У цій статті наведено огляд властивостей дій з раціональними числами . Спочатку озвучені основні якості, у яких базуються й інші характеристики. Після цього дано деякі інші часто використовувані властивості дій з раціональними числами.
Навігація на сторінці.
Перерахуємо основні властивості дій із раціональними числами(a, b і c – довільні раціональні числа):
- Переміщувальна властивість додавання a+b=b+a .
- Сполучна властивість додавання (a+b)+c=a+(b+c) .
- Існування нейтрального елемента за додаванням – нуля, додавання якого з будь-яким числом не змінює це число, тобто, a+0=a .
- До кожного раціонального числа a існує протилежне число −a таке, що a+(−a)=0 .
- Переміщувальна властивість множення раціональних чисел a b = b a .
- Сполучна властивість множення (a·b)·c=a·(b·c) .
- Існування нейтрального елемента за множенням – одиниці, множення на яку будь-якого числа не змінює це число, тобто a · 1 = a.
- До кожного відмінного від нуля раціонального числа a існує зворотне число a −1 таке, що a·a −1 =1 .
- Нарешті, додавання та множення раціональних чисел пов'язані розподільною властивістю множення щодо додавання: a · (b + c) = a · b + a · c .
Перелічені властивості дій з раціональними числами є основними, оскільки всі інші властивості можуть бути з них.
Інші важливі властивості
Крім дев'яти перерахованих основних властивостей дій з раціональними числами існує ще ряд властивостей, що дуже широко використовуються. Дамо їх короткий огляд.
Почнемо з властивості, яка за допомогою букв записується як a·(−b)=−(a·b)або в силу переміщувальної властивості множення як (−a)·b=−(a·b). З цієї властивості безпосередньо випливає правило множення раціональних чисел з різними знаками, у зазначеній статті наведено його доказ. Вказану властивість пояснює правило «плюс помножити на мінус є мінус, і мінус помножити на плюс є мінус».
Ось така властивість: (−a)·(−b)=a·b. З нього випливає правило множення негативних раціональних чисел, у цій статті Ви знайдете і доказ наведеної рівності. Цій властивості відповідає правило множення "мінус помножити на мінус є плюс".
Безперечно, варто зупинитися на множенні довільного раціонального числа a на нуль: a·0=0або 0·a=0. Доведемо цю властивість. Ми знаємо, що 0=d+(−d) для будь-якого раціонального d тоді а·0=a·(d+(−d)) . Розподільча властивість дозволяє отриманий вираз переписати як a d + a (d) , а так як a (d) = - (a d) , то a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Так ми дійшли суми двох протилежних чисел, рівних a·d і −(a·d) , їх сума дає нуль, як і доводить рівність a·0=0 .
Легко помітити, що ми перерахували лише властивості складання і множення, у своїй ні слова сказали про властивості віднімання і розподілу. Це з тим, що у безлічі раціональних чисел дії віднімання і розподіл задаються як зворотні до складання і множення відповідно. Тобто, різниця a−b – це сума a+(−b) , а приватне a:b – це твір a·b −1 (b≠0 ).
Враховуючи ці визначення віднімання та поділу, а також основні властивості додавання та множення, можна довести будь-які властивості дій з раціональними числами.
Наприклад доведемо розподільну властивість множення щодо віднімання: a·(b−c)=a·b−a·c . Має місце наступний ланцюжок рівностей a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, яка є доказом.
Copyright by cleverstudents
Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту www.сайт, включаючи внутрішні матеріалита зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.
Дії з десятковими дробами.
Складання та віднімання десяткових дробів.
1. Зрівняти кількість цифр після коми.
2. Скласти або відняти десяткові дроби кома під комою за розрядами.
Розмноження десяткових дробів.
1. Помножити, не звертаючи уваги на коми.
2. У творі коми відокремити праворуч стільки цифр, скільки їх у всіх множниках
разом після коми.
Розподіл десяткових дробів.
1. У ділимому та дільнику перенести коми вправо на стільки цифр, скільки їх після коми
у дільнику.
2. Розділити цілу частину, поставити в приватному кому. (Якщо ціла частинаменше дільника, то
приватне починається з нуля цілих)
3. Продовжити поділ.
Дії з позитивними та негативними числами.
Додавання та віднімання позитивних і негативних чисел.
а – (– в) = а + в
Решта випадків розглядаються як додавання чисел.
