На якому ми розібрали найпростіші похідні, а також познайомились із правилами диференціювання та деякими технічними прийомами знаходження похідних. Таким чином, якщо з похідними функцій у Вас не дуже або якісь моменти цієї статті будуть не зовсім зрозумілі, то спочатку ознайомтеся з вищезгаданим уроком. Будь ласка, налаштуйтеся на серйозний лад – матеріал не з простих, але я намагаюся викласти його просто і доступно.
На практиці з похідною складної функціїдоводиться стикатися дуже часто, я навіть сказав, майже завжди, коли Вам дано завдання на перебування похідних.
Дивимося в таблицю правило (№5) диференціювання складної функції:
Розбираємось. Насамперед звернемо увагу на запис . Тут у нас дві функції - і, причому функція, образно кажучи, вкладена в функцію. Функція такого виду (коли одна функція вкладена в іншу) і називається складною функцією.
Функцію я називатиму зовнішньою функцією, а функцію – внутрішньою (або вкладеною) функцією.
! Дані визначення не є теоретичними та не повинні фігурувати у чистовому оформленні завдань. Я застосовую неформальні вирази "зовнішня функція", "внутрішня" функція тільки для того, щоб Вам легше було зрозуміти матеріал.
Для того щоб прояснити ситуацію, розглянемо:
Приклад 1
Знайти похідну функції
Під синусом у нас знаходиться не просто буква «ікс», а ціле вираження, тому знайти похідну відразу за таблицею не вийде. Також ми помічаємо, що тут неможливо застосувати перші чотири правила, начебто є різниця, але річ у тому, що «розривати на частини» синус не можна:
У цьому прикладі з моїх пояснень інтуїтивно зрозуміло, що функція – це складна функція, причому многочлен є внутрішньої функцією (вкладенням), а – зовнішньої функцією.
Перший крок, який потрібно виконати при знаходженні похідної складної функції полягає в тому, щоб розібратися, яка функція є внутрішньою, а яка – зовнішньою.
У разі простих прикладів зрозуміло, що під синус вкладений многочлен . А як бути, якщо все не очевидно? Як точно визначити яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою? Для цього я пропоную використовувати наступний прийом, який можна проводити подумки або на чернетці.
Уявимо, що нам потрібно обчислити на калькуляторі значення виразу (замість одиниці може бути будь-яке число).
Що ми обчислимо насамперед? В першу чергунеобхідно виконати таку дію: , тому многочлен і буде внутрішньої функцією : 
У другу чергупотрібно буде знайти, тому синус - буде зовнішньою функцією: 
Після того, як ми РОЗІБРАЛИСЯз внутрішньою та зовнішньою функціями саме час застосувати правило диференціювання складної функції 
.
Починаємо вирішувати. З уроку Як знайти похідну?ми пам'ятаємо, що оформлення рішення будь-якої похідної завжди починається так - укладаємо вираз у дужки і ставимо праворуч угорі штрих:
Спочаткузнаходимо похідну зовнішньої функції (синусу), дивимося на таблицю похідних елементарних функцій і помічаємо, що . Всі табличні формули застосовні і в тому випадку, якщо «ікс» замінити складним виразом, в даному випадку:
Зверніть увагу, що внутрішня функція не змінилася, її ми не чіпаємо.
Ну і цілком очевидно, що
Результат застосування формули 
у чистовому оформленні виглядає так:
Постійний множник зазвичай виносять на початок виразу:
Якщо залишилося якесь непорозуміння, перепишіть рішення на папір і прочитайте пояснення.
Приклад 2
Знайти похідну функції
Приклад 3
Знайти похідну функції
Як завжди записуємо: 
Розбираємось, де у нас зовнішня функція, а де внутрішня. Для цього пробуємо (подумки або на чернетці) обчислити значення виразу при . Що потрібно виконати насамперед? У першу чергу потрібно порахувати чому рівна підстава: отже, багаточлен – і є внутрішня функція: 
І тільки потім виконується зведення в ступінь , отже, статечна функція - це зовнішня функція: 
Згідно з формулою 
, спочатку потрібно знайти похідну від зовнішньої функції, у разі, від ступеня. Розшукуємо у таблиці необхідну формулу: . Повторюємо ще раз: будь-яка таблична формула справедлива не тільки для «ікс», але і для складного вираження. Таким чином, результат застосування правила диференціювання складної функції 
наступний:
Знову наголошую, що коли ми беремо похідну від зовнішньої функції, внутрішня функція у нас не змінюється: 
Тепер залишилося знайти зовсім просту похідну від внутрішньої функції і трохи «зачесати» результат:
Приклад 4
Знайти похідну функції
Це приклад для самостійного рішення(Відповідь наприкінці уроку).
