Середній рівень
Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат (2019)
1. Паралелограм
Складне слово «паралелограм»? А ховається за ним дуже проста фігура.
Ну, тобто взяли дві паралельні прямі:
Перетнули ще двома:
І ось усередині-паралелограм!
Які є властивості у паралелограма?
Властивості паралелограма.
Тобто чим можна користуватися, якщо в задачі дано паралелограм?
На це запитання відповідає така теорема:
Давай намалюємо докладно.
Що означає перший пункт теореми? А те, що якщо у тебе є паралелограм, то неодмінно
Другий пункт означає, що якщо Є паралелограм, то, знову ж таки, неодмінно:
Ну, і нарешті, третій пункт означає, що якщо у тебе є паралелограм, то обов'язково:
Бачиш яке багатство вибору? Що ж використовувати у завданні? Спробуй орієнтуватися на питання задачі, або просто пробуй все по черзі - якийсь «ключик» та підійде.
А тепер поставимо собі інше питання: а як дізнатися паралелограм «в обличчя»? Що таке має статися з чотирикутником, щоб ми мали право видати йому звання паралелограма?
На це питання відповідає кілька ознак паралелограма.
Ознаки паралелограма.
Увага! Починаємо.
Паралелограм.
Зверніть увагу: якщо ти знайшов хоча б одну ознаку у своєму завданні, то у тебе точно паралелограм, і ти можеш користуватися всіма властивостями паралелограма.
2. Прямокутник
Думаю, що для тебе зовсім не стане новиною те, що
Перше питання: а чи є прямокутник паралелограм?
Звісно, є! Адже в нього і - пам'ятаєш, наша ознака 3?
А звідси, звичайно ж, випливає, що у прямокутника, як і у будь-якого паралелограма, а діагоналі точкою перетину діляться навпіл.
Але є прямокутник і одна відмінна властивість.
Властивість прямокутника
Чому ця властивість відмінна? Тому що в жодного іншого паралелограма не буває рівних діагоналей. Сформулюємо чіткіше.
Зверніть увагу: щоб стати прямокутником, чотирикутнику потрібно спочатку стати паралелограмом, а потім уже пред'являти рівність діагоналей.
3. Ромб
І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?
З повним правом - паралелограм, тому що у нього і (згадуємо нашу ознаку 2).
І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.
Властивості ромба
Подивись на картинку:
Як і у випадку з прямокутником, ці властивості - відмінні , тобто по кожному з цих властивостей можна укласти, що перед нами не просто паралелограм , а саме ромб.
Ознаки ромба
І знову зверни увагу: має бути не просто чотирикутник, у якого перпендикулярні діагоналі, а саме паралелограм. Переконайтеся:
Ні, звичайно, хоча його діагоналі і перпендикулярні, а діагональ - бісектриса кутів і. Але … діагоналі не діляться, точкою перетину навпіл, тому – не паралелограм, а значить, і не ромб.
Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.
Зрозуміло, чому? - ромб - бісектриса кута A, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.
Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.
СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ
Властивості чотирикутників. Паралелограм
Властивості паралелограма
Увага! Слова « властивості паралелограма» означають, що якщо у тебе в завданні єпаралелограм, то всім нижченаведеним можна користуватися.
Теорема про властивості паралелограма.
У будь-якому паралелограмі:
Давай зрозуміємо, чому це все правильно, інакше кажучи ДОКАЖЕМОтеорему.
Отже, чому правильно 1)?
Раз - паралелограм, то:
- як навхрест лежачі
- як навхрест лежать.
Значить (за II ознакою: і - загальна.)
Ну от, а раз, то й – все! – довели.
Але, до речі! Ми ще довели при цьому 2)!
Чому? Але ж (дивися на картинку), тобто саме тому, що.
Залишилося лише 3).
Для цього все-таки доведеться провести другу діагональ.
І тепер бачимо, що – за II ознакою (кута та сторона «між» ними).
Властивості довели! Перейдемо до ознак.
Ознаки паралелограма
Нагадаємо, що ознака паралелограма відповідає на питання "як дізнатися?", що фігура є паралелограмом.
У значках це так:
Чому? Добре було б зрозуміти, чому цього вистачить. Але дивись:
Ну ось і розібралися, чому ознака одна вірна.
Ну, це ще легше! Знову проведемо діагональ.
А значить:
Ітеж нескладно. Але... інакше!
Отже, . Ух! Але і - внутрішні односторонні при січній!
Тому той факт, що означає, що.
А якщо подивишся з іншого боку, то і – внутрішні односторонні при січній! І тому.
Бачиш, як здорово?
І знову просто:
Так само, в.
Зверни увагу:якщо ти знайшов хоча бодна ознака паралелограма у своєму завданні, то в тебе точнопаралелограм, і ти можеш користуватися усімавластивостями паралелограма.
