Для вирішення більшості завдань у математиці середньої школинеобхідно знання зі складання пропорцій. Це нескладне вміння допоможе як виконувати складні вправи з підручника, а й заглибитися у саму суть математичної науки. Як скласти пропорцію? Зараз розберемо.
Самим простим прикладомє завдання, де відомі три параметри, а четвертий потрібно знайти. Пропорції бувають, звичайно, різні, але часто потрібно знайти по відсотках якесь число. Наприклад, всього хлопчик мав десять яблук. Четверту частину він подарував своїй мамі. Скільки яблук у хлопчика? Це найпростіший приклад, який дозволить скласти пропорцію. Головне це зробити. Спочатку було десять яблук. Нехай це сто відсотків. Це ми окреслили всі його яблука. Він віддав одну четверту частину. 1/4 = 25/100. Значить, у нього залишилося: 100% (було спочатку) – 25% (він віддав) = 75%. Ця цифра показує відсоткове відношення кількості фруктів, що залишилися, до кількості наявних спочатку. Тепер ми маємо три числа, за якими вже можна вирішити пропорцію. 10 яблук – 100%, хяблук - 75%, де х - кількість фруктів, що шукається. Як скласти пропорцію? Потрібно розуміти, що це таке. Математично виглядає так. Знак поставлений для вашого розуміння.
10 яблук = 100%;
х яблук = 75%.
Виявляється, що 10/х = 100%/75. Це і є основна властивість пропорцій. Адже що більше x, то більше відсотків становить це число від вихідного. Вирішуємо цю пропорцію та отримуємо, що x = 7,5 яблук. Чому хлопчик вирішив віддати нецілу кількість, нам невідомо. Тепер ви знаєте, як скласти пропорцію. Головне, знайти два співвідношення, в одному з яких є невідоме.
Рішення пропорції часто зводиться до простому множенню, а потім до поділу. У школах дітям не пояснюють, чому це так. Хоча важливо розуміти, що пропорційні відносини є математичною класикою, сама суть науки. Для вирішення пропорцій необхідно вміти поводитися з дробами. Наприклад, часто доводиться переводити відсотки в звичайні дроби. Тобто, запис 95% не підійде. А якщо одразу написати 95/100, то можна провести солідні скорочення, не починаючи основного підрахунку. Відразу варто сказати, що якщо ваша пропорція вийшла з двома невідомими, її не вирішити. Жодний професор вам тут не допоможе. А ваше завдання, швидше за все, має складніший алгоритм правильних дій.
Розглянемо ще один приклад, де немає відсотків. Автомобіліст купив 5 літрів бензину за 150 рублів. Він подумав про те, скільки він заплатив би за 30 літрів палива. Для вирішення цього завдання позначимо за x кількість грошей, що шукається. Можете самостійно вирішити це завдання і потім перевірити відповідь. Якщо ви ще не зрозуміли, як скласти пропорцію, дивіться. 5 літрів бензину – це 150 рублів. Як і в першому прикладі, запишемо 5л – 150р. Тепер знайдемо третє число. Звісно, це 30 літрів. Погодьтеся, що пара 30 л - х рублів доречна у цій ситуації. Перейдемо математичною мовою.
5 літрів – 150 рублів;
30 літрів – х рублів;
Вирішуємо цю пропорцію:
x = 900 рублів.
От і вирішили. У своєму завданні не забудьте перевірити відповідність на адекватність. Буває, що при неправильному рішенні автомобілі досягають нереальних швидкостей 5000 кілометрів на годину і так далі. Тепер ви знаєте, як скласти пропорцію. Також ви зможете її вирішити. Як бачите, у цьому немає нічого складного.
§ 125. Поняття про пропорцію.
Пропорцією називається рівність двох відносин. Ось приклади рівностей, які називають пропорціями:
Примітка. Найменування величин у пропорціях не вказано.
Пропорції прийнято читати так: 2 так відноситься до 1 (одиниці), як 10 відноситься до 5 (перша пропорція). Можна читати інакше, наприклад: 2 у стільки разів більше 1, скільки разів 10 більше 5. Третю пропорцію можна прочитати так: - 0,5 стільки разів менше 2, у скільки разів 0,75 менше 3.
Числа, що входять до пропорції, називаються членами пропорції. Отже, пропорція складається із чотирьох членів. Перший і останній члени, тобто члени, що стоять по краях, називаються крайніми, А члени пропорції, що знаходяться в середині, називаються середнімичленами. Значить, у першій пропорції числа 2 та 5 будуть крайніми членами, а числа 1 та 10 – середніми членами пропорції.