Для закріплення розуміння похідної складної функції наведу приклад без коментарів, спробуйте самостійно розібратися, поміркувати, де зовнішня і внутрішня функція, чому завдання вирішені саме так?
Приклад 5
а) Знайти похідну функції
б) Знайти похідну функції
Приклад 6
Знайти похідну функції 
Тут у нас корінь, а для того, щоб продиференціювати корінь, його потрібно подати у вигляді ступеня. Таким чином, спочатку наводимо функцію в належний для диференціювання вигляд:
Аналізуючи функцію, приходимо до висновку, що сума трьох доданків – це внутрішня функція, а зведення у ступінь – зовнішня функція. Застосовуємо правило диференціювання складної функції 
:
Ступінь знову представляємо у вигляді радикала (кореня), а для похідної внутрішньої функції застосовуємо просте правило диференціювання суми:
Готово. Можна ще у дужках привести вираз до спільного знаменника та записати все одним дробом. Гарно, звичайно, але коли виходять громіздкі довгі похідні – краще цього не робити (легко заплутатися, припуститися непотрібної помилки, та й викладачеві буде незручно перевіряти).
Приклад 7
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).
Цікаво відзначити, що іноді замість правила диференціювання складної функції можна використовувати правило диференціювання приватного 
Але таке рішення буде виглядати як збочення незвичайно. Ось характерний приклад:
Приклад 8
Знайти похідну функції
Тут можна використовувати правило диференціювання приватного 
, але набагато вигідніше знайти похідну через правило диференціювання складної функції:
Підготовляємо функцію для диференціювання – виносимо мінус за знак похідної, а косинус піднімаємо до чисельника:
Косинус – внутрішня функція, зведення у ступінь – зовнішня функція.
Використовуємо наше правило 
:
Знаходимо похідну внутрішньої функції, косинус скидаємо назад донизу:
Готово. У розглянутому прикладі важливо не заплутатися у знаках. До речі, спробуйте вирішити його за допомогою правила 
, відповіді повинні збігтися.
Приклад 9
Знайти похідну функції
Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).
Досі ми розглядали випадки, коли у нас у складній функції було лише одне вкладення. У практичних завданнях часто можна зустріти похідні, де, як матрьошки, одна в іншу, вкладені відразу 3, а то і 4-5 функцій.
Приклад 10
Знайти похідну функції
Розбираємось у вкладеннях цієї функції. Пробуємо обчислити вираз за допомогою піддослідного значення. Як би ми рахували на калькуляторі?
Спочатку потрібно знайти, значить, арксинус - найглибше вкладення:
Потім цей арксинус одиниці слід звести у квадрат:
І, нарешті, сімку зводимо в ступінь: 
Тобто, в даному прикладі у нас три різні функції і два вкладення, при цьому найвнутрішній функцією є арксинус, а зовнішньої функцією – показова функція.
Починаємо вирішувати
Відповідно до правила 
Спочатку потрібно взяти похідну від зовнішньої функції. Дивимося в таблицю похідних та знаходимо похідну показової функції: Єдина відмінність – замість «ікс» у нас складний вираз, що не скасовує справедливість цієї формули Отже, результат застосування правила диференціювання складної функції 
наступний.
На цьому занятті ми будемо вчитися застосовувати формули та правила диференціювання.
приклади. Знайти похідні функції.
1. y=x7+x5-x4+x3-x2+x-9. Застосовуємо правило I, формули 4, 2 та 1. Отримуємо:
y'=7x6+5x4-4x3+3x2-2x+1.
2. y=3x6-2x+5. Вирішуємо аналогічно, використовуючи ті ж формули та формулу 3.
y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Застосовуємо правило I, формули 3, 5
і 6
і 1.
Застосовуємо правило IV, формули 5
і 1
.
У п'ятому прикладі за правилом Iпохідна суми дорівнює сумі похідних, а похідну 1-го доданку ми щойно знаходили (приклад 4 ), тому, знаходимо похідні 2-гоі 3-гододанків, а для одногододанку можемо відразу писати результат.