Для повної ясності подивися на схему:
Властивості чотирикутників. Прямокутник.
Властивості прямокутника:
Пункт 1) Очевидний - адже просто виконано ознаку 3 ()
А пункт 2) - дуже важливий. Отже, доведемо, що
Отже, по двох катетах (і - загальний).
Ну ось, якщо трикутники і рівні, то в них і гіпотенузи теж рівні.
Довели, що!
І уяви собі, рівність діагоналей – відмінна властивість саме прямокутника серед усіх паралелограмів. Тобто правильне таке твердження ^
Давай зрозуміємо, чому?
Значить, (маються на увазі кути паралелограма). Але ще раз згадаємо, що – паралелограм, і тому.
Отже, . Ну і, звичайно, з цього випливає, що кожен з них! Адже в сумі вони повинні давати!
Ось і довели, що якщо у паралелограмараптом (!) виявляться рівні діагоналі, то це точно прямокутник.
Але! Зверни увагу!Мова йде про паралелограмах! Не будь-якийчотирикутник з рівними діагоналями - прямокутник, а тількипаралелограм!
Властивості чотирикутників. Ромб
І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?
З повним правом - паралелограм, тому що в нього і (згадуємо нашу ознаку 2).
І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.
Але є й особливі якості. Формулюємо.
Властивості ромба
Чому? Ну, якщо ромб - це паралелограм, то його діагоналі діляться навпіл.
Чому? Так, тому ж!
Іншими словами, діагоналі і виявилися бісектрисами кутів ромба.
Як у випадку з прямокутником, властивості ці - відміннікожні з них є ще й ознакою ромба.
Ознаки ромба.
А це чому? А подивися,
Значить, і обидвацих трикутників - рівнобедрених.
Щоб бути ромбом, чотирикутник спочатку повинен стати паралелограмом, а потім уже демонструвати ознаку 1 або ознаку 2.
Властивості чотирикутників. Квадрат
Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.
Зрозуміло чому? Квадрат - ромб - бісектриса кута, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.
Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.
Чому? Ну, просто застосуємо теорему Піфагора до.
КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Властивості паралелограма:
- Протилежні сторони рівні: , .
- Протилежні кути дорівнюють: , .
- Кути з одного боку становлять у сумі: , .
- Діагоналі діляться точкою перетину навпіл: .
Властивості прямокутника:
- Діагоналі прямокутника дорівнюють: .
- Прямокутник – паралелограм (для прямокутника виконуються всі властивості паралелограма).
Властивості ромба:
- Діагоналі ромба перпендикулярні: .
- Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів: ; ; ; .
- Ромб – паралелограм (для ромба виконуються всі властивості паралелограма).
Властивості квадрата:
Квадрат - ромб і прямокутник одночасно, отже для квадрата виконуються всі властивості прямокутника та ромба. А також.
Доведення
Насамперед проведемо діагональ AC. Виходять два трикутники: ABC і ADC.
Так як ABCD - паралелограм, то справедливо наступне:
AD | BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2як лежачи навхрест.
AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4як лежачи навхрест.
Отже, triangle ABC = triangle ADC (за другою ознакою: і AC — загальна).
І, отже, triangle ABC = triangle ADC , то AB = CD і AD = BC .
Доведено!
2. Протилежні кути тотожні.
Доведення
Згідно з доказом властивості 1Ми знаємо, що \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Таким чином, сума протилежних кутів дорівнює: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Враховуючи, що \triangle ABC = \triangle ADC отримуємо \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
Доведено!
3. Діагоналі розділені навпіл крапкою перетину.
Доведення
Проведемо ще одну діагональ.
за властивості 1ми знаємо, що протилежні сторони тотожні: AB = CD. Ще раз відзначимо навхрест рівні кути, що лежать.
Таким чином видно, що \triangle AOB = \triangle COD за другою ознакою рівності трикутників (два кути та сторона між ними). Тобто, BO = OD (напроти кутів \angle 2 і \angle 1 ) і AO = OC (напроти кутів \angle 3 і \angle 4 відповідно).
Доведено!
Ознаки паралелограма
Якщо лише одна ознака у вашому завданні є, то фігура є паралелограмом і можна використовувати всі властивості даної фігури.
Для кращого запам'ятовування, зауважимо, що ознака паралелограма відповідатиме на наступне питання — "як дізнатися?". Тобто як дізнатися, що задана фігура це паралелограм.
1. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого дві сторони рівні і паралельні.
AB = CD; AB || CD Rightarrow ABCD - паралелограм.
Доведення
Розглянемо докладніше. Чому AD | BC?
\triangle ABC = \triangle ADC за властивості 1: AB = CD , AC - загальна і \angle 1 = \angle 2 як навхрест лежать при паралельних AB і CD і січе AC .