§ 126. Основна властивість пропорції.
Розглянемо пропорцію:
Перемножимо окремо її крайні та середні члени. Твір крайніх 64 = 24, добуток середніх 38 = 24.
Розглянемо іншу пропорцію: 10: 5 = 12: 6. Перемножимо і тут окремо крайні та середні члени.
Добуток крайніх 10 6 = 60, добуток середніх 5 12 = 60.
Основна властивість пропорції: Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх її членів.
У загальному виглядіосновна властивість пропорції записується так: ad = bc .
Перевіримо його на кількох пропорціях:
1) 12: 4 = 30: 10.
Пропорція ця вірна, оскільки рівні відносини, у тому числі вона складена. Разом про те, взявши твір крайніх членів пропорції (12 10) і середніх її членів (4 30), побачимо, що вони рівні між собою, тобто.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Пропорція вірна, що легко переконатися, спростивши перше і друге відносини. Основна властивість пропорції набуде вигляду:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Неважко переконатися в тому, що якщо ми напишемо таку рівність, у якої в лівій частині стоїть твір двох чисел, а в правій частині твір двох інших чисел, то з цих чотирьох чисел можна скласти пропорцію.
Нехай у нас є рівність, до якої входять чотири числа, попарно перемножені:
ці чотири числа можуть бути членами пропорції, яку неважко написати, якщо прийняти перший твір за твір крайніх членів, а другий - за твір середніх. Виданої рівності можна скласти, наприклад, таку пропорцію:
Взагалі, з рівності ad = bc можна отримати такі пропорції:
Виконайте самостійно таку вправу. Маючи добуток двох пар чисел, напишіть пропорцію, яка відповідає кожній рівності:
а) 16 = 23;
б) 215 = б 5.
§ 127. Обчислення невідомих членів пропорції.
Основна властивість пропорції дозволяє обчислити будь-який із членів пропорції, якщо він невідомий. Візьмемо пропорцію:
х : 4 = 15: 3.
У цій пропорції невідомий один крайній член. Ми знаємо, що у будь-якій пропорції твір крайніх членів дорівнює добутку середніх членів. На цій підставі ми можемо написати:
x 3 = 4 15.
Після множення 4 на 15 ми можемо переписати цю рівність так:
х 3 = 60.
Розглянемо цю рівність. У ньому перший співмножник невідомий, другий співмножник відомий і твір відомий. Ми знаємо, що знаходження невідомого співмножника досить твір розділити інший (відомий) сомножитель. Тоді вийде:
х = 60: 3, або х = 20.
Перевіримо знайдений результат підстановкою числа 20 замість х у цю пропорцію:
Пропорція вірна.
Подумаємо, які дії довелося виконати для обчислення невідомого крайнього члена пропорції. З чотирьох членів пропорції нам був невідомий лише один крайній; два середніх та другий крайній були відомі. Для знаходження крайнього члена пропорції ми спочатку перемножили середні члени (4 і 15), а потім знайдений твір поділили відомий крайній член. Зараз ми покажемо, що дії не змінилися б, якби крайній член пропорції, що шукається, стояв не на першому місці, а на останньому. Візьмемо пропорцію:
70: 10 = 21: х .
Запишемо основну властивість пропорції: 70 х = 10 21.
Перемноживши числа 10 і 21, перепишемо рівність у такому вигляді:
70 х = 210.
Тут невідомий один співмножник, для його обчислення достатньо твір (210) розділити на інший співмножник (70),
х = 210: 70; х = 3.
Таким чином, ми можемо сказати, що кожен крайній член пропорції дорівнює добутку середніх, поділеному на інший крайній.
Тепер перейдемо до обчислення невідомого середнього члена. Візьмемо пропорцію:
30: х = 27: 9.
Напишемо основну властивість пропорції:
30 9 = х 27.
Обчислимо добуток 30 на 9 і переставимо частини останньої рівності:
х 27 = 270.
Знайдемо невідомий співмножник:
х = 270: 27, або х = 10.
Перевіримо підстановкою:
30: 10 = 27: 9. Пропорція вірна.
