Ba'zida aniq fanlarni qunt bilan o'rganish o'z samarasini berishi mumkin - siz nafaqat butun dunyoga, balki boy bo'lasiz. Mukofotlar bekorga beriladi va zamonaviy fanda ko'plab isbotlanmagan nazariyalar, teoremalar va muammolar mavjud bo'lib, ular ilm-fan rivojlanishi bilan ko'payib boradi, hech bo'lmaganda Kourovka yoki Dnestr daftarlarini, hal qilib bo'lmaydigan fizika-matematik to'plamlarni oladi va nafaqat , vazifalar. Biroq, o'n yildan ko'proq vaqt davomida hal etilmagan chinakam murakkab teoremalar ham bor va ular uchun Amerika Kley instituti har biri uchun 1 million AQSh dollari miqdorida mukofot qo'ygan. 2002 yilgacha jami jekpot 7 million edi, chunki yettita "ming yillik muammosi" bor edi, ammo rus matematigi Grigoriy Perelman Puankare gipotezasini unga halollik bilan bermoqchi bo'lgan amerikalik matematiklarga ham eshikni ochmasdan, milliondan epik tarzda voz kechib, hal qildi. bonuslar oldi. Shunday qilib, biz fon va kayfiyat uchun Katta portlash nazariyasini yoqamiz va yana nima uchun yumaloq summani kesishingiz mumkinligini bilib olamiz.
P va NP sinflarining tengligi
Oddiy qilib aytganda, P = NP tenglik muammosi quyidagicha: agar biron bir savolga ijobiy javob juda tez tekshirilishi mumkin bo'lsa (polinomli vaqt ichida), bu savolga javobni juda tez topish mumkinmi (shuningdek polinom vaqti va polinom xotirasidan foydalanish)? Boshqacha qilib aytganda, muammoning echimini topishdan ko'ra uni tekshirish osonroq emasmi? Bu erda xulosa shuki, ba'zi hisob-kitoblar va hisob-kitoblarni qo'pol kuch ishlatishdan ko'ra algoritmik tarzda yechish osonroq bo'ladi va shu bilan ko'p vaqt va resurslarni tejaydi.
Xodj gipotezasi
1941 yilda ishlab chiqilgan Xodjning taxmini shundan iboratki, proektiv algebraik navlar deb ataladigan bo'shliqlarning ayniqsa yaxshi turlari uchun Xodj tsikllari geometrik talqinga ega bo'lgan ob'ektlar kombinatsiyasi - algebraik tsikllardir.
Bu erda oddiy so'zlar bilan tushuntirib, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin: 20-asrda kavisli shishalar kabi juda murakkab geometrik shakllar topildi. Shunday qilib, tavsiflash uchun ushbu ob'ektlarni qurish uchun "bunday dahshatli ko'p o'lchovli chizmalar-chizmalar" geometrik mohiyatiga ega bo'lmagan mutlaqo jumboq shakllardan foydalanish kerak yoki siz hali ham shartli ravishda standart algebra + geometriya bilan shug'ullanishingiz mumkinligi taklif qilindi. .
Riemann gipotezasi
Bu erda inson tilida tushuntirish juda qiyin, bu muammoni hal qilish tub sonlarni taqsimlash sohasida juda katta oqibatlarga olib kelishini bilish kifoya. Muammo shunchalik muhim va dolzarbki, hatto gipotezaning qarshi misolini chiqarish ham - universitet ilmiy kengashining ixtiyoriga ko'ra, muammoni isbotlangan deb hisoblash mumkin, shuning uchun bu erda siz "teskari tomondan" usulni sinab ko'rishingiz mumkin. Gipotezani torroq ma'noda qayta shakllantirish mumkin bo'lsa ham, bu erda ham Kley instituti ma'lum miqdorda pul to'laydi.
Yang-Mills nazariyasi
Zarrachalar fizikasi doktor Sheldon Kuperning sevimli mavzularidan biridir. Bu erda ikkita aqlli amakining kvant nazariyasi bizga kosmosdagi har qanday oddiy o'lchov guruhi uchun noldan tashqari massa nuqsoni mavjudligini aytadi. Ushbu bayonot eksperimental ma'lumotlar va raqamli simulyatsiyalar bilan tasdiqlangan, ammo hozircha hech kim buni isbotlay olmaydi.
Navier-Stoks tenglamalari
Bu erda, Govard Volovits, agar u haqiqatda mavjud bo'lsa, bizga albatta yordam beradi - axir, bu gidrodinamikadan topishmoq va poydevor poydevori. Tenglamalar yopishqoq Nyuton suyuqligining harakatlarini tavsiflaydi, katta amaliy ahamiyatga ega va eng muhimi, ilm-fan doirasiga hech qanday tarzda kiritib bo'lmaydigan va uning xususiyatlari va harakatlarini oldindan aytib bo'lmaydigan turbulentlikni tavsiflaydi. Ushbu tenglamalarning tuzilishini asoslash osmonga barmoq bilan ishora qilmaslik, balki ichkaridan turbulentlikni tushunish va samolyotlar va mexanizmlarni yanada barqaror qilish imkonini beradi.
Birch-Svinnerton-Dyer gipotezasi
To'g'ri, men bu erda oddiy so'zlarni olishga harakat qildim, lekin shunday zich algebra borki, uni chuqur suvga cho'mtirmasdan qilolmaysiz. Matanga sho'ng'ishni istamaydiganlar bilishlari kerakki, bu gipoteza sizga elliptik egri chiziqlar darajasini tez va og'riqsiz topishga imkon beradi va agar bu gipoteza mavjud bo'lmasa, unda bu darajani hisoblash uchun hisob-kitoblar varag'i kerak bo'ladi. . Albatta, siz ham bilishingiz kerakki, bu farazning isboti sizni million dollarga boyitadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, deyarli har bir sohada allaqachon yutuqlar va hatto individual misollar uchun tasdiqlangan holatlar mavjud. Shuning uchun, ikkilanmang, aks holda 1994 yilda 3 asrdan ko'proq vaqt o'tgach, Endryu Uaylsga bo'ysunib, unga Abel mukofoti va taxminan 6 million Norvegiya kronasini (bugungi kurs bo'yicha 50 million rubl) olib kelgan Ferma teoremasi kabi bo'ladi. .