Диференціюємо Другеі 3-тєдоданки за формулою 4
. Для цього перетворимо коріння третього та четвертого ступенів у знаменниках до ступенів з негативними показниками, а потім, за 4
формулі, знаходимо похідні ступенів.
Подивіться цей приклад і отриманий результат. Вловили закономірність? Добре. Це означає, що ми отримали нову формулу і можемо додати її до таблиці похідних.
Вирішимо шостий приклад і виведемо ще одну формулу.
Використовуємо правило IVта формулу 4
. Дріб, що вийшло, скоротимо.
Дивимося на цю функціюта на її похідну. Ви, звичайно, зрозуміли закономірність і готові назвати формулу:
Вчимо нові формули!
приклади.
1. Знайти збільшення аргументу та збільшення функції y= x 2, якщо початкове значення аргументу дорівнювало 4 , а нове - 4,01 .
Рішення.
Нове значення аргументу х = х 0 +Δx. Підставимо дані: 4,01 = 4 + Δх, звідси збільшення аргументу Δх=4,01-4=0,01. Приріст функції, за визначенням, дорівнює різниці між новим і колишнім значеннями функції, тобто. Δy = f (х 0 + Δх) - f (x 0). Так як у нас функція y=x 2, то Δу=(х 0 +Δx) 2 - (х 0) 2 = (х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (х 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Відповідь: приріст аргументу Δх=0,01; збільшення функції Δу=0,0801.
Можна було збільшення функції знайти по-іншому: Δy= y (x 0 +Δx) -y (x 0) = у (4,01) - у (4) = 4,01 2 -4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.
2. Знайти кут нахилу щодо графіку функції y=f(x)у точці х 0, якщо f" (х 0) = 1.
Рішення.
Значення похідної у точці торкання х 0і є значення тангенса кута нахилу дотичної ( геометричний змістпохідної). Маємо: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°,так як tg45 ° = 1.
Відповідь: дотична до графіка цієї функції утворює з позитивним напрямом осі Ох кут, рівний 45°.
3. Вивести формулу похідної функції y=x n.
Диференціювання- Це дія знаходження похідної функції.
При знаходженні похідних застосовують формули, які були виведені на підставі визначення похідної, так само, як ми вивели формулу похідного ступеня: (x n)" = nx n-1.
Ось ці формули.
Таблицю похіднихлегше буде завчити, промовляючи словесні формулювання:
1. Похідна постійної величини дорівнює нулю.
2. Ікс штрих дорівнює одиниці.
3. Постійний множник можна винести за похідний знак.
4. Похідна ступеня дорівнює добутку показника цього ступеня на ступінь з тією самою основою, але показником на одиницю менше.
5. Похідна кореня дорівнює одиниці, поділеній на два такі ж корені.
6. Похідна одиниці, поділеної на ікс дорівнює мінус одиниці, поділеної на ікс у квадраті.
7. Похідна синуса дорівнює косінусу.
8. Похідна косинуса дорівнює мінус синусу.
9. Похідна тангенса дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса.
10. Похідна котангенса дорівнює мінус одиниці, поділеної на квадрат синуса.
Вчимо правила диференціювання.
1.
Похідна суми алгебри дорівнює алгебраїчній сумі похідних доданків.
2. Похідна твори дорівнює добутку похідної першого множника на другий плюс добуток першого множника на похідну другого.
3. Похідна "у", поділеного на "ве" дорівнює дробу, в чисельнику якої "у штрих помножений на "ве" мінус "у, помножений на ве штрих", а в знаменнику - "ве в квадраті".
4. Окремий випадок формули 3.
Вчимо разом!
Сторінка 1 з 1 1
Наводяться приклади обчислення похідних із застосуванням похідної формули складної функції.
Тут ми наводимо приклади обчислення похідних від таких функцій:
;
;
;
;
.
Якщо функцію можна представити як складну функцію у такому вигляді:
,
то її похідна визначається за формулою:
.
У наведених нижче прикладах ми записуватимемо цю формулу в наступному вигляді:
.
де.
Тут нижні індекси або , розташовані під похідною знаком, позначають змінні, по якій виконується диференціювання.
Зазвичай, в похідних таблицях , наводяться похідні функцій від змінної x . Однак x – це формальний параметр. Змінну x можна замінити будь-якою іншою змінною. Тому, при диференціювання функції від змінної , ми змінюємо, у таблиці похідних, змінну x на змінну u .