Візьмемо ще одну пропорцію:
12: б = х : 8. Напишемо основну властивість пропорції:
12 . 8 = 6 х . Перемножуючи 12 і 8 і переставляючи частини рівності, отримаємо:
6 х = 96. Знаходимо невідомий співмножник:
х = 96: 6, або х = 16.
Таким чином, кожен середній член пропорції дорівнює добутку крайніх, поділеному на інший середній.
Знайдіть невідомі члени таких пропорцій:
1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .
Два останні правила загалом можна записати так:
1) Якщо пропорція має вигляд:
х: а = b: с , то
2) Якщо пропорція має вигляд:
а: х = b: с , то
§ 128. Спрощення пропорції та перестановка її членів.
У цьому параграфі ми виведемо правила, що дозволяють спрощувати пропорцію у тому випадку, коли до неї входять великі числаабо дрібні члени. До числа перетворень, що не порушують пропорцію, належать такі:
1. Одночасне збільшення або зменшення обох членів будь-якого відношення в однакове число разів.
П р і м е р. 40: 10 = 60: 15.
Збільшивши в 3 рази обидва члени першого відношення, отримаємо:
120:30 = 60: 15.
Пропорція не порушилась.
Зменшивши в 5 разів обидва члени другого відношення, отримаємо:
Здобули знову правильну пропорцію.
2. Одночасне збільшення або зменшення обох попередніх або обох наступних членів у однакове число разів.
приклад. 16:8 = 40:20.
Збільшимо вдвічі попередні члени обох відносин:
Отримали правильну пропорцію.
Зменшимо у 4 рази наступні члени обох відносин:
Пропорція не порушилась.
Два отримані висновки можна коротко висловити так: Пропорція не порушиться, якщо ми одночасно збільшимо або зменшимо в однакове число разів будь-який крайній член пропорції і середній.
Наприклад, зменшивши в 4 рази 1-й крайній та 2-й середній члени пропорції 16:8 = 40:20, отримаємо:
3. Одночасне збільшення чи зменшення всіх членів пропорції в однакове число разів. приклад. 36:12 = 60:20. Збільшимо всі чотири числа у 2 рази:
Пропорція не порушилась. Зменшимо всі чотири числа у 4 рази:
Пропорція вірна.
Перелічені перетворення дозволяють, по-перше, спрощувати пропорції, а по-друге, звільняти їхню відмінність від дробових членів. Наведемо приклади.
1) Нехай є пропорція:
200: 25 = 56: x .
У ній членами першого відносини є порівняно великі числа, і якби ми побажали знайти значення х нам довелося б виконувати обчислення над цими числами; але ми знаємо, що пропорція не порушиться, якщо обидва члени відносини поділити на те саме число. Розділимо кожен із них на 25. Пропорція набуде вигляду:
8:1 = 56: x .
Таким чином, ми отримали більш зручну пропорцію, з якої х можна знайти в розумі:
2) Візьмемо пропорцію:
2: 1 / 2 = 20: 5.
У цій пропорції є дрібний член (1/2), від якого можна звільнитися. Для цього доведеться помножити цей член, наприклад, на 2. Але один середній член пропорції ми не маємо права збільшувати; потрібно разом з ним збільшити якийсь із крайніх членів; тоді пропорція не порушиться (на підставі перших двох пунктів). Збільшимо перший із крайніх членів
(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5, або 4: 1 = 20:5.
Збільшимо другий крайній член:
2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), або 2: 1 = 20: 10.
Розглянемо ще три приклади звільнення пропорції від дробових членів.
Приклад 1. 1/4: 3/8 = 20:30.
Наведемо дроби до спільного знаменника:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Помноживши на 8 обидва члени першого відношення, отримаємо:
Приклад 2. 12: 15/14 = 16: 10/7. Наведемо дроби до спільного знаменника:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Помножимо обидва наступні члени на 14, отримаємо: 12:15 = 16:20.
Приклад 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.
Помножимо всі члени пропорції на 48:
24: 1 = 960: 40.