Ko'pincha, o'rta maktab o'quvchilari bilan matematika bo'yicha tadqiqot ishlari haqida suhbatlashganda, men quyidagilarni eshitaman: "Matematikada qanday yangi narsalarni ochish mumkin?" Lekin haqiqatan ham: ehtimol barcha buyuk kashfiyotlar qilingan va teoremalar isbotlanganmi?
1900-yil 8-avgustda Parijda boʻlib oʻtgan Xalqaro matematiklar kongressida matematik Devid Xilbert yigirmanchi asrda hal qilinishi kerak boʻlgan muammolar roʻyxatini bayon qildi. Ro'yxatda 23 ta narsa bor edi. Hozirgacha ularning 21 tasi hal etilgan. Gilbert ro'yxatidagi oxirgi hal qilingan masala olimlar 358 yil davomida hal qila olmagan Fermaning mashhur teoremasi edi. 1994 yilda britaniyalik Endryu Uayls o'z yechimini taklif qildi. Bu haqiqat bo'lib chiqdi.O'tgan asrning oxirida Gilbert misolidan so'ng, ko'plab matematiklar 21-asr uchun shunga o'xshash strategik vazifalarni shakllantirishga harakat qilishdi. Shunday ro'yxatlardan birini bostonlik milliarder Lendon T. Kley mashhur qilgan. 1998 yilda uning hisobidan Kembrijda (Massachusets, AQSh) Kley matematika instituti tashkil etildi va zamonaviy matematikaning bir qator muhim masalalarini yechish uchun mukofotlar ta’sis etildi. 2000 yil 24 mayda institut mutaxassislari sovrinlar uchun ajratilgan millionlab dollarlar soniga ko'ra ettita muammoni tanladilar. Ro'yxat Mingyillik mukofoti muammolari deb ataladi:
1. Kuk muammosi (1971 yilda tuzilgan)
Aytaylik, siz katta kompaniyada bo'lib, do'stingiz ham u erda ekanligiga ishonch hosil qilishni xohlaysiz. Agar sizga uning burchakda o'tirgani aytilsa, ma'lumotlarning to'g'riligiga ishonch hosil qilish uchun soniyaning bir qismi etarli bo'ladi. Ushbu ma'lumot bo'lmasa, siz mehmonlarga qarab, butun xonani aylanib chiqishga majbur bo'lasiz. Bu shuni ko'rsatadiki, muammoni hal qilish ko'pincha yechimning to'g'riligini tekshirishdan ko'ra ko'proq vaqt talab etadi.
Stiven Kuk muammoni shakllantirdi: muammoni hal qilishning to'g'riligini tekshirish, tekshirish algoritmidan qat'i nazar, yechimning o'zini olishdan ko'ra uzoqroq bo'lishi mumkin. Bu muammo ham mantiq va informatika sohasidagi hal qilinmagan muammolardan biridir. Uning yechimi ma'lumotlarni uzatish va saqlashda qo'llaniladigan kriptografiya asoslarini inqilob qilishi mumkin.
2. Rieman gipotezasi (1859 yilda tuzilgan)
Ba'zi butun sonlarni ikkita kichikroq butun sonlarning ko'paytmasi sifatida ifodalab bo'lmaydi, masalan, 2, 3, 5, 7 va boshqalar. Bunday raqamlar tub sonlar deb ataladi va sof matematikada va uning qo'llanilishida muhim rol o'ynaydi. Barcha natural sonlar qatorlari orasida tub sonlarning taqsimlanishi hech qanday qonuniyatga amal qilmaydi. Biroq, nemis matematigi Riemann tub sonlar ketma-ketligining xossalari haqida faraz qildi. Agar Riemann gipotezasi isbotlansa, u shifrlash haqidagi bilimimizni inqilob qiladi va Internet xavfsizligida misli ko'rilmagan yutuqlarga olib keladi.
3. Birch va Svinnerton-Dyer gipotezasi (1960 yilda tuzilgan)
Butun sonli koeffitsientli bir nechta o'zgaruvchilardagi ba'zi algebraik tenglamalarning yechimlari to'plamining tavsifi bilan bog'liq. Bunday tenglamaga x2 + y2 = z2 ifodasini misol qilib keltirish mumkin. Evklid bu tenglamaning yechimlarining to'liq tavsifini berdi, ammo murakkabroq tenglamalar uchun yechim topish juda qiyin bo'ladi.
4. Xodj gipotezasi (1941 yilda tuzilgan)
20-asrda matematiklar murakkab ob'ektlarning shaklini o'rganishning kuchli usulini kashf etdilar. Asosiy g'oya - ob'ektning o'rniga bir-biriga yopishtirilgan va uning o'xshashligini tashkil etadigan oddiy "g'ishtlardan" foydalanish. Xodj gipotezasi bunday "g'ishtlar" va ob'ektlarning xususiyatlari haqidagi ba'zi taxminlar bilan bog'liq.
5. Navier-Stoks tenglamalari (1822 yilda tuzilgan)
Agar siz ko'lda qayiqda suzib ketsangiz, u holda to'lqinlar paydo bo'ladi va agar siz samolyotda uchsangiz, havoda turbulent oqimlar paydo bo'ladi. Bu va boshqa hodisalar Navier-Stokes tenglamalari deb nomlanuvchi tenglamalar bilan tasvirlangan deb taxmin qilinadi. Bu tenglamalarning yechimlari noma’lum va ularni qanday yechish ham ma’lum emas. Yechim mavjudligini va etarli darajada silliq funksiya ekanligini ko'rsatish kerak. Ushbu muammoni hal qilish gidro- va aerodinamik hisob-kitoblarni amalga oshirish usullarini sezilarli darajada o'zgartirishga imkon beradi.
