ - не що інше як $ text (arctg) x $. Так і запишемо:

Для того, щоб знайти, необхідно записати наступне:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C]

Приклад №2

Тут також мова йдепро тригонометричних функціях. Якщо ми подивимося в таблицю, то дійсно так і вийде:

Нам потрібно серед усієї множини первісних знайти ту, яка проходить через вказану точку:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Давайте остаточно запишемо:

Отак усе просто. Єдина проблема полягає в тому, щоб вважати первісні простих функцій, Треба вивчити таблицю первісних. Однак після вивчення похідних таблиці для вас, я думаю, це не буде проблемою.

Вирішення задач, що містять показову функцію

Для початку запишемо такі формули:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Погляньмо, як це все працює на практиці.

Приклад №1

Якщо ми подивимося на вміст дужок, то зауважимо, що в таблиці первісних немає такого виразу, щоб $((e)^(x))$ стояло у квадраті, тому цей квадрат необхідно розкрити. Для цього скористаємося формулами скороченого множення:

Давайте знайдемо першорядну для кожного з доданків:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

А тепер зберемо всі складові в єдиний вираз і отримаємо загальну первісну:

Приклад №2

Цього разу ступінь вже більший, тому формула скороченого множення буде досить складною. Отже розкриємо дужки:

Тепер від цієї конструкції спробуємо взяти первісну від нашої формули:

Як бачите, у первообразних показової функціїнемає нічого складного та надприродного. Всі один вважаються через таблиці, проте уважні учні напевно помітять, що первісна $((e)^(2x))$ набагато ближче просто до $((e)^(x))$ ніж до $((a)^(x )) $. Так, можливо, існує якесь більш спеціальне правило, що дозволяє, знаючи первісну $((e)^(x))$, знайти $((e)^(2x))$? Так, таке правило існує. І, більше, воно є невід'ємною частиною роботи з таблицею первісних. Його ми зараз розберемо на прикладі тих самих виразів, з якими ми щойно працювали.

Правила роботи з таблицею первісних

Ще раз випишемо нашу функцію:

У попередньому випадку ми використовували для вирішення таку формулу:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Але зараз зробимо трохи інакше: пригадаємо, на якому знов $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Як уже й казав, тому що похідна $((e)^(x))$ — це не що інше як $((e)^(x))$, тому її першорядна дорівнюватиме тому ж самому $((e) ^(x))$. Але проблема в тому, що у нас $((e)^(2x))$ і $((e)^(-2x))$. Зараз спробуємо знайти похідну $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Давайте ще раз перепишемо нашу конструкцію:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2) \right))^(\prime ))\]

А це означає, що при знаходженні первісної $((e)^(2x))$ ми отримаємо наступне:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Як бачите, ми отримали той самий результат, що й раніше, проте не скористалися формулою для знаходження $((a)^(x))$. Зараз це може здатися дурістю: навіщо ускладнювати обчислення, коли є стандартна формула? Проте у складніших висловлюваннях ви переконаєтеся, що це прийом дуже ефективний, тобто. використання похідних для знаходження первісних.

Давайте як розминку аналогічним способом знайдемо первісну від $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x))))(-2) \right))^(\prime ))\]

При обчисленні наша конструкція запишеться так:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Ми отримали той самий результат, але пішли при цьому іншим шляхом. Саме цей шлях, який зараз здається нам трохи складнішим, надалі виявиться більш ефективним для обчислення складніших первісних та використання таблиць.

Зверніть увагу! Це дуже важливий момент: первісні як і похідні можна вважати безліччю різних способів. Однак якщо всі обчислення та викладки будуть рівні, то відповідь вийде одним і тим же. Ми переконалися в цьому щойно на прикладі $((e)^(-2x))$ — з одного боку ми порахували цю первісну «напролом», скориставшись визначенням і порахувавши її за допомогою перетворень, з іншого боку, ми згадали, що $ ((e)^(-2x))$ може бути представлено як $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ і вже потім скористалися первісною для функції $( (a)^(x))$. Тим не менш, після всіх перетворень результат вийшов одним і тим самим, як і передбачалося.