Прості приклади
Приклад 1
Знайти похідну складної функції
.
Рішення
Запишемо задану функціюв еквівалентному вигляді:
.
У таблиці похідних знаходимо:
;
.
За формулою похідної складної функції маємо:
.
Тут.
Відповідь
Приклад 2
Знайти похідну
.
Рішення
Виносимо постійну 5 за знак похідної та з таблиці похідних знаходимо:
.
.
Тут.
Відповідь
Приклад 3
Знайдіть похідну
.
Рішення
Виносимо постійну -1
за знак похідної та з таблиці похідних знаходимо:
;
З таблиці похідних знаходимо:
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції:
.
Тут.
Відповідь
Більш складні приклади
У складніших прикладах ми застосовуємо правило диференціювання складної функції кілька разів. При цьому ми обчислюємо похідну з кінця. Тобто розбиваємо функцію на складові частини та знаходимо похідні найпростіших частин, використовуючи таблицю похідних. Також ми застосовуємо правила диференціювання суми, твори та дроби . Потім робимо підстановки та застосовуємо формулу похідної складної функції.
Приклад 4
Знайдіть похідну
.
Рішення
Виділимо найпростішу частину формули та знайдемо її похідну. .
.
Тут ми використовували позначення
.
Знаходимо похідну наступної частини вихідної функції, застосовуючи отримані результати. Застосовуємо правило диференціювання суми:
.
Ще раз застосовуємо правило диференціювання складної функції.
.
Тут.
Відповідь
Приклад 5
Знайдіть похідну функції
.
Рішення
Виділимо найпростішу частину формули та з таблиці похідних знайдемо її похідну. .
Застосовуємо правило диференціювання складної функції.
.
Тут
.
Висновок формули похідної статечної функції (x у ступені a). Розглянуто похідні від коренів із x. Формула похідної статечної функції вищого порядку. Приклади обчислення похідних.
Похідна від x у ступені a дорівнює a , помноженому на x у ступені a мінус один:
(1)
.
Похідна від кореня ступеня n з x до ступеня m дорівнює:
(2)
.
Висновок формули похідної статечної функції
Випадок x > 0
Розглянемо статечну функцію від змінної x з показником ступеня a:
(3)
.
Тут a є довільним дійсним числом. Спочатку розглянемо випадок.
Щоб знайти похідну функції (3), скористаємось властивостями статечної функції та перетворюємо її до наступного виду:
.
Тепер знаходимо похідну, застосовуючи:
;
.
Тут.
Формулу (1) доведено.
Висновок формули похідної від кореня ступеня n з x до ступеня m
Тепер розглянемо функцію, що є коренем такого виду:
(4)
.
Щоб знайти похідну, перетворимо корінь до статечної функції:
.
Порівнюючи з формулою (3) бачимо, що
.
Тоді
.
За формулою (1) знаходимо похідну:
(1)
;
;
(2)
.
Насправді немає необхідності запам'ятовувати формулу (2). Набагато зручніше спочатку перетворити коріння до статечних функцій, а потім знаходити їх похідні, застосовуючи формулу (1) (див. приклади наприкінці сторінки).
Випадок x = 0
Якщо , то статечна функція визначена при значенні змінної x = 0
. Знайдемо похідну функції (3) при x = 0
. Для цього скористаємося визначенням похідної:
.
Підставимо x = 0
:
.
При цьому під похідною ми розуміємо правосторонню межу, для якої .
Отже, ми знайшли:
.
Звідси видно, що з , .
При , .
При , .
Цей результат виходить і за формулою (1):
(1)
.
Тому формула (1) справедлива і за x = 0
.
Випадок x< 0
Знову розглянемо функцію (3):
(3)
.
При деяких значеннях постійної a вона визначена і при негативних значенняхзмінної x. А саме, нехай a буде раціональним числом. Тоді його можна уявити у вигляді нескоротного дробу:
,
де m і n – цілі числа, які не мають спільного дільника.
Якщо n непарне, то статечна функція визначена при негативних значеннях змінної x . Наприклад, за n = 3
та m = 1
ми маємо кубічний корінь з x :
.
Він і при негативних значеннях змінної x .
Знайдемо похідну статечної функції (3) при і при раціональних значеннях постійної a для яких вона визначена. Для цього представимо x у наступному вигляді:
.
Тоді ,
.