6. Puankare muammosi (1904 yilda tuzilgan)
Agar siz olma ustiga kauchuk tasmasini cho'zsangiz, unda siz sirtni qoldirmasdan asta-sekin lentani siljitishingiz mumkin, uni bir nuqtaga siqib qo'ying. Boshqa tomondan, agar bir xil kauchuk tarmoqli donut atrofida to'g'ri cho'zilgan bo'lsa, bandni yirtmasdan yoki donutni buzmasdan, bandni bir nuqtaga siqib qo'yishning imkoni yo'q. Olmaning yuzasi oddiygina bog'langan deyiladi, lekin donutning yuzasi bog'liq emas. Ma'lum bo'lishicha, faqat sfera shunchaki bog'langanligini isbotlash juda qiyin bo'lib, matematiklar hali ham to'g'ri javobni qidirmoqdalar.
7. Yang-Mills tenglamalari (1954 yilda tuzilgan)
Kvant fizikasi tenglamalari elementar zarralar dunyosini tasvirlaydi. Fiziklar Yang va Mills geometriya va elementar zarralar fizikasi o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlab, o'zlarining tenglamalarini yozdilar. Shunday qilib, ular elektromagnit, zaif va kuchli o'zaro ta'sirlar nazariyalarini birlashtirish yo'lini topdilar. Yang-Mills tenglamalari haqiqatan ham butun dunyo laboratoriyalarida kuzatilgan zarrachalar mavjudligini nazarda tutgan, shuning uchun Yang-Mills nazariyasi hali ham elementar zarrachalar massasini oldindan aytib bera olmaganiga qaramay, ko'pchilik fiziklar tomonidan qabul qilinadi.
O‘ylaymanki, blogda chop etilgan ushbu material nafaqat talabalar, balki matematika bilan jiddiy shug‘ullanadigan maktab o‘quvchilari uchun ham qiziqarli. Mavzular va tadqiqot yo'nalishlarini tanlashda o'ylash kerak bo'lgan narsa bor.
Yechilmaydigan masalalar 7 ta eng qiziqarli matematik muammodir. Ularning har biri bir vaqtning o'zida taniqli olimlar tomonidan, qoida tariqasida, gipoteza shaklida taklif qilingan. Ko'p o'n yillar davomida butun dunyo bo'ylab matematiklar o'zlarining yechimlari ustida boshlarini chalg'itdilar. Muvaffaqiyatga erishganlar Clay Institute tomonidan taklif qilingan million AQSh dollari bilan taqdirlanadi.
Kley instituti
Bu nom shtab-kvartirasi Massachusets shtatining Kembrij shahrida joylashgan xususiy notijorat tashkilotdir. U 1998 yilda Garvard matematiki A. Jeffi va biznesmen L. Kley tomonidan asos solingan. Institutning maqsadi matematik bilimlarni ommalashtirish va rivojlantirishdir. Bunga erishish uchun tashkilot olimlar va istiqbolli tadqiqot homiylariga mukofotlar beradi.
21-asrning boshlarida Kley matematika instituti eng qiyin yechilmaydigan masalalar sifatida tanilgan muammolarni hal qilganlarga mukofot taklif qildi va ularning ro'yxatini Mingyillik mukofoti muammolari deb nomladi. "Hilbert ro'yxati" dan faqat Riemann gipotezasini o'z ichiga olgan.
Mingyillik muammolari
Clay Institute ro'yxati dastlab quyidagilarni o'z ichiga olgan:
- Xodj sikli gipotezasi;
- Yang-Mills kvant nazariyasi tenglamalari;
- Puankare gipotezasi;
- P va NP sinflarining tengligi muammosi;
- Riemann gipotezasi;
- uning yechimlarining mavjudligi va silliqligi to'g'risida;
- Birch-Svinnerton-Dyer muammosi.
Ushbu ochiq matematik muammolar katta qiziqish uyg'otadi, chunki ular ko'plab amaliy dasturlarga ega bo'lishi mumkin.
Grigoriy Perelman nimani isbotladi
1900 yilda mashhur faylasuf Anri Puankare har qanday oddiy bog'langan ixcham 3-manifold chegarasiz 3-sferaga gomeomorf ekanligini taklif qildi. Umumiy holatda uning isboti bir asr davomida topilmadi. Faqat 2002-2003 yillarda peterburglik matematik G. Perelman Puankare muammosining yechimi bilan bir qator maqolalar chop etdi. Ular portlovchi bomba ta'siriga ega edi. 2010 yilda Puankare gipotezasi Kley institutining "Yechilmagan muammolari" ro'yxatidan chiqarib tashlandi va Perelmanning o'ziga unga tegishli bo'lgan katta haq olish taklif qilindi, ikkinchisi o'z qarorining sabablarini tushuntirmasdan rad etdi.
Rus matematigi nimani isbotlashga muvaffaq bo'lganini eng tushunarli tushuntirishni rezina diskning donutga (torus) tortilishini tasavvur qilish orqali berish mumkin, keyin ular uning aylanasining chekkalarini bir nuqtaga tortishga harakat qilishadi. Bu mumkin emasligi aniq. Yana bir narsa, agar siz ushbu tajribani to'p bilan qilsangiz. Bunday holda, atrofi gipotetik shnur bilan bir nuqtaga tortilgan diskdan hosil bo'lgan uch o'lchamli ko'rinadigan shar oddiy odamning tushunishida uch o'lchovli bo'ladi, lekin nuqtadan ikki o'lchovli bo'ladi. matematika nuqtai nazaridan.
Puankare uch oʻlchamli sharni sirti bir nuqtaga qisqarishi mumkin boʻlgan yagona uch oʻlchamli “obʼyekt” deb taʼkidladi va Perelman buni isbotlay oldi. Shunday qilib, bugungi kunda "Yechilishi mumkin bo'lmagan muammolar" ro'yxati 6 ta muammodan iborat.
Yang-Mills nazariyasi
Ushbu matematik muammo 1954 yilda uning mualliflari tomonidan taklif qilingan. Nazariyaning ilmiy formulasi quyidagicha: har qanday oddiy ixcham o'lchov guruhi uchun Yang va Mills tomonidan yaratilgan kvant fazoviy nazariyasi mavjud va ayni paytda nol massa nuqsoniga ega.