А тепер, коли ми все це зрозуміли, настав час перейти до чогось більшого. Зараз ми розберемо дві простенькі конструкцій, проте прийом, який буде закладений при їх вирішенні, є більш потужним і корисним інструментом, ніж просте «бігання» між сусідніми первісними таблиці.

Розв'язання задач: знаходимо первісну функцію

Приклад №1

Давайте суму, яка коштує в чисельники, розклади на три окремі дроби:

Це досить природний та зрозумілий перехід — у більшості учнів проблем із ним не виникає. Перепишемо наш вираз так:

А тепер згадаємо таку формулу:

У нашому випадку ми отримаємо таке:

Щоб позбавитися всіх цих триповерхових дробів, пропоную вчинити так:

Приклад №2

На відміну від попереднього дробу у знаменнику стоїть не твір, а сума. У цьому випадку ми вже не можемо розділити наш дріб на суму кількох простих дробів, А потрібно якимось чином постаратися зробити так, щоб у чисельнику стояло приблизно такий самий вираз як у знаменнику. У цьому випадку зробити це досить просто:

Такий запис, який мовою математики називається «додавання нуля», дозволить нам знову розділити дріб на два шматочки:

Тепер знайдемо те, що шукали:

Ось і всі обчислення. Незважаючи на уявну більшу складність, ніж у попередньому завданні, обсяг обчислень вийшов навіть меншим.

Нюанси рішення

І ось у цьому криється основна складність роботи з табличними первісними, особливо це помітно на другому завданні. Справа в тому, що для того, щоб виділити якісь елементи, які легко вважаються через таблицю, нам потрібно знати, що конкретно ми шукаємо, і саме в пошуку цих елементів і полягає все обчислення первісних.

Інакше кажучи, недостатньо просто зазубрити таблицю первісних — треба вміти бачити щось, чого ще немає, але що мав на увазі автор і укладач цього завдання. Саме тому багато математиків, вчителів та професорів постійно сперечаються: «А що таке взяття першорядних чи інтегрування — це просто інструмент чи це справжнє мистецтво?». Насправді, особисто на мій погляд, інтегрування — це не мистецтво — в ньому немає нічого піднесеного, це просто практика і ще раз практика. І щоб попрактикуватися, давайте вирішимо ще три серйозніші приклади.

Тренуємося в інтегруванні на практиці

Завдання №1

Запишемо такі формули:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Давайте запишемо таке:

Завдання № 2

Перепишемо так:

Разом перша буде дорівнювати:

Завдання №3

Складність цього завдання у тому, що на відміну попередніх функцій зверху взагалі відсутня якась змінна $x$, тобто. нам незрозуміло, що додавати, віднімати, щоб отримати хоч щось схоже на те, що стоїть знизу. Однак, насправді, цей вираз вважається навіть простіше, ніж будь-який вираз із попередніх конструкцій, тому що цю функціюможна переписати так:

Можливо, ви зараз запитаєте: чому ці функції рівні? Давайте перевіримо:

Ще перепишемо:

Трохи перетворимо наш вираз:

І коли я все це пояснюю своїм учням, практично завжди виникає та сама проблема: з першою функцією все більш-менш зрозуміло, з другою теж при везенні чи практиці можна розібратися, але яку альтернативну свідомість треба мати, щоб вирішити третій приклад? Насправді не лякайтеся. Той прийом, який ми використовували при обчисленні останньої первісної, називається «розкладання функції на найпростіші», і це дуже серйозний прийом, і йому буде присвячено окремий відеоурок.

А поки що пропоную повернутися до того, що ми щойно вивчили, а саме, до показових функцій і дещо ускладнити завдання з їх змістом.