При вирішенні завдань, у яких зустрічаються якісь пропорції, часто доводиться для різних цілей переставляти члени пропорції. Розглянемо, які перестановки є законними, т. е. пропорції, що не порушують. Візьмемо пропорцію:
3: 5 = 12: 20. (1)
Переставивши в ній крайні члени, отримаємо:
20: 5 = 12:3. (2)
Переставимо тепер середні члени:
3:12 = 5: 20. (3)
Переставимо одночасно і крайні, і середні члени:
20: 12 = 5: 3. (4)
Усі ці пропорції вірні. Тепер поставимо перше ставлення місце другого, а друге - місце першого. Вийде пропорція:
12: 20 = 3: 5. (5)
У цій пропорції ми зробимо ті ж самі перестановки, які робили раніше, тобто переставимо спочатку крайні члени, потім середні і, нарешті, одночасно і крайні, і середні. Вийдуть ще три пропорції, які теж будуть справедливими:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Отже, з однієї пропорції шляхом перестановки можна отримати ще 7 пропорцій, що разом з даною становить 8 пропорцій.
Особливо легко можна знайти справедливість всіх цих пропорцій при буквеному записі. Отримані вище 8 пропорцій набувають вигляду:
а: b = с: d; c: d = a: b;
d: b = с: a; b: d = a: c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
Легко бачити, що в кожній з цих пропорцій основна властивість набуває вигляду:
ad = bc.
Таким чином, зазначені перестановки не порушують справедливості пропорції та ними можна користуватися у разі потреби.
Один відсоток – це сота частина від числа. Це поняття використовується, коли потрібно позначити ставлення частки до цілого. Крім цього, у відсотках можна порівнювати кілька величин, при цьому обов'язково вказуючи, щодо якого цілого відсотки обчислюються. Наприклад, витрати вищі за доходи на 10 % або ціна на залізничні квиткизросла на 15% порівняно з тарифами минулого року. Число відсотків вище 100 означає, що частка перевищує ціле, як часто буває за статистичних розрахунків.
Відсоток як фінансове поняття - плата, позичальник кредитору за надання грошей у тимчасове користування. У бізнесі зустрічається вираз "працювати за відсотки". У даному випадкумається на увазі, що розмір винагороди залежить від прибутку чи обороту (комісійні). Обійтися без обчислення відсотків неможливо у бухгалтерії, бізнесі, банківській справі. Щоб спростити розрахунки, розроблено онлайн-калькулятор відсотків.
Калькулятор дозволяє обчислити:
- Відсоток від заданого значення.
- Відсоток із суми (податок за фактичною зарплатою).
- Відсоток від різниці (ПДВ з ).
- І багато іншого...
При вирішенні завдань на калькуляторі відсотків потрібно оперувати трьома значеннями, одне з яких невідоме (за заданими параметрами обчислюється змінна). Сценарій розрахунку слід вибирати, виходячи із заданих умов.
Приклади розрахунків
1. Обчислення відсотка від числа
Щоб визначити число, що становить 25% від 1000 руб., Необхідно:
- 1000 × 25/100 = 250 руб.
- Або 1000 × 0,25 = 250 руб.
Для розрахунку на звичайному калькуляторі потрібно 1000 помножити на 25 і натиснути кнопку %.
2. Визначення цілого числа (100%)
Ми знаємо, що 250 руб. складає 25% від якогось числа. Як його вирахувати?
Складемо просту пропорцію:
- 250 руб. - 25%
- Y руб. - 100%
- Y = 250 × 100/25 = 1 000 руб.
3. Відсоток між двома числами
Припустимо, передбачався прибуток 800 руб., А отримали 1040 руб. Який відсоток перевищення?
Пропорція буде такою:
- 800 руб. - 100%
- 1040 руб. - Y%
- Y = 1040 × 100 / 800 = 130%
Перевиконання плану з прибутку - 30%, тобто виконання - 130%.
4. Розрахунок не зі 100%
Наприклад, у магазин, що з трьох відділів, приходять 100 % покупців. У продуктовий відділ – 800 осіб (67 %), у відділ побутової хімії- 55. Який відсоток покупців надходить до відділу побутової хімії?
Пропорція:
- 800 відвідувачів – 67%
- 55 відвідувачів - Y%
- Y = 55 × 67/800 = 4,6%
5. На скільки відсотків одне число менше за інше
Ціна товару впала з 2000 до 1200 руб. На скільки відсотків подешевшав товар чи скільки відсотків 1 200 менше 2 000?
- 2 000 - 100 %
- 1200 - Y%
- Y = 1200 × 100 / 2000 = 60% (60% до цифри 1200 від 2000)
- 100% - 60% = 40% (число 1200 менше 2000 на 40%)
6. На скільки відсотків одне число більше за інше
Зарплата зросла з 5000 до 7500 рублів. На скільки відсотків зросла зарплата? На скільки відсотків 7500 більше 5000?