Oddiy odamga tushunarli tilda gapirganda, tabiiy ob'ektlar (zarralar, jismlar, to'lqinlar va boshqalar) o'rtasidagi o'zaro ta'sirlar 4 turga bo'linadi: elektromagnit, tortishish, kuchsiz va kuchli. Ko'p yillar davomida fiziklar umumiy maydon nazariyasini yaratishga harakat qilishdi. Bu barcha o'zaro ta'sirlarni tushuntirish uchun vositaga aylanishi kerak. Yang-Mills nazariyasi - bu matematik til bo'lib, uning yordamida tabiatning 4 ta asosiy kuchidan 3 tasini tasvirlash mumkin bo'ldi. Bu tortishish kuchiga taalluqli emas. Shuning uchun Yang va Mills maydon nazariyasini yaratishda muvaffaqiyat qozongan deb hisoblash mumkin emas.
Bundan tashqari, taklif etilayotgan tenglamalarning nochiziqliligi ularni echishni juda qiyinlashtiradi. Kichik birlashtiruvchi konstantalar uchun ular taxminan bir qator buzilish nazariyasi shaklida echilishi mumkin. Biroq, bu tenglamalarni kuchli ulanish bilan qanday hal qilish mumkinligi hali aniq emas.
Navier-Stoks tenglamalari
Bu iboralar havo oqimlari, suyuqlik oqimi va turbulentlik kabi jarayonlarni tavsiflaydi. Ba'zi maxsus holatlar uchun Navier-Stokes tenglamasining analitik echimlari allaqachon topilgan, ammo hozirgacha hech kim buni umumiy uchun bajara olmadi. Shu bilan birga, tezlik, zichlik, bosim, vaqt va boshqalarning aniq qiymatlari uchun raqamli simulyatsiyalar ajoyib natijalarga erishishi mumkin. Kimdir Navier-Stokes tenglamalarini teskari yo'nalishda qo'llashi, ya'ni ularning yordami bilan parametrlarni hisoblashi yoki yechim usuli yo'qligini isbotlashi mumkinligiga umid qilish kerak.
Birch-Svinnerton-Dyer muammosi
“Yechilmagan muammolar” turkumiga Kembrij universitetining ingliz olimlari tomonidan taklif qilingan gipoteza ham kiradi. Bundan 2300 yil oldin ham qadimgi yunon olimi Evklid x2 + y2 = z2 tenglamaning yechimlarini to'liq tavsiflab bergan.
Agar tub sonlarning har biri uchun egri chiziqdagi nuqtalar sonini modul bo'yicha hisoblasangiz, siz cheksiz butun sonlar to'plamiga ega bo'lasiz. Agar siz uni kompleks oʻzgaruvchining 1 funksiyasiga maxsus “yopishtirsangiz”, u holda siz L harfi bilan belgilangan uchinchi tartibli egri chiziq uchun Hasse-Vayl zeta funksiyasini olasiz. Unda bir vaqtning oʻzida barcha tub sonlarning modul harakati haqida maʼlumotlar mavjud. .
Brayan Burch va Piter Svinnerton-Dyer elliptik egri chiziqlar haqida taxmin qildilar. Unga ko'ra, uning ratsional yechimlari to'plamining tuzilishi va soni L-funksiyaning identifikatsiyadagi xatti-harakati bilan bog'liq. Hozirda isbotlanmagan Birch-Svinnerton-Dyer gipotezasi 3-darajali algebraik tenglamalarning tavsifiga bog'liq bo'lib, elliptik egri chiziqlar darajasini hisoblashning nisbatan oddiy umumiy usuli hisoblanadi.
Ushbu vazifaning amaliy ahamiyatini tushunish uchun zamonaviy kriptografiyada assimetrik tizimlarning butun sinfi elliptik egri chiziqlarga asoslanganligini va mahalliy raqamli imzo standartlari ularni qo'llashga asoslanganligini aytish kifoya.
p va np sinflarining tengligi
Agar Mingyillik muammolarining qolgan qismi faqat matematik bo'lsa, u holda bu algoritmlarning haqiqiy nazariyasi bilan bog'liq. Kuk-Levin muammosi deb ham ataladigan p va np sinflarining tengligi muammosi tushunarli tilda quyidagicha ifodalanishi mumkin. Aytaylik, ma'lum bir savolga ijobiy javob etarlicha tez tekshirilishi mumkin, ya'ni polinom vaqtida (PT). Unda javobni juda tez topish mumkin, degan gap to'g'rimi? Bundan ham soddaroq bo'lsa, bu shunday ko'rinadi: haqiqatan ham muammoning echimini topishdan ko'ra uni tekshirish qiyinroq emasmi? Agar p va np sinflarining tengligi isbotlangan bo'lsa, u holda PV uchun barcha tanlash masalalarini hal qilish mumkin. Ayni paytda ko'plab mutaxassislar bu bayonotning haqiqatiga shubha qilmoqdalar, garchi ular buning aksini isbotlay olmasalar ham.
Riemann gipotezasi
1859 yilgacha tub sonlarning natural sonlar orasida qanday taqsimlanishini tavsiflovchi naqsh aniqlanmagan. Ehtimol, bu fanning boshqa masalalar bilan shug'ullanishi bilan bog'liqdir. Biroq, 19-asrning o'rtalariga kelib, vaziyat o'zgardi va ular matematika bilan shug'ullana boshlagan eng dolzarb masalalardan biriga aylandi.
Bu davrda paydo bo'lgan Rieman gipotezasi tub sonlarni taqsimlashda ma'lum bir qonuniyat mavjudligi haqidagi farazdir.
Bugungi kunda ko'plab zamonaviy olimlarning fikricha, agar u isbotlangan bo'lsa, elektron tijorat mexanizmlarining muhim qismini tashkil etuvchi zamonaviy kriptografiyaning ko'plab asosiy tamoyillari qayta ko'rib chiqilishi kerak.
Riemann gipotezasiga ko'ra, tub sonlarni taqsimlash tabiati hozirgi taxmin qilinganidan sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Gap shundaki, hozirgacha tub sonlarni taqsimlashda hech qanday tizim topilmagan. Masalan, "egizaklar" muammosi bor, ularning orasidagi farq 2. Bu raqamlar 11 va 13, 29. Boshqa tub sonlar klasterlarni tashkil qiladi. Bular 101, 103, 107 va boshqalar. Olimlar juda katta tub sonlar orasida bunday klasterlar mavjudligiga uzoq vaqtdan beri gumon qilishgan. Agar ular topilsa, zamonaviy kripto kalitlarining barqarorligi so'roq ostida qoladi.