Більш складні завдання на вирішення первинних показових функцій

Завдання №1

Зауважимо таке:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Щоб знайти первісної цього виразу, досить просто скористатися стандартною формулою - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

У нашому випадку первісна буде така:

Зрозуміло, на тлі тієї конструкції, яку ми вирішували щойно, ця виглядає більш простою.

Завдання № 2

Знову ж таки, неважко помітити, що цю функцію нескладно розділити на два окремих доданків — два окремі дроби. Перепишемо:

Залишилося знайти первісну від кожного від цих доданків за формулою:

Незважаючи на велику складність показових функцій у порівнянні зі статечними, загальний обсяг обчислень і викладок вийшов набагато простіше.

Звичайно, для знаючих учнів те, що ми тільки-но розібрали (особливо на тлі того, що ми розібрали до цього), може здатися елементарними виразами. Однак вибираючи саме ці дві задачі для сьогоднішнього відеоуроку, я не ставив собі за мету розповісти вам ще один складний і наворочений прийом — все, що я хотів вам показати, так це те, що не варто боятися використовувати стандартні прийоми алгебри для перетворення вихідних функцій.

Використання «секретного» прийому

На закінчення хотілося б розібрати ще один цікавий прийом, який, з одного боку виходить за межі того, що ми сьогодні переважно розбирали, але, з іншого боку, він, по-перше, зовсім не складний, тобто. його можуть освоїти навіть учні-початківці, а, по-друге, він досить часто зустрічається на всіляких контрольних і самостійних роботах, тобто. знання його буде дуже корисно на додаток до знання таблиці первісних.

Завдання №1

Очевидно, що перед нами щось дуже схоже на статечну функцію. Як нам вчинити у цьому випадку? Давайте замислимося: $x-5$ відрізняється від $x$ не так вже й сильно - просто додали $-5$. Запишемо так:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5) = ((x) ^ (4)) \]

Давайте спробуємо знайти похідну від $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Звідси випливає:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5))))(5) \ right))^(\prime ))\]

У таблиці немає такого значення, тому ми зараз самі вивели цю формулу, використовуючи стандартну формулу первісної для статечної функції. Давайте так і запишемо відповідь:

Завдання № 2

Багатьом учням, які подивляться на перше рішення, може здатися, що все дуже просто: достатньо замінити в статечній функції $x$ лінійним виразом, і все стане на свої місця. На жаль, все не так просто, і зараз ми переконаємося в цьому.

За аналогією з першим виразом запишемо наступне:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Повертаючись до нашої похідної, ми можемо записати:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10))))--30) \right))^(\prime ))\]

Звідси відразу випливає:

Нюанси рішення

Зверніть увагу: якщо минулого разу насправді нічого не змінилося, то в другому випадку замість $-10$ з'явилося $-30$. На що відрізняється $-10$ та $-30$? Вочевидь, що у множник $-3$. Запитання: звідки він узявся? Придивившись, можна побачити, що вона взялася в результаті обчислень похідної складної функції - той коефіцієнт, який стояв при $x$, з'являється в першорядній внизу. Це дуже важливе правило, Яке я спочатку взагалі не планував розбирати в сьогоднішньому відеоуроці, але без нього виклад табличних первісних було б неповним.

Тож давайте ще раз. Нехай є наша основна статечна функція:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

А тепер замість $x$ давайте підставимо вираз $kx+b$. Що тоді станеться? Нам потрібно знайти таке:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+) 1 \right)\cdot k)\]

На якій підставі це ми стверджуємо? Дуже просто. Давайте знайдемо похідну написаної вище конструкції:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1))))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Це той самий вираз, який спочатку був. Таким чином, ця формула теж вірна, і нею можна доповнити таблицю первісних, а краще просто запам'ятати всю таблицю.