- 5000 руб. - 100%
- 7500 руб. - Y%
- Y = 7500 × 100 / 5000 = 150% (у цифрі 7500150% від 5000)
- 150% - 100% = 50% (число 7500 більше 5000 на 50%)
7. Збільшення числа певний відсоток
Ціна товару S вище 1000 руб. на 27%. Яка ціна товару?
- 1000 руб. - 100%
- S - 100% + 27%
- S = 1000 × (100 + 27) / 100 = 1270 руб.
Онлайн-калькулятор робить обчислення набагато простіше: вам потрібно вибрати вид розрахунку, ввести число та відсоток (у разі обчислення відсоткового співвідношення – друге число), вказати точність розрахунку та дати команду про початок дій.
Пропорція у перекладі з латинської (proportio) означає співвідношення, вирівняність частин, тобто рівність 2-х відносин. Знання обчислювати пропорції часто буває необхідним побутових обстановках.
Інструкція
1. Легкий приклад, коли потрібно застосувати знання про вирішення пропорцій: як обчислити 13% від вашої заробітної плати- Ті самі відсотки, які йдуть до Пенсійного фонду.
2. Напишіть два рядки пропорції. У першій вкажіть загальну суму зарплати, яка є 100%, тобто, скажімо, 15 000 (рублів) = 100%.
3. Рядком нижче позначте ту суму, яку треба вирахувати, знаком «Х», який дорівнює 13%, тобто Х = 13%.
4. Основне якість пропорції звучить так: добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів. Це означає, що якщо ви помножите 15 000 на 13, то отримане число дорівнюватиме значенню Х, помноженому на 100. Тобто перемножуючи члени пропорції навхрест, ви отримаєте ідентичне значення.
5. Щоб вирахувати, чому дорівнює у фінальному результаті Х, помножте 15 000 на 13 і поділіть на 100. зарплати
6. Якщо вам потрібно взяти для пирога 100 грамів цукрової пудри, а ви знаєте, що в одній гранчастій склянці міститься 140 грамів, складіть наступну пропорцію: 100 = Х140 = 1
7. Підрахуйте, чому дорівнює Х.Х = 100 х 1 / 140 = 0,7 Тобто вам знадобиться 0,7 склянки цукрової пудри.
8. Буває, що треба вирахувати ціле, знаючи тільки відсоткову частину. Скажімо, ви знаєте, що 21 особа на підприємстві, а це 5% від загальної кількості працівників, мають середню особливу освіту. Складіть пропорцію, щоб визначити загальну кількість працівників: Х (людина) = 100%, 21 = 5%. 21 х 100/5 = 420 осіб.
9. Таким чином, записавши в два рядки наявні дані, значення невідомого члена треба знаходити так: помножте між собою ті члени пропорції, які опиняються поруч і зверху незнайомого і поділіть отримане число на значення, яке знаходиться по діагоналі від невідомого. А = БС = ТАК = Б х С/Д; Б = А х Д/С; С = А х Д/Б; Д = З х Б/А
У геометрії є кілька видів діагоналей. Діагоналлюназивається відрізок, який з'єднує дві не сусідні (що не належать одній стороні чи одному ребру) вершини багатокутника чи багатогранника. Розрізняють так само діагоналі граней, що розглядаються як багатокутники та просторові діагоналі, що з'єднують вершини різних граней багатогранника. Існують фігури, у яких усі діагоналі рівні між собою. На поверхні це правильний п'ятикутник і квадрат, у просторі - позитивний октаедр. Знаючи довжини сторін позитивного багатокутника або довжини ребер позитивного багатогранника можна визначити довжину кожної діагоналі.
Інструкція
1. У будь-якому вірному багатокутнику кути рівні між собою і обчислюються за формулою? = (N - 2) * 180? / N, де?? - кожен з кутів позитивного багатокутника, N - число вершин. Знаючи кути при вершинах багатокутника, його діагоналі можна визначити, використовуючи теорему косінусів BE = v (AB? + AE? - 2 * AB * AE * cos??)
2. Якщо число вершин більше п'яти, то для обчислення діагоналей, які з'єднують вершини, що лежать на різних сторонах можна скористатися тією ж теоремою косінусів для обчислення кутів трикутників, що утворюються. Скажімо, у шестикутнику ABCDEF, для знаходження діагоналі BE, потрібно обчислити діагональ CE, після цього за тією самою теоремою косінусів обчислити кут??, Тоді?? = ?? - ??. Таким чином, BE = v (BC? + CE? - 2 * BC * CE * cos??).