Xodj tsikli gipotezasi
Hozirgacha hal qilinmagan bu muammo 1941 yilda shakllantirilgan. Xodj gipotezasi har qanday ob'ektning shaklini yuqori o'lchamdagi oddiy jismlarni bir-biriga "yopishtirish" orqali yaqinlashish imkoniyatini taklif qiladi. Bu usul uzoq vaqtdan beri ma'lum va muvaffaqiyatli qo'llanilgan. Biroq, qanchalik soddalashtirish mumkinligi ma'lum emas.
Endi siz qanday hal qilib bo'lmaydigan muammolar mavjudligini bilasiz. Ular butun dunyo bo'ylab minglab olimlar tomonidan tadqiqot mavzusidir. Umid qilish kerakki, yaqin kelajakda ular hal qilinadi va ularning amaliy qo'llanilishi insoniyatning texnologik taraqqiyotning yangi bosqichiga kirishiga yordam beradi.
Dunyoda Fermaning so'nggi teoremasi haqida hech qachon eshitmagan odamlar unchalik ko'p emas - ehtimol bu juda keng tarqalgan va haqiqiy afsonaga aylangan yagona matematik muammodir. Bu ko'plab kitoblar va filmlarda tilga olinadi, deyarli barcha eslatmalarning asosiy konteksti teoremani isbotlashning mumkin emasligidir.
Ha, bu teorema juda mashhur va qaysidir ma'noda havaskor va professional matematiklar sig'inadigan "but"ga aylandi, ammo uning isboti topilganini kam odam biladi va bu 1995 yilda sodir bo'lgan. Lekin birinchi narsa.
Demak, 1637-yilda ajoyib frantsuz matematigi Per Ferma tomonidan tuzilgan Fermaning oxirgi teoremasi (ko‘pincha Fermaning oxirgi teoremasi deb ataladi) tabiatan juda sodda va o‘rta ma’lumotli har qanday odamga tushunarli. Unda aytilishicha, a n + b ning n \u003d c ning n kuchiga nisbati n> 2 uchun tabiiy (ya’ni kasr bo‘lmagan) yechimga ega emas. Hammasi oddiy va tushunarli ko‘rinadi. , lekin eng yaxshi matematiklar va oddiy havaskorlar uch yarim asrdan ko'proq vaqt davomida yechim izlash uchun kurashdilar.
Nega u shunchalik mashhur? Endi bilib olaylik...
Tasdiqlangan, isbotlanmagan va hali isbotlanmagan teoremalar kammi? Gap shundaki, Fermaning oxirgi teoremasi formulaning soddaligi va isbotning murakkabligi o'rtasidagi eng katta kontrastdir. Fermaning so'nggi teoremasi nihoyatda qiyin vazifadir, ammo uning formulasini o'rta maktabning 5 sinfiga ega bo'lgan har bir kishi tushunishi mumkin, ammo isboti hatto har bir professional matematikdan yiroq. Na fizikada, na kimyoda, na biologiyada, na bir xil matematikada bunchalik sodda tarzda tuzilgan, ammo uzoq vaqt davomida hal etilmagan bitta muammo yo'q. 2. U nimadan iborat?
Pifagor shimlari bilan boshlaylik So'zlar, albatta, oddiy - birinchi qarashda. Bolalikdan bilganimizdek, "Pifagor shimlari har tomondan tengdir". Muammo juda oddiy ko'rinadi, chunki u hammaga ma'lum bo'lgan matematik bayonotga asoslangan edi - Pifagor teoremasi: har qanday to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga qurilgan kvadrat oyoqlarda qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng.
Miloddan avvalgi V asrda. Pifagorlar Pifagor birodarligiga asos solgan. Pifagorchilar, boshqa narsalar qatori, x²+y²=z² tenglamasini qanoatlantiruvchi butun sonli uchliklarni oʻrgandilar. Ular cheksiz ko'p Pifagor uchligi borligini isbotladilar va ularni topishning umumiy formulalarini oldilar. Ular, ehtimol, uch va undan yuqori darajalarni izlashga harakat qilishdi. Bu ish bermasligiga ishonch hosil qilgan pifagorchilar befoyda urinishlaridan voz kechdilar. Birodarlik a'zolari matematiklardan ko'ra ko'proq faylasuf va estetika edi.
Ya'ni, x² + y² = z² tengligini to'liq qondiradigan raqamlar to'plamini olish oson.
3, 4, 5 dan boshlab - haqiqatan ham, boshlang'ich sinf o'quvchisi 9 + 16 = 25 ekanligini tushunadi.
Yoki 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Ajoyib.
Ma'lum bo'lishicha, ular yo'q. Aynan shu erdan boshlanadi. Oddiylik ko'rinadi, chunki biror narsaning mavjudligini emas, aksincha, yo'qligini isbotlash qiyin. Yechim borligini isbotlash zarur bo'lganda, bu yechimni oddiygina taqdim etish mumkin va kerak.
Yo'qligini isbotlash qiyinroq: masalan, kimdir aytadi: falon tenglamaning echimi yo'q. Uni ko'lmakka qo'yingmi? oson: bam - va bu erda, yechim! (yechim bering). Mana, raqib mag'lub bo'ldi. Yo'qligini qanday isbotlash mumkin?
"Men bunday echimlarni topmadim" deyishmi? Yoki yaxshi izlamagandirsiz? Va agar ular juda katta bo'lsa-chi, hatto juda kuchli kompyuter ham hali etarli kuchga ega bo'lmasa? Bu qiyin narsa.