Висновки із «секретного: прийому:

• Обидві функції, які ми щойно розглянули, насправді, можуть бути зведені до первісних, зазначених у таблиці, шляхом розкриття ступенів, але якщо з четвертим ступенем ми ще більш-менш якось упораємося, то ось дев'ятий ступінь я б взагалі не ризикнув розкривати.
• Якби ми розкрили ступеня, то ми отримали б такий обсяг обчислень, що просте завданнязайняла б у нас неадекватно велика кількістьчасу.
• Саме тому такі завдання, усередині яких стоять лінійні вирази, не потрібно вирішувати «напролом». Як тільки ви зустрічаєте первісну, яка відрізняється від тієї, що в таблиці, лише наявністю виразу $kx+b$ всередині, відразу згадуйте написану вище формулу, підставляйте її у вашу табличну первісну, і все у вас вийде набагато швидше та простіше.

Звичайно, через складність і серйозність цього прийому ми ще неодноразово повернемося до його розгляду в майбутніх відеоуроках, але на сьогодні у мене все. Сподіваюся, цей урок справді допоможе тим учням, які хочуть розібратися у першорядних та в інтегруванні.

Головні інтеграли, які має знати кожен студент

Перелічені інтеграли – це базис, основа основ. Ці формули, безумовно, слід запам'ятати. При обчисленні складніших інтегралів вам доведеться постійно користуватися ними.

Зверніть особливу увагу на формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) та (19). Не забувайте при інтегруванні додавати до відповіді будь-яку постійну С!

Інтеграл від константи

Інтегрування статечної функції

Насправді, можна було обмежитися лише формулами (5) і (7), але решта інтегралів із цієї групи зустрічається настільки часто, що варто приділити їм трохи уваги.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Інтеграли від показової функції та від гіперболічних функцій

Зрозуміло, формулу (8) (мабуть, найзручнішу для запам'ятовування) можна як окремий випадок формули (9). Формули (10) та (11) для інтегралів від гіперболічного синуса та гіперболічного косинуса легко виводяться з формули (8), але краще просто запам'ятати ці співвідношення.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Базові інтеграли від тригонометричних функцій

Помилка, яку часто роблять студенти: плутають знаки у формулах (12) та (13). Запам'ятавши, що похідна синуса дорівнює косінусу, багато хто чомусь вважає, що інтеграл від функції sinx дорівнює сosx. Це не вірно! Інтеграл від синуса дорівнює "мінус косинусу", а ось інтеграл від cosx дорівнює "просто синусу":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Інтеграли, що зводяться до зворотних тригонометричних функцій

Формула (16), що призводить до арктангенсу, природно, є окремим випадком формули (17) при a=1. Аналогічно, (18) – окремий випадок (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = r c t g x + C = − a r c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Більш складні інтеграли

Ці формули теж бажано запам'ятати. Вони також використовуються досить часто, а їх висновок досить стомлюючий.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0) (24)

Загальні правила інтегрування

1) Інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі відповідних інтегралів: ∫(f(x) + g(x)) d x = ∫ f(x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Інтеграл від різниці двох функцій дорівнює різниці відповідних інтегралів: ∫(f(x) − g(x)) d x = ∫ f(x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константу можна виносити за знак інтеграла: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Легко помітити, що властивість (26) – це просто комбінація властивостей (25) та (27).

4) Інтеграл від складної функції, якщо внутрішня функція є лінійною: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тут F(x) - первісна для функції f(x). Зверніть увагу: ця формула підходить тільки для випадку, коли внутрішня функція має вигляд Ax+B.

Важливо: немає універсальної формули для інтеграла від добутку двох функцій, і навіть для інтеграла від дробу:

∫ f(x) g(x) d x = ? ∫ f(x) g(x) d x = ? (30)

Це не означає, звичайно, що дріб чи твір не можна проінтегрувати. Просто щоразу, побачивши інтеграл типу (30), вам доведеться винаходити спосіб боротьби з ним. У якихось випадках вам допоможе інтегрування частинами, десь доведеться зробити заміну змінною, а іноді допомогу можуть надати навіть "шкільні" формули алгебри або тригонометрії.