Але якщо \triangle ABC = \triangle ADC , \angle 3 = \angle 4 (лежать навпроти AB і CD відповідно). І отже AD || BC (angle 3 і angle 4 - навхрест лежачі теж рівні).
Перша ознака вірна.
2. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні.
AB = CD, AD = BC Rightarrow ABCD - паралелограм.
Доведення
Розглянемо цю ознаку. Ще раз проведемо діагональ AC.
за властивості 1\triangle ABC = \triangle ACD.
З цього виходить що: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BCі \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CDтобто ABCD - паралелограм.
Друга ознака вірна.
3. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого протилежні кути рівні.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- Паралелограм.
Доведення
2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(оскільки ABCD — чотирикутник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D за умовою).
Виходить, \ alpha + \ beta = 180 ^ (\ circ) . Але \alpha і \beta є внутрішніми односторонніми при січній AB .
І те, що \alpha + \beta = 180^(\circ) свідчить і тому, що AD || BC.
При цьому \ alpha і beta - внутрішні односторонні при січній AD . І це означає AB | CD.
Третя ознака вірна.
4. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого діагоналі розділені точкою перетину навпіл.
AO = OC; BO = OD \Rightarrow паралелограм.
Доведення
BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 як вертикальні \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, та \Rightarrow AB || CD.
Аналогічно BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, та \Rightarrow AD || BC.
Четверта ознака вірна.
Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто. лежать на паралельних прямих
Властивості паралелограма:
Теорема 22.
Протилежні сторони паралелограма рівні.
Доведення. У паралелограмі АВСD проведемо діагональ АС. Трикутники АСD та АСВ рівні, як такі, що мають загальний бікАС та дві пари рівних кутів. прилеглих до неї: ∠ САВ = ∠ АСD, ∠ АСВ = ∠ DAC (як навхрест лежачі кути при паралельних прямих AD і ВС). Значить, АВ=CD та ВС=AD, як відповідні сторони рівних трикутників, ч.т.д. З рівності цих трикутників також випливає рівність відповідних кутів трикутників:
Теорема 23.
Протилежні кути паралелограма рівні: ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D.
Рівність першої пари йде з рівності трикутників АВD та CBD, а другої – АВС та ACD.
Теорема 24.
Сусідні кути паралелограма, тобто. кути, що прилягають до одного боку, становлять у сумі 180 градусів.
Це так, тому що вони є односторонніми внутрішніми кутами.
Теорема 25.
Діагоналі паралелограма ділять один одного в точці їхнього перетину навпіл.
Доведення. Розглянемо трикутники ВОС та АОD. За першою властивістю AD=ВС ∠ ОАD=∠ ОСВ і ∠ ОDА=∠ ОВС як навхрест, що лежать при паралельних прямих AD і ВС. Тому трикутники ВОС і АОD рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Отже, ВО=ОD і АО=ОС, як відповідні сторони рівних трикутників, т.д.
Ознаки паралелограма
Теорема 26.
Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Доведення. Нехай у чотирикутника АВСD сторони AD і ВС, АВ та CD відповідно рівні (рис2). Проведемо діагональ АС. Трикутник АВС і ACD рівні по трьох сторонах. Тоді кути ВАС та DСА рівні і, отже, АВ паралельна CD. Паралельність сторін ЗС і AD випливає з рівності кутів CAD та АСВ.
Теорема 27.
Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, він є паралелограмом.
Нехай ∠ А = ∠ С і ∠ В = ∠ D. Т.к. ∠ А+∠ В+∠ С+∠ D=360 про, то ∠ А+∠ В=180 про сторони AD і ВС паралельні (за ознакою паралельності прямих). Також доведемо і паралельність сторін АВ і CD і зробимо висновок, що АВСD є паралелограмом за визначенням.
Теорема 28.
Якщо сусідні кути чотирикутника, тобто. кути, прилеглі до одного боку, становлять у сумі 180 градусів, він є паралелограмом.
Якщо внутрішні односторонні кути у сумі становлять 180 градусів, то прямі пралельні. Значить АВ парал CD і НД парал AD. Чотирьохкутник виявляється паралелограмом за визначенням.
Теорема 29.
Якщо діагоналі чотирикутника взаємно діляться у точці перетину навпіл, то чотирикутник – паралелограм.
Доведення. Якщо АО=ОС, ВО=ОD, то трикутники АOD і ВОС рівні, як мають кути (вертикальні) при вершині О, укладені між парами рівних сторін. З рівності трикутників укладаємо, що AD і НД рівні. Також рівні сторони АВ та CD, і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 1.
Теорема 30.
Якщо чотирикутник має пару рівних, паралельних між собою сторін, він є паралелограмом.