Додавання двох негативних чисел:
1. результат записуємо зі знаком «-»;
2. модулі складаємо.
Додавання чисел з різними знаками:
1. ставимо знак більшого модуля;
2. віднімаємо з більшого модуля менший.
Розмноження та поділ позитивних та негативних чисел.
1. При множенні та розподілі чисел з різними знаками результат записується зі знаком
мінус.
2. При множенні та розподілі чисел з однаковими знаками результат записується зі знаком
плюс.
Події зі звичайними дробами.
Складання та віднімання.
1. Привести дроби до спільного знаменника.
2. Скласти чи відняти чисельники, а знаменник залишити без зміни.
Помножити чисельник на чисельник, а знаменник на знаменник (наскільки можна – скоротити).
Дільник (другий дріб) "перевернути" і виконати множення.
Розподіл.
множення.
Виділення цілої частини із неправильного дробу.
38
5 = 38: 5 = 7 (зуп.3) = 7
3
5
Переведення змішаного числа в неправильний дріб.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=
1
.
+
Скорочення дробу.
Скоротити дріб – розділити чисельник і знаменник одне й те число.
6
7
6
7 . Можна коротше:
30:5
35:5 =
30
35 =
Наприклад:
30
35 =
.
1.
Розкласти знаменники дробів на прості
множники.
Приведення дробів до спільного знаменника.
5 4
7
16 +
36
80 =
71
80
2. Викреслити однакові множники.
3. Множники, що залишилися, від знаменника першої
дроби перемножити та записати як
додатковий множник для другого дробу, а
від другого дробу – до першого дробу.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Помножити чисельник і знаменник кожного дробу
на її додатковий множник.
9
20 =
35
80 +
Додавання та віднімання змішаних чисел.
Скласти чи відняти окремо цілі частини, окремо дробові.
«Особливі» випадки:
«Перетворити» 1 на дріб, у якого чисельник і
2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Зайняти 1 і «перетворити» її на дріб, у якого чисельник і
знаменник дорівнюють знаменнику даного дробу.
Зайняти 1 і додати знаменник до чисельника.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Перекласти змішані числа в неправильні дробиі виконати множення чи розподіл.
Множення та поділ змішаних чисел.
2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1 · 1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7
То а + b = b + a, а + (b + с) = (а + b) + с.
Додавання нуля не змінює числа, а сума протилежних чисел дорівнює нулю.
Отже, будь-якого раціонального числа маємо: а + 0 = а, а + (- а)=0.
Множення раціональних чисел теж має переміщувальну і поєднувальну властивості. Інакше кажучи, якщо а, b і з - будь-які раціональні числа, то ab - ba, a (bc) - (ab) c.
Множення на 1 не змінює раціонального числа, а добуток числа на зворотне число дорівнює 1.
Значить, для будь-якого раціонального числа маємо:
а) x + 8 – х – 22; в) a-m+7-8+m;
б) -х-а + 12 + а -12; г) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - р.
1190. Вибравши зручний порядок обчислень, знайдіть значення виразу:
1191. Сформулюйте словами переміщувальну властивість множення ab = ba і перевірте його за:
1192. Сформулюйте словами поєднану властивість множення a(bc)=(ab)c і перевірте його за:
1193. Вибираючи зручний порядок обчислень, знайдіть значення виразу:
1194. Яке вийде число (позитивне чи негативне), якщо перемножити:
а) одне від'ємне число та два позитивні числа;
б) два негативні та одне позитивне число;
в) 7 негативних та кілька позитивних чисел;
г) 20 негативних та кілька позитивних? Зробіть висновок.
1195. Визначте знак твору:
а) - 2 (-3) (-9) (-1,3) 14 (-2,7) (-2,9);
б) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
а) У спортивному залі зібралися Вітя, Коля, Петя, Сергій та Максим (рис. 91, а). Виявилося, що кожен із хлопчиків знайомий лише з двома іншими. Хто з ким знайомий? (Ребро графа означає "ми знайомі".)
б) У дворі гуляють брати та сестри однієї сім'ї. Хто із цих дітей хлопчики, а хто дівчатка (рис. 91, б)? (Пунктирні ребра графа означають - "я - сестра", а суцільні - "я - брат".)
1205. Обчисліть:
1206. Порівняйте:
а) 2 3 і 3 2; б) (-2) 3 та (-3) 2 ; в) 13 і 12; г) (-1) 3 та (-1) 2 .