Простий приклад обчислення невизначеного інтеграла

Скористаємося формулами (25) і (26) (інтеграл від суми або різниці функцій дорівнює сумі або різниці відповідних інтегралів. Отримуємо: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Згадаймо, що константу можна виносити як знак інтеграла (формула (27)). Вираз перетворюється на вигляд

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

А тепер просто скористаємось таблицею основних інтегралів. Нам потрібно буде застосувати формули (3), (12), (8) та (1). Проінтегруємо статечну функцію, синус, експоненту та константу 1. Не забудемо додати в кінці довільну постійну С:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Після елементарних перетворень отримуємо остаточну відповідь:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Перевірте себе диференціюванням: візьміть похідну від отриманої функції та переконайтеся, що вона дорівнює вихідному підінтегральному виразу.

Зведена таблиця інтегралів

Завантажте таблицю інтегралів (частина II) за цим посиланням

Якщо Ви навчаєтесь у ВНЗ, якщо у Вас виникли складнощі з вищою математикою (математичний аналіз, лінійна алгебра, теорія ймовірностей, статистика), якщо Вам потрібні послуги кваліфікованого викладача, зайдіть на сторінку репетитора з вищої математики. Вирішуватимемо Ваші проблеми разом!

Можливо, вас зацікавлять також

У більш ранньому матеріалі було розглянуто питання знаходження похідної та були показані її різні застосування: обчислення кутового коефіцієнтащо стосується графіку, вирішення завдань на оптимізацію, дослідження функцій на монотонність та екстремуми. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Малюнок 1.

Також було розглянуто завдання знаходження миттєвої швидкості $v(t)$ за допомогою похідної по заздалегідь відомому пройденому шляху, що виражається функцією $s(t)$.

Малюнок 2.

Дуже часто зустрічається і зворотне завдання, коли потрібно знайти шлях $s(t)$, пройдений точкою за час $t$, знаючи швидкість руху точки $v(t)$. Якщо згадати, миттєва швидкість $v(t)$ перебуває, як похідна від функції шляху $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Значить, щоб вирішити обернену задачу, тобто обчислити шлях, потрібно знайти функцію, похідна якої дорівнюватиме функції швидкості. Але ми знаємо, що похідна шляху і є швидкість, тобто: $ s '(t) = v (t) $. Швидкість дорівнює добутку прискорення тимчасово: $v=at$. Неважко визначити, що потрібна функція шляху матиме вигляд: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Але це зовсім повне рішення. Повне рішення матиме вигляд: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) + C $, де $ C $ - деяка константа. Чому саме так буде розказано далі. А поки перевіримо правильність знайденого рішення: $ s "(t) = \ left (\ frac (at ^ 2) (2) + C \ right)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = at = v ( t) $.

Варто зауважити, що знаходження шляху за швидкістю є фізичним змістом первісної.

Отримана функція $s(t)$ називається первинної функції $v(t)$. Досить цікава і незвичайна назва, чи не так. У ньому криється великий сенс, який пояснює суть даного поняття та веде до його розуміння. Можна зауважити, що в ньому укладено два слова «перший» та «образ». Вони самі за себе говорять. Тобто це та функція, яка є вихідною для похідної. А ми по цій похідній шукаємо ту функцію, яка була на початку, була «першою», «перше», тобто первісною. Її іноді також називають примітивною функцією чи антипохідною.

Як нам відомо, процес перебування похідної називається диференціюванням. А процес знаходження первинної називається інтегруванням. Операція інтегрування є зворотною для операції диференціювання. Правильне і зворотне твердження.

Визначення.Первоподібною для функції $f(x)$ на певному інтервалі називається така функція $F(x)$, похідна якої дорівнює цій функції $f(x)$ для всіх $x$ із зазначеного інтервалу: $F'(x)=f (x) $.