Відео на тему
Зверніть увагу!
Для обчислення просторової діагоналі багатогранника потрібно звести перетин, що містить цю діагональ, обчислити кути при вершинах цього перетину, розглядаючи перетин як плоский багатокутник. Тоді діагональ можна розрахувати за наведеною вище схемою.
Що таке пропорція? З математичної погляду, пропорція – це рівність 2-х відносин. Усі частини пропорції є взаємозалежними, які результат непохитний.
Вам знадобиться
- - Підручник алгебри за 7 клас.
Інструкція
1. Числа, що знаходяться по краях рівності, називаються крайніми. Відповідно, ті, що знаходяться у середині – середніми. Основною властивістю пропорції є те, що крайні та середні частини рівності можна перемножувати між собою. Візьміть пропорцію 6:3 = 8:4. Перемножте між собою крайні частини, вийде 6 * 4 = 24, добуток середніх частин теж буде рівним 24. Звідси підсумок: добуток одних частин пропорції має дорівнювати добутку інших частин (крайні = середні).
2. Візьміть цю якість пропорції озброєння, обчисліть незнайомий член рівняння x:4=15:3. Для того, щоб виявити невідому частину пропорції, скористайтеся правилом рівнозначності крайніх та середніх елементів. Запишіть це рівняння так: x * 3 = 4 * 15. Вирішивши це рівняння, ви отримаєте правильну пропорцію.
3. Якщо пропорція складається з великих чи дробових чисел, її можна спростити. Зменшіть обидва члени відносини на ідентичну кількість разів. Щоб не сталося порушення пропорції, зробіть так: 40:10 = 60:15. Збільште обидва члени відносини втричі (120:30=60:15) або зменшіть частини другого відношення (40:10=12:3). Обидві пропорції будуть позитивними.
4. Збільшуйте або скорочуйте пропорції тільки в ідентичне число разів. Отримавши спрощені реформування, ви звільняєте пропорцію від дрібних членів і спрощує рівняння. Візьміть приклад: 200: 25 = 56: х. Щоб не виконувати обчислення з великими числами, поділіть їх на те саме число. Якщо за це число взяти 25, рівняння набуде подальшого вигляду: 8:1 = 56:х. Невідому частину цієї пропорції можна визначити в розумі, не вдаючись до важких обчислень.
5. Частини пропорцій можна переставляти. Візьміть пропорцію 3:5 = 12:20. Переставте крайні частини (20:5=12:3), припустиме і одночасне перегрупування всіх частин (20:12=5:3). Усі пропорції будуть правильними. Так, з однієї пропорції ви отримаєте кілька, і всі вони будуть позитивними.
Зверніть увагу!
Перегрупування частин пропорцій місцями зручне під час вирішення завдань.
Корисна порада
Основне якість всіх пропорцій: ab = bc.
У математиці пропорцією називають рівність двох відносин. Для її частин характерна взаємозалежність і постійний результат. Досить розглянути один приклад, щоб зрозуміти тезу вирішення пропорцій.
Інструкція
1. Вивчіть властивості пропорцій. Числа по краях рівності називають крайніми, а перебувають у середині – середніми. Основна якість пропорції полягає в тому, що середні та крайні частини рівності можуть бути перемножені між собою. Достатньо взяти пропорцію 8:4=6:3. Якщо перемножити крайні частини між собою, то вийде 8*3=24, як і при множенні середніх чисел. Це означає, що добуток крайніх частин пропорції незмінно дорівнює добутку її середніх елементів.
2. Візьміть на озброєння основну якість пропорції, щоб визначити невідомий член у рівнянні x:4=8:2. Для знаходження незнайомої частини пропорції слід скористатися правилом рівнозначності середніх та крайніх частин. Запишіть рівняння як x*2=4*8, тобто x*2=32. Розв'яжіть це рівняння (32/2), ви отримаєте член пропорції (16).
3. Спростіть пропорцію, якщо вона складається з дробових чи великих чисел. Для цього поділіть або помножте обидва її члени на ідентичне число. Скажімо, комбіновані частини пропорції 80:20=120:30 можна спростити, поділивши її члени на 10 (8:2=12:3). Ви отримаєте еквівалентну рівність. Те саме буде, якщо ви збільшите всі члени пропорції, скажімо, на 2, таким чином 160:40 = 240:60.