1207. Округліть 5,2853 до тисячних; до сотих; до десятих; до одиниць.
1208. Розв'яжіть задачу:
1) Мотоцикліст наздоганяє велосипедиста. Нині між ними 23,4 км. Швидкість мотоцикліста в 3,6 рази більша за швидкість велосипедиста. Знайдіть швидкості велосипедиста та мотоцикліста, якщо відомо, що мотоцикліст наздожене велосипедиста через год.
2) Легкова машина наздоганяє автобус. Нині між ними 18 км. Швидкість автобуса становить швидкість легкової автомашини. Знайдіть швидкості автобуса та легкової автомашини, якщо відомо, що легкова автомашина наздожене автобус через год.
1209. Знайдіть значення виразу:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Перевірте ваші обчислення за допомогою мікрокалькулятора.
1210. Вибравши зручний порядок обчислень, знайдіть значення виразу: 
1211. Спростіть вираз:
1212. Знайдіть значення виразу:
1213. Виконайте дії:
1214. Учням дали завдання зібрати 2,5 т металобрухту. Вони зібрали 3,2 т металобрухту. На скільки відсотків учні виконали завдання і скільки відсотків вони перевиконали завдання?
1215. Автомашина пройшла 240 км. З них 180 км вона йшла по дорозі, а решта - по шосе. Витрата бензину на кожні 10 км путівця склав 1,6 л, а по шосе - на 25% менше. Скільки літрів бензину в середньому витрачалося на кожні 10 км?
1216. Виїжджаючи із села, велосипедист помітив на мосту пішохода, що йде в тому ж напрямку, і наздогнав його за 12 хв. Знайдіть швидкість пішохода, якщо швидкість велосипедиста 15 км/год, а відстань від села до моста 1 км 800 м?
1217. Виконайте дії:
а) – 4,8 3,7 – 2,9 8,7 – 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
б) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42 +4,1 0,8;
в) 3,5 0,23 - 3,5 (-0,64) + 0,87 (-2,5).
З раціональними числами люди, як ви знаєте, поступово знайомилися. Спочатку за рахунку предметів виникли натуральні числа. Спочатку їх було небагато. Так, ще нещодавно у тубільців островів у Торресовій протоці (що відокремлює Нову Гвінею від Австралії) були в мові назви лише двох чисел: «урапун» (один) та «оказа» (два). Островітяни вважали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (чотири) тощо. буд. Усі числа, починаючи з семи, тубільці називали словом, що позначало «багато».
Вчені вважають, що слово для позначення сотні з'явилося понад 7000 років тому, для позначення тисячі - 6000 років тому, а 5000 років тому Стародавньому Єгиптіі в Стародавньому Вавилоні з'являються назви для величезних чисел – до мільйона. Але довгий час натуральний ряд чисел вважався кінцевим: люди думали, що існує саме велике число.
Найбільший давньогрецький математик і фізик Архімед (287-212 рр. до зв. е.) вигадав спосіб опису величезних чисел. Найбільше число, яке вмів називати Архімед, було настільки велике, що для його цифрового запису знадобилася стрічка в дві тисячі разів довша, ніж відстань від Землі до Сонця.
Але записувати такі величезні числа ще не вміли. Це стало можливим лише після того, як індійськими математиками у VI ст. була придумана цифра нуль і нею стали означати відсутність одиниць у розрядах десяткового записучисла.
При розділі видобутку і надалі при вимірах величин, та й в інших схожих випадках люди зустрілися з необхідністю запровадити «ламані числа». звичайні дроби. Дії над дробами ще в середні віки вважалися найскладнішою галуззю математики. Досі німці говорять про людину, яка потрапила у скрутне становище, що вона «потрапила в дроби».
Щоб полегшити події з дробами, були придумані десяткові дроби. У Європі їх запровадив у Х585 р. голландський математик та інженер Симон Стевін.
Негативні числа з'явилися пізніше ніж дроби. Довгий час такі числа вважали «неіснуючими», «хибними» насамперед через те, що прийняте тлумачення для позитивних і негативних чисел «майно - борг» призводило до здивувань: можна скласти чи відняти «майна» чи «борги», але як розуміти твір чи приватне «майна» та «борг»?