Знаходимо похідну, виносячи постійну за знак похідної та застосовуючи правило диференціювання складної функції:
.
Тут. Але
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Тобто формула (1) справедлива і при:
(1)
.
Похідні вищих порядків
Тепер знайдемо похідні вищих порядків від статечної функції
(3)
.
Похідну першого порядку ми вже знайшли:
.
Виносячи постійну a за знак похідної, знаходимо похідну другого порядку:
.
Аналогічним чином знаходимо похідні третього та четвертого порядків:
;
.
Звідси видно, що похідна довільного n-го порядкумає такий вигляд:
.
Зауважимо, що якщо a є натуральним числом
, то n -я похідна є постійною:
.
Тоді всі наступні похідні дорівнюють нулю:
,
при .
Приклади обчислення похідних
приклад
Знайдіть похідну функції:
.
Рішення
Перетворюємо коріння до ступенів:
;
.
Тоді вихідна функція набуває вигляду:
.
Знаходимо похідні ступенів:
;
.
Похідна постійної дорівнює нулю:
.
Як знайти похідну, як взяти похідну? На цьому уроці ми навчимося знаходити похідні функції. Але перед вивченням даної сторінки я рекомендую ознайомитися з методичним матеріаломГарячі формули шкільного курсуматематики. Довідковий посібник можна відкрити або завантажити на сторінціМатематичні формули та таблиці . Також звідти нам буде потрібноТаблиця похідних, її краще роздрукувати, до неї часто доведеться звертатися, причому не тільки зараз, а й в офлайні.
Чи є? Приступимо. У мене для Вас є дві новини: хороша та дуже хороша. Хороша новина полягає в наступному: щоб навчитися знаходити похідні, зовсім не обов'язково знати та розуміти, що таке похідна. Більше того, визначення похідної функції, математичний, фізичний, геометричний зміст похідної доцільніше перетравити пізніше, оскільки якісне опрацювання теорії, на мою думку, вимагає вивчення інших тем, а також деякого практичного досвіду.
І зараз наше завдання освоїти ці похідні технічно. Дуже хороша новина полягає в тому, що навчитися брати похідні не так складно, існує досить чіткий алгоритм розв'язання (і пояснення) цього завдання, інтеграли чи межі, наприклад, важче освоїти.
Раджу наступний порядок вивчення теми: по-перше, ця стаття. Потім потрібно прочитати найважливіший урокПохідна складної функції . Ці два базові заняття дозволять підняти Ваші навички з повного нуля. Далі можна буде ознайомитися з складнішими похідними у статтіСкладні похідні.
Логарифмічна похідна. Якщо планка виявиться надто високою, то спочатку прочитайте річ Найпростіші типові завдання з похідною. Крім нового матеріалу, на уроці розглянуті інші, простіші типи похідних, і є чудова можливість покращити свою техніку диференціювання. Крім того, в контрольні роботимайже завжди зустрічаються завдання перебування похідних функцій, які задані неявно чи параметрично. Такий урок також є: Похідні неявних та параметрично заданих функцій.
Я спробую у доступній формі, крок за кроком, навчити Вас знаходити похідні функції. Уся інформація викладена докладно, простими словами.
Власне, одразу розглянемо приклад: Приклад 1
Знайти похідну функції Рішення: 
Це найпростіший приклад, будь ласка, знайдіть його у таблиці похідних елементарних функцій. Тепер подивимося на рішення та проаналізуємо, що ж сталося? А сталася така річ:
у нас була функція, яка в результаті рішення перетворилася на функцію.
Говорячи дуже просто,для того, щоб знайти похідну
функції, які потрібно по певним правиламперетворити її на іншу функцію . Подивіться ще раз на таблицю похідних – функції перетворюються на інші функції. Єдиним
винятком є експоненційна функція, яка
перетворюється сама на себе. Операція знаходження похідної називаєтьсядиференціюванням.
Позначення : Похідну позначають або.
УВАГА, ВАЖЛИВО! Забути поставити штрих (там, де треба), або намалювати зайвий штрих (там, де не треба) - ГРУБА ПОМИЛКА! Функція та її похідна – це дві різні функції!
Повернімося до нашої похідної таблиці. З цієї таблиці бажано запам'ятати напам'ять: правила диференціювання та похідні деяких елементарних функцій, особливо:
похідну константи:
Де - постійне число; похідну статечної функції:
Зокрема:,,.