Vizual shaklda buni quyidagicha ko'rsatish mumkin: agar biz mos o'lchamdagi ikkita kvadratni olib, ularni birlik kvadratlarga ajratsak, uchinchi kvadrat birlik kvadratlar to'plamidan olinadi (2-rasm): 
Va uchinchi o'lchov bilan ham xuddi shunday qilaylik (3-rasm) - bu ishlamaydi. Kublar yetarli emas yoki qo'shimchalari qoladi:
Ammo 17-asrning matematigi, frantsuz Per de Ferma x n + y n \u003d z n umumiy tenglamasini ishtiyoq bilan o'rgandi. Va nihoyat, u shunday xulosaga keldi: n>2 uchun butun sonli echimlar mavjud emas. Fermatning isboti qaytarib bo'lmaydigan darajada yo'qoladi. Qo‘lyozmalar yonmoqda! Uning Diofantning “Arifmetika” asarida aytgan gapi qolgan xolos: “Men bu taklifning chindan ham hayratlanarli isbotini topdim, ammo bu yerdagi chegaralar uni o‘z ichiga olish uchun juda tor”.
Aslida isbotsiz teorema gipoteza deyiladi. Ammo Fermat hech qachon xato qilmasligi bilan mashhur. Agar u biron bir bayonotning isbotini qoldirmagan bo'lsa ham, keyinchalik bu tasdiqlandi. Bundan tashqari, Fermat o'z dissertatsiyasini n=4 uchun isbotladi. Shunday qilib, frantsuz matematigining gipotezasi Fermaning oxirgi teoremasi sifatida tarixga kirdi.
Fermatdan keyin Leonhard Eyler kabi buyuk aqllar isbot izlash ustida ishladilar (1770 yilda u n = 3 uchun yechim taklif qildi),
Adrien Legendre va Iogann Dirichlet (bu olimlar birgalikda 1825 yilda n = 5 uchun dalil topdilar), Gabriel Lame (n = 7 uchun dalil topdilar) va boshqalar. O'tgan asrning 80-yillari o'rtalariga kelib, fan dunyosi Fermaning so'nggi teoremasining yakuniy yechimi yo'lida ekanligi ma'lum bo'ldi, ammo faqat 1993 yilda matematiklar uch asrlik dalilini topish haqidagi dostonni ko'rishdi va ishonishdi. Fermaning oxirgi teoremasi deyarli tugadi.
Ferma teoremasini faqat n tub sonlar uchun isbotlash kifoya ekanligini ko'rsatish oson: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... n kompozitsion uchun isbot o'z kuchida qoladi. Lekin tub sonlar cheksiz ko'p...
1825 yilda Sofi Jermen usulidan foydalanib, ayol matematiklar Dirixlet va Legendre mustaqil ravishda n=5 teoremasini isbotladilar. 1839 yilda frantsuz Gabriel Lame xuddi shu usul yordamida n=7 uchun teoremaning haqiqatini ko'rsatdi. Sekin-asta teorema yuzdan kam bo'lgan deyarli hamma n uchun isbotlandi.
Nihoyat, nemis matematigi Ernst Kummer ajoyib tadqiqotida 19-asrdagi matematika usullari teoremani umumiy maʼnoda isbotlay olmasligini koʻrsatdi. 1847 yilda Ferma teoremasini isbotlagani uchun Fransiya Fanlar akademiyasining mukofoti tayinlanmagan.
1907 yilda boy nemis sanoatchisi Pol Volfskel javobsiz sevgi tufayli o'z joniga qasd qilishga qaror qildi. Haqiqiy nemis kabi, u o'z joniga qasd qilish sanasi va vaqtini belgiladi: aynan yarim tunda. Oxirgi kuni u vasiyat qildi va do'stlari va qarindoshlariga xat yozdi. Ish yarim tungacha tugadi. Aytishim kerakki, Pol matematikaga qiziqardi. U hech narsa qilmay, kutubxonaga borib, Kummerning mashhur maqolasini o‘qiy boshladi. To'satdan unga Kummer fikr yuritishda xatoga yo'l qo'ygandek tuyuldi. Wolfskhel qo'lida qalam bilan maqolaning ushbu qismini tahlil qila boshladi. Yarim tun o'tdi, tong keldi. Dalildagi bo'shliq to'ldirildi. Va o'z joniga qasd qilishning sababi endi mutlaqo kulgili ko'rinardi. Pavlus vidolashuv maktublarini yirtib tashladi va vasiyatnomani qayta yozdi.
Tez orada u tabiiy sabablarga ko'ra vafot etdi. Merosxo'rlar hayratda qolishdi: 100 000 marka (1 000 000 dan ortiq funt sterling) o'sha yili Volfskel mukofoti uchun tanlov e'lon qilgan Göttingen Qirollik ilmiy jamiyati hisobiga o'tkazildi. 100 000 marka Ferma teoremasining isbotiga tayangan. Teoremani rad etish uchun bir pfennig to'lanishi kerak emas edi ...
Aksariyat professional matematiklar Fermaning so'nggi teoremasining isbotini izlashni yo'qolgan sabab deb hisobladilar va bunday befoyda mashqqa vaqt sarflashni qat'iyan rad etishdi. Ammo havaskorlar shon-shuhrat uchun o'ynashadi. E'lon qilinganidan bir necha hafta o'tgach, Gettingen universitetiga "dalil" ko'chkisi tushdi. Yuborilgan dalillarni tahlil qilish vazifasi bo'lgan professor E. M. Landau o'z talabalariga kartalarni tarqatdi:
Hurmatli (lar). . . . . . . .
Fermatning oxirgi teoremasining isboti bilan yuborgan qo'lyozmangiz uchun rahmat. Birinchi xato sahifada ... satrda ... . Shu sababli, butun dalil o'z kuchini yo'qotadi.
Professor E. M. Landau
1963 yilda Pol Koen Gödel topilmalariga tayanib, Gilbertning yigirma uchta muammosidan biri - kontinuum gipotezasini yechish mumkin emasligini isbotladi. Fermaning oxirgi teoremasi ham yechilmaydigan bo'lsa-chi?! Ammo Buyuk Teoremaning haqiqiy fanatiklari umuman umidsizlikka tushmadi. Kompyuterlarning paydo bo'lishi kutilmaganda matematiklarga isbotlashning yangi usulini berdi. Ikkinchi jahon urushidan keyin dasturchilar va matematiklar guruhlari Fermatning so'nggi teoremasini n ning 500 gacha, keyin 1000 gacha va keyinroq 10000 gacha bo'lgan barcha qiymatlari uchun isbotladilar.