Проте незважаючи на такі сумніви та здивування, правила множення та поділу позитивних та негативних чисел були запропоновані у III ст. грецьким математиком Діофантом (у вигляді: «Віднімання, помножене на додається, дає віднімання; віднімання на віднімається дає додається» і т. д.), а пізніше індійський математик Б хаскара (XII ст.) висловив ті ж самі правила в поняттях «майно», «борг» («Виробництво двох майна або двох боргів є майно; добуток майна та боргу є борг». Те саме правило і при розподілі).
Було встановлено, що властивості дій над негативними числами ті ж, що і над позитивними (наприклад, додавання та множення мають переміщувальну властивість). І, нарешті, з початку минулого століття негативні числа стали рівноправними з позитивними.
Надалі в математиці з'явилися нові числа – ірраціональні, комплексні та інші. Про них ви дізнаєтесь у старших класах.
Н.Я.Віленкін, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд, В.І.Жохов, Математика для 6 класу, Підручник для середньої школи
Книги та підручники згідно календарного планування з математики 6 класу
Урок 4
СТУПЕНЬ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ
Цілі: сприяти формуванню обчислювальних умінь та навичок, накопиченню знань про ступені на основі обчислювального досвіду; познайомити із записом великих і маленьких чисел за допомогою степенів числа 10.
Хід уроку
I. Актуалізація опорних знань.
Вчитель проводить аналіз результатів перевірочної роботи, кожен учень отримує рекомендації щодо розробки індивідуального планукорекції обчислювальних умінь та навичок.
Потім учням пропонується виконати обчислення та прочитати імена відомих математиків, які зробили внесок у побудову теорії ступенів:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
Ключ:
За допомогою комп'ютера чи епіпроектора на екран проектуються портрети вчених Діофанта, Рене Декарта, Симона Стевіна. Учням пропонується підготувати за бажанням історичні довідки про життя та діяльність цих вчених-математиків.
ІІ. Формування нових понять та способів дії.
Учні записують у зошиті такі вирази:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
адоданків
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
nмножників
5. а∙ а∙ … ∙ а;
nмножників
Учням пропонується відповісти на запитання: «Як можна уявити ці записи компактніше, щоб вони стали "оглядними"»?
Потім вчитель проводить розмову з новій темі, знайомить учнів із поняттям першого ступеня числа. Учні можуть підготувати інсценізацію стародавньої індійської легенди про винахідника шахів Сеті та царя Шерамі. Закінчити розмову необхідно розповіддю про вживання під час запису великих і малих величин ступенів числа 10 і, запропонувавши учням до розгляду кілька довідників з фізики, техніки, астрономії, дати їм можливість знайти у книгах приклади таких величин.
ІІІ. Формування умінь та навичок.
1. Рішення вправ № 40 г), буд), е); 51.
У результаті рішення учні роблять висновок у тому, що корисно пам'ятати: ступінь з негативним підставою позитивна, якщо показник ступеня парний, і негативна, якщо показник ступеня непарний.
2. Рішення вправ № 41, 47.
IV. Підведення підсумків.
Вчитель коментує та оцінює роботу учнів на уроці.
Домашнє завдання: п. 1.3, № 42, 43, 52; за бажанням: підготувати повідомлення про Діофанта, Декарта, Стевіна.
Діофант- Давньогрецький математик з Олександрії (III ст.). Збереглася частина його математичного трактату «Арифметика» (6 книжок із 13), де дається розв'язання завдань, що у більшості приводяться до так званих «діофантових рівнянь», розв'язання яких шукається в раціональних позитивних числах (негативних чисел у Діофанта немає).
Для позначення невідомого та її ступенів (до шостої), знака рівності Діофант вживав скорочений запис відповідних слів. Виявлено вченими також арабський текст ще чотирьох книг «Арифметики» Діофанта. Твори Діофанта з'явилися відправною точкоюдля досліджень П. Ферма, Л. Ейлера, К. Гауса та інших.
Декарт Рене (31. 03. 159 6 –11. 02. 1650) - французький філософ і математик, походив із старовинного дворянського роду. Освіту здобув у єзуїтській школі Ла Флеш в Анжу. На початку Тридцятирічної війни служив у армії, яку залишив у 1621 році; після кількох років подорожей переселився до Нідерландів (1629), де провів двадцять років у відокремлених наукових заняттях. У 1649 році на запрошення шведської королеви переселився до Стокгольма, але незабаром помер.
Декарт заклав основи аналітичної геометрії, ввів багато сучасних позначення алгебри. Декарт значно покращив систему позначень, ввівши загальноприйняті знаки для змінних величин
(х, у,z…) та коефіцієнтів ( а, b, з…), а також позначення ступенів ( х 4 , а 5 …). Запис формул у Декарта майже нічим не відрізняється від сучасного.