У когось може виникнути питання: звідки у визначенні взялися $F(x)$ і $f(x)$, якщо спочатку йшлося про $s(t)$ і $v(t)$. Річ у тім, що $s(t)$ і $v(t)$ – окремі випадки позначення функцій, мають у разі конкретний зміст, тобто це функція часу і швидкість швидкості відповідно. Те саме і зі змінною $t$ - вона позначає час. А $f$ і $x$ – традиційний варіант загального позначенняфункції та змінної відповідно. Варто звернути особливу увагу на позначення первісної $F(x)$. По-перше, $F$ - велика. Первинні позначаються великими літерами. По-друге, літери збігаються: $F$ та $f$. Тобто, для функції $g(x)$ первісна буде позначатись $G(x)$, для $z(x)$ – $Z(x)$. Незалежно від позначень правила знаходження первинної функції завжди однакові.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.Довести, що функція $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ є першорядною функцією $f(x)=\cos5x$.

Для доказу скористаємося визначенням, а точніше тим фактом, що $F'(x)=f(x)$, і знайдемо похідну функції $F(x)$: $F'(x)=(\frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Отже $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ є первісною $f(x)=\cos5x$. Що й потрібно було довести.

приклад 2.Знайти, яким функціям відповідають такі первісні: $F(z)=\tg z$; б) $G(l) = \sin l$.

Щоб знайти потрібні функції, обчислимо їх похідні:
а) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
б) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

приклад 3.Якою буде первісна для $f(x)=0$?
Скористаємося визначенням. Подумаємо, яка функція може мати похідну, що дорівнює $0$. Згадуючи таблицю похідних, отримуємо, що будь-яка постійна матиме таку похідну. Отримуємо, що шукана нами первісна: $ F (x) = C $.

Отримане рішення можна пояснити геометрично та фізично. Геометрично воно означає, що до графіка $y=F(x)$ горизонтальна у кожному точці цього графіка і, отже, збігається з віссю $Ox$. Фізично пояснюється тим, що точка, що має швидкість, що дорівнює нулю, залишається на місці, тобто пройдений нею шлях незмінний. Тому можна сформулювати наступну теорему.

Теорема. (Ознака сталості функцій). Якщо деякому проміжку $F’(x) = 0$, то функція $F(x)$ у цьому проміжку постійна.

приклад 4.Визначити, першорядними яких функцій є функції а) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $; б) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $; в) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; г) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, де $a$ - деяке число.
Використовуючи визначення первісної, робимо висновок, що для вирішення цього завдання нам потрібно обчислити похідні даних першорядних функцій. При обчисленні пам'ятаємо, що похідна постійної, тобто будь-якого числа, дорівнює нулю.
а) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
б) $ F_2 = \ left (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 right) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
в) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
г) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Що ми бачимо? Декілька різних функцій є первісними однієї й тієї функції. Це говорить про те, що у будь-якої функції існує безліч первісних, і вони мають вигляд $F(x) + C$, де $C$ – довільна константа. Тобто операція інтегрування є багатозначною на відміну операції диференціювання. Сформулюємо виходячи з цього теорему, описує основне властивість первообразных.

Теорема. (Основна властивість первісних). Нехай функції $F_1$ і $F_2$ є первинними функціями $f(x)$ на деякому проміжку. Тоді для всіх значень цього проміжку справедлива наступна рівність: $F_2=F_1+C$, де $C$ – деяка константа.

Факт наявності нескінченної множини первісних можна інтерпретувати геометрично. За допомогою паралельного перенесення вздовж осі $Oy$ можна отримати один з одного графіки двох будь-яких первісних $f(x)$. У цьому полягає геометричний змістпервісної.

Дуже важливо звернути увагу на те, що вибором константи $C$ можна домогтися проходження графіка первісної через певну точку.

Малюнок 3.

Приклад 5.Знайти первісну для функції $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, графік якої проходить через точку $(3; 1)$.
Знайдемо спочатку все первісні для $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Далі знайдемо таке число C, у якому графік $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ проходить через точку $(3; 1)$. Для цього підставимо координати точки рівняння графіка і вирішимо його щодо $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Отримали графік $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, який відповідає первісній $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Таблиця первісних

Таблицю формул для знаходження первісних можна скласти, використовуючи формули знаходження похідних.