Навіщо запам'ятовувати? Дані знання є елементарними знаннями про похідні. І якщо Ви не зможете відповісти викладачеві на запитання «Чому дорівнює похідна цифра?», то навчання у ВНЗ може для Вас закінчитися (особисто знайомий із двома реальними випадками з життя). Крім того, це найбільш поширені формули, якими доводиться користуватися практично щоразу, коли ми стикаємося з похідними.
У Насправді прості табличні приклади - рідкість, зазвичай при знаходженні похідних спочатку використовуються правила диференціювання, а потім - таблиця похідних елементарних функцій.
У у зв'язку з цим переходимо до розглядуправил диференціювання:
1) Постійне число можна (і потрібно) винести за знак похідної
Де - постійне число (константа) Приклад 2
Знайти похідну функції
Дивимося до таблиці похідних. Похідна косинуса там є, але в нас.
Саме час використовувати правило, виносимо постійний множник за знак похідної:
А тепер перетворюємо наш косинус за таблицею:
Ну і результат бажано трохи «зачесати» - ставимо мінус на перше місце, заодно позбавляючись дужок:
2) Похідна сума дорівнює сумі похідних
Знайти похідну функції
Вирішуємо. Як Ви, напевно, вже помітили, перша дія, яка завжди виконується при знаходженні похідної, полягає в тому, що ми укладаємо в дужки весь вираз і ставимо штрих праворуч угорі:
Застосовуємо друге правило:
Зверніть увагу, що для диференціювання все коріння, ступеня потрібно подати у вигляді , а якщо вони знаходяться у знаменнику, то
перемістити їх вгору. Як це зробити – розглянуто у моїх методичних матеріалах.
Тепер згадуємо про перше правило диференціювання – постійні множники (числа) виносимо за знак похідної:
Зазвичай у ході рішення ці два правила застосовують одночасно (щоб не переписувати зайвий раздовгий вираз).
Усі функції під штрихами є елементарними табличними функціями, за допомогою таблиці здійснюємо перетворення:
Можна все залишити в такому вигляді, тому що штрихів більше немає, і знайдена похідна. Проте подібні висловлювання зазвичай спрощують:
Усі ступеня виду бажано знову подати у вигляді коренів,
ступеня з негативними показниками – скинути у знаменник. Хоча цього можна і не робити, помилкою не буде.
Знайти похідну функції 
Спробуйте вирішити цей приклад самостійно (відповідь наприкінці уроку).
3) Похідна робота функцій
Начебто за аналогією напрошується формула …., але несподіванка полягає в тому, що:
Це незвичайне правило(як, власне, та інші) слід з визначення похідної. Але з теорією ми поки що почекаємо – зараз важливіше навчитися вирішувати:
Знайти похідну функції
Тут ми маємо добуток двох функцій, що залежать від . Спочатку застосовуємо наше дивне правило, а потім перетворюємо функції по таблиці похідних:
Важко? Зовсім ні, цілком доступно навіть для чайника.
Знайти похідну функції
У цій функції міститься сума та добуток двох функцій – квадратного тричлена логарифму. Зі школи ми пам'ятаємо, що множення та поділ мають пріоритет перед складанням та відніманням.
Тут так само. Спочатку ми використовуємо правило диференціювання твору:
Тепер для дужки використовуємо два перші правила:
Внаслідок застосування правил диференціювання під штрихами у нас залишилися тільки елементарні функції, за таблицею похідних перетворюємо їх на інші функції:
При певному досвіді знаходження похідних прості похідні начебто не обов'язково розписувати так докладно. Взагалі вони зазвичай вирішуються усно, і відразу записується, що 
.
Знайти похідну функції 
Це приклад для самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку)
4) Похідна приватних функцій
У стелі відкрився люк, не лякайся, це глюк. А ось це ось сувора дійсність:
Знайти похідну функції
Чого тут тільки немає – сума, різницю, твір, дріб…. З чого почати?! Є сумніви, немає сумнівів, але, У БУДЬ-ЯКОМУ РАЗІ для початку малюємо дужки і праворуч вгорі ставимо штрих:
Тепер дивимося на вираз у дужках, як його спростити? В даному випадку помічаємо множник, який згідно з першим правилом доцільно винести за знак похідної:
Заодно позбавляємося дужок у чисельнику, які тепер не потрібні. Взагалі кажучи, постійні множники під час перебування похідної