В аналітичній геометрії основним досягненням Декарта став створений ним метод координат.
Стевін Симон (1548-1620) - Нідерландський вчений та інженер. З 1583 викладав у Лейденському університеті, в 1600 організував інженерну школу при Лейденському університеті, де читав лекції з математики. Робота Стевіна «Десятина» (1585) присвячена десятковій системі заходів та десятковим дробам, які Симон Стевін ввів у вжиток у Європі.
)- це числа з позитивним або негативним знаком(цілі та дробові) і нуль. Точніше поняття раціональних чисел, звучить так:
Раціональне число- Число, яке представляється звичайним дробом m/n, де чисельник m- Цілі числа, а знаменник n- натуральні числа, наприклад 2/3.
Нескінченні неперіодичні дроби НЕ входять до множини раціональних чисел.
a/b, де a∈ Z (aналежить цілим числам), b∈ N (bналежить натуральним числам).
Використання раціональних чисел у реальному житті.
У реального життябезліч раціональних чисел використовується для рахунку частин деяких цілих поділених об'єктів, наприклад, Торти або інші продукти, що розрізаються на частини перед вживанням, або для грубої оцінки просторових відносин протяжних об'єктів.
Властивості раціональних чисел.
Основні властивості раціональних чисел.
1. Упорядкованість aі bє правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одно і лише одне з трьох відносин: «<», «>» чи «=». Це правило - правило впорядкуванняі формулюють його ось так:
- 2 позитивні числа a=m a /n aі b = m b / n bпов'язані тим самим ставленням, як і 2 цілих числа m a⋅ n bі m b⋅ n a;
- 2 негативні числа aі bпов'язані одним ставленням, що і 2 позитивні числа |b|і |a|;
- коли aпозитивно, а b- негативно, то a>b.
∀ a,b∈ Q (a ∨ a>b∨ a = b)
2. Операція додавання. Для всіх раціональних чисел aі bє правило підсумовування, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число c. При цьому саме число c- це сумачисел aі bта її позначають як (a+b) підсумовування.
Правило підсумовуваннявиглядає так:
m a/n a +m b/n b = (m a⋅ n b +m b⋅ a)/(n a⋅ b).
∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q
3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел aі bє правило множення, воно ставить їм у відповідність певне раціональне число c. Число c називають творомчисел aі bі позначають (a⋅b), а процес знаходження цього числа називають множення.
Правило множеннявиглядає так: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Транзитивність відносин порядку.Для будь-яких трьох раціональних чисел a, bі cякщо aменше bі bменше c, то aменше c, а якщо aодно bі bодно c, то aодно c.
∀ a, b, c∈ Q (a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)
5. Комутативність складання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.
∀ a,b∈ Q a+b=b+a
6. Асоціативність складання. Порядок складання 3-х раціональних чисел не впливає результат.
∀ a, b, c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)
7. Наявність нуля. Існує раціональне число 0, воно зберігає будь-яке інше раціональне число при складанні.
∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a+0=a
8. Наявність протилежних чисел. У будь-якого раціонального числа є протилежне раціональне число, за їх складання виходить 0.
∀ a∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0
9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників твір не змінюється.
∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ a
10. Асоціативність множення. Порядок перемноження 3-х раціональних чисел немає впливу результат.
∀ a, b, c∈ Q (a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)
11. Наявність одиниці. Є раціональне число 1, воно зберігає будь-яке інше раціональне число у процесі множення.
∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1=a
12. Наявність зворотних чисел. Будь-яке раціональне число, відмінне від нуля, має зворотне раціональне число, помноживши на яке отримаємо 1 .
∀ a∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1
13. Дистрибутивність множення щодо складання. Операція множення пов'язана зі складанням за допомогою розподільчого закону:
∀ a, b, c∈ Q (a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
14. Зв'язок відносин порядку з операцією додавання. До лівої і правої частин раціонального нерівності додають те саме раціональне число.
∀ a, b, c∈ Q a ⇒ a+c
15. Зв'язок відносин порядку з операцією множення. Ліву та праву частини раціональної нерівності можна помножити на однакову невід'ємну раціональну кількість.
∀ a, b, c∈ Q c>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c
16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число a, легко взяти стільки одиниць, що їх сума буде більшою a.