Перевірити правильність складання таблиці можна в такий спосіб: кожному за безлічі первісних, що у правому стовпці знайти похідну, у результаті вийдуть відповідні функції, які у лівому стовпці.

Деякі правила знаходження первісних

Як відомо, багато функцій мають більше складний вигляд, ніж зазначені в таблиці первісних, і можуть бути будь-яким довільним поєднанням сум і творів функцій з цієї таблиці. І тут постає питання, як обчислювати первісні подібні функції. Наприклад, з таблиці знаємо, як обчислити первісні $x^3$, $\sin x$ і $10$. А як, наприклад, обчислити первісну $x^3-10\sin x$? Забігаючи вперед, варто відзначити, що вона дорівнюватиме $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Якщо $F(x)$ первісна для $f(x)$, $G(x)$ – для $g(x)$, то для $f(x)+g(x)$ первісна дорівнюватиме $ F(x)+G(x)$.
2. Якщо $F(x)$ є первісною для $f(x)$ і $a$ – константа, то для $af(x)$ первісною буде $aF(x)$.
3. Якщо для $f(x)$ первісною є $F(x)$, $a$ і $b$ – константи, то $\frac(1)(a) F(ax+b)$ первісна для $f (ax + b) $.
Використовуючи отримані правила, ми можемо розширити таблицю первісних.

Приклад 5.Знайти первісні для:

а) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

б) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

в) $ \ displaystyle 5 \ cos x + \ sin (3x +15) $;

г) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

а) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x ^ 8 + C $;

б) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

в) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

г) $ frac (2) (3) x sqrt (x) - frac (3) (2) x sqrt (x) + C $.

У школі у багатьох не виходить вирішити інтеграли або виникають труднощі з ними. Ця стаття допоможе вам у цьому розібратися, тому що в ній ви знайдете все таблиці інтегралів.

Інтегралє одним із головних обчислень та поняттям у математичному аналізі. Його поява вийшла від двох цілей:
Перша мета- Відновити функцію за допомогою її похідної.
Друга мета- обчислення площі, що знаходиться на відстані від графіка до функції f(x) на прямій де, а більше або дорівнює х більше або дорівнює b і вісь абсцис.

Ці цілі підводять нас до певних і невизначених інтегралів. Зв'язок між даними інтегралами лежить у пошуку властивостей та обчисленні. Але все тече і змінюється з часом, знаходилися нові шляхи рішення, виявлялися доповнення цим приводячи певні і невизначені інтеграли до інших форм інтегрування.

Що таке невизначений інтеграл Запитайте Ви. Це первісна функція F(x) однієї змінної x в інтервалі а більше x більше b. називається будь-якою функцією F(x), в даному інтервалі для будь-якого позначення х, похідна дорівнює F(x). Зрозуміло що F(x) первісна для f(x) у проміжку а більше x більше b. Значить F1(x) = F(x) + C. З є будь-яким постійним і першорядним для f(x) в даному інтервалі. Дане твердження оборотне, для функції f(x) - 2 первісні відрізняються лише постійною. Спираючись на теорему інтегрального обчислення, виходить, що кожна безперервна в інтервалі a

Визначений інтеграл розуміється як межа в інтегральних сумах, чи ситуації заданої функції f(x) визначеної на деякій прямий (а,b) маючи на ньому первісну F, що означає різницю її виразів у кінцях даної прямої F(b) - F(a).

Для наочності вивчення цієї теми пропоную подивитися відео. У ньому докладно розповідається і показується, як знаходити інтеграли.

Кожна таблиця інтегралів як така дуже корисна, оскільки допомагає у вирішенні конкретного виду інтегралів.

Усі можливі види канцтоварів і не лише. Ви можете придбати через інтернет магазин v-kant.ru. Або просто перейдіть на посилання Канцтовари Самара (http://v-kant.ru) якість і ціни Вас приємно здивують.