80-yillarda Samuel Vagstaff chegarani 25 000 ga ko'tardi va 90-yillarda matematiklar Fermatning oxirgi teoremasi n ning 4 milliongacha bo'lgan barcha qiymatlari uchun to'g'ri ekanligini ta'kidladilar. Ammo cheksizlikdan trillion trillion ham ayirilsa, u kichik bo'lib qolmaydi. Matematiklar statistik ma'lumotlarga ishonmaydilar. Buyuk teoremani isbotlash HAMMA n cheksizlikka borishi uchun uni isbotlashni anglatardi.
1954 yilda ikkita yosh yapon matematik do'stlari modulli shakllarni o'rganishni boshladilar. Ushbu shakllar raqamlar seriyasini hosil qiladi, ularning har biri o'z seriyasidir. Tasodifan, Taniyama bu qatorlarni elliptik tenglamalar bilan hosil qilingan qatorlar bilan taqqosladi. Ular mos kelishdi! Ammo modulli shakllar geometrik ob'ektlar, elliptik tenglamalar esa algebraikdir. Bunday turli xil ob'ektlar o'rtasida hech qachon aloqa topilmadi.
Shunga qaramay, sinchkovlik bilan tekshirilgandan so'ng, do'stlar gipotezani ilgari surdilar: har bir elliptik tenglama egizak - modulli shaklga ega va aksincha. Aynan shu gipoteza matematikadagi butun tendentsiyaning asosiga aylandi, ammo Taniyama-Shimura gipotezasi isbotlanmaguncha, butun bino har qanday vaqtda qulashi mumkin edi.
1984 yilda Gerxard Frey Ferma tenglamasining yechimi, agar u mavjud boʻlsa, qandaydir elliptik tenglamaga kiritilishi mumkinligini koʻrsatdi. Ikki yil o'tgach, professor Ken Ribet bu faraziy tenglamaning modulli dunyoda o'xshashi bo'lmasligini isbotladi. Bundan buyon Fermaning so'nggi teoremasi Taniyama-Shimura gipotezasi bilan uzviy bog'liq edi. Har qanday elliptik egri chiziq modulli ekanligini isbotlab, Ferma tenglamasining yechimi bilan elliptik tenglama yo'q degan xulosaga keldik va Fermaning oxirgi teoremasi darhol isbotlangan bo'ladi. Ammo o'ttiz yil davomida Taniyama-Shimura gipotezasini isbotlashning iloji bo'lmadi va muvaffaqiyatga umidlar kamroq edi.
1963 yilda, u endigina o'n yoshda bo'lganida, Endryu Uayls allaqachon matematikaga qiziqib qolgan edi. U Buyuk teorema haqida bilib, undan chetga chiqa olmasligini tushundi. Maktab o'quvchisi, talaba, aspirant sifatida u o'zini bu vazifaga tayyorladi.
Ken Ribetning topilmalarini bilib, Uayls o'zini Taniyama-Shimura taxminini isbotlashga kirishdi. U to'liq izolyatsiya va maxfiylikda ishlashga qaror qildi. "Men tushundimki, Fermaning so'nggi teoremasi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa juda katta qiziqish uyg'otadi ... Juda ko'p tomoshabinlar maqsadga erishishga ataylab xalaqit berishadi." Etti yillik mashaqqatli mehnat o'z samarasini berdi, Uayls nihoyat Taniyama-Shimura taxminini isbotlashni yakunladi.
1993 yilda ingliz matematigi Endryu Uayls butun dunyoga Fermaning so'nggi teoremasining isbotini taqdim etdi (Uils Kembrijdagi ser Isaak Nyuton institutidagi konferentsiyada o'zining shov-shuvli ma'ruzasini o'qidi.), uning ustida ish etti yildan ortiq davom etdi.
Matbuotda shov-shuv davom etar ekan, dalillarni tekshirish uchun jiddiy ish boshlandi. Dalilni qat'iy va aniq deb hisoblashdan oldin har bir dalil diqqat bilan tekshirilishi kerak. Uayls yozni taqrizchilarning fikrini kutib, ularning ma'qullanishiga umid qilib, qizg'in o'tkazdi. Avgust oyi oxirida ekspertlar yetarlicha asoslanmagan hukmni topdilar.
Ma'lum bo'lishicha, bu qarorda qo'pol xato bor, garchi umuman olganda bu haqiqat. Uayls taslim bo'lmadi, raqamlar nazariyasi bo'yicha taniqli mutaxassis Richard Teylorning yordamiga murojaat qildi va 1994 yilda ular teoremaning to'g'rilangan va to'ldirilgan isbotini nashr etishdi. Eng hayratlanarlisi shundaki, bu ish Annals of Mathematics matematik jurnalida 130 (!) sahifani egallagan. Ammo voqea shu bilan ham tugamadi - oxirgi nuqta faqat keyingi yilda, 1995 yilda, matematik nuqtai nazardan yakuniy va "ideal" isbot versiyasi nashr etilganda qilingan.
"...tug'ilgan kuni munosabati bilan bayramona kechki ovqat boshlanganidan yarim daqiqa o'tgach, men Nadiyaga to'liq dalilning qo'lyozmasini berdim" (Endryu Uels). Matematiklarning g'alati odamlar ekanligini aytdimmi?
Bu safar dalilga shubha yo'q edi. Ikkita maqola eng sinchkovlik bilan tahlil qilindi va 1995 yil may oyida Matematika yilnomalarida chop etildi.
O'sha paytdan beri ko'p vaqt o'tdi, ammo jamiyatda Fermatning so'nggi teoremasining yechilmasligi haqida hali ham fikr mavjud. Ammo topilgan dalillarni biladiganlar ham bu yo'nalishda ishlashni davom ettirmoqdalar - Buyuk teorema 130 sahifali yechimni talab qilishiga juda kam odam qoniqish hosil qiladi!