4. Спробуйте переставити частини пропорцій. Наприклад, 6:10 = 24:40. Поміняйте місцями крайні частини (40:10=24:6) або одночасно зробіть перегрупування всіх елементів (40:24=10:6). Усі отримані пропорції будуть еквівалентними. Так ви зможете отримати кілька рівностей з одного.
5. Розв'яжіть пропорцію з відсотками. Запишіть її, скажімо, як: 25=100%, 5=x. Тепер потрібно перемножити середні члени (5*100) і поділити знаменитий крайній (25). В результаті виходить, що x = 20%. Таким же чином можна перемножувати відомі останні члени і розділяти їх на існуючий середній, отримуючи бажаний результат.
Сьогодні ми продовжуємо серію відеоуроків, присвячених завданням на відсотки з ЄДІ з математики. Зокрема, розберемо два цілком реальні завдання з ЄДІ і ще раз переконаємося, наскільки важливо уважно читати умову завдання та правильно його інтерпретувати.
Отже, перше завдання:
Завдання. Лише 95% та 37 500 випускників міста правильно вирішили завдання B1. Скільки людей правильно вирішили задачу B1?
На перший погляд здається, що це якесь завдання для кепів. На кшталт:
Завдання. На дереві сиділо 7 пташок. 3 з них полетіло. Скільки пташок полетіло?
Проте, давай таки порахуємо. Вирішуватимемо методом пропорцій. Отже, ми маємо 37 500 учнів — це 100%. А також є кілька учнів, яке становить 95% тих самих щасливчиків, які правильно вирішили завдання B1. Записуємо це:
37 500 — 100%
X - 95%
Потрібно скласти пропорцію і знайти x. Отримуємо:
Перед нами класична пропорція, але перш ніж скористатися основною властивістю та перемножити її хрест-навхрест, пропоную розділити обидві частини рівняння на 100. Іншими словами, закреслимо в чисельнику кожного дробу по два нулі. Перепишемо отримане рівняння:
За основною якістю пропорції, добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів. Іншими словами:
x = 375 · 95
Це досить великі числа, тому доведеться множити їх стовпчиком. Нагадую, що користуватися калькулятором на ЄДІ з математики категорично заборонено. Отримаємо:
x = 35625
Разом відповідь: 35625. Саме стільки людей з вихідних 37500 вирішили завдання B1 правильно. Як бачите, ці числа досить близькі, що цілком логічно, тому що 95% теж дуже близькі до 100%. Загалом, перше завдання вирішено. Переходимо до другої.
Завдання на відсотки №2
Завдання. Лише 80% із 45 000 випускників міста правильно вирішили завдання B9. Скільки людей вирішили задачу B9 неправильно?
Вирішуємо за тією самою схемою. Спочатку було 45 000 випускників – це 100%. Потім із цієї кількості треба вибрати x випускників, які мають становити 80% від вихідної кількості. Складаємо пропорцію та вирішуємо:
45 000 — 100%
x - 80%
Давайте скоротимо по одному нулю в чисельнику та знаменнику 2-го дробу. Ще раз перепишемо отриману конструкцію:
Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх. Отримуємо:
45 000 · 8 = x · 10
Це найпростіше лінійне рівняння. Виразимо з нього змінну x:
x = 45 000 · 8: 10
Скорочуємо по одному нулю у 45 000 і 10, у знаменнику залишається одиниця, тому все, що нам потрібно - це знайти значення виразу:
x = 4500 · 8
Можна, звичайно, вчинити так само, як минулого разу, і перемножити ці числа стовпчиком. Але давайте не будемо самі собі ускладнювати життя, і замість множення стовпчиком розкладемо вісімку на множники:
x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000
А тепер найголовніше, про що я говорив на самому початку уроку. Потрібно уважно читати умову завдання!
Що від нас потрібно дізнатися? Скільки людей вирішили завдання B9 неправильно. А ми щойно знайшли тих людей, які вирішили правильно. Таких виявилося 80% вихідного числа, тобто. 36 000. Це означає, що з отримання остаточної відповіді треба відняти з вихідної чисельності учнів наші 80%. Отримаємо:
45 000 − 36 000 = 9000
Отримане число 9000 це і є відповідь до завдання. У цьому місті з 45 000 випускників 9000 чоловік вирішили завдання B9 неправильно. Все, завдання вирішено.