Нехай у чотирикутнику АВСD сторони АВ і CD паралельні та рівні. Проведемо діагоналі АС та ВD. З паралельності цих прямих випливає рівність навхрест лежачих кутів АВО=СDО і ВАО=ОСD. Трикутники АВО і СДО рівні по стороні і кутам, що прилягають до неї. Тому АТ = ОС, ВО = ОD, тобто. діагоналі точкою перетину діляться навпіл і чотирикутник виявляється паралелограмом за ознакою 4.
У геометрії розглядають окремі випадки паралелограма.
Як у евклідовій геометрії точка і пряма – головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігур опуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, витікають поняття прямокутника, квадрата, ромба та інших геометричних величин.
Вконтакте
Визначення паралелограма
Випуклий чотирикутник,що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий у геометрії як паралелограм.
Як виглядає класичний паралелограм, зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються основами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині сторону - висотою (BE і BF), лінії AC і BD - діагоналями.
Увага!Квадрат, ромб і прямокутник – це окремі випадки паралелограма.
Сторони та кути: особливості співвідношення
Ключові властивості, за великому рахунку,зумовлені самим позначенням, їх доводить теорема Ці показники такі:
- Сторони, які є протилежними - попарно однакові.
- Кути, розташовані протилежно один до одного - попарно рівні.
Доказ: розглянемо ∆ABC та ∆ADC, які виходять внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямий AC. ∠BCA=∠CAD та ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD та AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).
Відрізки AB і BC в ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.
Характеристики діагоналей фігури
Основна ознакацих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.
Доказ: нехай т. е. - Це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірні трикутники - ∆ABE і ∆CDE.
AB=CD, оскільки вони протилежні. Відповідно до прямих і січної, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.
За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ABE і CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони пропорційні частини AC і BD. Властивість доведено.
Особливості суміжних кутів
У суміжних сторінсума кутів дорівнює 180 °, оскільки вони лежать по один бік паралельних ліній та січній. Для чотирикутника ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Властивості бісектриси:
- опущені на один бік, є перпендикулярними;
- протилежні вершини мають паралельні бісектриси;
- трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.
Визначення характерних рис паралелограма з теореми
Ознаки цієї постаті випливають із її основної теореми, яка свідчить про наступне: чотирикутник вважається паралелограмому тому випадку, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх на рівні відрізки.
Доказ: нехай у т. е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD та BC. Отже, за визначенням паралельності - AD || BC. Аналогічна властивість ліній BC та CD виводиться також. Теорему доведено.
Обчислення площі фігури
Площа цієї фігури знаходиться декількома методами,одним із найпростіших: множення висоти та підстави, до якої вона проведена.
Доказ: проведемо перпендикуляри BE та CF з вершин B та C. ∆ABE та ∆DCF - рівні, оскільки AB = CD та BE = CF. ABCD - рівновеликий з прямокутником EBCF, оскільки вони складаються і пропорційних фігур: S ABE і S EBCD , а також S DCF і S EBCD . З цього випливає, що площа цієї геометричної фігуризнаходиться так само як і прямокутника:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Для визначення загальної формули площі паралелограма позначимо висоту як hb, а бік - b. Відповідно:
Інші способи знаходження площі
Обчислення площі через сторони паралелограма та кут, що вони утворюють, - другий відомий метод.
,
Sпр-ма – площа;
a і b - його сторони
α - кут між відрізками a та b.
Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у разі, якщо невідома. завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого знаходяться тригонометричними тотожностями, тобто . Перетворюючи співвідношення, отримуємо . У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором та отримуємо доказ справедливості цієї формули.
Через діагоналі паралелограма та кут,який вони створюють при перетині, також можна знайти площу.
Доказ: AC і BD перетинаючи, утворюють чотири трикутники: ABE, BEC, CDE та AED. Їхня сума дорівнює площі цього чотирикутника.
Площу кожного з цих ∆ можна знайти за виразом , де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки , то в розрахунках використовується єдине значеннясинусу. Тобто . Оскільки AE+CE=AC= d 1 і BE+DE=BD= d 2 формула площі зводиться до:
.
Застосування у векторній алгебрі
Особливості складників цього чотирикутника знайшли застосування у векторній алгебрі, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані векториінеколінеарні, то їх сума дорівнюватиме діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.
Доказ: із довільно обраного початку – т. о. - Будуємо вектори та . Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA та OB – сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі чи сумі .
Формули для обчислення параметрів паралелограма
Тотожності наведені за таких умов:
- a і b, α - сторони та кут між ними;
- d 1 і d 2 , - діагоналі і в точці їх перетину;
- h a та h b - висоти, опущені на сторони a та b;
Параметр | Формула |
Знаходження сторін | |
по діагоналях і косинус кута між ними | |
по діагоналях та стороні | |
через висоту та протилежну вершину | |
Знаходження довжини діагоналей | |
по сторонах та величині вершини між ними |