Shuning uchun, hozir juda ko'p matematiklarning kuchlari (asosan havaskorlar, professional olimlar emas) oddiy va ixcham isbot izlashga tashlanadi, ammo bu yo'l, ehtimol, hech qaerga olib kelmaydi ...
manba
1 Murod:
Biz Zn = Xn + Yn tengligini Diofant tenglamasi yoki Fermaning katta teoremasi deb hisobladik va bu (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn tenglamasining yechimidir. U holda Zn =-(Xn + Yn) tenglamaning yechimi (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Bu tenglamalar va yechimlar butun sonlarning xossalari va ular ustida amallar bilan bog'liq. Demak, biz butun sonlarning xossalarini bilmaymizmi?! Bunday cheklangan bilim bilan biz haqiqatni oshkor etmaymiz.
n = 1 bo'lganda Zn = +(Xn + Yn) va Zn =-(Xn + Yn) yechimlarni ko'rib chiqing. Butun sonlar + Z 10 ta raqam yordamida hosil qilinadi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Ular 2 ta butun songa bo'linadi +X - juft, oxirgi o'ng raqamlar: 0, 2, 4, 6, 8 va +Y - toq, oxirgi o'ng raqamlar: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Y = 5 - toq va X = 5 - juft sonlar soni: Z = 10. Tenglamani qanoatlantiradi: (Z - X) X = (Z - Y) Y va yechim + Z = + X + Y= +(X + Y).
Butun sonlar -Z juftlik uchun -X va toq uchun -Y ning birlashmasidan iborat va tenglamani qanoatlantiradi:
(Z + X) X = (Z + Y) Y, va yechim -Z = - X - Y = - (X + Y).
Agar Z/X = Y yoki Z / Y = X bo'lsa, u holda Z = XY; Z / -X = -Y yoki Z / -Y = -X, keyin Z = (-X) (-Y). Bo'linish ko'paytirish orqali tekshiriladi.
Bir xonali musbat va manfiy sonlar 5 ta toq va 5 ta toq sondan iborat.
n = 2 holatni ko'rib chiqaylik. U holda Z2 = X2 + Y2 tenglamaning yechimi (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 va Z2 = -(X2 + Y2) tenglamaning yechimi (Z2 +) X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Biz Z2 = X2 + Y2 ni Pifagor teoremasi deb hisobladik, keyin esa Z2 = -(X2 + Y2) yechim xuddi shu teorema. Biz bilamizki, kvadratning diagonali uni 2 qismga ajratadi, bu erda diagonali gipotenuzadir. Shunda tengliklar o'rinli bo'ladi: Z2 = X2 + Y2 va Z2 = -(X2 + Y2) bu erda X va Y oyoqlardir. Va yana ko'p echimlar R2 = X2 + Y2 va R2 =- (X2 + Y2) aylanalar, markazlar kvadrat koordinata tizimining kelib chiqishi va radiusi R. Ularni (5n)2 = (3n)2 + () shaklida yozish mumkin. 4n)2 , bu yerda n musbat va manfiy butun sonlar va ketma-ket 3 ta sondir. Shuningdek, yechimlar 00 dan boshlanib, 99 da tugaydigan 2 bitli XY raqamlari bo'lib, 102 = 10x10 va 1 asr = 100 yil hisoblanadi.
n = 3 bo'lganda yechimlarni ko'rib chiqing. U holda Z3 = X3 + Y3 tenglamaning yechimlari (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
3 bitli XYZ raqamlari 000 da boshlanadi va 999 da tugaydi va 103 = 10x10x10 = 1000 yil = 10 asr.
Bir xil o'lchamdagi va rangdagi 1000 kubdan siz taxminan 10 rubik yasashingiz mumkin. +103=+1000 - qizil va -103=-1000 - ko'k tartibli rubikni ko'rib chiqing. Ular 103 = 1000 kubdan iborat. Agar biz kublarni parchalab, bir qatorga yoki bir-birining ustiga, bo'shliqlarsiz qo'ysak, biz 2000 uzunlikdagi gorizontal yoki vertikal segmentni olamiz. Rubik - 1butto = 10st o'lchamidan boshlab, kichik kublar bilan qoplangan katta kub. -21, va siz unga bir kubni qo'sha olmaysiz yoki ayira olmaysiz.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Har bir butun son 1 ga teng. 1(bir) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 va hosilalarni qo‘shing:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Bu amallar 20 bitli kalkulyatorlarda bajarilishi mumkin.
Ma'lumki, +(n3 - n) har doim +6 ga, - (n3 - n) esa -6 ga bo'linadi. Biz n3 - n = (n-1)n(n+1) ekanligini bilamiz. Bu ketma-ket 3 ta son (n-1)n(n+1), bu yerda n juft, keyin 2 ga boʻlinadi, (n-1) va (n+1) toq, 3 ga boʻlinadi. Keyin (n-1) n(n+1) har doim 6 ga bo‘linadi. Agar n=0 bo‘lsa, (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, u holda(n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
Biz bilamizki, 19 x 19 = 361. Bu bitta kvadrat 360 kvadrat bilan o'ralganligini anglatadi, keyin esa bir kub 360 kub bilan o'ralgan. Tenglik bajariladi: 6 n - 1 + 6n. Agar n=60 bo'lsa, 360 - 1 + 360 va n=61 bo'lsa, 366 - 1 + 366 bo'ladi.
Yuqoridagi bayonotlardan quyidagi umumlashtirishlar kelib chiqadi:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n) +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3) )…3210
n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n) +1)2.
Agar 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Har qanday n butun soni 10 ning darajasi bo'lib, quyidagilarga ega: – n va +n, +1/ n va -1/ n, toq va juft:
- (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
Ko'rinib turibdiki, agar o'ziga biron bir butun son qo'shilsa, u 2 marta ortadi va ko'paytma kvadrat bo'ladi: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Bu Vyeta teoremasi deb hisoblangan - xato!
Agar berilgan songa b sonini qo'shsak va ayirilsak, yig'indi o'zgarmaydi, lekin mahsulot o'zgaradi, masalan:
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Agar a va b harflari o'rniga butun sonlarni qo'ysak, unda biz paradokslar, absurdlar va matematikaga ishonchsizlikka ega bo'lamiz.
